Mathematik für Biologen - Universität Düsseldorf: Mathematik

Mathematik für Biologen
Prof. Dr. Rüdiger W. Braun
Heinrich-Heine Universität Düsseldorf
29. Oktober 2009
Mengensprechweise
Die Menge aller Elementarereignisse ist der Ereignisraum. Seine
Teilmengen heißen (Zufalls)-Ereignisse. Die Mengenlehre dient uns
als Sprechweise, Ereignisse kurz und zweifelsfrei zu beschreiben.
verbal
Ereignisse A und B treffen ein
Ereignis A oder Ereignis B trifft ein
Ereignis A trifft nicht ein
Ereignis A trifft ein, Ereignis B aber nicht
unmögliches Ereignis
sicheres Ereignis (= Ereignisraum)
Elementarereignis ω gehört zu A
Elementarereignis ω gehört nicht zu A
alle Elementarereignisse von A gehören zu B
mathematisch
A∩B
A∪B
Ac
A\B
∅
Ω
ω∈A
ω∈
/A
A⊂B
Beispiele für Mengensprech
A = “ungerade Zahl gewürfelt” = {1, 3, 5} und
B = “Zahl kleiner 4 gewürfelt” = {1, 2, 3}
I
A ∩ B = {1, 3}
I
A ∪ B = {1, 2, 3, 5}
I
Ac = {2, 4, 6}
I
A \ B = {5}
I
A ∪ B = Ω \ {4, 6}
Komplementärereignis
Das Ereignis Ac , welches aus allen Elementarereignissen besteht,
die nicht zu A gehören, heißt Komplementärereignis zu A.
Das Komplementärereignis des sicheren Ereignisses ist das
unmögliche Ereignis, in Zeichen Ωc = ∅.
Wahrscheinlichkeit
I
Was ist eine Wahrscheinlichkeit?
I
Eine Wahrscheinlichkeitverteilung auf einem Ereignisraum ist
eine Modellannahme. Die Naturwissenschaften bilden Modelle,
also vereinfachte Abbilder der Wirklichkeit. Wenn
Zufallsprozesse berücksichtigt werden sollen, gehören zum
Modell auch Regeln zur Bestimmung von
Wahrscheinlichkeiten.
I
Dieses Modell kann aus abstrakten Überlegungen stammen; es
kann aber auch durch die beobachteten relativen Häufigkeiten
früherer Versuche begründet sein
I
Wie jedes naturwissenschaftliche Modell wird es am
Experiment überprüft
Konsistenzregeln
Für jedes Ereignis A sei eine Zahl P(A) definiert. Sie erfülle
(P1) P(A) ≥ 0 für alle A
(P2) P(Ω) = 1
(P3) P(A ∪ B) = P(A) + P(B), falls A und B disjunkte Ereignisse
sind, also keine gemeinsamen Elementarereignisse enthalten
Dann ist P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω, und (Ω, P) ist ein
wahrscheinlichkeitstheoretisches Modell des Zufallsexperiments
Rechenregeln
I
P(∅) = 0
I
P(Ac ) = 1 − P(A)
I
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
I
A ⊂ B, dann folgt P(A) ≤ P(B)
Abschnitt 2.2
Die Laplace-Verteilung
Laplace-Verteilung
Die Laplace-Verteilung ist diejenige Verteilung, bei der alle
Elementarereignisse dieselbe Wahrscheinlichkeit aufweisen.
Wir bezeichnen mit |A| die Anzahl der Elemente von A. Dann
P(A) =
|A|
|Ω|
Diese Verteilung heißt Laplace-Verteilung auf Ω.
Beispiele für die Laplace-Verteilung
I
Der Würf einer fairen Münze realisiert die Laplace-Verteilung
auf dem zweielementigen Ereignisraum Ω = {A, Z }, wobei
A=Adler und Z =Zahl
I
Der Wurf zweier Würfel realisiert die Laplace-Verteilung auf
dem Ereignisraum Ω = {1, . . . , 6}2 aller Paare von Zahlen von
1 bis 6. Da es 36 solcher Paare gibt, hat jedes
Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit 1/36. Also
1
36
2
1
P(“eine 3 und eine 4”) =
=
36
18
P(“Sechserpasch”) =
Trick: Übergang zum Komplementärereignis
Wurf dreier Würfel: Dann Ω = {1, . . . , 6}3 und |Ω| = 216.
Bestimme Wahrscheinlichkeit von
A = “es wird mindestens eine 6 gewürfelt”
Das Komplementärereignis ist das Ereignis, dass alle drei Würfel
nur 1, . . . , 5 zeigen. Es gibt 125 derartige Elementarereignisse. Also
P(A) = 1 −
125
= 0.42
216
Diversitätsindex nach Simpson
Der Diversitätsindex nach Simpson ist die Wahrscheinlichkeit, dass
zwei aus einer Artengemeinschaft zufällig ausgewählte Individuen
derselben Art angehören. Je näher er bei 1 liegt, umso geringer ist
die Biodiversität.
Wir berechnen ihn für den Fall zweier Arten S1 und S2 mit n1 bzw.
n2 Individuen.
