f(z K(c) O(c) S(c) Z = {(x, y) ∈]0, ∞[ → R : (x, y) ↦→ x · y

Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik
Institut für Mathematik
Prof. Dr. J. Hilgert:
Algebraische Topologie (WS 2004/5), Blatt 13
Aufgabe 1
Sei C = C ∪ ∞ die Riemann’sche Zahlenkugel (Einpunkt-Kompaktifizierung
von C). Bezeichne O die Garbe der lokalen Keime holomorpher Funktionen
auf C . Dabei heißt eine stetige Funktion f : U → C holomorph an z ∈ C , falls
es eine konvergente Potenzreihenentwicklung um z gibt, und holomorph an
∞ , falls z 7→ f z−1 eine konvergente Potenzreihenentwicklung um 0 hat.
Beachte: Genau dann stimmen zwei holomorphe Funktionen lokal um p ∈ C
überein, wenn sie in p die gleiche Potenzreihenentwicklung haben.
(1) Zeige: Falls N ⊂ O die Untergarbe derjenigen Keime bezeichnet,
die in einer Umgebung von 0 verschwinden, so ist S = O /S eine
Wolkenkratzergarbe mit nicht-trivalem Halm S0 = O0 .
(2) Die kurze Sequenz der globalen Schnittmoduln
0
/
K(C)
/
O(C)
/
S(C)
/ 0
ist nicht exakt. (Wo ist sie es, wo nicht?)
Aufgabe 2
Sei
Z = ( x, y) ∈]0, ∞[2 x · y > 1
und
f : Z → R : ( x, y) 7→ x · y
und R ein kommutativer Ring.
(1) Bezeichne mit R Z die Garbe der Keime lokal konstanter R-wertiger
Funktionen auf Z . Berechne f ∗ R Z .
(2) Für g : M → N stetig, eine Garbe T auf M , U ⊂ M offen, A ⊂ U ⊂ M
abgeschlossen sei
Γ A (U, T ) = s ∈ S(U ) s = 0 auf U \ A .
Zeige: Durch
Γ(U, g! T ) = lim A⊂ g−1 (U ) Γ A ( g−1 (U ), T ) ,
−→
wird eine vollständige Prägarbe definiert, wobei der direkte Limes
über die abschlossenen Teilmengen A von g−1 (U ) genommen wird,
für die g| A eigentlich ist. (Die zugehörige Garbe heißt das eigentliche
direkte Bild von T unter g .)
(3) Für das obige Beispiel, berechne f ! R Z .
Zur Erinnerung: Falls I eine gerichetete Menge ist und ϕij : Ai → A j , i 6 j
eine Familie von Homomorphismen abelscher Gruppen, so ist
] Ai / ∼ , wobei xi ∼ x j ⇔ ϕik ( xi ) = ϕ jk ( x j ) für ein i, j 6 k .
limi∈ I Ai =
−→
i∈ I
Aufgabe 3
Sei f : M → N eine stetige Abbildung und τ : T → N eine Garbe von
abelschen Gruppen.
(1) Zeige, dass die Urbildgarbe π : f −1 T → M die zu der Prägarbe
S̃(U ) = limV ⊃ f (U ) T (V ) für alle offenen U ⊂ M
−→
assoziierte Garbe S ist.
(2) Finde ein Bespiel einer stetigen Abbildung f und einer Garbe T , so
dass S̃ nicht vollständig ist und folglich nicht gleich der Garbe der
lokalen Schnitte von f −1 T .
Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik
Institut für Mathematik
Prof. Dr. J. Hilgert:
Algebraische Topologie (WS 2004/5), Lösungen 13
Lösung 1
(1) (Vergleiche Beispiel aus der Vorlesung.) Es gilt S p = O p /K p . Weiterhin ist K p = O p , falls p 6= 0 , und
∞ K0 = ( a k ) ⊂ C ∃ z 6 = 0 ∑ a k z k < ∞ , a0 = 0 .
k =0
Folglich ist S0 = C und S p = 0 für alle p 6= 0 .
(2) Es gilt S(C) = 0 , denn für einen globalen Schnitt s : C → S muss
gelten s(0) = limz→0 s(z) = 0 .
Weiterhin gilt O(C) = C , denn die Konstanten definieren Schnitte,
und für einen globalen Schnitt s : C → O kann man die Auswertung
f : C → C : z 7→ sz (z) der konvergenten Potenzreihenentwicklungen
an z ∈ C betrachten. Dies ist eine beschränkte ganze Funktion, also
konstant.
