Nachname: Matrnr.: M3 ET A 8.5.08 Nr Aussage J/N 1.) Die

Nachname:
Nr
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Matrnr.:
M3 ET A 8.5.08
Aussage
Die Menge der geraden Zahlen ist ein Normalteiler der additiven Gruppe der
ganzen Zahlen
Antw.: J: Sie ist eine Untergruppe von ZZ und da ZZ abelsch ist, ein Normalteiler
Die Menge der 2 × 2-Matrizen mit positiver Determinante ist ein Normalteiler
der multiplikativen Gruppe aller regulären 2 × 2-Matrizen
Antw.: J: Wegen des Determinantenmultiplikationssatzes
Jeder Ring hat ein Einselement
Antw.: N: z.B. bilden die geraden Zahlen einen Ring ohne Einselement
Ein Ring ist nullteilerfrei, wenn die Gleichung ab = 0 keine Lösung hat
Antw.: N: Die angegebene Gleichung hat im nullteilerfreien Ring ZZ stets die
Lösung a = b = 0
Jeder Ring mit 8 Elementen ist ein Körper
Antw.: N: Der Restklassenring ZZ 8 besitzt Nullteiler, weil 2 × 4 = 0 (modulo
8) gilt
Es gibt einen Körper mit 97 Elementen
Antw.: J: Es ist p = 97 eine Primzahl, somit ZZ p ein Körper
Ist in einem metrischen Raum jede Cauchyfolge konvergent, so spricht man von
einem Banachraum
Antw.: N
Jeder metrische Raum besitzt eine konvergente Folge
Antw.: J: z.B. eine konstante Folge
Ist (X, d) ein metrischer Raum, und erfüllt eine stetige Funktion f : X → X
für alle x, y ∈ X die Ungleichung d(f (x), f (y)) ≤ 21 d(x, y), dann hat f einen
Fixpunkt
Antw.: N: Der Raum muss vollständig sein, damit ein Fixpunkt garantiert
werden kann
Eine beschränkte Teilmenge eines metrischen Raumes ist stets kompakt
Antw.: N: z.B. sind die rationalen Zahlen im Intervall [0, 1] eine beschränkte
Menge, die jedoch nicht kompakt ist
Jeder Banachraum ist als metrischer Raum auffaßbar
Antw.: J: Mit der induzierten Metrik, nämlich d(x, y) = kx − yk
Der Durchschnitt beliebig vieler Teilräume eines K-Vektorraums muß nicht
notwendig ein Teilraum sein
Antw.: N: Er ist stets ein linearer Teilraum
Der Eulerausdruck für L(x, y, y 0 ) = y 3 − 3xy 0 lautet 3y 2 + 3x
Antw.: N: er sollte 3y 2 + 3 lauten
Der Eulerausdruck für L(x, y, u, ux , uy ) = 12 (u2x + 5u2y ) − xyu2 lautet −2xyu +
uxx + 5uyy
Antw.: N: er sollte −2xyu − uxx − 5uyy lauten
Durch R(y) := y 0 (1) ist ein an der Nullfunktion y = 0 stetiges lineares
Funktional R auf C 1 ([0, 1], IR) gegeben, wobei die Supremumsnorm kyk :=
supx∈[0,1] |y(x)| benützt wird
n
Antw.: N: Es sei yn (x) := xn . Dann ist kyn k≤ n1 , somit konvieren die yn gegen
Null. Wäre nun R stetig, so müßte R(yn ) = yn0 (1) = 1 bei n → ∞ gegen Null
konvergieren, ein Widerspruch
J/N
Nachname:
Nr
1.)
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Matrnr.:
M3 ET B 8.5.08
Aussage
Die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen ist ein Normalteiler der multiplikativen Gruppe der rationalen Zahlen ungleich Null
Antw.: N: Sie ist nicht einmal eine Untergruppe
Die Menge der 2 × 2-Matrizen mit verschwindender Determinante ist ein Normalteiler der additiven Gruppe aller 2 × 2-Matrizen
Antw.: N: Wäre diese Menge ein Normalteiler, so auch eine
Das
Untergruppe.
1 0
0 0
ist jedoch nicht der Fall, wie das Beispiel A =
und B =
0 0
0 1
zeigt
Jeder Ring besitzt einen Nullteiler
Antw.: N: z.B. besitzt ZZ keine Nullteiler
Ein Ring ist kommutativ, wenn die Gleichung ab = ba eine Lösung hat
Antw.: N: Im nichtkommutativen Ring der 2 × 2-Matrizen mit reellen
Einträgen kann die Gleichung durch a = b gleich der Nullmatrix gelöst werden
Jeder Ring mit 17 Elementen ist ein Körper
Antw.: N: Nimmt man ZZ 17 mit der Nullmultiplikation, d.h. ab := 0 für alle
Elemente a, b im Ring, so sind alle nicht verschwindenden Elemente Nullteiler.