Der Ereignisraum Ω besteht aus allen Auswahlen von zwei
verschiedenen Individuen aus insgesamt n1 + n2 Individuen. Zur
Wahl des ersten gibt es n1 + n2 Möglichkeiten, für das zweite eine
weniger. Also
|Ω| = (n1 + n2 ) · (n1 + n2 − 1)
Diversitätsindex, Fortsetzung
Das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit gesucht ist, ist
E =A∪B
wobei
A = “beide gehören zu S1 ”
B = “beide gehören zu S2 ”
Wegen A ∩ B = ∅ ist P(E ) = P(A) + P(B). Wie oben sieht man
|A| = n1 · (n1 − 1)
|B| = n2 · (n2 − 1)
also
P(E ) =
n1 · (n1 − 1) + n2 · (n2 − 1)
(n1 + n2 ) · (n1 + n2 − 1)
Beispiel zum Diversitätsindex
Für ein Waldgebiet wird die Mäusepopulation wie folgt geschätzt
I
500 Rötelmäuse
I
150 Feldmäuse
Der Diversitätsindex ist 0.6444
Abschnitt 2.3
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Bayessche Formel
Unabhängige Ereignisse
Nutzung von Zusatzinfo
I
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist eine Wahrscheinlichkeit
unter Berücksichtigung von Zusatzinformationen
I
Beispielsweise ist für einen 50-jährigen die Wahrscheinlichkeit,
80 Jahre zu werden, (etwas) höher als für ein Neugeborenes
I
Allgemein wird mit P(A|B) die Wahrscheinlichkeit von A
bezeichnet, wenn bereits bekannt ist, dass B eingetreten ist
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(A ∩ B)
P(B)
bezeichnet man als bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der
Hypothese B
I Die Hypothese B ist also vorausgesetzt (im Beispiel ist
jemand bereits 50 Jahre alt geworden)
I Das Ereignis A ist das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit
interessiert (im Beispiel ist A das Ereignis, älter als 80 zu
werden)
I Man bezeichnet P(A) auch als totale Wahrscheinlichkeit,
wenn man den Unterschied zu einer bedingten
Wahrscheinlichkeit verdeutlichen will
I eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist eine Wahrscheinlichkeit,
erfüllt also die Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten; die
wichtigste ist hier
P(A|B) =
P(Ac |B) = 1 − P(A|B)
Heuristische Begründung der Formel
I
unter der Hypothese B ist B sicher, also P(B|B) = 1; daher
wird durch P(B) geteilt
I
unter der Hypothese B sind diejenigen Elementarereignisse
von A, die nicht in B liegen, irrelevant; daher steht im Zähler
P(A ∩ B) und nicht P(A)
Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit
I
Sei Em50 das Ereignis, dass ein männliches Neugeborenes ein
Alter von mindestens 50 Jahren erreichen wird; laut
(österreichischer) Sterbetafel ist P(Em50 ) = 0.919
I
für 80 Jahre P(Em80 ) = 0.365
I
für weibliche Neugeborene P(Ew 50 ) = 0.958 und
P(Ew 80 ) = 0.566
I
dann wegen Em50 ∩ Em80 = Em80
I
P(Em80 |Em50 ) =
0.365
= 0.397
0.919
P(Ew 80 |Ew 50 ) =
0.566
= 0.591
0.958
und
Produktformel
P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B)
Röntgenreihenuntersuchung auf TB
I
bei 94% aller Erkrankten schlägt der Test an
I
das bedeutet: die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der Test
anschlägt, unter der Hypothese, dass der Proband krank ist,
beträgt 0.94
I
bei 1% der Gesunden schlägt der Test an
I
das bedeutet: die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der Test
anschlägt, unter der Hypothese, dass der Proband gesund ist,
beträgt 0.01
I
99.9% aller Probanden sind gesund
I
das ist eine totale Wahrscheinlichkeit
Röntgenreihenuntersuchung, Fortsetzung
I
nach der Produktformel ist für einen zufällig herausgegriffenen
Probanden die Wahrscheinlichkeit, dass er gesund ist und
(trotzdem) bei der Reihenuntersuchung als Verdachtsfall
festgestellt wurde, gleich 0.999%
I
die Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung ist aber nur 0.100%
I
das ist ein Problem
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
I
Version des Satzes für ein Ereignis und sein
Komplematärereignis
P(A) = P(A|B) · P(B) + P(A|B c ) · P(B c )
I
allgemeine Version:
Hierbei Ω = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn , wobei Bj ∩ Bk = ∅ für alle
Wahlen von verschiedenen j und k, d. h. die B1 , . . . , Bn bilden
eine Zerlegung von Ω. Dann
P(A) = P(A|B1 )·P(B1 )+P(A|B2 )·P(B2 )+· · ·+P(A|Bn )·P(Bn )
Röntgenreihenuntersuchung, Fortsetzung
I
A = “Verdacht auf TB”
I
B = “Proband gesund”
I
auf der ersten Folie zum Thema: P(A|B) = 0.01 und
P(B) = 0.999 und P(A|B c ) = 0.94
I
also P(B c ) = 0.001
I
aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
P(A) = 0.01 · 0.999 + 0.94 · 0.001 = 0.01093
I
bei ca. 1.1% aller Probanden wird ein Verdacht auf TB
ausgesprochen
Röntgenreihenuntersuchung, Fortsetzung
I
bei Herrn K. stellt der Test einen Verdacht auf TB fest. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit ist er tatsächlich erkrankt?
I
wir suchen die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B c |A)
I
mit der Produktformel und dem Satz von der totalen
Wahrscheinlichkeit kann man das ausrechnen
P(B c |A) =
P(A|B c ) · P(B c )
P(B c ∩ A)
=
P(A)
P(A|B) · P(B) + P(A|B c ) · P(B c )
0.94 · 0.001
=
= 0.086
0.01 · 0.999 + 0.94 · 0.001
I
die Wahrscheinlichkeit, dass Herr K. tatsächlich erkrankt ist,
beträgt 8.6%
I
dieses Problem besteht bei allen seltenen Erkrankungen, deren
Tests nicht extrem genau arbeiten