Le Ktromagnetische The Or der Strahlung

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dr ah tlo sen T elegr ap hi stattﬁn dend n V o rgäng u nentbeh rlich ist
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Z itp u nkt gek omm en w o m an H alt m ach en nd a f das E rreich te
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W rk gew idm t E s w ill übe die Gru ndlag n de Th eo ie Klar
Mag
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E rster Abs hnitt
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Kath o denstrah len
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E l e k tr n n
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Klassiﬁk atio n der Strah lu ngen
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Die Gm ndgleich u ngen der E lek tr o nent eorie
Die elek tr om agneti sch e Bew egu ngsgröße
Die elek tro m agnetisch en Po tenti ale
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u ngleich förmig be w egten Pu nk tladu n g
Th e orie des bew egten leu ch te n den Pu nktes
Die Rück w irk u ng der Strah lu ng
Mech anik
bew egtes E
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K a p ite l
Dr i t t e s
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de r E l k tr o n
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Die Grun dh yp oth 0 sen de r Dynam ik des E lektron s u nd das
elek tro m agn etisch e W eltbild
5 1 7 Die Bew egu ngsgleich u n gen des E lektron s
5 1 8 Gleich förniige Translatio n elektrisch er Ladu ngen
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40 Die Re ﬂexio n des Lich te s du r ch
4 1 Die T emp er atu r der Str ah lu ng
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Die Li ch tz eit in ein em gleich förm ig bew egten Syste m
4 3 Der Versu ch v o n Mich elson
44 Die Lo rentz sch e u n d die C o h n sch e Optik bew egter Körp e r
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.
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Das Feld und die Bewegung der einz elnen E lek tronen
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die Einführu n g atomistischer Vorstellu n gen in die E lektriz itäts
lehre nahelegen
Den v o n Faraday entdeckten Gesetzen ge
m ü scheidet e in gegeben er S tro m in vers chie den en Elektro
ly ten chemis ch äqui valente u n d der Str omstärke prop ortio nale
Men gen wägbarer Materie an den E lektr o den ab Schr eibt man
der Materie ein e atomistische Konstitu tion z u so kann man
au ch die E lektrizität au s u n teil b aren po sitiven
nicht u mhi n
u n d n egativen E lementarqu an ten zu sammen ges etzt z u denken
es elektrolytischen Ions w ürde ein solches
An jeder Valen z ein
E lementar u an tu m haften Die s ogen annte Farad aysche Ko n
s tante
die v o n ein em Gramm W assersto ﬂ transportierte
Elektr izitätsmen ge
gibt nach di eser Au ffassun g den Qu oti
enten au s Ladu n g e u n d Masse u m eines W assmsto ﬂi ons an
Messen wir 9 in ab solu ten elektro statischen Einh eiten so er
halten w ir
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ittelbarer Messu n g beruh en de Beziehung v er
elektrische E lementar u antu m e mit dem Atom
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Das Feld 11 di e Be w egu ng der
.
eins eh en
E lektronen
.
Die Annahm e v on Atomen der Elektrizität w ir d n otw endi g
s ob ald man di e w ägbare Materie als atom istisch kons ti tu iert
betrachtet Wenn nu n au ch die Atomi stik in der Physik der
Materie als w ertvolle Ar beitshypothese sich erwiesen h at so
steht doch m an cher Fors cher au ch heu te n och au f dem Stan d
pu n kte daß für die Materie die Atom u nd Mo lek u larh yp oth e se
u m das Lehrgeb äu de der
n icht sicher gen u g be grün det sei
C hemie u n d Phy sik au f ih r au fzu bau en E in s olcher Forscher
wird s ich du rch die Tatsachen der E lekt i z itötsle itnng in Elektr o
ly ten ni cht gezw u n gen ﬁn den die reale E xi stenz eine s elek
trischen E le mentar u antu ms zu zu geben
Nu n h at aber im letz ten Jah rz ehn t die ato mistis che Hypo
these u f dem Gebiete der E lektri z itätslehre ein e n eu e Stütze
erhalten du rch die Fors chu n gen die über die E l e k tr i z i t ät s
l e i t n g d er G a s e anges t t w orden s ind Währen d di e Gase
im Gegen satz z u den Metallen u nd den Elektr olyten in ihr em
n o r m alen Zu stande Nichtleiter oder w en igstens s ehr schlechte
Leiter sin d kann ihn en du rch äu ßere Einwirk un gen
z B
du rch Kathodenstrahlen du rch Röntgenstrahlen oder du rch
di e Strahlu n g der radioaktiven Körper
eine abnorme Leit
fähi gkeit gegeben w erden
Diese abn orm Leitfähi gkeit führ t
man darau f zu rück daß du rch Ein w irku n g jen er S trahlun gen
im Gase elektrisch geladene Teilchen entstehen w elche nu n
im elektrisch en Felde w andern Diese positiven u nd negativen
Teilchen bezeichn et man u nter Beibehaltu ng des in der Elektro
Inde ssen h at man es
lyse gebräu chlichen Wortes als I onen
bei diesen Gasio nen nicht wie etwa bei einw ertigen elektro
lytis chen I on en mit Verbin du n gen des elektris chen Elementar
qu antu ms mit Bestandteilen nu r eines Mo lek üles z u tu n; es
schein en sich vielmehr in ein em Gase dem elektrischen Ke rn e
neu trale Moleküle in w echseln der
v o n Temperatu r u nd Dru ck
de s Gases abhän giger Anz ahl anzu lagern
Der Mechanismu s dieser An lageru ng wird verständlich
wenn man au f Gru nd der Vorstellun gen der kinetischen Gas
theorie die Wechselwirku n gen der elektri schen Kerne mit den
n e u tralen Gasmo lekülen be tra chte t u nd das u n ter dem E in
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,
.
,
,
,
.
,
E rstes
Kapitel
ph ys
Die
.
u
.
math Grun dlagen (1 E lektron
.
.
ﬂu ß di e ser Wechselw irk un gen
.
e
nth eo rie
.
3
ich herstellende kin etische Gleich
gewicht u n tersu cht Da ein au sführli ches Ein gehen au f diese
Din ge u ns v o n dem eigentlichen Gegens tan de di eses Werkes
z u w eit abführen würde
so sei der Le s er au f die sehr lehr
reiche Abhandlu n g v o n P Lan gevin ) hin ge w iesen ; dieselbe
en thält au ch eine Übersicht über di e Eigenschaften ionisierter
Gase deren Kenntnis man hau ptsächl ich den Forschu n gen der
C ambridger Schul e verdank t
Die Existen z diskreter elektrischer Teilchen in einem
Gase welches der Du rchs trahlun g mit Röntgenstrahl en mit
Kathodenstrahlen oder Radi u mstrahl en au sgesetzt w ar w ir d
nu n
du rch ein e bemerkens w erte Eigenschaft eines solchen
Gases bew ie sen : Wird e in s olches Gas mit Wasserdampf ge
mischt un d der letztere etwa du rch plötzliche Expansion
in den Zu stan d der Übersättigu n g gebra cht so ﬁn det ein e
Kon densation des Wasserdampfes statt e s bildet sich eine au s
klein en Tr öpfchen bestehende Wolke ; u nd zwar ﬁn det di eses
bei ein em Grade der Üb ersättigu n g statt bei dem ohn e vor
h erige D u rchst ah lu n g de s Gas es ein e Kon dens tion de s Was se
dampfes nicht erfolgt w äre Da die Eigens chaft den Wasser
damp f z u k 0 ndensieren der du rch die D u rchstrahlu ng erteilten
s o li e gt es nahe den Gas
a bn ormen Leitfäh igkeit p arallel geh t
ionen die Rolle v o n Kon densatio n ek em en zu zu schreiben Triﬂt
das z u so macht die Bildu n g v o n Wassertr öpfchen u m die
Gasio nen als Kern e di e Gasion en der u nmittelbaren Beo bach
tu n g u n d der Abzählu n g zu gän glich
Au f der Beobachtu ng derartiger Wolken v o n Wasser
tr o p fch en fu ßen die Be stimmu n gen der La du n g ein e s Gasio ns
“
“
die v o n J S Townsend J J Thomson ) u n d H A Wilson )
Die Masse des einzelnen Tr öpfchens
au s gefüh rt w orden sin d
s
.
1
.
.
,
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,
,
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r
a
r
,
.
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’
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,
.
,
.
.
.
.
.
.
.
1 ) P Lan gev in
.
bis 384,
—
43 3 5 30
.
A
nnales
.
1 903
2) J S T ow nsen d
.
.
.
3) J J Th om son
.
.
6 , s 846 , 1 903
.
4) H A
.
.
.
Ch imi
de
et
e
Ph
ysiq
.
.
S 28 9
.
.
Ph il
.
Ph il
.
Mag
Mag
.
.
45 , S 1 25
.
46,
1 8 98
.
1 898 ;
.
Wils on
28
ue
Ph il
.
Mag
.
5 , S 42 9, 1 903
.
.
.
4 8,
s 5 47 , 1 899 ;
.
er Ab
sch ni tt
E rst
4
.
e
en E l kt o
Das Feld 11 di e B w egun g der ein z eln
.
e
r nen
.
kann au s der Fallgesch w inü gk eit der Wolke berechn et w erden
Nach G G Stokes ist die Geschwindi gkeit mit der eine kleine
Ku gel vom Radiu s a u nter dem Einﬂu ß der Sch w erkraft fällt
du rch die Form el gegeben
.
.
.
,
,
v
= —g
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y
l
u
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i
n
g
der
Schwere
s
d
e
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u
R
e
b
u
n
s
n
9
g
g
k o efﬁz ienten des Gas e s vorstellt Au s di eser Gleichu n g ist der
Radiu s un d s omit die Masse m der Tr öpfchen z u be stimmen
Die Geschwindigkeit ein es jeden Tröpfchens ist proportional
der auf dasselbe wirken den Kraft ; wirkt nu r die Schw ere so
beträgt die Kraft m9 Wird aber ein elektrisches Feld erregt
die das
so ist der Schwerkra ft mg die Kra ft 0 6 hinz u z u fügen
Feld au f das geladene Tröpfchen au sübt Diese Kraft wirkt
wenn vertikal nach u nten gerichtet ist im Sinn e der Schwer
k raft oder im entgegen ge setz ten je nachdem e s sich u m die
positiven oder u m die n egativen Tröpfchen handelt Die Fall
geschwindigkeit wird dadu rch verändert im Verhältni s
wo
di e
,
.
.
,
.
,
,
,
.
,
.
D rch Beob achtu n g der F allgeschwin digkeit z erst u n ter dem
E inﬂu ß der Schw erkraft allein dann u nter Mitwirku n g eines
vertikalen elektrischen Feldes kann somit die Ladu ng e des
Au f die sem Wege fand
e in zeln en Tröp fchens ermittelt werden
“
N
H A Wils on für c als mittleren Wert
elektro
Einheiten Dieses Ergebni s ist in gu ter Überein
s ta tis che
s timmu n g mit den letzten Re sult aten J J Thom sons
Enthält nun ein Tröpfchen nu r ein einziges Io n so ist
du rch diese Zahl die Ladu ng eines Gasions gegeben A priori
wäre es alle dings denkb ar daß einz elne Tröpfchen mehr ere
I onen enthielten doch ist dieses an ge sichts der gleichen Be
E s be
sch aﬂenh e it aller T öpfchen höchst u n wahrscheinlich
trägt hierna ch die L a d u n g e i n e s Ga s i o n s ru n d
u
u
,
,
.
‘
.
.
.
.
.
.
,
.
r
,
,
'
r
.
2
( )
e
elektro statische Einheiten
.
3
6
E rster
Ab
sch nitt
.
e
Das F ld
11
.
e
die B w egu ng der
ein z eln en
E lek tro nen
.
eigentümlich e grüne Flu oreszenz Die experimentelle Un te r
su chu n g dies er Ers cheinu n g di e zu ers t v o n J Plück er W Hi tto rf
u nd E
Goldstein u ntern ommen w u rde h at z u der Erkenn tni s
geführt daß man e s hier mit einer Art v on Strahl en z u tu n
h at die v o n der K athode au sgehen ; sie wu rden demgem aß v o n
“
dem letztgenann ten Forscher als
K a t h o d e n s tr a h l e n be
zeichnet Über di e Natur di eser Strahlen wu rden zwei ver
s chieden e Hypothe s en au fge s tellt
die man als „ E m i s s i o n s
“
“
h yp o the s e u nd U n du l a t i o n s h y p o th e s e u nterscheiden
kann Die Emissionshypothese die hau ptsächlich in Englan d
du rch W C rookes un d A Schu ster entwickelt w u rde be
trachtete die Ka thodens trahlen als negativ geladen e Gasm o le
k üle die v o n der Kathode abge stoßen u nd in die Röhr e hin ein
geschleu dert w erden Man che Tatsachen insbesondere die
m agnetische Ablenkb arkeit der Strahlen fügten sich
gezwu n gen diese Erkläru n g In Deu tschlan d verhielt man
sich die ser Erkläru n g gegen über denn och ablehn end
hie
t
m
a
n
l
;
die Kathodenstrahlen für eine viel feinere dem Lichte ähn liche
Erscheinu n g Diesen Standpu nkt vertrat au ch Hein rich Hertz
der zu erst fand daß die Kathodenstrahlen du rch dünne Metall
blättchen hindu rchdrin gen Er sah die magnetische Ablenku n g
der Kathodens t ahlen als einen der magn etischen Drehu n g der
Polari satio ns eben e de s Lichtes analogen Vorgan g an u nd h atte
welche
w ohl u r sprünglich ein e Un d u lationstheorie im Sinn e
di e K athodens trahlen als longitu dinale elektrom a gn etische
Wellen deu tete ; zeigten doch die theoretischen Untersu chu n gen
Helmholtz daß die Fem w irku n gsth e o rie der Elektro
v on
dynamik solche longitu dinalen Wellen zu ließ Nachdem aber
du rch Hertz selbst die Maxwells chen Vorstellungen z u m Siege
e
hrt
w
re
b
eb
li
f
ü
r lon gitu dinale Wellen kein Pla tz mehr
f
ü
a
n
g
So h at denn die Undulationstheorie der Kathodens trahlen n ie
mals eine greif bare Gestalt an genommen
Jene En tdeck ung v o n Heinrich Hertz w ur de der Au s
die
r
che
E
twicke
l
g
we
che
die
Theorie
a
n
s
l
n
u
n
u
n
k
f
ü
r
as
t
g gp
der Kathodenstrahlen in n eu erer Zeit erfahren h at Au f ihr
fu ß ten di e Arbeiten v on Ph L enard welcher die Fortpﬂan zu n g
.
,
,
.
.
.
,
.
,
„
.
,
.
,
.
,
.
,
r
.
,
,
.
.
r
.
.
.
.
,
E rste s
Kapitel
Die
.
ph ys
.
u
e
m ath Gru ndlagen d E lektronenth e o ri
.
.
.
.
7
der Ka thodens trahlen au ßerhalb der E ntladu ngsro h re verfolgte
u nd höch st bemerken swerte Be z iehu n gen der Ab s orption der
Strahlen z u r Dichte der du rchstrahlten Su bstanz feststellte Die
Untersu chu ngen Len ards w iederu m gaben den Ans toß z u r E nt
decku ng W C Rön tgens daß die Glasw and beim Au ftreﬂen der
Kathodenstrahlen eine n eu e v o n ihm als X S t ra h l e n be
zeich nete Strahlenart au ssendet
D u rch die Röntgensch e En tdeckun g wu rde eine Reihe v on
Phy sikern z u r qu antitativen Unte rsu chu n g der Kathodens trahlen
an gere t
n
I
be
o
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i
d
beite
E
Wiechert
n
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W Kaufmann W Kau fmann u n d E Aschk inass sowie die
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Thom
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n
u
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Le
n
a
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bemerke
wert
v
n
s
j g
)
Diese bestätigten die Emissionshypothese ins ofern als sie
überein stimmen d ergaben daß die Erschein u n gen sich wider
sp ru ch sfr ei erklären las sen
wenn man n egativ geladen e träge
Teilchen in dem Kath o denstrahle bewegt annimmt Sie recht
fertigten an ders eits die v o n den Gegnern der Emission s theorie
geltend gemachten Bedenken insofern als sie für den Q otienten
au s L a d u ng u n d träger Masse der Tei lchen Z ahlw erte ergaben
die den Qu otienten 6 mH au s Ladu n g u n d Masse ein es elektro
lytis chen W as sersto ﬂi on s u m das Zw e itau sen dfach e übertr eﬂen
Au ch ergab sich daß die Eigens chaften der Ka thodenstrahlen
v on
der chemischen Natu r des Gases u nd dem Elektroden
mate rial u n abhän gig sind u nd nu r v on der Po tentialdiﬂemnz
abhän gen
du rch die sie au f ihre Geschwindigkeit gebracht
In An betracht dieser Tatsache wäre di e Ann ahme daß
sin d
die Träger der Strahlen Atome der w ägbaren Materie sind
etw a W assersto ﬂato me geladen mit 2000 n egativen Elementar
qu anten höchst u nw ahrscheinlich V om atomistischen Stand
.
'
.
,
.
-
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
.
u
,
,
'
'
.
,
'
.
,
'
,
.
1) E
berg i Pr
.
1 8 98,
Wiech e
.
8)
.
Jan 1 89 7 , S 1
11 s 26 0
.
.
.
9)
Sitz u ngsber
rt
.
.
.
4) J J T h o mso n
.
.
.
phys
Nachrich ten de
r
.
Lenard
.
Ann d Ph
.
.
11
.
5 ) Ph
d
Ge s z u Königs
Göttinger Ges der W isse nsch
-
.
ök ono m
.
.
.
.
.
W Kau fmann
W Kau fmann
.
.
.
.
E
.
.
s
.
Mag
Ann d Ph
.
.
ys
.
6 1 , s 644
.
.
Asch k inass
Ph il
.
y
.
.
1 8 97
Ann d Ph
.
.
44, S 293
.
.
ys
1 8 97
.
.
6 2, S 5 88 1 897
.
.
6 4, S 27 9 ; 6 5 , S 5 04
.
.
.
.
1 898
.
.
e Ab
E rst
8
e
Das Feld 11 die Bew gu ng de r einz elnen E lek tro nen
sch ni tt
r
.
.
.
pu nk te au s ist es eher plausibel daß die Ladung j edes Strahl
teilchens ein elek trisches E lementar u antu m daß aber di e träge
Masse nu r ein Zw eitau sendstel der Masse des W a ssersto ifio ns ist
Die weitere Entwickelu ng h at diese letztere insbesondere v on
E Wiechert u nd J J Thoms on au sgesprochen e Vermu tung
mehr u nd mehr bestätigt : E s s i n d di e v o n w ä gb a r e r
M a te r i e f re i e n At o m e d e r n e g a ti v e n E l ek tri z i t ä t di e
s i ch i m Ka t h o de n s t r a h l e b e w e ge n
Wir wollen mit J Stoney diese Atome n egativer E lektri
“
E l ektr o n e n bezeichn en Wir schreib en ihn en die
z ität als
L adu n g
e) u nd di e träge Ma sse m z u u n d leiten
allein au f
Gr un d di e ser Eigenschaften di e an Kathodenstrahlen fest
gestellten Gesetze ab Die Erörteru n g der Fra ge wieso die
Elektronen w enn sie u nbelastet mit w ägbarer Materie sich
bew egen üb erhau p t Trägheit besitzen weisen wir ein em
sp äteren Abs chn itte z u
Da die Bewegu ng des Elektrons im leeren Ra u m s statt
ﬁndet so brau chen wir zw is chen magn eti scher In du kti on 8
Au f das
n icht z u un terscheiden
u n d ma gn eti scher Feldstärke
bewegte Elektron v on der Ladu ng
wirkt somi t im
elektrom agnetischen Felde nach Bd I Gleichu ng 246 a S 41 2
die Kraft
q
,
,
.
.
.
.
,
.
.
.
,
,
.
,
.
,
.
,
.
a
3
( )
3
,
,
.
,
31
a)
3
(
E inh eit der Ladu n g berechn ete elektr omagnetisch e
Kraft darstellt
Die Bewegu ngsgleichu ng des Elektrons lau tet daher
di e
au f
die
.
dh
dt
Wir
führen
z ur
Abkürzu n g für den
Q u otienten
8
cm
aus
dem elektromagnetisch geme ssenen Betrage der Ladung
Kapitel
E rste s
Die
.
ph y s
.
u
.
math Gru ndlagen d E lek tr o nenth eo rie
.
.
.
9
der Masse (m) des Elektr ons die Bezeichnun g „ s p s z i
“
f i s ch e L a d u n g ein ; e s wird die Bewegu n gsgleichu ng
un d
— 0 728 = — 0 9 5
4
b
( )
zweite Glied der rechten Seite der Bewegun gsgleichu ng
die vom ma gnetischen Felde herrühr ende Kraft bz w Be
s chle u ni gu ng steht stets senkr echt au f dem Ges ch w indi k eits
g
vektor h ; das Vorhan densein eines äu ßeren m agnetischen Feldes
bedin gt also ni emals ein e Arbeitsleiu n g
Ist insbes ondere das äu ßere elek tri sche Feld ein elektro
stati sche s u n d (p sein Poten tial
so ist
Das
,
.
.
.
,
m
3?
V ?
6
.
Die skalare Mu ltiplikation mit
11
11
ergibt
3ig ds
i
äs äz
dh
1
-
dt
u nd
die Integration
1
5
8
( )
‘
5
'
na
ch der Zeit
m n
‘
s
für das
Intervall
°
v on
to bis t
1
Hi er steht links der Zu w achs der leben digen Kraft des
Elektrons rechts die Arbeit die das elektrostatis che Feld in
dem betreﬂenden Zeitintervalle an dem Elektron geleistet h at ;
letztere ist proportional dem An stiege de s elektro statischen
Potentiale s
Bewegt sich etw a das Elektron v on der au f dem Potential
gehalten en Kathode bis z u einem Pu nk te dessen Potential be
kau n t ist so bestimmt (5 a) die Geschw in digk eit [6 w enn di e
Ge schw indigkeit | h „l gegeben ist mit der das Elektron die
Kathode v erläßt Diese Anfan gsgeschwindigkeit ist freilich
u nbekann t
Man ni mmt inde ssen mit gu tem Gru nde an daß
di e se Anf an gsge schwin digkeit klein ist gegen die Gesch w indig
k eiten die es beim D u rchlauf en de s starken in der E ntla du n gs
röhre herrschen den elektrischen Feldes erhält Man setzt daher
0 un d ﬁndet
h
,
'
.
,
,
,
.
,
.
,
.
o
E
r
r
s
t
e
10
Ab
sch ni tt
.
Das Feld 11 die Bew egu ng der einz elnen E lektro nen
.
.
Wir wollen nu n den Fall behandeln w o das Elektron mit
der so erhaltenen Geschwindigkeit (6) in einen Ra u m eintritt
in w elchem ein k o nstante s elektro statische s Poten ti al herrs cht
Ist kein ma gne ti sche s Feld vorhan den so wird es sich gerad
linig mit konstan ter Geschwindigkeit weite r bewegen
Treten
indessen ma gnetische Kräfte hin zu so w ird die Bahn sich
krümmen Wir w ollen ann ehmen daß das m agn etische Feld
homogen ist u nd daß das Elektron in dieses Feld mit ein er
z u
den Kraftlin i en senkrechten Ges chwin di gkeit hineinﬂiegt
Der Be schl eu nigun gsvektor ist dann nach (4 b)
,
.
.
,
.
,
.
Z
3
[W ]
.
Elektron bew egt sich wie die Zerlegun g des Be
schl e u ni gu ngsv ek to rs
in eine z u b p ar allele u nd ein e z u b
senk rechte Kompo nen te ( I GL S S 9) ergibt
in ein er z u
s enkr echten Eben e mit ko nstan te r Ge schwin digkeit
E s be
s ch reibt ein e Krei sbahn
deren Radiu s B du rch die Gleichu n g
bestimmt ist
Das
,
,
,
.
,
.
,
Die
R
Bah nk r u mmu n g
1
7
( )
R
demnach u m so großer j e stärker das magnetische Feld
u n d je klein er die Ge schwin digkeit des Elektro ns ist
Ist das homogene magn etis che Feld nicht senkrecht z u der
u rsprün glichen Bewegu n g des E lektrons g erichtet
so zerlegen
wir zweckmäßigerweise den Geschwin digkeitsvektor h in zwei
Vektoren h u n d h , v on denen der erste z u
p arallel der
zw eite z u
s enk recht ist
Der erste liefert keinen Beitra g
z u
dem Vektorproduk te au s b u nd
Projizieren wir die
Bewegu ng einerseits au f eine z u p arallele Gerade anderseits
au f ein e z u
senk rechte Eben e
so zerfällt
i
n die beiden
6
a
( )
Gleichu ngen
ist
,
.
,
,
,
.
,
a
7
( )
e K pit l
E rst
s
e
a
Die
.
ph ys
.
u
.
m ath Gru ndlagen d E lektronenth eorie
.
.
.
11
Die z u parallele Komponen te der Ges chwindigkeit bleibt
s enk r echte Eben e projiziert
kons tant Au f eine z u
stellt
mit dem reziproken
sich die Bew egu ng als Krei sb ahn dar
Radiu s
.
‘
,
Q!
I
1
R
e i n e m h o m o ge n e n m a g n e ti s ch e n F e l d e b e s chre ib t
da s E l ek tr o n d em n a c h ei n e S chr a u b e n l i n i e
In d em
w o d i e B e w e g u n g a n f a n g s s e n kr e cht
s p e z i e l l e n F a ll e
de n m a g n e ti s ch e n Kr a f t l i n i e n e r f o l gte a rte t di e
z u
B a h n i n e i n e Kre i s b a h n a u s
Wir betrachten wieder den letz tgenannten Spezialfall u nd
dr ücken die Ges chwindigkeit | h | au f Grun d v on (6 ) du rch die
du rchlaufen e Sp annu gsdiﬂerenz ((p (p, ) au s Al sdann ergibt
Gleichu ng
In
.
,
,
.
'
.
8
( )
D i e K r üm m u n g de s Ka th o de n s t r a h l e s im s e n kr echte n
M a g n e t f e l ds i s t d er Wu rz e l a u s de d u ch la u f e n e n
S p a n n u n g s di f f ere n z u m gek eh t p r op o rti o n a l Die Ver
Kau fm ann ) haben dieses Gesetz ergeben u nd
su che v o n W
so das Zu tre ﬂen der z u gru n de gele gten Bew e gu n gsgleich u n
g
bestäti gt
Dies e Messu n gen konnten gleichzeitig dazu dien en die
speziﬁsche L adu ng der Kath o dens trahl trä er z u ermitteln
So
g
8
erhielten W Kau fmann u nd S Simon ) den Wert
r
r
r
.
1
.
'
.
.
.
.
9
( )
103
die ep ez iﬂsch e Ladun g des n egativen Elektron s
Eine jede der Gleichu n gen (6) oder ( 7) kann verwandt
w erden
um
die den
di e G es chwindigkeit z u berechn en
Elektron en in der E ntladu ngsröhr e ertt wird Dieselbe liegt
bei den üblichen Sp annu n gsdiﬂ eren z en v o n An ode und Ka thode
f ür
.
,
.
'
1)
2)
W Kau fmann
W Kau fmann
.
.
.
.
.
Ann d
.
8 ) S Sim o n
ys
Ph ys
Ann d Ph
.
.
Ann d Ph
.
.
.
ys
.
.
.
6 1 , S 5 44
.
6 5 , S 48 1
.
6 9, S 5 8 9
.
.
.
1 8 97
.
.
1 898
.
1 899
.
r
E
rs
e
t
12
Ab
Das Feld 11 die Bew egun g der einz e lnen E lektronen
sch nitt
.
.
.
zwi schen
u nd
der Lichtgeschwindigkeit Werte v on der
dur ch direkte
selben Gr ößen ordn u n g sin d v o n E Wiechert
Messu ng der Geschw indigkeit gefun den worden
Da nach (9)
.
.
.
10
ist,
folgt
so
17
du rch Vergleichu ng mit (1 )
mg
m
b
9
( )
1 930
Q u o ti e n t d er tr a ge n M a s s e n
u n d E l ektr o n
als
Wa s s e r s to ff a t o m
v on
.
3
Kl as s iﬁk ati on de r Str ah l u n ge n
.
.
Die Maxwellsche Theorie v ersteht unter S tr a h l u n g
einen elektromagnetischen E n er gi e s tr o m ; diesen bestimmt
S
Sie
sie du rch den Po yn tin gsch en Vektor (v gl I 5 7 7
lehrt daß die Lichtwellen elektrom agn etische En ergie mit
ﬁi hren mithin als Strahlu n gsv o rgän ge anz u sprechen sind Die
Lichtwellen wie überhau pt alle elektromagnetischen Wellen
pﬂan zen sich in dem leeren Rau ms mit ein er ganz bestimmten
Geschwin di gkeit
„
,
.
.
,
.
,
,
cm
3
6
86 0
schie de nen Arten ele k tr o
S
Die
ve
(
m agn etischer Wellen welche w ir kenn en sind nu r der Wellen
län ge aber ni cht der Fo rtp ﬂan z u n gsgesch w indigk eit n ach ver
Ordn en wir n ach der Wellenlän ge so haben wir
s chieden
z u erst die u ltravioletten Strahl en dann das eigentli che sichtb are
Licht ; dann folgen die u ltraroten nu r du rch ihre thermische
Wirku n g sich ku ndgebenden Strahl en deren langw elligste die
Ru bensschen Reststm h len sin d Zw ischen den län gsten be
kannten Wärmestr ahl en (l 6
cm) u nd den kürzesten
Wellenlängen der vom elektrischen Fu nken au sgelö sten Sch w in
fort
v
l
g
.
I 5
69,
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Wiech e t
Ann d Ph ys
1) E
S 260
.
.
r
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.
Na ch r
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.
.
der Göttinger Ges
6 9, S 7 8 9
.
.
1 899
.
.
der W issensch
.
1 898,
E
r
rs
t
e
14
Ab
sch nitt
.
Das Feld u die Bew egung der einz elnen E lektronen
.
.
Bestandteil der Strahlun g den Ru therford als ß S tr a h lu n g
bezeichnet h at magnetisch in dem selben Sinn e nu r etwas
wie die Kath odenstrahl en E s lag
ablenk b ar ist
schw ächer
nahe hier n ega tive Elektro nen v o n größer er Ge schw in digkeit
vermu ten In der Tat h aben die Untersu chu ngen v on
zu
W Kau fmann au f die w ir später au sführlicher zu rückkommen
gezeigt daß die Geschwin di gkeiten der in den ß Strahlen an
zu n ehmenden Elektron en ein kontinu ierliches Spektru m dar
der Lichtgeschwin digkeit bis nahe an
s tellen das sich v o n
die Lichtgeschwin digkeit selbst heran erstreckt Noch klaﬂt
eine L ücke zw i schen den raschesten de messend z u v erfol
gen den Kathoden strahlen un d den lan gsam sten ß Strahlen
Wenn diese au sgefüllt sein wird so w ird man eine k o ntinu ier
li che Re ihe v o n n egativen Ko nv ektio nsstrah lu ngen haben die
v o n beliebig kleinen Ges chwindigkeiten bis n ahe an die Licht
geschwindigkeit heranr eicht
V on po sitiver Ko nv sk tionsstrah lu n g haben w ir bisher
ni cht gesprochen
Man h at gefu nden daß die leicht absorbier
b are Strahlu ng radio aktiver Körper die sogenann te a Str a h
lu n g au s po sitiv geladenen Teilchen besteht
Au ch gewi sse
die elektrische Entladu n g in verdünn ten Gas en begleiten de
Erschein u ngen die K a n a l s tr a h l e n E Goldstein s h at man
au f bew egte po sitive Teilchen z rir ückfu h r en z u kö nn en gegla ubt
E s haben sich für den Q u otien ten au s L adun g u n d Masse in
beiden Fällen Z ahlwerte ergeben die v on der Größenordnu ng
Doch
des bei Wassersto ff ion en vorliegen den Wertes w aren
sin d die se po sitiven Ko nv s k ti o ns str ahlu n gen n och n icht ge
u m Schl üss e au f die Natu r der po sitiven
nügen d erfors cht
Elektri zität z u gestatten H at man es hier mi t den freien
po sitiven Elektronen z u tu n u n d ist diesen ein e so viel größere
Trägheit zu zu schreiben als den n egativen ? Oder sind die se
1 ) du rch Anlageru ng
Strahlteilch s n w ie die Gasio nen
wägb arer Materie an die Elektronen en tstanden ? Oder ist
etw a die po sitive Elektrizität überhau pt v on der Materie ni cht
z u trennen ?
Das sind Fragen deren Erledigun g der Z u ku nft
vorbehalten bleiben mu ß
“
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‘
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.
E rste s
Kapitel
.
Die
ph ys
u
.
m ath Gru ndlagen d E lektronenth eorie
.
.
.
15
“
Elektrizität
In die sem
zweiten Ban de der Theorie der
die elektromagnetische Strahlu ng in u mfassender
soll n u n
Weise behandelt werden sowohl die Wellens trahlu n g wie die
Ko nv ektio ns strahlu ng D i e Gr u n d l a ge f ür di e Th e o ri e
d er S tr a h l u n g ge wi n n e n w ir i n d e m w ir di e a to m i s ti
s ch e n Vo r s te l l u n ge n üb e r di e K o n s ti t u ti o n d er E l ek
t r i z i t ät m i t de n F a r a d a y M a x w e ll s ch e n I d e e n ü b e r
da s e l ektr o m a g n eti s che F e l d ve re i n i ge n
Die Ver
ein igu ng dieser beiden V o rstellu ngskreiss ist e s die z u r
modern en Elektronentheorie führt Man triﬂt bei man chen
Au toren die Au ffassu n g an daß die atomi stischen Ideen in
ein em gew issen Gegensatze z ur Maxw ells chen Theorie stün den
u nd daß di e Elektr on en theorie eigen tlich z u
den alten Vor
stellu n gen
der Fem w irk ungsh yp o th ese zu rückkehr e Di es e
Au ffassu ng ist in dessen du rchau s u nz u treﬂen d All erdin gs ist
die Hyp othese ein er atomistischen Stru ktu r der Elektriz ität
w ohl zu erst
insbesondere du rch Wilhelm Weber in einer
Weise ein gefüh r t w e rden welche den Vors tellu n gen der Fern
Dieser Forscher s tellte ein E le
w irk u n gs th e o rie en tsprach
mentargsse tz für di e Wechs lw irk u n g zw eier elektri s cher Ato m e
die Spitze u nd su chte au f di eses die gesamte Elek tro
an
dynamik z u b egründen Daß diese Bemühungen Webers u nd
an derer Phy siker s cheiterten lag gerade an der Verkoppelu n g
der atomistischen Vorstellu ng mit der Fem w irk ungsh yp oth ese
w elche die der Atomi stik inn e w ohn ende E ntw ick e lu ngsiäh igk eit
erstickte Erst die Abwen du ng v o n der Fern wirku n gstheorie
u n d die Verschm elzu n g mit der F arada y Maxwellschen Lehre
konnte di e atomistischen Keime z u r Blüte b in gen u n d für
die Elektrizitätslehre fru chtb are Ergebnisse zeitigen
Die Maxw ellsche Theorie weit entfern t die Frage nach
der Stru ktu r der Elek tri zität als u nbere ch ﬁgt zu rückz u weisen
erm öglicht vielmehr erst eine allseitige Untersu chu ng der für
diese Frage bedeu tu n gsvollen Erscheinungen Indem sie das
Licht als elektromagnetischen Vorgan g betrachtet lehrt sie
au s der Strahlu n g ein er Lichtqu elle Schlüss e au f di e Eigen
schaften der elektri schen Teilchen z u ziehen die in den licht
,
.
,
-
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s
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r
E
e
6
1
Ab
sch nitt
Das Feld u di e Bew egu ng der einz elnen E lektro n en
.
.
.
e den den Molekül en schw ingen So h at das Z s e m a n s c h e
Ph än o m e n im Jahre 1 896 gezeigt daß ein e große Z ahl v o n
Spektrallinien in der Bewegu ng der n egativen Elektron en ihren
Urspru n g h a t Ein e ma gneti sche Zerlegun g der Spektrallin ien
die au f die Schw ingu ngen po sitiver Elektronen in der Licht
qu elle zu rückz u führ en w äre h at sich ni cht feststellen lassen ;
infolge der größeren die sen Teilchen anh aftends n trägen M as se
w ürde ein e s olche Zerlegu ng au ch theoreti sch u n te rhalb de
Gr enze der Beobachtbarkeit liegen Hier tritt die enge v on
der elektromagnetischen Lichttheorie behau ptete Beziehu n g
z w ischen dem Ko nv ektio nsstrom e un d der Lichtstrahlu ng deu t
lich hervor In der Sprache der E lektron entheorie läßt sich
diese Beziehu n g so formu lieren : D i e Ko n v e k t i o n s s tr a h
di e We ll e n
l u n g i s t e i n S tr o m f re i e r E l e ktr o n e n
ni mmt
i hr e n Au s g a n g v o n Ge s c h w i n di g
s tr a h l u n g
k e i t s än de r u n g e n d er E l ektr o n e n
Wo die Kathodenstrahl en au f die Roh renw an d treffen
W ir w erden
n ehmen di e R ö n tge n s tr a h l e n ihren Urspru ng
mit G G Stokes u nd E Wiechert in diesen magnetisch ni cht
Strahlen die elektromagneti schen Wellen sehen
ablenkbaren
w elche v o n den gehemmte n Elektr o n en au sgehen
D abei schein t
m periodi sche Wellenz üge son dern u m E in zel
es s ich nicht
impu lse z han deln deren h p u lsbre ite w eit kleiner ist als di e
W ellenl an ge der k u rz w e lligsten ultravioletten Strahlen Au s
den Beu gu ngsv e rsu ch en v o n Haga u n d Win d h at sich ergeben
cm beträgt falls e s sich überh au pt
daß die Imp u lsbreite
W ellenimp ulse handelt Doch ist es da die Röntgen
s chwierig
strahlen sich weder b echen n och spiegeln las sen
ihr e Wellenn atu r experimentell fe stz u stellen
Die dritte nicht ablenkb are Klasse der Radiu mstrahl en
die sogen ann ten y S tr a h l e n weist Eigenschaften au f welche
den en besonde s dm ch dringender Röntgm strah len gleichen
E s liegt n ahe sie als die W ellenimp u lse anzu sprechen w elche
beim Fo rtschleu dem der Elektron en dur ch die radio aktiven
Atome erregt werden
au ss n
.
,
.
,
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r
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.
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.
E rstes
Kapitel
5
.
4
Di e
ph y
s
.
u
math Gru n dlagen
.
d E lektronenth e orie
.
.
.
Di e Gr u n dgle i ch u n ge n de r E lek tr o n e n th eo ri e
.
17
.
Grun dgleichu ngen der Elektr on entheorie z u
gelan gen gehen w ir v o n den H au p tgleich u ngen der Maxwell
Die
e
rs te H au p t le ic
s chen Theorie au s I 5 5 9 S 235
(
g
t
lau tet (I G1 1 7 7 )
Um
den
z u
_
,
,
.
.
,
obei die Dich te des Gesamtstromes ist
Die Elektron entheorie kenn t nu r zw ei Bestandte ile des
Gesamtstr omes den V ersch iebu ngsstro m im Ath er u nd den
Konvektionsstrom be w egter Elektronen ; die Dich te des Ver
schi ebu n sstro mes im A
t
h
i
l
g
ei
h
er
s
t
c
g
w
.
,
9
4
1
4 16
die Dichte de s elektrostatisch gemessenen
ist gegeben du rch
(
1
°
(
0
v
Konv ek tio ns str o mes
1
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I
l
6
9
G
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iche
Dicht
die
Ge
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digkeit
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k
o
n
1
1
9
v ek tiv bew e ten Elektrizität bezeichn et
Wir
w
o
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der
ll
e
i
n
g
h oheren Sch reibw eis e w egen es vorziehen den Ko nv ek tio ns
Alsdann wird
strom elektr om agn etis ch z u messen
wo
,
.
,
.
1
0
( )
6
u n d es
die erste
ist
Gr u n dgleichu ng
z u
86
1
der zw eiten H au p tgleich u ng (I G1 1 78 S 238) streichen
die ein geprägte elektr ische Kraft Im leeren Rau m s w o
ist nimmt die zweite H au p tgleich u ng die Form an
In
w ir
8
chreiben
s
,
.
,
.
.
,
Diese beiden Gru ndgleichu ngen
Innern der Elektr onen als gültig an
‚
.
Ab
r ah am,
Th
e o ri e
k
der E l e triz i tät
.
II
.
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ehmen
w ir
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E
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s
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e
r
8
1
Die
Ab
Das Feld u die Bew egung der einz elnen E lektro nen
schni tt
.
.
.
mein e Beziehu ng zwisch en der Dichte der Elek
triz ität u nd der Divergen z der elektr ischen Verschiebu n g (v gl I
G1 1 3 7 S 1 45 ) behält die Elektron entheorie bei ; da sie all
1
gemem
setz t s o w u d
6
43
4
95
III
div
6
( )
Au ch die allgemeine Be di ngun g der Qu ellenfre ih eit des
Vek tors 8 (I G] 1 7 8 a S 239) wird au s der Maxw ellschen
Theorie h erübergeno mmen ; da 8 mit identiﬁz iert w ird so wird
0
div
V
I
6
( )
Für den v o n Materie u nd v o n Elektron en leeren Ra m
wo un d verschw in den stimmen diese Grun dgleichu n gen
mit den Hertz H eav isidesch en Feldgleichu ngen ü berein ; sie
f ühren w ie jene z u dem Ergebni s se daß hier eben e elektro
magn etis che Wellen nach allen Richtun gen mit der gleichen
Geschwin digkeit 0 forteilen Au f dasjenige Bezu gssyste m in
dem diese Is o tr opie der W ellenfo rtp ﬂm z u n g wirklich statth at
s ind die Bew egun gen der E lektro n en z u beziehen
E s w ird
gestatte t s ein die so bestimmt gedachten Bew egun gen der Elek
“
tr o nen u n d der w ägb aren Körper als a b s o l u te B e w e g u n ge n
v gl I
a f j e n es Bez u gssy ste m
S
Die
z u beze ichn en
(
bezogen e abs olu te Ges chw indi gkeit 11 de Elek tron en ist e s
w elche in de n Au sdru ck ( 1 0) für die Dichte de s Ko n v ek tio n s
Neb en dem ki nemati schen Vektor 11 enthält
strome s ein geht
das Sy stem der Feldgleichun gen (I ) bis (IV) nu r zwei Vektoren
den elektri schen Vektor
u n d den m a gn eti schen Vektor
Es
ist an zu sehen als die einfachste E rweiterun g de s für den Ather
geltenden Systemes v o n Feldgleich u ngsn w elche die ein
gelagerten Elektro n en u n d ihre Bew egun g berücksichtigt
Z di es en Fe ldgleichu ngen tritt en dlich ein e Au ssage u be
die an den V o u m ele m enten der E lektro n en an greifen de Kr aft
l
S 41 2
E s wird in Ü berein s timmu n g m it Bd I Gl 246 8
für die au f die Einh eit der L adu n g w irken de Kraft de An s atz
gemacht
=
8 6 +%
W)
ßﬂ
allge
.
,
.
,
.
,
,
,
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.
,
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u
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o
,
E rstes
Kapitel
Die
.
ph ys
.
u
m ath Gru ndlagen d E lek tronenth eorie
.
.
.
.
19
Wir konn en diesen An satz u m so eher akzeptieren als
w 1 r j a im 5 2 die ses Ban des u ns davon überzeu gt ha ben daß
er die Kraft die in eine m gegeben en äu ßeren Felde au f die
Kath o dens tr ahlteilch en wirkt in befriedigender Weiss darstt
Der Vektor
die e l ek tro m a g n eti s ch e K r a f t p r o E i n
“
h ei t d er L a d u n g ist du rch die Gru ndgleichu n g (V) au f
die drei in den Feldgleich u ngen au ftretenden Vektoren zu rück
geführt
Wir w ollen uns davon überzeu gen daß der zu grun de
gelegte An satz für die elektromagnetische Kraft mit dem
E nergiep rin z ip e übereins timmt
Wir denk en u ns z u di es em
Zw ecke ein en Bereich 0 der v on der ru hen den Fläche be
gren zt ist Au f die im V o lu melem ente dv enthaltene Elek
triz ität übt das elektroma gnetische Feld die Kraft 5 9 de a us
Diese leistet p ro Sek unde die Arbeit
,
,
,
,
„
,
.
,
.
,
.
.
d
v
h
®
(o , )
.
Der vom magnetischen Felde h erruh ren de Anteil der Kraft
der stets senkrecht u Bew egm gsrich tu ng der Elektrizität
tra gt z u r Arbeit nichts bei D u rch Inte gration über
w ei st
den Bereich 0 erhalten wir mithin für die Arbeitsleis tu n g de r
elek tr bma n etisch en Kräfte
g
,
z
r
'
.
,
'
Da
nu n ,
na
v e k tio n sstr o m e s
ch
der Vektor
bestimmt s o folgt
,
.
die Dichte des Ko n
Gru n d
au s der er sten
0
9
gleichu ng
1
dt
«3
E sm er ist,
rechnu ng (I
ch einer
1 02 a S
na
G1
.
,
f [@ Ö ]v
oder
,
mit
Rücksicht
der
.
(
au f
gemein en Re gel
all
“Q c
u
rl
die z w eite
v
cu rl
Gru ndgleichu ng ,
2
Vektor
20
E rster Absch nitt Das Feld 11 die Bew egun g der einz elnen E lek tronen
.
.
G
ou rl
=
@
dv
.
äg
ﬁ
dabei stellt 4 die äu ßere Normale der
E s folgt als o schli eßli ch
:
Begrenz
un
h
e
s
ﬂ
ä
c
g
”
f?
1
1
( )
.
D i e s e s i s t n i cht s a n d ere s a ls di e E n e r gi e gl e 1 c h u n g
Setzen wir in Übereinstimmun g mit der Maxw ellschen Th eorie
.
,
,
1
2
( )
die e l ektr o m a g n e ti s ch e E n er gi e
für
Rau mes
de s
[ ]
es
1
3
( )
e l ek tr o m a g n e ti s ch e n E n e rgi e s t ro m
s chreiben
1
1
( )
für den
w ir
u nd
,
so
konn en
Die Arbeit der e lektromagn etischen Kräfte die in dem
Be eiche 0 wirken vermehrt u m den elektromagn etischen
En e giestr om der du rch die Begren u n gsﬂä0h e hinau sstr ömt
ist der Abn ahm e de elektr om a gn eti s chen E n e gie de s Bereiche s
gleich ; Ar beitsleistu n g der elektromagn etischen Kräfte u nd
Strahlu n g erfolgen beide au f Ko sten der elektr omagnetischen
En ergie W ; dabei sin d für Energiedichte u n d E nergie strom
die au s der Maxwellschen Th eörie bekannten Au sdrücke bei
Gleichu ng ( 1 1 ) spricht das En ergieprinzip für das
z u beh alten
elektromagn etische Feld bewegter Elektronen au s Wie u n ser
Beweis zeigt folgt dasselbe au s den Gru ndgleichu n gen (I)
bis (V) ; es ste llt kein eswegs eine n eu e v o n den Gr un dglei
chu ngen u nabhän gige Au ssage dar
In den allgemein en Gru n dgleichu n gen (I) bis (V) der
Elektr onentheorie ist die Idee der atomistischen Kon stitu tion
der Elektrizität n och nicht z u r Formu lieru n g gelan gt ; di ese
Gru ndgleich u n gen würden es noch zu lassen daß die Elektriz ität
,
'
r
r
z
,
,
r
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22
Ab
sch nitt
.
Das Feld
u
die
.
B ew egung der
eihz eln en
°
E lektro nen
.
Probekörper ist
wohl auf die Felder anzu wenden v on denen
der erste Ban d dies es Werk es han delte aber ni cht au f die
Felder der E lektr on en selbst Der kleinste denk bare Pr0 be
körper ist nämlich wenn an ders die atomistische Vorstellun g
zu tr t das E lektr on selbst Das Feld n un welches das ein
selt na türlich nach Ric
z eln e Elekt ron u m ibt
wech
h
u
t
n
u
n
d
g
g
Stärke beträchtlich in Be reichen v o n der Gr ößenordnun g des
Elektrons Zu sein er Au smessu n g würde ein Probekörp er no t
w en di g sein
dessen Dimens ionen klein gegen diejenigen des
Elektrons sin d E s is t also au s prinzipiellen Grün den v o n
experimentellen
S chwie igkeiten ganz abgesehen das F eld
au f das u ns ere Gru n dgleichu n gen sich beziehen
de direkten
Messu n g un zu gänglich Die Bestätigun g der Grun dgleichu ngen
mu ß in dem Zu tr eﬂen ziemlich entfem ter Folgerun gen gesu cht
werden
Z unächs t ist die Übertragun g der Grun dgleichu ngen
v o n den der Beobachtu n g zu gän glichen Feldern au f die Fe lder
der E lek triz itätsato me ein e du rchaus hypothetische
Ein e jede atomistische Theorie mu ß indessen in ent
sprechen der Wei se verfahr en
So kann die kinetische Gas
theorie nicht u mhin die Bewegun g u n d den Stoß der Gas
molekül e n ach Gesetzen z u behandeln w elche der Mechan ik
de
greif baren Körper entn ommen sin d E s kann ni e mals
dir ekt experimentell n achgewiesen w erden daß die Bew egun gen
der Molek ül e w irklich di esen Gesetzen gehorchen Die Be
kann erst nach
r ech tigun g der gem achten Vorau ss etz u n gen
trägli ch dadu rch geführt werden daß man ih re Konsequ enzen
verfolgt u n d als zu tr effend nachweist Dabei li egt die Sache
w ie in der
s ogar in der Elektron entheorie in s o fern gün stiger
Molek u larth eo rie der Materi e als die Eigenschaften der freien
Elektronen selbst in den Kathodens trahl en u nd verwandten
Strahlun gen dem Experimente zu gänglich werden währ en d die
regellosen Bewegun gen der u nelektr isch en Atome u nd Molekül e
der direkten Beo bachtun g u nzu gänglich u nd nu r in ihr en über
meßbare Bereiche erstr eckten Mittelwerten z u den m echanischen
un d thermis chen Eige ns ch aften der Materie in Beziehu ng z u
setz en sin d
.
,
.
.
,
.
,
r
,
r
.
'
.
.
.
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.
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,
,
,
.
E rstes
Kapitel
ph y s
Di e
.
.
u
.
m ath Grun dlagen d E lek tro nenth eorie
.
.
23
.
Elektronentheorie bea ns pru cht die elektris chen magne
tischen u nd c p üsch en Eigens chaften der Ma te rie in ihr er Ge
Sie geht dabei v o n ge w issen Vorau s
samth e it darzu stellen
s etzu ngen über die Eigen schaften der E lektro n en in leitenden
dielektrischen u nd magnetisierbaren Körp em au s u nd gelangt
du rch Mittelw ertsbildu ng über Bereiche die eine sehr große
Z ahl v o n Elektronen enthalten z u den H au p tgleich u n gen der
Maxwellschen Theorie für ru hende Körper ; dabei werden die
Beziehu ngen der elek trischen Verschiebu n g u n d der Leitum gs
elektrischen Feldstärke sow ie die Beziehu n g
stromdichte z u
der magnetischen Feldstärke z u r magnetischen Indu ktion eu
sch au li ch er gedeu tet u n d in m an cher Hin s icht der Erfahru n g
besser an gepa ßt als in der rein p h än o msnolo gisch en Maxwell
Hertzschen D arstellu ngsw eise
Der erste der die Gru ndgedanken der Elektr onentheorie
klar formuliert u nd in u mfassen der u nd folgerichtiger Weis e
insbe so ndere au f optische Fragen an ge w an dt h at ist H A
Loren tz ge w esen Er h at die elektromagnetische Theorie der
Optik bewegte r Körper v o n
Farben z erstr e u n g
u n d die
die sem Stan dp u nkte au s entwickelt Au ch die En tdeckun g
Zeem ans ist au f seine Anr egun g zu rück zu führen Wenn über
hau pt die Elektronentheorie an deren Erfolgen s o viele
experim entelle u nd theoretische Physiker An teil haben mit
dem Namen ein es einzelnen Forschers in Verbindu n g gebra cht
w erden soll
so k ann wohl n u r der N am e v o n H A Loren tz
in Frage kommen
D ie
,
,
o
»
.
,
r
.
,
.
.
.
u
.
.
,
.
,
.
.
5
5
Die
.
e le k tro m agn e ti sch e
Be w e gu n gs gr öß e
.
Wie wir bereits im erste n Bande dieses Werkes 89)
erw äh nten besteht hins ichtlich der B eziehu n g z u m dr itten
Ax iome der New to m ch en Mechan ik ein gewisser Gege ns atz
,
H A Lo ent Ann d Ph ys 9
1 8 80
La th éorie éls ct om agnéti u e ds Maxw ell et so n
2) H A Lorentz
Leide E J Brill 1 8 92
applicati o n au x co p s m o v ants
H A Lo ent Ve su ch eine Th eorie de elekt isch en u nd opti ch en
1)
.
.
.
.
r
z
.
,
.
q
.
,
r
r
.
.
.
r
z
,
u
r
.
,
r
E rsch einu ngen in bew egten Körp em
.
.
,
r
r
.
.
Leiden , E J Brill , 1 895
.
.
s
.
24
E rster
Ab
Das Feld 11 di e Bew egung der einz elnen E lektroneri
schnitt
.
.
chen der Maxwell Hertz schen Theorie einerseits u nd der
Jau s n immt an daß di e auf
Lo r en tz sch en Theorie anderseits
einen Körper w irkenden elektromagnetischen Kräfte ste ts au s
gewissen über sein e Oberﬂäche v erteilten Dru ck u nd Zu g
kräften resu ltieren wobei zw ar das Ges etz v on Wirku ng u nd
Gegen w irk1m g erfüllt ist aber zu w eilen Kräfte au f die Volu m
e lem en te de s Äthers au ftreten
Der Lo rentz sch en Theorie sind
s olche Kräfte au f die v o n E lektriz ität leeren V o lu m ele mente
de s Rau mes fremd
Sie läßt elektromagnetische Kräfte nu r
au f die E lektriz ität wirken
u meinh eit ber ech
die
die
Vo
a
u
f
l
;
n ete elektr om a netis che Kraft
L
rentz sch en Theori e
V
der
o
g
( )
z
w is
,
.
,
,
,
.
.
(
98
e
g
verschwindet mit der elektrischen Dichte
W ir w ollen nu n mehr die Kons equ enz en verfolgen die
s ich au s dies er Au ffas su n g hins ichtlich der Ste llu n g der E lek
tro n enth eo rie z u m dritten Axiome Newtons ergeben
Wir ziehen ebenso w ie in Bd I S 41 4 die Identitäten
heran
,
.
,
4
1
a
(
)
.
,
3
—
e .. div 6
-
—
div 6
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3
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1
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c
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Anderseits folgt
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II
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I
V
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.
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di e Gru ndgleichu ngen (1)
98
-
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M
(
Mit Rücksicht
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2
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1
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4
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E rstes
Kapitel
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Die
.
.
u
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.
.
.
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1
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3
—
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,
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gesetzt ist
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D u rch Kombination
.
30
1
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1
4
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3x
3x„
1
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‘
67
er
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ex
Gl 1 3)
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9 53
”
6
7
T.»
3
oder
l
36
3 3;
25
der Elastizitätstheorie gebräu chlichen Schreib
4 az X .
1
5
( )
é
3X
3X „
41
wobei in ein er
w eise
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.
.
6x
66 ,
1
“
c
’
_
_
3t
Entsprechende Gleichun gen
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98
er
az
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3 31
36
az
az
,
es
,
1
_
c
'
1
—
’
c
'
37
’
66
3t
'
gelten für die beiden an deren Komponenten der elek tro magn e
ti schen Kraft
Wir überzeu gen un s u nschw er davon daß die drei ersten
Glieder der rechten Seiten die v o n den Maxwellschen Sp an
nun gen auf die Volu meinh eit de s Ba u me s au sge übte Kraft
darstellen In der Tat setzen w ir in den Gleichu ngen (248)
l
8
w
b
z
w
d
e
t
B
de
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che
die
e
ek
u nd
24
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s
l
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s
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9
5
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1
trisch e u nd m agneti sche Fläch enkraft darstellen 8
p
so wird
.
,
.
,
.
,
1
7
( )
z
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‘
+
(
26 6
.
2e
°
e
v
,
26
E rster
Ab
sch nitt
.
Das Feld
11
.
die Bew egu ng der
emz eln en
'
E le k tro n en
.
dabei ste llt 11 ein en E inheitsvektor vor der in Richtun g der
äu ßeren Nor ma len 7 der Fläche weis t über welche die Flächen
kraft
verteilt ist Die p arallel der x Achs e gen ommene
Komponente dieser v o n den Maxw ellschen Spannu ngen auf die
Fläch en einheit ein er beliebig geste llten Fläch e imsgeübten
Kraft ist demn ach
,
1
,
.
a
l
7
( )
2 49
co s
m
:
( )
c
Legt man nu n die Normale 7 des betrachte ten Flächen
elementes der Reih e nach parallel der Achse der y Achs s
so
erhält man für
die du rch ( 1 5 ) ein
u n d der z Achs e
geführten Au s dru cke
X„ X Diese stellen demnach die
p arallel der a: Achse genommenen Kompon enten der Flächen
kraft vor die au f die Flach en einh eit dreier den Koordin aten
ebenen p aralleler Fläch enelem cu te wirkt ; diese dr ei Größen
u n d die du rch zykli s che Vertau schu ng der Koordin ate n en t
Größen sin d mit dem Sp annu ngssystsme identisch
stehen den
welches Maxwell im elektromagnetischen Felde w irkend an
Str essk o mp o nenten
nahm ; dasselbe ist d u rch 6
1
-
-
-
,
.
,
,
X
.,
Y„ Z„
X„
Y„
X
Z„
,
Y,
Z„
charakterisiert Den Lehr en der Elastizitätstheo ie gemaß
besitzt die v o n diesen Spannu n gen a f die Volu meinheit au s
geübte Kraft die Kompon enten
r
.
u
ax
3
ex
3
3
7
3Z
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7
6
3 31
76
32
3Z
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Ty
p arallel der
Achse ,
p arallel der
ch
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,
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z
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-
-
-
Achse
.
N a ch M a x w e ll u n d Hertz s i n d di e s e s d i e a u f di e
Vo lu m e i n h e i t b e re ch n e te n K o mp o n e n t e n d er e l ektro
m a g n eti s ch e n Kr a f t N a ch L o re n tz ) i s t n o ch di e Kr a f t
‘
.
1)
HA
.
.
Lo rentz
be w e gte n Körp em
.
Die
1 895
e le ktris ch en u nd o
S 24 ﬂ
'
.
.
.
pti
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E rsch einu nge n in
E rstes
Kapitel
ph y
Die
.
s
u
.
.
m ath Gru ndl age n 11 E lek tro nenth eo rie
.
.
27
.
2 91
’
c
3t
1
p r o Vo lu m ei n hei t h i n z u z u f üg e n u m di e ge s a m te
e l ektr o m a g n e t i sch e Kr a f t
de r E l e k tr o n e n th e o ri e
z u erh a l t e n
Diese Zu satz k raft hebt für die V o lu melemente
des v o n Elektr izität leeren Ra u mes gerade die v o n den Max
w ellsch en Sp annu ngen a u s ge übte Kraft a uf Wir könn en dies es
Zu satz glied der An s chau u ng näher brin gen in dem w ir eine
“
e
l
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.
.
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1
1
1
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Dieselbe ist du rch die Vektoren
für ein en jeden Punkt des Felde s
timmt
Ei
n er zeitlichen
s
An deru n g des Po yntingsch enVektors
entspricht ein e Än de
run g der elektromagnetischen Bewegun gsgröße die ein e Träg
,
.
h e itsk raf t
86
’
c
3t
1
hervorru ft Du rch diese n h eitskr aft im Verein mit der
über die Oberﬂäche des betreffenden Bereiches ver teilten
G
i
u rch die G
die
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u
n
dg
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Fläch enk raft
7
l
u
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V
1
1
s
t
r
)
(
( )
deﬁnierte elektromagneti sche Kraft vollstän dig z u ersetzen
In der Tat in te grieren wir die Gleichu ng ( 1 6) über ein en
Bereich 0 der v on der ru hen den Fläche u m schlo ssen ist so
erhalte n wir als 16 Kompon en te der resultierenden Kraft
.