Mit dem gleichen Argument erhält man K(C) = 0 , also ist die betrachtete Sequenz
0
/ 0
/ C
/ 0
/ 0.
Diese Sequenz ist (genau) in der Mitte nicht exakt.
Lösung 2
(1) Es gilt für U ⊂ R offen
f ∗ R Z (U ) = R Z ( f −1 (U )) .
Es gilt zunächst, f −1 (U ) zu berechnen. Sei dazu U =]t − ε, t + ε[ . Dann
f −1 ]t − ε, t + ε[ = ( x, y) x > 0 , t + ε > x · y > max(1, t − ε) .
Da die Menge V zusammenhängend ist, gilt

R
t+ε > 1,
R Z (V ) =
 R Z (V ) = 0 t + ε 6 1 .
Folglich
f ∗ RZ

R
t
= lim p∈U f ∗ R Z (U ) =
−→
0
t>1,
t<1.
(Beachte, dass die ]t − ε, t + ε[ eine Umgebungsbasis von t ∈ R bilden.)
(2) Falls A ⊂ B , betrachte die Einbettung jBA : Γ A ( g−1 (U ), T ) . Wenn
U ⊂ V offen und A ⊂ B ⊂ g−1 (V ) abgeschlossen in g−1 (V ) , so sind
à = g−1 (U ) ∩ A ⊂ B̃ = g−1 (U ) ∩ B abgeschlossen in g−1 (U ) . Zudem
ist Kompaktheit unabhängig von Teilräumen, in denen sie betrachtet
wird, so dass g| Ã eigentlich ist, wenn dies für g| A gilt.
A ( σ ) : = σ | g −1 (U ) ∈
Weiterhin gilt für σ ∈ Γ A ( g−1 (V ), T ) , dass $UV
Γ Ã ( g−1 (U ), T ) . Die so definierte Abbildungen sind Homomorphismen und es gilt
B
A
$UV
◦ jBA = jB̃ Ã ◦ $UV
sowie
A
A
A
$UV
◦ $VW
= $UW
für alle U ⊂ V ⊂ W .
A Homomorphismen $
Folglich werden durch $UV
UV : g! (V ) → g! (U )
mit $UV ◦ $VW = $UW induziert. Man sieht leicht, dass $UU = id und
$∅U = 0 . Damit ist g! (−) eine Prägarbe.
Sei σ ∈ g! (U ) , V eine offene Überdeckung von U , so dass σ |V =
$VU (σ) = 0 für alle V ∈ V . Sei σ̃ ∈ Γ A ( g−1 (U ), T ) ein Repräsentant
A ( σ̃ ) = 0 für alle V ∈ V . D.h., es gilt σ̃ | g−1 (V ) = 0
von σ . Dann gilt $VU
für alle V ∈ V . Da T eine Garbe ist, folgt σ̃ = 0 und damit auch σ = 0 .
Seien nun σV ∈ g! T (V ) gegeben mit σU |V ∩ W = σV |V ∩ W für alle
V, W ∈ V . Dann gibt es Repräsentanten σ̃V ∈ Γ AV ( f −1 (V ), T ) . Sei A
S
der Abschluss von V ∈V AV in U . Es gilt
σ̃V | g−1 (V ) ∩ g−1 (W ) = σ̃W | g−1 (V ) ∩ g−1 (W )
für alle V, W ∈ V .
Da T eine Garbe ist, gibt es σ̃ ∈ Γ( g−1 (U ), T ) mit σ̃| g−1 (V ) = σ̃V für
alle V ∈ V . Folglich gilt σ̃ = 0 auf X \ AV für alle V ∈ V . Damit auch
σ̃ = 0 auf X \ A , so dass σ̃ ∈ Γ A ( g−1 (U ), T ) . Das Bild dieses Schnitts
ist das gesuchte Element σ von g! T (U ) . Somit ist g! (−) vollständig.
(3) Für die Abbildung f gilt f −1 (t) = ( x, t/x ) x > 0 . Diese Menge ist
nicht kompakt, also ist nur die Einschränkung von f auf ∅ eigentlich.
Folglich gilt f ! R Z (U ) = 0 für alle U ⊂ R offen. Somit ist f ! R Z = 0R .
