Zuverlässigkeit

Zuverlässigkeit
3.1. (a) Weisen Sie nach, dass
Φ(X1 , X2 , X3 ) = X1 max(X2 , X3 ) = X1 [1 − (1 − X2 )(1 − X3 )]
die Strukturform eines 3-Komponentensystems darstellt, das nur dann funktioniert,
wenn Komponente 1 und mindestens eine der Komponenten 2 oder 3 intakt ist.
(b) Bestimmen Sie die Zuverlässigkeit dieses Systems, wenn jede Komponente mit Wahrscheinlichkeit pi intakt ist.
3.2. (a) Weisen Sie nach, dass
Φ(X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 X2 max(X3 , X4 )
die Strukturform eines 4-Komponentensystems ist, das nur dann funktioniert, wenn
Komponenten 1 und 2 und mindestens eine der Komponenten 3 oder 4 intakt ist.
(b) Bestimmen Sie die Zuverlässigkeit dieses Systems, wenn jede Komponente mit Wahrscheinlichkeit pi intakt ist.
3.3. Betrachten Sie das im Anhang abgebildete Netzwerk 1:
(I bezeichnet den Anfangsknoten und O den Endknoten)
Jede Komponente sei unabhängig und mit der Wahrscheinlichkeit pi intakt.
(a) Bestimmen Sie die kürzesten Wege und die minimalen Schnitte
(b) Entwickeln Sie die exakte Systemzuverlässigkeit und berechnen Sie sie für pi = p =
0.90.
3.4. Lösen Sie die Probleme aus Aufgabe 3.3 für das im Anhang abgebildete Netzwerk 2.
3.5. Lösen Sie die Probleme aus Aufgabe 3.3 für Netzwerk 3.
3.6. Lösen Sie die Probleme aus Aufgabe 3.3 für Netzwerk 4. Geben Sie weiters eine obere
und eine untere Schranke der Zuverlässigkeit für pi = p = 0.90 an.
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3.7. Lösen Sie die Probleme aus Aufgabe 3.3 für Netzwerk 5.
Berücksichtigen Sie, dass die Komponente 3 symmetrisch verläuft.
Geben Sie weiters eine obere und eine untere Schranke der Zuverlässigkeit für pi = p =
0.90 an.
3.8. Nehmen Sie an, F besitze eine zunehmende Ausfallrate mit µ = 0.5. Bestimmen Sie eine
obere und untere Schranke für die Zuverlässigkeit R(t), wenn (a) t = 1/4, (b)t = 1 ist.
3.9. Die Verteilung der Zeit bis zum Ausfall sei eine Weibull-Verteilung, falls die kummulierte
Verteilungsfunktion durch
F (t) = 1 − exp[−θtβ ], η, β > 0
angegeben werden kann. Bestimmen Sie die Ausfallrate und zeigen Sie, dass die WeibullVerteilung eine Verteilung mit zunehmender Ausfallrate ist, falls β ≥ 1, und eine Verteilung
mit abnehmender Ausfallrate, falls 0 < β ≤ 1.
3.10. Ein Parallelsystem bestehe aus zwei unabhängigen Komponenten, für die die Zeit bis zum
Ausfall exponentialverteilt sei mit den Parametern µ1 und µ2 (µ1 = µ2 ).
Zeigen Sie, dass die Verteilung der Zeit bis zum Ausfall dieses Systems nicht die Eigenschaft einer Verteilung mit zunehmender Ausfallrate besitzt. (Hinweis:
R(t) = P {T1 > t oder T2 > t} = 1 − P {T1 ≤ t und T2 ≤ t} = 1 − (1 − e−t/µ1 )(1 − e−t/µ2 )
3.11. Zeigen Sie für das Problem aus Beispiel (3.10), dass die Verteilung der Zeit bis zum Ausfall
die Eigenschaft einer Verteilung mit durchschnittlich zunehmender Ausfallrate besitzt.
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