Die Exponentialverteilungen

6. Kontinuierliche Zufallsgrößen
Definition: Eine Z. G. ξ ist absolut stetig mit
(Wahrscheinlichkeits-) Dichte f : R → R, wenn
gilt:
b
Z
P ( a ≤ ξ < b“) =
”
f (x) dx
(a < b)
a
allgem. Eigenschaften einer Dichte f :
(1)
f (x) ≥ 0
(x ∈ R)
Z∞
(2)
f (x) dx = 1
−∞
Beispiel 1: Die Exponentialverteilungen
Sei λ > 0. Setzen 
λ e−λx
f (x) :=
0
(x ≥ 0)
sonst
Sagen: eine Z.G. ξ mit dieser Dichte ist
exponentialverteilt mit Parameter λ“.
”
Schreibweise: Pξ = Exλ
Anwendungsbeispiel: Die Lebensdauer eines radioaktiven Atoms ist exponentialverteilt. Der Parameter λ ergibt sich dabei aus der Halbwertszeit
τ durch λ = ln2/τ .
Anwendungsbeispiele: Neonröhren, elektronische Bauteile
1
Beispiel 2: Die Normalverteilungen
Seien µ ∈ R und σ 2 > 0
Setzen
1
f (x) := q Q
exp
2 σ2
(d. h. σ 6= 0).
"
−
(x − µ)2
#
2σ 2
(x ∈ R)
Sagen: eine Z. G. ξ mit dieser Dichte ist
normalverteilt mit Parameter µ und σ 2“.
”
Schreibweise:
Spezialfall:
Pξ = Nµ,σ 2
µ = 0, σ 2 = 1 →
Pξ = N0,1 - Standardnormalverteilung
Satz:
(a) Seien Pξ = N0,1 und η = σξ + µ
→
(b)
→
Pη = Nµ,σ2
Seien Pξ = Nµ,σ2 und η =
ξ−µ
σ
Pη = N0,1
2
Definition:
Sei ξ eine Z. G. mit Dichte f .
+∞
Z
Eξ :=
x f (x) dx
−∞
heißt Erwartungswert von ξ.
Z∞
Dξ :=
(x − Eξ)2 f (x) dx
−∞
heißt Varianz von ξ.
√
Dξ wird Standardabweichung genannt.
Bemerkung: es gelten die Rechenregeln vom diskreten Fall allgemein.
Beispiele:
1.
Pξ = Nµ,σ 2 → Eξ = µ, Dξ = σ 2
Nµ,σ2 wird deshalb Normalverteilung mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 genannt.
2.
Pξ = Exλ → Eξ =
1
1
, Dξ = 2 .
λ
λ
3
Zur Bedeutung der Normalverteilung
Stochastische Störungen an sich determinierter
Systeme werden in der Regel durch Normalverteilungen beschrieben.
Theoretische Begründung:
Der Zentrale Grenzwertsatz
Sei X1, ..., Xn eine Folge unabhängiger“ Zufalls”
größen mit
∞
X
EXk = 0 (k = 1, ..., n) und
DXk = σ 2.
k=1
Ist n sehr groß“ und sind die Varianzen DXk
”
alle sehr klein“, dann ist die Zufallsgröße
”
ξ=
n
X
Xk
k=1
näherungsweise gemäß N0,σ 2 verteilt.
Beispiel:
stochastisch gestörte Messungen – Modell:
Annahmen
1. Eine ideale“ Messung am System würde
”
den Wert a ergeben.
2. Der reale Meßvorgang unterliegt einer
Vielzahl kleiner Störungen, die nicht eliminiert werden können.
→ Das Ergebnis der realen Messung wird durch
eine Zufallsgröße η = a + ξ beschrieben
mit Pξ = N0,σ2 und damit Pη = Na,σ 2 .
4
Die 3σ-Regel
Wir betrachten das Beispiel der stochastisch gestörten Messung:
- (zufälliges) Ergebnis der realen Messung:
η =a+ξ
- idealer“ Meßwert a
”
Problem: Wie weit liegen a und η voneinander
entfernt?
Eine Antwort liefert die folgende 3σ-Regel:
Sei η eine Zufallsgröße mit Pη = Na,σ 2 . Dann gilt
P ( |η − a| < 3σ“) ≥ 99, 7% (gerundet)
” √
wobei σ = σ 2 > 0.
Anwendung auf unser Problem:
Voraussetzung: σ 2 sei bekannt (was als Kenngröße der realen Meßapparatur häufig der Fall
ist). Wir haben
|η − a| < 3σ ↔ η − 3σ < a < η + 3σ
3σ-Regel → Mit einer Wahrscheinlichkeit von
99, 7% liegt der gesuchte (ideale) Wert a in dem
durch das Meßergebnis der realen Messung bestimmten Intervall
η − 3σ < a < η + 3σ
5
Ein (anderes) Anwendungsbeispiel
Die Herstellung eines oral einzunehmenden Arzneimittels geschieht i.d. Regel dadurch, daß ein
bestimmter Wirkstoff in einer Flüssigkeit gelöst
oder in Tabletten verpackt“ wird. Die einzelne
”
Tablette sollte nun eine genormte Menge a des
Wirkstoffes enthalten. Der automatisierte Herstellungsprozeß kann das jedoch nie mit absoluter Genauigkeit realisieren. Die reale Menge des
Wirkstoffes in einer Tablette wird also eine Zufallsgröße η mit Pη = Na,σ 2 sein. Dabei ist σ 2
das Charakteristikum für die Zuverlässigkeit der
Anlage.
Vorgegeben wird nun eine Toleranzgrenze b > 0
und es wird gefordert, daß mindestens mit Wahrscheinlichkeit 99, 7% die Menge des Wirkstoffes
in einer Tablette zwischen a − b und a + b liegt,
d.h., es soll gelten:
a − b < η < a + b ↔ |η − a| < b.
Problem: Wie gut“ muß die Anlage arbeiten,
”
d.h., wie klein muß σ 2 sein, damit diese Forderung erfüllt ist ?!
b2
2
Antwort (3σ-Regel): 3σ ≤ b, d.h. σ ≤ .
9
6
Die 3σ-Regel in allgemeiner Fassung
Problem ist, eine Abschätzung zu finden
für P ( |η − a| < 3σ“) ≥ ?
”
wobei Eη = a, Dη = σ 2 ist.
-Fall Pη = Na,σ 2 → P ( |η − a| < 3σ“) = 99, 7%.
”
-Im allgemeinen Fall liefert die Tscheby.Ungl.
1
8
P ( |η − a| < 3σ“) ≥ 1 − = ≥ 88, 8%.
”
9
9
Beispiel: Sei Pη = Exλ.
1
1
1
2
→ a := Eη = , σ := Dη = 2 → σ =
λ
λ
λ
1
3
→ P ( |η − λ | < λ“) ≥ 88, 8%
”
Wir haben nun
2
3
1 3
1
3
|η − | <
↔
− <η< +
λ
λ
λ λ
λ
λ
2
4 η≥0
4
<η<
0<η<
λ
λ ←→
λ
1
4
Also P ( η < “) ≥ 88, 8%, = Eη.
”
λ
λ
Deshalb P ( η < 4Eη“) ≥ 88, 8%. Die direkte Rech”
4
nung liefert P ( η < “) = 98, 2% (Ü.A.).
”
λ
↔ −
7