.
.
,
,
,
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.,
.
mi d ( 1 7 a) ist
X, co s (v y)
w)
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co s v
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3
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.
,
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.
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.
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.
.
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die
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Ab
sch nitt
.
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Das Feld 11 di e Bew egu ng der einz eln
.
Kompon ente der Fläch enkr aft
Gehen
Vektorgleichu ng über so erhalten wir
-
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E lek tr o nen
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.
ogleich
,
1
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wobei
C
2
0
( )
dv g
die gesamte in dem Bereiche 0 enth altene elektr omagn etische
B ew egun gsgröße ist
Die Kraft w elch e das elektromagneti sche Feld auf ein en
beliebigen Körper au sübt ist na ch der Lo rentz sch en Theorie
gleich der resultierenden Kraft 8 auf die im Inn ern des
Körpers beﬁn dlichen Elektron en E s besa gt daher Glei
ch un g
D i e re s u l ti ere n d e e l ek tr o m a g n e ti s ch e Kr a f t
ei n e n b e l i e b i ge n K örp er i s t g l e i ch d e m üb er
au f
I n te gr a l de r F l äch e n
s e i n e O b e r f l a c h e e r s tre ck te n
kr a f t
ve rm i n d e rt u m di e z e it l i ch e Z u n a h m e d er
g e s a m te n i m I n n e r n de s K ö rp e r s b e fi n d li ch e n e l ektr o
m a g n e ti s ch e n B e w e g u n g s grö ß e
Wir könn en die Gleichu n g ( 1 9) au ch a f ein System v o n
Ko rp s m anw en den w elche in den Äth er ein gelagert s ind
Wir haben dann im Ath er ein e Fläche z u kons tru ieren welche
Au f die ser Fläche haben w ir
das ganz e Sy stem einschließt
u n s die ﬁn gier te Fläch enk r aft
angeb racht z u denken ; au ch
haben wir die elektromagnetische Bew egun gsgro ße sowohl im
Inn ern der Korper als au ch in dem Rau ms zw ischen den
Körp em in Re chnu n g z u ziehen
Eine besonders einfache Form nimmt der Au sdru ck ( 1 9)
der elektrom agn etischen Gesamtkmft an falls w ir die Fläche f
die das Körpersy stem u mschließt u ns so w eit entfernt denk en
daß sie in dem gan zen Zeitin tervalle in dem der z u bett ach
tend s Vorgan g sich abspielt ni cht v o n dem elek tro magne
tischen Felde erreicht wird D ann verschw indet nämlich auf
der Fläche f der Vektor
der j a du rch die daselb st herr
sch enden Feld stärken be stimmt ist
E s fällt das erste Gli ed
.
,
.
.
u
.
,
,
.
,
.
,
,
,
,
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.
.
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s
t
e
n
g g
30
.
.
n E lektronen
.
dem Prim ip e v on Wirkung u nd Gegenwirk ung Genüge leisten
Es
8 0 liefern sie z u der re su ltieren den Kraft keinen Beitrag
besa gt daher der Imp ulssatz : Die z eitliche Än derung des mecha
ist gleich der resu ltierenden elektr o
nischen Impulses
magnetischen Kraft 8
,
.
ein
Setz en wir hier für 9 den in (21 ) erhaltenen Au sdru ck
u nd bringe n
au f di e an dere Seite
so erhalten wir
,
8
C onstans
0
.
D i e S u mm e a u s d e m m e ch a n i s che n I mp u l s e d e r
w ägb a r e n K ö rp er u n d d e m e l ektr o ma g n e ti s ch e n I m
p u l s e de s F e l d e s i s t für e i n a b ge s ch l o s s e n e s S y s te m
k ons tant
Der so verallgemeinerte Impulssatz ist für das Folgende
v o n fu n damen taler Bedeu tung
Der gegeben e Beweis zeigt
daß die Einführu ng des elektrom agnetischen Impulses ebenso
wenig eins neu e Hypoth ese darstellt wie die Einführu ng einer
elektromagn etischen En ergie E s handelt sich hier wie dort
nu r u m ein en zw eckm äßigen Au s dru ck gew isse r Folge ru n gen
die au s dem Au sdru cke der elektr omagn etischen Kraft (V) im
V erein mit den Feldgle ich u n gsn (I) bis (IV) der Elektronen
theorie ﬂießen Wenn nu n au ch di ese Au sdru cksweise der in
der Mechanik gebräu chlichen nachgebildet ist so führt doch
wie schon am Schlu sse des ersten Bandes hervorgehoben
wu rde die Elektronentheorie z u Folgeru n gen w elche den
Axiomen der Ne w tonsch en Mechan ik widersprechen
D i e a n de n w ägb a re n Kör p e m an gre i f e n de n
e l ek tro m a g n e ti s ch e n Kr ä f te de r L o r e n t z s c h e n T he o ri e
b e f o l ge n n i ch t da s dri tt e Ax i o m d er N e w to n s che n
M e ch a n ik
Wenn z B ein Korper Licht in einer bestimmten Rich
tu n g etwa vermittels t eine s Hohlspiegels au szu senden beginn t
a u mes
s o erfährt die elektrom a netische Bewegun gs grö ße des R
g
e in en Z u w achs
Der Gleichung (21 ) gemäß wi rd das Licht
.
,
.
,
.
,
.
,
,
,
,
.
.
.
.
,
,
.
,
e K pitel
E rst
a
s
.
Die
ph ys
u
.
.
math Gru ndlagen d E le ktronenth
.
.
eo ie
r
31
.
emittieren den Korper eine Kraft au süben Diese
Wirk ung wird erst dann du rch ein e Gegenwirku ng kompensiert
w enn das en tsan dte Licht v o n an deren Körp em ab
w erden
ﬁn det w egen der endlichen Fort
so rbiert wird
u n d das
n
d
h
i
e
s Lichte s
en d
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ch
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ﬂ
s
u
n
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c
a
n
z
s
p
g
gg
Bis dahin bleibt die Bewegungs größe der
lichen Zeit statt
Körper ebenso wie die Energie gewissermaßen latent sie ist
in elektr om agnetis che Bewegun gs größe verwandelt w e rden
Daß der Satz v on a ctio u nd reactio in dem Sinn e der
Newtonschen Mechanik gefaßt v on den elektromagn etischen
Kr äften der Lorentz sch en Theorie verletz t w ird ist v o n
H Poin caré als Einw an d gegen diese Theorie gelte n d gemacht
Indessen w ird man diesen Einwand nu r dann als
stichh altig ans ehen w enn man die Axiome der alten Mechani k
als a priori gültig betrachtet
Sieht man hin gegen die Physik
als ein e Wi ssen s chaft an deren Prin zipien der forts chreite n den
Erfahru ng an zu p assen sind , so wird man sich du rch jenen
Ein wand nicht beirren lassen Man w ird vielmehr die Mechanik
des elektr om a gneti s chen F e ldes au f den erw eiterten Imp u ls
ob dieser Satz
satz (23) begrün den u n d w ir d u n tersu chen
Folgeru n gen ergibt die mit der Erfahru ng übereinstimmen ;
ist dies der Fall so sin d ni cht die Gru n dla gen der Elektr on en
theorie sondern die Axiome der alten Mechan ik z u revidieren
Das ist der Weg der in den folgenden Ab schni tten bs
schritte n w er den s oll; w ir w er den zeigen
da ß s ow ohl für die
Theorie der Konv ektionsstrahlung wie für diejen ige der
W ellsnstrahlnn g die Einfüh r un g der du rch den Stra ek to r
bestimmten elektromagnetischen Bew egungsgröße fru chtb ar ist
u n d wer den in der Bestätigun g der s o gew onn en en Ergebn i sse
du rch das Experimen t ein e Rechtfertigun g der Grundhypo thesen
der Elektronentheorie erbli cken dürfen
Nach ( 1 8) ist die Dichte g der elektromagn etischen
Bewegun gsgröß e dem du rch das Qu adra t der Lich tgesch w in
di gk eit dividierten Strahlv ekt o r
gleich z u setzen Für ein e
au f
den
.
.
.
,
.
,
.
,
.
,
'
,
,
,
.
,
,
,
.
.
1)
H
.
Poincaré ,
A
rch
.
Nee land
r
.
2
S
2
5
5
2
)
,
(
.
.
1 900
.
32
E rster Absch nitt
Das Feld
.
u
.
di e Bew egu ng der
einz eln en
E lek tronen
.
eben e Lichtwelle weist als o der Vektor g in Richtu ng der
W ellenn ormalen ; da der Betr ag 8 de s Strahlv ektors der En ergie
gleich ist die in der Sekun de au f die Flächen einheit ein er
senk r echt z u m Str ahle ge stellten Fläche fällt
v l 1
S
1
3
( g
u n d da die s e E n ergie ein en Zylin der v o n der Höhe 0 erfüllt
,
.
.
,
so
ist
der Betrag der in der Sekun de au f eine ru hen de Fläche
fallen den Bewegu n gsgröße
D i e p ro S ek u n d e a u ff a ll e n ds
B ew e g u n g s gr ö ß e e i n er eb e n e n L i chtw e ll e i s t a l s o
g l e i ch d er pr o S ek u n de a u ff a ll e n de n E n e rgi e di v i
di e r t d u r c h di e L i cht ge s ch w i n di gke i t o d er g l e i ch d e r
E n ergi e di cht e
Fäl lt nu n die Welle au f eine ru h ende schw arze Fläche
welche di e elektromagnetische En ergie der Welle in Wärme
verwandelt so wird au ch die elektromagn etische Bewe gun gs
rnichtet u n d in
röße
ve
mec
i
che
Beweg
g
röße
ver
s
u
n
h
a
n
s
g
g
wan delt Mit anderen Worten das Licht übt au f die absor
bierende Fläche einen Dru ck au s D er L i chtdr u ck b etr a gt
f ür e i n e s e n k re cht z u r F o rtp f l a n z u n g s ri cht u n g ge
s t e l l te s ch w a rze F l a ch e
e r i s t d er E n er gi e di chte
d er We ll e g l e i ch Er w irkt au f die ab sorbierende schwarze
Fläche in Richtu ng des au ffallen den Strahles
Ein e entsprechende der Str ahlrich a entgegenw eisende
Dru ckkraft mu ß wirksam werden wenn das Licht v o n der
Lichtqu elle in den Rau m hi nau sgesan dt u nd dadu rch elektro
magnetische Bewegu n gsgröße erzeu gt wird
Wir haben hier die Ableitung des Lichtdru ckes an den
zweiten Term im Au sdru cke ( 1 9) der resultierenden elektro
magnetischen Kraft an gek nüpft welcher die Bewegu n gsgröße
enthält Den ersten Term beseitigten wir indem wir die
Be grenz u ngsﬂäch é f des Felde s beliebig w eit fortrücken ließen
Wir könn en nu n au ch an ders verfah ren Wir könn en die
Fläche so legen daß sie sich u nm ittelb ar an den K örper an
s chmiegt au f den die gesu chte elektr om agn eti sche Kr aft w irkt
.
,
,
.
,
,
.
,
.
.
.
.
,
,
.
.
,
,
.
E rstes
Kapitel
.
ph y
Die
s
u
.
math Gm ndlagen d E lektr o nenth e orie
.
.
.
.
33
Dann sind im allgemein en beide Glieder z u berücksichtigen
di e v o n den Maxwellsch e n Spann un gen au sge übte
sowoh l
Kraft als au ch die Rückwirku n g der elektr o magnetisch en
Bewegun gs größe die ins Inn ere de s Körpers tritt In man chen
Fällen indessen fällt das zw eite Glied fort Haben wir e s
beispielsweise mit einem Körper z u tu n der mit einer
schwarzen das Licht vo llk ommen ab sorbieren den Hülle be deckt
ist so tritt v o n au ßen her kein Licht u n d k e ine elektr o
magnetisch e Bewegu ngsgröße in den Körper E s w ird die
Energie des Lichtes bereits an der Oberﬂäche in Warme v er
w an delt
Hier erhält man den vollständigen Wert der v o m
Lich ts au sge übten Kraft in dem man au sschließlich die Ober
ﬂäch enk raft 2 der Maxwellschen Sp annu ngen in Rechnu n g
,
.
,
.
,
,
.
.
,
ein er ebenen Lich tw slle steht der elektri sche Vektor
senkrecht au f d e m m a gnetischen ; die elektri s che E nergiedichte
ist der ma gneti schen gleich
Der Faraday Maxwells che Längs
arallele n
z u
der
e
ektri
Kr
l
i
ni en
hebt
d
en
ih
m
p
l
schen
a
f
t
g
m agnetischen Qu erd ck der Län gsz u g der magneti schen
Kraftlini en den entsprechenden elektr ischen Qu srdru ck au f
denn diese Dru ck bzw Z u gsp annu n gen sind (v gl I S 41 6)
der elektrischen bzw der m agneti schen Energiedichte gleich
Parall el der Strahlrichtun g hingegen die so w ohl au f
w ie
verstärken sich die beiden Qu erdru ck e
au f
senkr echt steht
u n d ergeben ein en Dru ck au f ein e s enkrecht ges tellte schwarze
Fläche der gleich der elektromagnetischen En ergiedichte ist
Das Re su ltat dieser Betrachtu n g führt z u dem selben Werte
des Lichtdru cke s w ie die obige Ab leitu n g au s der elektro
magnetischen Bew eguingsgro ße
Maxw ell s elb st w ar es der au s seinem Sp annu n gssysts m e
zu erst den Lichtdru ck ableitete In den letzten Jah ren ist
e s den Bem ühu ngen
geschickte r Exp erimentatoren nämlich
’
l
P Lebe de w
s owie E F Nichols u n d G F H u ll
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.
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.
.
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.
.
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.
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.
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1 ) P Lebedew ,
.
2) E F
Ab rah
.
.
a
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Ann d Ph
.
Nich ols
Th i d
u nd
eo r e
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.
.
.
ys
.
6 , S 48 8
.
1 901
.
,
.
G F H a ll , Ann d Ph ys 1 2, S 225
.
.
.
E l ek triz i tät II
.
.
.
.
.
3
.
1 903
.
3 4 E rste r Absch ni tt Das Feld 11 die Bew egung der e inz elnen E le ktro ne n
.
.
.
experimentell den Lichtdru ck als vorhanden nachzu weisen
Au f di e Bez iehun gen des S trahlu ngsdru ckes z u r Theorie der
Würm estrahlun g kommen wir we iter u nten zu rück
Wir wollen schließlich n och zeigen daß der zweite
Impu lssatz (v gl I 9 1 2) sich in en tspre chender Weise v erall
gemeinem läßt wie der erste W ir berechn en das r e s u l
t i e r e n de M o m e n t d er e l e k tro m a g n e ti s che n Kr ä f te die
a u f ein en gegeben en Ber eich 6 wirken :
.
.
,
,
.
,
.
,
”lt .
Wir verstehen u nter r den Ra diu svektor der v o n einem
im Rau me festen Pu nkte au s z u konstru ieren ist Au f di esen
fe ste n Mo mentenp u nk t ist das Momen t der elektrom agnetischen
,
.
D ur ch Einführung der Au sdr ücke ( 1 6) ergibt sich
tv Kompo n en te des Vekto rs 91
spielswei s e für die r
be i
-
{9
08
.
4
i
332 %
ä
—
[
—
0 83
+
3
a"
y 3
Maxwellschen Sp annu ngen herrühren de
V o lu minte gral formen wir au f Gru n d des Gau ßschen Satzes
w obei w ir die au s ( 1 5 ) folgen de Bezieh u n g beachten
um
Das
erste
,
v on
den
,
Alsdann
s
ergibt sich
das über die Begrenz
un
treckte In te gral
f
(
Y
(
Z
0
0
9
W
.
.
9
(
.
.
(
co s w
s ﬂäch e
g
)
Z „ co s (v y)
Z,
co s
)
Y . co s (v s)
Ys
00 ” W
?
w
(
)
( )
)
)l
f
er
Kapitel
E rstes
Die
.
ph ys
.
u
.
math Gru n dl agen d E lek tronenth eorie
.
.
.
35
Die Au sdr ücke ,
mit denen hi er 6 u nd 3; mu ltipliziert er
wie au s ( 1 5 ) folgt n ichts an deres als die 3;
schein en
sin d
bz w z Kompon en te des du rch ( 1 7) b estimmten Vektors
,
,
,
-
.
2,
1
2 Ö y ov
5;
3
-
8 75
‚
{
2 üz ß v
Der erste Term im
00 5
2 93 9 7
00 8
Au sdru ck
( )
7 5
Q
(
91, ist
v on
©)
S
2
daher
1
6 29 7
.
d h er stellt die x Kompon ente des statischen Momentes der
dar
an der Be gr enz u ngsﬂäch e an greifen den Fläch enk raft
Das zw eite Integral im Au sdru ck v o n 91 hingegen hängt mit
der Komponente des statischen Momentes der über das Feld
mit der Dichte g verteilten elektromagnetischen Bewegu n gs
größe zu sammen Dieses Moment ist
-
.
.
.
,
-
.
2
5
( )
Wir konn en e s na ch Analogie de s Impu ls momentes 11
e l s k tr o m a n e t i s c h e s
w ägb arer Mas sen (v gl I S 3 2) als
g
“
I mp u ls m o m e n t bezeichnen ; wir beziehen es e ben so w ie
das Kraftmomen t 91 auf einen ab solu t fe sten Bewegu n gsp un kt
so daß r v o n der Zeit u n abh ängig wird
Alsdann gilt
.
,
„
.
,
,
,
.
d t) .
3 0.
—
3}
dt
W ir
erhalten daher schließlich
2
m
f
]
d?
D i e s e R e l a ti o n e n t s p ri cht v o l lk o mm e n de r R e la
ti o n
S i e te ll t da s r e s l ti er e n d e Kr a f tm o m e n t 92
z w ei er G l i e d er : de s e s l ti e
da
a l s Vek to r s u mm e
re n de n M o m e n t e s de r a n d er O b e r fl ä ch e de s B e re i c h e s
de r M a x w e ll s ch e n S p a n
n gr e i f e n d e n F l ä ch e n k r a f t
u nd
d er z ei t l i che n Ab n a hm e des e l ektro
n u n ge n
m a g n eti s ch e n I mp u l s m o m e n t e s
d
s
u
r
r
a
.
u
36
E rste r
Ab
sch nitt
.
Das Feld
11
.
die Bew egu n g der
e inz eln e n
E lektro nen
.
Rücken wir wieder die Begrenz u ngsﬂäch e des Felde s so
w eit ab daß au f ihr die Feldstärken gleich Nu ll sin d so wird
,
,
2
a)
6
(
f?
91
,
re s u lti ere n de Kr äf t ep a a r w e l ch e s da s e l ektro
m a g n e ti s ch e F e l d a u f e i n K ö rp er s y s t e m a u s üb t i s t
g l e i ch d er z ei t l i ch e n Ab n a hm e de s e l e k tr o m a gn e ti
s ch e n I mp u l s m o m e n te s de s ge s a m t e n Fe l d e s
Da die Kr äfte p aa re w elche di e Körper inf olge ihrer
mechani schen Wechs elwirku n g au feinan der au süben dem
Prin zip s v o n Wirku n g u n d Gegenw irk u n g allgemein Genüge
lei sten so ist die zeitliche Än deru n g des gesamten Imp u ls
momente s II der wägbaren Mas sen dem resultieren den Momente
der elektromagnetisch en Kräfte gleich z u setzen Au s
Da s
,
,
.
,
,
.
d l!
dt
folgt
a
ber
ch (26 a) sofort
na
2
7
( )
11
C onstans
.
D i e S u m m e a u s d e m m e ch a n i s ch e n I m p u l s
m o m e n t e de r w a gb a r e n K o rp e r u n d d e m e l ektro
m a g n e ti s ch e n I mp u l s m o m e n t e de s F e l d e s i s t f ür e i n
a b ge s ch l o s s e n e s S y s tem k o n s t a n t
D amit haben w ir au ch den verallgemein erten zweiten
Impu lssatz au s den Gr undgleichu ngen der Elektronentheorie
hergeleitet Au s ihm folgt für die Kräftepaare dasselbe w as
r
l
die
e
ekt
au s
2
3
f
ü
r om agn eti schen Wech selwirku ngen der
( )
Körper bezüglich der Kräfte folgte : D i e Kr äf tep a a re
w e l ch e d i e K ö rp er i n f o l ge ihr er e l ek tr o m a g n eti s ch e n
We ch s e lw irk u n g a u f e i n a n d er a u s üb e n wi der s p re ch e n
im a ll ge m ei n e n d em Pri n z ip s v o n Wirk u n g u n d Ge ge n
w irk u n g
Die verallgemein erten Imp u lssatz s (23) u n d (27) u nd die
v er allgemein erte En er iegleichu n g
d
e Gru n dlagen
2
i
d
i
2
s
n
s
g
(
)
au f denen di e Mech anik de s e lektrom agn eti schen Felde s sich
au f b au t
.
:
.
,
,
,
.
,
.
38
E rster
Ab
sch nitt
.
Das Feld 11 die Bew egung der einz elnen E lektronen
.
.
cu rl
V o n die sem allgemein eren Vektorpote nti al dürfen w ir
setz en
freilich n icht verlan gen daß sein e Divergenz wie diejeni ge
des V ekto rp o tentiales des stationären Feldes (I 5
allgemein
gleich Nu ll ist
Die Einf ührun g v on (28) in die zweite Gru ndgleichu ng
ergibt
8
2
( )
.
,
,
,
.
8—
s
é at
1
ou r]
“
"
““
'
}
3
I
—
1
als n egativer Gradien t ein e s
demnach
t
di sich darstellen lassen ; darau s fo lgt für
der Au sdru ck
E s mu ß
c
Sk alars
q
konstante Felder fällt der Diﬂerential u o tient v on a
nach der Zeit fort u n d ( D redu z iert sich au f das elektro st ati sche
Potential
Den Gr u ndgleichu n gen (II) u n d (IV) haben wir gen ügt
Es
indem wir
u nd (5 du rch (28) u n d (29) d ars tellten
han delt sich nu n daru m den Skala r ( D u n d den Vektor so
bestimmen daß au ch die Gru n dgleichu n gen (I) u nd (III)
z u
erfüllt sin d Wir erhalten als allgemeinste Bedin gun g hierfür
di e beiden Diﬂer entialgleich u n gen
Für
‘
.
,
.
,
,
.
'
am
5
’
5 36
1
cu rl cu rl
—l
7 @
1
3
öt
_
O
u nd
u ns erer
Ziehen wir die Rechnu ngsregeln
Fo rm elz u samm en stellu n g am E n de v o n B and I (S 43 8) he ran
s o könn en wir di e z w eite di e ser Gle ichu n gen schreiben
.
div u
u nd
di e
erste
1
’
c
’
3 ﬂ
_
_
T
3t
_
ﬂ
V u + 7
4 16
,
E rste s
Kapitel
.
ph y
Die
s
.
u
.
m ath Gru ndlagen d E le ktro nenth eo rie
.
.
Wir erfüllen beide Gleichu n gen indem wir für
partiellen Diﬂerentialgleich u ngen v o rsch reibsn :
(D u nd
,
die
.
39
l
‘
div a = 0,
30
( )
’
V (D
3
o
h
)
(
7
3
46 1
8
Feld werden (D u n d un abhangig
voneinander ; di geht in das skalare Po tential des elektro
stati schen Felde s
in das Vektorpotential de s m agneti schen
Feldes über Die allgemeinen du rch die Diﬂerentialgle ich u n gen
3
w
als
0
i
r
0
de
ierte
ote
ti
e
bezeic
h
n
e
n
3
8
3
0
h
ﬁ
n
n
n
a
l
P
(
)
“
w
l
i
r (D
m
n
e
ektr
o
g
e
ti
ch
e
o
te
ti
e
z
r
e
e
a
n
d
w
a
n
nn
n
s
u
P
n
a
l
„
“
das
das
e l ek t r o m a g n eti s ch e Po t e n ti a l
s k a l a re
“
l
s
e
ektr
o
m
g
e
ti
che
Vekto
rp
o
e
ti
D
rch
die
e
Be
u
a
n
l
s
t
a
n
„
n gen w ir z u m Au sdru ck
d
aß die allgemein eren
bri
g
Potenti al e z u r Ver w endu n g gelan gen w enn e s sich u m e in en
ze itlich v e an de lich en elekt omagn eti schen Vorgan g han delt
bei welche m elektrisches un d m agn etisches Feld du rch die
G ndgleichu n gen miteina nder verkettet sin d
Wir werden u n s zu nächst mit der Integration der Diffe
i
n den en ( D u n d
be
ch
tige
r ential le ich u n en
a b
n
30
f
s
ä
g
(
g
)
getrennt au ftr eten Wir w erden u ns dann davon u berz e u gen
daß die erhalten e Lö su n g v o n (30 a b ) au ch (30) befrie di gt
Wir sehen jetzt schon ohn e w eiteres ein daß die rechten
Seiten v on (3os b) nicht u nabhän gig vonein ander sin d ; in der
T at au s (1) u nd (III) folgt
Für
e in
statio n ar e s
,
‘
,
.
,
,
,
„
,
.
,
r
r
r
,
ru
.
,
,
,
.
.
,
,
,
,
ä%
0
3
0
( )
Diese Gleichu n g sagt au s daß die p ro Zeiteinheit in e in
V o lu m elem snt e in treten de Men ge v o n Elek trizität dem Z u w ach s
der elek trischen Dichte entspricht d h daß E lektrizität nicht
n eu ge sch aﬂen
oder vern ichtet w erden kann Diese Ko n
“
t i n u i t ä t s b e di n gu n g de r E l ektri zi t ät ist es die
u nd
miteinander verknüpft Die Abhän gigk eit der rechten Seiten
.
.
'
.
,
.
40
E rster
Ab
sch nitt
Das Feld
.
11
.
die Be w e gung der
ein z elne n
E le ktro ne n
.
brin gt e s wie wir weiter u n ten sehen
werden mit sich daß die elektromagnetischen Poten tiale der
eins chr änkenden Bedingu ng (30) allgemein Genüge leisten
Wir gehen jetzt dazu über die Diﬂsrentialgleich u n g de s
s kalaren s lek tr o ma netis chen Poten tiale s z u
n te grieren
i
E
s
g
ist z w e ck mü ig ein e neu e Variable
v on
3
0
8)
(
3
b
0
)
(
u nd
,
.
‘
,
.
l=
ot
i
hren ; diese ist nichts an deres als der in der Zeit t v o n
ein er Lichtwelle zu rückgelegte Weg D ann schreibt sich (30 a)
e nz u f ü
,
.
’
3 (b
31
’
Wir denk en u ns z u r Zeit
Ortes gegeben also etw a
,
de s
3
l
a)
(
(D
36
3
b
1
)
(
-
ä
Au ßerdem is t
Zeit
türlich
na
t
0, di
u nd
für I
O,
für
0
Fu nktionen
.
für l > 0,
,
als
als
Fu nktion
v on
Ort gegeben
E s ist u nser Ziel für po sitive Zeiten
als Fu nk tio n v o n
O rt u n d Zeit z u ermitteln ; diese s Ziel haben w ir e rr e1 ch t
wenn es u n s gelin gt für ein en beliebigen Au fp u nk t ( D als
Fu nktion v o n I z u berechn en Wir greifen ein en Au fp u nk t P
herau s u n d konstru ieren u m P als Mittelpu nkt eine Schar v o n
Ku geln mit dem veränderlichen Ra diu s r Wir vers tehen u nter
d00 den körperlichen Wink el u nter dem das Fß ch enelement
r dm e iner so lchen Ku ge l v o m Mittelp u nkte P au s ge s ehen w ird
Die Fu nktion ( D w elche der partiellen Diﬂerentialgleich u ng (3 1 )
gen ügen soll ist eine Fu nktion v o n vier V ariabeln : r l u nd
zw ei Winkeln ; die letzte ren beiden V ariabeln gehen in den Au s
dru ck v o n dm ein Die nu nmehr einzu führende Hilfsfu nktion
und
.
,
,
.
.
,
*
.
'
,
,
,
.
hängt mithin nu r
du rch r dividi ert
v on
den V ariabsln
den für
r
u nd
1
ab ;
eine Ku gel vom Radiu s
sie
r
ergibt
,
berech
E rstes
Kapitel
.
p h ys
Die
u
.
.
math Grun dlage n d E lek tro nenth eorie
.
.
41
.
W ir wollen die Gleichu n g (3 1 ) in
eten Mittelw ert v on
u mfo rmen
e in e p a rtielle Diﬂers ntialgleich u n g für
Wir wenden z u di esem Zwecke den Gau ßschen Satz au f
ein e jener Ku geln an Das über ihr Inn eres erstreckte Inte
”
gral v o n V ? div 7 di ist diesem Satze zu folge gleich dem
über die Oberﬂäche erstreckte n Inte gral der No rmalk o m
n ach gilt
pon ente 3
dem
des Vek tors 7
%
n
.
.
"
g
-
D u rch
”
r
na
ch
da = 2
(d
Wir erhalten
als
+
w ir nu n
Ku gelﬂäch e
wo
W
a
+
r
c an
du rch
1
3
( )
vom Radiu s
3
8
( )
(d
*
.
dm
n
i e
.
o
a)
3
2
(
e n
(d
r
2
Dividieren
r
’
folgt
r
Q dm = 2 r
=
’
!d
’i
d
Diﬂerentiatio n
‘
ä dm =
r,
so
4 16 r
fo lgt
“
l
( )
"
a,
:
.
in tegrieren über
i
s
)
bk ürzu n gsw eise
d
m
9
a
3
3
)
(
gesetzt
ist
.
Da
Funktion
als
ist x für 1 2 0 u n d r
sin d au f Gru n d v o n (3 l a,
0
so
b
33
)
(
3
3
c
( )
52
(
ac,
y,
'
Zeit u nd Ort gegeben ist
bekann t anzu sehen Fern er
v on
als
,
.
b)
3
d
61
)
()
l
0
G (r )
r
>0
F
r
E
r
s
t
e
r
42
Ab
sch nitt
.
Das Feld
u
die
.
Bew egun g der einz elnen E lektronen
.
gelu ngen die Hilfsgleichun g (33) z u lö sen so ist
der gesu chte Wert v on di im Mitte lpun kte P der E ngelschar
u ns chwer z u ermitteln
Er ist nach (32)
Ist
es
,
,
.
m
a
,
hm
I)
r
=0
Das Prob lem , di für
ein en beli ebigen Au fpu nkt z u be
rechn en ist somit au f die Au fgabe zu rückgeführt die Hilfs
gleichu n g (33 ) u nter den angegebenen Bedin gu ngen z u inte
,
i
er en
r
g
,
.
e
Die Fu nk tionen (r l) F (r) u n d G(r) sind du rch (33 a b 0 )
zw ar für po sitive Werte v o n r deﬁniert aber nicht für nega
tive ; fii r r
0 verschwin den sie
E s steht u n s s omit frei
die Deﬁnition dieser Fu nktion en folgendermaßen auf negative
Werte v o n au sz u dehn em
7
ein er
In te gr a ti o n
H i lf s gl i ch u ng
.
,
,
,
,
,
,
.
3
5
( )
x
73
3
8
5
(
)
F
b
8
5
)
(
G(
(
l)
l) :
x
F (+
“
r
G (+
)
Au f Gr u n d dieser D aten soll
w er d e n , die Diﬁer entialgle ich u n g
die
nu n
Au fgabe
behandelt
'
’
3 SZ
3
6
( )
I)
ap
integrieren (1 h 82 (r l) für
tive un d n e gativ e Werte v o n r
z u
,
.
a
3
6
(
)
l> 0
,
.
F
52.
b
6
3
)
(
z u
u nd
für
berechnen
,
beliebige po si
wenn
()
r
l
f‘"
G(r)
0
gegeben sind
Wir erledigen die gestellte Aufgabe indem w ir das
Riemannsche Integrationsverfahren au f die n ich th o m o gene
partielle Diﬂer entialgleich un g (3 6) anw enden )
.
,
!
‘
1 ) V gl h ierz
.
u
Riem ann
.
Webe
r,
Die
partiellen Diﬂ e
y ik B a n s h w eig 1 901
yklopädie de math em W i se
de r m ath emati sch en Ph
A So mm erfeld , E nz
-
‘
s
.
r
r
u
c
.
s
.
Bd
n sch
re nti a lgleich u n gen
.
.
II
,
5
90, S 224 ff
.
.
Art IIA 7 c Nr 1 3
.
.
.
.
.
E rstes
Kapitel
Die
.
ph y
s
.
u
.
m ath Gru ndl agen d E lek tro nenth eo rie
.
.
43
.
Wir denken u n s di e u nabh angigen Verän derli chen r u nd 1
als Abszi sse u n d Ordi nate au fge tr agen
Die An wendu ng des
Stokesschen Satz es au f ein beliebiges Flächenstück der (r 1)
Eben e ergibt
.
,
e
ff }
D abei stellt 8 ein en zu nachst belie bigen Vektor dar Das
In tegral z u r Link en ist über das betroﬂende Flächenstück das
In tegral z u r Rechten über di e Be grenz u gsku rv e z u erstrecken
derart daß der Umlau fssin n ein er po sitiven Drehu n g u m die
dritte der r u n d l Achs e sich zu ordn e nde Achs e ein es rechts
händigen Ko o rdinaten systemes entsprechen w ürde Wir setzen
.
'
,
,
,
-
,
.
nu n
8
?
852
az
83
352
31
°
erhalten
u nd
{
am
8F
am
_ _
Wir w enden
Dreieck A B C an
dessen Gru ndlini e
A B au f der r
Achse li egt w ah
rend die Spitze C
au f der Seite der
po sitiv en l gelegen
öl
’
}
iese Formel
d
88
Bl
au f
e in
3 7 88
gleichschenkliges
,
,
ist
(
v
b
l
A
b
g
.
.
eien a b die
Ab szissen der
Pu nkte A B Die
Wink el der Schen
Es
s
,
,
.
Abb 1
.
.
k el A C , B C m it
der Gru ndlin ie seien
einem halben Rechten
l
r
a die Gleichu n g der Geraden A C
,
r
=
l
b
+
-
BC
,
so
daß
E rster
44
Ab
s ch nitt
Das Feld
.
11
.
e inz elne n
di e Be w e gu ng der
E lek tro n e n
.
Als dann ist längs A C
ist
.
ör
88
hingegen
län gs B C
Au f A B
ber
dr
31
ä}
E s ist
ist
a
= 1,
38
u n d,
nach
352
37
3
6
h
),
(
“
"
daher
3
{
s
l
s
{ 37
Folglich
öl
}
32 3 9
852 3 1
+
Br ds
?! 88
}
BSE dr
'
m
äi äs
'
°
_
w
a
88
252 öl
+ 8r 8 8
}
ird die rechte Seite
v on
3
7
( )
b
f
G (T ) d7
'
SZ„
9
3
2 52f0
.
Verstehen w ir jetzt u nter r l die Koordinaten des Punktes C
,
so
ist
gesu chte Fu nktion
Der Pu nkt A h at
(
530
T,
Z)
.
na
ch (3 7 a) die Koordinaten
a
Pun kt B
l 0,
hingegen die Koordinaten
b
Au s
r
36
o
l
gt
a
f
)
(
r
l 0
.
daher
—l
SZ„ = SZ(r
)
O)
,
,
46 E rster
Ab
Das Feld
sch nitt
.
u
.
die Be w egu ng der
einz e ln en
E lek tro ne n
.
Demnach erh alte n wir
a
—P (l —r)
F (l +r)
o
1
T
x(
dr dl
r,
.
B C DE
Der Limes dem dieser Au sdru ck mit verschwin den dem r
zu strebt bestim mt nach (34) den gesu chten Wert des skalaren
Potentiales im Au fp u nk te
Der Grenzwert der beiden ersten Glieder läßt sich sofort
an geben ; e s ist
,
.
F ( l + r)
s
8
h
)
(
—
l
F(
r)
G(r) dr
GG
)
.
ber das dritte Gli ed anbelangt so ist z u beachten
daß r die Ab szi sse des Pu nkte s C in Abb 1 ist Dem Grenz
übergang z u vers chwin den dem r en tspricht e in H e reinr ück en
—
=
n
s
O
B
k
die
ch
e
wobei
i
l
A
l w ird Ist
di e
des Pu n te s C
Ab szisse ein es Punk tes der Gera den C B so ist in der Grenz
Folglich gilt in der Grenz
lage sein e Ordinate gleich (1
lage de s Dreieckes ﬁir die Pun kte der Geraden C B
W as
a
,
,
.
.
.
,
,
— l )‚
x(%
O S ÄS Z
WO
.
einen die ser Geraden anliegenden schmalen Streifen
r
v o n der Breite C D
geht mit verschwinden dem r das
G ebiet B 0 D E über über welches das Flächen integral in (38 a)
z u ers trecken w ar
Wir erhalten demnach
Au f
,
.
x(
r,
l) dr dl
l
ds ;
bei stellt ds ein Elem ent der Geraden C B v o r die
45 gegen die Ab szissenachs e gene igt ist ; die Variable
w ar die Ab szi sse der Punkte v o n GB
Demna ch ist
da
,
°
.
ter
aber
un
E rste s
Kapitel
u nd e s w
3
d
8
(
)
ph y
s
.
u
.
math Gru n dlage n d E lektro nenth eo rie
.
.
=
dl
ds
ird
lim
r =0
Die
sam
Die
.
(
r,
Grenzw erte
menfassend
—
ﬂ
,
d l x(I, l
l) dr dl
3
8
b
,
(
47
.
.
.
c d) der drei Glieder
erhalten wir
,
G(l)
d i x(
8
a
3
( )
in
—
x, z
z
Der Wert der gesu chten Fu nk tion di in dem
w ird daher m it Rück sicht au f (3 3 a u nd
)
)
z u
.
Au fp u nkte P
,
3
9
( )
d
—
A)
da p ( l , l
.
,
Nu nmehr haben wir die In te gration der für das skalare
elektromagnetische Potential geltenden partiellen Diﬁerential
gleichu n g (3 1 )
Die Fu nktionen F un d G be
gemäß (33 b c) au s den gegeben en Anfan gs
stimm en sich
Die beiden ersten Gli eder
w erten ( 3 1 a b ) v o n di u n d
v o n ( 39) form u li eren dem nach den Einﬂ u ß des Anfan gszu stan de s
wenn die
w ährend das dritte Glied au s ge w ertet w erden kann
E lek triz itätsv erte ilu ng in ihrer Abhän gigkeit v o n Zeit u n d Ort
gegeben ist
‘
,
,
,
,
,
.
om agn e ti s ch er Störu n gen
Die Formel (39) lost die p artielle Diﬁeren tialgleich un g
d
s skalare elektrom a gn etische Poten tial
be
timmt
0
s
i
s
a
3
e
a
);
(
w enn die Anfan gswerte v o n ( D u nd
bekannt sin d u nd
w enn w eiterhin die E lektr iz itätsv erte ilu ng
als Fun ktion der
5 8
.
Die F o r tp ﬂ a n z
u n g e l e k tr
.
'
,
A
den
Bd
.
H Webe
Webe
bleitu ng sch ließt sich an die v o n
1 ) Die gegeben e
Fall 9
0 ange w an dte Meth o de an
V gl Rie mann
d
2
ff
u
n
M
b
r
a
h
A
d
S
8
0
a
e
i
L
i
m
c
1
2
0
c
i
n
c
e
5
,
, 5
( )
.
.
II
.
.
.
A
.
.
.
r
-
S 7
.
.
r
f ür
l
0
.
1 905
.
.
48
E rste r
Ab
sch n itt
.
Das Feld 11 die B ew egu ng der einz elnen E lektro ne n
.
.
Zeit gegeben ist Die Diﬁerentialgleich ung (30 h ) für das
elektromagnetische Vektorpoten tial stim mt mit (30 a) formal
überein Wir kö nn ten sie mithin in ganz en tsprechen der Weise
lö sen wenn di e An fan gswerte v o n
ann t waren
bek
u nd
?
u n d we nn weiterhin die Verteilu n g de s Ko nv ektio ns stro me s
als Fu nk tion der Zeit gegeben w äre
E s blieb e u m die s o
erhalten e Lö su n g für das im Ein gan gs des 5 6 au fgestellte
Problem nu tzb ar z u ma che n nu r n och übrig anzu geben wie
der Anfan gszu stan d des Feldes mit den Anfan gswerten der
elektr omagnetischen Potentiale u n d ihrer zeitlichen Än deru ngen
verknüpft ist
Wir wollen in dessen u m u ns nicht in Allgemeinh eiten
z u
verli eren über den Anfan gszu stan d des Feldes ein e ganz
bestimmte Vorau ssetz u ng machen Wir w oll n annehmen daß
z u r Zeit t = 0 im ganz en Rau me das Feld e in e lektro sta ti sch e s
ist
Das elektro statische Feld ist du rch die Verte ilu n g de r
ruh enden E lektrizität bestimmt E s kann daher die z u lö sen de
Au fgabe jetzt fo lgenderm aßen au sgesprochen werden : G e geb e n
sei
di e a n f än g li ch e Ve rtei lu n g de r r u he n d e n E lek
t r i z i t a t u n d w e i te rh i n di e Verte i lu n g d er E l ek triz i t ä t
u n d de s Ko n v e k t i o n s s t r o m e s
We l ch e s i s t d e r Ve r la u f
d er e l e k tro m a g n e ti s ch e n St o r u n g?
Für das anfan gs herrschen de elektro statis che Feld geht
in das e lekt o
das skalare elektrom agn etis che Potential
statische Poten tial (p über W ir w o ll en s ehe n w as die Forme l (3 9)
für den Fall ergibt daß das z u r Zeit t = 0 bestehende elektro
Alsdann ist
s ta tische Feld au ch w eiterhin be stehe n bleibt
'
.
.
,
,
.
,
,
.
,
e
.
,
.
.
,
.
r
,
.
,
.
3 43
3 (D
—
32
c 3t
0’
ch (3 1 b) u n d (33 c) die Fu nk tion G (r) iden ti sch
gleich Nu ll Die Fu nktion F (9 ) aber w ird nach (3 1 a) n d
d
i
e Ku gel m it dem
die
em
F
e
g
l
eich
dem
ber
ü
3
b
s
a
ll
3
i
n
(
)
Radiu s r erstreckten In tegrale
u n d es
ist ,
na
,
,
u
E rstes
Kapitel
demnach
w
ph y
Die
.
s
.
u
.
m ath Gru ndlage n d E lek tro nen th eo rie
.
.
.
49
ird
F
E ndlich
'
( )
dm
r
.
die elektrische Dichte v o n der Zeit u n
0) z u setzen
abh n gig u nd daher ist o ( l l
Die Form e l (39) zeigt n u n w ie m an den Wert des skalaren
Poten tiale s z u Zeit t in irgen dei n em Au fp u n k te P z u be
rechn en h at: man ko nstru iere u m P eine Ku gel mit dem
Radiu s 1 = c t Man setze in F (r ) u n d G(r) an Stelle v o n r
jetzt 1 d h man berechn e den Wert dieser Integrale für die
Ku gel v o m Radiu s l Endlich füge man das über das Innere
der Ku gel z u erstreckende In te gral hinzu z u dem die mit
Elektrizität e rfüllten V o lu m elemente Beiträge liefern Fu r das
elektro statische Potential ergibt sich au f diese Wei se
a
ist
,
,
.
,
r
,
,
'
.
.
.
.
,
.
Da da s elektro stati sche Poten ti al v o n
der Zeit nabhan gig ist
s o m u ß die rechte Seite der Gleichu n g den selb e n We t ergeben
Wir könn en
w elche s a c h der Radiu s 1 der Ku gel sein mag
die Gleich u ng (40) nach Einführu n g de s Fläch enelementes
u
,
r
u
Weh r»
df
,
.
P dl dm
des V o lu m ele men tes dv
u nd
r
2
dr dco,
chreiben
s
f
{
f
a%
z
r
—
Sie dru ckt den Wert des elektro statisch en Potentiales im Mittel
pu nkte einer beliebigen Ku gel au s als Su mme eines über ihre
Oberﬂäche u n d ein es über ih r Inn eres erstreckten Integrales
Wir w ollen n och zeigen daß diese Formel mit den au f
ganz anderem Wege in der allgemein en Th eorie des wirbel
freien Vekto rfelde s erhalten en Be ieh n gen überei nstimm t W i
knüpfen dabei an die in Bd I S 66 ff an gew andte Methode an
Es
w elche s ich au f den Green schen S atz (I G1 7 6 ) stützt
w u rde d as elb st z]
gesetz t u nd der Greensch e Satz alsdann
au f ein Gebiet an gew an dt
da s ein erseits v o n einer kleinen
.
,
z
.
,
.
u
,
.
.
:
ra
h
a
m,
Th
e o ri e
,
.
.
,
,
,
Ab
r
.
de r
E l kt i
e
r z
i tät
.
II
.
50
E
rste r
Ab
sch n itt
.
Das Feld
u
.
di e
Bew egung der
einz eln en
E lektr onen
.
den Au fp u nkt P eins chli eßen den Ku gel fo an derseits v on einer
beli ebigen Fläche f begrenz t w ar E s folgte für di eses Gebiet
.
1 8$
fo
{
v
_
r
z
V @
w ar
ergab sich
3 9:
a.,
r
}
V
w
_
Als Grenzwert de s ersten
der Ku gel
1
?
‚
1
_
0
Gliedes bei vers chw indendem Radiu s
4 i r (p „ w ü
en d
das V o lu mintegral
Wir erhalten mithin
.
1 3 <p
=
%
z;
ob
4
j
(
f 75
3
—
9
4
37
In dem die Begrenz u ngsﬁäch e f ins Unendliche gerückt w u rde
Lassen w ir sie in dessen
fo lgte die Formel I G1 83 S 6 8
,
,
.
,
.
.
mit ein er Ku gel u m P zu sammenfallen so ist Diﬁerentiatio n
a u iv alen t mit Diﬁerentiati o n n ach r ; e s geht daher
n ach
u ber
D
amit habe n w i
die
Forme
0
die
40
l
4
a
a
0b
i
n
4
( )
(
( )
)
s ich hier du rch Spezialis ieru n g der allgemein en für da s elektro
magn etische Potential (D gelten den Formel (39) ergab au f
ein em u n abhän gigen Wege hergeleite t
Die Formel (40) stellt nu n das elektrostatische Feld dar
welches z u r Zeit t = 0 herrs cht E in magnetisches Feld soll
=
0 n icht vorhan den sein
E s ist demnach z u r
Zeit
z ur
t
=
Zeit t 0 :
'
q
,
'
r
.
,
.
,
.
.
=
0
ﬂ
.
ber die Anfan gsw erte der Ableitu ngen v on (D u nd
=
0
o
f
l
u
s
d
a
n
ch
der
Zeit
b
e
gt
s
o
gt
a
z
Zeit
t
an
la
a
na
u
r
j
W as
a
,
=
G
s
ein soll
,
—V
daß für
t
O,
3t
$
E r ste s
Kapitel
.
Der
Zeit
ph y s
Die
u
.
Anfan gswert
.
m ath Gru ndl agen d E lektronenth eo rie
.
.
ber ist so z u w ählen
die Re lation (30) erfüllt ist Dies ergibt
t= 0
v on
a
.
daß
,
51
z ur
.
3 45
Au f
Gru n d der
Anf angsbedin gun gen
4
1
( )
ergibt die Gru ndformel (39)
a
4
2
( )
l d)
.
We t des s k a l a re n e l ek trom a g n e ti s ch e n Po t e n ti a l e s
Das erste vom Anfan gszu stan d allein abh an gige Glied ist
identisch mit dem im Au sdru cke (40) des elektro statisch en
Poten tiale s au ftreten den ; das erklärt sich darau s , daß die
Anfangsb edingu ngen (4 1 ) mit den en de s elektro stati schen
Feldes übereinstimmen Der Un terschied gegen (40) li e gt in
dem v o n der E lektr iz itätsv erte ilu n g abhän gigen V o lu m in tegral
Dort w ar au f der Oberﬂäche der Ku gel o m Radiu s 1 die
dur ch 9 (l 0) gekennzeichn ete anfängliche Dichte der Elek
die ja w eiterhi n
tr iz itätsv erteilu n g in Rechnu ng z u ziehen
Wir könn te n dort in
mit dem
nicht abge än dert wu rde
O ) die gleichzeitige z u r Zeit t
se lben Rechte an Stelle v o n
im Abstzm de vom Au fp u nk t herrs chen de räu mli che Dichte
au ch di e r au m lich e Dichte in irge nd
ver
s
tehe
oder
Z
n
9
)
ein em dem Zeitin ter v alle v on t = 0 bis t = angeh o renden
Zeitpu nkte ; denn in diesem Zeitin tervalle s ollte die anfän gli che
Dichte
H1 er
2
hi
n
gege
O ) bestehen bleiben
4
n
( )
han delt es sich u m ein e zeitlich verän derliche E lektriz itäts
verteilu n g ; e s ist au f der Oberﬂ äche der Ku gel vom Radiu s
die du rch
gekennzeichn ete Dichte in Rechn u n g z u
l
1
1
ziehen d h diejenige welche z u r Zeit 2 = t 1 au f jen er
Ku gelﬂach e herrschte E s kommt für das Feld welches im
Au fp u nk te P z u Zeit t erregt w ird ni cht die gleich zeitige
E lek triz itätsv erteilu n g im ganzen Rau me in Betr acht sondern
a ls
r
.
,
.
.
v
,
,
,
.
,
,
,
0
.
,
'
—
,
,
.
,
.
r
,
,
*
4
52
E rste r
Ab
sch nitt
.
Das Feld
11
.
die
Bew egu ng der einz elnen E lektronen
.
u
l
s
ede
der
K
ge
l
die
e
ektri
che
Dichte
n
j
,
ein er u m
die
für
daselbst
z u
42
a
(
)
rückliegen den Zeit bestan den h at Der z u r Zeit t r ent
Wir können
san dte Beitra g tri fft z u r Zeit t im Au fp u nk te e in
“
“
L a t e n s w e g bezeich n en E s fo lgt
La t e n s z e i t
: als
als
das w ichtige Ergeb nis : D i e d u rch Ab ä n d er u n g de r e l ek
tri s ch e n D i ch t e e rr e gt e e l ek tr o m a g n eti s ch e St o r u n g
p fl a n z t s i ch n a ch a ll e n S ei te n m i t d er Ge s ch w i n di g
k ei t 0 im R a u m e f o rt
W ir erhalten das skalare elektroma gneti sche Poten tial des
du rch Abänderun g der E lek triz itätsv erteilu n g erregten Feldes
in dem wir das elektro sta tische Potenti al (40) des anfän glichen
Feldes v on de m skalaren Potentiale (42) des abgeän derten
Feldes su btrah ieren
z u
.
.
1
„
,
.
.
,
4
3
( )
—
m { 9 (l , l Ä)
d
ber das elektr omagneti sche Vekto rpotential anbelangt
s o entsprechen wie w ir oben ge sehen h aben dem an gen ommen en
Anfan gsz u stande die Anfan gsbe din gu ngen
W as
a
,
,
,
=
0,
ﬂ
für
l = ot = 0
.
die Diﬁerentialgleich un g (30 b) formal der Gleichu n g
h
u s en tspricht
a
d
u
rc
a
s
o
er
h
t
a
n
die
Kompo
e
te
3
ä
l
m
0
n
n
n
d
e
s
(
)
V ek to rp o tentiale s
i ndem man in (39) 9 du rch die Ko m
n enten de s Ko nv e k tio nsstro m e s
er
etzt
bei
der
s
d
o
u
n
A
u
s
p
d
wert n g v on F u nd G gemäß
u
n
x
z
z
x
f( y )
g( y )
du rch die Anfangsw erte der Komponenten v o n a u nd ersetzt
Un ter den obigen spez iellen Anfangsbedin gu ngen nu n v er
sch w in den die s o berechn eten F u nktio nen F u n d G i denti sch
u n d e s w ird
Da
nu n
‘
,
,
u
.
,
d)
.
—l )
.
5 4 E rste r
Ab
sch nitt
.
Das Fe ld
11
die
.
Bew egu ng der einz eln en E lektro nen
.
im Au fp u nk te liefert ist der Wert v o n I in Rechn u n g z u
ziehen der in dem Mittelpu nkte des jeweils gedeckten Volu m
i
i
t
l
;
elementes de s Ra u mes z u r Zeit ; herrschte Wir d nun P
u m da: p arallel der x Ach se verschoben s o ist das gan ze Ku gel
sy stem mit z u verschieben
Das im Ku gelsyste m feste Volu m
element deckt jetzt ein anderes V o lu mele me nt des Rau mes
u n d e s ist der Wert v o n f
in de ssen Mittelp u nkte z u r Zeit
l
—
in Rechnu n g z u ziehen d h ein u m
dx gr o ßerer
Wert als vorhin So ergibt sich
„
,
.
-
,
.
,
,
.
,
.
.
4
5
b
)
(
div 5
Addieren
und
div
‚
-
1
du rch (45 a b) gegeb enen Werte
im Au fp u nkte P so erhalten w ir
di e
w ir
,
v on
,
div
4
5
0
(
)
dm{ div
°
u=
d)
.
D i e R e la ti o n
e r w e i s t s i ch d e m n a ch z u r Z e it t a l s er f üllt f a ll s di e
b e w e gte E l e k t r i i ta t b i s z u r Z e i t t üb er a ll de r Ko n
t i n u i t ä t s b e di n gu n g (45 ) G e n ü ge ge l e i s te t h a t
Au s den E ntw ickelu ngen des 5 6 folgt nu n o hn e weiteres
daß die au s den elektrom a gn eti schen Potentialen (D
gemä ß
2
8
u
n
d
29
a
u
l
e
e
n
bz
it
de
Vektore
irk
ch
F
d
n
n
w
l
i
d
e
n
e
l
( )
( )
gleichu ngen I bis IV Gen üge leisten Die Gleichun gen (43)
u nd 44
d
l
n
as
P
l
w
l
ö
e
rob
em
e
che
jetzt
be
ch
igt
s
u
n
s
s
ä
f
t
s
( )
Sie bestimmen die Störun g des u rsprünglichen elektrostatischen
Feldes w enn die anfän gliche Verteilu ng der ruhenden Elek
triz ität u n d w eiterh in ihre Bew e gu n g gegeben ist
Wir könn en die Lö su n g noch au f ein e andere Form brin gen
in dem w ir den H ilfsv ekto r einführen
,
z
.
,
,
.
,
.
,
.
,
dl =
c
dt
.
E rstes
Kapitel
Die
.
ph y
s
.
Wir tragen der
in dem w ir schr eiben
div
gibt
Div ergenz
als
u
.
.
.
Ko ntin u itätsbedin gung (45 )
=
l dl
div
Es
m ath Gru n dlagen d E lektrone nth eorie
55
‘
=
dl
.
Rech nu n g
,
— { o — oo l
°
‚
o der Vektor 11 du rch sein e negativ genommen e
div 11
7
4
a
( )
90
o‚
Überschu ß
der jeweili gen elektrischen Dichte über die
anfän gliche Dichte an
w äh ren d sein e Ableitu n g n ach 1
den
,
4
7
h
)
(
1
die Dichte des Ko nv ek tio nsstro m es darstellt Diese beiden
Größen w aren es w elche in (43) u nd (44) au ftr eten
Bestimmen wir jetzt ein en n eu en Vektor 8 folgen dermaßen
.
.
O
1
8( ; )
d
(
“l a
u
t
gelangen w ir du rch Bildu ng der negati v en Divergenz bz w
der zeitlichen Ableitu ng z u (43) u n d (44) z u rück In der
T at di ﬁer en 1 er en wir nach Z so erhalten wir zwei Glieder
so
.
.
‘
z
mg (l, 0)
m
) d
.
erste Gli ed ist gleich N ull w eil n ach
f
ü
r
g
verschw in det Nach (44) u nd (47 b) folgt demnach
das
,
,
l= 0
.
4
8
a
)
(
Bildet man an derseits die Divergen z v on 8 gemäß den
bei der Ableitu ng an (45 b) an gegeben en Regeln so folgt mit
Rücksicht au f (43) u nd (47 a)
i
div
b
4
d
8
(
3
p
(
)
Der Vektor 8 stellt ein den elektromagnetischen Potentialen
Die Bezieh u n gen (48 a b)
übergeordn ete s Potential dar
,
,
.
.
,
E rste r
56
lassen
Ab
Das Fe ld
sch n itt
.
11
.
die
Bew egu ng der einz elnen E lektronen
.
ofort erkenn en daß die Re lation (46) allgemein erfüllt
“
ist
Wir w ollen 8 den H ertz s che n Vekto r n enn en ; w ie
w ir im n ächsten Para graphen sehen w erden erhalten w ir n am
lich du rch Speziali sieru n g des d rch (48) deﬁni erten Vektors
“
die sogenannte Hertzsche Fu nk tion du rch deren Ableitu ngen
zw eite r Ordnu n g nach der Zeit u n d nach den Koordinaten das
elektro magn etische Feld ein es Dipols sich darstellen läßt Wir
werden diese D arstellu ng ableiten au s den Vektorgleichu ngen
die au s (48 a b) in Verbin du n g mit (28) u nd (29) resu ltieren
s
,
.
,
u
,
.
,
,
c
ur
l
—
d
8
4
)
(
ä
—
,
n
Hier stellt Go das u sprün gliche elektro statische Feld v o r
D i e F o rm e ln (48 c d) s t e ll e n de n Ve la u f e i n er b e
l i e b i ge n e l ek t ro m a g n eti s c h e n S tö r u n g m it Hi l f e ei n e s
e 1 n z 1 g e n Vektor s da r
Wir haben bish e immer die anfän gli ch e Verteilu ng der
ru henden E lektrizität als gegeben angen ommen Man w ird
u m sicher z u s ein daß die E n ergie u n d der I mp u l s de s elekt o
m agn etisch en Feldes n dlich sin d meist v o n einem elekt o
Unter Umständen kann es
stati schen Anf an gszu stän de au s gehen
in de ssen v ork omm en daß dieser Anfangszu stand bereits s ehr
w eit z u rü ckliegt u n d daß sein e Kenntni s daher f ür das F eld
in endlich en En tfern u n gen v o n dem E lektro nen sy stem nich t
In die sem F alle w ird m an w ün sche n die
v o n Belan g ist
Formeln v o n dem elektro stati sch en Potentiale (; D z u befreien
Liegt der Anfangsz u st
daß die Ku gel
so w eit zu rück
die u m den Au fp u nk t P mit dem Radi u s l = ct geschlagen
die ge sa mte E lektrizität des rsprün glichen elektro
ist
stati schen Felde s ein s chli eßt so ist das elektro stati sch e Po tenti al
im Au fp u nk te
r
.
r
,
.
r
,
.
r
,
e
r
,
.
,
,
.
.
,
u
,
,
dl
,
E rste s
Kapitel
.
ph y
Die
s
.
u
math Gru n dlagen d E lektronenth eo rie
.
.
.
.
57
der Tat da au ßerhalb der Ku gel 1 in dem elektro
sta tis chen Felde sich ke in e E lektr izität beﬁn det
so ist die se
Formel dem Sinn e nach völli g identisch mit
In
,
O
l
$( ; )
w as
für
dmp ( l,
ld
.
wieder nu r ein e an dere Form des in Bd I (G1 83 S
das elektro stati sche Pote ntial erhal ten en Au s dru cks
.
.
,
.
6 8)
Soll das Feld z u r Zeit t 0 w irklich du rchweg ein elektro
stati sche s sein
s o darf v o r diesem Zeitp u nkt e die E lektrizität
sich n icht be w e t haben
d
E
i
s
z u s etzen
s
t
a
nn
g
,
.
für
u nd
daher
für
l<
o
l > l
.
kann demnach in (43) ohn e w eiteres als obere Grenze
00
ohne den W ert der echten
sta tt 1 ges etz t w erden
S eite z u än dern
Mit Rücksicht au f (49 a) folgt
Es
r
,
.
=
(D
Anderseits ist, da
s
ich nicht be w egt
) dl
.
z u
n
egativen Zeiten die Elektrizität
h at ,
fu r
und
daher
l (l , l
kann somit au ch
oberen Grenze
l<
0
für
die Inte gration ohn e weiteres
au sgedehn t w erden
so daß m an
in (44)
00
d)
.