Solche darf es in einem Körper nicht geben
Es gibt einen Körper mit 1092 Elementen
Antw.: N: Es ist 1092 sowohl durch 2 als auch 3 teilbar, kann also keine
Primzahlpotenz sein. Ein endlicher Körper hat als Ordnung (d.i. die Anzahl
seiner Elemente) eine Primzahlpotenz
Ist in einem metrischen Raum jede konvergente Folge auch Cauchyfolge, so ist
er vollständig
Antw.: N: Da ja jede konvergente Folge stets Cauchyfolge ist, genügt es, einen
nicht vollständigen Raum anzugeben, etwa Q mit der Betragsmetrik
Jeder metrische Raum besitzt eine abgeschlossene Teilmenge
Antw.: J: z.B. ist der Raum selbst abgeschlossene Teilmenge
Ist (X, d) ein metrischer Raum, und erfüllt eine stetige Funktion f : X → X
für alle x, y ∈ X die Ungleichung d(f (x), f (y)) ≤ 31 d(x, y), dann hat f einen
Fixpunkt
Antw.: N: Es bedarf zusätzlich der Vollständigkeit, damit die Existenz eines
FP garantiert werden kann
Eine offene Teilmenge eines metrischen Raumes kann nicht zugleich
abgeschlossen sein
Antw.: N: Ist die Metrik diskret, so ist jede Teilmenge sowohl offen als auch
abgeschlossen
Jede Norm auf einem Vektorraum V induziert eine Metrik
Antw.: J: nämlich durch d(x, y) := kx − yk
Die Mengendifferenz zweier Teilräume eines K-Vektorraums V kann ein Teilraum von V sein
Antw.: N: es würde der Nullvektor fehlen
Der Eulerausdruck für L(x, y, y 0 ) = y 2 − 4xy 0 lautet 2y + 4y 00
Antw.: N: Korrekt wäre 2y + 4
Der Eulerausdruck für L(x, y, u, ux , uy ) = 12 (u2x − 5u2y ) − xyu2 lautet −2xyu +
uxx + 5uyy
Antw.: N: Korrekt wäre −2xyu − uxx + 5uyy
Durch R(y) := y(0) − 3y 0 (1) ist ein an der Nullfunktion y = 0 stetiges lineares
Funktional R auf C 1 ([0, 1], IR) gegeben, wobei die Supremumsnorm kyk :=
supx∈[0,1] |y(x)| benützt wird
n
Antw.: N: Es sei yn (x) := xn . Es ist kyn k≤ n1 und somit konvergieren die
yn gegen die Nullfunktion bezüglich der Norm. Hingegen ist R(yn ) = −3, ein
Ausdruck, der bei n → ∞ nicht nach Null konvergiert. R ist somit nicht stetig
J/N
Nachname:
Nr
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Matrnr.:
M3 ET C 8.5.08
Aussage
Die Menge aller Zahlen der Form 5x mit x ∈ ZZ ist ein Normalteiler der additiven Gruppe ZZ der ganzen Zahlen
Antw.: J: Diese Zahlen bilden eine Untergruppe und da ZZ kommutativ ist,
einen Normalteiler
Die Menge der 2 × 2-Matrizen A mit Determinante det(A) = ±1 bilden einen
Normalteiler in der multiplikativen Gruppe aller regulären 2 × 2-Matrizen
Antw.: J: Begründung mittels Determinantenmultiplikationssatz
Ein Polynom in IR[x] ist irreduzibel, wenn es keine reelle Nullstelle hat
Antw.: N: Das Polynom (x2 + 1)2 ist reduzibel, hat aber keine reelle Nullstelle
Ein Integritätsbereich ist stets nullteilerfrei
Antw.: J: Teil der Definition
Jeder Ring mit 111 Elementen ist ein Körper
Antw.: N: Ein endlicher Körper kann nur eine Anzahl der Form pn mit p
prim und n ∈ IN haben (eine Primzahlpotenz). Es ist 111 = 3 × 37 keine
Primzahlpotenz
Es gibt einen Körper mit 2048 Elementen
Antw.: J: Es ist 2048 = 211 eine Primzahlpotenz, also gibt es einen Körper
mit dieser Ordnung
Ist in einem metrischen Raum jede Folge konvergent, so ist der Raum
vollständig
Antw.: J: Es sind dann nämlich auch alle CF konvergent
Jeder metrische Raum besitzt eine unbeschränkte Folge
Antw.: N: z.B. kann es im einpunktigen Raum ({x}, d) keine unbeschränkte
Folge geben
Ist (X, d) ein metrischer Raum, und erfüllt eine stetige Funktion f : X → X
für alle x, y ∈ X die Ungleichung d(f (x), f (y)) ≤ 51 d(x, y), dann hat f einen
Fixpunkt
Antw.: N: Ohne Vollständigkeit von X kann ein FP nicht garantiert werden
Jede kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes ist beschränkt
Antw.: J
Eine Abbildung f : U → U , wobei U ein Banachraum ist, für die kf (x) −
f (y)k ≤ 12 kx − yk gilt, besitzt einen Fixpunkt
Antw.: J: Es ist dies der Banachsche Fixpunktsatz in der speziellen Situation,
wo X ein Banachraum und d die induzierte Metrik ist
Der Durchschnitt beliebig vieler Teilräume eines K-Vektorraums kann die leere
Menge sein
Antw.: N: Der Nullvektor ist im Durchschnitt
Der Eulerausdruck für L(x, y, y 0 ) = y 5 − 2xy 0 lautet 5y 4 + 2x
Antw.: N: Korrekt sollte er 5y 4 + 2 lauten
Der Eulerausdruck für L(x, y, u, ux , uy ) = 13 (u4x + 5u2y ) − xyu2 lautet −2xyu −
4 3
3 uxx − 5uyy
Antw.: N: Korrekt sollte er −2xyu − 4u2x uxx − 10
3 uyy lauten
Durch R(y) := y(0) − 2y 0 (1) ist an der Nullfunktion y = 0 stetiges
qR lineares
1
1
Funktional R auf C ([0, 1], IR) gegeben, wobei die L2 -Norm kyk :=
|y(x)|2
0
benützt wird
n
1
Antw.: N: Es sei yn (x) = xn . Dann ist kyn k= · · · = n√2n+1
, also konvergiert
∞
die Folge {yn }n=1 gegen Null im Sinne der L2 -Norm. Hingegen ist R(yn ) = −2
bei n → ∞ nicht gegen Null konvergent, also R nicht stetig
J/N
Nachname:
Nr
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
7.)