Lösung 3
(1) Zunächst definieren wir für V ⊃ f (U ) einen Homomorphismus
ϕ V : T ( V ) → f −1 T (U ) .
Sei dazu σ : V → T stetig mit τ ◦ σ = idV . Dann definiere
ϕV (σ )(u) = u, σ( f (u)) für alle u ∈ U .
Dann gilt f (u) = τ (σ ( f (u))) , weil σ ein lokaler Schnitt ist. Folglich ist
ϕV (σ ) : U → f −1 T . Da idU und σ ◦ f stetig sind, ist ϕV (σ ) stetig in
der Produkttopologie auf U × T , also ϕV (σ ) ∈ f −1 T (U ) . Schließlich
ϕV (σ1 + σ2 )(u) = u, σ1 ( f (u)) + σ2 ( f (u))
= u, σ1 ( f (u)) + u, σ2 ( f (u)) = ϕV (σ1 )(u) + ϕV (σ2 )(u)
für alle σ1 , σ2 ∈ T (V ) , so dass ϕV : T (V ) → f −1 T (U ) tatsächlich
einen Homomorphismus definiert.
Seien nun σj ∈ T (Vj ) , j = 1, 2 , lokale Schnitte, so dass $WV1 (σ1 ) =
$WV2 (σ2 ) für eine offene Umgebung W ⊂ V1 ∩ V2 von f (U ) . Wir zeigen
nun, dass dann ϕV1 (σ1 ) = ϕV2 (σ2 ) . In der Tat: Da W ⊃ f (U ) , gilt für
alle u ∈ U schon f (u) ∈ W ⊂ V1 ∩ V2 . Folglich
ϕV1 (σ1 )(u) = u, σ1 ( f (u)) = u, σ2 ( f (u)) = ϕV2 (σ2 )(u) für alle u ∈ U ,
so dass die beiden lokale Schnitte von f −1 T übereinstimmen.
e U ) → f −1 T (U ) , wobei
Bislang haben wir Homomorphismen ψU : S(
ψU ([σ ]) = ϕV (σ )
für alle f (U ) ⊂ V , σ ∈ T (V ) .
Für U2 ⊂ U1 gilt
ψU2 ◦ $U2 U1 = $U2 U1 ◦ ψV1 .
Nach Proposition 3.2.8 erhalten wir einen Garbenhomomorphismus
ψ : S → f −1 T , wobei S die zu der Prägarbe S̃ assoziierte Garbe ist
und
ψ($ pU (σU )) = $ pU (ψU (σU ))
für alle p ∈ U ⊂ M , σU ∈ S̃(U ) .
Bleibt zu zeigen, dass ψ bijektiv ist.
Zur Surjektivität: Sei ( p, t) ∈ f −1 T . Dann gilt f ( p) = τ (t) und es gibt
eine offene Umgebung V ⊂ N von f ( p) und einen lokalen Schnitt
σV ∈ T (V ) mit σV ( f ( p)) = t . Setze U = f −1 (V ) . U ist eine offene
Umgebung von p und f (U ) ⊂ V . Sei σU das Bild von σV in S̃(U ) . Es
gilt
ψU (σU )(u) = u, σV ( f (u)) für alle u ∈ U ,
insbesondere ψU ( p) = ( p, t) . Damit ist
ψ($ pU (σU )) = $ pU (ψU (σU )) = ( p, t) .
Nun zur Injektivität: Sei 0 = ψ($ pU (σU )) = $ pU (ψU (σU )) , σU ∈ S̃(U ) .
Dann existiert Ũ ⊂ U mit 0 = ψU (σU )|Ũ = ψŨ ($ŨU (σU )) . Setze
σ̃ = $ŨU (σU ) . Es gibt einen Repräsentanten σ̃V ∈ T (V ) auf einer offenen Menge f (Ũ ) ⊂ V ⊂ N . Es gilt (u, σV ( f (u))) = ϕV (σ̃V )(u) = 0
für alle u ∈ Ũ . Dann ist σV = 0 auf f (Ũ ) , also auch auf einer kleinen
Umgebung f (Ũ ) ⊂ Ṽ ⊂ V . Aber $ṼV (σV ) ist ein Repräsentant von σ̃ ,
also folgt
0 = $ pŨ (σ̃ ) = $ pŨ ($ŨU (σU )) = $ pU (σU ) ,
was zu zeigen war.