,
5 8 E rster
Ab
s ch ni tt
.
Das Feld
11
.
die Be w e gun g der
einz eln en
E lektrone n
.
Diese Formeln für die elektromagnetischen Potentiale ent
halten kein e Beziehun g z u r anfänglichen Verteilu ng der Elek
Sie gestatten folgen de anschau li che Deu tun g
triz ität
Man denke sich u m den Au fp unk t ein e Ku gel mit dem
verä nderli chen Radiu s
geschla gen Diese Ku gel soll sich
m it Lichtges chw in di gkeit kon trahieren dera rt da ß sie z u
Zeit t im Au fp u nk te ein triﬁt Zu r Zeit t r ist ihr Radiu s
Diese Ku gel fegt nu n gew issermaßen das Feld ab
c
Wo sie Elektrizität u n d Ko nvektions strom antriﬁt da fän gt
s ie die Beiträge ab
.
.
.
r
,
.
r
.
'
—l
)
,
1
5
a
)
(
w
elche
ch
na
im
Du rchlau fun g de s Latensw ege s
Au fp u nk te
demnach für jedes V o lu melem ent des Rau mes
die Elektrizität u n d der Konvektionsstrom in Re chnu ng z u
w elche die Ku gel au f ihrem Wege antriﬁt; die Divi s io n
s e tzen
du rch den Ku gelradiu s ergibt den Beitrag z u m skalaren u n d
u m Vektorpo ten tiale
Diese Beitrage eilen mit Lich tgesch w in
di gk e it fort
Die Zu sammen setzun g aller Beiträge (1 h die
Inte gration nach
ergibt gemäß (5 0 5 1 ) die Werte der Poten
tiale im Au fp u nk te
Wir können diese Formeln au ch schreiben
e intr e ﬁen
'
.
E s ist
,
z
.
,
.
.
.
,
.
0
D abei sin d die Integrationen über den gesamten Rau m
eben so wie in der Formel (49 b) für das elekt o
a szu dehn en
Der Unterschied liegt nu r darin daß nich t
stati sche Poten ti al
die jew eilige Dichte der Elektr izität u n d des Ko nv ek tion s
w ie der In de x
st ome s in Rechnu n g z u
son dern
setzen ist
u
r
,
,
.
r
,
,
Zw eites Kap ite l
an
,
fr üheren
1:
0
bew e gt
u n g ei n e r
r
zei gt diej enige Dichte
Latens z eit
e
Wellenst ah l
Die
.
w
,
elche
Zeitpu n kte
n
z u
Pu nk tladu n g
59
einem
die
.
um
dem betreffenden
in
herrschte
Die Potentiale (5 0 b) u nd (5 1 b) sin d v o n H Poincaré
E Beltrami V Volterra H A Lorentz T Levi C iv itä u n d
Meist werden sie dem
an deren Forschern angew andt w orden
elektr o statischen Poten tial e (49 b) als re t a rdi erte Pot e n
ti a l e d h verspätete oder v erz o gerte Potentiale gegen über
gestellt
Di e i n (5 0 5 1 ) ge geb e n e D a r s te l l u n g d er e l ektro
m a g n e ti s ch e n P o te n ti a l e d u r ch e i n fa ch e I n te gr a l e
di e w i r h ie r u n m i tte l b a r
ü b e r de n L a t e n s w e g
au f
ge f ührt w u rd e n w i rd s i ch f ür di e E rm i tte lu n g de s
F e l de s b e w e gte r E l ek tr o n e n a ls b e s o n d e r s ge e i g n e t
er w e i s e n
Die Formel (48) für den Hertzschen Vektor konnen w ir
gleichfalls u n schwer au f die Form bringen
V o lu melem ente
.
,
.
,
.
.
,
.
-
.
.
.
.
„
.
.
.
,
,
,
.
8
d
sie ,
ä
hnli ch
l
d03
du rch Betrachtu ng
der au f den Au fp u nk t h in mit Lichtgeschwindigkeit sich k o n
trah ierenden Ku gel anschau lich de u ten
un
könn en
d
w ie
0
5
( )
u nd
.
Z we i te s K a p i te l
.
Di e W ellenstr ah lu ng
9
5
.
ei ner
E le k tr o m agn e tiso h
es
bew egten Pu nk tladu ng
.
Mo dell
e in e r
L i ch t
q
u e ll e
.
Die En tw ickelu n gen des letzten Paragraphen haben u ns
gezeigt daß der Rau m die elektromagnetischen Wellen zwar
fo rtp ﬁanz t daß aber in dem leeren Rä u m e elektr ische Störu n gen
Die Qu ellen der elektromagn etischen
nicht entste hen kö nn en
Störu n gen liegen in der Elektrizität Da wir nu n das Licht
,
,
.
.
60
E r ste r
Ab
sch nitt
.
Da s Feld
11
die
.
Bew egun g de
r e inz eln en
E lek tro nen
.
elektroma gnetische W ellenstrah lu ng z u betrachten gelern t
haben so w erden w ir z u dem Schlü sse geführt daß im Inn er n
der lichtemittierenden Mo leküle die Elektrizität in Bew egu n g
begriffen ist Das einfachste denkb are elektromagnetische
Modell ein er Lichtqu elle erhalten wir w enn w ir ein einz iges
E lektro n u m sein e Gleichgewichtslage sch w in gen d ann ehmen
Au f Gru n d der allgemein en An sätze de s vorigen Para
graphen könn en w ir das elektroma gneti sche Feld ein e s beliebig
bew egten Elek trons bestimmen Wir w oll en in dessen das v o r
liegen de Problem zu n achst u nter ge w i ss en E in sch rank u n gen
behan deln E inschrä nku n gen die w ir dann in den folgenden
Paragraphen wieder be sei tigen w erden Wir w ollen in Betracht
ziehen daß die Bew egu n g des lich tau ssendenden E lektron s nu r
daß als o sein e E n t
au f mo leku l are Bereiche si ch er streckt
fernu n g au s der Gleichgew ichtslage klein ist gegen diejen igen
Entfernu n gen in den en m an das entsan dte Licht w ah m immt
Ferner so ll die Geschw indigkeit de s Elektrons als klein gegen
die Lichtgeschw indigkeit an gen ommen w erden Die Glei
chu n g (48) des vorigen Ab schnittes führt u ns in diesem Falle
ohn e w eiteres z u m Au sdru cke des Hertz sch en Vektors Die
sich ko n tr ah ierende Ku ge l fän gt beim H in w e str e ich e n über
g
Da die Ges ch win digkeit des
das Elektro n ein en Beitrag ab
Elektrons klein gegen die Geschw in digk eit 0 an gen ommen w ird
mit w elcher die Ku gel sich ko ntrah iert so kann m an die
Integratio n u ber das E lektron so au sführ en als w enn e s in
sein er au ge nb lick lich en L age u h te Na ch ( 1 0) u n d (4 7 ist mith in
)
als
,
,
.
,
.
.
,
,
.
,
,
.
,
.
.
.
,
,
,
r
ld
—l =
)
.
ld
dm g
l
s ein e
dabei stellt 8 die ge samte Ladu n g des Elektrons v o r
Entfern u ng v o m Au fp u nk te die infolge der gemachten An
n ahmen
du rch die Entfernu n g r des Au fp u nk te s v o n der
Gleichgew ichtslage des Elektron s z u ersetzen ist Endlich ist
,
.
E
r
s
t
e
r
2
6
Ab
sch nitt
.
Das Feld 11 di e Bew egu ng der
.
geht au ch in den au s (48 a) folgenden
m agnetischen V ek to rp o tentiales ein
ö
d
2
)
(
E lektr o ne n
einz e ln e n
Au sdru ck des
.
elektro
91
f
ers te Glied
og geb au t w ie der
Au sdru ck für das Poten tial ein er Do pp el u elle (Bd I G1 8 1
—
S
v o m Momen te in l
Die
e
s Gli ed komm t in
der
r
s
(
)
Nähe des E rr egu ngs z entm ms au sschließlich in Betracht ; das
w e nn m an
sieht m an s o fort ein
Das
in
c
5
2
i
s
t
( )
.
ganz
anal
q
,
,
.
.
,
.
,
V„ r = r„
2
5
8
(
)
etzt u n d
Richtu n g
er r ein en Einheitsvektor versteht w elcher der
nach mit dem v o m E rr e gun gsz en tr n m n a ch de m
Au fp u nk te h in gez ogenen Radiu svektor r übereinstimmt ; dann
wird
u nt
s
l
,
)
—
na e
f
5
2
( )
—f )
1
)
entsteht nu n w eiter die Au fgabe au s den elektro
abzu l eiten
W ir
magn etischen Poten tialen die Vektoren
ziehen es vor statt diese du rch V ek to rk alk ül z u berechn en
eine Ko mp o n entenz erlegu ng vorzu n ehmen erste n s w eil so die
Größen ordnu n g der verschieden en Glieder si ch besser über
w eil dabei die Beziehu n g u n s erer
u n d zw eitens
sehen läßt
Entwickelu ngen u der gru ndlegenden Arbeit v o n Hein rich
Hertz ) deu tlicher hervortritt Wir berechnen de n Beitrag
den die z Kompon en te de s Vektors 11 z u m Felde li efert ; führt
das E lektron Schw in gu n gen parallel der z Ach ee au s so stelle n
die betreffenden Anteile der Feldstärken bereits vollstän dig
Der Hertzsche Vektor geht in die Funk tion
das Feld dar
Es
.
,
,
,
,
,
z
1
,
.
-
-
,
.
—
l
T
)
P(
‚
3
5
( )
r
ber die Hertz m it H bezeichnet h at u n d di e v o n manchen
“
Hertzsche Fu nktion genannt w ird Au s ih r
Au toren die
u
,
.
1)
der
.
Hertz
,
Maxw ellsch en
S 1 47
.
H
.
Die Kräfte
Th e orie
.
elek trisch er
Ann d Ph
.
.
y
s
.
Sch w ingu ngen , beh andelt nach
Ge s
erk e
8 6 , S i , 1 888
,
.
.
.
W
II
Zw eite Kapitel
s
.
Die W ellenstrah lu ng
ein er
bew e gten Pu nk tladu ng
.
i d die Komponenten der Feldstärk en gemäß (48 c d)
zu leiten E s ist
s n
63
ab
.
5
3
a
(
)
3y 31
b
ö
g
)
(
62
Die
=
Au sführu ng
6
”
1
l
Gy
5
3
O
(
)
3x 3z
Gy
'
der
.
,
r
’
—
3 3} 3 z
’
Diiferentiatio n en
ergibt
b
”
z
z
-
r
b
ar
:
f
by
“
;
0
D abei sind
es
s
elbstverständlich die Werte
v on
!
d
r das Feld im
f
ü
die
t
)
di
Dieses Ar gu men t brau cht
Au fp nk te in Betr a cht kommen
jetzt als selbstverständlich nicht mehr in den Formeln z u m
Au sdru ck gebracht z u w erden
Führt da s Elektron in der Licht u elle einfach harmonische
Schw ingu ngen au s so daß etw a in (5 3 c d)
u nd
.
für den Argu men tw ert
u
l
(
r
,
.
,
q
.
,
,
—r
)
etzen ist so verhalten sich di e Amplitu den der drei Glieder
z B im Au sdru cke der Kompon enten v on (E w ie
z u
.
s
,
.
1
r
m
r
demnach wenn die E n tfernu ng vom li chtau ssend en den
Molekül klein gegen di e Wellenlän ge des entsandten Lichtes
E s ist
\
,
64 E rste r
Ab
sch ni tt
.
Das Feld
u
.
di e
Bew egun g der einz eln en E lektro nen
.
erste Gli ed z u berücksichtigen Do rt wo man
die Lichtstrahlu n g beobachtet ist im Gegen te il r groß gegen
u n d dasselbe gilt v o n dem ma gnetischen
2 75 I; hi er hängt
die Feldstärken n ehm en hier
Vektor
nu r v o n
ab ;
wenn die Welle sich immer w eite r au sbreite t u mgekehrt p ro
portional der En tfernu n g vom W ellenz entru m ab Das Gebiet
“
gena nn t
in dem die s es s tattﬁndet w ird die „W e ll én z o n e
Wir w ollen die Au sdrücke der Feldstärken in der Wellen
zon e s ogleich in vekto rieller Schr eib w ei se angeben Wir über
s ehen leicht daß w ir die z u ii proportion alen Gli eder in (5 3 c d)
u n d die au s ihn en du rch zykli sche Verta u schu n g v o n x y z
entstehenden w elche Schwin gun gen p arallel der x bz w der
l
n derm aßen
i
n Vektorgleichu n gen
n
f
ch
e
e
t
preche
o
ge
A
s
n
s
y
zu sammenf assen könn en
ist,
das
nur
,
.
,
.
,
,
.
.
,
.
,
,
,
,
.
,
,
D abei
ist
ch (5 2)
na
’
d
5
4
3
(
)
»
0
du
der Beschleun igun g de s E lektrons proportional
Denken w ir u ns nu n die v om schw ingenden Elektro n
en tsan dten Wellen v o n ein em beliebigen Au fp un k te au s be
o bach te t s o han gen die Feldstärken nu r v o n dem Vektor
.
,
k o m m t f ür de n B e o b a chter a ll e i n d i e Pr o
d
er
S
chwi
g
u n g a u f e i n e z u r B l i ckri ch t u n g
k
i
n
t
e
n
o
j
Das ä u ßere Produ kt au s
s e n kre chte Eb e n e i n B e t r a cht
dem Einheitsvektor r1 u nd 11 liegt in dieser Eben e ; es ist dem
Betrage nach gleich der Richtu ng n ach senkrecht z u der
Projektion v o n ii ; ih m p arallel ist nach (5 4) der m a gn eti sche
Vektor der entsandten Wellen der die Polarisation seb n e des
Lichte s bestimmt Der Beob achter w ird demnach geradlinig
polarisiertes Licht wah rnehmen w enn die Projektion der E lek
tro nenbew e gun g au f die z u r Blickrichtu n g senk rechte Ebene eine
ab
.
E
s
.
,
e
,
.
,
Zw eite s Kapitel
.
Die
Wellen t ahl
u ng einer
s r
bew egten Pu nktladu ng
65
.
geradlinige Schwin gu ng ist u n d zw ar wir d die Sch w ingu nge
richtu n g in jen er Eben e senkrecht au f der Polarisations eben e
des en tsandten Lichte s sein
Ist hin gegen die Projektion der
Bewegu n g des Elektr on s au f jen e Eben e ein e Kreissch w ingu ng
w ird der Beob achter zirk u lar polaris ierte s Licht w ahr
so
oder li nk sz irk u lares je nachdem die
n eh men u n d z w ar rechts
K eissch w in gun g rechts heru m oder links heru m (im Sinne des
Uhrzeigers oder im entgegen gesetz ten) u m die Blick richtun g statt
ﬁn det ; den bei ein er Kreis be w egu n g rotieren Fahrstrahl Ge
sch w indi k e its u n dBe schleu n igu n gsvektor in dem gleichen Sinn e
g
Nach (54) bilden (5
u n d r1 e in Sy s tem v o n drei au f
einander senkrechten Vektoren u n d zw ar folgen r„
und
oder (E r au fein ander w ie die Achsen eines rechtshän digen
Ko o rdina tensystem es E s liegt m ithin
in der W ellen eben e
als o p arall el der Projektio n de s Vektors ii
s enk recht z u
e s Be s chle u ni u ngs ektors
oder
d
au f die z u r Blickrichtu n g
g
)
(
sen krechte Eben e
Der Betrag v o n (E ist demjeni gen v on
gleich E s liegen demn ach hi er in der W ellenz o n e dieselben Ver
h ältnisse vor w ie bei eben en ele ktrom agn etischen Wellen (v gl
Nu r än dern s ich bei ebe n en Wellen die Amp li
Bd I 5
tu den w ährend der Fortpﬂan zu n g n icht w ähren d hier bei den
Ku gelw ellen die Amplitu den der Feldstark en mit w achs en der
Entfernu n g r vom Zen tru m wie 1 : r abn ehmen
ist na ch G leichu n g ( 1 3) du rch das
Der Strahlv ek to r
gegeben Er w eist also p arallel
au ß er e Produ kt v o n (E u n d
dem Radiu svektor w as der Beobachtu ng en tspricht Da
e in Sy stem w echs els eitig au fein an der s en krechter Rich tu n gen
bilden u n d die Beträge v on G u nd einan der gleich sind so
ist der Betra g v o n
,
.
,
,
,
r
,
,
,
,
,
.
v
.
.
,
.
.
,
,
,
.
.
,
.
,
c
4
b
5
)
(
c
=
n
2
c
‘
Bezeichn en w ir mit den W inkel der Vektoren r u n d 9
s o wird
e
i
n
5
4
c
( )
die S tr a h lu n g die in der Seku nde du rch die Flächen einh eit
ein er Ku gel vom Radiu s r h in du rch tritt; sie hängt gem äß (54 a)
1
0
2
,
Ab
ra
h
a
m
Th
e o ri e
de r
El kt i i ä
e
r z
t t
.
II
.
5
,
E rster
66
Ab
s ch ni tt
.
Das Feld 11 die Bew egu ng der einz eln en E lek tro n en
.
.
der Ladu n g e u n d v o n der Bes chleu ni gu n g des Elektrons
a b u n d zwar s elb stverstän dlich v o n derj en igen Be schleu n i gu n g
die stattfand als die Welle entsandt w ur de Die Strahlu n g
d h für die Richtu n g
vers chwindet für
ar
0 u nd
des Be schleu ni gun gsvektors u n d für die en tgegen gesetzte Rich
3
5
s enk r e cht
z ur
d
h
tun g ; sie ist am größten für
2
Die Integration über die gan ze
Béschl eu ni gu n gsrich tu n g
Ku gel ergibt als Gesamtstrahlu n g
v on
,
,
,
.
,
.
;
.
.
.
.
S df =
9
1
2
1
1
12
.
2
ds
s
=
ms
u
g
2
—
1
u )
(
?
b
a
Der Radiu s der Ku gel ist herau s gefallen ; es tritt also
du rch alle v o n der Welle du rchs etzten konzentri schen Ku geln
der W ellen z o n e die gleiche E n ergiemenge h in du rch
Diese
Energie h at sich v o n dem schwin gen den Elektron lo sgelö st
wo
nd du rcheilt in Form v o n Well en s trahlu n g den Rau m
si e je nach der Frequ enz der Schwingu n gen als u l tr aviolette s
s ichtbares oder ul trarote s Licht w ah r gen ommen wird
Diese in
Wellenstrahlu n g verw an delte E n ergiemenge w ird der Lichtqu elle
en tzogen ; die pro Seku nde entzogene En ergie ist nach (5 4 a)
.
u
,
.
2 e
’
dh
die Schwin gu n g ein e einfach harmonische
ihre Wellenlän ge im Rau me s o ist
Ist
’
ä h
z
gi
_
d aher wird
der
2 95
u nd
ist
9
(T )
'
En ergieverlu st du rch Strahlu n g
(N V
5
3
5
)
(
32
dt
3
‘
c
2
4
Di e p ro Z e i t e i n h e it du rch S tr a h l u n g v er l o re n e
E n ergi e i s t u m s o gr o ß er j e k l e i n er b e i ge geb e n e r
S ch w i n g u n g s a mp li t u d e di e We ll e n län ge i s t S i e s t ei gt
b e i a b n ehm e n d e r W e ll e n la n ge u m gek ehr t p ro p o rti o n a l
der vi ert e n Po te n z de r We ll e n l än ge a n Die Sch w in
gu n gen erfahren mith in eine D ämp fu n g d u rch S tr a h l u n g
'
,
.
.
.
Z weites Kapitel
Die W ellenstrahlu ng
.
einer
bew egte n Pu nk tla du n g
.
67
Ein e solche D ämpfun g ist zu ers t v o n H Hertz in der oben
zitierten Arbeit theoretis ch abgeleite t w orden
W ir w ollen jetzt die Fra ge erörtern in wieweit dieses ein
fach ste elektrom a gnetis che Modell ein er Lichtqu elle geeignet
is t v o n dem V o rgan ge der Lichte mi ssion e in na tu rgetr e u es
Bild z u geben Wir w ollen zu nächst das Resu ltat der Un ter
vorau ssetzen
su chu n gen Zeeman s ( v gl 5 1 0) vorw egn ehmen d
daß das n egative Elektron e s ist w elches in der Lichtqu elle
dem n egativen Elektron diejenigen
u nd w ollen
s chw in gt
Eigenschaften zu schreiben die wir in 5 2 bei Besprechu n g der
Kathoden strahlen kenn en gelernt haben Wir haben der mathe
m utischen Behandlu n g den Fall zu gru nde gele gt daß v o r Beginn
des Schw in gun gsvorgan ges das Molekül n ach au ße n h in un
elektr isch ist Die einfachste demen tsprechen de Hypothese
w ürde die sein
daß das Molekül au s ein em po sitiven un d
einem n egativen E lektron besteht deren Mittelpu nkte anfangs
zu sammenfallen Wird n u n das negative E lektron vers choben
währen d das po sitive in Ru he bleibt so en tsteht ein e l ek
tr i s ch e r D i p o l
Un ter dem Momente ein es solchen Dipols
w ird m an en tsprechen d dem
Momente ein er Dop p el u elle
z u verstehen haben
o
Bd
I
S
ei
e
Vekt
r
der
der
6
3
n
n
v
n
o
(
)
n egativen L adu n g z u r po sitiven w eist u nd de ssen Betr a g gleich
dem Produ kte au s dem Abstan d de r Mittelp un kte beider Elek
tr on en u n d der L a du n g des po sitiven ist Das ist aber n ichts
an dere s als der du rch 5 2 deﬁni erte Vektor
de
z
r
n
n
e
i
s
w
s
t
a
( )
.
.
,
,
.
,
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,
,
,
,
,
.
,
.
,
,
.
,
,
q
.
.
,
,
.
.
,
der v o n der ru hen den po sitiven z u r bewegten n egativen L adu n g
w ei sen de Fahrstrahl aber derselbe ist mit der n egativen L adu n g de s
bew egten Elektrons z u mu ltiplizieren Das Feld ein es der z Achse
p arallelen Dipols brin gen die Formeln (5 3 c d) z u r D arstellu n g
Wollen wir nu n erklären w ie so etw a das Licht des
Qu e ck silberdamp fe s au s einzeln en fein en Spektrallin ien besteht
so
müssen w ir den in den Molekülen be w egten Elektron en
gewisse E igensch W ingu ngen zu schreiben Um die Exi stenz
,
-
.
,
.
,
,
.
5
*
E rster
68
Ab
s ch nitt.
Das Feld
11
.
die Bew egu ng der einz eln en E lek tro nen
dies er
.
Eigenschwin gu ngen z u verstehen nimmt die Elektronen
theorie an daß au f die Elektron en gewi sse u a s i e l a s t i s ch e
Kr äf te wirken d h Kräfte w elche der jeweiligen En tfernun g
Da die Elektron en
au s der Gleichgew i chtsla ge proportional sind
Trägheit besitzen so würde hierdu rch die Möglichkeit v o n
Eigenschw in gungen bestimmter Frequ enz gegeben sein Freilich
ist so nu r e in Rätsel au f ein an deres zu rückgefü hrt Denn es
en tsteht nu n di e Frage welcher Ar t jene u asielastisch e Kraft
ist o b sie ihr ers eits elektrischen Urspru n ge s ist etwa v o n der
po sitiven Elektrizität herrühr end oder ob sie v on der wägbaren
Materie au f die Elektron en au sgeübt wird Au ch di e große
Zahl der Spektrallinien jedes ei nzelnen chemischen Elementes
bereitet der Erkläru ng Schwi erigkeiten Soll man ann ehmen
daß jede s Molekül des Qu e ck s ilbe rdamp fes alle die Spektral
lini en au ssen det oder strahlt das ein e Molekül di es e das an dere
jen e Lini e au s ? Im ersteren Falle wäre dem Molekül ein e
ro ße Z ahl elektri scher Eigensch w ingu ngen zu z u schreiben u n d
g
das einfache Modell des e lektrischen Dipols w ürde dann ni cht
Im z w eiten Fall jedoch
z u r D arstellu n g de s Fe ldes au sreichen
würde die Existenz der merk w ürdigen Gesetz mäßigkeiten
welche die Spektrallini en man cher Körper aufweisen schwer
verständlich sein Die Fra gen der moleku laren Stru ktu r die
mit dem Probleme der Spektrallinien z u sm ms nh ängen sind
leider n och w enig au fgeklärt Wir müssen un s damit begnügen
an u n serem ein fa chste n elektrom a gn etischen Modell fe sthaltend
jede Spektrallin ie einem anderen Dipol zu zu schreiben u nd die
Eigenschw in gun gen formal du rch Einführu n g u asielastisch er
Kräfte z u r D arstellu n g z u brin gen Wir gelangen so z u einem
Ansatz der als Arbeitshypothese gu te Dienste leiste t
Wir setzen die Schw in gu n gsgleichu ng des elektrischen
Dipols in de Form an :
q
,
,
,
.
.
,
.
,
.
q
,
.
,
,
,
.
.
.
,
,
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
q
.
r
6
5
( )
h (5 2) konn en wir schreiben
n ac
o
70 E rster Absch nitt Das Feld u die Bew egu ng der einz eln en E lek tr on en
.
.
.
Wir erh alten daher
_
dl
Es
ni
W
der
c
mmt die Schwin gun gs en ergie
5
6
e
(
)
wo
3
==W
e
o
h dem Gesetze
nac
ab
—Y '
,
Abk l i n gu n gs k o e f f i z i e n t
5
6
f
(
)
etzen ist Dasselbe E xpon entialgesetz gilt für die Abnahme
der Intensität der entsandten Strahlu n g ; dem Lichtw ege 1 cm
entspricht ein Herabsinken der Lichtintensität au f den Bru ch
teil e 7
Nu n läßt sich aber au s In terferenz v ersu ch en ein e obere
Grenze für die Abn ahme der Strahlu n gsintensität gew inn en
Für m an che Spektrallin ien z B für di e grün e Qu e ck silberlini e
haben sich nämlich Interferenz en bei sehr hohen Gangu nte r
schi eden herstellen lass en Die Verfein eru n g der Techn ik s olcher
In terfer onz v e rsnch e u m di e sich A Michels on O Lu m mer u nd
an dere E xperimen ta tore n verdien t gem a cht h aben h at z u sicht
baren In te rferen zen n och bei Gangu nterschieden v o n 5 0 cm
geführt Wäre nun die Abklin gun gk onstante 7 so groß daß
ein em Lichtw ege v on 40 cm ein Herab sinken der
s ich au f
Intensität de s Lichtes au f e in Hu n dertste l ihres Wertes
oder einen n och geringeren Bru chteil ergäbe so könn te
die Theorie v o n di esen Interferenz v er su ch en n icht Rechen
Wir w ollen sehen welcher Wert v o n 7 sich
s chaft geben
au s (5 6 f ) ergibt
Wir setzen ﬁir e u nd ; die in (2) u nd (9) angegebenen
—5
Werte ein n ehmen 1 5 1 0 an u n d ﬁn den
z u
s
.
"
'
.
.
,
.
,
.
.
,
.
,
.
,
,
.
,
.
.
o
.
,
8 75
—
3
’
— 1°
3
—8
D arau s ergibt sich für ein en Lichtweg v on
Herab sink en der Lichtintensität au f den Bru chteil
—
e y
'
-
5O
-
o, i
50
cm
e in
Zw eite s Kapite l
Die
.
Wellen
strahlu ng einer
bew egten Pu nk tladu n g
.
71
rde hiernach bei einem Ga ngu nterschied v o n 5 0 cm noch
s ehr wohl ein e In terferenz
bemerkbar sein Man könn te sich
eher darüber w u n dern daß nicht bei n och hoheren Gangun ter
s chieden In terferen zen sich hers tellen lassen
Allei n au ßer der
D ämpfu n g du rch Strahlu n g dürften n och an dere Ursachen mit
spielen die de n regelm äßigen Verlau f des Sch w in u n sv o rgm ge s
g g
beeinträchtigen So dürfte z B beim Stoße zweier Moleküle de s
Dampfes der u rsprüngli che Schw in gu ngsvorgang gestört u n d
eine n eu e mit ein er an deren Phase eins etzende Schw ingu n g
eingeleitet w erden
In der Sch w i n gun gsgleich u n g ( 5 6 ) bz w (5 6 a) is t der
D m p fu n g du rch Str ahlu n g nicht Rechn u n g getra gen w orden
W i w ollen jetzt nachträglich die Schwin gun gsgleichu n g s o
modiﬁzieren daß der du rch (5 5 ) in allgemeins ter Wei se an
ge geben e En ergieverlu st z u m Au s dru cke gelan gt Wir führen in
“
n
5
6
a
e
h
ei
n
di
ip
a ti v e Kr a f t R
i
dem
wir
s
c
reibe
e
s
s
i
n
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)
(
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es
.
,
.
,
.
.
.
,
.
.
a
.
r
,
.
'
,
%
7
5
( )
Q
*
k p
.
’
.
Diese dis sipative Kraft ﬂ stellt die R ü ck w i rk u n g d e r
S t a h l u n g a u f da s b e w e gte E l ektro n dar Ihre Arbeits
leist n g m ß m it dem En ergieverlu ste ( 5 5 ) du rch die Relation
v e k n u p ft s ein
°
‘
r
.
u
u
r
d bei b e eichnen t t zw ei etw a du rch ein e gan e Schw in gu n g
t
nn te Zei tp u n kt e
n
e
re
z
de
n
e
die
Be
s
c
h
l
e
u
n
ig
g
E
ek
u
u
n
d
es
l
g
tron s gleich N ll ist Während des Zeitin terv alles v o n 13 bis 13
w i d e in e b es timm te E n e rgiemen ge e n tsan dt ; die s e
m u ß die
gesamte in der gleichen Zeit v o n der ru ck w irk enden Kraft 3
gele iste te A beit en tgegen gesetzt gleich sein Würde etw a z r
Zei t t die n gleichfö mige Bewegu ng de s Elektrons beginnen
Z eit t endigen so w u rde die gesamte Arbeit v o n R
un d z
u n d die ge s mte En ergi e der en tsan dten Wellen strahlu n g in
den Au s d ücken (5 7 a) e nthal ten sein
a
z
1
,
z
,
,
u
1
.
r
2
r
'
,
r
.
u
1
u
r
'
ur
2
,
a
r
.
7 2 E rste r Abschn itt
.
Das Feld
11
.
di e Be w e gung der
einz eln e n
e
E lek tron
n
.
Wir könn en min die rechte Seite v o n (5 7 a) du rch par tielle
Integration u mformen ; da die Be schleun igun g an den Gr enzen
de s Inte gratio n sinterv all e s vers chw indet so w ird
,
R) di
‘
Wi r er f üll e n
w i r s etz e n
(
als
o di e E n ergi e g l ei ch u n g i n d e m
,
2
)
08
3
d h
2E F
8
’
d h i n d e m w i r di e Re a k t i o n s kr a f t der S tr a h lu n g d em
z w e i te n D i f f ere n ti a l q u o ti e n t e n de s Ge s c h w i n di gk e i t s
d er Z e i t p r op o rti o n a l a n n ehm e n Diese
v ek t o r s n a ch
dissipative Kraft wirkt mi thin n ach ein em anderen Gesetze als
die Reibu n gskraft der gew öhnlichen Mechani k welche man
der Geschw in di gkeit proportional z u setzen pﬂegt Man sieht
s ofort
daß man du rch An n ahme ein er Pro mrtio nali tät mit
oder au ch mit
oder irgendeinem höheren Differen
h
tid u o tienten oder au ch ein em Aggregate derartiger Glieder
n icht den richtigen Wert ( 5 7 a)
der Arbeitsleistung erhalten
könnte W ir w ollen an dieser Stelle au f etw aige Bedenken die
der obigen Ableitu ng v on R entgegengestellt w erden könnten
n icht ein gehen
da wir w eiter u n ten (in 5 1 5 ) v o n ein em all
gemein eren Stan dpu nkte au s die Behandlu n g der Frage wieder
au fnehmen w erden )
D u rch Einführu n g des Au sdru ckes (5 8) v on Q in (5 7)
erhalten w ir
.
.
.
,
,
,
,
8
_
,
q
.
,
'
,
,
?
'
8
5
8
(
)
di e se
v on
3 c
“
dt
gemein e Schw in gun gsgleichu n g tritt nu n mehr an Stelle
a)
Gem
ß
k
ann hierfür ge schri eben werde n
5
6
ä
2
5
(
( )
all
.
2
5
8
h
(
)
1)
b
t
i
g
a
dt
H A
e in e
.
.
Lo r entz
direkt er e
‘
3
e
*
m c dt
°
°
d
m
a
t
h
e
m
E
n
z
kl
(
y
.
Abl it
e
.
u ng v o n
.
W ieseneck
.
V
.
Ar t 1 4 Nr 20)
.
.
Zw eites Kapite l
.
Die
Wellenst ah l
bew egte n Pu nktla du ng
u n g ein er
r
.
73
D i e S chw i n g u n g s g l e i ch u n g de s e l ektr i s ch e n D i
p o l e s w i rd a ls o b e i B e r ück s i chti g u n g d e r St r a h l u n gs
d ämp f u n g e i n e D i f f er e n ti a l g l e i ch u n g dri tte r O r d
nu ng )
1
.
De r Z oo m e n E ff e k t
-
.
Daß das elek troma gn eti s che
Modell ein es lichtemittieren den
Mo lek üles w elches wir soeben kenn en lern ten in m an chen Fällen
der Wirklichkeit entspricht dafür ist der experimentelle Be
’
weis d ch die En tdecku n g P Zeem ans ) erbra cht w orden
Die ser Forscher h at gezeigt daß die Spektrallini en in starken
m agnetis chen Feldern gew isse Veränderu n gen erfahr en ; dies e
Verän derun gen haben sich in den meisten Fällen oh n e w eiteres
Wir dürfen
au f Gru n d der Lo r en tz sch en Theo rie de u ten las sen
n icht v ers au m en
den Zeem an E ﬂek t au s der im vorige n Para
r
aph en en tw ickelten Theorie abzu leiten
g
Führen w ir der Gru n dgleichu ng V gemäß die v o n dem
au ßeren Ma n e tfelde au f das E lektro n au s ge übte Kraft in die
g
Bew egu ngsgleichu n g (5 6 a) ein so lau tet diese
,
,
ur
.
.
.
'
-
,
.
,
,
,
oder w enn wir u berall nach (5 2) die Geschwin digkeit 5 des
E lektrons du rch das elektrische Momen t b des Dipols ersetzen
l
l
—
—
—
des negativen Elektr on s
u n d die speziﬁsche L adu n g
f 55
einf ühren :
,
c n
’
d
—n —
ä
d
5
9
( )
[t
-
Dabei haben w ir das Damp fu n gsglied w ieder u m fort
gelassen w eil der äu ßers t ge inge Betrag der D ämpfu n g für
die Frequ enzen der Eigenschw in gu n gen nicht w esen tlich in
Betracht kommt
Wir legen der Integration der Schw in gu ngsgleichun g (5 9)
Die z Achse
s ofort e in geeignete s Koordin atensy stem zu gru n de
r
,
.
-
.
M
Planck
2) P
Z eeman
l)
.
.
,
.
Ann d Ph
.
Ph il
.
.
Mag
.
y
s
.
6 0, S 5 7 7
.
48 , S 226
.
u
.
.
1 8 97
.
44 ‚ S 25 5
.
.
1 8 97
.
E
r
b
sc
n
i
tt
h
rs
t
e
A
74
Das Feld
.
u
.
die
B ew egun g der
einz eln en
E lektro ne n
.
Richtu ng der m a gnetischen Kraftlini en weisen wahren d
die (x y) Ebene au f diesen senkrecht steht ; dann ergibt die
Komponentenz erlegun g
mag in
-
d
5
5
9
(
)
’
r
a:
a,
d
5
9
5
(
)
d
5
,
’
d
r
”
3
n
,
+
:
m
a:
d
5
9
c
( )
d
‚
=
Die Sch w ingu ngsk o mp o nente parallel den magneti schen
Kraftlin ien w ird demnach v o n de m m agnetischen Felde nicht
beein ﬂu ßt Setzen w ir
.
Ce
so
ist
die Frequ enz
,
gleiche welche allen drei
au ßerh alb de s m a ne ti s chen Felde s
g
k die
11
Sch w ingun gsk o mp o n en ten
zu kommt
iv t
,
.
ber die Schwin gu n gen in der (x y) Eben e anbelangt
u
s
l
d
rch
n
eti
che
Fe
d
s o sin d di e Kompo n enten b
a
m
a
s
d
b„
g
miteinander verkoppelt wie die Gleichun gen (5 9 a b) anzeigen
Das läßt vermu ten daß wir hier zwei von ein an der u n d v o n
der m sp ru n glich en Fr equ enz 19 abw eichen de Fr equ enzen v u n d
erhalten w erden Wir versu chen die Diﬂerentialgleich u n gen
a b ) du rch den An s atz
9
5
(
W as
a
-
,
„
,
,
.
,
'
v
"
‘
.
,
=
”
0
6
( )
3
m
de
;
”
9
i”
be
befriedigen w o a u n d b zwei komplexe fu r Amplitu de u n d
Phas e der beiden Kompon enten m aßgeben de Konstanten sin d
Wir ﬁn den
z u
,
,
.
0
3
6
)
(
b
i
löl
’
5 (k
v
”
)
D u rch Elimination v o n
tische Gleichun g erhalten
)
9
a
u nd
|Ö |
a ir
.
b w ird für
”
die
a:
qu adra
2‚ s
„
_
Bezeichnen w ir mit v die klein ere mit
der beiden Frequ enz en so erhalten w ir
'
,
,
11
"
die
ro ßer e
g
Zw eites Kapitel
.
Die
Wellenst
r ah lu n g ein er
**
v
oder
,
w
eil
„lo
v on
v
'
ä
—
75
.
w
— k°=
po sitive Werte
nu r
bew egte n Pu nk tla du ng
,
v
"
z u las si
g
’
n
-
n
er de n a l s o v o n de n z u de n M a g n e tkr a f t l i n i e n
s e n kr e chte n S c h w i n gu n
s k o m p o n e n t e n de s D ip o l s z w e i
g
S p ek tr a ll i n i e n e n t s a n d t d ere n Fre q u e n z e n v o n e i n a n d e r
sp r u n
u en z 7
9 a b w e i ch e n
h
Fr
e
q
u nd v on der u
l
i
e
n
c
g
D e r Ab s t a n d d er b ei de n S p ek tr a ll i n i e n in der Skala
der Freq enz en gemessen betra gt
E
s
w
,
r
.
,
u
,
V
0
d
6
)
(
'
g l e i ch d e m Pro d u k t e a u s d e r s p e z i f i s ch e n L a d u n g
d e r s ch w i n ge n d e n E l ek t o n e n u n d d e r m a g n e ti s ch e n
F e l ds t ä r k e
Die u r sp r u n glich e Fr equ en z 70 entspricht nach (60 c) nicht
gen de Mitte de beiden abgeän derten Frequ enz en v v
für alle herstellb aren
Doch ergibt sich das Produ kt 7
F elder so gerin g
n u r mit in ten siven Feldern gelin gt über
daß das Q u a drat die se s
hau pt die Trenn u n g der Lin ien
P odu kte s in ( 60 c) z u verna chlässigen ist u n d daß mit ge
An n ah e ru n g ge setzt werden darf :
n ügen de
er
is t
r
.
au
r
'
r
"
1
r
,
r
6
0
e
( )
Um nu n den C h rak ter der stattﬁn den den Schw ingu n gen
m u ssen w ir das Verhältni s der Kon stan ten a b
z u erke nn en
Gleich n gen (60 a) ermitteln Für di e lan gsamere
au s ein er de
der beide n Schwin gu n gen v o n der Frequ en z folgt au s (60 a b )
a
'
,
,
u
r
.
,
,
'
b
6
f
0
(
)
fu r
a
'
=
n
‚
k
„
’
i v nlb l
'
= +
z ,
die schn elle e der beiden Schw in gu ngen
r
,
"
60
( g)
b
nz
,
„
k
2
i v n!© l
v on
der Fr equ en z 1
1
E rste r
76
Ab
sch nitt
Das Feld
.
11
.
die Bew egu n
g
der
einz elnen
E lektro ne n
.
i d also so w ohl ﬁir die lan gsamere wie für die
Schw ingu ng die Amplitu den der beiden Kompo
s ch n ellere
l
w
n um
die
g
eiche
die
h
e
jedoch
eiche
n en te n p„ p
n
as
n
P
;
„
n ein an der ab
vo
Beide
dem
n ach zirku lare Sch w in
s sind
2
gu n gen Bei der lan gsamen Schwin gun g ist nach (60 f )
“
die y Komponente der Kompon ente u m
an Phas e voran
d h die Kreisbe w egu ng führt na ch ein er Viertelschw in gun g
v on
der y Achse z u r Achs e sie stellt also ein e n egative
Drehun g u m die mit de r z Achse zu sammenfallen de Richtu n g
Einem au f der Seite der po si
de s magnetischen Felde s dar
tiven z Achs e beﬁn dlichen Beobachter erscheint die Kreis
oder als
schw in gu n g als Drehu n g im Sinn e de s Uh rz eigers
rechts zirku lare Schw in gu n g Bei der schn elleren Schw in gu ng
hin gegen ist nach (60 g) die Kompon ente der y Komponente
um
an Phase voran
die
se Bewegu n g en tspricht ein er po si
é
tiven Umkreisu ng der z Achse u nd ers cheint ein em au f der
Seite der po sitiven z Achse beﬁn dlichen Beob achter als links
zirku lare dem Uh rz eigersinne en tgegen gesetzte Schwingu ng
Wir denken u n s jetzt die Flamme zw ischen den Polen
des Ma gneten ; au f derjenigen Seite na ch der das m agn e ti sche
Feld gerichte t ist mag der Ma gn et du rchbohrt sein W as
w ird e in du rch das Loch hin du rchblicken der Beob achter wahr
n ehmen ?
Für die sen Beoba chter kommen n u r die Schw in gu ngen in
der (x y) Eben e in Betracht ; denn wir haben im vorige n Para
graphen gesehen daß nu r die z u r Blickrichtu ng senkrechten
Kompon enten der Elektronenbewegu n g für die au sgestrahlten
Wellen maßgebend sind Die der z Achse p arallele Ko m
pon ente sen det daher den Magnetkraftlinien p arallel kein Licht
au s
Der Beobachter w ird also bei spektraler Zerlegu ng
de s Lichte s di e u rs prün glich einf a che Spektrallinie verdoppelt
ﬁn de n
D i e s e s D u p l e t v o n L i n i e n i s t z i r k u l a r p o la r i
s i er t
u n d zw ar
e r s che i n t d em B e o b a ch t e r w e l ch e r
de n Kr a f t l i n i e n de s m a g n e ti s che n F e l d e s e n t ge ge n
b l i ckt di e i m S p ek tr u m a u f d er r o t e n S ei te l i e ge n de
E
s n
s
,
,
,
75
-
.
,
,
.
-
-
,
.
,
,
.
-
-
,
-
.
-
.
-
-
-
,
-
-
.
,
.
-
,
-
.
.
.
,
,
,
r
t
E
r
s
e
78
Ab
s ch ni tt
.
.
B ew egu ng der
e inz elnen
E lek tro nen
.
Beobachter w ahrn ehm en der das senk
recht z u den Ma gnetkraftlinien au sgestrahlte Licht spektral
zerlegt ? Er w ird nach 5 9 die Projektion der Schwin gun g
als o den m agneti s chen
a u f ein e z u r Blickrichtu n g sen krechte
Kraftlinien des Felde s parallele Eben e beobachten In der
Projektion ergeben aber die beiden zirku laren Schwin gu ngen
geradlin ige Schw in gu ngen v o n den Frequ enz en v u nd v
z u
den Kraf tlini en
Hierzu tritt nu n n och die
s enkr ech t
Schwin gu n g p parallel d en Kraftlin ien deren Frequ enz die
u rsprün glichen Spek tr alli n ie
i
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der
Der
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b
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w ird als o e in T rip l e t v o n Lin ien w ahrn eh m en ; in den beiden
a u ß e r e n Li n i e n ﬁn den die e l ek tri s ch e n S ch w i n g u n ge n
s e n k re ch t z u de n m a g n e ti s ch e n Kr a f t l i n i e n de s äu ßeren
Feldes statt ; dies e sin d also ge adlini g p arallel den Kraftlin ien
polarisiert Die i n n e e L i n i e hin gegen ist s enkrecht z u den
magnetischen Kraftlinien polarisiert ; in ihr ﬁnden die S c h w i n
g u n ge n de s e l e ktri s ch e n Vekt o r s p a r a ll e l de n Kr a f t
l i n i e n de s M a g n et f e l d e s statt in dem sich die Flamme
beﬁndet Au ch di ese Beschreibu n g des „ tr a n s ve r s a l e n
“
Z e e m a n E f f ekt e s entspricht bei den meisten Spektral
lin ien der Beob achtu n g
Diese einfache Form w eist die V eranderu n g der Spektral
lini en im m agn eti schen Felde jedoch kein e sw egs in allen Fällen
Man che Spektrallinien z B die gelben Natriu mlinien D
au f
teilen sich ans tatt in drei in v ier oder in sechs
un d D
Lini en ; gewisse Lin ien des Qu e ck silbersp ek tr u m s w eisen bei
Beobachtu n g senkrecht z u den m agnetischen Kraftlin ien so gar
ein e Teilu ng in n eu n Lin ien au f Wie die sorgfältigen Unter
su chu n gen v o n C Ru n ge u n d F Pasch en ) ergeben haben sin d e s
gera de di e Serienlin ien die s olche a n om a l e n Z e em a n E f f ekt e
zeigen Diese Untersu chu n gen haben sehr bemerkensw erte Gesetz
m aßigk eiten fe stge stellt Al le Lin ien ein er u n d ders elben Serie
w eis e n die gleich e Zerle gu n g im ma gneti schen Felde au f s o w ohl
W
i
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1 902 S 3 80
7 20
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Das Feld 11 die
n u n e in
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s e rs
an
.
Zw e ite s
Kapitel
.
Die
Welle nst ah l
u n g e in er
r
bew egte n Pu nktladu ng
.
79
Zahl als au ch w as den in der Skala der Frequ enzen
gemessen en Ab stand der getrenn ten Linien anbelan gt Ja sogar
die Lini en verschiedener Elemen te die einer u nd ders elben
Gru ppe des Men delej eﬁsch en Systeme s an gehören be sitzen meist
den gleichen Zeem an E ffekt w enn sie entsprechen den Serien
an gehören
Der Zeeman Effekt ist ein charakteristisches Merk
m al für die be treffen de Serie ; e h at e s in ein igen Fällen er
m öglich t bis d ahin n och nicht in Serien ein geordneten Lini en
ihren richtigen Platz anzu weisen
Da s in den beiden letzten Para graphen entwickelte ein
fa che Modell ein es leu chten den Mo lek üles erweist sich wie wir
gerade für die Serienlinien als u nzulän glich da diese
s ehen
In der T at konnten
Lini en an om ale Zeem an E ﬂek te zeigen
w ir das Bild ein es ein zeln en u nt e r dem E inﬂu sse ein er qu a s i
elastischen Kraft u m ein e stabile Gleichgew ichtslage schwin gen
den E lektron s nu r als ein e provi sorische Arbeitshyp o the s e be
E s ist merkwü dig genu g daß die se s Bild w en igstens
tra chten
für die i solierten Linien v o n der Beob a chtu n g bestätigt w ird
E s ist bisher n och ni cht gelu n gen di e an om alen Zeem an E ﬁek t
v o m S tan dp u nkte der E lektron en theorie au s in befriedigen der
Weise z u deu ten Die v o n C Ru n ge u n d F Paschen entdeckten
Ge setzmäßigkeiten lasse n vermu ten daß ein e befriedigen de Er
kläru n g nu r in Verbin du n g mit der Theorie der Sp ek tralserien
möglich sein w ird Jen es einfache elektrische Modell eines
Mo lek üles oder Atomes w ird dabei zw eifellos du rch ein k o m p li
z ierter e s z u ers etz e n s ein
Da u n sere Kenn tni ss e der elektri schen
Stru ktu r der Atome u n d Moleküle der Materie nu r gering sin d
s o ist d ab e i der H yp o th esm bildu n
ziem
ich
reie
l
f
s Spi el gelass en
g
An ders eits sin d die v o n Balmer Kay ser u n d Ru n ge Rydberg
u n d Ritz f ür die Wellen län gen der S e k tralser ien au fge stellten
p
Formeln so gen au gültig daß sie ein recht scharfes Kriteriu m
f ür die Zu lässigkeit e iner derarti gen Hypothe s e bilden
Die
Deu tu n g jener Sp ek tralfo rmeln w elche gleichzeitig die Theorie
der an omalen Zeeman E ﬁek te der Serienlin ien ergeben müßte
is t w ohl die wichtigste u n d die s chw ierigste Au fgabe der elektro
magnetischen Lichttheorie Daß die Elektron entheorie ni cht gan z
w as
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e
80
Ab
Das Feld 11 di e Bew egu ng der
sch nitt .
e inz elne n
.
E lek trone n
.
der fals chen Fah rte ist zeigt der Umstand daß hin sichtlich
der Polarisation die anomalen Zeeman E ﬁek te den n ormalen
ähnlich sin d
So weisen z B v o n den n eu n Linien in w elch e
n
l
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s
s
e
g
sp alte n die dr ei inn eren die selbe Polari sation au f wie die inn ere
Linie des einf achen Triplets währen d die äu ßeren Linien eben
w ie die au ß e ren Lin ien de s Triplets bz w
so po larisiert sin d
Du plets nämli ch bei Str ahlu n g senkr echt z u m magneti schen
Felde geradlin ig p arallel den Kraftlin ien bei Strahlu n g parallel
dem m agnetischen Felde zirku lar Au ch ist die Größen ordn u n g
der Linienabstän de u nd der Sinn der Zirk u larp o larisatio n
de rselbe w ie bei dem einfachen Du plet u nd T&
iple t Das
läßt vermu ten daß au ch hier die n egativen Elektr on en in
Bewegu n g begriffen sin d freilich u nter w eni ger einfachen Be
au f
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‘
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.
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11
.
Bei de Strahlu n g der Bandensp ek tren ist e s bisher n icht
—
gelu n gen einen Zeeman Effekt des magnetischen Feldes nach
zu w eisen Man kann im Z w eifel sein o b di eses Licht v o n
Elektro n en au sgesm dt w ird die m it Atomen der w ägbaren
Ma terie verkoppelt sin d oder o b es den Schw in gu ngen de
po sitiven Elektron en sein en Urspru n g verdankt E s ist viel
leicht n icht gan z au sge schlo ssen daß e s m it Hilfe ein er v e
fe inerten O ptischen Techn ik ein st gelinge n wird über die s e
Frage Au sku nft u erhalten
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.
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5
11
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Di e
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el ek tr om a gn et is ch en
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P u n k tl a du n g
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Berec
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5
Vekto rs für ein e schwingen de Pu nktladu ng u n s gew isse Ver
n a chläi
ssi u n en ge sta tte t
aben an gen ommen
Wir
h
die
d
a
ß
g g
B ewegu ng der Ladu ng au f ein en Bereich sich erstreckt dessen
Abme ssu n gen klein ge gen die En tfernu n g der Pu n ktladu n g
v o m Au fp u nk te sin d
Sodann haben w ir die Geschwin digkeit
der bew egten Ladu n g als klein gegen die Lichtgeschw in digkeit
an ges ehen
Diese Vorau ssetzu n gen w ollen wir jetzt fallen
W i b e tr a ch te n e i n E l ektr o n w e l ch e s s i ch
lass en
In
9
r
.
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.
.
.
r
,
Zw eite Kapitel
s
Die W ellenstrahlu ng
.
eine r
bew egte n Pu nk tladu ng
.
81
b e l i e b i g im R a u m e b ew e ge n k a n n ; s e i n e Ge s c h w i n
di gk e i t s o l l z u n a ch s t b e l i e b i g gro ß a n ge n o m m e n
w e rd e n Wir lassen indessen au ch jetz t noch die Gr öße u n d
Gestalt des Elektr ons u nber ücks ichtigt in dem wir dasselbe
Wie w ir bereits früh er er
w ie ein e Pu nktladu n g behan deln
ist es vom S tan dp u nk te der Nah ew irk u ngsth eo rie
w w ten
au s u n denk bar daß e in e endli che E lek h iz itötsm en ge au f ein en
mathematischen Punkt zu sammengedrängt w ird da dieses ein en
Wir werden
u n en dli che n W ert der Felden ergie ergeben würde
diese Bemerku ng sp äte r b estätigt ﬁn den u nd we rden der
Dynamik des Elektr ons bestimmte Annah men über seine Form
Im merhin werden sich
u n d Be w egun gsfreiheit z u gru n de legen
v o n der Ord
die Abmessu n gen des Elektrons so gering
daß es für m an che Zwecke au s
cm
er geb en
nu ng
reichen d ist das Elektron als Pu nktladu n g z u betrachten Das
wird selbstverstän dlich nu r für so lche Au fp u nk te erlau bt sein
deren Ab stan d vom Elektron groß gegen dessen Abmessu ngen
ist Die ser Bedin gu n g gen ügen jeden falls die in der W ellenz o n e
gelegen en Au fp u nk te D aher w erden wir die Formeln dieses
Para graphen insbes on dere z u r Ermi ttelu n g der v o n ein em
rasch bew egten Elektron entsandten Wellens trahlu n g verwerten
können Wir werden so der in 5 9 entwickelten Theorie der
ru henden Lichtqu elle eine Th e o ri e d er b e w e gt e n L i cht
q u e ll e an die Seite stellen u nd werden an derseits gew isse
Kons equ enzen der Stokes W iech ertsch en Hypothese en twickeln
welche die R ö n tge n s tr a h l e n als die beim Au fp all der
Katho denstrahlen au f die An tikathode entsan dte W ellens trahlu n g
Diese Folgeru ngen sin d gerade da du rch bemerken s
an sp richt
w ert daß sie sich au f den Gren zfall ein e s Elektrons v o n v e r
Welche Vorau ssetzu n gen
schwin den den Abme ssu n gen beziehen
man au ch über die Gestalt de s E lektron s m a chen möge beim
Grenz übergan g z u verschw in den d klein en Abmessu ngen mu ß
Fr eilich ist dieser Grenz
s ich ste ts dasse lbe Re su l ta t ergeben
übergan g w ie wir sehen werden n icht immer erlau bt
In
allen F ällen jedoch in den e n er erlau bt ist s in d die Ergebni ss e
als Folgeru n gen der Grun dhypothe s en der E lektro nentheorie
.
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82
Ab
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Das Feld
s ch nitt
.
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die
B ew egu ng der
einz eln en
E lek tro nen
.
ein an zu sehen die in den Gru n dgleichu n gen (I) bis (V)
formuli ert sin d
W i bestimm en die elektrom agnetischen Potenti ale de
Pun ktla du n g au f Gr u n d der allgemein en Formeln (5 0
W ir denken u ns ein e E lektrizitätsmen ge e die ein en ge
Die E n tfernu n g des Au f
w i ssen en dlichen Bereich erfüllt
p u nktes P soll groß sein gegen die Abmessu ngen jen es
Bereiches Wir erinn ern u n s der Deu tun g mit H ilfe der au f
den Au fp u nk t h in sich mit Lichtge schw in digkeit ko ntrahi eren de n
Ku gel du rch di e wir die Formeln (5 0 a) u nd (5 1 a) erläu terten
Für u n seren Au fp u nk t P ist der R adiu s
der Ku gel groß
gegen die Abmessu n gen der Flächenstücke f in den en sie das
bew egte Elektron schn eidet ; es sin d mithin diese Flächenstücke
m it genügen der Ann äheru n g als eben z u betra chten ; du rch
diese Eben en w ird das Elektron in dünn e Scheiben v o n de
Hohe dh zerschnitten ; die einzeln e Scheibe en thält die E lek
all
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triz itätsm en ge
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bezieht sich die In tegration in (5 0) nicht au f die
V o lu m elem ente des bew egten E lektr on s son dern au f die jew eils
Will
o n Elektr izität erfüllten V o lu m ele m ente de s Rau me s
m an den Beitrag
Nu n
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.
l d} den 9
df g
.
di
.
berech nen den di e E lekt izitätsmen ge de de einzeln en Scheibe
z u de m Werte v o n ( D im Au fp u n k te bei ste u ert
s o m u ß m an
den Ab stan d dl der bei den L agen der sich kon trahieren den
Ku gel berechn en w o diese in die elek triz itätserfüllte Scheibe
eintritt bz w au s dieser au stritt ; dieser Abstan d ist im Rau me
E s ist aber
n icht im be w egten Elektron geme ssen z u denk en
u be echn en
Setzen w ir
n icht sch w er d
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die Zeit w ahr en d deren die mit der Gesch w indig
keit 0 du rch den Rau m eilen de Fläche über die Scheibe v o n
Diese Zeit be echnet sich als
de r Höhe dh hin w e get eich t
Q u otient au s der Höhe dh u nd de di eser Höhe p rallelen
Komponente der Relativgeschw in digkeit der bew egten Fläche
so
ist dr
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Z w eite Kapitel
s
.
Wellen t ah l
Die
u n g ein er
s r
bew egten Pu n k tladu ng
.
83
bewegten Scheibe Die Ku gel bew egt sich mit Licht
geschw in digkeit (c) senkrecht z u der Gru n dﬂäche der Scheibe
w ähren d di e Ge schwin digkeit der Scheibe du rch die Ges ch w in
digk e it 11 de s E lektron s sich be stimmt ; u n d zwar ist die
Komponente v o n 11 in Richtun g n ach dem Mittelpu nkte de
Ku gel d h in Richtu n g des vom Elektron nach dem Au f
pun kte h in gezogen en Radiu svektor r u nehmen Folglich
ist die en tsprechen de Kompon ente der Relativgeschwin digkeit
E s ist also die Zeit dr
v o n Ku gel u n d Scheibe gleich 0
h
w ähren d deren die Ku gel die Scheibe überstreicht
un d
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Wir haben s oeben stillschw eigend an gen ommen daß 0
ist d h daß das Elekt on v o n der sich kon trahieren den Ku gel
Bew e gt sich hin gegen das Elektron mit Über
überho lt w ird
lichtge s chwindigkeit s o kann der F all eintreten daß es die
kontrahierende Ku gel überholend v on au ßen nach inn en du rch
die selbe hindu rch tritt In diesem Falle ist die Relativ
geschw indigkeit
c u n d e s ist
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Allge mein ist
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Doch wollen w i zu nachst ln|
ann ehmen u n d an (6 2)
die weitere Betr chtu n g ank n üpfen
W i erhalten als Beitra g u n serer Scheibe z u m skalaren
elektrom agnetischen Poten tial im Au fp u nk te
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84
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.
Das Feld
11 .
die Bew egu ng der
einz eln en
E lektron en
.
bleibt nu r die Integration über die einzeln en Scheiben
übrig
Da der Abstand r des Au fp u nkte s als groß gegen di e
Abme ssu ngen des E lektrons an gesehen w u rde s o ist er bei
der Integration kons tant z u halten Die In tegration ist daher
ohn e weiteres au s zuführen falls es au ch erlau bt ist 11 als
kons tant an zu se hen für diejenige Zeit w äh ren d deren die Ku gel
über das E lektron hi n w egstr e ich t
Sie ergibt in dies em Falle
Es
.
,
.
,
.
(D
Wert de s s k a la re n e l ektr o m a g n e ti s che n Po t e n ti a l e s
für Bewegu ng mit Un terlichtge schw in digkeit
In dem Grenz falle einer Pu nktladu n g ist es natürlich
ohne weiteres gestattet (1
ebens o w ie r bei der In te
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i
o
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l
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r on als konstan t anzu s ehen
ra
er
E
e
wir
D
a
g
in dessen diesen Grenzfall nicht als stren g ve rwirkli cht be
tra chten so bedeu tet die Konstantsetz u ng die ser Größen ein e
gewisse E inschr änkun g des Gültigkeitsbereiches der Fo rmel
Erstens ist diese Formel wie schon erwähn t nu r au f solche
Aufp u nk te an zu wen den deren Abstan d vom Elektron groß
gegen die Abme ssu n gen des Elektron s ist Schließen wir das
E lektron in ein e Ku gel v o m Radiu s a ein so mu ß
6
a
3
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Z w eitens aber mu ß damit die Verä nderu n g v o n
in
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Zeit
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i
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hren d deren die Ku gel über das Elektr on
für kein en der Au fp u nk te in Betr a cht kommt
wa
n
h in w e gstr ich t,
,
Bl2
b
6
3
)
(
c
(
c
-
kle1n gegen
1
Beschleu ni gu ngsvektor dar)
N u r d a n n w e n n d i e Ab m e s s u n ge n de s E l ektr o n s
so
k l e i n di e B e s ch l e u n i g u n g s o g eri n g u n d d i e
G e s ch w i n di gk e i t v o n der L i chtge s ch w i n di gk e i t s o
e n t f er n t i s t da ß di e B e di n g u n ge n (63 a) u n d (63 b)
s
ein ( 6 stellt
c
den
,
,
,
.
