PN2 Einführung in die Physik für Chemiker 2: Übungsblatt 5

PN2 Einführung in die Physik für Chemiker 2
Prof. Tim Liedl
SoSe 2015
Übungsblatt 5
Übungsblatt 5
Besprechung am 18.05.2015
Aufgabe 1
Ohmsches Gesetz I
In einem Leiter der Querschnittsfläche A bewegen sich Ladungsträger der Ladung q
mit Driftgeschwindigkeit vD (siehe Vorlesung). Die Ladungen die pro Zeit durch den
Leiter fließen kann man mit ∆Q = qnAvD ∆t berechnen (Ladungsträgerdichte n im
Leiter). Daraus ergibt sich die Stromstärke
I =
∆Q
= nqAvD
∆t
a) Leiten sie aus der Stromstärke das Ohmsche Gesetz U = RI her. Nutzen sie dazu die Driftgeschwindigkeit, die sich aus dem Drude-Modell ergibt: vD = qEmτ . Tipp:
l
U = E · l . Zeigen sie, dass gilt: R = σA
mit Leitfähigkeit σ.
b) Wie groß ist die Driftgeschwindigkeit der Elektronen in einem Kupferdraht mit
Radius 0,815 mm, in dem ein Strom von einem Ampere fließt? Gehen sie davon aus,
dass im Kupferdraht ein Leitungselektron pro Atom vorliegt.
c) Wie groß ist der Spannungsabfall über die Länge des Drahtes, wenn er insgesamt
einen Widerstand von 3 Ω besitzt.
Lösung:
a)
I =
Setze
qE τ
qU τ
∆Q
= nqAvD = nqA
= nqA
=
∆t
m
lm
nq 2 τ
= const
m
σA
U
I =
l
l
U =I ·
Aσ
U =I ·R
σ=
mit
R=
l
Aσ
b)
ρNA
M
Dichte ρ, Avogadrozahl NA , molare Masse M
na =
1
Kupfer: ρ=8.93 g/cm 3 , M=63.5 g/mol
8.93 · 6.02 · 1023
= 8.47 · 1022
63.5
n = 8.47 · 1028 Elektronen/m 3
na =
vD =
I
1C /s
=
= 3.54 · 10−5 m/s
2
2
Ane
π0.000815 m · 8.47 · 1028 m −3 · 1.6 · 10−19 C
c)
U = RI = 3Ω · 1A = 3V
Aufgabe 2
Ohmsches Gesetz II
a)Der Kehrwert der Leitfähigkeit bezeichnte man als spezifischen Widerstand ρ = σ1 .
Der spezifische Widerstand von Kupfer bei 20◦ C beträgt ρ20 = 1.7 · 10−8 Ωm. Berechnen sie den Widerstand eines 1 m langen Kupferdrahtes mit Durchmesser 1,63 mm
bei 20◦ C.
b)Die Änderung des Widerstandes mit der Temperatur kann bei vielen Leitern als
linear genähert werden. Dabei wird meistens der spezifische Widerstand und der Temperaturkoeffizient α angegeben, so dass gilt: ρ = ρ20 [1+α(tC −20◦ C )] bei der aktuellen
Temperatur tC . Bei Kupfer ist α = 3.9 · 10−3 /K . Um wieviel Prozent ändert sich der
Widerstand, wenn die Temperatur von 20 auf 30◦ C erhöht wird?
c) Ein 1 m langer Draht habe einen Widerstand von 0.3Ω. Welchen Widerstand hat
er, nachdem er gleichmäßig auf 2m Länge gedehnt wurde?
a)
R = ρl /A = 8.1 · 10−3 Ω
b)
ρ − ρ20
= α(tC − 20◦ C ) = 3.9 · 10−2 → 3.9%
ρ20
c)
R = ρl /A
l 0 = 2l ; lA = l 0 A0 ; A0 = A/2
R 0 = ρl 0 /A0 = 4ρl /A = 1.2Ω
2
Aufgabe 3
Ohmsches Gesetz III
a) Berechnen sie den Ersatzwiderstand von Schaltung a, für R1 = 4Ω, R2 = 6Ω und
R3 = 3Ω
b) Berechnen sie die Stromstärke in den einzelnen Widerständen, wenn eine Batterie
mit 12 V angeschlossen wird.
c) Betrachten Sie zwei parallelgeschaltete Widerstände R1 und R2 und setzen sie
R1 x
2
. Zeigen Sie, dass Rersatz = 1+x
ist. Skizzieren Sie Rersatz als Funktion von x.
x=R
R1
Lösung:
a)
1
1
1
=
+
⇒ R12 = 2.4Ω
R12
R1 R2
R = R12 + R3 = 5.4Ω
b) Über Ersatzwiderstände:
R23 = 2Ω
U23
R = R1 + R23 = 6Ω
12V
U
=
= 2A
I =
R
6Ω
= R23 · I = 2Ω · 2A = 4V
U23
2
I2 =
= A
R2
3
U23
4
I3 =
= A
R3
3
I1 = I = 2A
Über Kirchhoff:
I ) : 12V − R1 I1 − I2 R2 = 0
II ) : 12V − R1 I1 − I3 R3 = 0
III ) : I1 = I2 + I3
IIa) : 12V − R1 I1 − (I1 − I2 )R3 = 0
I ) − IIa) : −I2 R2 + (I1 − I2 )R3 = 0
3
I2 R3 + I2 R2
R3 + R2
= I2 (
)
R3
R3
R3 + R2
⇒ inI ) : 12V − R1 I2 (
) − I2 R 2 = 0
R3
12V
2
⇒ I2 =
= A
R3 +R2
3
R1 ( R3 ) + R2
⇒ I1 =
R3 + R 2
) = 2A
R3
4
I3 = I1 − I2 = A
3
I1 = I2 (
c)
1/Rers = 1/R1 + 1/R2 = (1 + R1 )(1 + 1/x ) = (1/R1 )(x + 1)/x ⇒ Rers = R1 x /(1 + x )
Beachte, dass der Ersatzwiderstand nie größer wird als R1 , egal wie groß man R2
wählt.
4
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