8.)
9.)
10.)
11.)
12.)
13.)
14.)
15.)
Matrnr.:
M3 ET Nachtest 9.5.08
Aussage
Die Menge der ganzen Zahlen ist ein Normalteiler der additiven Gruppe der
rationalen Zahlen
Antw.: J: Sie ist eine Untergruppe und da Q abelsch ist, ein Normalteiler
Die Menge der regulären 3 × 3-Matrizen mit Determinante vom Betrag < 1
bilden einen Normalteiler in der multiplikativen Gruppe aller regulären Matrizen
Antw.: N: Sie bilden nicht einmal eine Untergruppe, da die Determinante
der Inversen einer solchen Matrix größer als 1 ist, also nicht zur beschriebenen
Menge gehört
Jeder Ring ist kommutativ
Antw.: N: z.B. bilden die 2×2-Matrizen mit Einträgen aus IR einen nichtkommutativen Ring
Jeder Körper ist eine Integritätsbereich
Antw.: J
Jeder Ring mit 15 Elementen ist ein Körper
Antw.: N: z.B. zeigt in ZZ 15 die Rechnung 3 × 5 = 0, daß 3 und 5 Nullteiler
sind. Solche darf es in einem Körper nicht geben
Es gibt einen Körper mit 81 Elementen
Antw.: J: Zu jeder Primzahlpotenz (d.i. pn mit p prim und n ∈ IN ) gibt es
einen Körper mit pn Elementen. Hier ist p = 3 und n = 4
Gibt es in einem metrischen Raum eine konvergente Cauchyfolge, so ist er
vollständig
Antw.: N: z.B sind die rationalen Zahlen nicht vollständig, und besitzt die
gegen Null konvergente Cauchyfolge (0, 0, 0, · · ·)
Jeder endliche metrische Raum ist vollständig
Antw.: J
Ist (X, d) ein metrischer Raum, und erfüllt eine stetige Funktion f : X → X
für alle x, y ∈ X die Ungleichung d(f (x), f (y)) ≥ 2d(x, y), dann kann f keinen
Fixpunkt haben
Antw.: N: Ist z.B. X = IR und d die Betragsmetrik, so erfüllt f (x) := 2x die
angegebene Bedingung, weil |f (x) − f (y)| = |2x − 2y| = 2|x − y| ≥ 2|x − y| gilt.
Es hat f jedoch den offensichtlichen Fixpunkt x = 0
Eine Teilmenge einer beschränkten Menge eines metrischen Raumes ist selbst
beschränkt
Antw.: J
Es gibt einen nicht vollständigen Banachraum
Antw.: N: die Vollständigkeit ist Teil der Definition von Banachraum
Die Vereinigung von Teilräumen eines K-Vektorraums kann ein Teilraum sein
Antw.: J: z.B. wenn sie alle in einem der zu vereinigenden Teilräume enthalten
sind
Der Eulerausdruck für L(x, y, y 0 ) = sin(y) − cos(y 0 ) lautet cos(y) − cos(y 0 )y 00
Antw.: J
Der Eulerausdruck für L(x, y, u, ux , uy ) = eux − xyu2 lautet −2xyu + eux uyy
Antw.: N: er lautet korrekt −2xyu − eux uxx
Durch R(y) := y(0) − 2y(1) ist ein an der Funktion y = 0 stetiges lineares
Funktional R auf C 1 ([0, 1], IR) gegeben, wobei die Supremumsnorm kyk :=
supx∈[0,1] |y(x)| benützt wird
Antw.: J: Es ist |R(y)−R(0)| = |y(0)−2y(1)| ≤ |y(0)|+2|y(1)| ≤ kyk+2kyk =
3kyk. Somit ist R an y = 0 stetig.
J/N