8 6 E rste r
Ab
sch nitt
.
Da s Feld
11
.
die Be w eg1m g de r
e in z e lnen
E lek tron en
.
p u nkte gib t w o 0 n = o I
gleich Nu ll w ird ;
h lco s
a u f solche Au fp u nk te hin e ilt die ko ntrahie en de Ku gel mit
ders elben Ge schw in digkeit w ie das E lektron so daß 11 bei der
Inte gra tion üb er das E lektron ni cht als kon stan t an ges ehen
w erden darf
Au ch die An w en du n g au f gleichförmige Be
w e gu ng mit Uberlich t e sch w indigk e it gibt sich da d u rch als
g
nz u lässig k u n d daß es Au fp u nk te gi bt für welche der Nenn er
in ( 63) bz w (64) verschw in det ; dies e Pu nkte liegen au f ein em
Kegel der m it der Bew egu n gsrichtu ng den Winkel arc sin (
Ta
eins chli eßt In solchen Au fp u nk ten dran gen sich da die
kontrahieren de Ku gel stets die mit Uberlich tgesch w indigk eit
bew egte Pu nk tladu n g du rchschn eidet die z u allen voran
gegan gen en Zeiten entsan dten Beiträge zu sammen ; daher rührt
das Un en dlich w erden der Au sdrücke ( 63 ) u n d
D asselbe
fällt fort w enn m an die E lektrizität des E lek tr o ns
f ein
Volu m o n en dlichen w enn au ch ge in gen Abmessu ngä v er
teilt anni mmt E s i s t de m n a ch f ür de n F a ll de r L i ch t
e
s ch w i n di gke i t
d
de
r
Ü
b
er
l
i
ch
t
ge
s ch w i n di gk e i t
n
u
g
d e r Gr e n z ü b er g a n g z u r Pu n kt l a d u n g u n z u l ä s s i g
Die
An w en du n g der Formeln (6 3 ) u n d ( 64) z u r Ermittelu n g de s
Feldes ein es bew egten E lektron s ist au f Bew egun gen mit
U nterlichtge schw in digkeit ein z u schrän ken
Au s der Ableitu n g di e s er Formeln geht hervor daß r
bz w 11 Radiu svektor v o m E lektron n a ch dem Au fp u nk t u nd
Geschw in digkeit des Elektron s z u der Zeit t bedeu ten als
die mit Lichtgeschwindigkeit 0 sich kontrahieren de Ku gel u ber
das E lektro n fo rtstrich
Diese Zeit
‚
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u
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a
64
(
)
bestimmt sich fu r ein en jeden Au fp un k t w enn die Bew egu n g
de s E lektro n s gegeben ist ; denn r ist da d u rch als F u nktion
v on t
gegeben Falls w ie w eiterhin angen ommen w ird di e
Ges chw in digkeit des E lektron s klein er als 0 ist s o kann die
Ku gel das Elektron immer nu r ein einziges Mal schn eiden
E s ordn et s ich mithin f ür ein en gegeben en Au fp u nk t P der
,
'
.
,
,
,
.
Z w eites
Kapitel
.
Die
Wellenst ahl
r
Z e it t de s E intr eﬂens der
'
in
ein deu tiger Weis e
z u
u n g e in e r
be w egte n Pu nktladu ng
87
.
S töru n g di e Zeit
Da o ffenb a
t
'
des
Entsen dens
r
.
h
6
4
(
)
i s t,
so
folgt
au s
4
a)
6
(
Man kann daher die Formeln (63)
6
4
( )
und
fo l
n
e
derm
a
ß
e
n
chreib
s
n
e
g
elekt om agn etischen Po tentialen folgt nach (28)
u n d (29) das e lek trom a gn e ti s che Fe ld der bew egten Pu nktla du n
g
Au s den
r
.
er glei ch f örmi g b ew e gt en P u nk tla du n g
Wir betrachte n eine Pun ktladu ng die sich gleichförmig
konstanter Geschwin digkeit bewegt E s mag E (Abb 2)
12
.
m it
Das F e l d
e in
.
.
.
Abb 2
.
ihre
Lage
.
Zeit t gew esen sein als sie die Beitrags (63 )
die
u n d (64) z u den elektrom a gn eti sche n Poten ti alen entsan dte
z u r Zeit t im Au fp u nk te P e in tr e ﬁen ; E hin gegen s e i der Pu nk t
E s ist d h e
in dem die L adu n g sich u der Zeit t beﬁn det
z ur
'
,
,
'
,
z
.
a
r
r
E
r
s
t
e
88
Ab
s ch ni tt
.
Das Feld
'
E P
u nd
di e Projektion
v on
-
11
.
die Be w egu ng der
.
B E = |n
"
E P
au f
E F = of
:
'
Folglich
E lektro nen
'
r,
E E
einz eln en
ist
FP
°
9
(
1
.
Wir könn en an derseits F P du rch den v o n der
zeitigen Lage E des Elek tr ons nach dem Au fp unk te
gezogen en Radiu svekto r ﬂ au sdrücken E s ist
P hin
.
Da
nu n au s e lementa rgeo m etr isch en
Gründen gilt
—i
°
so
‚
0
folgt
6
6
( )
w
obei abkürzu n gsweise gesetzt
6
a
6
(
)
ß
ist
c
die Geschwindigkeit der Pu nk tladu n g klein er
die Lichtgeschwindigkeit so ist ß e in echter Bru ch
Die Formeln (63) u n d (6 4) ergeben jetzt
Da
.
c
6
6
)
(
e l ektr o m a g n e ti s ch e n Po te n ti a l e d er g l ei ch
f ö rm i g b e w e gt e n Pu n kt l a d u n g
Wie man sieht hän gt
ihr Wert z u r Zeit t nu r ab v o n der Lage des Au fp u nk te s
bezogen au f die gleichzeitige Lage des Elektrons u nd au f die
Bewegun gsrichtun g F ühren w ir Koordinaten X Y Z ein
mit E als Koordinatenu rspr u ng u n d der Bewegu n gsrichtu n g
als X Ach s e
s o gilt
als
die
.
,
,
.
-
,
,
,
,
90
E rste r
Ab
Da s Feld
sch nitt
.
11
.
die
B ew egu ng der einz elnen E lektro nen
p
e
%
3
ßü
ß
.
.
oder v ektoriell geschrieben
7
6
f
)
(
D er m a g n eti s ch e Vekto r s teh t s e n kre cht a u f de r
B e w e g u n g s ri cht u n g de s E l ek tr o n s u n d au f d e m R a di u s
ekto 91 Das du rch ( ö7 d f ) bestim mte Feld führt di e
Pu nktla du n g bei ihrer Bew egu n g m it
Das elektrom a gn etische Feld ein er gleichförmig bew egten
Pu n ktladu n g ist zu erst v o n O He avi side ) an gegeben worden
E s en tspricht dem Felde ein e s gleichförmig bew e gten Elektrons
in E ntfern u n ge n die groß gege n die Abme ssu n gen des Elek
tron s sind
Wir berechn en n och den du ch die Gru ndgleichu ng (V)
bestimmten Vekto
v
r
,
.
.
1
.
.
.
r
r
6
derselbe gibt die elektrom agnetische Kraft an w elche au f die
Einheit der mitbew egten Ladu n g wirkt E s ist n ach (6 7 b e)
,
,
.
= s.
a
.
— ßi
)
g
8 45
o
der vektoriell geschrieben
s
6
8
( )
V
—
=
1
s
(
r
a
,
—
ß)
Z
*
D i e e l ek t r o m a g n e ti s ch e Kr a f t a u f di e m i tb e w e gt e
E i n h ei t d er L a d u n g s te l l t s i ch a l s n e g a ti ve r Gr a di e n t
1)
O Hea
.
v is ide
,
E lectrical
p pe
a
rs
.
H
.
S 4 95
.
.
Zw eite Kapitel
s
Die
.
Wellenst ah l
u n g ein er
r
bew egte n Pu nktladu ng
91
.
da r
i n e s Sk a l a r e
Dieser w ird das Ko n v e k t i o n s
“
p o te n ti a l genannt
Wir wollen die Flächen kons tan ten Kon v ek tio nsp o tentiales
kons tr u ieren Die se Flächen
e
.
.
.
”
’
s = X
+
a
ö
8
(
)
l
(
i d abgeplattete Ro tatio n sellip so ide ; ih Mittelpu nkt fällt in
die Pu n ktladu n g ihre Rotation sachse in die Bew egun gsrichtu n g ;
ihr Achsen verhältnis ist
s n
r
,
—
I
V
68
h
(
)
”: 1
ß
.
Diese Ellip soide w erden H e a v i s i de E ll ip s o i d e genann t ;
ihre Abplattu n g w ächst mit w achsender Geschw in digkeit der
Ladu n g
Setzt man ß 0 so geht das Feld de s Vektors in das
elektro statische Feld das Ko nv ek tio n sp o tential !P in das e lektro
über ; die Schar de
einan der ähnlichen
sta ti sche Po ten ti al
Heaviside Elli psoide geht in ein e Scha konzen trische Ku geln
In der Theori e de Ko n v ek tio ns strah lu n g spielt das
über
Ko n v e k tio nsp o tential ein e ah nlich e Ro lle w ie das elektro
Die Ä u ip o tential
sta ti s che Poten ti al in der E lektr o statik
ﬂäch en ein e s ru hen den gela den en Körpers sin d in großer
En tfernu n g v o n dem Körpe stets kon zent ische Ku geln Dem
entsprechen d n ehm en die Flächen kon stanten Kon v ektio ns
potentiales in dem v o n ein em gleichförmig bew egten Elektron
e egten Felde in großen En tfernu n gen vom Elektron ste ts
die Form v o n Heaviside E lli p s oiden an ; s enkr echt
die s en
Flächen ist die K raft gerichtet w elche das E lekt on au f ein e
mit gleicher Geschw indigkeit ihm p arallel bew egte Ladu n g
a u s übt
Die Feldst rk en (6 7 d f ) n ehmen mit w achsen der E nt
fern u n g v o n der e egen den La du n g u mgekehrt proportio nal
dem Qu ad at der Entfernu n g ab Bei gleichförmiger Bew egu n g
de s E lektro ns bildet sich demn ach kein e W ellen o n e au s es
ﬁn det kein e E n ergieabgabe du rch S trahlu n g statt s on dern e s
w ird die En ergie vom E lektron kon vektiv mitgeführt
D as
-
.
.
'
,
r
r
-
r
r
.
,
.
q
,
r,
rr
r
.
,
z u
-
r
,
.
a
,
,
rr
r
,
.
z
,
,
.
92 E rster
Ab
schn itt
.
Das Feld
11
.
di e
B ew egung der
einz eln en
E lektro nen
.
h
i
rmi
w
l
l
e
c
f
o
b
e
e
gt
e
E
ektr
o
n
t
e
t
ei
n
e
rei
n
e
K
n
l
l
o
s
g
g
v e k ti o n s s tr a h lu n
d
ar
n
Ei
e
We
e
g
wird
ll
n
s
n
u
r
t
r
a
hl
u
n
g
.
dann entsan dt wenn di e Geschw in digkeit der bew egten Ladu n g
sich dem Betrage oder der Richtu n g nach än dert
.
13
Da s F e l d
.
e in e r u n gl e i ch
f ön
b e w e gte n Pu n k tl a du n g
.
Die allgemeinen Formeln w elche wir in 5 1 1 für die
elektromagnetischen Potentiale ein er Punk tladu n g gew onn en
haben gestatten e s das Feld einer beliebig bew egten Pu nk t
la du n g z u ermitteln
Bes chränk en w ir u ns au f den Fall der
Unterh oh tgesch w indigk s it au f Bes chl eu ni gun gen w elche der
Bedin gun g (63 b ) u nd au f En tfernu ngen welche der Be
dingung (6 3 a) gen ügen s o stellen die so z u erhalten den
Formeln das Feld ein es un gleichförmig bew egten Elektrons
dar
Sie sin d insbeson dere daru m v on Inte resse weil sie die
Wellenstrahlu ng eines beschleu nigten Elektro ns enthalten
Wir sch reiben die Au sdrücke (6 3 64) der elektro
ma gnetischen Potentiale folgen dermaßen :
,
,
.
,
,
.
,
.
6
9
( )
w
obei
w ir a
a
6
9
)
(
bkürzu n gsweise
s
=
r
(
etzen
D abei bedeu tet r den Ra diu svektor der v o n der bewegten
Pu nktla du n g nach dem fe sten Au fp u nk te P gezogen ist Wir
n ehme n die Bew e gun g der Pu nktla du n g als gegeb en an
un d
betrachten demna ch r als bekann te Fu nk tion v o n t Die Ge
s ch w in digk e it des E lektr ons z u r Zeit t ist
s
.
,
.
'
'
6
h
9
)
(
dt
deren Kompon ente p arallel dem
gezogen en Ra diu svektor
6
c
9
(
)
h dem
n ac
Au fp un k te
h in
E
r
s
t
e
r
94
Ab
Das Feld
sch ni tt
.
11
.
die Be w egu ng de r
e inz eln en
E lek tr on en
.
qu otien ten na ch den Koordinaten de s Au fp u n kte s au szu drücken
hätten In vektorieller Sch reibw eise w ird die Verän deru n g
v on t
bei Verschiebu n g de s Au fp un k te s du rch den Gradien ten
V t sich au sdr ücken
Nach (70) ist
.
'
'
.
=
V t +
O
'
Z
—— V r
.
Bei der Berechn un g des Gradienten v o n r ist nu n m it
Vorsicht z u verfahren Würde nu r der Au fp u nk t verschoben
u n d der
Ort der Punktladu n g festgehalten so würde der
Gradien t des Ab standes r mit dem vom Elektron z u m Au f
pun kte hinweisen den Einheitsv ektor t iden tisch sein Nu n
entspricht aber der abgeänderten Zeit t des Entsendens ein e
Verrücku ng der Pun ktladu n g die u ein er Ab stan dsän deru n g
.
l
.
'
z
Veranlassu ng gibt
E s w ird demn ach
.
nr
0
Hierau s folgt mit Rücksicht
,
7
h
o
)
(
au f
95
V t
a
7
0
)
(
.
Dan eben ergibt sich
7
0
(
c)
Wu rde m an anderseits bei festgehaltenem Au fp u nk te
Zeit t differen tiier en so w ürde nu r der
r p artiell na ch de
Z u wach s des Abstandes infolge der Ab ände u n g der Zeit t des
Entsen dens un d der hi erdu rch bedingten V erru ck u n g der Pun kt
ladu n g in Fra ge kommen ; e s wird
,
,
r
r
7
0
d
(
)
dr 3 t
Br
97
“
2ü
8t
'
_
'
"
'
'
'
“
ät
Du rch partielle Diﬂer entiatio n n ach der Zeit un d na ch
dem Orte de s Au fp unk te s sin d au s den elektroma gn etischen
Potentialen ( 69) die Feldstärken gemäß (28) un d ( 29) ab
'
Zw eite s Kapite l
.
Wellenst ah l
Die
bew egte n Pun k tla du n g
u ng e ine r
r
.
95
z uleiten Um diese Diﬂeren tiatio nen du rchfüh ren z u konn en
müssen w ir n och an geben wie 3 u n d n nach Zeit u n d Ort z u
diﬂer entu er en sin d W as zu n ächs t 8 anbelan gt s o ist dass elbe
n ach
bei
gegebe
6
a)
n em Au fp u n k te n u r v o n t
abhän gig
9
(
Man h a t daher
'
.
,
,
'
,
.
,
'
.
.
d s öt
83
at
un
d,
h (6 9 a
bis
n ac
dt
ät
1
%
“
ä
Der Gradien t
’
d)
3
'
'
'
v on
7
s
”
t
(
)
é
“
hingegen
l
7
8
ist
—
°
9
0
Wie bei der Berechn u n g des Gradienten v on 7 so ist au ch
bei der Berechnun g des Gradienten des skalaren Produ ktes
,
t
r
( )
x
t „ + gt ,
z
b,
beachten daß n icht nu r der Au fp u nk t vers choben w ird
gemäß
s o n dern daß dem verschoben en Au fp u nk te sich
—
Die x Komponente
e in an derer O rt der Pun ktla du n g zu ordn et
des bei festgehalten er Pu nktladu n g gen ommen en Gra dien ten
z u
,
,
,
.
v on
ht
ist
8 (o r)
8 a:
_
demna ch der erste Bestandteil des Gradienten gleich h
Der zw eite inf olge der Verr ücku n g der Pu nktladun g hinzu
tr etende Bestandteil ist
E s ist
,
d n
E s w ird
demnach gemäß (7 0 b)
,
%
5
'
V
M
( )
Mit Rücksicht
Vs
=
»
n
au f
r,
3
{
f
l
70
c
o
t
(
)
g
l
1
endli ch
”
h
-
c
i
t
—
als
Gradient
v on s
.
r
t
e
E
r
s
96
Ab
sch nitt.
Das Feld
di e Bew egu ng der
u.
einz e ln en
W as
E lektro nen
die partiellen Differen tialqu otienten v on nach t a:
so gilt
da
n u r v o n t abhängt na ch
d
9
anbelan gt
6
)
(
,
y,
,
.
z
'
,
,
,
7
h
1
(
)
In
entsprechen der Weise gilt z B
.
3t
a».
8 3,
D aher
ist di e
-
.
a»,
33
'
Komponente
8t
'
cu rl
v on
a».
-
-
äz
Entsprechende Au sdrücke gelten für die übrigen Kompo
Gleichu ng 0 b) berücksichtigend z u
nenten ; wir fassen sie
der Vektorgleichun g zu sammen
,
7
1
0
)
(
cu rl
Wir haben jetzt
Formeln (28 29)
die
1
ll
Mittel ge w onn en
um
au f
Gru n d der
,
=
6
as
d
6
9
( )
_
V Q
8!
ät
_
c
_
_
cu rl
elektromagnetische Feld abzuleiten
e
N ch (7 1 a)
a
1
ist
hier
e
z u
s
30
e l!
.
38
etzen
Mit Rücksicht au f ( 7 1 b) u nd ( 70 a) wird demnach der
folgende Au sdru ck des elektris chen Vek tors erh alten :
E
r
s
r
t
e
98
im
(
Ab
sch nitt
Pu nkte E
.
Das Feld
besaß
u
die
.
Bew egu ng der
ein z eln en
E lek tr o nen
.
ird sie wahrend der Latensz eit
—
=
die Strecke E E
be
schreiben U
Iw ird dann derV e k to r E P
2
der Figu r 2 der v o n dem gleichzeitigen Orte des Elektrons
Diesem Radiu s vektor
na ch dem Au fp un k te h in gezogen ist
p arallel w eist der zw eite Bestan dteil des elektrischen Vektors
Bei einer wirklich gleichförmigen Bewegu ng geht e in (6 7 (1)
über
Den ma gn etischen Vekto konn en wir in der Form s chreiben
'
,
w
so
'
.
.
.
r
.
r
D.
7
1
0)
3
(
'
de selbe steht mithi n senk recht au f dem vom Orte des E nt
na ch dem Au fp u nk te hin gezogen en Ra diu svektor
s en de n s E
u n d au f dem elektrischen Vektor
Wir sin d nu nmehr in der L age den allgemein en Au s
dru ck der elektroma gn etischen Kraft an zu geben w elche die
Pu nk tladu ng c au f ein e zweite z u r Zeit t den Au fp u n kt P
mit der Geschw in digkeit D pas sierende Pu nktladu n g e au s übt
Diese Kraft ist der Gr un dgleichu ng V gemäß
r
,
.
,
,
'
'
.
,
,
Du rch E infüh
e
ru n
'
g
iy
'
v on
e
'
{
7
b
3
(
)
6
erkennen daß die Kraft
liegt
Nach Regel (8)
un d
au ch schreiben
u nd
,
.
7
3
c
)
(
erhalten
%[
w ir
'
n
in
in
der Eben e der Vektoren r
Bd I S 43 7 können w i
,
.
0
,
r
.
0
Wir konn en diese Kraft mit K Schw arzschild ) als e l e
“
Dieselbe
m e n t a r e e l e k t o dy n a m i s ch e Kr a f t bezeichn en
hän gt ab v o n Geschw indi gkeit un d Beschleu n igu n g der L adu n g 6
u
Zeit des En tsendens u nd v o n der Geschw in digkeit der
‘
„
.
r
z
.
r
1)
K
.
Sch w arz
schi ld ,
Gött Nach r 1 903 , S 1 3 2
.
.
.
.
Zw eite s Kapitel
Die
.
L ad u n g
Wellen
strah lu ng eine r
bew egte n Pu nk tladu ng
.
99
elche die Kraft w irkt z u r Zeit des E in
tr eﬂen s der Erre gun g
In der Fernw irku n gstheorie der Elektrodyn amik stellte
man ein Elemen targes etz für die Wechs elw irku n g zw eier elek
trisch er La du n gen an die Spitze u n d su chte au f die ses die ganz e
Theorie z u begründen Wir haben den Vorstellu n gen de
Maxwellschen Theorie gemäß die einfache u nd exakte Gru nd
lage der E lektrodynamik in den Diﬂerentialgle ich u n gen de s
elektroma gnetischen Feldes gesehen Als entfernte Folgeru n g
jener Gru n dgleichu n gen h at sich nu nmehr e in Elementargesetz
für die Wechselwirk u n g zweier Elektr on en ergeben ; dasselbe
W i ssen
ist in de ssen w eder einfach n och in Str en ge gültig
w ir doch
daß das wirken de Elektron nu r dann als Pu nkt
ladu n g betrachtet w erden darf w enn die Bedingu ngen ( 63 a)
u n d 6 3 b) erfüllt sin d
u r in dem du rch di e se Bedin gu n gen
N
(
ein geschrän kten Gültigkeitsbereiche wird man mit dem E le
mentargesetz e ( 7 3 c) operieren d ürfen
Inn erhalb die ses Be
reiches kann man wenn die Be w egun g des ersten E lektrons
vorgegeben ist au s Gleichu n g (7O ) für jeden Ort des z w eiten
Elektron s die zu gehörige Zeit t de s Entsendens u n d au s ( 7 3 c)
die z u r Zeit t au f das z w eite E lektron au sgeübte Kraft er
mitteln Um aber die Rückwirku n g au f das erste E lektron
berechnen z u könn en m u ß man die Beschleu ni gun g kenn en
w elche die se Kr aft dem z w eiten E lektro n erteilt ; hi erfür reichen
jedoch die bisherigen En tw ickelu n gen keineswegs au s Viel
mehr w erden w ir z u r Berechnu n g der Be w egu ng ein es Elek
tr on s bei gegebener Kraft erst im n ächs ten K apite l die Hilfs
mittel ge w inn en Dort w erden wi r au f die Gr un dgleichu n gen
I bis V zu rückgehen u nd in einf achen Fällen näheru n gsw eise
gültige Lö su n gen derselben ermitteln Solan ge u ns die Lö su n g
des E ine lek tr o np r o blem es n och u n bekann t ist kann u n s da s
Gesetz der elementaren elektrodynamis chen Kraft nu r v o n ge
aber n icht
s be stimmt z w ar die Kraft
rin em Nu tzen s e in
E
g
die Bewegu n g w elche sich die beiden Elektro nen gege nseitig
mitteilen ; es führt n icht einm al z u r Au fstellu n g der Differen tial
gleichu n gen des „Zw eielek tro nenp ro blemes
'
c,
au f
w
,
'
.
r
,
.
'
.
.
,
,
.
.
,
'
,
.
,
,
.
.
.
„
,
.
,
,
1 00 E rster
Ab
sch nitt
Das Feld u die B ew egu ng der einz elnen E lektronen
.
.
Wir keh ren zu rück z u den Formeln
magneti sche Feld Nach ( 73 b) ist
ﬁi r das
.
elektro
.
[
[e ]
r.
r.
Da
nu n ,
na
ch
r. (5
]
1
[
(W )
6
ich ergibt
s
f
so
fo lgt ,
u nd s
mit Rücksicht
omit
’
1
ß+
0
a
7
)
(
au f
8t
=
2
[i
'
m]
ein e Formel die der Fo mel ( 7 3 b) als Gegen tück gegenübertritt
In der W ellen o n e w o die Feld tärken u mgekehrt pro
portional der Entfe nu n g
bn ehmen ereinfachen sich die
E s wird
Au s d ücke ( 7 2 7 3) der Vektoren
r
,
s
z
s
a
r
r
.
,
v
,
=
e
Berücksichtigen
w ir ,
daß
h ( 70 a)
nac
1
1
u nd
ist ,
daß
so
daher
erhalten
w ir
3t
'
3
{
(
—D
tl
oder
,
na
ch Re gel
D abei
6 in
Bd I S
.
,
.
tl
,
t1
h
'
“
43 7
ist
8
7
4
a
(
)
du rch ( 7 3 a) deﬁn ierten un d oben geometrisch ge
—
n
e
deu tete Vektor vorstellt In der W e ll e n z o n s teht n a ch
wo
8 den
.
,
r
E
rs
t
e
1 02
Ab
Das Feld u die B ew egu ng der ein z elnen E lek tro nen
schn itt
.
.
.
ru ngen au s u n seren Resu ltaten ableiten Wir werden die ge
die v o n ein er
samts En ergie u n d Bewe gu ngs größe berechn en
rasch bewegten Pu n ktladu ng au s gestrahlt wird u nd werden
der Strahlu ng au f die bewegte Ladu n g
alsdann die Rück w in
in allgemein erer Wei se als im 5 9 be stimmen
.
,
,
,
e
5
Die Kenntni s der Energie u nd der Bew egu n gs größe die
e in beli ebig ras ch bew e te s Elektro n bei ein er Gesch w in di k eits
g
g
an deru n
au ss trahl t ist entsprechen d der Manni gfaltigkeit der
g
in mehrfacher
v o n der E lektron en theorie u m faßten Vorgän ge
Hinsicht v o n Wichtigkeit Ersten s kann m an au f Gr u n d dieser
Kenn tnis sich ein Urteil darüber bilden in w ieweit e s gestattet
ist bei ein er u n gleichf örmigen Elektronenbe w egu n g die En ergie
Bewegun gsgröße als vom bew egten E lektron mit
u n d die
geführ t anzu sehen Bei ein er stationären geradlinigen Be
w e gu n g ist das stets gestattet ; die se stellt ein e reine Ko n v ek
tio n sstrah lu ng dar
Die u ngleichförmige Bewegun g ist keine
rein e Ko nv ek tion sstrahlu ng ein Teil der E nergie un d Be
w egu ngs größe wird d abei in Wellen strahlu n g verwan delt
Bei
“
wenig beschleu ni gten u asistationären Bewegungen kommt
jedoch di e au sgestrahlte En ergie u nd Bewegun gsgröße gegen
übe der m itgeﬁih r ten k au m in Betr acht sie kann bei m an chen
Au fgaben z B bei der Ermittelu n g der Beschleu n igun g un d
Ablenk u n g der Elektro nen du rch äu ßere Felder gan z v ernach
lässigt werde n
W ann diese Vernachlässigu n g ge stattet ist
das kann m an dann beu rteilen w enn man
u n d w ann nicht
die au sgestrahl ten An teile der Energie u nd der Bewegun gs
große kenn t
Treffen die im Kath o denstr ahle bew egten Elektro n en au f
die Antikathode so werden sie vermu tlich in das Inn ere
eindrin gen d v o n den Molekülen der w ägb ar en Materie w ieder
holt au s ihrer Bahn abgelenkt Hier wird die en tsan dte
Wellen str ah lu n g v o n Bedeu tu n g ; nach der Stokes W iech ertsch en
Hypothese ist sie mit der v o n der Antikathode au sgehenden
Die Beziehu n g z u r
Röntgenstrahlun g identisch (v gl 5
14
.
Th
e o ri
e
.
d e s b e w gte n l eu ch te n de n Pu n k te s
,
.
,
,
.
,
,
.
.
,
q
.
r
,
,
.
.
,
.
,
,
,
.
,
.
-
.
Zw eite Kapite l
s
.
Die W ellen str ah lu ng ein er bew egten Pu n ktla du ng
.
1 03
Theorie der Ro ntgenstrahlen verleiht den En tw ickeln gen
diese s Paragraphen ebenfalls ein gew isses Interesse
Drittens aber ist die Kenn tni s der allgemein en Gesetze
der Wellens trahlun g einer beschleu nigten Pu nktladu n g für
die Optik bew egte r Körper v o n Bedeu tu n g Wir haben in
h
i
n
e
i
n
e
k
m
a
e
t
sc
es
9
s
Mode
s
r
h
de
icht
t
r
o
ll
d
e
u
e
n
n
l
l
5
g
entsenden den Mo lek üles kenn en gelernt ; wir nahmen an daß
e s au s
ein em ruhen den po sitiven u nd ein em schw in gen den
n egativen E lektro n b es teht u nd zeigten
daß die normale
—
Form des Zeem an E ﬂek tes du rch dieses denk bar einfachs te
elektroma gn etische Modell erklärt w ird H at m an es nu n mit
ein em bew egten Mo lekül z u tu n so w ird man in kons equ enter
Verfolgung jener Vorstellu ng ein positives u n d ein negatives
Elektr on sich denk en müssen ; die Bew egu ng des po sitiven ist
du rch die Bew egun g des Mo lek üles bestimmt w ährend da s
E in
n ega tive E lektron u m das bew egte p o sitiv e) schw in gt
s o l c h er b e w e gt er u n d g l e i ch z e i ti g s ch w i n ge n der e l ek
tr i s c h e r D i p o l s t e l l t da s e i n f a ch s t e M o d e l l de s b e
w o gte n l e u chte n d e n Pu n k te s da
Vorzu gsweise mit
Rücksicht au f das Problem des bew egten leu chten den Pu nkte s
werden wir in diesem Para graphen u ns ere Ansätze verfolgen
Bev or w ir da zu übergeben w ollen w ir un sere Theorie z u
eini gen allgemeineren Prinzipien in Beziehu n g setzen die für
die Optik bewegter Körper v o n fu ndamentaler Wichti gkeit
Wir denken u n s w ieder den ruhenden Au fp u nk t P u n d
sin d
den bewegten Dipol der jetzt mit dem bew egten leu chten den
Pu nkte identiﬁziert w ird ; wir verstehen u n ter t die Zeit
z u
der das Licht v o n dem bew egten Pu nkte au sgesandt w ird
z u
u n ter t die Zeit
der es den ru henden Pu nk t P erreicht
Diese beiden Zeitpu nkte sin d du rch die Re lation (64 a) ver
knüpft; au s ihr leiteten w ir die Beziehu ng (64 c) ab ; wir
w ollen die selbe schreiben
.
.
,
,
'
.
,
,
.
r
.
.
,
,
.
'
,
,
,
7
5
( )
.
dt
'
dt
1
1
—ßco s ga
’
in dem wir mit 5 das Verhältni s der Geschw indigkeit
leu chtenden Pu nktes z u r Lichtgeschwin digkeit bezeichn en
,
des
u nd
1 04 E rster
Ab
sch nitt
.
.
.
Zeit (t des Entsen dens der Ge
mit dem nach dem Au fp unk te h in
h w in digk e itsv ekto r
sc
gezogenen Ra diu svektor t einschloß Da s in d e m Z ei t
e l e m e n te dt v o n d em b ew e gte n l e u ch te n d e n Pu n kte
e n t s a n dte L i cht p a s s i ert de n r u h e n de n Pu n kt P i n
d e m d u rch ( 75 ) b e s tim m te n Z ei te l e m e n t dt
Die Gleichu n g ( 7 5 ) stellt die allgemein e Fassu n g des se
“
genann ten D o p p l e r s c h e n Pri n z ip e s für ein e bew egte
Lichtqu elle dar Wir gelangen z u der ge wöhnlichen Fassu ng
die se s Prin zipes in dem w ir die Gleichu n g au f den Fall perio
discher Schw in gu n gen des li ch tentsendenden Dipols anw enden ;
Schw ingu ngs dau er u nd Frequ en z der
wir bezeichn en mit z
v
Schw ingun gen de s Dipols mi t r hin gegen diejenige Sch w in
w
l
e
che
der
r
u hen de
Beob
a chter
u n s dau er u nd Frequ en z
g g
in P w ah m imm t
Erfolgt die tran slatorische Bewegu ng des
le u chtenden Pu nk te s w äh ren d ein er Schw ingu n g merklich
i
i
h
a dlin ig s o
e
d
ger
Bezieh
g
e
che
e
c
rmi
b
d
i
u
n
l
f
o
u
n
w
l
g
g
g
die Zeitelemente des Entsen den s mit den en des Au ffan gens
verkn üpft au ch für die gesamte D au er der in der Licht u elle
b w in dem ruhen den Au fp u nk te P s tattﬁnden den Sch win
gun gen ; es wird
mit
(p
den
Winkel
Das Feld u di e Bew egu ng de r ein z elne n E lektr o nen
,
den
z ur
.
'
.
„
.
,
'
'
,
,
,
.
,
q
,
z
.
1
—
os
l
c
c
p
ß
v
’
eben die gew o h nlich e Fassu n g de s Do p p lersch en
Prin zipes : D i e S c h w i n gu n gs da u e r r d e r w a h r ge n o m
m 9 n e n S ch w i n g u n ge n w i rd v e rk l ei n ert
de r
w enn
l e u cht e n d e Pu n k t de m B e ob a ch te r s i ch n a h e r t ((p e in
spitzer Wi nk el
w
w
ird
vergr
ö
ß
ert
e
d
er
e
ch
sie
n
n
u
l
)
te n d e Pu n kt s i ch v o m B e o b a ch te r e n t f e r n t ((p e in
stu mp fer Win kel
ä
u n g der bew egte n Lichtqu elle
Bei
her
A
n
n
)
w erden demna ch alle Spektralli n ien nach der v io letten
bei
En tfernu n g nach der roten Seite des Spektru ms vers choben
Das gilt wenn der Beoba chter ru ht
Bew egt er sich
*
dagegen mit der Geschwi ndigkeit n so brau cht die Welle
die in der Zeit dt den ru hen den Pu nkt P p assiert die Zeit
u nd
das ist
-
,
,
,
.
.
,
.
,
,
,
1 06 E rsta
Ab
sch nitt
.
Das Feld 11 die Bew egu ng der einz e lne n E lektro nen
.
.
Zeit dt v on der Welle ü bers trichen in der die Well e v o n der
bew egten Licht u elle en tsandt wu rde ; eine Farbenän deru n g
in folge der Bew egu n g ﬁndet nicht sta tt Wie wir wi ssen
“
1
ﬁ
S
be
det
sich
die
Erde
i
n
ei
n
er
ab s olu ten
Be
n
(
„
w egu n g; irdi sche Lichtqu ell en u n d i di s che Beob achter führen
im Rau me ein e gemeinsame Tran slation sbew egu n g au s Der
obige S atz lehrt nun da ß die Periode des wahr gen ommenen
Lichtes mit der Periode der in der irdi schen Lichtqu elle statt
ﬁn denden Schw in gu n gen iden ti s ch ist
’
Die z u r Zeit t vom leu chtenden Pu nkte au sgehen de
Störu n g w ird z ur Zeit t ein e Ku gelﬂäch e vom Radiu s
l
n die Zeit t s o groß daß
n
9
c t
t
ei
ehme
Wir
w
ä
h
e
n
n
)
(
die Ku gel sich bereits bis z u r W ellenz one au sgedehn t h at
Hier sin d die Feldstärken diejenigen die w ir am Schlu sse des
vorigen Paragraphen kenn en lern ten Da die Beträge der
Feldstärken einander gleich sin d s o ist die elektrische Energie
di chte der magn etischen gleich ; die ge sa mte En ergiedichte ist
'
q
,
.
.
r
.
,
.
,
,
°
'
,
.
.
,
.
,
Wir bezeichn en mit das den körperlichen Wink el un ter
dem ein Flächen element der Ku gel vom Mittelpu nkte au s ge
Die Breite der in der Zeit dt entsandten Welle
s ehen w ird
beträgt 0 dt da die mit Lichtgeschwin di gkeit fo rteilende Welle
in der Zeit dt über den ru hen den Au fp u nk t fo rte ilt ; dabei
ist dt du rch dt gem äß dem Do p p lers ch en Prinzip z u be
Die Energie der im Zeitelemente dt
stimmen (Gleichu n g
entsandten Welle beträgt demna ch
,
'
.
,
'
'
den (v on
d as
Dieselbe ist zwischen zw ei exz entrisch m Ku gelﬂäch en ent
halten ; die Ku gelﬂäch en expan dieren sich mit Lich tgesch w in
“
so
ab
digk e it ; dabei ni mm t
u r
u mgekehrt proporti o nal
da ß die gesamte En ergie de s W ellenimp u lses bei der Au s
breitun g im Rau me sich n icht än dert Diese En ergie ist in
der Zeit (W v o n der bew egten Lichtqu elle in den Rau m ent
z
.
,
Zw eites Kap itel
Die Wellenstrahlu ng einer be w egte n Pu nk tladu ng
.
.
dt worden D i e p r o Z ei te i n hei t
b e t r ä gt
san
au s
.
’
dW
76
( )
dt
ge s tr a h l te E n er gi e
dt
T C
'
1 07
dt
4 1:
'
Wir konn en die Strahlu ng de s leu chten den Pun ktes au ch
nämlich au f Gru n d des
a u f ein em an deren Wege berechn en
Po yn tingsch en S atz e s
Der Po yntingsch e Vekto r weist nach
Gleichu n g ( 74 c) parallel dem Ku gelradiu s e s wird mithin
sein e in
Richtun g des Radiu s gen ommen e Komponente mit
sein em Betra ge iden ti sch
,
.
7
6
a
(
)
{
S
’
G
;
Der Po yntingsch e Satz bestimmt nu n (v gl 5 4) den En ergie
strom
der in der Zeiteinheit du rch die Flächen einheit einer
r u h e n d e n Fläche h indu rch tritt Dieser a b s o l u t e E n ergi e
“
ist gleich der Norm alkompo n ente de s Vektors
s tr o m
Um mit Hilfe des Po yntingsch en S tze s die au sgestrahlte
En ergie z u bestimmen müssen wir den leu chtenden Pu nkt
du rch ein e ru hende Flache einschließen ; w ir wählen z w eck
mäßigerweise ein e Ku gel welche u r Zeit t gerade mit der
’
z u r Zeit t
entsan dten Ku gel k o inz idiert D abei dürfen wir
aber ni cht übersehen
daß die Zeit währen d deren die in der
Zeit dt v o n dem bewegten leu chten den Pu n kte entsandte
Welle du rch die K gel tritt nicht an allen Pu nkten de Ku gel
die gleiche ist Sie bestimmt sich gemäß dem Do p p lersch en
Prin zip für die vers chieden en Pu nkte der Ku gel in verschie
doner Weise ; es ist eben die Zeit die w i oben (in Glei
chu n g 7 5 ) mit dt bezeich neten? W i ll m a n m i t Hi lf e de s
di e
Po y n t i n gs c h e n S a tz e s di e E n er gi e b e s t i m m e n
v on
ei n e m b e w e gte n l e u cht e n d e n Pu n k te e n t s a n dt
w a h re n d d er e n di e We ll e
w ir d
s o h a t m a n di e Z e i t
d u rch d i e E l e m e n te d er r u h e n d e n F l ä che tri tt de m
Die in
D o p p l e r s c h e n Pr i n z i p e g e m äß z u b er e ch n e n
der Zeit dt entsan dte S trahlu n g wird dann nach ( 7 6 a)
,
„
.
a
z
,
.
,
,
'
u
r
,
.
,
r
,
,
,
,
,
.
'
,
,
r
rs
t
e
E
1 08
Ab
sch ni tt
.
Das Feld u di e Bew egung der einz eln en E lektro nen
Man sieht s ofort
.
,
daß für di e
sek u n dlich e
.
Strahlu ng der
mit ( 7 6) genau
bewegten Lichtqu elle ein Au sdru ck folgt der
überein sti m
mt
Man kann nu n aber au ch statt der ruh en den Fläche ein e
dem leu chten den Pu nkte p arallel mitbew egte Fläche zu grunde
die
Für ei ne s olche fällt w ie wir oben zeigten
legen
D0 p p lers ch e Korrektion fort
Die in der Zeit dt entsan dte
’
Welle tritt in dem gleichen Zeitintervall dt du rch di e gleich
Au f e i n e b ew e gte F l ä ch e i s t
förmig mitbew egte Fläche
abe
d er Po y n t i n gs c h e S a tz n i ch t o h n e w e it ere s a n
z u w e n de n E s ist vielmehr z u berücksichtigen daß z u dem
ab s olu ten
e lek tro ma n e tis ch en E n ergie st om
der
n
a ch
der
g
Po yn tingsch en Theorie im Rau me s tattﬁn de t derjenige E nergie
der all ein ein e Folge der B ew egu n g der Fläche
strom tritt
ist
Der letztere beträgt pro Flächeneinheit
,
.
,
,
.
'
.
.
r
,
.
r
,
,
.
1
”78
v
wenn n die parallel der au ßeren Normalen gen ommene Kom
pon ente der Geschw indigkeit der bew egten Fläche ist ; denn
die Energie die in folge der Bew egu n g der Fläche in der Zeit
einheit du rch die Flächen einheit tritt ist gleich h mu lti
d
li
z
i
i
e
r
t
n
e
mit
der
E
ergie
ichte
ritt
bei
der
Be
eg
g
s
t
w
v
u
o
n
n
p
;
a u ßen n a ch inn en ;
di e Norm alkompon ente de s Poyn tin g
schen Vektors
gibt dagegen den du rch die Veränderu n g des
Feldes ll ein bedingten v o n inn en nach au ßen tretenden
E nergiestrom an Die Differenz
,
,
,
,
a
,
.
7
6
h
)
(
Energiestrom du rch die bewegte Fläche oder wie
“
w ir sa gen w oll en den
r e l a ti v e n E n ergi e s tr o m dar
Die Anw endun g au f u nsere den gleichförmig be w egten
le u chten den Pu n kt ein schließen de mitbe w egte Ku gel ergibt
da die Ges chw in digkeit der Ku gel mit ihrer Normalen den
Winkel cp einschließt u nd da in der W ell en o n e
ist
gemäß ( 7 6 a)
s
tellt
den
,
„
,
,
.
,
,
,
z
,
r
s
E
ter
1 10
Ab
sch nitt
.
Das Feld 11 die
.
Bew egun g der einz elnen E lek tro nen
.
Dieser Vektor ist an Stelle der Energiedi chte
6 in
di e Formel ( 7 6) ein zu setzen u m di e i n d er Z e i t e i n he i t
v on
d em b e w e gte n l e u chte n de n Pu n kte e n t s a n dte
B e w e g u n g s grö ß e z u erhalten
2
,
dt
mt,
'
E
@
’
dt
i
2
.
ter 6 die Feldstark e der vom
bew egten leu chten den Pu nk te entsan dte n Wellen z u verstehen
Han delt es sich u m ein e gleichförmige gera dlini ge Bew egu n g
de s leu chten den Pu nk te s so ist na ch der Vorstellu ng die w ir
u n s v o n dem V o
po
i
e in der Lichtqu ell e m a chte n
s
d
a
s
a
n
g g
tive Elektron in gleichförmiger geradlin iger Bew egu ng be
griffen w ähren d das negative E lektron kleine Schw in gu n gen
u m das po sitive au sführ t
Wir w ollen vorau ssetzen daß die
Ge schw indigkeit der Schwin gu n gsbewegu n g klein ist gegen
diejeni ge der gemeinsamen Tran slation Al sdann ist un te b
in ( 7 4) der konstan te Geschw in digkeitsv ektor der bew e gten Licht
qu elle z u verstehen Der daselbst au ftreten de Vektor (v gl 7 3 a)
In
6
7
( )
7
i
7
st
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un d
un
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r
,
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.
r
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.
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7
7
a
(
)
gew innt
r
{
—
r,
h
i
diesem Falle eine vereinfachte Bedeu tu ng E s ist
v l Abb 2 in g 1 2
der
R
di
vek
or
der
ch
dem
u
a
A
f
u
s
t
n
a
( g
)
pu nkte v o n dem gleichzeitigen Orte des Elek trons au s ge
zogen ist
Das gleich fo rm ig bewegte po sitive Elektron trägt ni chts
z u r S trah lu n g bei ; denn di e Felds tärken des v o n ihm erregten
Feldes nehmen mit dem Qu adrate des Abstandes ab u nd ver
schwin den in der W ellenz o n e
gegen diejenigen de s sch w in
genden n egativen Elektron s Wir könn en mithin für den
Au sdru ck ( 74) einfüh en
D abei ist
dasselbe (v gl 70 a)
w as w ir jetzt als D0 pp le rsch e Korrek tio n bezeich net u n d au f
dt
ein en festgehaltenen Au fp un kt u ns beziehend dt geschr ieben
haben Nach ( 75 ) wird daher
7
7
b
e
)
(
in
.
.
.
,
.
.
r
.
.
’
.
,
Z w eites Kapitel
Die W ellenstrahlu ng einer bew egten Pu nk tla du ng
.
.
Unter
dabei
111
kons tante Geschwindigkeit des
le u chten den Pu nk tes z u verstehen u n ter li die Besch leu nigu n g
de s s chw ingen den n egativen Elektro ns
E s ist z u beton en
daß die obigen Einschränku n gen sich nu r auf die An wen dun g
beziehen die w ir v o n u ns eren Formeln machen Handelt e s
s ich u m
die En ergie u n d Bew egu ngsgröße di e v on ein em
einzeln en beschl eu ni gten Elektron au sgesandt werden so sin d
u ns ere Formeln in
dem Bereiche gültig den w ir bereits in
1 1 u mgren zten ; h u n d 6 stell en dann die Ge schw in digkeit
u n d die Be schl eu nigu n g dar welche dem E lektron z u r Zeit t
Nu r di e An wendu n g au f die
de s Ents en den s erteilt wu rden
Theorie des bewe gten s chwin gen den Dipols grün det sich au f
die erwäh nte vereinf achen de Annahme daß der periodische
Teil v o n h klein ist gegen den konstanten die Translations
geschw in digkeit des Dipols dar stellenden Teil
Nach Regel 6 in Bd I S 43 7 ist
ist
die
,
.
,
.
,
,
'
,
.
,
.
.
.
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Berücksichtigt
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erhält
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daß
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ß)
1
(
ch ( 74 c) du rch
zu gleich der Strahl
na
ist :
e)
t1
'
Wir ziehen zu nächst zwei spezielle Fälle in Betracht
nä mlich ersten s den F all daß die Schw in gu n gen des n ega tive n
Elektrons p arall el u nd z w eitens den daß sie senkr echt z u r
Be w egun gsrich tung der Lichtqu elle erfolgen
,
,
,
,
.
r
s
E
r
t
e
1 12
Ab
Das Feld u die Bew e gung der e inz elnen E lek tro nen
sch nitt
.
.
.
L o n gi t u di n a l s ch w i n ge n d er D ip o l
Hi er gilt
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2
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E s w ird
daher
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Die Einführun g
sich tigun g v o n
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B e w e gu n gs gr o ß e
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II Tr a n s v er s a l s ch w i n ge n d e r D i p o l
.
.
Hier gilt
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h
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i
(
und
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)
2
sin
2
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3
den Wink el der Eben en der Vektoren ( h 6) u n d (h t )
e
demna ch Polarkoordinaten der Einheitsku gel sin d
an zeigt
E s w ird
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,
,
,
7
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Die Einführun g
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S tr a h l u n g v o n E n er gi e u n d v o n B e w e g u n g s gr ö ß e
für
.
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E
r
s
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e
1 14
Es
Ab
Das Feld 11 die Bew egu ng der einz elnen E lektron en
sch nitt
.
.
gilt
—u )
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ßerdem
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4
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Ander s eits
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3
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°
a
3a
°
bzu leitende Beziehu ng
.
Zw eite Kapitel
s
.
Die
Wellen
str ah lu n g einer
du
’
—
(1 u )
.
115
4
3
w
bew egte n Pu nk tladu ng
2
"
orau s endlich folgt
’
—
—
( u ) (l u )
u
d
1
du
1
(
4
’
—
(l u )
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u
‘
45
ßx
°
Nach ( 7 9 0 d) u n d (80 0 d) wird di e v o n l o n gi t u di
n a l e n S ch w i n g u n ge n de s D ip o l e s a u s ge s tr a h l te E n e rg i e
,
u nd
,
B e w e gu n gs gr o ß e :
8
1
a
(
)
2e
'
3c
°
n
i
x
'
°
hingegen in Verbin du n g mit ( 80 a bis d)
folgt die v o n tr a n s v er s a l e n S ch w i n g u n g e n de s D ip o l e s
a u s ge s tr a h l t e E n e rgi e u n d B e w e g u n g s gr ö ß e :
Au s
7
9
e
f
,
(
)
,
,
dW
81
1
(
0
2
"
d.
i
’ ’
a
1
8
c
)
(
ergib t s i ch a l s o b em erke n s w e rt er w e i s e di e
S t r a h lu n g b e i tr a n s v e r s a l e n S c h w i n g u n ge n im Ver
’
’
—
=
h äl t n i s x
l
k
ei
er
b
e
i
l
o
gi
t
di
e
l
n
a
l
n
u
n
a
1
s
n
ß
”
S ch wi n g u n ge n Bei langsame Bew egu n g w enn 5 gegen 1
z u
v em a chläs s i e n
n ters chied
i
kommt
n
t
ü
r
l
ich
die
s
er
U
s
t
a
g
ni cht in Betra cht
Alsdan n gehen di e Formeln (8 1 ) u n d (8 1 b)
in die Hertzs che Formel (5 5 ) für die Stra hlu n g e ine s ru hen den
Dipoles über
Die Formeln ( 8 1 a 0 ) zeigen an daß der bew egte leu chten de
Pu nkt fortge setz t elektroma gn eti sche Bewegun gsgröße in den
Rau m h in au ssendet u nd zw ar überw iegt di e der Bew egu ngs
richtun g p arallele Komponente Da nu n di e Su mme der im
gan zen Rau me en thalten en Bewe gu ngsgröße elektromagneti sche
E
s
,
,
,
r
.
,
,
.
.
,
,
.
,
8
.
1 1 6 E rster
Ab
sch nitt.
e
Das Feld n die Bew egung de r einz eln en E l ktro nen
.
.
mechani sche zu sammen den Ergebni ssen des 5 5 zu folge
konstant sein mu ß falls ein e ä u ßere Kraft an der Lichtqu elle
nicht an greift
s o nimmt die Be w egun gsgröße der Lichtqu elle
s elb st pro Sek n de u m den en tsprechen den Betrag ab
d h
e s üb t d i e a u s ge s a n dte S tr h l u n g e i n e Re a kti o n s kr a f t
welche der Bewegu n g
a u f de n l e u chte n d e n Pu n k t a u s
en tgegenwirkt Dieselbe beträgt
u nd
,
,
u
.
.
a
,
.
d
1
8
(
)
81
)
R;
1
8
(
e
für l o n gi t u di n a l e
für t r a n s v e r s a l e
=
S chw i n g u n ge n
S ch w i n g u n ge n
,
.
D abei sin d natürlich Mittelw erte über ein e Schwingun g z u
n ehmen
Um die Geschw in digkeit konstan t z u halten muß
jen e Kraft du rch eine andere äu ßere Kraft äqu ilibriert werden
Wir gehen jetzt z u dem allgemeinen Falle über wo das
neg ative E lektron in der Lichtqu ell e gan z beliebige Sch w in
gu ngen au sführ t se daß in mit 11 ein en ganz beliebigen u n d
au ch im Verlau fe
der Schwin gu n gen perio di sch wechs eln den
Wink el einschli eßt Wir könn en dann setzen
,
.
.
,
,
.
it„
it
p arallel ß, z u senkrecht ist Führt man dieses
‘
in ( 7 7 d) ein so trete n ersten s Glieder au f di e z u il
bz w
”
z u in proportion al sin d di e s e führen z u den s oeben berechn ete n
;
Werten der v o n der lon gitu dinalen Kompon ente bzw v o n der
transversalen Kompo n ente au sge san dten Strahlu n g
Zweitens
aber treten n och Glieder au f
die dem Produ kte | ii t ] pro
portional sind namlich
111
wo
z u
11
,
.
,
,
.
,
.
.
2
02
5)
1
(
2
2
,
1
,
n
s
i
o
s
00 3 ‘
c
‘
P
P
;
”
s
u nd
(t s )
1
(
ß
der Win kel
l) einschließen
r
l
(
ku gel sin d }
ist
,
,
.
i
s n
co s
den
so
die
daß
s
o
c
»
g
—
c< 1 ß
«p
)
Ebenen der Vektoren (ii h) u n d
Po larkoordinaten der E inh e its
,
r
E
r
s
t
e
1 18
Ab
Das Feld u die B e w egu ng der einz elnen E lektro ne n
sch n itt
.
.
.
2
8
( )
ofür man mit Rücksicht
au ch s chr eiben k ann :
w
au
,
aw
8
2
a)
(
oder
dt
au
'
die Bedeu tu n g (80)
f
=i
2
3
3
ch
dW
s e
=
.
’
ﬂ
1
_
co s
’
r;
er
Ebens o kann
w e gu n gs gr öß e
l
2
do
8
3
( )
—
2
e
e
’
3
‘
{
z
0
*
n
+
.
7
di e
,
2
c x
_
ch (8 1 a c) für
ges chrieben w erden
na
'
t
v on
au s
’
i
wr
=}
c „
.
o
g e s tr a h l te B e
2
ihrer mechani schen Rückw irk u ng au f die be
Lichtqu ell e kann die Strahlu n g du rch die Kraft ersetzt
Bez u glich
w egte
w
erden
—
s
s
a
(
)
£
i
elche im Mittel di eselbe Abnahme der B ew egu n gsgröße der
Lichtqu elle bedin gt Dies er Kraft mu ß du rch ein e in die Be
w e gu n gsrich tu n g der Lichtqu ell e fallen de äu ßere Kraft
9
das Gleichgew icht gehalten w erden
w enn an ders di e Ge
s ch w in di k e it kon stant b leiben s oll
u ßeren
Die
rbeit
der
ä
A
g
Kraft w ird in elektromagnetis che Energie der entsan dten
Wellenstrahlun g verw andelt ; sie beträgt pro Sek u nde
w
.
'
.
h
8
3
)
(
f
_‚
—
ß
D i e s er An te i l der a u s ge s tr a h lt e n E n er gi e e n t
s t a m m t a l s o n i cht d er the rm i s che n u n d ch e m i s ch e n
E n er gi e de r L i cht q u e ll e s o n d e r n e b e n de r m e ch a
n i s che n
Arb e i t d er Kr a f t — R w e l ch e d er R ü ck
w irk u n g d er S tr a h l u n g da s G l ei ch g e w i cht h a l t
De
Re s t de r p ro S e k u n de i n We ll e n s t a h l u n g v er
w a n de l te n E n e rgi e
,
'
,
.
r
r
Zw eite Kapitel
s
Die W ellenstrah lu n g ein e r bew egten Pu nktladu ng
.
.
119
m
3
8
a
( )
c
d u r ch de n W ä rm e i n h a l t o d e r d i e ch e mi s ch e
E n ergi e der L i cht q u e ll e ge d e c kt w er d e n
Die Formel (82) bestimmt die Energie der v o n ein em be
schl e un i ten E lektron au s ge san dten Wellens t ahl u ng in allen
g
den Fällen in w elchen dasselbe als Pu nk tladu n g be trachtet werden
darf Ich habe di eselbe zu erst in ein er Vorlesu n g im Win ter
s eme ster 1 901 02 v orgetr agen
I
m
Dr
u ck verö ffentlicht w u rde
/
sie
u n d ebens o
die Formel
in mein er Arbeit über die
Prin zipien der Dyn amik de s Elektron s )
u n d u nabhän gig
da v on v o n O Heaviside in der Natu re ) Später habe ich
di e Bedeu tu ng die ser Entwickelu n gen fü
die Theorie de s
leu chten den Pu nkte s erörtert u n d den Be w eis der Formeln
im w esentli chen in der hier w iede gegebenen Fassu ng geführt )
An dem letztgena nn ten Orte habe ich au ch den allgemein en
Au sdru ck fü die Rückw irku n g der Strahlu n g au f den be
w e gten schw i ngen den Dipol abgelei te t
Setzt m an die Gesamt
strahlu n g der Lichtqu elle gle ich E
s o fo lgt au s 82 b) u n d 83 a
(
(
)
mu ß
.
r
,
.
.
,
1
?
,
.
r
,
,
"
r
,
r
.
,
83
d
(
)
‘
9
Dieser Au sdr u ck für di e Reaktionskraft w u rde u nabhan gig
“
v o n H A Loren tz
an gegeben ; e s bezieht sich die Lo r entz sch e
)
Ableitu n g au f ein en allgemein eren Fall ins o fern als über di e
Vorgän ge in der Lichtqu elle kein e besondere Ann ahme gemacht
w ird u n d doch w ie de
da di e Ge
au f ein en speziell ere n Fall
sch w indi k e it
e
Lichtq
e
ll
e
k
ei
gege
n
die
Licht
d
u
s
l
n
a
l
g
geschw in digkeit betrachtet w ird Wenn gleich die Reaktions
kraft der S trahlu ng meist au ßerorde ntlich gering ist so ist
.
.
,
r
,
,
r
.
,
1)
23
.
M
.
Ab
rah am
Okto be
2) O H eav i
.
.
ys
.
1 0 S 1 05
.
6
.
1 903
,
am
d
s
a
n
n
t
E
e
i
(
g
.
r
si de
.
brah am
.
.
3)
4)
S 27 0
.
Ann d Ph
.
.
A
H A
M
.
.
.
Lo rentz
Na t
Ann d
.
.
p
Ph y
67,
u re
.
s
.
.
V om 6
.
No
ve
mbe r 1 902
1 4 , S 2 7 3 — 28 7 , 1 904
.
E nz yk l der m ath em W issen sch
.
.
.
.
Bd V , Art 1 4
.
.
Ab
sch ni tt
E rster
1 20
.
Da s Feld 11 die
.
Bew egun g der einz elnen E lektro nen
.
ihre Exi stenz doch v on prinzipieller Bedeu tu ng Diese Kraft
w elche der schwin gende Dipo l au f sich selb st au sübt ist e in
typisches Beispiel für den Gegen satz z u m dritten Axiome der
New tons chen Mechanik au f den wir in 5 5 hinw iesen u n d
der so eng mit den Grun dannahmen der Elektron entheorie
verk nüpft ist
Nach der in 5 3 erw ahnten Hypothese sind di e Rontgen
s trahl e n nichts an dere s
welche beim
als die Well e n str ahl u ng
Au ftr eifen der Kathoden strahlen au f die An tikathode en tsteht
Ist das E lektron bei sein er Hemmu n g oder Reﬂ exio n an der
Antikathode imm erhin so w eni g beschl eu n i gt daß di e Be
dingu n g (6 3 b ) erfüllt ist so kann di e En ergie der en tsan dten
Röntgenstrahl en au s u nserer Formel (82) berechn et werden
Über den Betrag der Beschl eu n igu n g geben die in 5 3 er
w ähn ten Beu gu n gsv ersu ch e v o n Haga u n d Win d Ausku nft
8
w elche eine Breite des W ellen imp u ls e s v o n 1 0
cm ergeben
haben ) Hiernach w ü de der Bereich in w elchem das Elektron
ein e Gesch w indigk eitsändernng erfähr t v o n der Größen ordnu n g
de s Radi u s der moleku laren Wir ku ngssphäre s ein
Nehmen
1
w ir nu n an das Elektron h abe die Ge schwin digkeit [in]
c
3
u n d es w erde au f ein em Wege v o n
cm d h in de r Zeit
10
Sek u n de sein e Bew egu ngsrichtu ng u mgekehrt so ist
2 ’
8
die mittlere Be schl eu n igu n g gleich
10
c
Der
Ne
nn er
3
u nd a
der Radiu s de s Elektr ons
in (6 3 b) ist c (c
3
w ird sich u n ten v o n der Gr o ßen o rdn u n g 1 0
ergeben Der
Bru ch der klein gegen 1 sein soll ist hi ern ach au f 2
Hierau s folgt daß bei der E mi ssion v o n Rön tgen
z u s cha tzen
8
der Imp u lsbreite 1 0 cm das Elektr on n och als
s tr ahl en
Pu nk tladu n g betra chtet w erden darf u n d da ß (82) die En ergie
.
,
,
.
.
,
,
.
,
?
r
,
,
.
,
,
.
.
8
,
,
-
.
,
1
.
,
,
,
.
,
H H aga
1)
.
1 8 99, S 3 8 7
u
.
.
Ve gleich e a
u
C H Wi
.
5 00
u
.
nd
.
.
.
Ak
ad v
1 1 , 1 902, S 3 5 0
.
A S mm
.
.
Ann d Ph
.
Am
W etensch ap eu te
.
.
y
s
.
ste rdam
6 8 , S 8 8 4, 1 8 9 9
.
7,
.
Gru n d ein er strengere n Th e o rie
der Beu gu ng v o n W ellenimp u lsen gegebene B estim mu ng der mpu lsbreite
Ph ys Z eitsch r 1 , S 1 05 ; 2 , S 5 5 , 1 900
Z eitsch r f Math em u Ph ys 46 ,
u ch
r
.
s 1 1 , 1 90 1
.
.
.
die
.
v on
.
o
.
erfeld au f
I
.
.
.
.
.
.
.
r
E
r
s
t
e
1 22
Ab
sch ni tt
.
Das Feld 11 die B ew egu ng der einz elne n E lektro n en
.
.
ents endende Elektron au su bt in allgemein er Weise z u er
mitteln Wir betrachten dabei ein e Bew egu ng des E lektr ons
deren Geschw indigkeit bis z u r Zeit t gleichförmig u n d gerad
’
’
linig w ar s odann im Zeitin tervalle v o n t bis t na ch Betra g
den Gültigk eits
in beliebiger
a ber stets in
u n d Richtu n g
bereich der Bedin gu n g (63 b) fallender Weise abgeändert
’
w u rde u nd s od ann v o n t an w ieder gleichförmig u n d gerad
’
t
lini g ist In dem Zeitinte vall e t
t w ird das E lektro n
ein e gew isse En ergie u nd Bew e gun gsgröße in den Rau m
hinau sgesan dt haben D i e e n t s a n dte E n e rgi e ist nach (82b)
,
.
,
'
,
,
,
,
,
,
,
,
r
.
’
'
,
,
.
,
r
\ BB
e
v
f
l
d
_
1
in
die e n t s a n dt e
Be w
e
u
n
g
ro
s
g g
ße
na
'
t
Dies
ch (83)
nt
”
!
die zeitliche Abnahme der E nergie u n d Be
w e gu ngsgr o ße
w elche das Elektron s elb st b w da s v o n ihm
mitgeführte elektro magn etische Feld infolge der Strahlu n g
erfah en h at ; die v e lorene E n e gie u n d Bew egu n gsgröße ﬁn det
s ich in den en tsan dten Welle n w ieder
Will man nu n die Rückw irku n g der Strahlu n g auf das
Elektr on du rch ein e Kraft R u m A s dru ck bringen s o m ß
m an die se Kraft so be stimmen daß
ist
,
z
.
,
r
r
r
.
'
z
u
u
,
2
l
a
8
=
dt
11 9
8 13
'
)
u nd
'
dt
d h daß ihr Zeitintegral der a sgestrahlten Bew egu ngs
größe ihr Wegin tegral der au sgestrahlten E nergie entgegen
ge setzt gleich ist D i e R e a k t i o n s k a f t de S t r a h l u n g
h a t de m n a ch di e G l e i ch u n ge n z
er f üll e n
ist,
.
u
.
r
.
u
r
“
Z w eites Kapitel
Die Wellenstrahlu ng einer bew egten Pun k tladu n g
.
1 23
.
11
=
ﬂ dt
'
n
k
(
'
‘
)
'
0 x
x
=
dt
'
'
t
-
+
ß
,
°
ß
elbstverständlich a ch dann gelte n wenn irgen d
welche äu ßeren Kräfte die Bew egu ng des Elektrons beeinﬂu ssen ;
au ch dann mu ß der Imp u ls der Kraft R der ge samte n Be
w e gu ngs gr öße
die Ar beit dieser Kraft der gesamten En ergie
der en tsan dten Wellen entgegenges etzt gleich sein E s wird
dann di e Än derung der Bewegungsgröße u nd En ergie des
E lektrons du rch die Reaktionskr aft der Strahlu n g im Verein
mit den sonst n och vorhan denen Kräften bestimmt In w elcher
Wei se das wird das nächste Kapitel lehren (v gl 5
E s k ann au f den ersten Blick zw eifelhaft ersche inen ob
es überhau pt möglich ist
beiden Gleichu n gen (84a b) d rch
ein en u nd dens elben Au sdru ck der Reaktionsk raft R z u ge
Um diesen Zweifel z u beseitigen geben w ir s ofort
n ügen
ein en Au s dr u ck an v o n dem wir zeigen daß er u nter den
zu gru n de gelegten Annahm en den Gleichu ngen (84a b ) Genüge
Wir s etzen
leistet
Das m u ß
s
u
,
'
.
.
,
,
.
,
u
,
,
'
,
.
,
,
,
,
.
i
—
5
8
( )
3
v
‘
’z
c
Berücksichtigen wir
6
so
m
o )
daß
d 1
na
ch (80) gilt
2
ergibt die p artielle In te gration der beiden ersten Glieder
‘
n (nn)
0
’x ‘
‘
c z
°
e Ab
E
rs
t
1 24
sch nitt
r
Das Feld 11 di e Bew egung der ein z eln en E lektronen
.
.
.
Berücksichtigen w ir daß bis z u r Zeit
u n d v o n der
’
Zeit t, an der Beschleu ni gungsvektor il gleich Nu ll sein soll
so erhalte n wir
,
,
h
5
8
(
)
t
’
c z
In tegriert
’
‘
c x
h der
Zeit wie es (84 a) v erlan gt u n d formt die ersten beiden
Gli eder in di eser Weise u m so ergibt die Verein igu n g mit
den letzten beiden Gliedem ni chts an deres als di e r e chte Seite
E s ist als o die s e Gleichu n g in der Tat erfüllt
v o n ( 84 a)
Für di e sek u ndlich e Arbeit der Kraf t 0 folgt au s ( 85 )
m an
den Au sdru ck
‘
nu n
85
( )
v on
0
'
nac
,
,
.
.
'
m
(
8
5
0
(
)
Da
nu n
”
3 c
’
c x
°
die partielle In te gration liefert
{
i
v
Grenzen des In te grationsin terv alles ver
s o ergibt das Zeitintegral der Arbeit in der T a t
s chw in det
D i e i n (85 ) a n
den in ( 84 h ) rechts stehen den Au sdru ck
g e ge b e n e Kr a f t R er f üll t a l l e B e di n g u n ge n w e l ch e
de r R e a k ti o n s kr a f t d e r S tr a h l n g v o rg e s chri e be n
sin d
s
f
a
n
s
s
n
u
r
gt
ich
i
de
e
ob
d
rch
gegebe
e
Be
s
di
e
a
n
n
n
E
dingun gen (84a b) die Re aktionskraft der Strahlu n g überhau p t
eindeu tig bestimmt ist Das ist sie in de T at Um dies ein
z sehen mu ß man sich die physikalische Bedeu tu ng di eser
Kraft klar ma chen E s ist ein e Kraft w elche das v o m be
w e gte n E lektro n erregte elektrom agn eti sche
Feld au f d s
Elektron selb st au sübt Diese Kraft ist du rch die Gru nd
gleichu n g (V) bestimmt w obei die Vektoren
u nd
sich
au s den Beiträgen z u sa mmens etzen
w elche die V o lu m elem ente
des E lektr o ns v orher au sge san dt haben Dies e Beiträge werden
u nd
da 9
den
an
.
'
,
u
.
,
,
r
.
u
.
,
,
.
a
.
,
,
.
r
s
t
e
E
r
1 26
der
so
Ab
sch nitt
.
Das Feld 11 die B e w egu ng der einz e lnen E lek tron en
.
.
Dimensio nstabelle in Bd I , S 25 2 die Dimension v o n
ﬁn det man als D i m e n s i o n de s ge s u cht e n Au s dr u ck e s
.
.
L
T
[
Wir haben also Au sdr ücke die ser Dimension z u su chen
w elche ga n ze ra tio nal e Fu nktion en v on h il n u sf sin d wobei
eventu ell n och di e Lichtgeschw in di gkeit c eingehen kann
n
a
Nenn en w ir nu n
die
g
e
ber
icht
eg
n
a
n
z
n
a
„
tiven Zahlen welche die ein gehen de Poten z v o n h n ii u sf
an zeigen u n d
die (positiv e oder negative) Zahl welche die
eingehen de Poten z v o n c an gibt s o s o ll die eingehende Po ten z
der Längen dim en sio n sein
,
' '
,
,
,
.
.
v
r
,
,
'
.
,
,
,
v
o
+
+
vl
11
+
,
vs
+
n
o
= 1
,
dagegen die eingehende Zeitdimension
—v
„
-
— 2v ‚ — 3 v 3
v,
Hierau s folgt
2
Da
n
11
3v 4 +
3
egative Werte v on v „
v
v,
2
u
.
geschl o ssen sind
o
s
,
a
u
s
,
ist
konn en u nd n och hohem Ableitu n gen der Ge sch w in
digk eit n icht au f treten
Die höchste eingehen de Ableitu n g
ist ii u n d zw ar fo lgt au s
daß wenn 6 überha u pt ein geht
Es
.
,
,
I
()
1,
11 3
,
0
v,
die ein zigen m o glich en Poten zen v on ii
Falle ergeben die Au sgan gs gleichu n gen
”o
’
d h
.
h
u nd
'
i d;
s s n
in
diesem
0,
v,
tr itt 0 so o ft in den Nenn er wie 11 im Zahl er steht
Neben diesem Lö su n gssystem läßt nu n (86) n och ein v o n
freies z u
.
es
,
.
”s = oy
I
I
( )
Hier geh t fl qu adratisch
Nenn er als 11 im Z ähler
,
.
e in
,
u nd 0
eht einm al ofter im
st
Zw eite Kapitel
s
Die W ellenstrahlu ng e in er bew egten Punk tladu n g
.
.
1 27
Jeder Lo sun g dieser Dimensio ns gleich u ngen kann selbst
vers tändlich ein e beliebige Fu nk tion der dimens ionslo sen
Größe ß als Faktor zu gesellt w erden
E s fra gt sich nu n welche ganze rationale F u nktion en der
Vektoren 11
li u nte r da s Schem a (I) bz w (II) fallen Um
die hier möglichen Verbin dun gen di eser Vektoren z u neu en
polaren Vektoren in allgemeins ter Wei se z u ermitteln gehen
wir au s v o n einem Satz e v on H
Diesem Satze
zu folge wird die allgemeinste ganz e ration ale Vektorfun ktio n
erhalten in dem man die u rsprün glichen Vektoren z u Vektor
produ kten vereinigt u nd in dem m an die u rspr ün glichen u n d
die so gebildeten Vektoren mit den skalaren Produ kten au s je
zweien der u rsp rün glichen Vektoren mu ltipliziert Nu n müssen
wir die Vektorprodu kte v o n je zweien der Vektoren h il 5
da die s e Vekto rprodu kte axi ale
v o n vornher ein au ss chließen
Vektoren sin d (v gl I S
E s bleiben also nu r die u rsp rüng
lichen drei Vektoren übrig die mit den inn eren Produ kten
au s je z w eien u nd selbstv erstandli ch mit irgen dein er Fu nktio n
der dimensionslo sen Größe ‚6 mu ltipliziert sein könn en
Wir haben als Lö su n gen die u n ter das Schem a (I) fallen
.
,
.
.
,
.
,
.
,
,
.
.
,
.
,
m
6
a
8
)
(
a )
wahr en d
und
Schema (Il)
in das
fo lge n de
Vektoren sich ein ordnen
”
“Z
f (ß>
ß
h
6
8
(
)
"
.
Andere Au s drücke
der richtigen Dimension w elche polare
Vektoren darstellen gibt es n ach dem Satz e v o n Bu rkhardt
überha u p t n icht
m u ß sich
Der allgemeinste Au sdru ck v on
also au s s olchen Gh edem
mu ltip li ziert mit 2Z zu sam men
Der Au sdru ck (85 ) stellt sich in der Tat in
s etzen lassen
dieser Form dar
E s han delt sich nu n mehr u m den Nachw ei s daß der all
gemeins te Au sdr u ck v on R d h das allgemeinste Aggrega t v o n
,
,
.
2
,
;
.
.
,
'
.
,
l)
HB
.
u rkh ardt,
m ath W issen sch
.
.
Math
Bd I
V
.
.
.
.
Ann 48
S 1 97
.
.
Art 1 4 Nr 1 1
.
.
.
.
.
V gl
.
au ch
E nz y kl d
.
.
1 28
E rster
Ab
Das Feld 11 die Bew egun g der einz elnen E lek tronen
sch nitt
.
.
.
Gli edern der Form (86 a b) (jedes mu ltipliziert mit 3
w
sich au f
u ziert
nn gefordert w ird
s ein Zeit
red
e
8
d
a
ß
5
( )
in tegral für ein e beliebige Bew egun g mit der rechten Seite
v on
a
84
s ein Wegi ntegral mit der rechten Seite v o n
8
4
h
)
(
(
)
identis ch ist Das w ird be w iesen sein w enn wir gez eigt haben
daß jede s Aggregat der Form
fünf
-
,
,
,
8
7
( )
e
,
,
.
f.(ß)
n
+
f, (ß)
f3 (ß)
i
m
( )
ll
'
f5 (ß)
identisch vers chw in det w enn für eine beliebige im Zeit
’
’
intervall t
t be schleu ni gte Be w egu n g das Zeitin tegral
t
u n d da s We in te ral v o n
ver
s
ch
w
i
n
de
n
Wir
chreit
jetzt
s
n
e
g
g
z um
Bewei se dies es S atzes Wir formen die beiden ersten
Glieder v on du rch p artielle In tegration u m wobei wir be
achte n daß il an den In tegr ations gren zen vers chwindet u n d daß
,
,
'
,
,
.
.
,
)
“
f
;
,
f (ß)
Wir erhalten
'
'
t nf.(ß)
t
.
f.(ß)
dt
nt
11 6
*
+
'
dt 6
f (ß)
“
“
Q
’
Demgemäß
'
w
ird
das
Zeitintegral
des
Vektors
f.(ß)
—
p
f. ( )
}
E rster
1 30
Ab
sch n itt .
Das Feld 11 die Bew egung der einz eln en E lek tron en
.
.
Elemente der Bahn ni cht zerstören sie könn en sich au ch ni cht
gegen die Bes tan dteile des dritten Integral es au f heben da
Wir erhalten
le tztere p arallel der Bew egu n gsrichtu n g w ei sen
als o als Bedin g u n g dafür daß di e z u 11 s enk r echte Kompon e nte
des Ze itinte grale s v o n (E für ein e solche Be w egu n g stets ver
s chwin det
,
,
.
,
—
fa(ß) 11 (ß)
8
7
d
)
(
w as
weiter im Verein
m it
7
8
0
( )
ergibt
f.(ß)
ollte aber nicht
Wegin tegral v o n (5 :
Nu n
das
s
0
nu r
.
Zeitin tegral
da s
,
o dern
s n
(Sei t
gemein vers chw in den Formt man die beiden ersten Glieder
di e ses In te grale s du rch partiell e In tegration u m u n d berü ck
s ich ti t das Be stehen der Gleich u n gen
87
b
s o erhält man
(
g
all
.
,
“
( at
)
Für
In tegral
ein e
nu r
nu r
dann
ransversal beschleu nigte Bew egung
w enn a llgemein
stets gleich Nu ll
t
ist das
,
f.(ß)
7
8
( s)
0
erfüllt ist ; fu r ein e lon gitu dinal beschleu ni gte Bewegung tritt
die Bedin gun g
h
8
7
(
)
hinzu
f.(ß)
Au s
.
7
8
1
( )
b
8
7
,
(
d e) fo lgt
,
0
n u nm
ehr
= o
f.(ß)
.
Wir hab en also bew ie sen : D e r a ll ge m ei n s t e z u l a s s i ge
Au s dr ck f ür di e Re a k ti o n s kr a f t d er S tr a h l u n g v er
s ch w i n d et i d e n ti s ch
w e n n s o w o h l s e i n Z e i ti n te gr a l
u
,
,
Zw eite Kapite l
s
.
Die
Wellenst ahl
bew egten Pu nk tladu ng
u ng ein er
r
.
1 31
e i n We gi n te gr a l f ür e i n e b e l i eb i ge i n e i n e m
ge w i s s e n Z e iti n t e rv a ll e b e s ch l e u n i gt e B e w e g u n g
g l e i ch N u ll s i n d E s ist als o nicht möglich den Au sdru ck
e
ea ktions kraft s o abz u ände m
l
n
R
die
G
eich
u
ge
5
d
d
a
ß
n
8
( )
f
b
ei
n e jede Be w egun g erfüllt bleiben
D
e
r
g
e
4
a
ü
r
8
(
)
f u n de n e Au s dr u ck (85 ) f ür di e R ü ck w irk u n g d er
S tr a h lu n g a u f di e b e w e gte Pu n k t l a d u n g i s t de m n a ch
d e r e i n z i g e w e l ch er de n o b e n a n ge geb e n e n Vo r a u s
s etz u n ge n
Wir betr achten ein ige spezielle Fälle
w
ie
s
,
,
.
r
.
,
,
.
w
u n g l än g s e i n e s Kr e i s
l
G
e
i
ch
f
ö
rm
i
ge
B
e
e
g
e
s
)
0 ; der Be schl eu ni gu n gsvektor h at de n Betrag
fl)
E s ist
a
.
e R der Radiu s des Kreises ist Sein e Richtu ng dr eht
sich wie di ejen ige de s Ges chw in digkeits vekt ors mit der Win kel
geschw indigkeit ] , Man sieht ohn e w eiteres ein daß ii ein
z u
s en kr echter Vekto r vom Betra ge
w nn
.
,
,
,
=
ii l
I
ist ;
er
w
eist
in
ﬁ
l l
die entgegengesetzte Rich tu n g
,
w ie 11 ,
so
daß
man h at
b
Demnach ergibt ( 85 )
—
2
ü
8
’
—
,
2
R
’=
JO
z
—
1
ß
D i e R e a k t i o n s kr a f t i s t d er B e w e g u n g e n tge g e n
geri chte t ; s i e i s t de m Q u a dr a te de s Kr ei s r a di u s u m
gek ehrt p r op o rti o n a l u n d s te i gt m it w a ch s e n de r Ge
s ch
w i n di gk e i t
w ie
a n,
s
p
1
(
A
1)
Di esen
sso ciatio n
in
A d k
C mb idg
us
a
bew eis w u r de do rt
ru c
r
e
h at der
W
Ve
n
b
9
a
1
0
4
e
e
e
n
(
)
g g
n u r sk iz z
iert
.
au f
rfasse r
.
B
der T agun g der
ritish
Der o bige E indeu tigk e its
r
s
e
r
t
E
1 32
Ab
die
Fu r
Das Feld 11 die Bew egu ng der e inz elnen E lek tr on en
sch ni tt
.
.
Ar beit
der Reaktionskraft erhält
.
man
mit (84 b) übereinstimmt Die Überein
w
l
4
a
i
icht
oh
e
eitere
er
ich
ich
Sie
8
n
s
s
t
stimmu n g mit
s
t
n
)
(
w u rde j a au ch nu r po stu liert für ein e Bew egun g die mit dem
Werte Nu ll v o n in beginn t u n d endigt w ähren d dazwischen
E s ist als o bevor das Elektro n di e Kreis
sich il s te tig än dert
bewegu ng beginnt u n d n chdem es dieselbe been digt h at je
in w elchem il v o n Nu ll in stetiger
ein In tervall an z u n ehmen
Weis e z u sein em der Kreisbew egung entsprechen den Werte
übergeht u n d wie de z u m Werte Null zur ückkehrt
Für den
Kreisbogen zu sammen mit diesen beiden In tervallen ist w ie
das Zeitintegral der Reak
au s dem gegeben en Bewei se folgt
tio nskraft du rch ( 84 a) bestimmt
Betra chten w ir übrigens zwei Bew egu n gen di e u m einen
ganzen Umla uf von einander verschieden sin d bei den en aber die
Überführ u n g in die Kreisb ahn u n d die Zu rückführ un g in die
gleichf örmi ge Bew egung längs genau ders elben Bahn geschah
so fo lgt au s
der Gültigkeit v o n (84 a b) für die beiden be
trachteten Bahn en : F ür e i n e n g a n z e n Um l a u f m üs s e n
di e Re l a t i o n e n (84 a) u n d (84 h ) e r f üll t s ei n Das gilt
übrigens ganz allgemein für periodi sche Be w e gu n gen
Denk t
m an den oben gegeben en Be w ei s n och einm al du rch so sieht
m an e in daß die v o n den In te grations gren zen h errüh renden
’
’
Terme sich au ch dann fo rth eben wenn z u den Zeiten t u nd t
di e Vektoren
u nd i! die gleichen s in d
Is t d er B ew e g u n g s
z u s t a n d a n de n Gre n z e n de s In t e gr a t i o n s i n t e r v a lle s
d er s e l b e wi e z B b e i e i n e r p e ri o d i s ch e n B ew e g u n g
z u
z w e i d u r ch e i n e Peri o d e ge tr e n n t e n Z e i te n s o
ge l te n di e R e la t i o n e n (84 a b ) oh n e w e i tere s f ür di e
d u rch (85 ) ge geb e n e Kr a f t Bei der soeben behan delten
Kreisbew egu ng z B ergibt das Zeitinte gr l v on (88) für einen
ganzen Umlau f den Wert Nu ll w as mit (84 a) übereinstimmt
w as s elbst v emtän dli ch
.
.
,
,
.
a
,
,
r
.
,
,
,
,
.
,
,
,
.
.
,
,
,
,
,
.
.
,
.
,
,
‘
.
.
a
.
,
.
s
ld
n
E
b
h
n
i
tt
D
a
s
11
i
B
w
n
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l
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n
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u
r
s
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e
e
e
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i
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E
e
k
t
o
n
d
t
e
e
e
en
4
13
g g
.
.
.
o dern au ch in der translatm isch en Bew egu n g län gs de!
Kr aftlinien gehemmt w erden falls die Rückw irku n g der Strab
lu n g in Betracht kommt
Nach der Formel ( 7 b) des 5 2 ist bei der Schrau ben
bewegu ng im homogen en magnetischen Felde
s n
,
.
wo
die speziﬁsche La du n g de s Elektrons ist (1) nimmt
w ir im nach sten Kapitel sehen werden mit w ach s en dem ß
E s w ird demnach (89)
1)
,
,
R
.
8
9
3
(
)
2
2
3
72
”
i ps
j
bei Kreisbewegu n g senkr echt
linien äh ergeht in
w as
b
89
(
)
n
Übrigens ist
”
s
’
den m a gn eti schen
z u
Kraft
2
3 e
°
z merken daß bei der An w endu n g dieser
Formeln a f die Kathodenstrahl en Vorsicht geboten ist E s
han delt sich bei den Kathodenstrahl en nicht u m e in ein zelne s
Elektron son dern u m ein e gan ze Schar v o n Elektron en die
p arallele Bahn en be schreiben Da die au sgestrahlte Energie
u n d Bewegu n gs röße du rch den Po yntin sch en Vektor be stimmt
g
g
wird u nd dieser das äu ßere Produ kt der beiden Feldstärken ist
su p erp o ni er en
so
sich im all gemein en z w ar die Felder der
ein zeln en Elektr onen aber n icht die au sgestrahlten Beträge
der Energie u nd der Bewegu ngsgröße Denk t m an sich z B
eine An zahl v on Elektronen au f einem Krei se in gleichen
Abstän den an geordn et u n d m it der gleichen Ge schw in digkeit
län gs de s Krei se s be w egt s o wir d die Au sstr ahlu n g u m so
gerin ger je größer die Z ahl der E lektr onen ist Im Gren z
falle sehr vieler Elektron en strahlt di e s e E lek tr iz itätsbe w e gu ng
w ie e in station ärer Strom
1 h sie strahlt überha p t n icht
Hierau s folgt daß au ch die Rück w irku ng der Strahlu n g au f
d s einzelne Elektr on ein e an dere ist wenn n och an dere in
der gleichen Wei se bewegte Elek tron en zu gegen sin d Man
an u
u
.
,
,
.
,
.
.
.
,
,
.
,
(
.
u
.
.
,
a
,
.
Zw eites Kapitel
.
Die
Wellen t ahl
u ng e in er
s r
bew egten Pu n ktladu ng
1 35
.
dann bei der Behandlu ng der Strahl u n g u nd der Strah
lu n gsk räfte den E lek tr o n ens ch w m m als Ganze s behan deln
An ders liegen di e Verhältni sse bei der Lichtemission
Nehmen w ir an daß in jedem lich tentsen denden Molekül n u r
ein ein zige s E lektron sch w in gt so sin d die Schwin gu n gen der
einz eln en Elektron en u nabhängig von einander Die Phasen
differen z zweier E lek tr o n en sch w in gu n gen ist ein e gan z beliebige
u n d daher tritt bei der S u perpo sitio n der en ts an dten Wellen
Schwächu n g wie ein e Verstärku n g der Strab
ebens o o ft ein e
lu n g du rch In terferen z ein
Bei der Mittelw ertsbildu n g über
ein e große Zahl v o n Molekülen u n d u ber ein e große Z ahl v o n
Schw ingun gen ergibt sich ein e Strahlu n g die gleich der
Su mme der Strahlu n gen der einzeln en Mo lek u le ist Hi er ist
als o das Ergebn is dass e lbe
sich
als wen n jede s Molek ül fü
di e Sch w in gu n gen au sgeführt u n d die Str ahlu n g ent
all ein
san dt hätte ; m an kann in dies em F alle au ch di e Rück w irku n g
der Strahlu n g au f die Schw in gu ngen an geben o hn e au f die
Wech s elw irku ngen der Moleküle Ru ck sich t z u n ehmen H at
m an e s mit klein en Schwin gu n gen z u tun deren Ge sch w in
digk eit klein ist gegen die Lichtge schwi n digkeit s o ergibt (85 )
mu ß
'
.
.
,
,
.
,
.
.
r
,
,
.
,
,
Reaktionskraft der Strahlu ng Das w ar der An satz den
w ir in 5 9 (Gleichu n g 5 8) gema cht hatten
Dort konnten
w ir die An n ahm e die ses Werte s nu r da du rch rechtfertige n
daß w ir darau s den richtigen Wert f ür die au sge str ahl te
En ergie erhielten ; das dort entw ickelte elektroma gnetische
Bild de s leu chtenden Pu nktes ergab kein e Au sstr ahlu n g v o n
Bew e gun gsgr o ße w ie j a au ch 11 über ein e Schw ingu n g in te
aben nu n mehr v o n ein em
Wir
h
riert de n Wert Nu ll liefert
g
Stan dp u nkte au s u nter Berücksichtigun g der
allgemein eren
bei strenger D u rchführu n g der Re chn u n g sich ergeben den
Au sstrahlu n g v on Be w egu n gsgro ße diesen Au sdru ck für die
Rück wirku n g der Strahlu n g au f die Schw in gungen ein es
ru h en den Dipols als richtig dargetan u nd dam it au ch die
als
.
.
,
,
,
.
d
E
r
s
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b
s
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e
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i
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e
o
3
1 6
g g
.
.
Diiferen tialgleich u n g
b
8
5
)
(
fu r
.
klein en Schw in gu n gen
di e
ein es Dipols begrün det
Für den be w egten le u chte nden Pun kt führt die In te gration
über ein e Schwin gu n g v o n ( 85 ) z u (84 a b ) zu rück
u n d es
ergibt sich die der Bew egung entgegen w irkende Kraft w elche
wir im vorigen Paragraphen kenne n gelern t haben ( Glei
chu n g 83 a d)
Übrigens liegt den En twickelu n gen di e se s Paragraphen
wie denen der voran gehenden die Annahme einer Pu nk tladu n g
zu gr u n de Dadu rch ist die Lichtgeschw in digkeit u nd deren
Nachbarschaft sow ie selbstverstän dlich die Uberlich tgesch w in
digk e it au s ge schl o ss en
E s w äre du rchau s u n zuläs sig wenn
w ir etw a au s dem Un en dlich w er den der Reak tio nsk raft f ür
1
n
n
s
c
hl
ieße
n
w
u
rde
d
a
e
S
t
r
a
h
l
g
u
s
e
de
de
s
ß
n
i
n
u
n
s
a
ß
E lektron nicht mit Lichtgeschw indigkeit bew egt w erden kann
Au f ein e bes chl eu nigte Bew egun g mit Lichtgeschw indigkeit
s in d u n s ere Formeln nicht mehr a n zu w enden ; denn das E lektron
ist ni cht als Pu nktla du n g an z u sehen s o ndern es be sitzt wie
w ir im nächsten Ka pitel zeigen w erden endliche Abme ssu n gen
In der u n mittelb aren Nähe der Lichtge schwi n digkeit ve sagen
demnach u ns ere du rch di e Bedingu n g (63 b ) in ih rer Gültigkeit
ein geschränk ten Fo meln Die Frage nach der Erreichu n g u n d
Übers chreitu n g der Lichtgeschw in digkeit kan n nu r u f Gru n d
be stimmter Vorau ssetzungen über di e Form u n d die Ladu n gs
verteilu n g des Elektr ons i n An griff gen ommen w erden
.
,
,
,
,
.
,
,
.
,
.
,
.
,
,
,
.
r
r
.
a
.
D rit te s K a p i te l
.
Di e
Mech anik
der E lek tr o nen
.
o
en der Dyn ami k de s E le k tr o n s
u n d d a s e l e k tr o m a gn e ti s ch e W e l tb il d
Im vorigen Kapitel w o w ir die v o n ein em beschl eu ni gten
E lektr on entsan dte Wellenstr ahlu n g behandelten k am n u r das
Feld in großen Entfernu n gen vom Elektr on in Betracht Nu n
16
.
Di e Gru n d h y p th e s
.
,
,
.
E rst
1 38
a
Ab
sch nitt
.
Das Feld u die
.
B ew egu ng der einz elnen E lektro nen
.
O Heaviside ﬁn det sich zu erst die Vorstellu ng ein er solchen
“
der konvektiv bewegten Elektrizität
s cheinb aren Masse
Der Begriff der elektromagn etis chen Trägheit gew ann
ein e aktu elle Bedeu tu n g als m an in den Kathodenstrahlen
v
l
w
l
l
l
n
nn
n
r
n
r
ch
be
e
te
e
ektri
che
Tei
che
ke
e
e
te
2
as
s
( g 5 )
g
Wenn anders der Konvek ti onsstrom überha u pt ein magn e
tis che s Feld erregt
u n d di e V er su che v o n H A Ro w lan d
v
w
l
l
u
f
l
n
s
n
Bd
I
S
ko
t
n
er
k
m
z
ei
e
e
2
nn
e
a
n
a
as
4
hi
5
( g
)
so
mu ß ten die im Kath o dens trah le bew e gten Elektron en ein e
elektromagn etische Masse besitzen Die allgemein ste zu lässige
Annahme w ar di e daß di es e n egativen E lektron en s o w ohl
“
elek trom agn etische Mass e als au ch „materielle Masse besitzen
“
D abei ist u nter materieller Masse diejen ige z u verstehen
welche der w ägb aren Materie zu kommt u n d welche B den
elektrochemischen Ion en anha f tet Wir haben indess en bereits
w elche v o m
in 5 2 au f die Schw ierigkeite n hi n gew ies en
a tomisti s che n Stan dpu nkte
am der Au ffassu n g der Mas s e de s
n egativen Elektro n s als ein er ma terie lle n Mas s e e n tgegen stehen
Man w are vor di e Al ternative gestellt en tw eder den Ka thoden
str ahl te ilch e n an Stelle ein e s ein igen 2000 elektri s che E le men ta r
qu an ten z u zu schr eiben oder aber die Atome der w ägbaren
Materie ni cht ab u n te ilbar z u betrachten Diese Schw ierig
keiten w erden kein e swegs gehoben w enn m an die Tr ägheit
der Elektron en z u m Teil als m aterielle z u m Teil als elektr o
ma gnetische betrachtet Sie verschw in den jedoch s ofort wenn
m an die Masse des n ega tiven E lektr ons als rein elektr o
magn eti sche Masse betrachtet Au f die Möglichkeit ein er
s olchen
alle üb e rlie ferten An schau u n gen u m w älzen den Lo su n g
w u rde v o n verschiede nen Seiten hin gew ie sen
u nd e s w u r de
bemerkt daß di e En tscheidun g der Frage v o n den Tra gh eits
ers chein u n gen abhängt w elche die Elektronen zeigen w enn
sie mit n och gr o ßer en Ge schwin digkeiten als in de n K atho den
str hl e n
sich be w egen
In der T at die m aterielle Mass e w a g
barer Teilchen mu ß w enn an ders die Axiome der gew öh n
.
„
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,
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.
,
1) O
.
H e av i side , Ph il
.
Ma g (5 )
.
27 , S 3 24
.
.
1 88 9
.
Drittes
Kap itel
Mech anik
Die
.
lichen
der E lek tro nen
1 39
.
Mechani k richtig s ind ein e Konstan te sein ; sie mu ß
u n abhan gig v o n der Ge schwin digkeit sein mit der di e Bewegun g
erfolgt Die elektr om agn etische Masse hin gegen die v o n dem
elektromagnetischen Felde herr ührt w ir d w ie das Feld selbst
v o n der Ge schw in di gkeit abhän gen
mit w elcher das E lektron
den Ä ther du r ch ﬂi e gt
Gerade als die E r o rter u ng der Frage bis z u diesem Pu nkte
gelan gt w ar lern te m an in den ß Strahlen des Radiu m s
n egative Elektro n en kenn en die n och ras cher als die Katho den
strahl teilch en sich bew egen
E s zeigte n äm lich W Kau fm ann
daß di e Ge schw indigkeit fu r verschieden e Te ilchen ein e ver
“
Spektru m v o n / der Licht
schieden e ist u n d daß das
geschw in digkeit bis dicht an die Lichtgeschw in digkeit heran
sich
erstreckt Au ch stellten bereits die ersten Versu che
Kau fmanns e s au ß er Zw eifel daß die Trägheit dieser Teilchen
mit w achsen der Geschw in digkeit ansteigt Hieran ank nüpfen d
ein e Dynamik
h at de Verfa sser die se s Werke s e s u n tern ommen
de s E lekt on s au szu arbeiten w elche geeign et w ar die Ver
s u che Kau fm ann s au f rein elektrom a gn etis cher Gru n dla ge z u
deu ten Die erhalten en E rgebni ss e w u rden du rch W Kau fm ann s
s o daß bereits au f der Karls
w eitere Un tersu chu n gen be stätigt
b ader Natu rfo rs ch erv ersammlu n g ( 1 902) au sge sprochen w erde n
D i e M a s s e de s E l ek tro n s i s t r e i n e l ek tr o
m a g n eti s ch er Ar t
In die sem Para graphen s o llen die Gru n dhypothe sen dar
gelegt werden au f den en die Dyna mik de s Elektrons be u ht
Zu die s en Gru n dhypothe sen gehören selb stv erstän dlich die
in 5 4 en tw ickelten allgemein en Feldgleichu n gen der E lektro n en
theorie (I bis IV) so w ie der Lo ent sch e An satz (V) für die
elektromagnetische Kraft Zu ihn en tritt die für die atomi
stisch e Theo ie der Elektrizität fu n dam en tale Vor ste llu n g
daß
di e Ge samtladu n g
die w ir als elektrische s E lem en tar u m tu m
,
,
.
,
,
,
,
,
.
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.
.
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s
„
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1)
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M
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.
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N
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1
9
1
1 43
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,
brah am , Gött
a eh r 1 902, S 20 Ann d Ph
an n
.
A
.
.
W Ka
W Ka
.
u fm an n
.
u
fm ann
.
N
.
.
.
.
.
11
.
M
.
Ab
r ah a m ,
.
Ph
.
.
Gött N a ch r 1 902, S 29 1
,
.
y
s
1 0,
.
S
90
9
0
3
1
;
,
.
ys Z eit ch
.
.
s
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.
4,
S 54
.
1 903
.
.
u
.
57
.
1 902
.
1 40
E rste r
Ab
sch n itt
.
Das Feld 11 die B ew e gu n g der einz elnen E lektr o nen
.
.
bezeichn et haben (5 1 ) über eine n gewissen Bereich verteilt
ist
Die| en Bereich n eb st sein er La du n g n enn en w ir da s
“
E l ek t ro n Er kann als Ganz es im Rau me bew egt aber
An de E lektrizität die mit der Dichte
ni cht geteilt w erden
über das Volu m des E lektron s verte ilt ist
greift nun die
du rch die Gru n dgleichu n g (V) deﬁni erte elektromagn etische
Kraft an Dies elbe setzt sich au s zw ei Teilen zu sammen
ersten s der elektrom agn etischen Kraft des ä u ßeren Feldes die
“
w ir 8
u nd z w eiten s der v o m E lektron au f sich
s chreiben
s elb st
Es
inn eren elektrom agn etischen Kra
au sge übten
ist f ür das Folgen de bequ em
die se letztere einfach 8 z u
“
Daß m an di e
inn ere u n d die au ßer e Kraft
schreiben
trenn en k ann rührt v o n dem in der lin e aren Form der Feld
gleichu ngen analytisch z u m Au sdru ck gebrachten Su per
sitio n s rin z i e her
o
die
s
em
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ber
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a
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p
p
p
;
p
di e Felder
u nd
w elche ein erseits v o n dem be
tra chteten Elektron selb st an derseits v o n den übri gen Elek
tro n en erregt w erden
D u rch di ese Felder aber bestimmen
sich die au f d
ie Einheit der Ladu n g berechn eten inn eren u n d
au ß er en e lekt om a gn eti schen Kräfte fo lgen derm aßen
.
„
,
.
r
.
,
,
,
.
,
„
,
„
.
,
,
.
r
wir nu n die Dyn amik des Elektrons rein elektro
magn etisch z u begrün den beabsichtigen so dürfen w ir andere
W ir
als e lektrom a gn eti s che Kräfte u be rh au p t n icht einfüh ren
postu lieren v iel! !1 eh r : E s s o ll di e r e s u l ti e re n d e Kr a f t u n d
da s re s u l ti ere n d e Kr a f tm o m e n t de r a n de n Vo l u m
e l em e n te n de s E l e ktr o n s a n gr ei f e n d e n e l e k t r o m a gn e
ti s che n Kr äf te v er s ch w i n d e n :
Da
,
,
,
.
E r ster
1 42
Ab
sch nitt
.
Da s Feld 11 di e
.
Bew egu ng der einz elnen E lektronen
.
entspricht D i e s e u n s e r e k i n e m a ti w h e Gr u n d g l e i ch u n g
s a gt a u s
da ß di e E l ektri zi t ä t a n de n V o l u m e l e m e n t e n
de s E lektro n s h a f t et w i e di e w ä gb a re M a teri e a n de n
V o lu m e l e m e n t e n de s s t a rr e n K ö rp er s E s | tell t in (VII)
90 die Ge s ch w in digkeit ein e s im Inn ern des Elektron s ge
w ähl te n Bezu gsp u nkte s dar r den v o n ihm au s kon stru ierten
Radiu | v ekto r u n d 11 die Drehgew h w indigk eit des E lektr ons
Den se chs du rch di e ki n em atische Gru n d
u m den Bez u gsp u n kt
gleichu ng zu gelassen en Freiheitsgraden | teh en sechs au s den
dynamischen Gru ndgleichu n gen ﬂießen de Beziehu n gen gegen
über gan z w ie in der Mechanik starrer Körper
Wenn wir die Kin ematik des Elektr ons der Kinematik
de s starren Körpers nachbilden erreichen w ir für di e D yna mik
de s E lektron s ähnliche Vorteile
w ie
sie
die analytische
Mechanik du rch Annahme starrer Verbindu ngen erzielt In dem
nämlich die analytis che Mech anik der Kin em atik der Massen
sys teme s olche Bedin gu n gsgleichu n gen z u gru n de le t z u deren
g
Au frechterhaltu n g kein e Arbeitslei stu n g (w eder ein e po sitive
n och ein e n egative ) erforderlich i| t brau cht sie Kräfte welche
die verkoppelten Massen au feinan der au süben n icht ein zu füh ren
Sie kann di es e Kräfte au ffassen als Folge der angen ommenen
Bedin gun gsgleichu n gen ; es ist aber überﬂ üssig v o n diesen
Kr äften z u reden da dieselben ni em als Arbeit leisten weder
bei der w irklichen Be w egu n g n och bei virtu ellen Bew egu n gen
D aher kann die analytische Mechanik bei der Behandlu n g starrer
“
Massen system e davon ab sehen ein e inn ere potentielle En ergie
der Körper heranzu ziehen Au s den Be din gm gsgleich u ngen
der bew egten Massen u nd ihr er kin etischen En ergie ergeben
s ich
ohne w eiteres die Bew egu n gsgleichu ngen des Syste mes
Dieser Grun dgedanke der an alytischen Mechanik Lagranges
ist bekann tlich v o n Heinr ich Hertz in s ein er D arstellu ng der
Prin zipien der Mech anik a m kon sequ entesten du rchgefüh rt
w e rden
H Hertz wün scht den Begriff der poten tiell en E nergie
Er po stu liert
au s den Gru n dla gen der Mechani k z u verb ann en
die Zu rückführu n g der potentiellen Ene gie au f die lebendi ge
Kraft verborgen er Sy steme träger Massen ; diese Massen sollen
.
,
,
.
,
.
,
.
,
,
.
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
.
„
,
.
.
.
.
.
r
Dritte s
Kapitel
Die
.
Mech anik
der E lektro nen
1 43
.
“
Verbin du n gen mi tein an der
starre
du rch
verkoppelt sein ; alle
Kräfte au ch ans cheinen de Fernk räfte sollen in Wirklich
keit du rch Mechani smen verb o rgen er Massen übertragen sein
w elche a u ch die an s chein e n d getrenn ten m ateriellen Korper
miteinan der verkoppeln Nu n sin d jedoch di e Verbin du n gen
welchen w ir in der w irkli chen Körp em elt begegn en keines
“
wegs starr Au ch die festen Kö per besitzen die Eigensch aft
D aher reichen für ein e er
der Elastizität Reibu n g u sf
s chöpfen de D a rs tellu n g der Bew egun gsvorgän ge die An sätze
der analytischen Mechanik nicht au s man m u ß vielmeh r di e
thermischen Vorgän ge berücksichtigen w elche die Bew e gun gen
begleiten
Dieser Einsicht vers chließt sich Hertz keineswegs Da
er aber alle phy sikalischen V o rgange au ch die thermischen
als Be w egu n gsvorgän ge au fz u fass en w üns cht so k ann er ni cht
u mhin
an zu n ehmen
daß in der Welt der Atome die star ren
Verbin du n gen sein er Mechan ik verwirkli cht sin d In der T at
wäre die Bew egun g der Atome mit Reibu ngs u nd Form
s o w are es logi s ch u nm öglich
die
a nden m gsarbe it verbu n de n
Wärme der Körper als eine Art v o n Be w egun g au fzu fassen
Will man das mechani sche Weltbild in folgerichtiger Weise
z eichn en u n d dabei die poten tiell e E n ergie au s de n Gru n dla ge n
der Mech anik verb ann en so m u ß m an fordern daß die kin e
“
m atisch en Zu sammenh än ge der klein sten Teilchen
s tarr
im
S inn e der Hertzschen Mechanik sind
Wir haben die Bedeu tu n g di eses mech anischen Weltbildes
64)
für die E lektrodyn amik im ers te n B ande dies es Werke s
e rörtert
als w ir die M ax w ellsche Ableitu n g der I
n du k tio n s
e
Wir
s etze au s den Lagran gesch en Gleichu n gen vortru gen
g
da ß di e se Max wells che An alog1 e der
e rw ähn ten dort bereits
Selb stin du k tion z u r Mas sen trägheit n icht u nbedin gt z u gu n sten
de s mechani s chen Weltbilde s gede u tet z u w erden bra u cht
s on dern da ß m an mit dem selben Rechte u mgekehrt vers u che n
kann die Massentragh eit au s den Gesetzen der Elektrodynami k
a bzu leite n u nd so die Mechanik elektrom a gn eti sch z u be re ife n
g
Wir sind jetzt z u dem Pu nkto gekommen w o das elektro
,
,
.
,
„
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.
,
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.
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.
e Ab
1 44 E rst
r
sch ni tt
.
Das Feld 11 di e B ew egu n g der einz elnen E lek tro n en
.
“
W eltbild
.
magnetische
au f
s ein e
Richtigkeit z u prüfen ist
Die elektromagn etis che Masse des Elektrons ist nichts an deres
die Selbstindu ktio n des Konv ek tionsstr o mes Ist di e
als
Dyn amik des Elektrons rei n elektromagnetisch begrün det u nd
di e Trägheit der Elektron en au f ihre Selbstin du ktion d h au f
di e Rückwirk u n g ihre s Felde s zu rückgeführt s o haben wir
den Stützpu nk t gew onn en v o n dem au s wir die mech ani sche
Natu ranscha u u n g in ihren Gru ndlagen ers ch üttem könn en
Wir können dann wagen die kinetische u nd die poten tielle
E n ergie der Mechanik u nd alle E n ergie formen überhau pt als
magn etische u n d elektrische En ergie z u deu ten u nd so e in
e lek t o ma ne tis che s Weltbild an die Ste lle de s mech ani schen
g
z u s etzen
Obw ohl w i ein e Tenden z verfolgen welche derjenigen der
Hertz schen Mechanik di am etral entgegengesetz t ist soll u n s
doch hinsichtlich der Folgerichtigkeit der Du rchführun g dieser
Tendenz die Hertzsche Mechanik vorbildl ich sein Wollen w ir
Stelle der kin etischen u nd der poten tiellen En ergie der
an
Mechan i k die elektromagn eti sche En ergie setzen so müssen
w ir der Dyn amik der elektri schen Atome ki nem atis che Ver
bin du n gen zu gru nde legen deren Au frechterhaltun g weder
ein en E nergieverlu st n och ein en En ergiegewinn mit sich
brin gt; sonst ist die gesamte elektromagnetische Energie de s
Feldes ni cht konstant u nd e s w i d die Einführu n g ein er ni cht
elektrom agnetischen Energieform doch w ieder n otwendig D a s
e l ek tr o m a g n e ti s ch e We l tb i l d k a n n n i ch t u m hi n d e r
Ki n em a tik d er E l ektr o n e n B e di n g u n g s g l ei ch u n ge n
“
z u gr u n d e z u l e ge n w e l che de n s t a rr e n Ve r bi n
d u n ge n d er He rtz s ch e n M e ch a n i k e n t s p r e ch e n Nu r
au f solchen
kin em atischen Gru ndgleichu ngen fu ßend ist di e
Dyna mik des Elektr ons ohne logische Widersprüche elektro
ma gn etisch z u begründen Nu r die Überein stimmu n g der
Ergebni sse ein er so begrün deten Dyn amik de s Elektr ons mit
dem E xperimente kann z u r w eiteren Verfolgun g des elektro
m agn eti schen Weltbildes ermu tigen Die einfa chs te aller in
den Rahmen der analyti schen Mechan ik fallenden Bedin gu nge
.
,
.
,
.
.
,
,
,
,
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.
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.
.
1 46
E rste r
Ab
sch nitt
.
Da s Feld 11 die
.
Bew egu ng der einz elnen E lekt
ro n e n
.
deru ng de s Elektrons als moglich ansich t D ann müss en
die resu ltie en den Kräfte u n d Kraftmomente am
nicht nu r
Elektron im gan zen sich das Gleichgewicht halten sondern
e s m u ß an jedem V o lu m e le m en te des E lektron s Gleichge w icht
“
bestehen da j a ein e am V o lu m elem ente haften de mate rielle
Masse ni cht an gen ommen w erden soll D ann mu ß man schon
fü das ru hende Elektron ann ehm en da ß n eben den elek
tri s chen n och inn ere elastische Kräfte w i ken w e lche e s ver
hin dern daß die V o lu melem en te ihrer gegenseitigen Ab stoßu n g
Folge leisten Diese Kräfte m üssen ganz en orm e sein ; denn
di e elektri schen Kräfte w elche an der Oberﬂäche de s E lektron s
übertreffen w eil die Abme ssu n gen de| Elektro n s so
an gre ifen
klein sin d die experimen tell herstellbaren
au ßero r den tlich
Bew e gt sich
lektri schen Kräfte u m das billio n enf a ch e
rotato isch
n u n das Elektron als G an ze s transla tori sch ode
so werden die elektro m agn eti s ch n Kräfte abgeän dert w erden
un d
mit ihnen die elastischen derart daß an j edein
V o lu m e lem en te die elektri schen u n d die elastischen Kräfte
Gleichgew icht halten Die Abän deru n g der elasti
s ich da s
Kräfte w ird v on ein er Fo rman de un g begleitet se in
schen
Der Translatio nsbew e gu n g u n d der Rotation sbew egu n g w ird
sich dem n ach ein e inn ere Fo rm än de u n gs be w e gu n g überla gern
di
ihrerseits das inn ere Feld beeinﬂu ßt Man h at p ra is
gesprochen n eben den Gleichgew ichtsb e din gu ngen fu r die
V o lu m e le m ente n och di e Feldgleichu n gen (I bis IV) z u erfüllen
daß die hin sichtlich der elasti schen K äfte
u n d h at z u zeigen
gemachten Ann ahm en z u kein en Wide sprüchen fu hren E in e
n a chgewie s en e m aßen w iderspru ch sfreie Theorie eine s
s o lche
defo rm ie bar en E lektron s e xi stiert bisher nicht
Sollte sie
s ich du rchführen la ss en u n d dem E xperimente gegen über s ich
gleichfalls bew ähren so w äre sie u n serer Theorie gegen über
n och in s o fern im Nachteile
als sie gez w u n gen w äre
au ß e r
de elektrom a gn e tischen En ergie n och ein e inn ere po ten tielle
E n ergie v o n der Art der inn e en En ergie elasti scher Körper
einzu führen deren Abnahme die v on den elastischen Kr äften
geleistete Arbeit kompen siert Man w ürde dan n die T rägh eits
än
.
r
,
,
.
r
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r
r
.
Dritte s
Kapitel
Die Me ch an ik
.
n
1 47
verbannt aber dafür die w eni ger gu t verstan denen
elastis chen Kräfte au s der Mechan ik übernommen haben Man
würde die kin etische En ergie der Elektronen au f die elektro
m agn etische Felden ergie u nd ein e inn ere potentielle En ergie
zu r ückgeführt haben Die Üb e einstimmu ng ein er solchen
Dynamik de s Elektr ons mit dem Experimente w är e gew iß
n icht als ein e Bes tätigu n g de s elektrom agn eti schen Weltbilde s
au fzu fass en
Wir w erden in diesem Werke an der Hypothes e des
“
starren
Elektrons festhalten ; au f Gru n d dieser Hypothese
werden w ir di e Fr age z u r E ntscheidu n g z u brin gen su chen
ob die Dynamik des Elektron s rein elektroma gn eti sch be
ü
n
l
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u
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d
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o
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a
l
n
s
g
g
rein elek tris cher Vorgang au fgefaßt w erden kann E in w eiterer
Schritt au f dem Wege der elektromagn etischen Weltans chau un g
w äre di e Deu tu n g der Kräf te
w elche die Materie au f die
Elektro nen au sübt z B der u asielw tisch en Kräfte (v gl 5
au f rein elektrom a gn eti scher Ba si s
Der letzte Schritt endlich
wäre die Au ffassun g der w agbaren Atome un d Moleküle als
Aggregate v o n E lektron en eine Au ffassu n g welche die Träg
heit der Mate rie ohn e weiteres erklären w ürde v o n der man
aber au ch fordern m üßte
daß sie v o n den Mo lek u larkr äften
u nd
v on
den Gr avita tion skr äften in befriedigen der Wei s e
Rechen schaft gäbe Die Welt w ürde dann allein au s den
po sitiven u n d n egativen Elektron en un d au s dem v o n ihnen
im Rau me erzeu gten elektrom agn etischen Felde besteh en u nd
alle Natu rvorgän ge wären als Ko n v e k tio n sstr ahlu n der E lek tro n en
g
oder als v on ihnen entsandte Wellenstrahlu n g z u betrachten
Dieses elektromagn etische Weltbild ist bisher nu r ein P ogramm ;
hoffen wir daß die Arbeit der im Dien ste dieses Programmes
tätigen Forscher v o n weiteren E rfolgen gekrönt w erden möge
k r afte
,
.
r
.
.
,
.
q
,
.
.
.
.
,
,
,
.
,
,
.
r
,
.
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e u n gen de s E lek tr o n s
“
Ist das
gegeben un d die je w eilige Lage
au ßer e Feld
Geschw indigkeit u nd Drehgeschw in digkeit des Elektrons so
si n d di e r e s u l ti e re n de ä u ß e re Kr a f t
17
D i e B e w gu n gs gl i ch
.
,
,
1 48
E rster
Ab
.
.
“
do o ö
90
( )
u nd
Das Feld 11 die B ew egu ng der einz eln en E le ktro nen
sch nitt
di e
a
0
9
(
)
re s u l ti er e n d e
=
s
°
do g
äu
{
.
°
C +
ß e r e D rehkr a f t
M?
"
W
gleichfalls bestimmt
Für das k u gelförm ige Elektron wird man
Mo men tenp unkt den Mittelpu nk t dess elben w ü en u nd
.
als
konstru ieren In der kine
m atis ch en Gru n dgleichu n g gibt dann 9 di e Ge schwin di gkeit
dieses Mittelpu nk tes 11 die Drehgeschwin digkeit des Elek trons
u m seinen Mittelp u nkt an
Nimmt man die Ladu n gsverteilu ng im Elektr on nicht als
so
wird man als Mo m entenp u nk t
allseitig symmetr is ch an
den du rch die Gleichu n g
v on
dies em
au s
Radiu svek tor
den
r
.
0
.
,
d v gt = 0
9
b
0
)
(
deﬁni erten Pu nkt wählen der dem Massenmittelp u nkte der
Mechanik entspricht u nd der in diesem Falle schlechtweg als
“
u n kt de s E l ektr o n s
Mi
tte
l
p
bezeic
et
erde
h
w
n
m
a
n
„
g
Bei rein er Translatio nsbe wegu n g (u O ) ist die :äu ßere
Kraft
,
,
.
°
1
9
( )
v.
.c
+
[
n
ßere Feld innerhalb des vom Elektron ein
gen ommenen Bereiches merkli ch homogen s o red u ziert sich
der T r a n s l a ti o n s b e s t a n dt e i l d er äu ß e re n Kr a f t au f
Is t da s
äu
,
l
a)
9
(
=
:
e
1
—
Die experimentell herstellbaren konstan ten elektrischen
u n d m a gn eti schen Fe lder sin d ste ts als homogen anz u s ehen au f
Strecken v o n der Größenordnun g ein es E lektro ndur ch messers ;
di e v o n ihn en au sge übte Kra ft w ird daher stets mit gen ügen der
Annäheru n g du rch (91 a) an gegeben
.
1 50 E rste r
Ab
sch n itt
.
Da s Fe ld u di e
.
B ew egu n g der einz elnen E lektr o nen
.
Führe n w ir di e nun mehr als bekann t an zu s ehen den Vektoren
in di e dynamis chen Gru n dgleichu n gen (VI V Ia ) ein
u n d 91
lau ten dies e :
°
,
so
dv oö
2
9
( )
a
9
2
(
)
,
0,
'
do g [t iy]
0
.
han delt sich nu n daru m den Vektor
d h die
elektromagnetische Kraft des vom Elektron selbst erregten
Feldes z u ermitteln
Wir haben bereits im ersten Kapitel (5 8) in allgemein ster
Weise die Fortpﬂanz u n g ein er elekt oma gnetischen Störu n g be
han delt Wir haben gesehen daß das Feld w elches z u r Zeit t
in irgen dein em Au fp u n k te herrscht sich zu sammen s etzt au s
Beiträgen w elche ein e mit Lichtgeschw in digkeit sich kon tra
Un d z w a hän gen
h ier en de Ku gel dem Au fp u nk te zu führt
die elektroma gn etischen Poten tiale v o n der elektrischen Dichte
der Dichte des Ko nv ek tion sstro m es ab w elche die
u n d v on
Ku gel antriﬁt ; die Feld stä ken werden mithin v o n der Dichte
Geschw in digkeit u nd Be schleu nigu n g der Elektrizität abhän gen
über w elche die Ku gel h in w e ggestr ich en ist Das vom Elektron
e egte Feld w ird sich demnach du rch e in Zeitintegral über
darstellen lassen Au f
die Laten sz e it 7 oder de n Latens w e g
diese all gem ein e D arstellu n g des Feldes kommen w ir w eiter
24) z u r u ck
u n ten
In die Au sdrücke de inn eren Kraft u n d Drehkraft gehen
w elche in dem gera de vom E lektro n
n u n die Feldstä k en e in
ein gen ommen en Be eiche herrschen u nd die vom Elektron
s e lb st erregt sin d
Um sie direkt z u bestimmen m üßte m an
fu r jeden Pu nkt de s Elektro ns das Fe ld ermi tteln u n d sodann
die elektromagnetischen Kräfte w elche au f die ein zeln en Volu m
e le m en te w irken n a ch den R e geln der Mech an ik st rrer Körper
zu sammensetzen H at sich nu n das Elekt on vorher m it Un ter
lichtge s chw in di gkeit be w egt so w ird fü jeden u Zeit t in
bhän gen v o n der
s ein Inn ere s falle nden Au fp u nk t das Feld
Bew egu n g w elche das Elektron in ein em en dlichen der Zeit t
Es
,
.
.
.
.
r
.
,
,
,
r
.
,
‘
r
,
,
.
rr
.
.
r
r
r
,
.
,
.
,
,
a
,
r
.
,
z
r
r
a
,
,
Dritte s
Kapitel
Die
.
Mech anik
de r E lek tr onen
15 1
.
vorangegangen en Zeitintervalle au sgeführt h at nämlich in dem
Zeitintervalle während dessen die mit Lichtgeschw indigkeit
sich kon tr ahiere n de Ku gel über das E lektron h in w e gge strich en
ist
Au ch bei Bew egu n g mit Überlichtgeschw in digkeit w ird
das gleiche gelten ; die Abweichu n g lie gt darin daß hi er das
E lektron v o n au ßen in die sich kon trahieren de Ku gel h in ein
tritt Nu r wenn die Ges chwindi gkeit des Elektrons der Licht
geschw in di gkeit gleich ist oder u m dies e o szilli ert liegt ein
Au snahmefall v o r Im all gemein en wird die elektr om a gn eti sche
Kraft im Innern des Elektrons abhan gen v o n der Gesch w indig
keit u nd Beschleu n igun g die das Elektron in ein em en dlichen
vorangegan gen en Zeitin te rvalle erfahren h at Das gleiche wird
v on
der resu ltieren den inn eren Kraft u nd Drehkraft gelten
Wir kommen hierau f weite u n ten (5 26) zu rück
Au s diesen allgemein en Überlegu n gen gew inn en w ir ein e
Einsicht in den Sinn u nserer dynamischen Gru n dgleichu n gen
Wir erkenn en daß diese Gleichu n gen im Gru nde etw as ganz
an dere s a u ssa gen als die Pri nz ipien der gewö hnli chen Mechanik
Während die Mechan ik starrer materieller Körper di e zeitliche
Än deru n g der jew eiligen Geschwin digkeit u nd Dreh gesch w in di g
keit du rch die äu ß ere Kraft un d Drehk raft bestimmt w enn
die Gestalt u nd die Massenverteilu ng de s Körpers gegeben ist
ist die Au ssa ge der Gru n dgleich u n gen der D yn amik des
Elektr ons ein e w eit v erw ick eltere Dies elben sind streng
gen ommen Fu nk ti o nalgleich u n gen welche di e Lage s owie die
Geschw in di gkeit u n d Be| chleu n igu n g der Translation un d R0
tatio n die in ein em gan zen Zeitin tervalle herrs chen zu ein an der
Man darf daher
in eine äu ßerst verw ickelte Beziehun g s etzen
nicht ho ffen Be w egun gsgleichu n gen z u erhalten w elche gleich
zeitig in Strenge gültig sin d u n d ahn li ch w ie di e Bew egungs
gleichu n gen des starren Ko rp er s die Beschleu n igu n g der Tr ans
la tion u n d Rota tio n allein du rch die jew eils herrs chen den
äu ß eren Krafte be stimm en
Nu r in dem m an spezielle Fälle
herau sgreift u nd sie passen d idealisiert kann man erwarten
für die D ars tellu n g der beob a chtbaren Be
z u übersichtlich e n
w e gu n gen geeign eten Ergebnissen z u gelan ge n
.
,
.
,
,
.
,
,
.
.
r
.
.
.
,
,
.
,
,
.
,
,
,
,
,
.
,
,
.
E
rs
t
e
r
1 52
Ab
sch nitt
.
Das Feld 11 die Bew egu ng der einz elnen E lektro nen
.
.
Diese s w ar das Ziel w elch» ich bei meinen Unter
Ich
su chu n gen über die Dynamik des E lektro n s verfolgt ha be
habe nach gew ie en daß die in den Kathodenstrahlen u nd den
Be c u erelstrah len | tattﬁn den den Elektro n enbew egu n gen so w en ig
“
beschleu nigt sind daß sie als u a istatio nar gelten könn en
daß das Fe ld de s E lektrons merklich dem bei gleich
(1 h
fö rm iger Be w e gu n g mitgefüh rte n Feld en tspri cht (v gl 5
Für so lche u asistatio n är e T ran slatio m bew e gu ngen bin ich z u
Be w e gu n g| gleich u n gen gelan gt w elche v on den in der Mechani k
gelten den ni cht so sehr v en chi eden | ind Hier läßt sich das
Verhalten des Elektrons au ch bei Ges chwindigkeiten die v on
de Ordnu n g der Lich tge sch w in digk eit abe immerhin klein er
diem selbst sind du rch ein e v on der jew eiligen Ge
als
“
l
e k tr o m a n e t i w h e
e
M
e
a
abhän gige
s
| ch w indigk e it
s
„
g
charakterisieren D abei ist jedoch ein e an dere träge Masse in
Rechn un g z u setzen w enn e s sich u m Beschl eu nigu n g parallel
der Bew egu n gsrichtun g oder senkrecht z u ihr handelt Beide
“
Massen die l o n gi t u d i n a l e so w ohl als au ch die tr a n |
“
v e r s a l e lassen | i0h mit H ilfe des elektroma gn etischen Im
puls es
5 ) in übe rdch tli ch er Weise d arstell en
In ent
Wei se läßt sich au s dem elektromagn etischen
sprechen der
Im pulsmomente für
u asistatio när e
Drehbew egu ngen ein
“
e l e k tr o m a g n e ti s ch e s T r ä gh e i h m o m e n t ableiten
Wir gew innen die Gru n dla ge für die Theorie der qu asi
stationären Bew egu n gen des E lektron s
indem w ir die elektro
ma gnetische Be w egu ngs größe des v o m Elektron erregten Feldes
einführen Deren Dichte ist nach Gleichu ng ( 1 8)
,
.
q
.
q
,
.
q
.
,
.
r
r
.
,
.
„
,
,
,
.
q
.
.
1
5
”
Ta
„
g
Der ge s a m t e I mp u l s
9
3
a
( )
u nd
der D rehi m p u l s
h
9
3
(
)
6
1
6
[ 5]
m
des Felde s betra gt
dv
“
)
E rster
1 54
Ab
sch nitt
Das Feld 11 die Be w e gu ng de r einz eln en E lek tro nen
.
.
.
u nd
m o m e n te
d e m e s u l ti er e n d e n M o m e n t e d er
i n n e e n e l ek tr o m a g n e t i s ch e n Kr äf te b e | t e h t d e m n a ch
d i e B e z i eh u n g
r
r
=
91
dv e
[ ü]
t
F üh ren w ir die Au s drücke (93 c d) in die dynami schen
Gru ndgleichun gen (92 92 a) e in so n ehmen diem die Form an
,
,
4
9
a
( )
Diese Form de dyn amischen Gr ndgleichu n gen en tspricht
du rchau s den Bew e gu n gsgleichu n gen ein es starren Kö pers
w enn Kraft u n d Imp ul smomen t au f ei n en mit de Ge sch w in dig
keit
bew egten Mo m entenp u nk t bezogen sin d Sie sind in
der Tat formal ide ntisch mit den Bew egu n gsgleichu n gen (46)
u nd
d
w
i
r im ersten Ban de
die
8
e s sta rren Körpers
1
2
4
)
( )
ken nen lernten Sie beru hen j a au f den Imp u lssätz en die für
die Bew egu n gsgröße de s elektromagn etischen Feldes eben so
gelten w ie für die an den w ägb aren Körp em haften de Be
F eilich läßt sich fü di e w agbaren Körpe
w e gu n gs gr o ße
ohn e w eite es der Im pu ls als Fu nktion der Gesch w indig
keit u n d de Drehi mpu ls als Fu nktion der Dr eh ge sch w in dig
keit an geben In der Dyn amik des Elektro ns hingegen gewinn t
m an die Beziehu n ge n w elche den Imp u ls u nd da s Impu ls
moment mit der Geschw in digk ei t u nd der D ehgeschw in digkeit
v erk nu p fe n
erst du rch Integration der Feldgleich u ngen ; erst
na chdem das Feld der be tre ffen de n Be w e u n g ermi ttelt ist
g
lassen sich die d u rch (93 93 a b) deﬁn ierten In tegrale u ber
den gan zen Rau m au sw erten w odu rch dann die Be w egu n gs
gleichu n gen ein e expli zite z u r B e stimmu ng de s Verlau fe s der
Bew egu n g geeignete Form an nehmen
Neben den Imp u lsgleichu ngen ist die E n ergiegleichu n g
W i hatten
f ür die Dy nami k de s E lekt o ns v o n Bedeu tu n g
dieselbe bereits in 5 4 in allgemeiner Wei se au s de n Gru nd
r
u
r
,
r
.
,
.
,
.
r
r
r
r
,
r
.
,
r
,
,
,
,
,
.
r
.
r
Drittes
Kapitel
.
Die
Mech anik
de r E le ktro nen
1 55
.
gleichu n gen der Elek tro nentheo rie hergeleitet W die ge
sa mta En ergie des vom Elektr o n erre t en Felde s
tet
i
s
t
s
s
g
ein e endli che w enn wir bei der Verfolgu n g der Bew egu n g
v o n ein em anfan gs r u hen de n E lektr o n au s gehe n
u n d immer
nu r e ndliche äu ßere Kräf te au f das Elektron wirken la ss en
Sie berechn et sich in diesem Falle au s den Felds tärken des
vom Elektr on e rregten Feldes du rch die In te gratio n über den
u n endli chen Rau m
.
,
,
,
.
Info lge der über
den Anfan gs zu s tan d
gemachten Anna hme
konn en w ir in der En ergiegleichu n g eben so wie w ir es bereits
in 5 5 in den Impu lsgleichun gen tate n
di e O berﬂäch en
in tegrale str eichen Rücken wir nämlich die Begrenz u ngs
ﬂäch e so w eit fort daß sie währe n d de s gan zen betra chtete n
V o rganges ni cht v on dem Felde erreicht wird so ﬁn det ein e
Str ahlu n g du rch die Begrenz u n gsﬂäch e hin dur ch nicht statt
u n d es wird (v l 5 4
g
)
,
,
.
,
,
.
dW
a)
9
5
(
dt
Hier bezeichn et
die Arbeitslei stu ng der m u e ren
die vom Felde de s Elektrons
e lektrom agn etis chen Kräfte
gilt
s elb| t he rr ühren ;
wie au s
der kin emati schen Gru n dgleichu n g ( VII) im Verein mit
der Regel (7 ) der Fo rm elz m amm en stellnn g in Bd I S 43 7
Mit Rücksicht au f die dynamischen Gru ndglei chu n gen
folgt
d
i
s
s
b
ergibt
e
e
9
2
a
(
)
.
,
.
,
.
,
“
n
R
( ., )
9
5
h
)
(
d e m n a ch di e A b e it d er i n n e re n e l e ktro
m a g n e ti s che n Kr äf te e n t ge ge n ge s e tz t g l ei ch d e r Arb e it
E
s
ist
r
E
e
r
rs
t
156
Ab
sch nitt
.
Das Feld 11 die Bew e gun g der einz elnen E lektronen
.
.
d er a u ß e r e n e l ek tr o m a g n e ti s che n Kr ä f t e Diese au s den
Grun dgleichu n gen un serer Dynamik des Elektrons folgen de Be
ziehu n g w ürde nicht mehr erfüllt sein w enn n och andere
innere Kräfte au ße den elektr omagnetischen mitwirkten
Du rch die W hl der Gru ndh yp o th e mn haben wir eben au s
A
l
sten
e uchlo sen
d
aß
s o lche Kr äfte
jem
als
rbeit
ei
Die
g
Relation (95 b) un d die au s ihr un d (95 a) sofort sich er
gebende E n e rgi e g l e i ch u n g
.
r
.
a
.
,
m)
E
96
( )
i d
a
(
ero rein elek troma gn eti sch begrün dete Dynam ik
des Elektron s w e sen tli ch
Kombini eren w ir nun die En ergiegleichu ng (96) mit den
Imp u ls gloich u n gen ( 94) u n d (94 a) in dem wir die au s den
letzte ren sich ergebenden Werte der äu ßeren Kraft u n d Dreh
k raft in die letztere einführen so erh alten w ir
ﬁi r
s n
um
.
(
f
vV
it
=
(
”
o
D i e s e a u s d e r E n ergi e g l e i ch u n g u n d de n I m p u l s
g l e i ch u n ge n a b ge l e i t e t e B e z i eh u n g i s t v o n gr o ß er
Wi c h t i gk e it f ür di e D y n a m i k de s s t a rre n E l ektr o n | ;
d e n n s i e v e r k n u p f t i n e i n er a ll gem e i n e n v o n de n
Wert e n d er ä u ß e e n K a f t e u n a b h än gi ge n We i s e de n
I m p u l s de n D r eh i m p u l s u n d di e E n er gi e de s E l ek
tro n s
Wir w ollen ehe w ir z u r Beh an dlu n g | p ez ieller Bewegun gen
n och ein e and e re
u ber geh en
a llgemein e Beziehu n g ableiten
w elche sich gleichfalls wei terhin als w ertvoll erweis en w ird
Die selbe bez ieht sich au f die Differenz der m agn etis chen
En ergie T u nd der elektrischen Ene gie U des Feld» Dies e
“
Diffe enz soll die L a gr a n ge s c h e F u n k ti o n genann t w e den
,
r
r
,
.
,
,
,
,
.
r
r
.
r
„
.
—
=
L
T
U
.
Wir w ollen bei der Berechnu ng der beiden En ergiearten
die Relationen (28) u n d (29) heranziehen w elche die elektro
,
E rster
1 58
Wir
Ab
sch nitt
w
.
ollen
Das Feld 11 die Be w e gu ng der einz elnen E lek tro nen
z ur
9
9
( )
.
Abkürz un g , den
r
a
einführen
In te gral
u nd
.
Skalar
c
p
_
das über das
Vo lu m
der
Elektron en erstreckte
a
9
9
)
(
die
r
a
f
e
u
n
k
K
t
f
t
i
o
n
„
w ir au
e e
n nn n
.
Nach Gleichu n g ( 1 0) konnen
ch schreiben
d v (f ü)
E s fo lgt
daher du rch Su btraktion
1
00
( )
L
v on
.
9
8
c
(
d)
—V+
D i e s e w i ch ti ge B e z i eh u n g z w i s ch e n de L a gr a n ge
s ch e n F u n kti o n u n d d e r Kr äf t e f u n k t i o n gi l t f ür e i n
b e l i eb i ge s e l ektro m a g n e t i s ch e s F e l d
r
.
u
n
h
L
d
n
e
o
e
e
e
e
n
k
t
r
i
r
a
l
c
g
5
Wir w ollen die Entw ickelu n gen dieses Paragraphen etw as
allgemein er halte n
als e s fü
die Theorie des tr nslatorisch
bew egten Elektron s u n be dingt erforde lich w äre W i w ollen
e in
u ns
beliebiges System elektri scher L adu n gen in gleich
förmiger translatori s cher Bew egu n g begri ffen denk en
Das
System soll bereits seit so lan ge Zeit in dieser Be w egu n g
be griﬂen sein daß in allen bet achteten Au fp u nk ten die frühere
de gleichförmigen Be w e gu n g voran gegan gen e Be w egun g ohn e
Einﬂu ß gew orden ist ; die Beding un gen u n ter denen dieses
de Fall ist lassen sich au f Gru n d der allgemein en S ätze über
di e Fo rtpﬂan zu n g der elekt oma gn etischen Störu ngen
8)
ohn e Schw ierigkeit an geben Diese S ätze führen ebenso w ie
in dem speziellen Fall e der Pu nktla d u n g
au ch in de m
jetzt vo liegen den allgemein en Falle z u r Lo su n g de gestellten
Au fgabe ; es w re nicht schw er die Be stimm u n g der elek tro m agne
18
G l i ch f ör mi ge T r a n s l a ti
.
s
.
r
,
a
r
r
.
.
r
'
r
,
,
r
,
r
,
r
.
r
r
a
,
Kapitel
Dritte s
.
otentiale
Die
Mech anik
de r E le k tro n e n
159
.
Gru nd der Formeln (5 0) u n d (5 1 ) du rch
zu führ en Man l icht ohn e w eite es ein daß das gleichfö rmig
bew egte Sy stem elektrischer Ladun gen s ein Feld einfa ch mit
führt
In der Tat denken w ir u n s e in mit den L adu n gen
gleichf örmig mitbew egtes Bezu gssystem u n d in die | em einen
fe s ten Pu nkt P s o w erden die Werte de elektrom a gn eti schen
u n d u in ei n em s o lche n Pu n kte v o n der Zeit
Po tenti ale
u n abhän gig s ein ; denn
w elche Zeit t man au ch w ählt
die
Bew egu n g na ch rückwärts ve fo lgt ist stets di e gleiche u n d
die au f den bet effenden z u r Zeit t m it P k o inz idieren den
Au fp n k t hin sich kon trahi eren de Ku gel führ t stets di e gleichen
Beiträge mit E s i s t dem n a ch da s e l ektro m a g n e ti s ch e
F e l d de s gl e i c h f o r m i g b e w e gte n S y s te m e s e l e k tri s ch e r
L a d u n ge n s t a t i o n är w e n n e s v o n e i n e m m i t b e w e g t e n
B e z u g s s y s t e m e a u s b e u r t e i lt w i r d Fr eilich gilt das n u
für l o lohe Au fp u n k te w e lche n icht v o n denjenigen elektro
magn etischen Wellen erreicht w erden die v o r Ein tritt de s
Je große
sta tion ären Be w egu n gs zu stan de s e ntsan dt w u rden
die Zeit ist w elche seit dem Beginn de gleichförmigen Be
w e gun g ve strichen ist de sto w ei ter w ird die W ellen z o n e sich
w o fe m n icht
den bewegten L adu n gen entfern t haben
v on
deren Geschw in digkeit gera de der Lichtge schw in digkeit gleich
ist
Diesen Fall schließen w ir au s ; w ir betrachten hier au s
Hie
w hließlich Be w egu n gen mit Un terlichtge schw in digkei t
w i d die mit Lichtge schw in digkeit forteilen de W ellen z o n e das
sta tio näre
Feld einschließen ; lassen w ir die Zeit die seit
Beginn der gleichfö migen Bew egu n g v erﬂo sse n ist beliebig
w achs en
dehn t sich das statio näre Feld meh u n d mehr
so
au s ; s ein e
Feldstärken n ehmen mit dem Qu adra te de E nt
Sein e En ergie u nd
fernu n g v o n de n be w e gten La du n gen ab
Be w eg n gs größe könn en daher v o n ein er gew issen Z e it an den
im
F
e
der
U
ter
ichtge
n
l
sch w in digkeit en dlichen) Werten der
a
l
l
(
En ergie n d Bew egu n gs größ e gleich gew tz t w erden w elche
ergeben w enn man da s stationäre Feld als im gan zen
sich
Rau me herrs chen d ann immt Die so berechn eten Werte sin d
allerdin gs n icht m it der ge w m ten E n ergie u n d Be w egu n g s
timh en P
au f
r
.
.
r
,
,
r
,
,
,
r
u
.
,
r
.
,
,
r
.
r
,
r
,
,
.
r
.
r
,
r
,
r
,
r
.
u
u
,
,
.
1 60
Ab
Das Feld u die Bew egung der e inz elnen E lek tro nen
sch ni tt
E rster
.
.
.
öße des Feldes identisch ; u m diese z u erh alten müßten w ir
n och die En ergie u n d Be w e gu ng| größe der W ell enz o ne hinz u
fügen
Bei der Berechn u n g der elektromagnetischen Potentiale
des stati onären Felde s w erden w ir ni cht die Formeln (5 0) u n d
5
1
ah Au s gan gsp u nk t w ählen ; es ist hier bequ emer au f die
( )
Diﬂerentialgleich u n gen (30 a b) zu rückz u geben die sich hier
erheblich vereinfachen D a n mlich die elektr omagnetischen
Poten tiale stationär sin d in bezu g au f e in mit der Ge w h w in
bew egtes Syste m so ist nach Gleichu n g ( 1 1 6) des
digk eit
ersten Ban des (S 1 1 3)
r
g
,
.
,
‘
,
,
a
.
.
3
at
at
3!
Legen wir
u n d s etzen
so
w
di e
Achse
-
der Bew egu ngsrichtun g p arallel
ird
34»
3'
an
ehmen die Diﬂerentialgle ich u ngen (30 a b) der elektro
magn etischen Potentiale die Form an :
u nd es n
‘
,
’
—
1
ß ) 75
(
1
0
1
( )
1
3)
0
1
(
1
(
2
5)
s
an: ,
3x
ä
75
am,
am,
’
35
4“
Qß
3
°
Die z u r Bew egun gsrichtung senkrechten Kompon enten des
elektromagn etischen Vektorpotential» sind nach (5 1 ) gleich
Nu ll w eil
,
w ar ;
da
ber
a
=
‚
d
uz
ß ;
=
=
0
u3
uy
°
M
\( Q
r
Absch nitt Das Feld 11 die Bew egun g der einz elnen E lektro nen
.
.
ii
]
——
w elch er nach
.
°ﬁ
Gleichu n g ( 1 8)
die Dichte der elek tromagnetischen
bestimmt e halten wir au s (1 01 f)
Bew egu ng| größe
,
r
Dab ei ist nach ( 1 01 e) die
+
W
{
m gnetische Energiedichte gleich
a
5
1
Integri eren
2
ber
w ir ü
das
o
"
2
gan ze Feld
,
so
erhalten wir
(5 .
2T
08
1
( )
9»
1
Di e d o p p e l te m a gn e t i w h e E n ergi e de s g l e i ch
f ör mi g b e w e gte n S y s te m e s e l ek tri s che r L a d u n ge n i s t
a u s d e r Ge s c h w i n di
i
h
d
em
s k a l a re n Pro d u kte
e
c
l
g
g
k ei t
der
d e r e l e k t r o m a gn e ti w h e n B e w e g u n g s grö ß e
“
Die du rch Gleichu ng (99 a) deﬁni erte Kr äf te f u n k t i o n
bewegten Ladu n gen
u nd
.
04
1
( )
großer Wichtigkeit für die Theorie der konvektiv be
w ogten Elektr izität E s spielt j a das Ko nv ektio nsp o tential
h ier dieselbe Rolle w elche das elektro statische Potential (p in
der Theorie der ru henden Elektrizität spielt Wie der negative
Gradient v on (p die Kraft an gibt die au f die ru hende Einheit
de r L adu n g w irkt so wird in u n serem gleichförm ig be w egten
egte E inheit der Ladung
Sy steme die Kraft au f die mitbew
du rch den n egativen Gr adienten v on angezeigt (Gleichun g
W ie die Abnahme der elektro stati schen En ergie
ist
v on
.
,
.
,
,
0
11 )
4
1
(
die Arbeit
gibt die bei ein er Ko nﬁgu ratio nsanderu n g m h ender
Ladu ngen gew onn en w ird so w ird di e Abnahm e der Kräfte
funk tion V die Ar beit an geben die bei ein er Än deru n g der
n
s
l
f
m
w
S
l
n
u
t
e
m
r
tio
erem
g
eich
ör
ig
be
egte
e
ek
n
i
n
e
l
a
u
ﬁ
o
n
K g
y
an
,
,
,
Drittes
Kapite l
.
Die Me ch anik der E lektro nen
1 63
.
Ladun gen z u gew inn en ist Diese Ko nﬁgu ratione
än deru ng ist s elbstvers tändl ich u n en dli ch lan gsam vorgen ommen
denken so daß u ns er System in jedem Momente als ein
z u
mit der Geschwindigkeit gleichförmig bew egtes gelten kann
Die für u nser stationäres Feld am ( 1 00) un d (98) folgen de
Beziehu n g
trisch er
.
,
.
M
Q M
=
V
—L
gestattet folgende Deu tu ng :
= U— T
de r e l ek tri s ch e n E n ergi e U
de s L a du n gus y t e m e s tr itt da s e l ek tro dy n a m i s ch e
T de r K o n v ek ti o n s s trö m e w e l ch e s eb e n s o
P o te n ti a l
w i e b e i ge s ch l o s s e n e n L e i t u n gs s t r öm e n (Bd I
5
d er n e g a tiv e n m a g n e ti s che n E n ergi e g l e i ch i s t D i e
erh a lt e n e Kr äf t e f u n k t i o n gib t di e Arb e i t a n
so
b e i e i n er K o n f i g u r a ti o n s än d er u n g d er b e
w e l ch e
w e gt e n L a d u n ge n ge w o n n e n w i rd
E s folgt übrigens au s ( 1 0 1 0 f )
Zu
,
,
.
,
.
,
.
,
Hierau s ergibt sich
1
04
c
)
(
für
die
Kräftefunk tio n
der
Aus dru ck
e:
L
die wirkliche Berechn un g eignet sich allerdings besser
die Formel
welche di e Kräftefu nk tion du rch ein über
die elektrischen Ladu n gen erstrecktes In tegral darstellt ; di eses
In tegral läßt sich au s w erten sobald das Ko n v ek tio nsp o ten tial
bekannt ist Wir gehen jetzt dazu über du rch In te gration
der p artiellen Diﬂerentiälgleich un g ( 1 02 a) da| Ko nv ektio ns
potenti al z u bestimmen
Man sieht sofort ein daß diese Diﬂerentialgleich u n g in
die Po isso nsch e Gleichu n g übergeht w enn man du rch die
Für
,
.
,
‘
.
'
,
Su b| titu tio n
1
0
5
( )
e e un abh an gige Variable
setzen
n u
1
5
0
a
(
)
z
(17
einfu h rt
.
=
'
zo
Wir wollen gleichzeitig
s
r
E
r
t
e
1 64
D ann
tiales
Ab
sch ni tt
.
Das Feld u di e Bew e gun g der einz elnen E lek tro n en
.
.
die Diﬂerentialgleich u n g
s chreiben
z u
ist
'
de s Ko nv ek tio nsp o ten
V„W =
b
1
0
5
)
(
ollen u nser gleichfö rmig bew egtes System 2 ver
gleichen mit ein em ru henden Systeme 2 v on elektrischen
Ladu n gen E s sollen m yo z 9 Rau mkoordinaten u n d elek
triw h e Dichte in 2 sein d h e s soll 2 a u s 2 du r ch ein e
Dilatation parallel der Bew egu n gsrichtung her vo gehen du rch
w elche alle der at: Achse p arall elen S tr ecken im Verhältni s
W ir
w
0
‚
o,
.
0
,
0
o,
0
.
.
r
-
1
x
-
1
(
1
verlängert w erden ; die Dichte der Elektrizität soll gemäß ( 1 05 a)
im Verhältnis x bei diese Dehn u ng verkleinert w erden so
da ß en tsprechende V o lu m elem ente in 2 un d E „ die selbe La du n g
enthalten Das elektro statis che Potential (p in 2 wird der
Po isso nsch en Gleichun g z u gen ügen h aben
r
,
0
o
.
2
70 %
0
5
c)
1
(
4 15 90 ,
elche du rch
0
d
1
5
(
)
w
gemein integriert w i d Ve gleichen wir nu n ( 1 05 b) u n d
1
0
5
c
u n d bemerken daß die L a du n gen en tsprechen der Vo lu m
)
(
elemente in 2 u n d 2 die gleichen sin d | 0 erhalten w ir
all
r
.
r
,
0
,
—é
>
.
Entfernu n g der Pu nkte (zu y z o) u nd
C) ist w elche
in de m ru hen den Sy ste m e 2 0 dem Au fp u nk te (xy z ) u n d dem
des bew e gten Systeme s 2 en tsprechen
Qu ellpu nkte
Hi e rd u rch i s t a ll g e m e i n di e B e s ti m m u n g de s Ko n
die
,
,
o
,
,
.
r
b
h
D
as
F
l
d
11
B
w
d
l
n
E
t
e
s
c
t
t
r
l
n
rs
e
e
e
ne
A
i
di
e
e
e
i
n
z
e
e
n
E
e
k
t
r
n
n
o
u
1 66
g g
.
.
.
hendes System 2 d u elektro statische
Problem gelö st d h die Gleichgew ichtsverteilu n g der Elek
triz ität au f ein em Leitersystem ermittelt so ka nn s ofort au s
dieser Lö su ng die Gleichgew ichtsverteilu n g der Elektrizität
in dem gleichförmig be w egten Sy steme 22 an gegeben w erden
w elche s au s 2
du rch eine Kontraktion parallel der Bew egu n g|
richtu n g im Verhältnis x entsteht Im Inn ern der Leiter in 2
i| t das elektro stati s che Potenti al konstan t die Feldstärke
gleich Null ; dementsp rechen d ist in 22 das Ko nv ek tion sp o tential
konstant u n d die elektr omagn etische Kr aft
gleich Nu ll
Wi e d i e G l ei ch ge w i cht s v erte i l u n g i n B„ dem Satze v on
W Thomson gemäß (v gl I
d u rch e i n Mi n i m u m d er
e l e ktr o s t a ti s ch e n E n e r gi e U a u s g e z ei ch n e t i s t s o
b e s i tz t d i e Verte i l u n g de r E l e k t r i z i t a t a u f de n L ei te r n
de s b ew e gte n S y t e m e s 2 d i e E i ge n s ch a f t di e Kr äf te
f u n kti o n
H at man fü r
,
e in r u
.
0
.
,
,
0
0
.
,
.
.
,
.
,
,
,
=
V
0
d
1
6
(
)
v
nU
„
x
<p o
o 90
e i n e m Mi n i m u m z u m a che n
Wir denken u n s in 2 die L adu n g e mit gleichfö rmiger
r au m lich er Dichte vertei lt über ein e v o n zw ei ko n zen tri schen
ahn lich en u n d ähn lich liegen den E lli p s oiden begren zte Schicht
Das elektro stati sche Poten tial n immt in dem Grenzfä ll e ein er
dünn en Schicht im Inn ern des Ellipsoidesden konstanten
s eh
Wert m )
z u
.
0
,
.
r
l
0
7
1
)
(
w o abk ürz
un
l w e ise
g
D
7
a
1
0
)
(
V
3
)
b
(a
il
)(
S
2
C.
»
8
)
gesetzt ist Die entsprechende im Grenz falle ﬂa ch enh afte Ver
teilu n g der Elektrizität ist eben w eil s ie im Inn ern des
Ellip soides e in kon stan tes elektro st tisches Potenti al ergibt
,
.
,
a
1 ) V gl
m ath Ph
.
.
Riem ann
y ik I
s
.
,
5
-
Webe
1 08 , S 25 9
.
Die
r,
.
p artiellen
,
Diﬁer entialgleich u n gen der
'
Dritte s
diejenige
Kapitel
Di e
.
Mech anik
der E lektronen
1 67
.
elche sich au f ein em leitenden ru henden Ellipsoide
v o n den Halbachs en a
b0 c w irklich herstellt
D u rch gleichförmige Kontraktion im Verhältni s x p arallel
irgen deiner Geraden en tsteht nu n au s diesem Ellip soide w ie deru m
e in Ellip s oid v o n den Ha lb a chs en a b 0
Wird dieses parallel
jener Geraden gleichförmi g bew egt mit einer dem Werte v o n x
entsprechenden Geschw in digkeit so ordnet es sich eben dem
ru hen den Ellip s oide 2 0 (ao b0 c ) als bew egtes E (u b c) z u ;
a u f ihm ist das Ko nv ek tio nsp o tential
ko
x <p
s tant
n
D
a
„
nu n die Gleichgew ichtsverte ilu n g der Elektrizität au f ein e m
be w egten Leiter dadu rch gekennzeichn et ist daß im Inn ern
des Leiters der Vektor
verschw in det d h das Ko nv ektio ns
poten tial konstant ist so erhalten w ir du rch Kontraktion des
ru hen den leiten den Ellips oides 2 ein bewegtes leiten des
Ellip soid E au f dem das konvektive Gleichgewicht der Elek
trizität sich hergestellt h at Beachten w ir nu n daß die Elek
triz itätsv erte ilu ng in 2
sich als Gr en z fall ein er ra u m lich en
gleichf örmigen Verteilu ng z w i schen zwei k o n entn sch en ähn
lichen u nd ähnli ch liegen den E llipsoiden au ffas sen läßt u n d
daß du rch die vorgen ommen e Kon traktion die se Elli p soid e
wieder in ähnliche konzen trische u nd äh nli ch liegen de E llipsoide
übergehen
erkenn en wir folgen des : Die erhalten e Elek
so
triz itätsv erteilu n g au f dem Ellip soide 2 (a b 0) w äre au ch
dann im Gleich gew ich ts w enn das E llipsoid ru hte D i e
E l e k tr i z i t ä t s v e r t e i l u n g a u f e i n e m l e i te n de n E l l ip s o i d e
w ird d u r ch g l e i ch f ö r m i ge B e w e g u n g d e s s e l b e n n i cht
b e ei n f l u ß t )
Au f u n serem ku gelförmigen Elektron w u rde die Flachen
ladun g als gleichförmige ange sehen u nd e s w u rde an gen ommen
Obgleich die ser
daß die L adu n g fe st an der Fläche haftet
Fall physikalisch w esentli ch v erschi eden ist v on demjenigen des
geladen en Ko ndu k to rs so zeigt doch der obige Satz daß beide Fälle
in ihren Kon sequ enzen übereinstimmen w en igstens für stationäre
u nd
u asis tatio n a re Be w egu n gen ; denn e s bleibt j a au ch au f
w
,
o
,
o
.
,
,
.
o
,
.
,
,
.
.
0
,
.
0
z
,
,
,
,
.
‘
,
,
.
,
,
q
1)
WB
.
,
.
.
Mo rto n
,
Ph il
.
Mag
.
41 , S 488
.
.
1 896
.
1 6 8 E rster
Ab
sch ni tt
Da s Feld 11 die
.
.
Bew egung der einz eln en E lektro nen
.
dem bew egten leitenden E llipsoide die E lektriz itätsv erte ilu ng
obw ohl sie einer Än deru ng fähig w äre im Falle des k onv ek
tivon Gleichgewichtes die gleiche w ie au f dem ru henden S o
erklärt es sich daß die Un tersu chu n gen v o n W B Morto n
u n d G F C Se arle
l
ber
Fe
d
die
Fe
de
ergie
g
eich
ü
d
as
u
n
d
l
l
n
)
förmig bewegter ellip so idisch er Leiter für die D yn amik des
Elektrons sich h aben verwerten lass en obw ohl sie v o n w esent
lich an deren Gr u ndhypothesen au sgehen
D u rch ( 1 07 ) u n d ( 1 06) ist das Konv ektio nsp o tential ein er
bew e gten ellip so idisch en Flach enladu ng bestimmt Wie die
Bewegu ngsrichtu ng au ch gegen die Hau ptachsen (2 a 2 b 2 c)
orientiert s ein mag die Strecku n g ( 1 05 ) ergibt ste ts wiederu m
e in Elli p s oid
du rch dessen Hau ptachs en (2 a 2 17 2 00) sich
das elektro stati sche Potential
gemäß ( 1 07) berechn et D i e
e l ektr o s t a ti s che E n rgi e di e s e s f lä ch e n h a f t ge la de n e n
E ll ip s o i d e s i s t
,
,
,
.
.
.
1
.
.
.
,
.
.
,
,
o,
0
.
e
07
1
b
(
)
170
bestimmt sich nach ( 1 06 d) die Kräftefunktio n des
bewegten Ellip soides
Wir w ollen dem Falle der Flächenladu ng den Fall gleich
förmiger V o lu mladu n g ein e s bew egten E llip s oide s gegen über
Sin d die Halbachsen a b 0 dieses E llip soide s die
s tellen
w ie die des soeben betrachtete n
u n d ist di e Orien
s elben
tieru n g der Achsen gegen die Bew egu n gsrichtu n g dieselbe s o
s in d au ch di e Halbach sen a o bo c„ des beim Übergan g z u m
ge streckten Systeme 2 entstehen den Ellip soides die gleichen
w ie dort
E s w ird hier das elektro stati sche Poten tial in E „
für das Inn ere de s Ellip s oide s )
ih r
au s
.
.
,
,
,
,
0
.
2
1)
G F C Se arle , Ph il T rans A 1 8 7
.
44, S 3 29
.
2)
Ph
.
.
.
1 897
.
,
.
.
S 676
.
.
Ph il
.
Mag
.
.
Riem ann
y ik I
s
.
-
Webe
r,
5 1 07 , S
.
25 6
.
Die
pa tiellen
r
Diﬂerenti algleich m gm d m ath
'
.
.
E rster
1 70
Ab
sch nitt
.
Das Fe ld u di e B ew e gun g der e inz elnen E lek tro n en
.
.
v erh a lte n s i ch di e Kr a f t e f u n k t i o n e n z w e i e r
E ll i p s o i d e d er s e l b e n F o rm L a d u n g Be w e gu n gs
ri ch t u n g u n d G e s c h w i n di gk e it v o n d e n e n da s er s t e
ü b er s ei n Vo l u m e n g l ei ch f ö rm i g ge l a d e n i s t w a hr e n d
i m z w e i te n di e L a d u n g s v ertei l u n g der F l c h e n l a du n g
de s l e i t e n d e n E ll ip s o i de s e n t s p ri ch t ( d h als Gr en zfall
ein er gleichf örmigen räu mlichen Verteilu ng in ein er v o n zw ei
ah nlich en u n d ähnlich liegen den E lli p soiden be gren zten Schi cht
d
w
en
er
Die
er
S
F
all
d
an z u s eh en ist
i
e 6
a tz führt
s
5
)
so
V o lu ml du n g au f denjeni gen der Flächenladu n g zu rück
n s w ei te hin n r mit dem letzteren z u be schäftigen
daß w i
brau chen
E
s
,
,
,
,
a
.
.
,
,
.
a
r
u
r
u
.
19
.
B e w e gu n gs gr öß e
u nd
E
d e s gl e i ch f ön
n e r gi e
b e w e gt e n E l e k tr o n s
.
Wir betrachten ein ellip so idisch e s Elektron in gleich
förmiger geradliniger Bewegu n g ; ist genügen d lan ge Zeit seit
dem Eintri tt dieser Bew egu n g v erﬂo ssen u nd ist die Ge
s ch w in digk e it der Tran slation klein er als die Lich tge s ch w in di
g
keit so w ird die gesamte En ergie u n d Bew egun gsgröße des
Feldes konstant sein Sie w ird sich zu sammen setzen au s der
En ergie u n d Bew egu n gsgröße de v o r Ein tritt der gleich
förm igen Be w egu n g entsan dten Well en u n d der vom E lektron
mitgeführten En ergie u n d Bew egun gsgröße Die w eitere Be
w e gu n g de s E lektro n s ist au sschließ lich du rch die mitgeführte
Bew egu ngsgröße u n d E nergie bestimmt
Da der ge samte elektroma gn eti sche Impu ls u n d der au f
den Mittelp u nkt des E lektron s bezogen e Drehimp uls de s mit
geführten Feldes kon stant sin d so ergeben di e Imp ulssätz e
,
,
.
r
.
.
9
4
9
4
a
( ,
)
“
R
1
0
9
)
(
1
a
09
(
)
1
1
[0
b e d a r f d e m n a ch k ei n e r u ß e r e n Kr a f t u m di e
g l e i ch f ö rm i ge B ewe g u n g de s e ll i p s o i di s c h e n E l ektr o n s
w o h l a b er i m a l l ge m ei n e n e i n e r
a u f r e chtz u erh a l t e n
E
s
a
,
,
Dritte s
Kapitel
.
Die Mech ani k der E lektro n en
1 71
.
ß e r e n D rehkr a f t E i n e ä u ß er e D r ehkr a f t i s t s te t s
n i ch t d e r B e
er f o r der l i ch we n n d er I m p u ls vek to r
Man überzeu gt sich
w e gu n gs r i c h t u n g p a r a l l e l w e i s t
leicht davon daß dieses ein e Kons equ enz der allgemein en Im
i
w
a
l
E
es
s
t
s
ar
die
e
ektrom
a
g
eti
s
che
Be
n
u
l
s
ät
z
e
5
d
s
5
j
p
w e gun gs größe u ber den Äther v ertt
z u
denken u n d dem
entsprechend das Imp u lsmomen t au f einen im Rau me festen
Pu nk t z u beziehen Ein e äu ßere Drehkr aft is t dann erforder
lich w enn das au f den ab s olu t ru hen den Mo m en tenp u nk t be
z o en e Momen t der elektrom a gneti schen Bew egu n gs größe sich
g
än dert ; das ist aber hier der Fall; denn e s füh rt das gleich
förmig bewe gte Elektron s ein Feld u n d die über die s es Feld
verteilte Bew egu n gsgröße einfach mit sich e s än dert sich also
der v on dem ru henden Bez u gsp u nk te au s gezogen e Hebelarm
dem das betreffen de Qu an tu m v o n Bew egu n gsgröße
an
zu brin gen ist un d zw ar für das gan ze Feld mit derselben Ge
Die zeitliche Än deru n g de s gesamten
sch w in digk e it
D
au f den ru hen den Mo mente np u nk t bezogen en Imp u ls momen te s
ist demn a ch gleich dem äu ßeren Produ kte au s 11 u n d dem ge
wie Gleichu n g ( 1 09 a)
samten I mpu ls e de s mitge führten Felde s
behau ptet W as aber die Bew egu n gsgröße der entsan dten
Wellen anbelangt so ist diese wie w ir gezeigt haben der
Strahlrichtu ng d h dem vom Orte des En ts en den s au s ge
I
hr
Mome
z o en en R
a di u svektor p arallel
n t in bezu g au f die s en
g
im Rau me festen Pu nk t ist dau ern d gleich Nu ll so daß die
Bew egu n gsgröße der Wellen in ( 1 09 a) ni cht ein geht
E s ist au s Symmetrie grün den ers ichtli ch u n d w ird du rch
gen au ere Überlegu n g bestäti gt daß der Impu ls
de s mit
geführten Feldes parallel der Bew egu n gsrichtu n g weist w enn
e in ellip so idisch es E lektro n ein er der drei Hau pta chs en p ar allel
bewe gt wird Gesch ick t hin gegen die Bewegu ng des Ellips oides
in ein er an deren Richtu n g so bedarf es ein er äu ßeren Dreh
kraft u m die gleich förmige o tatio nslo se Bew egu n g au frecht
E i n e T r a n s la ti o n de s e ll i p s o i di s c h e n E l e k
z u e rh alten
tro n s i n e i n er z u de n H a u p t a c h s e n s ch i e f e n Ri cht u n g
e r f üll t a ls o n i c h t da s e r s te Ax i o m d e r Ne w to n s ch e n
äu
.
,
.
,
.
.
,
,
,
,
.
,
.
,
.
,
,
.
.
,
.
,
,
.
,
r
,
.
r
t
E
s
e
r
7
1 2
Ab
Das Feld u die
sch nitt.
.
Bew egun g de
i
l
r e nz e nen
E lek tr on en
.
M e ch a n ik ; s i e k a n n n i cht oh n e E i n w irk u n g a u ß e r s r
Kr äf te v o r s i ch geh e n W as aber di e Bewegun g p arallel
den Hau ptachsen an belan gt so sin d stabile u n d labile Be
w e gu ngen z u u n terscheiden
Ein e translatorische Bew egu n g
w ird als s t a b i l z u bezeichn en s ein w enn beim H erau sü eh en
der Hau ptachse au s der Bew e gun gsrich a ein e inn ere Dreh
kraft erweckt w ird w elche die Hau ptachse wieder in die Be
w e gun gsr ich tu ng einzu stell en strebt
d h w enn die du rch
s ebene äu ßere Drehkr af t
a
0
9
w
e
che
je
n
e
i
ere
n
1
a
n
l
nn
(
) gg
Drehkraft das Gleichgewicht hält das Ellip soid au s der Be
w e gu n gsrich tu n g h erau s z u dr eh e
su cht
Ist hin gegen ein e
äu ßere Drehkr aft erforderli ch w elche die betreffen de Hau pt
a chs o in die Bewegun gs richtun g ein zu stellen su cht d h streben
die du rch ein e klein e Drehu n g erweckte n inn eren Drehk räfte
den Win kel z w i schen der Achse u nd der Bew egu n gsrichtu n g
z u ver rößern
so w ird die betreffen de Bewegun g e ine lab ile
g
z u
Wie w ir im vorigen Paragraphen gesehen
n enn en s ein
haben gibt die Kräftefu nk tio n V de s Elektrons du rch ihre
Abnahme die bei konstant gehalten er Ge schw in digkeit bei
ein er Ko nﬁgu ratio nsänderun g z u gew inn en de Arbeit an Dem
entsprechen d w erden sich die stabilen u n d lab ilen Tran slation s
bewegun gen dadu rch u n terscheiden lassen daß e stere ein em
Minimu m letztere einem Maximu m der Kräftefu nk tio n V bei
gegeben er Geschw in digkeit entsprechen gerade so w ie in der
Mechanik di e stabilen u nd labilen Gleichgew ichts du rch ein
Min imu m bz w e in Maximu m der potentiellen Energie sich
Die gen au ere Untersu chu n g h at
au s zeichn en ( v gl I 5
s ie h at fem s r ergeben
diese s bestätigt
daß die B e we g u n g
de s E ll i p s o i d e s p a r a l l e l de r gr ö ß te n de r drei A ch s e n
einem Min imu m der Kräftefu nktio n V (oder nach ( 1 04 b) ein em
Maximu m der Lagrangesch en Fu nktion) entspricht u n d dem
Die B e w e g u n g p a r a ll e l d er k l e i n s t e n
n ach s t a b i l ist
de r dr e i A ch s e n hin gegen w elch e e in em MaxM u m v o n V
en tspricht i s t i n s t a b i l Wir könn en also ni cht ann ehmen
.
,
.
,
,
,
.
.
r
,
n
.
.
,
.
,
.
.
r
,
,
.
.
,
.
,
,
1)
M
.
,
.
Ab
r ah am
l
.
c
.
Ann d Ph
.
.
ys
.
10
.
S 1 74
.
.
1 9 03
.
1 74 E rster Absch ni tt Das Feld 11 die B ew egu ng der einz elnen E lek tronen
.
.
timmu n g der elektro statischen En ergie 170 des im Verhältni s
s e in er Be w egu n gsrich tu n g p arallel ge streckte n Elektrons :
ar
s
‘
1
1
1
0
(
)
x 170
L
.
der Lagrangesch en Funk tion leiten wir nu n sow ohl
die Bewegu n gsgröße w ie die En ergie u ns eres ku gelförmigen
Elektrons ab Wir gehen dabei au s v on der Formel ( 1 04 c)
Au s
.
1
1
0
a)
(
5)
1
(
L
Dieselbe
2
na
ch ß
diﬂe renz is ren d,
'
erhalten wir
Wir betr achten zu erst das zweite der hi er au ftretenden
’
In tegrale ; die partielle Diﬂer entiation na ch 5 bezieht sich au f
das Feld w elche s in ein em gegeben en Pu nk te des stationä ren
vom Elektron mitgeführten Feldes herrscht d h es sin d die
Koordinaten (x y z ) im bewegten Systeme bei der Differen
Nach ( 1 0 1 c d) u n d ( 1 02)
tia tio n na ch 5 konstan t z u h alten
könn en w ir d asselbe schreiben
,
,
,
.
,
,
.
36
’
‘
(
)
7
ää
Nach der Regel (L) der
S
.
.
36
ﬁ
)
‘
Fo rm elz u sam m enstellu n g in
Bd I
.
,
43 7 ist
38
(3 3
"
Der S atz
v on
7
)
‘
2P
@ d1 v
‘
38
ﬁ
— dl v
Gau ß ergibt demgemä ß
3G
3 div
3
ﬁ
)
39
m an bea chtet daß das O berﬂa ch eninte gral v o n
e
über di e Begrenz u n gsﬂäch e de s statio nä ren Feldes z u v ern ach
“
lässigen ist da
2)
Poten z
mit der
mit der
der Entfernu n g v o m E lektron abnehmen ; h at w ie w ir vorau s
w nn
z1r
,
n
,
,
Dritte s
Kapitel
.
Die
Mech anik
de r E lektro nen
1 75
.
etz en das statio nare Feld sich bis z u Entfernungen aus
gedehn t die groß sind gegen den Radiu s des Elektr ons so
ist die s es O berﬂäch enin te gral in der Tat z u streichen ; das
geschi eht mit demselben Re chte mit dem wir die Energie u nd
die Bewegun gsgröße des mi tgefüh rten Feldes so berechn en
als ob im gan zen Rau ms das s tationäre Feld herrs chte
Die partielle Diﬁerentiation nach 5 bezieht sich au f ein en
Pu nkt der ein e feste L age in ein e m mit dem Elektron be
wegten Bezu gssysteme h at Haftet nun wi e angen ommen
die Elektrizität starr an den V o lu m elementen des
w u rde
E lektrons so ist die Ladu ngsverte ilu ng v o n der Gesch w indig
keit u n abhängig u nd es w ird
s
,
,
.
'
,
.
,
30
"
u nd
daher
au
373
ch
30
39
Wir erhalten demnach au s ( 1 1 0b) mit Rücksicht au f ( 1 01 f )
1 dL
1
os
1
(
)
,
s
p
.
e,
}
d o g,
a
,
.
wi rd di e der B e w e g u n g s ri ch t u n g p a r a ll e l e
I mp u l s k o mp o n e n te erh a l t e n i n d e m m a n di e L a
=
r an
e
s c h e F u n k ti o n n a ch de m B etr a ge
d
er
h
c
ß
g
g
Ge s ch w i n di gk e it d i f f er e n zi e r t Speziell für u ns er ku gel
fö rmige s Elektron
dessen Impuls ste ts seiner Bewegun gs
richtun g parallel ist w ird
E
s
,
,
‘
,
(1 1
1
1
1
( )
a
5
m
D i e G ül ti gk ei t di e s er b e d e u t u n g s v o ll e n B ez i eh u n g
f u ß t w e s e n t l i ch a u f d er ki n e m a ti s c he n Gr u n dh y p o
th e s e (V II) w e l ch e a u s s a gt da ß d i e E l ek tri z i t ät a n
de n V o l u m e l e m e n t e n de s s t a rr e n E l ektr o n s h a f te t
Würden wir hin gegen ein e Fo rman deru ng des Elektrons z u
lass en un d ann ehm en daß mit wachs ender Ges chwin digkeit
die Form des Elektrons d h die Ladu n gsverteilu n g im be
,
,
.
,
.
.
E
r
s
t
e
r
76
1
Ab
s ch nitt
Das Feld u die Bew e gun g der e inz elnen E lek tro nen
.
.
.
Systeme sich än derte so ware als Funk tion v o n ß
w u rde die R
an z u s ehen ;
1
e lation
1
icht
mehr
als dann
0
s
n
)
(
gelten e s w ürde das zweite Glied au f der rechten Seite v on
f
0b
cht
mehr
o
allen
E
ber
u ht mithin die Gleichu n g
1
n
i
f
r
t
s
1
)
(
u f u n serer kin ematischen G
r u n dh ypothes e
d
V
II
die
e
1
s
1
a
0
)
( );
(
Gleichu n g geht in ( 1 1 1 ) über w enn der Impuls der Bew egungs
richtun g parallel weist d h w enn keine äu ßere Drehkraft z r
Au f re ch terh alt1m g der gleichförmigen Translation erforderlich
ist
Für u n ser k u gelförmige s Elektron ist dies e Be di n gun g
w ie wir ge sehen haben e rfüllt
Die Lagran gesch e Fun ktion ist deﬁni ert als Diﬂcrenz der
magnetischen En e gie T u n d der elektrischen En ergie 17 E s
ist mithin di e gesamte elektrom a gn eti sche En ergie de s E lektr ons
w e gten
'
,
.
,
,
.
u
.
,
.
.
'
r
.
W
= 2T — L
.
Führen w ir hi er für 2 T den allgemeinen im vorigen
Paragraphen erhalten en Au sdr u ck ( 1 03) ein so erhalten w ir
,
,
W
oder mit Rücksicht
,
au f
u
l
d
l
1
0
(
)
W
1
1
a
1
(
)
|
L
u|
n
f£|
—L
.
dr ü ckt s i ch d em n a ch a u ch di e E n er gi e e i n e s
de r ki n e m a t i s ch e n Gr u n d g l e i ch u n g (V II) geh orch e n d e n
E l ek tr o n s a ll g em e i n d u r ch di e L a gr a n ge s ch e F u n k
ti o n a u s Wir merken n och die au s ( 1 1 1 ) u nd ( 11 1 a) fo l
gen de Beziehu n g an
E
s
.
1
(
”V
’
d L
d l»|
deren Bedeu tu n g w ir im n ä chsten Paragraphen erlau tern werden
Die Entwickelu n gen des vorigen Paragraphen gestatten
das Feld u n d die L agran ges che Fu nk tio n
e s nu n ohn e weitere s
ein es ku gelförmigen E lektron s z u ermitteln s ow ohl für den
Fall der gleichförmigen Flächenladu n g als au ch für den Fall
der gleichförmigen V olu mladu n g
.
,
.
1 7 8 E rster
z u
s
etzen
Ab
e
ist ;
Au fp u nk te s
es
v on
e
Das F ld u di e Bew gu ng der einz elnen E lektronen
sch nitt
.
.
tellten fem s r r, un d r
den Brenn pu nkten dar
s
die Abstän de
,
die in
eines
der jetzigen
Schreib w eise sind
Demgemäß
w
ird
In
im
elektro statische Potential des gestreckten
Ro tatio nsellip so ide s Zu m bew egten Elektron zu rückkehrend
erhalten wir au s ( 1 1 2 b c) die e l ek tr o m a g n e ti s che n Po te n
ti a l e de s m it ge f üh rt e n äu ß e re n F e l d e s
äu
ßeren Felde
das
,
.
,
e
1
2
1
)
(
1
1
1
2
)
(
wobei
ch ( 1 05)
na
—
_
<
w+
m
g)
(
f
1
—
—
a
5)
_
a
_
a
ß)
”
f
x
+
=
s
z
)
etzen ist Au s diesen Werten der elektromagnetischen
Potentiale ist das äu ßere Feld des Elektron s n ach den Formeln
a s Ko n v e k t i o n s p o t e n t i a l dessen
D
1
0
c d e f ) abzul eiten
1
(
r adien t di e au f die Einheit der mitbewegten L adu n g
n egativer G
ist a u ß erh a l b de s E l ek tr o n s
au sge übte Kr aft be stimmt
nach ( 1 1 2 a d)
z u
s
.
,
,
,
.
,
,
,
,
2
1
1)
1
1
(
Die
q
ru hen den gestreckten Ro ta
tio n sellip so ide s sin d k o nf ok ale Ellip soide die s ich mit w a chsen
der Entfernun g mehr u n d mehr der Ku gelgestalt nähern Im
A
u ip o ts n tialﬂäch en
des
,
.
Dritte s
Die Mech anik der E lek tro nen
1 79
.
.
bewegten Elektr ons sind die Flächen k on
stau ten
Konv ek tio nsp o tentiales e ine Schar v o n Ellip soiden
welche au s jen en du rch ein e Kontraktion parallel der w Achse
en tstehen ; mit w achs en der Entfern u n g v o m Elektron nähern
sie sich asymptotis ch Hea vi side E lli p soiden
Wie die Oberﬂäche des leiten den Ro tatio nsellip so ides ein e
Ä u ip o tentialﬂäch e ist so ist die Oberﬂäche des E lektr ons
ein e Fläche konstanten Ko nv ektionsp o tentiales Nach Formel
1
2
b
1
t
d
as elektro statische Poten ti al de s
I
S
d
37
i
s
3
i
n
B
(
)
)
(
leiten den E llip so ide s
au ß er en
Felde
Kapitel
des
,
-
-
.
q
,
.
.
.
Nach ( 1 1 2 1 1 2 a) wird demn ach der an der O b er fl äch e
E l ek tr o n s h err s ch e n d e We r t de s Ko n v e k ti o n s
,
de s
p
o t e n ti a l e s
mm
'
gp
Im Inn ern
m(
1
c
’
p ln
1
.
1
(
+
ge ladenen Elektrons sind sowohl
das Ko nv ek tio nsp o ten tial w ie die elektroma gnetischen Potentiale
kon stant ; demgemäß besteht im Inn ern des gleichförmig be
w e gten E lektrons in dem hier beh andelten F all e der Flächen
la du n g überhau pt kein elektroma gneti s che s Fe ld
Au s ( 1 04) bz w ( 1 04 b) folgt je tzt ohn e w eiteres der Wert
der Kr äf tef u n k t i o n bzw der L a gr a n ge s c h e n F u n kti o n
de s E l ektr o n s
des ﬂäch enh aft
.
.
.
1
1
1
3
( )
für den
An
c
’
’
—
l
ß
2ß
Fall der
ln
(
l
—ß
Fl a c h e n l a du n g
.
1
1
f
o
gt
1
l
( )
als
B e tr a g
de s
I mp u l s e s
1
g
1
3
(
)
u n d au s
1
1
h
e
(
)
di
1
1
1
a
e
(
)
W
=
E n e rgi e
gI I
de s
—
—
=
n
L
| l
-
n
—
E l ektro n s
{F
ln
—1
}
1 80 E rster
Ab
.
Das Feld 11 die Bew egu ng der e inz elnen E lektro n en
.
.
gleich der Differenz der elektri schen
Energie U u nd der magnetischen T ist s o erhalten wir du rch
Addition u nd S u btraktion v o n ( 1 1 3 b ) u nd ( 1 1 3)
Da
die
sch ni tt
Kräftefun k tio n
,
1
=
U
1
1
3
c
(
)
T =
d
1
3
1
)
(
—
(
W
l
=
v
)
f
Die letztere Formel hätte natürlich au ch au s ( 1 1 3 a) ab
geleitet w erden könn en da j a nach ( 1 03) die doppelte magne
ti sche En ergie dem Produ kte au s Geschw in digkeit u n d Impu ls
n twickelt m an die beiden letzten Au sdr ücke in
eich
E
i
st
l
g
”
Reihen die nach Poten zen v on (i fortschreiten u n d v ernach
läs sigt Größe n der Ordnu n g (3 s o wird
,
.
,
4
,
=
U„
U
8
1
1
3
)
(
=
T
1
1
3
1
)
(
6
2
—
—
1
Ä 132
Bewe gun gen de s Elektrons deren Ge schwin digkeit
klein gegen die Lichtgeschwindigkeit ist ist die elektrische
E nergie v o n der Geschw in digkeit u nabh än gig w ährend die
m agnetische En ergie dem Qu adr ate der Ge schw in digkeit p ro
portional ist Erstere ist mithin der potentiellen letztere der
kin etischen Energie der gew öhnlichen Mechanik z u vergleichen
Die se An al ogie ist ni cht au f gerin ge Ge sch w in digk e its n be schr änkt ;
die Ableitu n g der Gesamtenergie u n d des Impuls es au s der als
Differenz der beiden En ergiearten deﬁni erten Lagrangesch en
Funk tion die fu r beliebige Geschw indigkeit galt erinn ert an
Beziehu n gen die au s der an alytischen Mechanik bekannt sin d ;
w ir kommen hierau f im n ächsten Paragraphen zu rück
Haben w ir es nicht mit dem Falle der Flächenladun g
d
s on dern mit dem F alle der V o lu m ladun
e
s ku gelförmigen
g
Elektrons z u tu n so könn en w ir die Lagrangesche F nk tion
die E n ergie u n d den Imp ls sofort angeben au f Grun d de s
Satzes den w ir am Schlu sse de s vorigen Paragraphen bew iesen
haben (Gleichu n g
I m F a ll e d er V o l u m l a du n g
w er de n di e Werte d er Kr a f t e f u n k t i o n u n d de m n a ch
Für
,
,
.
,
.
,
,
,
.
,
u
,
u
,
,
,
,
1 82 E rster
Ab
sch nitt
.
Das Feld 11 die Bew egu ng der einz e ln e n E lektron en
.
.
bei lan gsamer Bew egun g kon stant ; bei den ß Strahlen des
Radiu ms hängt sie v o n der Geschw indigkeit der Elektron en
Immerhi n h at sich in dem Bereiche au f w elches sich di e
ab
E xperimente beziehen die Masse insofern als konstant erw iesen
als sich der Betrag der tran sversalen Be s chleu n igu n g bei ge
b
ener Ge sch w in digkeit dem Betra ge der tran sversalen äu ßeren
e
g
Kraft proportional ergab Der Dynamik des Elektrons erwächst
die Au fgabe v o n diesem Verhalten Rechens chaft z u geben
der experimen tellen Forschu n g v o ranleu ch ten d den Be
u nd
i
der
e
ek
rom
g
e
i
che
M
a sse p räzi se z u form u lieren
ff
n
r
l
n
t
s
a
t
g
Um das in dem angegebenen Sinn e erw eite te zw eite
Axiom Ne w ton s au s den Gru ndgleichu n gen u n s erer Theori e
z u dedu zieren
m üsmn wir o ffenbar au sgehen v o n solchen Be
w e gu n gen
w elche dem ers te n Axiome Genüge lei sten ; die se
Bedin gun g erfüllen die soeben behandelten r o tatio nslo sen Be
w egu n gen des allseitig symmetris che n Elektro ns
N u dann
w enn die k räftefre ie Be w egu n g geradlin ig u n d gleichförmig ist
k önn en w ir erw a rten die e te ilte Be schleu n igun g der ä u ßeren
Kraft proportional z u ﬁn den Au ch für ein ku gelförmiges
Elektron ist dieses Verhalten nu r u nter gew issen e insch änkend en
Vorau ssetzu n gen über de n Betra g der Beschleu nigu n g u nd der
Geschw indigkeit möglich
Wie nämlich in 5 1 7 da gelegt w u rde ist die Au ssage der
dynamischen Gru ndgleichu ngen ein e äu ßerst ve w ickelte Au ch
bei rein tran slatorischen Bew egu n gen hän gt die inn ere Kraft
w elche das E lektron au f sich selb st au su bt
v on
der Ge
sch w in digk e it u nd v o n der Be schleu ni gu n g ab
welche das
E lektron während eine s ge w issen dem betreffen den Zeitpu nkte
voran gegan gen en Zeitinterv alles erfah en h at Ein e Pr0 p ortio
n alität der Kraft z u r je w eilige n Be s chle u ni un g u n d ein e Ab
g
ban gigkeit der Masse v o n der je w eiligen Ge schw in digkeit allein
kann daher in Stren ge nich t stattﬁn den Nu w enn die Be
sch leu n igun g hinr e ichen d gering ist w e nn als o die Ge sch w in dig
ke it n ach Richtu ng u nd Betrag sich nu r lan gsam än dert w ird
da s Verhalten de s Elektron s dur ch e in e
elektromagnetische
“
Masse z u charakteri sieren sein
.
,
,
.
,
,
.
r
,
r
.
,
,
r
,
.
r
.
r
,
r
.
,
,
,
r
.
,
,
.
r
,
,
.
Kapitel
Drittes
Die Mech anik der E lektro nen
.
1 83
.
Wir deu teten bereits im Ein gan gs dieses Kapitels di e
Analogie an di e zwi schen der elektromagnetischen Masse der
konvektiv bew egten Elektrizität u n d der Selbstindu ktion ein es
Leitun gsstromes besteht Wie die Selbstin du ktion mit der
magnetischen En ergie de s Leitu ngsstr omes z u sam menh angt
v l I
i
d
i
s
e
e
l
ektrom
a
eti
s
che
M
ass
e
mit
der
t
n
s
o
5
( g
g
Bewegu n gsgröße u nd der Energie des mitgeführten Feldes ver
knüpft Nun w ar aber der Gültigkeitsbereich des Begriffes
der Selbstin du ktion au f lan gsam veränderliche oder w ie w ir
sagten
u asistatio när e
Ströme beschränk t E in Strom w u rde
u asistatio när genann t v l I
2
w
S
5
7
e
nn
ei
n
e
Strom
t
rke
s
ä
s
)
( g
sich nu r relativ w eni g än der te in der Zeit
w elche die elektro
magnetischen Sto ru n gen gebrau chen u m den Abstand zw ischen
den beiden entfem testen Pu n kten des Str o m syste m es z u du rch
messen Nu r u nter di eser Bedin gung konn te di e magnetische
En ergie so berechn et werden als ob das Feld wie beim
sta tio nären Str o ms
der jew eiligen Str omstärke au genblicklich
folgte
Au f solche u asistatio n är e Str öme allein ist die ge
bräu ch li ch e Theorie de s Wech selstrome s an zu w enden die im
ersten Ban de dieses Werkes (Abschnitt III Kap 2) vorgetragen
w u rde
Dementsprechend wird der Begriff der elektr o magne
“
tischen Masse nur au f u a s i s t a t i o n är e B e w e g u n ge n des
E lektrons angew endet w erden dürfen ;
w ird ein e Bewegu n g
dann u asistatio när z u nenn en sein wenn ihre Geschwin digkeit
welche das Licht gebrau cht
| ich nu r w enig ändert in der Zeit
Für u as istatio näre
u m über das E lektro n hinw e gz u str e ich en
Bew egu n gen w erden w ir die Bew egu ngsgro ße u nd die En ergie
so berechn en
als ob das mitgefüh te Feld der je w eiligen Ge
d h w ir w erden diejenigen Werte
sch w indigk e it en tspräche
des Imp u lse s u n d der E n ergie verwenden die wir im vorigen
Para graphen für gleichf örmige Bew egu ngen abgeleitet haben
Die Gültigk eitsgrenz en der Theo rie der u asistatio när en Be
w e gu n g w erden wir in ein em sp äteren Paragraphen ab s te cken ;
wir w erden sehen daß diese Theorie alle beobachtbaren Ab
lenku n ge n u n d Be schl eu n igu n gen mit Unterlichtges chw indigkeit
bew egte r Elektronen u mfaßt
.
‚
,
.
.
q
,
q
,
.
.
.
,
.
,
,
q
.
‘
,
,
.
'
„
.
q
q
,
q
,
.
,
r
,
,
.
.
,
q
.
.
E
r
s
t
e
r
1 84
Ab
sch nitt
.
Das Feld 11 die B ew egung der e in z elnen E lek tronen
.
.
Dem Imp u lssatz e (94) zu folge ist die zeitliche Anderu n g
des Elektron s der äuß eren elek tr o magne
des Imp u lsvektors
tis chen Kraft
gleich :
1
4
1
( )
q
Bei u asistaüo na rer Bew egu n g wird wie bei gleichförmiger
Be w egung der Betrag des Impuls es als Fu nk tion des Betrages
der Geschw in di gkeit allein betrachtet u nd di e Richtu n g des
Impu ls es w ie bei ein er jeden dem ersten Axiome gehorchenden
Bew egu n g der Bew egu n gsrichtun g p arallel vorau sgesetzt E s
liegt mithi n der Vektor w elcher die zeitliche Än derun g de s
Impu ls es an gibt stets in der O sku latio nseben e der Bahn E s
ist z w eckm äßig ihn in z w ei Vektoren z u zerlegen v o n den en
der erste der Bewegu ngsrichtung p arallel ist w ährend der
zw eite n ach dem Krümmu ngsmittelp u nkte der Bahn w eist ; di e
Richtu n gen na ch denen zerlegt w ird sollen du rch zwei
Ein heitsvektoren t u nd 8 gekennz eichn et w erden welche der
Tangente bz w der Hau ptnormale der Bahn parallel sind Nach
diesen Richtu n gen hatten wir in Bd I S 9 den Beschleu nigungs
vektor zerlegt Wir könn en die Gleichu n g (8) daselb st schreiben
,
,
,
.
,
,
.
,
,
,
1
,
.
.
.
,
.
.
n=
4
a
1
1
(
)
Ferner
lau tet
d 0
l
I
t‚L
Gleichu n g (6) daselb st
d t:
R
ds
der B ahnku rve vorstellt
In gan z entsprechen der Weise wie wir dort den Ge
differenzierten könn en w ir jetzt den
s ch w indigk eitsv ek to r
V ektor
w
obei
ds das W e gelem en t
.
,
na
ch der Zeit differenzieren
E s w ird mit Rücksicht
.
,
dß
dt
und
da man h at
au f
d lß
1
dt
4
1
1
b
(
)
l
+ R
.
dt
r
E
t
e
r
s
1 86
Ab
Das Fe ld 11 di e Bew egu ng der einz eln en E lek tro nen
sch nitt
.
.
.
Q u otienten der parallel der Bew egun gsrichtun g ge
n o mm enen Kompon en ten v o n äu ßerer Kr aft u n d Be schl eu ni
für den
1
1
5
( )
die tr a n s v e r s a l e e l e ktro m a g n e ti s che M a s s e
h in gegen d h für den Q u otienten der z ur Be w eg un gsrichtu n g
s enkrechten Kompon e n te n v o n äu ßerer Kr aft un d Be schl e u ni
n g fo lgt
u
s
Fu r
,
.
.
O
I
!
—
m
1
5
1
a
(
)
Im
ge m e i n e n i s t di e l o n git u di n a l e M a s s e v o n
d e r tr a n s v e r s a l e n v e r s chi e de n Nu r im Grenz falls lang
sa mer Be w egu n g
wo der Impu ls des Elektrons sein er Ge
sch w indi k eit
proportio
die
rechte
n Seiten
nal ist
s timmen
g
v on
w
d
i
n
l
l
1
1
berei
n
wir
o
e
n
e
s
e
gemei
n
sa
me
n
1
5
d
1
a
u
n
5
ü
;
(
(
)
)
Gren z w ert der lon gitu dinalen u nd der transversalen Masse mit
m bezeichn en ; für lan gsame Ka thoden strahl en ist e s erlau bt
mit ihm so z u rechn en w ie es in 5 2 ge schah
Diese Formeln w elche die Masse des Elektron s mit sein er
Bew e gun gsgröße verknüp fen u nd die v o m Verfasser dieses
Werkes z u erst angegeben w u rden sin d u nabhängig v o n jeder
An nahme über die Form u n d die L adu n gsverteilu n g de s Elek
trons Sie gelten immer dann w enn der Impulsvektor der
Bew egu n gsrichtun g parallel w ei st u n d sein Betra g ein e beliebige
Fu nktion de s Betrages der Geschwindigkeit ist Wüns cht man
die Dynamik des Elektro ns rein elektrom agnetisch z u begründen
den Betra g der elektroma gn e tischen Be
s o h at man für
w e gu ngsgröße ein zu s etzen
Man kann die elektromagnetische Masse au ch mit der
elektromagn eti schen En ergie de| E lek tro m in Verbin du ng
brin gen ; die Energiegleichu n g (96) ergibt für rein trans
lato isch e Bewegu n gen
a ll
.
,
,
o
,
.
,
,
,
,
.
,
,
.
,
.
r
Drittes
q
Kapitel
.
Die
Me ch anik
der E lektro nen
1 87
.
Bew eg un gen wird die En ergie des
E lektrons als Fu nktion des Betrages der Geschwin digkeit be
trachtet ; es wird daher
u asistatio n ar s
Für
d W d | 11 |
d n|
dt
“
Masse , die
Hierau s ergibt sich die „ longitu dinale
als
Qu otient der lon gitu dinalen Beschl eu ni gun g u nd Kraft deﬁn iert
wu rde
dW
1
b
1
5
)
(
d l°|
D i e s e F o rm e l ve rk n üp f t d i e l o n git u d i n a l e M a s s e
de s E l ek tro n s m i t s e i n e r E n e rgi e
Die trans versale Masse
w ird selb s tv er stän dlich du rch di e En ergiegleichu n g nicht be
stim mt
da j a eine trans versale Kraf t kein e Arbeit leis tet
Die am der E nergiegleichu ng abgeleitete Formel ( 1 1 5 b)
ist eben so w ie die au s dem Imp u lssatz e gewonn en en Formeln
1
1
a
n
n
ahme über die
u na bhän gig v o n jeder A
1
u
n
d
1
5
5
(
)
(
)
Form u n d di e Ladu n gsver teilu n g des Elektrons Sie fu ßt
der
e bens o w ie jen e all ein au f de n Gru n dgleichu n gen (I bis V
)
Elektron entheorie au s den en ja die En ergiegleichu n g u n d di e
Impu ls gleichu n g als Folgerun gen sich ergab en Man könn te
diese Formel ebens o wie jene au ch dann verw en den w enn
m an ann ähme daß w agbar e Materie mit dem E lektr on ver
koppelt | s i ; alsdann w are in W di e En ergie in (5 die Bewegu n gs
größe der wägbaren Materie mit in Rechnu ng z u ziehen
Dem v o n un s vertretenen Stan dpu nkte getreu w erden wir
indessen u nter
s tets den elektrom a gn etischen Imp u ls
u n ter
W die elektrom agnetische En ergie vers tehen V o n ei n er re i n
e l e ktr o m a g n e t i s ch b egr ü n d e te n D y n a m ik de s E l ek
tr o n s w er d e n w i r u n te r a ll e n Um s t än de n v er la n ge n
m ü s s e n da ß di e b e i de n F o rm e ln ( 1 1 5 ) u n d ( l 1 5 b) f ür
di e l o n git u di n a l e M a s s e de s E l ektro n s z u d e m s e l b e n
E rge b n i s s e f ühre n Würde di e Formel ( 1 1 5 b) u n ter An
z u
ein em anderen
nahme rein elektrom agneti s cher En ergie
Wer t v on m ergeben als di e Formel ( 1 1 5 ) u nter Annahme
ein er rein elektromagn etischen Bewegun gsgröße so würde ein
.
,
.
,
,
.
,
.
,
,
,
,
,
.
.
,
.
,
.
,
1 88 E rster
Ab
sch nitt
.
Das Feld 11 di e Bew egu ng der einz elnen E lektron en
.
.
innerer Widerspru ch u n seres H yp o th esens ystemes zu tage tr eten
Man kö nn te di esen Widerspru ch du rch Einführ un g einer inn eren
n icht elektr oma gn eti schen E n ergie de s E lektrons heben ; dann
w ürde m an aber das Ziel ein er rein elek tromagn etischen Be
grün du ng der Mechani k der Elektronen nicht erreichen
In u ns erer au f de n Gru n dgleichu n gen (VI) u nd (VII)
fu ßen den Dyn amik de s Elektr ons entsteht n u n der be sagte
Widerspru ch n icht In der Tat w ir hatten im vorigen Para
graphen bew iesen daß u n ter Vorau ssetzun g ein er u n v erän der
lichen Verteilun g der L adu n g im Elektron Imp u ls u n d E n ergie
du rch die Formeln ( 1 1 1 ) un d ( 1 1 1 a) mit der Lagrangesch en
Fun ktion verknüpft sind Hierau s hatten wir die Beziehu n g
abgeleitet ; die se Beziehun g
b
1
1
1
(
)
.
,
.
,
.
,
.
d|0
d
1
1
dW
’
d L
d
besagt nichts an dere s als daß di e Au sdr ücke ( 1 1 5 ) u nd ( 1 1 5 b)
beide den gleichen Wert der lon gitu dinalen Mas se ergeben
Wir sehen also : U n ter An n a hm e e i n er v o n d e r G e
u n a b h än gi g e n
Ge s t a lt u n d L a du n gs
s c h w i n di gk e i t
v ert ei lu n g de s E l e k tro n s er geb e n I mp u l s s a tz u n d
E n er gi e s a tz de n g l e i ch e n We rt d er l o n gi t u di n a l e n
e l ek tr o m a g n e ti s ch e n M a s s e Hi er tritt der Zu sammen
han g z w ischen u n serer kinematischen Gru n dhypothese (VII)
u n d dem Gedanken ein er rein elektro m a gn e ti schen Be rün du n g
g
der Dyn amik des Elektron s der bereits in 5 1 6 ero rtert w u rde
deu tlich hervor L assen w ir diese Gru ndhypothese fallen
daß die Form des E lektr ons sich mit der
u n d n ehmen an
Geschw in digkeit an dert so ergibt die En ergiegleichu ng ein en
an deren We r t der lon gitu din alen elek trom agneti schen Ma ss e
e in
die Impulsgleichu ng ; in diesem Falle
Beispiel
als
w er den wir im 5 22 kenn en lern en
kann v on ein er elektr o
ma gneti schen Begründu n g kein e Rede m ehr sein
Jene kinematische Gru n dhypothe se w ar den kin emati schen
Bedin gu n gsgleichun gen der analytischen Mechani k nachgebildet
Wir sin d jetzt in der Lage z u zeigen daß u n sere Gru n d
gleichu n gen für die Dynamik u asistatio när er Bew egu ngen z u
,
.
’
.
,
.
,
,
.
.
q
,
1 90 E rster Abs ch nitt Das Feld 11 die Bew egu ng der einz eln en E lektronen
.
un d
.
berücksichtigen
die potentielle En ergie U
u nabhän gig ist
so ﬁn den w ir
daß
Gesch w in digk e itsn p ;
v on
.
den
,
-
d 3L
3L
ein er solchen Lagrangesch en Gleichu n g läßt sich nun
Wählen
form al u nsere Bewegu n gsgleichu n g ( 1 1 6) ableiten
wir als An triebsp u nk t etw a den Mittelpu nkt des Elektrons
mit dem du rchlau fen en Wege s z u iden tiﬁzieren
so ist p ;
ä
u
mit
d
h
mit
w
hre
n
d
P
die
ßere
der
Bewe
g
ä
u
u
n
s
.
„
g
l
l
g
g
g
Da nu n in dem
ist
richtun g parallele Kraftkompon en te
vorliegen den Falle die Lagran gesche Funk tion v o n dem du rch
lau fsn en Wege s u n abhän gig ist so geht in der Tat die
La gran ge sche Gleich u n g ( 1 1 6 a) in ( 1 1 6) über
Wählen wir anderseits für 19; ein en Parameter welcher
die Konﬁgu ration ein es gleichfo rm ig bewegten Systemes elek
trisch er La du ngen bestimmt so ergibt ( 1 1 6 a)
Au s
.
,
,
,
.
,
.
,
.
,
.
P;
1
1
b
6
(
)
Au ch
diese Beziehu n g stimmt mit u nserer Theorie überein
Denn wir hatten in 5 1 8 gezeigt daß die inn eren Kräfte die
in ein em gleichfö rmig bewe gten Sy steme v o n La dun gen wirken
sich au s ein er Kräftefu nk tio n V ableiten lassen ; di e se Kräfte
fu nk tion deren Abn ah me der Arbeit der inneren Kräfte gleich
ist w ar na ch ( 1 04 b ) en tgegen ge setzt gleich der Lagran gesch en
Fu nktion L E s stellt also au ch in u n serer Theorie ( 1 1 6 b)
die Bedin gu n g de s Gleichgew ichtes der inn eren u nd der au ß eren
Kräfte in einem gleichförmig bew egten Systeme elektrischer
Ladu n gen dar
Su cht man mit Maxwell u n d Hertz die Gesetze der
Elektr odynamik au s den Prinz ipien der Mechan ik abzu leiten
so mu ß m an im elektrom a gn etis chen Felde verborgen e Be
w e gu n gen träger Massen ann ehmen
Identiﬁz iert m an die
magnetis che En ergie mit der kin etischen die elektr ische mit
der potentiellen En ergie dieser Massen so gelangt man au f
Gru n d der Lagrangesch en Gleichu n gen in der Tat z u Ergeb
.
,
,
,
,
,
,
,
.
.
,
,
,
.
,
Drittes
Kapite l
Die
.
Mech anik
der E lek tro nen
1 91
.
i e w elche der Form nach mit denen u nserer Theorie
du rchau s übereinstimmen E s ist in dessen z u bemerken daß
in der a nalytischen Mechanik die kin etische En ergie T als
Fu nktion zw eiten Grades der Gesch w indigk eitsn der An triebs
pu n kte angen ommen die potentielle E nergie U als u n abhängig
v o n der Ge s ch w indigkeit betra chte t w ird
In dem vorliegenden
Fall e hin gegen sin d T u nd U Fu nktion en der Geschw in digkeit
de s Elektron s
T aber kein mw e gs ein e F u nktion z w eiten
Grades Wir beﬁnden u ns demnach keineswegs au f dem Boden
der Ann ahm en v o n denen di e analytische Mechan ik au sgeht
Denn och haben w ir v o n den Gru ndgleichu n gen (I bis VII)
der Mechan ik der Elektron en au sgehend w eni gstens für
stati o näre u n d
u asistatio n är e Bewegu n gen
die Lagrangesch en
Gleichu ngen als gültig erwiesen Wir h a b e n ge z e i gt da ß
i n u n s ere r r ei n e l ek tro m a g n e ti s ch e n D y n a m ik de s
E l ek tr o n s di e La gr a n ge s c h e n G l e i ch u n ge n ge l t e n
D adu rch haben w ir den Gültigkeitsbereich der Lagrangesch en
Mechanik w esentlich erweitert in dem w ir ih n v o n lan gsamen
Bew egun gen bei den en T ein e qu adratische Fu n ktion der Ge
sch w in di k e it ist au f beliebig ras che Be w egu n en mit Un terlich t
g
g (
geschw in digkeit) au sgedeh nt haben Wir haben fem sr in der
Dynamik de s ein zeln en Elektrons den Grun dgedanken des
elektromagnetischen Weltbildes (5 1 6) z u r D u rchführun g ge
bra cht w elcher fordert ni cht di e elektrische u nd magn etische
Energie au f die potentielle u nd kinetische En ergie der Mechani k
s on dern u mgekeh rt die kin etis che u n d die potentielle E n ergie
a u f die m a gn eti s che un d e lektr i sche E n ergie zu rückzu f ühr en
Wir kehr en nu nmehr z u m speziellen Fall e des ku gel
Wir setzen für den Betrag des
fö rmigen Elektron s z u rück
Impulse s den in ( 1 1 8 a) erhaltenen Wert ein u n d berechn en
a
t
u di nale
1
5
die
o
n
gi
1
au f Gru n d der Formeln ( 1 1 5 ) u n d
l
)
(
W ir ﬁn den
u nd die transversale Masse
n ss n ,
.
,
,
.
.
,
.
,
q
,
,
,
.
.
,
,
.
,
,
,
.
.
.
r
E
r
s
t
e
1 92
Ab
Das Feld 11 di e Bew egung der einz elnen E lektro nen
sch nitt.
.
.
Geschwindigkeiten die | 0 klein sind gegen die Licht
”
e w h w indi gk eit daß ß gegen 1 z u v em achlän i en ist ergibt
g
g
s ich als gem e insa mer Grenz w e r t der lo ngitu din alen u nd der
trans versalen Masse
Für
,
,
,
m,
1
7
b
1
(
)
D i e F o r m e ln ( 1 1 7 1 1 7 a b) ge l te n i m F a ll e d e r
F lä ch e n la d u n g
Im Falle der V o l u m l a du n g wo die Bew egu ngsgro ße im
Verhältni s 6 5 vermehr t ist sind alle drei Au sdr ücke mit
diesem Faktor z u multiplizieren E s wird z B
,
,
.
,
,
.
7
c)
1
1
(
fass en
.
ä
m,
W ir
.
b e i d e F alle
d e r Fla c h e n l a du n g
d er V o l u m l a du n g de s k u ge lf ö rm i ge n E l ek
u n d de n
tr o n s z u s a m m e n i n d e m w i r s chre ib e n
,
de n
,
,
ml
mo
‘
%
Z(ß) 7
x(ﬂ)
Mß>
—1
=
}
hier im Falle der Flächenladu ng der Wert
7
1
i
alle der V o lu mladun
1
m
b
F
der
Wert
c
etze
7
1
1
z
u
s
n
g
)
(
(
)
Für die speziﬁsche Ladu n g lan gsam er Kathodenstra hl en folgt
im ersteren Falle
Für m„ ist
,
.
e
c m„
worau s sich
für den
Radiu s
de s
2
3 ac
2
c
E lektr ons ergibt
8
0
Wir ﬁi hren hier den in Gleichu ng (2) angegeben en Wert
des elektri schen E lem en tar u antu m s u n d den u n ten in Glei
chu ng ( 1 23) angegeben en Wer t der speziﬁschen Ladu n g ein
q
10
7
.
E
rs
r
t
e
1 94
Ab
sch nitt
.
Das Feld 11 di e Bew egun g der einz eln en E lek tro nen
.
.
magnetis che Masse ist das Ko efﬁz iente nsystem der Gleichungen
Kraftkompon enten du rch di e Beschleu nigungs
w elche di e
komponenten au sdrücken Da s S y s te m d e r e le k tr o m a gn e
ti s che n M a s s e n i s t e i n T e n s o r tr i p e l v o n r o t a t o r i s c h e r
Sy m m e tri e u m d i e B e w e g u n g s r i ch t u n g de s E l ektr o n s ;
es i| t etwa z u vergleichen dem Sy steme der Trägheitsmomente
eines Rotationskörpers w elches gleichfalls du rch zwei Größen
das Moment u m die Rotations achs e u nd u m ein e z u ih r senk
rechte Achs e erst bestimmt wird ; e s ist in entsprechender
Weise geometr isch darzus tellen
,
.
,
,
.
5
21
Di e Able n k b ar k ei t der Kath o den stra h l en
.
de r
un d
.
5
-
8 tr ah l en
.
Bei schn ellen Kathodenstrahlen un d bei der sogenannten
aktiver Kö rper h at man es mit n egativen
S
r
u
n
g
r
a
d
i
o
t
a
hl
ß
E lektron en z u tun deren Geschwin digkeit kein eswegs klein
gegen die Lichtgeschwindigkeit ist; hier kommt di e Unter
s cheidu n g der lon gitu din alen u n d der transversalen Masse in
Betracht Für die Ablenkb arkeit der Stra hlen ist selbst
vers tändlich die trans versale Masse m u nd di e entsprechende
“
transversale speziﬁsche Ladun g
-
,
.
,
1
1
9
( )
maßgebend D abei ist c der elektr o statisch gemeu ene Betrag
der Ladu n g
Werden die ß S trahl en du rch ein z u r u rsprünglichen
senkr echte s m agneti sche s Feld a bgelenkt so ist
Strahlrich t
di e B ah nkrümm u n g gemäß Gleichu n g ( 7 )
.
.
-
,
“
1
1
9
1
a
)
(
R
-
1 1‚
O !
I
Die Geschwin digkeit bleibt bei der Bewegu n g im magn e
tischen Felde konstant da die im m agnetischen Felde au f die
E lektronen wirken de Kraft stets | enkr e ch t z u r Bewegungs
richtun g gerichtet ist; der einzige Un terschied gegenüber
,
Drittes
Kapitel
.
Die
langsam en
Katho dens trahlen li egt
Fu nktion der Geschwindi gkeit ist
e
der E l ktro n
hi er
Es
.
-
e
Mech anik
n
.
darin da ß
is t nach ( 1 1 7 0)
,
1 95
i e
e n
n.
Bei der Bew egun g im elektrischen Felde liegt die Sache
komplizierter Zu nächst ist der Zu w achs der Energie au f
ein em gewi ssen Wege der Arbeit der elektrischen Kraft gleich
Die Geschw indi gkeitsänderun g de| n egativen Elektrons auf einem
gewissen Wege i| t demgemü im elektr os tatischen Felde be
stimmt du rch
.
.
—
W W
2
1
0
( )
wo
gemäß ( 1 1 3 b)
W
u nd
o
1
1
7
b
(
)
6
0?
zu
|
etz en
ist
)
g
—
_
_
rsprüngliche Geschwin digkeit 0 60 bekann t u nd
die du rchlauf ene Spann u n gsdifferenz so ist die E ndgesch w in
di gk eit 0 6 au s der trans zenden ten Gleichu n g z u berechn en
Ist di e
u
m(if
%
b
1
2
0
(
)
Für
,
klein e Werte
”
ß +
-
v on
ﬂo
un d
il
t
3
( g
herungsweis e
nä
ä
”
so gelan gt
verna chlässigt man hi er 5 gegen ß ß„ gegen
Aber au ch bei Kathoden
man z u r Gleichu ng (5 a) zu rück
strahl en w ird man wenn es sich u m gena u e Me sm n gen handelt
a
u se tz en
ll
z
n
die
G
l
eich
u ng
2
0
c
Ste
e
v on
1
a
5
t
u
n
u
t
)
( )
g
(
Liegt etw a der in 5 2 erörterte Fall vor daß den Kathoden
s trahlen du rch e in elektro statis ches Feld ihre ganz e Ge sch w in
digk eit erte ilt worden ist so is t in (1 20 c) 50 gleich Null z u
Tritt der Kathodenstr ahl nu n in ein magnetisches
se tz en
Feld ein so bestimm t sich di e Bahn krümmu ng au s ( 1 1 9 a)
w obei d erjenige W ert v o n
in Re chn u n g z u z iehen ist
‘
‘
,
.
,
,
,
.
,
,
.
,
,
E
r
s
t
e
r
96
1
Ab
e e
Das Feld 11 di e B ew egu ng der inz lnen E lektro nen
s ch ni tt
.
.
.
elcher dem au s ( 1 20 c) z u ermitteln den Werte v o n 5 nach
1
9
b
e
t
pricht
n
s
1
(
)
Bei geradli niger Bewegu n g im lon gitu dinalen elektro
sta tischen Felde reicht di e au s der En e rgiegleichu n g abgeleite te
Relation ( 1 20 b) au s Besitz t indessen das elektrische Feld
so bes timmt di e E nergie
au ch ein e trans versale Kompon en te
gleichu n g ni cht vollstän dig die Be w egu ng ; es ist die Impu ls
gleichu n g heranzu ziehen Diese ergibt für die Ladu ng c
w
.
.
,
.
—
e
a
Han delt
Feld
| 0
,
ich u m ein homogenes s ü ßeres elektri sches
sich z wischen zwei Ko ndensato rp latten herstellt
es
w ie e s
s
,
ist
C
1
1
a
2
)
(
di e
C„
Änderu n g des Impuls es
w e gu ngsrich tu n g des
daher folgt
so
=
daß
au s
1
2
1
a)
(
s
de|
Elektr ons
1
a
1
5
(
)
zu
eß
u nd
chreiben
to)
t
(
egativen Elektr ons Die Be
ist stets sein em Impu ls e p arallel ;
n
.
1
7
e
1
(
)
ist
3
—c
—
w (ß)
1
2
1
b
(
)
°
ß
n
°
t
(
Kenn t man die anfängliche Geschw in digkeit 110 u n d die
Zeit w ährend deren das n egative Elektron das homogen e Feld
d u rcheilt so ist eine dieser Beziehun g die En dgeschwindigkeit
der Größe u n d der Richtu n g nach bestimmt
Au ch ein z u r u rsprün glichen Bew egu n gsrichtun g senk
rechtes elektrisches Feld ändert im Gegen satz z u dem ma gne
tischen Felde den Betrag der Geschwin digkeit weil im Verlau fe
der Bewegung n eine z u
parallele Komponen te erhält Ist in
de ssen die Ablenku n g des Strahles du rch das transversale elek
so
kann man die Än deru ng des
trisch e Feld nu r gerin g
Betrages der Geschwindigkeit v em ach las sigen u n d an Stelle
1
nfachte Beziehun g setzen
b
die
verei
v on
1
2
(
)
,
,
.
,
,
,
.
,
1 98 E rster Absch nitt Das Feld 11 die Bew egu ng der einz eln en E lektron en
.
.
.
Dieses Ziel w ar es welches W Kau fmann bei s ein en
Untersu chu ngen ) verfolgte Läßt man die v o n ein em Ko m chen
Ra diu mbro m id au sgehen de Strahlun g du rch e in e kleine Öﬁnu n g
treten so bildet sich die Öffnu n g au f einer senkrecht z u r
Strah lrich a
gestellten p h o to gr ap hi schen Platte als Punk t
ab
Bei elektrischer Ablenk un g wi rd infolge der verschi edenen
Ge sch w indigk eitsn der E lektron en das v o n den (3 S trahl en
herrüh ren de Bild in einen der Richtung des elektrischen
Feldes parallelen gera den Stri ch au s gezogen ; bei ma gnetischer
Ablenk u n g ergibt sich ein z u r magnetischen Feldrichtu n g
“
s enkr echter Strich
Die „ Inhomogenität der Strahlu n g macht
e s u n möglich
au f diese Weis e die Ablenk un g der ein zeln en
Strahlteilch sn z u be stimmen
E s gelan g in de ssen Kau fman n
gerade die Inhomogenität der Strahlun g z u r Lösun g der
Au fgabe z u benu tzen indem er g l ei chz e i ti g elek tri sch u nd
Bei dieser der Kun dt
s enkr echt d az u m a gn eti sch ablenkte
Methode der Disp ersio nsmessun g d u rch gekreu zte
schen
Spektren entsprechenden An ordnu n g w u rde au f der photo
graphi schen Platte ein e Ku rve erhalten ; die Koordin aten
ein es jeden Pu nktes der Ku rve zeigten direkt die elektrische
bzw die magnetische Ablenk u ng de s betreffen den Strahl
te ilchens an In dem Kau fmann die Strahlen zwischen den
Platten ein es Kon den sators hi n du rch treten ließ welche nu r
um
mm voneina nder entfernt u nd au f einer Po tentialdiﬁerenz
v o n 7 000 Vo lt gehalten waren in dem er fe m o r p arallel dem elek
tri schen Felde gleichzeitig ein m agnetisches Feld erregte er
hielt er photo graphische Ku rven welche direkt die elektrische
Ablen ku n g eines homogenen ß Strahl es als Funk ti on der
m agnetischen Ablenk un g darstellten Dabei ist zwar da es
nicht u m
klein e Ablenku ngen handelt die
sich
u n en dli ch
elektrische Ablenk u ng nicht gena u proportional dem in ( 1 21 d)
berechn eten 31 z u setzen u nd die magnetische Ablenku ng nicht
genau u mgekehrt proportional dem in ( 1 1 9 a) angegebenen
Krümmu n gsradiu s R Immerhin lassen sich den au f der photo
.
1
.
,
,
.
.
,
.
,
.
,
.
.
'
,
,
,
.
,
.
1)
W
.
Kau fm ann
,
Gött„ N a ch r 1 901 , s
.
.
1 43 ; 1 902, S 291 ; 1 909, s 90
.
.
.
Dritte s
Kapitel
.
Die Mech anik der E lek tro nen
1 99
.
graphis chen Platte direkt beobachteten Ablenk un gen zwei nu r
w eni g v o n ihnen verschieden e Größen y u n d z
die redu
“
zierte elektrische Ablenku ng u n d die „redu z ierte ma gn etische
“
Ablenku ng zu ordn en w elch e den in ( 1 22) u n d ( 1 22 a) em
1l
gehenden Großen y u nd proportional sind jene beiden v on
der Theorie geforderten Beziehu n gen lass en sich sch reiben
'
'
,
,
1
2
2
b
)
(
=
k
ß
l
1
2
2
c
(
)
= k
.
w<ß)
°
?
Die Konstanten k k, hän gen n och v o n den Abmessun gen
der Apparate den Feldstärken fem sr v on
u n d 0 ab
Die Prüfung der Theorie an der Han d der Beobach tu nge
ergebnisse wu rde schließlich so du rchgeführ t daß zu nächst
versu cht wu rde d u rch p assen de Wahl der Konstanten k u n d k
die gemessen en redu zierten Ablenk u n gen du rch di e Formel
1
1
7
s e s erw ie s sich nu n in der T at für
e
d
Die
arzu stell en
(
)
jede ein zeln e der p h o to grap h isch en Ku rven als möglich ; die
lag inn erhal b der Fehl ergrenz e
maximale Abweichu n g
der Versu che Au s den Werten v on la k, u n d der magne
tischen Feldstärke konn te sodann die speziﬁsche L adu n g
Die im
langsam bewegter Elektron en e xtrapoliert werden
folgen den gegeben e Tabelle bezieht sich au f die Platte Nr 1 9
w elche das klarste u n d fehl erfr eie ste Bild lieferte
Die ersten beiden Zeilen enthalten die gemessen en redu
’
’
zierten Ablenkun gen z u n d y Die dritte u n d vierte Zeile
geben die au f Grun d der Formeln ( 1 22 b c) v on C R un ge ) nach
der Methode der kleinsten Qu adrate berechn eten Werte v on y
Die Abweichu n g der beobachteten Werte v o n 3]
u nd ß an
den au f Gru n d der Form eln ( 1 22 b c) au sgeglichenen
v on
Werten w elche in der fünften Zeile au fgeführt sind gestatten
mit welcher die theoretische
ein Urteil über di e Genau igkeit
Formel ( 1 1 7 e) für die trans versale Masse gültig ist Diese
Übereins timmun g ist in An betracht des gr oßen Bereiches v o n
,
,
.
,
,
,
,
.
,
.
.
.
,
.
1
,
.
'
.
,
,
,
.
1)
C
.
Ru nge , Gött N ach r
.
.
1 908 , S 826
.
.
200
e Ab
E rst
r
Das Feld 11 die Bew egu ng der einz elne n E lektro nen
sch nitt
.
.
w
h
t
m
di
em
Bereiche
ä
c
s
es
p(ß)
ei ne befriedigen de z u nenn en
Gesch w indigk eitsn
bis 4‚ 3
v on
:
.
1 ‚ 75
.
Der au f Gru n d dieser Tabelle extrapolierte Wert der
speziﬁschen L a du n g lan gsam bewe gter E lektr on en ist
1
1
2
3
( )
10
Diese Z ahl li egt zwischen der direkt du rch Beo bach
tu n gen an Katho denstr ahlen erhalten en ( Gleichun g 9) u n d der
au s der elemen taren Theorie des Zeeman E ﬁek tes abgeleite ten
l
M
ar
f
a
d
G
eich
g
d
d
her
e
e
die
e
be
u
n
a
n
a
nn
h
m
n
a
ß
l
n
s
(
Teilchen bei diesen dr ei Vorgängen in Bew egun g begriﬂen sind
E s wäre v o n großem Interesse die Klu ft welche n och
die raschesten Kathodens trahlen v on den lan gsamsten ß Strahlen
trenn t z u überbrücken Ein en Versu ch in dieser Richtung
h at H Stark e u n tern ommen ) Er wan dte größere E ntladu n gs
potential e als üblich z u r Erzeu gung der Kathodenstrahlen an ;
er gelan gte indessen nu r bis z u einem E ntladu ngsp o tentiale
d h bis z u einer Geschwindigkeit v on weni g
v o n 36 000 Volt
E s ergab
m ehr als ein em D rittel der Lichtges chwin digkeit
mit
s ich ein merkli che s An steigen der tran sversalen Masse
wachsender Geschw in digkeit entsprechen d der Forderun g der
Theori e Da indessen die Fu nk tion 11 (ß) welche nach u nserer
'
-
,
'
.
,
-
.
‘
.
,
.
.
.
»
.
1)
H
.
Stark e ,
Ve b
r
.
,
d deu tsch p h y sik al Ges
.
.
.
.
1 908, S 24 1
.
.
202
E r ster
Ab
sch nitt.
Das Feld 11 die Bew egung der e inz elnen E lektronen
.
der dort gegebenen Transformation (1 05) gestaltet sich hi er
besonders einfach Das bewegte Syste m 2 ist ein Heaviside
Elli p soid ; geht man du rch Strecku n g p arallel der Bewegungs
richtu n g im Verhältnis
z u m m h en den Sy s te m 2
über
Die En ergie dieser
so erhält man ein e K u gel vom Radiu s a
Ku gel ist im Falle der Flächenla du n g
.
1
0
,
.
,
,
3
=
033
1
2
4
( )
Ä
Die Lagran gesche Fun ktion welche nach ( 1 04 b) im Falle
gleichförmiger Bewe gu ng der Kräft efunk tion entgegen gesetzt
gleich ist wird gemäß ( 1 06 d)
,
,
,
Fern er folgt
au s
1
02
(
)
un d
6
0
1
( )
i
—
=
<b
n.
2
1
4
1
0
(
)
u nd
—x
“Uo =
L=
-
daher
au s
d
l
0
1
)
(
und
1
0
5
( )
3%
39
3 45
3?
1
3 1110
3 20
x
1
Hierau s u n d au s ( 1 01 f ) bestimmt sich die Kompon ente
des Vektors g welcher die Dichte der elektr om agnetischen
Bewegu n gsgr öße anzeigt
-
g‚
=
h a
}
Du rch Integration über das Feld des Systemes 2 dessen
V o lu m elemente den en des ru hen den Sy stem es 2 0 du rch ( 1 05 )
zu geordn et u nd daher im Verhältnis
,
,
dv : dv „=
verkleinert sind folgt
,
0
.
a
x
Dritte s
Kapitel
Die Mech anik der E lektro nen
.
Beachtet man fern er daß in 2
ru henden Ku gel ist daß mith in au s
,
dv „ß f„
gilt
so
,
erhält
das
0
203
.
Feld dasjenige einer
Symm etrie grﬁnden
dv „© f „
(1 0
3
0
man
Der Betrag des der Bewegun gsrichtu n g des Heav iside
Ellipsoides parallelen Vektors
wird demna ch
=
1
e
2
4
(
)
2j 23
'
—
{
.
x
= v1 —
}
’
ß
der so bestimmten elektromagnetischen Bew egungs
f
l
röße
o
gt
die
au f Gu m d der allgemein en Bezieh un g ( 1 03)
g
doppelte magnetische En ergie
Au s
,
1
2
4
f
)
(
2T
Hi erau s
erhält man für die ge s a m t e
e l ek t r o m a g n e ti s ch e E n ergi e de s He a v i s i d e E ll ip s o i de s
den Au sdru ck
u n d au s
1
2
4
a
(
)
,
-
,
5
—
=
W 2T L
4
1
2
g)
(
H A Lorentz nimmt nu n an daß die träge Masse des
Elektr ons rein elektroma gnetischer Art ist; demgem% z ieht
er n eben der elektromagnetischen Bewegu n gsgröße (1 24 e)
e in e m ate rielle Bewegun gs größe nicht in Re chnu n g
Er erhält
au f Grun d der Formeln
f
ü
r die l o n gi
1
1
5
u n d ( 1 1 5 a)
( )
t u di n a l e u n d t r a n s v er s a l e M a s s e
.
.
,
,
.
'
,
1
2
5
( )
m.
mo
.
1
2
a
5
(
)
m.
mo
°
x
“
mo
mo
°
”
1
(
ß)
1
(
”
ß)
tellt dabei den gemeinsamen Gr enzwert beider Massen bei
lan gsamer Bewegun g vor der im Falle der Flächenladun g
du rch ( 1 1 7 b ) im Falle der V olu mladu ng du rch ( 1 1 7 0) ge
ma
s
,
,
204
E rster
Ab
sch nitt
.
Das Feld u di e Bew egu ng der einz elnen E lek tronen
.
.
geben wir d Nach dem in 5 1 8 bewiesen en Satz e geht der
Wert v on U., im Falle der V olu mladun g au s dem im Falle
der Fläch enladun g gül tigen W er te du rch Multiplikation mi t
hervor ; mit demselben Faktor sin d demn ach die Au sdrücke
der Lagrangesch en Funktion ( 1 24 a) der Bewegungs größe ( 1 24 e)
1
2
4
g
beim
berg
a
n
g
u n d der elektrom agnetischen En ergie
Ü
)
(
z u r V o lu mla du n
z u multip liz ieren
g
Versu cht m an die lon gitu dinale elektr omagnetische Masse
des Lo rentz sch en E lektrons au f Gru nd der Formeln ( 1 1 5 b)
u n d ( 1 24 g ) z u berechn en in dem m an annimmt daß die E n ergie
des Elektr ons rein elek tromagnetischer Natu r ist so gelangt
m an z u einem E rgebni s welche s z u ( 1 25 ) in W iderspru ch
Das kann n icht wu n dern ehmen ; haben wir doch in
steht
n
1
1
w
l
a
1
l
ge
ehe
die
R
e
tio
b
e
che
die
I
d
tit
t
d
a
ß
e
1
9
s
n
n
ä
5
(
)
der au s der elektr om agnetischen En ergie u nd au s der elektr o
ma gnetischen Bewegu ngsgröße abgeleitete n Werte der Masse
au f der Annahm e ein er u n verän derlichen Ladun s
au s spricht
g
ver te ilu n g beru ht Für das Lo rentz sch e Elektron welches der
Grun dh ypothese (V II) ni cht gehorcht gilt diese Relation ebens o
weni g wie die Gleichungen ( 1 1 1 ) u n d ( 1 1 1 a) welche Impuls
u n d En ergie mit der Lagrangesch en F u nktion verknüp fen
In
de r T at nach ( 1 24 a) ist
.
,
.
,
,
,
,
,
.
..
,
,
.
,
,
,
,
,
dL
6
1
2
( )
währen d
d h
l
’
e
p
2a
xc
h ( 1 24 0 )
nac
und
e
8
m
a
x
a
1
2
5
(
)
“
starre
Elektron
Wah rend fiir das „
die Differenz dieser
beiden Größen verschwin det h at sie für das deformierbare
Elektron den v on Null verschi eden en Wert
,
1
2
6
9)
(
Da
( LL
a
m
—
1
Z
mo
l= — m
I
g
B
.
1
f
gemein gilt
nu n all
—
=
=
=I
hl
W 2T L =
o
—L ,
n
|
.
E
r
r
s
t
e
6
20
Ab
sch nitt
.
Das Feld u die Bew egu ng der einz elnen E lektronen
.
D u rch Kombination dieser beiden Sätz e
erh ﬂ t
.
man
oder
( jr
)
=
o
1
1
27
0
(
)
— W —E
d
Fiir gleichförmige Bewegu n g
ist
)
nu n
—W = 2 T — W =
=T — U = L
t
(
q
.
Bewegu ngen wird di ese Beziehung als
gültig angesehen u nd es wi rd L wie E als Funktion der
jeweiligen Geschwindigkeit betrachtet E s wird mithin
Für
u asistationäre
,
,
,
.
dl
1
7
2
c
(
)
_
d
q
Da ferner
:
bei stationärer un d u asistationärer Bewegun g
ﬁir das Lorentz sch e E lek tr on au s Symmetriegrﬁnden der Impuls
parallel der Bewegungsrichtun g ist so gilt
,
,
o
d
1
7
2
)
(
|
d'
Nach ( 1 27 b) sollen nu n die Au sdrücke ( 1 27 0) u nd ( 1 27 d)
einander gleich sein u nd zwar für beliebige Werte der Be
hl eu n igu ng; hierau s folgt die Relatio n
sc
,
JL
1
2
8
( )
Dieselbe ist als V era]lgem ein eru ng der Relation ( 1 1 1 ) an
zu seh en ; sie geht in jen e über wenn man eine En ergie E
n icht elektroma gnetischer Art au sschli eßt
Hier tritt der bereits in 5 1 6 erörterte Z u sammenhang
der kinematischen Gr undgleichu n g (V II) mit dem Gru nd
gedanken des elektromagnetischen W eltbildes deu tlich herv or
Für das starre Elektron gilt ( 1 1 1 ) all gemein e s folgt daher
.
.
,
1
28
( )
au s
dE
= o;
d ln[
d h eine etwa angeno mm ene Energie nicht elektromagnetischer
Art würde bei einer Än deru ng der Geschw indigkeit sich nicht
'
.
.
Dritte s
Kapitel,
Die
Mech anik
der E lektr o nen
207
.
dern Etwa an gen ommen e inn ere Krü e nicht elektro
magne tischer Natu r würden dabei keine Arbeit leisten Unsere
Gru n dgleichu ng ( VII) fu ßen de Dynamik des Elek
au f der
trons brau cht daher s o lche Kräfte u n d eine s olche En ergie
“
En ergie ebens owenig wie
nicht einzu füh r en ein e „ pote nti ell e
Die Lo rentz sch e Dynamik des Elektrons sieht
e in e kin etis che
gleichfalls die träge Masse als rein elektroma gnetische an u n d
s chließt daher eine kinetis che En ergie im Sinn e der ge w öhn
Sie mu ß indessen ein e „ potentielle
li chen Mechanik au s
Au s
e re E n ergie de s E lektrons einführ en
im Verein
folgt
mit ( 1 26 a) u n d
än
.
.
,
.
.
.
( IE
1
a
8
2
)
(
d
du rch
u nd
1
mo
4
h
II
.
-
;
—
In te gration
E =E.
b
1
2
8
)
(
hier sind E „ L„ die Werte welche E
Elektron besitzen Au s ( 1 24 a) folgt
u nd
,
L für das m h ende
.
1
28
c
)
(
E
E
,
31 1
(
“
potentielle En ergie
des
Diese Form el gibt an wie die
Lo rentz sch en Elektr on s mit wachsen der Ges chwin digkeit ah
Für Lichtge schwindigkeit wo dasselbe in ein e Kreis
ni mm t
wird x gleich Nu ll mithin die potentielle
s cheibe übergeht
Energie
1
d
2
8
(
)
„
,
.
,
Wir könn en daher
1
2
9
( )
au
E
ch schreiben
E1
6
’x
D i e s e p o te n ti e ll e E n e rgi e n i cht e l e k tr o m a gn e
ti s che r Ar t m u ß m a n de m L o r e n tz s c h e n E l e ktr o n z u
w e n n m a n da s E n er gi ep ri n zip a u f r e cht
s chr e ib e n
z u e r h a l t e n w ün s cht
Bei diesem Ergebnis wird man sich kau m beru higen ;
man wird vielmehr weiter fragen nach w elche m Gesetz die
,
.
E rster
208
Ab
sch nitt
.
e
Das Feld u di e Bew egu ng der einz lnen E lek tro nen
.
.
inneren Kräfte wirken sollen die sich au s ein er solchen
potentiellen Energie herleiten Nu r indem man hi erüber be
stim m te Annahmen m acht
wird man über das Verhalten des
Lo rentz sch en E lektrons bei allgemein eren Be w egu n gen (ni cht
u asistati o när en
oder nicht rein trans la to rischen) etwas Be
stim mte s aussagen könn en
Man kann daran denken elastische
Kräfte zwischen den benachbarten V o lu melementen des Elek
trons anz u n ehmen u nd eine Theorie des deformierbaren
Elektrons v o n der in 5 1 6 an gedeu teten Art z u entw ickeln
Eine solche Theorie würde die Trägheit des E lektrons
erklären aber nicht rein elektromagnetisch ; sie w ürde die
kin etische En ergie zurückführ en au f die weniger gut v or
stan den e poten tielle En ergie u n d au f die elektroma gn eti sch e
En er gie Au f ein er solchen Dynamik des Elektr ons läßt
elektromagneti sches System der Physik au f bau en
sich kein
Wenn man in die Dynamik des E lektr on s elastische Kräfte ein
ﬁihrt so ist es logisch u nm öglich die E las tizität der Materie
du rch Zu rückf ühru n g au f die Mechan ik der Elektr onen rein
elektromagnetisch z u deu ten
H A Lorentz h at gezeigt daß die Formel ( 1 25 a) für
die transversale Masse die Versu che Kau fm ann s ni cht wesen t
li ch schlechter d arstellt als u n sere Formel ( 1 1 7 a) E s ist z u
ho ffen daß weitere experimentelle Untersu chu ngen darüber
entscheiden welche v o n den beiden Theorien in dieser Hins icht
Sollte die Entscheidu ng zu gunsten des
den Vorzu g verdient
Lo rentz sch en Elektr o ns fallen so würde dieses Ergebni s gegen
die Möglichkeit eines rein elektr om agnetischen Weltbil des Zeu g
Die Hoffnun g in den Elektr on en die kleins ten
nis ablegen
Bau steine des Weltgebäu des gefu n den z u haben würde dann
als fehl ge schl a gen z u betrachten se in
.
,
q
.
,
.
.
.
.
,
.
.
,
.
.
,
,
.
,
.
5
23
.
De r Be re i ch
de r
q
u a s i st ati o n är e n
Im ersten Bande dieses Werkes
Be w e gu ng
.
de gegen die Theorie
de s
u asistatio när en Str ome s e in Einwan d gem a cht ; e s w u rde
mehrfach betont daß diese Theorie v o n dem En ergieverlu st
q
,
w ur
r
rs
E
t
e
210
Ab
sch nitt
.
e
Das Feld u die Bew egun g der einz lnen E lek tronen
.
.
gemachten An na hmen abh ängt w äh r en d die Rückwirku n g der
Strahlu ng sich ohn e solche Ann ahmen angeben ließ wenigstens
dann wenn es gestattet w ar das Elektron hinsichtlich der
entsan dten Wellenstrahlu n g als einer Pun ktladung äqu ivalent
z u betr ach ten
Al s d a n n er f üll t de r An s a tz ( 1 30) f ür di e
i n n e r e Kr a f t a l l g e m e i n di e E n er gi e g l eich u n g u n d di e
I mp u l s g l ei ch u n g ; denn die Arbeitsleistung der Zu satz kr aft
3 ist wie au s den E ntwickelu n gen des 5 1 5 hervorgeht für
ein In tervall be sch le u nigter Bewe gu n g entgegen ges etzt gleich
der in diesem Interv c au sgestrahl ten Energie das Zeit
integral v on 8 entgegengesetzt gleich der au sgestrahlten Be
w e gu ngsgröße
Bestimmen wir di e Bew egung des Elektrons
a u s der korrigi erten Beweg un gsgleichun g
,
,
,
.
‘
,
,
,
'
.
«1
a
0
i d w ir v o n vo rnherein sicher in kein en Widerspru ch mit
dem Energieprinz ip oder dem Imp u lssatz e z u geraten Wir
fa ssen ein e Bewegu n g ins Au ge die zu erst gleichf örmig mit
der Ges ch w in digkeit h verläu ft dann in beliebiger Weise be
s ch leu n igt w ird
u n d weiterhi n w ieder stationär mit der Ge
s ch w in di k e it h
n
vor
s
ich
geht
Wir
w
a
rte
s
o
l
ge
bi
s
die
a
n
g
en tsan dten Wellen sich hinreichend w eit v o n dem (mit Unter
lichtge schwin digkeit bewegten) Elektron entfern t haben Inn er
h alb de s v o n der W ellenz o ne eingerahmten Rau mes besteht
dann das Feld w elches der Geschwindigkeit h entspricht u n d
dessen Energie u n d Impu ls W bz w
Die En ergie
sin d
und
die Be w egu n gsgröße des au ßerhalb der W ellenz one
liegenden Felde s ko m men nicht in Betr acht
Werden für die
Energie W u nd der Impu ls G„ der W ellenz o n e di e im
vorigen Kapitel gefun denen Werte ein ge setzt so gilt allgemein
so
s n
,
.
,
,
,
,
,
.
,
.
,
,
,
.
.
.
I2
,
dt
®1 + 0 1 2 ,
dt = VV,
Dritte s
K apitel
.
Die Mech anik der E lek tro nen
21 1
.
wenigstens für u n ser starres Elektron Beim Lo r entz sch en
E lektron ist w ie wir soeben ge sehen haben n och die Än de
ru ng der inn ere n potentiellen En ergie in Rechnun g z u setz en
Wir sind jetzt in der L age den Gültigk eitsbereich der
Wi r d ür f e n di e B e
u asistationären Be w e gu n g an z u geben :
w o g a n g a ls u a s i s t a t i o n a r e b eh a n d e ln w e n n g e g e n
di e s o b ere ch n ete i n n e re Kr a f t R di e Re a k t i o n s
kr a f t
d er S tr a h l u n g v e r s ch w i n d e t
Betrachten wir etw a ein e Kreisbewegu n g wie sie die
E lektron en der Ra diu m Strahlu n g in ein em z u r u rsprün glichen
S trahlrichtung senkrechten magnetischen Felde au sfüh ren Hier
ist der Betrag der Trägheitskraft der u asistatio naren Be w egu n g
für das starre ku gelförmige Elektro n na ch ( 1 1 7 e)
.
,
,
.
q
q
,
'
«
.
q
'
a
I
1
3
1
( )
= m 3
.
l
Die Reaktio k t der S
ch u n g (88)
ns raf
so
daß m an
.
rahlu n g
t
ber
a
ist
na
ch Glei
‘
erhält
”
x
a
1
1
3
)
(
Setzt m an fu r m den im Falle
W ert ( 1 1 7 b) so folgt
o
1
der Flach enladu n g
ß
”
.
gültigen
,
b
1
1
3
(
)
Q
I
R
| I
'
.
4
a
3 12
‘
x 1
p(ß)
Bewegun gen die der Lichtgeschw indigkeit nicht gar
z u
nahe kom m en
ist die ein gehende F u nktion v o n 5 keine
große Z ahl Hi er verschwindet der Be trag v o n
gegen den
falls der Krümmm gsradiu s R der B ahn groß gegen
v on 9
Wir sehen also : D i e Ab
den Ra diu s de s E lektron s ist
l e n kb a rk e i t d e r i n de n K a th o de n s tr a h l e n u n d i n de n
w
t
n
S
tr
h
l
e
d
R
di
u
m
b
e
e
g
e
n
E
l
e
ktro
n
e
d
a
r
i
n
a
n
e
s
f
s
a
ß
p r a k ti s ch e n F äl l e n a u f Gr un d d e r An s e tz e d er
a ll e n
The o ri e d er u a s i s t a ti o n r e n B ew e g u n g b e re ch n e t
w er d e n
Für
,
,
.
'
.
-
q
.
a
r
r
s
t
e
E
21 2
Ab
sch nitt
.
Das Feld u die
.
Bew egun g der einz elnen E lektronen
.
Um z u zeigen daß dieses au ch für die raschesten der
Elektr onen gilt deren Ablenku ng man h at beobachten könn en
ziehen w ir die Tabelle des 5 21 heran Fiir die raschesten
der v o n Kau fmann u ntersu chten Strahlteilch en w ar
,
,
,
.
1
ß
w ir
erhalten
—ß
da her
P)
1
(
Man sieht
4 (p)
4
welche das Ans teigen
des Qu o tienten | ﬂ l [ﬂ | bei Annäherun g an die Licht
geschw indigkeit bedin gt hier bereits v on Bedeu tun g w ird ; ih r
Wert ist hi er
,
daß
die
”
Fu nktion
"
v on
3
1,
'
,
D afür ist aber der Radiu s des Elektr ons sehr klein gegen
den Krümm un gsradiu s der B ahn Letzterer berechn et sich au s
der redu zierten magnetischen Ablenku n g
.
z
u nd
der
v on
Kau fmann
'
gegebenen Beziehu ng )
1
an
z u
B
R
28
cm
.
Setzt man en dl ich für a den u nter Annahme v on Flächen
la du n g berechn e ten Wert ( Gleich u n g 1 1 8) ein so ﬁn det sich
Die magnetische Feldstärke w ar h ier gleich 200 absolu ten
Einheiten Nimmt man nun au ch ein 300 mal stärkeres magne
tisch es Feld an so beträgt der bei Ann ahme u asistation ärer
Bewegung begangene relative Fehler immer n o ch w eni ger
als 1 0
Au ch die B ewegu n g der rasche sten beob achtbaren
s
n
l
il
e
x
ll
ra
h
e
n
e
erim
n
t
e
her
te
b
re
n
m
g
eti
che
a
S
t
t
c
m
s
ll
a
n
e
h
ß
p
Feldern ist demn ach als u asistatio när z u betrachten
q
.
“
9
.
q
1)
W
.
Kau ﬂ
ann ,
l
.
c
.
Gött N ach r
.
.
.
1 90 3 ,
Gl 6
.
.
S 95
.
.
2 1 4 E rster Absch nitt Das Feld u die B ew egu ng der einz eln en E lek tro n e n
.
.
Jene beiden Kräfte sin d im Gru n de nichts an deres
die beiden ersten Term e einer Reih en entw ick elu n g
3
1
3
( )
“
l
a
a
,
.
als
“
n
I"
die nach au fsteigenden Potenz en des Radiu s a des E lektrons
fortschr eite t Der erste Term die elektroma gn etische Trägh eits
kr aft en thält a im Nenn er ; der zweite en th ﬂ t a überhau pt
nicht wie er ja v o n den speziellen über Fo rm u n d Ladu n gs
erteilu n g gemachten Annahmen u na bhän gig ist Der dritte
Term w ird w ieder v o n der Form un d Ladu n gsverteilu n g ab
hän gen u nd für u nser ku gelförmiges Elektron a im Zähler
enthalten Da die inn ere Kraft 3 du rch die Geschwin digkeit
u n d du rch die Be s chle u n igu n g bestimm t ist
w elche in ein em
en dlichen dem betreffen den Zeitpu nkte voran gegan gen en Inte r
valle geherrsch t haben (v gl 5 1 so ist ein e solche Reih enentw ick e
lu n g imm er dann möglich w enn die Bew egu n g s tetig ist u n d ihre
Geschw indigkeit klein er als die Lichtgeschwin d igkeit ist Je
w eiter man die Reih en entw ick elu n g führt de sto höhere Diffe
v on
r en tial u o tienten
n u n d de sto h öhere Potenzen die ser
Diﬁerential u o tien ten w erden z u berücksichtigen sein ) Die
Reihe wird u m so schl echter konvergieren je mehr sich die
Bew egu n g einer u nstetigen u nd die Geschw in di gkeit der Licht
geschw indigkeit n ähert Im Falle des oben du rchgerechn eten
Beispieles konvergiert die Reihe n och au ßerordentlich gu t
Für u n stetige Bew eg u n gen u n d fu r Bew egu n gen mit Licht
geschw indigkeit oder ga r Uberlich tgesch w indigk eit versagt sie
völli g Hier müssen z u r Berechnu ng der inn eren Kraft andere
Methoden heran gezogen w erden
‘
.
,
,
v
.
.
,
,
.
,
.
q
q
'
,
?
.
.
.
.
1)
qH
Die in den Diﬂe renti al
'
u o tien ten
für den Fall der V o lu m ladu ng
v on
allgem e in
Es
berech net w o rden
.
G
.
v on
e rglo tz
ergi bt sich
b lin e aren Glieder
G
ö
tt
(
.
die
Nach
r
.
sin d
1 903 , S 3 5 7 )
Möglich k eit
.
k le in er, ge
bw esenh eit u asi
A
q
dämp fter E igensch w ingu n gen des E lek tro ns au ch bei
ellenl änge de r langsam sten E igen
e la stis ch e r
r äfte
Do ch i st die
so daß
s ch w ingu n g v o n der Größe n o r dnu n g de s Ra diu s de s E lek tr o n s
K
e in e
.
elek tr o m agn etisch e
w
n
e
n
i
n
e
g
i st
.
W
pek t alli
E rk läru n g de r S
r
n i en
h ier au s
n ich t z u
Dritte s
5
24
Kapitel
.
Da s F e l d
.
Die
e in e s
Mech anik
der E lektro nen
21 5
.
b elie b i g b ew e gte n E le k tr o n s
.
Während w ir bisher bei der In tegration der Feldgleichun gen
u n s au f ge w i ss e
Spezialfälle beschr änkt hatten n ämlich au f
den Fall der gleichf ö rmigen Bew egu n g beliebiger Ladu n gen
einer Pu nktladun g
u n d a u f den F all beliebiger Bewegu n g
wollen wir jetzt dazu übergeben das Feld ein es beliebig be
w egten Elektro ns un ter Berücksichtigun g der räu mlichen Au s
dehnu n g des Elektrons z u bestimmen Die allgemein en Formeln
du rch die wir in 5 8 die elektromagn eti schen Potentiale dar
w erden u n s z u r Lö su n g dies er Au fgabe führen
Die
stellten
Formeln (5 0 a) u n d (5 1 a) daselbst lau ten
,
,
,
.
,
.
1
4
3
a
(
)
—
Z l
d@ = l d
m o (l ,
dﬂ = l d
m l (l , Z
)
,
Diese Formeln sind n och v o n jeder Vorau ssetzu n g über
die Form u nd die Ladu n gsverteilun g des Elektr on s u nabhängig
Wir w enden sie an au f u n ser ku gelförm iges Elektron vom
Radiu s a mit gleichförmig verte ilter Flächenladu n g oder Volu m
la du n g
.
.
A F l a c h e n l a du n g
.
Wir verstehen
.
t r B di e Entfern u ng des betreffenden
Au fp u nk tes P v o n dem Mittelp u nk t e M de s Elektron s in
ist die Zeit z u
irgen dein er früheren L age des letzteren ;
un e
,
0
3
die
bestimmt w erden s oll z
Laten sz eit Ist die trans latori sche Bew egu n g des Elektron s
ge geben so ist B als Fu nktion v o n 2 e r bek ann t Das
—
Z 2
ein gen o m
Elektron w ird nu n in seiner z u r Zeit t :
m cn en Lage z u m Felde im Au fp u nk te nu r dann e tw as bei
w enn die u m den Au fp u n k t mit dem Ra di u s
s te u em konn en
geschlagen e Ku gel es schn eidet Das ist dann u n d nu r dann
der Fall wenn au s den drei Strecken R 1 u nd a ein Dreieck
gebildet werden kann Ist diese Bedin gun g nicht erfüllt so
gibt es kein en Pun kt des E lektrons v o n dem au s ein Beitrag
de r das Feld
im
Aufp u nk te
,
=
"
.
.
,
.
1
C
,
.
,
,
,
.
,
,
D
r
i
B
a
s
F
l
11
di
e
e
w
e
d
e
e
i
n
z
e
l
n
u
n
t
e
r
b
s
c
tt
e
d
h
n
rs
E
A
g g
21 6
.
.
e
n
E lek tro nen
.
n tsan dt nach Du rchlau fu n
d
e s Latensw e e s
e
g
g
2
im Au fp u nkte z u r Zeit t eintriift Diese Bedingun g
l
1
i
s t D r e i e c k s b i l du n
m
ö
g
i
ch
3
a
5
s
R
u
A
g
(
)
ergibt für ein en äu ß e re n Pu n k t die Ungleichu n g
z ur
Z eit t
,
,
.
,
(
R
1 3 5 a)
für
ein en i n n ere n
1
b
3
5
)
(
Pu n kt
a
hingegen
—RS Ä S
+R
a
.
D abei ist im Au ge z u behalten da ß e s sich u m einen im
Rau me festen Au fp u n k t handelt da gegen u m ein bew egtes
E lektr on ; e s kann daher für die Bestimmu n g des Feldes z u r
Zeit t ein u n d derselbe Au fp u nk t b ald als äu ßerer bald als
inn erer Pun kt gelten je nach der früh eren Lage des Elektrons
w elche der betreffen den Laten sz e it zu zu ordn en ist
Wir betrachten jetz t das Dreieck au s den Strecken R l a
A
b
b
E
s gilt
(
,
,
,
,
.
.
,
.
’
R +
2 a R co s ö
1
3
5
c
(
)
”
”
—
a
l
.
Schreitet man län gs
der Ob erﬂach e
de s E lektrons fort so än dern sich
w ährend er un d R kon stan t
u nd 1
bleiben Man h at demnach
,
,
.
a
Rsin ﬁ dﬂ
= l dl
.
Z w ei mit den Radien 1 u n d l + dl
um
P ges chla ge ne Ku geln s chn eiden
au s der Oberﬂäche de s E lektro n s ein en
Streifen au s v on dem Fläch eninh altc
’
2 az a sin ö
dö = 2 e
%
1 d1
.
die Elektrizität mit der Dichte 4
über die Ober
ﬂache verteilt ist so beﬁn det sich au f jen em Streifen die
E lektr izitätsmen ge
Da
ar a
,
2
r
s
te r
E
21 8
Ab
sch nitt
.
Das Feld 11 die Bew egun g der einz elnen E lek tro nen
.
.
Die Bestimmu n g des Ro tationsbestan dteiles des Vekto r
potentiales ist n icht ganz so einfach Man h at z u berück
sich ti en
a ß der Vektor
d
n
der
hier
die
Ste
e
a
n
ll
v
o
u
t
g
[ ]
tritt für die verschi edenen Pu nkte des Streifens ein verschie
den er ist ; denn e s ist zw ar 11 der Vektor der jeweili gen Dreh
geschw in digkeit bei der In tegration über den Streif en als
fe ster Vektor z u betra chten n icht aber r der vom Mittel
pu nkte nach dem betreffen den Pun kte der Oberﬂäche gezogen e
Radiu svektor Letzterer kann geschrieben werden
.
,
,
,
,
,
,
.
t
= 9l
der vom Mittelpunk te M des Elektrons nach
dem Au fp u nk te P gezogen e Fahrs trahl u n ter 1 aber ein z u 91
E s folgt
senkr echter Einheit svekto r z u verstehen ist
wobei
un
ter
91
,
,
.
Bei der In tegration über den Streifen ist nu n der erste
Term als konstan t z u betrachten ; der zweite Term aber fällt
bei der In tegration herau s denn es h at für je zw ei Pu nkte Q
u n d Q des Streifens die in ders elben du rch 91 gelegten Ebe n e
t u nd daher au ch [M ] die ent
sich beﬁn den (v gl Abb
i
E
ation s
e s etz te
R
ch
t
u ng
s
geht
dem
n
a
ch
der
Rot
e
e
n
g g g
bestandteil des V ek to rp o tentiales au s dem Translationsbestan d
teil ( 1 3 6 a) dadu rch her v or daß
,
'
,
.
,
,
.
.
,
an
Stelle
v on
tritt
E s w ird
.
mit
Ru ck sich t
au f
1
3
5
(
c)
d er B e i tr a g z u m Ro t a t i o n s b e s t a n dt e il e de s Vekto r
p o te n ti a l e s Um die In tegration nach dem Latens w ege au s
zu führen müssen natürlich die Vektoren 91 u n d 11 in ihrer Ab
h än gigk eit v o n 1 gegeben sein Bei der In te gratio n sin d nu r
in Be tracht z u ziehen w elche der Be
s o lche Werte v o n 1
.
,
.
,
din gu n g ( 1 35 ) genügeri
.
Dritte s
Kapitel
.
Die Me ch anik de r E lek tronen
B V o lu m l a du n g
Hier sin d drei Fälle z u u n terscheiden
I n n er n Dr e i e c k s b i l du n ge n a u s B l a
21 9
.
.
.
,
.
.
,
a
.
)
u n
Pu n k t
m ö g l i ch
im
.
—R
.
Die Ku gel 1 liegt in diesem Falle ganz im Inn ern des
Elektr ons V o n zwei benachbarten Ku geln 1 u n d
d) u m P
w ird die L adu n g ein geschlo ssen
.
.
.
Die Division du rch
P o t e n ti a l e
ergibt
als
B e i tr a g
z u
m
s
k a la re n
1
7
3
( )
D u rch Multiplikation mit
en tsteht der B ei tr a g
z u
m
T r a n s l a t i o n s b e s t a n dt e il e de s V e k t o r p o t e n t i a l e s
3 43
7
3
a)
1
(
ca
Der Beitrag
z um
'
Ro tatio nsbestan dteile des V ek to rp o ten
tiale s ist
du,
m [ü t }
der vom Mittelpu nkte M des Elektron s nach der Ober
ﬂache der Ku gel gezogen e Fahrstrahl kann in zw ei Vekto ren
t,
,
=
r
ﬂl +
u
zerlegt w erden w o 91 der Vektor M P vom Mittelpu nkte des
E lektr ons n ach dem Mittelpu nkte der Ku gel 1 wei st 11 aber
vom Mittelp u nk te der Ku gel 1 nach dem betreffen den Pu nkte
der Obe rﬂäche Be i der In tegration über die Oberﬂäche fällt
der v o n a h err u h rende An teil v o n [n t ] fort w eil für zw ei
einander di ametral gegen überliegende Pu nkte der Ku gel 0 u n d
mithin au ch [nu] den en tgegen gesetzten Wert h at 91 aber
ist ebens o wie 11 bei der In te gra tion über die Ku gel ko nstant
z u halten
E s fo lgt
,
,
,
,
.
,
.
,
,
.
A
r
b
c
F
d
s
l
r
E
rs
e
h
n
i
tt
D
a
e
11
d
i
e
B
w
e
d
r
e
l
n
n
n
t
e
n
E
k
t
o
e
s
e
e
l
n
e
i
n
z
e
0
22
gu g
.
.
°
’
au,
B e i tr a g
p o te n ti a l e s
b) Pu n k t
a ls
z u
-
t
ca
'
a ti
1 d1
[
]
Ro t a ti o n s b e s t a n dt e i l de s
m
.
Ve kt o r
.
ß e rh a l b o der i n n erh a lb de s E l ek tro n s
Dr e i e c k s b i ldu n g a u s B l 0 m ö g l i ch Alsdann gilt
au
.
,
R
|
,
.
R+ a
S
a
.
der Fall der bei Flächenladu n g au sschließlich
Betracht k am u nd au f den Abb 3 sich bezieht E s gilt
Das ist
.
D abei
in
,
d(D
.
.
2 di 9 m
.
ist
.
.
—
2 ar ( 1
co s v;
)
m
der körperliche Winkel u n ter dem das im Innern des Elektrons
gelegene Segm en t ( Q Q der Ku gel vom Mi ttelpu nkte P
derselben gesehen wird E s folgt au s dem Dreieck der Abb 3
,
'
.
2R1
.
daher
.
R+
co s v;
a
2 75
00
”
a
’
,
’
und
1
3
8
)
(
Dementsprechend wird
w.
—
4 — —i
r
—
R 1
8
«
i
belan gt der du rch
den Vektor [u t ] be stimmt ist so ist es hi er n otw en dig den
v o n M na ch
einem Pu nkte des Segmentes Q Q gezogenen
Radiu svektor 1 in einen z u m Fahr strahl 81 p arallelen un d einen
z u ihm senkrechten Vektor z u zerlegen
Der v o n dem letzteren
herrühren de An teil des V ek to rp o tentiales fällt bei der Inte
r
t
i
a
ü
n
o
ber
d
Segme
t
her
a
s
m
a
n
erh
t
dem
ch
u
n
s
ä
l
a
a
n
g
;
W as den Ro tatio nsbestan dte il
v on
an
,
,
,
'
°
.
—
1
du,
41
,
e
A
b
s
h
n
i
a
F
l
d
11
di
e
B
r
n
n
s
u
n
i
z
E
r
c
D
e
e
w
d
e
e
l
n
l
k
t
r
o
e
n
r
s
t
e
tt
e
n
e
E
e
222
g g
.
.
.
chließt es ein E in Beitrag z u den Potentialen im Aufpunk t
wird ni cht beigeste u ert
E s sin d demn ach bei der Berechnu n g der elek tr o magne
tis chen Potentiale nu r die Fä lle (a) u nd (b) heranz u ziehen
Die In tegration na ch ist au szu führen w enn die Bewegun g
w as aller
des E lektrons bekann t ist s omit 91 u n d h„ u n d
din gs nu r ﬁir den Ro tatio nsbestandteil des V ekto rp o ten tiales
in Betra cht kommt
11 als Fu nktion v o n 1 gegeben sin d
Die in diesem Paragraphen abgeleiteten Formeln für das
Feld eines beliebig bew egten Elektrons sin d in allge mein er
Weise zu erst v o n A S o mm er f e l d ) au fgestt w e rden Die
au f die T ranslatio ns be w e gu n g bezügli chen Formeln
s in d
”
au f e in em Wege
abh an gig v o n P Hertz ) gef unden w e r den
der im w esen tlichen de m hier ein geschlagen en en tspricht
s
.
.
.
.
,
,
.
1
.
.
,
.
,
.
5
25
U n s t e ti ge Be w e gu n g de s E l e k tro n s
.
.
Wir gehen jetzt z u r Behan dlu ng des Pro blemes über
welches den Gegenstand der Dissertation v o n P H ertz bildete
E in E lektro n bew ege sich bis z u r z eit t = 0 gleichf örmig m it
der Geschwindigkeit h ; z u dieser Zeit soll seine Gesch w indi g
keit plö tzlich au f springen u nd w eiterhin wieder n ach Rich
tu n g u nd Betra g konstant b leiben Welches ist das Feld des
Elektr ons u n d insbesondere die entsan dte Wellenstrahl un g ?
Diese Frage läßt sich vollstän dig beantw orten w enn man n,
parallel u nd beide Gesch w indigk eitsn kleiner als 0 annimmt
Wir legen den Anfangspu nkt des Ko o rdinatensystemes in
den Pu nkt des Rau me s der sich z u r Zeit t = 0 mit dem
Mittelpu nkte des Elektrons deckt ; die Geschwi ndigkeiten h
Achse p arallel s ein Die im vorigen
u nd h
s ollen beide der
Paragraphen e i n ge f ührte Gr ö ß e
,
.
,
.
,
.
,
,
-
,
.
1
3
9
( )
Ak
A
l)
ad v
.
.
So mm erfe ld
.
.
W etensch te
.
2) P
.
He
Bew egu ngen
rtz
.
eine s
Gött N a ch r
.
Am t
s erdam
.
1 904
.
1 904
.
S 99
.
.
S 346
.
Inan gnr aldissertation :
Unte
Göttinge n
1 904
E lektro ns
.
.
Sieh e
Ko n
.
.
rsu ch u n gen
.
au ch
über
u nste tige
Drittes
Kapitel
Mech anik
Die
.
der E lektro nen
.
die Entfernu n g ein es beliebigen Aufp u nk tes v on demjeni gen
den Mittelpu nkt des Elektr ons
Pu nkte der z u r Zeit t
bildete E s ist
ist
,
.
“
neu e
Ge
“
u nd
alte
Dabei s tellen aß u n d aß, die
die „
ob die Be wegu n g
s ch w in digk e it vor ; ihr Vorzeichen gibt an
parallel der po sitiven oder der n egativen 2: Achs e erfolgt
D u rch ( 1 39 1 3 9 a) w ird B als Fu nk tion v o n
ct = l
dargestellt
u nd dem Latens w e ge
Wir fassen einen Au fp u nk t ins Au ge der z u r Zeit t au ßer
halb des E lektrons liegt Dieser Pu nkt liegt dann au ch z u r
wo
Zeit t
a u ßerhalb des Elektron s
den kleinste n in
Betracht kommenden Latensw eg bezeichn et ; in der Tat ver
fo lgen w ir die Bewegu ng des E lektr on s rückw ärts i ndem w ir
gleichzeitig die Ku gel v o m Aufp u n kt au s mit Lich tgesch w in
digk e it sich dila tieren lassen so ﬁn det zw is chen Elektron un d
Ku gel zu erst äu ßere Berühru n g statt Die Ku gel überstreicht
welches sich m it Unterlichtgeschwin digkeit
n u n das E lektr on
bew egt nu r einm al ; z u r Zeit t
tritt sie au s dem Elektron
ist dabei der gro ßte in Betra cht kommende Latens w eg
au s ;
Das skalare Potential im Au fp u nkt ist nach ( 1 36 )
,
,
-
.
,
.
,
.
,
c
,
,
.
,
,
.
bei
Die In te grations grenz en sind
’
R
1
a,
na
"
Flächenla du n g
.
ch ( 1 35 a b)
,
R
"
a
.
lag w ie w ir sahen der Au fp u nk t
Denn z u r Zeit t
des Elektro ns ; für die Bestimmu n g der oberen
au ßerh alb
Integra tion s gren ze it ist es gleichg ültig ob er au ßerhalb oder
inn erhalb des Elektrons liegt Die In te gration sgrenz en sin d
die gleichen w enn es sich u m V o lu mladu n g han delt ; es li egt
,
"
,
_
.
,
rs
t
r
E
e
224
Ab
sch nitt
.
dann der Fall (b)
chun g ( 1 38) ist
.
des
vorigen
{
1
4
b
0
)
(
Es
Das Feld 11 die Bew egu ng der einz elnen E lektro nen
i d
s n
a
’
drei Fälle
nun
es
ist
bei
R
(
z u
1
Hier
Paragraphen
l
vor
.
.
Nach Glei
V olu mladu n g
.
t r heiden
u n e sc
l
im ganzen In tegrationsbereiche 1 größer als 1;
in ( 1 39) f ür i; der erste der Werte ( 1 39 a) z u setzen m ithin
ist
,
1
4
1
( )
k re Potential u nd das Vektorpotential berechn en
sich in diesem F alle so
als ob das Elektron sein e alte Ge
sch w in digk e it h
dau ernd behi elte
B
Z
1
( )
Hier i st im ganzen In tegrationsin tervalle kleiner als I
für
ist der letzte der Werte ( 1 39 a) z u setzen u n d daher für R
Das
s ala
,
.
'
,
1
4
1
6
(
)
R
”
=
R. V(w
y +
Die elektr omagnetischen Potentiale
Falle der n eu en Ges chwindigkeit
ﬂ
r < z<
t prechen
in
en s
di esem
.
in zwei Teil
Hi er h at man das Inte grationsinterl
in tervalle z u zerlegen ; im ersten wo
( l ist liegt der
dritte im zweiten wo l < 1 it ist der erste der in ( 1 39 a)
zu sammen gestellten F älle vor Demnach ist
,
,
"
,
,
,
.
da s
kalare Potential bei Flach enladun g
s
u nd
das
Vekto rpotential
w
s
D
as
F
ld
11
d
i
B
d
r
s
u
n
r
b
h
n
i
t
e
e
e
E
r
t
e
c
t
e
e
einz elnen E lektron en
A
226
g g
.
.
Au s
1
2
4
(
)
u nd
4
l
3
f
o
gt
1
( )
— h — ß (x — ßl)
”
x = 1
’
=
l
S
1
43
a)
(
.
x
,
— ß*
.
Zu r Au s wertu n g
der obigen In tegra le ist es erforderlich
8 du r ch x y s l u n d h au s zu drücken ; wir haben z u diesem
Zwecke n och 1 als F u nktion jener fünf Gr ößen z u berechn en
Dies geschieht mit Hilfe der au s ( 1 42) sich ergebenden
qu adratischen Gleichu n g
,
,
,
,
.
R
’
l
(
au s
der
'
I
ß
-
'
—ßl + rﬁ
il
m an für den Au sdru ck
2
x
31
2
2
2 .
erhält
1
a
4
3
)
(
(
S
b
1
4
3
(
)
)
3
„
5
2
haben die po sitive Wu rzel gen ommen w eil au s ( 1 43) folgt
daß bei Bew e gu n g mit Unterlichtge schw in digkeit S stet s eine
po sitive Größe ist
Die In tegrale ( 1 42 a b) lassen sich nu nmehr au swerten
Wir erhalten im Falle (A) für Flächenladu n g
w ir
,
,
.
,
ß +V
Man
w
(
a
r
=
€D
44
1
( )
.
ich leicht da von daß dieser Au sdru ck
fu r da s skalare Potenti al ein e s gleichförmig bewegten Elektron s
mit dem au f ganz an dere m Wege in ( 1 1 2 e g) erhalten en
w
s
i
l
t
tt
dort
ei
übereins timmt ; e s steht hi er x
l
a
e
w
s
v
ß
hier ein im Rau me festes dort ein mit dem Elektron mit
Seiner Ab
bewegtes Bezu gssystem z u gru n de gelegt w ird
1 44) für das skalare
leitu ng gemäß gilt der Au sdru ck
Potential im F alle (A) au ßerhalb des ﬂäch enh aft geladen en
Elektrons Im Falle (B) tritt nu r 5 an die Stelle o n 5
“
Herrscht im Falle (A) das alte der Geschwin digkeit ent
“
s o herrscht im F alle (B
e
e
Fe
d
d
as
n
l
u
sprechen de Feld
)
„
w elche s ei n er gleichförmigen Bewegu n g mit der Gesch w in dig
keit h entsprich t
Die beiden Gebiete in den en das Feld sich du rch die
statio n are Bew egu ng de s Elektr o n s vor oder n a ch der u n
w erden
stetigen Än deru n g sei ner Ge schwindigkeit be stimm t
u berz e u gt
s
,
,
,
,
,
,
.
v
,
.
„
,
,
,
1
.
,
.
,
,
Kapitel
Dritte s
Mech anik
Die
.
der E lektro nen
227
.
offenb ar du rch eine W ellenz o ne voneinander getrennt sein
w elche du rch den Ge schw in digkeitsspru n g hervorgeru fen worden
ist
Das Gebiet der Welle ist eben dasjenige in dem der
Fall (0 ) statth at E s ist hier
,
.
.
f
l<
l <
daher
denn
—a
ß
l
<
die Werte v o n h w elche sich
den Werten
v on
zu ordn eten u n d es ändern sich
l
da j a 8 u n d R stets po sitiv sin d 1 u nd h stets in dem s elben
Sinn e Bei l r
wo ( 1 42 0 ) in ( 1 42b) übergeht liegt
(1
die Gren ze der W ellen z o n e gegen das n eu e Feld ; bei l r
w o ( 1 42 0 ) in ( 1 42 a) übergeht
geht die W ellenz o ne in das
Man h at demnach
a lte Feld u ber
es
wa
ren
l
f
l
a,
r
a
,
,
,
,
,
,
,
.
,
.
für
r
Z
a
das
für
1
a
r
Z
fu r
r
l
a
das
e Feld
a
die W ellenz o ne
n eu e Feld
alt
,
,
.
D i e b ei m Ge s c h w i n di gk e i t s s p r u n ge e rr e gte We ll e
b e s itzt e i n e Br e i te w e l ch e d e m D u rchm e s s e r 2 a de s
E l ektr o n s g l e i ch i s t S ie p fla n z t s i ch v o n d er S pr u n g
de s E l ektr o n s a u s m it L i ch t ge s ch w i n di gk e it
s te ll e
f o rt ; a u ß erh a l b de s a u ß e r e n R a n d e s de r W e ll e n z o n e
h err s cht da s a lte i n n erh a lb de s i n n er e n R a n de s da s
n e u e F e ld
Unsere Entw ickelu n gen beziehen sich au f ein en Au fp un k t
w elcher au ßerh alb de s E lektro n s li egt
Wenn w ir z u r Be
des in der W ellenz o n e herrschen d en Feldes die
s timmu n g
Au sdrücke ( 1 42c d) heranziehen so setzen w ir dabei still
s chw eigen d vorau s
daß die W ellenz o ne über das E lektro n
bereits h inw eggestrich en ist Da die größte Entfernu n g ein es
dem E lektr o n an gehörend en Pu nkte s v o m Ko o rdinatenu r s
ng
gleich
,
.
,
.
,
.
,
,
,
.
ist,
so
mu ß
228 E rster
Ab
sch nitt
Das Feld 11 die Bew egung der einz elnen E lektro nen
.
.
.
—G
ein damit
s
,
E s mu ß
als
Elektron sich ganz im
das
n eu
en Felde beﬁn de
.
o sein
z>
4
1
5
( )
*
z
D ann h at die W ellenz o ne sich vom Elektron lo sgelö st
un d das elektrom a gneti sche Feld der Welle w ird d u rch ( 1 42 0 )
im Falle der Flächenladun g du rch ( 1 42 d) im Falle der Volu m
ladun g gegeben
Wir w ollen die Feldstärken der W ellenz o ne u n ter der
An nahme bestimmen daß die E ntfernu ng ders elben v o n der
Spru ngstelle des Elektrons bereits groß gegen den Radiu s des
Elektrons ge w orden ist Alsdann brau cht m an bei der Diffe
d) n ach der Zeit un d
rentiatio n der Po te ntialau sdrück e ( 1 42 c
n a ch den Koordina ten nu r di eje nigen Terme z u berücksichtige n
w elche du rch die Differen tiatio n der I
n te gralgrenz e (l
9
)
entstehen ; die übrigen Terme verschw inden gegen diese in
dem Maße wie die Entfernun g vom Koordinatenu rspru ng z u
E s w ird
nimmt
,
.
,
.
,
,
,
.
8 (D
6
1
4
( )
”
ü
“
auz
äT
1
4
3
6
(
)
_
3 45
39
2a
aus:
e
°
e
_
e
2a
s,
ßg
20
e
bei Flachen
s,
h dllll 8
ß1
2 11 8 ,
8,
Hier sind u nter s„ s, die Werte z u verstehen w elche die
Großen S u nd S annehmen w enn 11 l r gesetz t w ird ;
o n h der Wert 1 v o n 1
daß die sem Werte
w ir w i ss en n un
u n d der Wert r v o n R sich z u ordn et ; es is t na ch ( 1 43)
,
,
,
,
v
,
1
3
4
6
0
}
=
31
1
(
3
11
0 0 5 (p
)
,
32 =
1
(
)
5
3
00
‘
P
2
)
Winkel an zeigt den der vom Koordinatenu rspru ng
W ir
au s gezogen e Fahrstr ahl r mit der x Achse eins chließt
erhalten demnach
w o (p
den
,
-
.
1
46
0
)
(
Bd)
“
"
37
l
e
"
ä?
r
—
1
(
ß,
co s <i>
r
—
l
(
ß,
co s c
p
"
r
2a
2a
ßi )
)
)
0 0 8 (p
1
(
-
ß
)
5 ‘
0
0
P
.
—ß‚
co s (p
)
Ab
sch nitt
E
r
s
ter
230
.
Das Feld u di e Bew e gung der einz elnen E lek tronen
.
.
ma gnetischen Potentiale das Zeichen u m E s w echseln mithin
die Feldstärken die Richtu ng ohn e jedoch ihren Betrag z u
Die Dichten der Energie u nd der Bew egu ngsgro ße
än dern
in de r W ellenz o n e bleiben bei die ser Ver tau schu n g der Ge
u n geä n der t
au s fol t das v o n
un d
Hier
s ch wi n di k eiten b
g
g
“
Ve rt a u s ch t
P Hertz au fge stellte Vert a u s ch u n g s g e s e tz
m a n di e R e ih e n f o l ge d er b e i d e m Ge s c h w i n di gk e i t s
i
n B e tr a cht k o m m e n d e n G e s chwi n di gk e i te n
sp ru n
e
g
u n d in
s o b l e ib t di e a u s g e s tr a h l te E n er gi e u n d d e r
„
a u s ge s tr a h l t e I m p u l s u n g e än d e rt
Wir könnten die En ergie W , u nd den Impuls
der
bei dem Gesch w indigk e itssp ru nge au sgestrahlt w ird du rch
Integration über die ganze W ellenz on e au f Gru nd der Formeln
1
4
7
a) berechn en
n
u nd
I
de
e
ßt
ich
ger
de
1
4
ss
n
a
a
f
u
6
0
l
ä
s
)
(
(
das Vertau schu n gsge setz ein e ein fachere Methode der B0
rechnu ng
Wir denken u n s zu nachst ein E l ek tr o n das vorher mit
h
i
rm i
w
der Ge schw indigkeit
l
e
f
o
be
w
e
a
r
p
ö
tz
l
i
ch
c
l
t
g
g
g
geh em m t E s w ird dann eine Welle v o n der Breite 2 a in
den Rau m h inau ss en den ; nach der Au ffassu n g J J Tho m s on s
w
v l 5 1 4 Schlu ß ) w ürde die s e s die Ar t s ein
i
beim
uf
e
A
( g
prall der K athodenstrahlen au f die Antikathode die Röntgen
E s se i nu n W di e Energie de s gleich
strahl en en tstehen
Nach der plötzlichen Hemmu n g
fö rm ig bew egten E lektron s
kann sich die gesamte En ergie des Feldes nicht än de rn da j a
die elektroma gneti sche Kraft an dem ru hen den Elektr on keine
Arbeit lei stet Wartet m an so lan ge bis die Entfern u n g der
W ellenz on e v o m E lektro n groß ge gen den Radiu s de s Elektrons
gew orden ist so ist die Feldenergie gleich der Su mme au s der
elektr o statischen Energie W o des Elektron s u nd der in der
W ellenz one enthalten en E nergie W „ E s ist
.
,
.
,
.
:
„
.
.
]
,
.
,
,
.
.
.
.
,
'
,
.
.
,
,
.
,
1
4
8
( )
d h di e
.
.
s ch u s s e
1) P
.
ge s t r a h l te E n e rgi e i s t g l ei ch d e m Ub er
d e r E n e rgi e de s b e w e gte n E l ek t ro n s üb e r
aus
He
rtz
.
Ph
y ik Z eit ch
s
.
s
r
.
4 , S 8 4 8 , 1 903
.
.
Diss ertatio n S 5 8 , 1 904
.
.
Dritte s Kapitel
.
di ej e n i g e
au s
de s
Mech anik
der E lek tro nen
23 1
.
r u he n d e n Im Falle der Flächenla dun g folgt
.
b
1
3
1
(
)
{
1
4
11
8
)
(
ein
Die
Au sdru ck ,
der im Falle
i
m
der V o lu mla du ng
mit
z u
mu lti
z
e
l
i
i
e
r
n
i
t
s
p
.
Betrachten w ir jetzt den u mgekeh rten Fall daß das Elek
tr on p lötz lich in Be w e gu n g ge s etzt w ird
E s ist das e in V o r
gan g der möglicherw eise bei der Emission der Radiu mstrahlcn
Dieser Fall geht du rch Vert au schu ng
an genähert reali siert ist
der Geschw indigkeiten 0 u n d 11 au s dem soeben erle di gten
hervor E s folgt demnach au s dem Vertau schu ngsgesetz
,
.
,
.
,
.
—2
W
b
1
4
8
(
)
}
die Energie der au sge san dten Wellenstrah lun g Wir sehen
Wi rd e i n E l ek tr o n p l ö tz l i ch i n B e w e g u n g ge
als o :
i s t di e E n ergi e de r e n t s a n d t e n We ll e n
so
s etz t
s tr a h l u n g g l ei ch d e m Ü b e r s c h u s s e d e r vo m E l e k t r o n
mi tge f ührte n E n ergi e üb e r s ei n e e l ek tr o s t a ti s ch e
E n e rgi e
Wir w en den u ns jetzt dem allgemeinen Falle z u indem
w ir v o n der für u n s er starre s E lektro n allgem ein gültigen
Relation (97) au sgehen Da Rotationen hi er nicht an genommen
werden so ist
für
.
,
.
,
.
,
di e Au ssa ge
jener au s dem En ergiesatz u nd dem Imp ulssatz
=
abge lei te ten Beziehu n g
t
e
n
d
Wir integrier v o n er Zei t 0
des Spru n ge s bis u ein er Zeit t z u der die Welle sich bereits
w eit v on dem Elek tro n entfern t h at
E s w ird da j a in die sem
Zeitintervall die Geschw indigkeit konstant gleich u, sein soll
.
z
,
.
,
,
232 E r ster
Ab
sch n itt
.
Das Feld 11 die Bew egu ng der einz eln en E lek tro den
.
Zeit 0 w aren W
Energie u nd mpu la des Feldes
Zeit t sin d die Gesamtw erte v on Energie u nd Impuls
Zu r
z ur
.
1
,
W, + W „
E s ist
s
u nd
omit
©i i
4
1
9
( )
'
Nach dem Vertau s chu n gsgesetz
gekehrten Fall eines Sprunges v on n
,
ist
nun
den
fur
u
m
auf
=
W21 W 1 2 1
E s folgt
als
o du rch Vertau schu ng
" 1 2 + W1
7
v on
n,
un d 11,
au s
1
4
9
( )
=
Ws
_
dem Falle w o 11 un d 11 parallel sind kann man au s
4
au sge strahl te E n ergie u n d die au sge strahl te
1
9
u
n
d
1
4
a
die
9
( )
(
)
Bewegu ngsgröße berechn en Nach Symmetrie sind hier die
den genann ten Vektoren p arallel ; w ir
Vektoren G„
verstehen un ter G„ G G ih re Betrage mit po sitivem oder
n egativem Vorzeichen
versehen je nachdem die Vektoren
in Richtu n g der Ach se oder in die entgegen ge setzte R1 0h t7m g
w ei sen
Au s den Gleichu ngen
In
,
,
,
,
.
1
,
,
-
.
W 1 2 + W2
W1 2 + W 1
fo lgt
"
W1
'
"
du rch Elimination
GI?
“
0
=
W2
c
v on
_
I
G
G
+
52 { 1 2
2
"
G1
G
G
+
ßl l l ﬂ
1
"
G2 }
W„
( W; W1 )
c (ß —ß.>
.
2
ß
i + ßl
=
W1 2
4
1
9
0
)
(
=
W
( i
"
oder
GI,
ßs + G
1
G
S
(
ß.
‚
W1 )
}
G1 )
2 0 51
52
Ga
“
G1
"
b e s tim m e n s i ch a l s o di e E n ergi e u n d B e
w e gu n gs gr öß e
w e l ch e
b e i e i n em oh n e Ri c h tu n ge
s t a tt f i n d e n de n
Ge s c h w i n di gk e i t s s p r u n g e
a n de r u n g
a b
a n ge geb e n e n
1
1
3
a u s ge s tr a h l t w erd e n
a u s de n i n
)
(
Wer te n f ür di e E n e rgi e u n d di e B e w e gu n gs gr o ß e
e i n e s g l ei ch f ö rm i g b e w e gte n E l ektro n s
E
s
,
,
,
.
Ab ch
r
E
r
s
t
e
234
s
n itt
.
Das Feld 1 1 die Bew egu ng der eins eh
en
.
E lek tro nen
.
chu n g ) gezogen w erden ; es h at sich ergeben daß di e
“
resultierende äu ßere Kraf t R w elche erforderli ch ist u m das
Elektron v o n der Ru he au s plötzlich au f di e Gesch w in dig
z u
keit
brin gen u nd in di eser z u halten für | h | c in
jedem Momen te eine endliche ist Diese Kraft ist nicht w ie
die Stoßkr aft der gewöhnlichen Mechanik eine u n en dliche
Kraft welche nu r im Au genblick des Stoß e s wirkt sondern
*
t
wo t der
sie verteilt sich über das Zeitin terv all 0
t
Zeitpu nk t ist wo das Elektron gerade au s der W ellenz on e
herau str itt Diesen Zeitp u nkt haben wir in ( 1 45 ) berechn et ;
er ist
1
su
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
*
,
,
.
20
1
0
5
( )
b,
c
wenn
h
für
h,
}
t> 0
.
ber jenes In te rvall erstreckten Zeitin tegrale der
u nd der Arbeitsleistu n g
Kraft
endlich sind folgt ohn e
weitere s au s den obigen Re su ltaten V o n der Zeit t an ist
das E lektron v o n dem station ären der gleichf örmigen Bewegun g
entsprechenden Felde u mgeb en so daß z u r Au frechterhaltu n g
der Bewegu ng kein e Kraft mehr erforderlich ist V o n jetzt
an sin d E n ergie u n d Bewegu n gs größe de s Felde s konstan t ; sie
haben die Werte
Daß di e
u
,
*
.
,
,
.
VV, + W01
bz w
Go„
.
welche sich n ach einiger Zeit in dem Felde des gleichförmig
bew egten Elektrons u nd in der entsan dten Welle v o rﬁn den
E s folgt demnach mit Rücksicht au f ( 1 48 b)
.
,
“
ﬂ
1
a
5
0
)
(
,
W„ + W,
d
t
)
= 2 ( W1
W,
W o)
_
{% ( )
1
ln
+ ß1
D i e ge s a m t e Arb e it b e i p l o t z li c h e r Fo r ts ch l e
de r u n g i s t do p p e l t s o gro ß a l s w e n n di e Ge s c h w i n di g
k ei t h a u f u a s i s t a t i o n är e We i s e err e i cht w o rd e n w ä re
*
Da in dem Zeitin tervalle 0 t t die Ge schwin digkeit 11
konstant gleich h ist so ist das Zeitintegral der äu ßeren Kraft
u
q
,
,
.
,
1) P
.
He
r tz
.
Ph
,
ysik Zeit ch
.
s
rift
1 904 , S 1 09
.
.
Diss S 6 0
.
.
.
Drittes
Kapitel
Die
.
Mechan ik
der E lek tro ne n
235
.
dem Betrage nach gleich dem du rch die Geschwindigkeit ge
teilten Zeitin tegral der Arbeit
2
W
( 1
W0) 1
_
mithin
a
b
1
50
)
(
8
dt =
'
{B
1
-
*
ß.
‘
1
ln
l
Der Impuls u n d die Ar beit der au ßer en Kraft h aben beide
einen endlichen Wert w o fem di e Geschwi ndigkeit die her v or
geru fen wird kleiner als die Lichtgeschw indigkeit ist
Geht man nu n z u r Grenze der Lichtgeschwindigkeit über
den Gleichu n gen ( 1 5 0 71 b ) zu folge die
so werden allerdin gs
Zeitin tegrale der Kraft u nd der Arbeit beide u nendlich E s
ist aber z u beachten daß dabei nach ( 1 5 0) die obere Grenze
der In tegrale d h die Zeit z u der die Welle das Elek
tro n überstriche n h at ins Unen dliche w ächst
Un d hierdu rch
das Un endlich w er den der Zeitin tegrale bedin gt
allein w ird
Z u j e d er e n d l i ch e n Z e it n a ch
w ie P Hertz gezeigt h at
de m S t o ß e b l e ib e n a u ch b e i E r re i ch u n g der Li cht
g e s ch w i n di gk e i t di e Kr a f t de r I m p u l s u n d di e
E n e rgi e e n d li ch
Unsere Dynamik des Elektron s schli eßt also keineswegs
die Möglichkeit au s daß in der Natu r mit Lich tgesch w in di g
keit bew egte Elektronen vorkommen sei es daß w ir die An
oder diejenige der V o lu mladu ng be
na hme der Flächenla du n g
Fr eilich liegen in diesem singulären Falle sehr ver
v o rz u gen
Da das E lektr on sich mit derselben
w ickelte Verhältni sse vor
Geschw indigkeit bew e gt wie die W ellen die es bei Erreichu n g
so kann man hier die
seiner Ge schwindi gkeit en tsan dt h at
Wellen strahlu ng v o n der Konv ek tio nsstrahlu n g n icht so ndern
Man mu ß beide gemeinsam betrachten u nd die Energie u nd
die Bew e gu n gsgro ße des ge samten Felde s in Rechnu n g ziehen
Au f den F all der Uberlich tgesch w in digk eit kommen w ir wei ter
u nten in
27 zu rück
.
,
.
,
,
.
,
,
.
,
.
.
,
,
.
.
,
.
,
,
,
.
.
,
,
,
.
,
.
.
236 E rster
6
2
5
.
Ab
Das Feld 11 di e Bew egu ng der einz elnen E lek tro ne n
sch nitt
.
.
Di e inn er e Kr a ft
e ine s
b e li eb ig b ew e gten E lek tr o n s
.
.
Wir haben in 5 24 die elektrom agnetischen Potentiale
eines beliebig bewe gten ku gelförmigen Elektrons du rch In te grale
nach dem Latens w e ge darge stellt
Der direkteste Weg z u r
Berechnu n g der inn eren Kräfte w are der au s jenen Formeln
das Feld u nd den Vektor
z u be stimmen
u n d du rch In te
atio n über das Volu men des E lektron s di e inn ere Kraft u n d
r
g
Drehkraft z u ermitteln E s ist A So mmerfeld ) gelu ngen die
Schw ierigkeiten die sich der Besch reitu n g dieses Weges ent
gegenstellen z u überwin den
Die Verk nüpfun g des du rch die Gru n dgleichu n g V ge
l
b
e
e
e
t
n
Vek
or
der
e
ek
rom
n
eti
che
r
pro
E
eit
n
t
s
a
s
K
a
n
f
t
i
n
h
g
g
der Ladu ng mit den elektromagnetischen Potentialen ist leicht
z u ﬁnden
Nach (28) u n d (29) ist
.
,
1
,
.
.
,
,
.
,
.
=
_
1
V di
85
1
cu rl u]
.
Führen w ir e in Bez u gssystem ein w elches die trans
lato risch e Bewe gu n g des Elektrons mitmacht so ist nach Bd I
Gleichu ng 1 1 6
,
,
die
.
,
di e sem
Bezu gssystem au s beu rteilte zeitliche An deru n g
Da
des Vektors
die Ge schw in di gkeit des Mittelp u nkte s
des Elektro ns vom Orte überhau pt n icht abh än gt so folgt
au s Regel
9 ) der Fo rmelz u sammen ste llu n
i
Bd
I
S
n
4
3
8
(
g
v on
.
V (ü0 5
E s ist
)
7
1
1
( 0
t
[o
end
demnach
7
und
5
,
n
5
( o
)
n
[,
0 u rl
Führen w ir die ses in den Au sdru ck des Vektors
s etzen an S telle v o n t w ied er die Vari able l = c t
,
1)
A
.
.
Gött N a ch r 1 904 , S 3 63 — 4 8 9
So mm erfeld
W etensch te
.
.
Am t
s e rdam
.
,
1 904
.
.
S 3 46 der
.
.
englis ch en
A
.
Ak
u sgabe .
e in
so
ad
.
er
v an
238
E rster
Ab ch
s
e e
Das Feld u di e B ew egung der einz ln
nitt
.
.
n
E lek tron en
.
Wie w ir w issen (v gl 5
las s en sich di e elektro
magnetischen Potentiale des Elektrons du rch einfa che nach dem
Latens w ege gen ommen e In te grale darstellen Wir wo llen schreiben
.
,
.
1
53
(
)
Dann wird bei re iner
,
Tr an slatio nsbew egu ng,
1
3
5
3
(
)
u n d,
h
x z
_
1
d1 ,
gemäß ( 1 5 1 a)
,
1P
‘
=c
{
DU
1
Diese Au sdru cke so llen nu n in ( 1 5 2 a c) ein geführ t w erden
bzw die
u n d es s o ll di e Integra tion über das Vo lu men
Fläche f vorgenommen w erden E s seien 33 bzw x die W erte
w elche der in ( 1 5 3) au ftreten den Größe x im Falle der Flächen
ladu n g bzw der V o lu mladun g zu z u schreiben sin d Wir setzen d ann
,
.
,
.
.
,
,
.
.
3
1
5
3
)
(
w ir
1 54)
Diese Mittelwerte v o n x in ( 1 5 2 3 c) einführend erhalten
im Falle der F l ä ch e n l a d u n g
.
=
g
Lim
hin gegen im Falle
Hi erbei
h, h
c
b
=a
de r V o l u m l a du n g
verstehen w ir u nter 2 den Fahrstrahl der v o n
irgendein em im Rau me festen Pu nkte nach dem Mittelp u nk te
,
Dritte s
Kapitel
Die Me ch anik der E lektro nen
.
239
.
Elektrons in seiner z u r Zeit t
eingen ommenen Lage
gezogen ist Den in ( 1 54) un d ( 1 5 4 a) eingehenden Gradienten
indem man die du rch 7 angedeu tete Ver
v o n x erhält m an
r ück u ng des Mittelp u nkte s vorni mmt u n d dabei 1 u nd 1 k o n
des
.
}
,
diese
der resultierenden inneren Kraft au s
gehen de Fu nktion x v o n 1 nach
ist die in ( 1 5 3) ein
z u w erten
den Angaben de s 5 24 z u berechn en u n d es sin d die dur ch
c
d
an gedeu teten Integratio nen über die Au sdehnu n g des
1
3
5
)
(
Elektrons au szu führen E s kommen dabei nu r solche Werte
für welche die u m den betre ffen den Au f
v o n 1 in Betra cht
p u nkt gelegte Ku gel vom Radiu s 1 das E lektr on in sein er z u r
l i
f
—
Zeit J ein genommen en Lage schn eidet Im Falle der Flachen
ladu ng ist di e Bedin gung hierfür die in ( 1 35 ) an gegeben e : E s
mu ß ein e Dreieck sbildun g au s den drei Strecken R 1 a möglich
Nach ( 1 36) ist dann die in ( 1 5 3) eingeführte Größe 1
sein
gleich 2 2R ; sie ist gleich Nu ll w enn kein e Dreieck sbildu ng
N u n kann ein u n d derselbe
au s jen en drei Strecken möglich ist
Au fp un k t für di e v o rge gan gen en Lagen des E lektrons b ald ein
inn erer u nd b ald ein äu ßerer se in so daß die Grenzen inner
halb deren v on Nu ll verschieden ist du rch ( 1 35 b) bz w
du rch ( 1 35 a) gegeben werden Au ch sind alle z u r Zeit t vom
Elektron bedeckten Au fpu nkte in Betracht z u z ieh en H iem ach
wären z u r Bestimmun g v on 2 bereits bei Flächenladu n g sehr
u m stän dliche Fallu n terscheidu n gen n otwendig
ter
hme
u
n
A
n
n
a
;
t o n V o lu mladu n g wären die selben n och zahlreicher
Diese Fallu nterscheidu n gen vermeidet nun Sommerfeld
du rch einen Ku nstgriﬂ er stellt die verschiedenen Wer te
mögli chkeiten v on
du rch ein en einheitlichen analytischen
Au sdru ck de r nach Art des Dirich letsch en di skontinu ierlichen
‘
Faktors Bekanntlich ) ist
Um
Au sdrücke
,
,
,
.
,
.
,
,
.
,
.
,
,
,
.
.
.
.
'
.
'
.
ä
für
|
o
x
r
1)
V gl Riem ann
.
-
W eber
.
Die
pa t
r
ä
0
.
Diﬂgl d math Ph ys
‘
.
.
.
.
.
I
,
1
3
S
29
5 ,
.
.
240
E rster
Ab
.
.
Betrachten wir jetzt
4
i
s n sa
-
sin s
.
das Produ kt
—1 ) + sin (a —R + 1 )
—sin s (a —R
R
vier Größen
V o n den
a
e
Das Feld 11 di e Bew gu ng der einz elnen E lek tro n en
sch ni tt
—
1
+R
a
,
—R +
—a —R —1
1,
,
—a +R+
1
i d drei positiv u nd nu r ein e ist negativ falls Dreieck s
bildun g au s den drei Strecken a R 1 möglich ist; ist hin
gegen die Dreieck sbildun g nicht möglich w eil eine der drei
Strecken größer ist als die Su mme der beiden an deren so
Das
sin d v o n den vier Gr ößen z w ei po sitiv u n d zwei ne gativ
Integral
s n
,
,
,
.
.
—
sin s a
sin s l b sin s 1
mithin gleich l} oder gleich Null je nachdem ein e Dreiecks
bildu ng mögli ch ist oder ni cht Wir könn en daher im Falle
der Flächenladu n g die Größe 75 du rch die ses Integral au s
drücken
ist
,
.
sin
so
daß das
a
1
55
(
)
sa
o
s in s 1
kalare Potential ( 1 5 3 ) wird
s
(D
11 1
i
ein s a s n s 1
Fall der V o lu mladung anbelan gt so konn en wir
ih n leicht au f denjenigen der Fläch enla du ng zu rückführen
in dem wir die Ku gel vom Radiu s a in Ku gelschichten zer
legen vom
a
us 2
v on
der Dicke dr u n d der Ladu n g
3
R
di
’
”
4 ar gr dr =
r dr
Schreibe
n wir in ( 1 5 5 a) st att 0 jetzt r
i
W as den
,
,
,
.
,
t tt 6 jetzt ;f
s a
”
r dr,
,
so
entsteht du rch In tegration
nach r
das
E rster
242
Ab
s ch nitt
Pun kt P
.
au f
Das Feld 11 di e Bew e gu ng der einz elnen E lek tr o nen
.
.
der Oberﬂäche der Ku gel vom Ra diu s b Ist
endlich der Win kel welcher in
dem Dreieck au s den Str ecken
R T b der Seite R gegenüber
liegt so gilt
.
,
,
,
,
2 1) T
’
T + b
co s
—R’
’
.
Schr eitet man län gs der
Ku gelﬂäch e fort s o sin d T u nd 1)
,
konstant
z u
halten ;
folgt
es
in € d é =
s
Demnach
kreisen u nd
ist
Rd R
.
der Flächeninhalt ein es
d be gren zten Str e ifens
v on
Breiten
2 1: b R d R
Da
nu n
konstant
ist,
längs e ines
so
olchen Str eifen nach ( 1 55 ) die Große
könn en wir für den Mittelwert ( 1 5 3 0 ) schr eiben
s
Diese Grenzbestimmu n g gilt sowohl dann w enn M inner
halb wie au ch dann w enn M au ßerhalb der Ku gel vom
Radiu s b liegt Au s ( 1 5 5 ) u nd ( 1 5 6) folgt jetzt
,
,
,
.
=
x,
1
n
T
ab
p
sm s a s m 8 1
wenn abkürzu ngsweise gesetz t wird
Rein
es
ﬁn det
s
3{
—
=
sR
-
co a s
T
(
—
b)
co s s
ich
ein s
T
sin s b,
T
( +
Drittes
so
daß man
1
6
a
5
)
(
s
Kapitel
Die
.
chli eßlich
f
x
,
Mech anik
der E lektro ne n
243
.
erh ﬂ t
i
ein s a sin s b
s n s1
0
er ku gelförmige s Elektron läßt sich au ch im Falle
der V olu mladu ng die du rch ( 1 5 3 d) postuli erte Mittelwerts
bildu n g ohn e Schwierigkeit du rch führen In dem Au sdru ck
i
R
o
i
d
1
5
v
n
e
u
r
e
n
I
t
r
d
5
0
s
t
s
n
der
F
ktor
s
e
e
n
a
a
n
(
12
g
)
B
der für die vers chiedenen Pu nkte de s E lektrons ein en ver
s chi edenen Wer t h at
Der Mittelw ert dieses Fakto rs berechnet
s ich nu n für das Vo lu men der Ku gel in ganz ähnlicher Weise
w ie oben für die Ku gelﬂäch e
E s ist
Für
u ns
.
s n S
,
.
,
.
,
:
a
,
s
s
R
0
m
sin S
r dr
IT
—
r
87
a
l
{
“
8T
R dB
ein e n
—s a
co s s a
(s a )
Demnach erhalten wir
1
b
6
5
(
)
ein 8 1
x,
rhaltenen Mi ttelwerte ( 1 5 6 a b) v on x in
die allgemeinen An sätz e ( 1 5 4) u nd ( 1 5 4a) für die innere Kraft
einführen gelangen wir z u den S o m m e r f e l ds c h e n F o r m e ln
In dem wir die
so
e
,
,
”
D
'
f
;
Mai
.
;
1
}
i
ein s a sin s b s n s 1
r
r
E
s
t
e
244
Ab
sch nitt
s1
.
Das Feld u die Bew egun g der einz elnen E lek tronen
.
{
1
3
3
sin era
sm s a
e
eo s s a
d
}
8 11 1
.
a sm 8 T
31
‘
1
37
1
(
_
—s a co s s a
“
w
)
(
D i e s e F o rm e ln s t e ll e n di e vo m k u ge lf o r m i ge n re i n
tr a n s la t o ri s ch b e w e gte n E l ek tr o n a u f s i ch s e lb s t a u s
ge üb te Kr a f t i m F a ll e h o m o ge n er F läche n la d u n g u n d
h o m o ge n er V o lu m la du n g i n a ll ge m e i n s te r We i s e de r
In sein er Mitte ilu ng in den Göttinger Nachr ichten h at
Sommerfeld die Integration en nach 8 au sgeführt ; dabei gelangt
der in 5 1 7 er w ähnte Umstand z u r analytischen Form u lierun g
daß die inn ere Kraft du rch die Bewegu ng des Elektrons in
einem endlichen dem betrachteten Zeitpu nkte u nmittelbar
voran gegangen en In tervc bestimmt ist wen igstens dann
w enn die Bewegu n g dau ern d mit Un terlichtgeschw indi gkeit
oder mit Uberlich tgesch w in di gk eit erfolgt ist Au snah mefälle
tr eten dann ein w enn das Elektron sich zu erst mit Überlicht
geschwin digkeit u n d dann mit Unterlichtgeschwin digkeit be
w e gt oder gar die Richtu n g u mkehrt ; dann können o ffenb ar
Wellen die v o m Elektron selb st in ein er län gst vergan gen en
Epoche en tsan dt w orden sin d ein e Kraft au f dasselbe au s
üben
Alle denk b aren Fälle werden du rch die obigen Formeln
in ein en einheitlichen analytischen Au sdru ck zu sammen gefaßt
so daß die Ermitte lu ng der inn eren Kraft für eine gegebene
Bew egu n g nu r noch ein e Sache der Rechnu n g ist
Sommerfeld h at au ch di e Drehkraft u n d die Rotations
bewegun g in entsprechender Weise behan delt V o n größerem
Interess e ist jedoch die An w endu n g au f translatori sche Be
we gun g mit Uberlich tgesch w in digk eit
der w ir u ns jetzt z u
w en den w ollen
h t Am t d m 1 3 S 43 1
W t
1 ) A S mm f ld Ak d
,
.
,
,
,
'
.
,
,
,
,
.
,
.
.
.
.
o
er e
.
a
.
v
.
e e nsc
.
e
s er
a
.
.
.
.
246 E rster Absch nitt Das Feld 71 die Bew egu ng der einz elnen E lek tro nen
.
.
so
erhält
.
man
0
b
1
8
5
(
)
sm s 1
d1
s
;
für
ß<
für
1
>
ß
l
.
die innere Kraft Nu ll sowohl im Falle der
Flächenladu ng wie im Falle der V olu mladu ng E s folgt das
D i e g l e i ch f ö rm i ge g e r a d
u n s bere its bekannte Resu lta t :
l i n i ge B e w e g u n g m i t U n te r l i chtge s chw i n di gk e it i s t
e i n e k r äf t e f r e i e B e w e g u n g de s E l ektr o n s
Für 8
1 hin gegen folgt au s ( 1 5 8) u nd ( 1 5 8 b) für den
Fall der Flächenladu n g
Fu r
1 ist
,
,
.
.
ein s a s in s b
.
In te gra l
Um das
Inte grationsintervall
Es
w
ch s au szu w erten teilen wir
zw ei Teile 0 < 8 6 u n d 3 < 3
na
in
das
00
,
.
ird
i
s n sa
s in s b =
—
—
co s (b
a) s
Für die Diﬁer enz
Einführ u n g der
s m s a sin s
b
b
( +
a
?
co s
,
V ariabeln p
b
a
l
s
bz w p
.
|
—
a
s
b
(
a
)
(b + a )
dp
P
b
.
der beiden letzten In tegra le folgt
s
s
)
3
P
l
(b + a )
+
s
1
_
_
2
00 e p
— 1)
dp
l
_
—
,
ln
(
b+a
—
a
b
I
)
)
(b + a)
na
s,
ch
e Kapitel
Dritt
s
Mech anik
Die
.
der E lek tronen
.
D ur ch Su mmation folgt
—
sm s a
sin s b =
m)
ä (u
-
ln
!
— sm
s a sin s b
(b + a )
a
lt
—a l
Diesem Au sdru cke proporti onal ist die Kraft w elche das
ﬂach enh af t geladen e Elek tr on au f ein e mitbewegte konzentri sche
mit derselben Ladu ng versehen e Ku gelﬂäch e vom Radiu s b
In dem wir die gan z beliebig z u wählende Größe 3
au sübt
gegen Nu ll konvergieren lassen erhalten wir als Wert die ser
,
,
.
,
d
8
1
5
)
(
=
e
e
’
’
ß
b+a
1
für
Die Kraft welche die Ku gel a au f die konzentrische Ku gel b
u n d u m gekehr t au ch die Ku gel b au f die Ku gel a bei gemein s am er
gleichförmiger Tran slation m it Uberli ch tgesch windi gk eit au sübt
wirkt stets der Bewegung entgegen Ihr Betrag ist ein en d
licher falls die Radicn der beiden Ku geln verschieden sin d
Füh rt m an in de ssen den Grenzübergan g z u m Falle zweier
Ku geln v on gleichem Radiu s au s u m di e inn ere Kraft des
ﬂäch enh af t gela den en E lektron s z u berechn en so ﬁn det m an
daß die Kraft logarithmisch u n en dlich wird
Man schließt
hierau s : D i e g l e i ch f ö rm i ge B e w e g u n g e i n e s ﬂ äc h e n
h a f t ge l a de n e n k u g e lf ö rm ige n E l ek tr o n s m it Ü b er
l ich t ge s ch w i n di gk e it er f o rd er t e i n e u n e n d li ch e Kr a f t ;
s i e i s t s o m i t p hy s ik a l i s ch u n m o gl i c h
Zu m Falle der V olu m la du n g u bergeh en d erhalten wir
au s ( 1 5 8 a b )
,
,
.
,
.
,
.
.
,
—
l
ß
'
a
_
{
ein e
—
m 11 a
co s s a
}
hier au ftretende Integral nach 3 erhält man nach
Einfüh ru n g der V ariabeln p a s du rch einige Umformu n gen
Fu r das
,
,
248 E rste r
Ab
sch ni tt.
Das Feld 11 die Bew e gu ng der einz elnen E lek tron e n
.
.
0
s in
(
sin
p
(
co s 1)
1
sin
2
p
(
p
—p
00 3
—
ein 1 9
p
2p
’
co s
co s
2p
_
p
ein
p)
2
p
sin
1
)
ein
3
?
“
i
n
(
P
p
00 8
P)
)
p)
2p
1
D aher wird schließlich
1
(
1
5
8
0
)
(
1
)
B
?
die der Bewegun g entgegenwirkende in nere Kraft im Falle
der V o lu mladu n g Wir sehen als o
D i e g l ei ch f ö rm i g e B e w e g u n g de s m i t g l ei ch
f o r m i ge r V o l u m l a du n g er f üll t e n E l ektr o n s m it Ü b er
l i chtge s chw i n di gk e i t i s t z w a r k e i n e k r äf t e f r e i e B e
w e gu n g a b er di e e r f or d er l i ch e äu ß ere Kr a f t h a t e i n e n
e n d l i ch e n B e tr a g s o da ß B e w e g u n g m i t Ü b e r li ch t
ge s chw i n di gk ei t b ei V o l u m la du n g p hy s ik a l i s ch de n k
Der Betrag der Kraft steigt mit w achsen der Ge
ba r i s t
sch w indigk eit a n u n d kon vergiert gegen den Gren z w ert
.
,
,
.
Q
{
9
{
4
e
0
’
2
;
derselbe ist gleich der Kraft w elche zw ei ru hende Pu nkt
a a u fein an der an sa h en
ladu n gen e im Ab stan d
%
Die hier zu tage tretende prinzipielle Verschiedenheit v o n
Flächenladun g u nd V olu mladu n g des alls eitig symmetrischen
Elektr ons ist u m so bemerkensw erter als bei Unterlich t
geschw in digkeit das Verhalten des Elektron s in beiden Fällen
,
.
Zw eite Ab ch nitt
25 0
s
r
E lek trom agnet
.
.
Vo
in w ägbar en Körp em
rgän ge
.
Zw e i t e r A b s ch n i tt
.
Elek tromagneti sch e V orgänge in w ägbaren Körp em
.
E r s te s K a p i te l
.
Ru h ende Körp er
.
e
8
2
5
Ab l itu n g de r H au p tgl e i ch u nge n
.
au s
de r E l e k tr o n e n
o
Im ersten Ban de die s e s Werke s (5 5 9) haben wir die
Hau p tgleich u n gen der Maxw ellschen Theorie für ru hende
Körper en twickelt Der dort ein genommene Standpu nkt w ar
derjeni ge der Phän omen ologie w elche sich mit der D arstellu n g
der beobachteten Erscheinun gen begnügt u n d ein Ein gehen
au f
ablehnt
atomi sti sche Vors tellu n gen
Bei den meisten
elektromagn etischen Vorgän gen im engeren Sinne insbeson dere
bei denjeni gen die in ruh en den Körp em stattﬁnden erweist
sich die phän omen ologi sche Behan dlu n gsweis e als au sreichen d
u n d sogar du rch ih r e größere Einf ach heit als der atomistis chen
Au ffas su ng überlegen
N u n h aben w ir aber ge w i sse Erscheinu ngen der Kon
welche sich nu r vom ato
v ek tio nsstr ahlu n g kenn en gelern t
m istisch en Stan dp u nkte au s befriedi gen d haben deu ten lassen
Wir haben gesehen daß die n egativen Elek tronen die wir in
u n d Radiu m str ahlen
als
bew egt ann ehmen
den Kathoden
au ch bei der Lichtstrahlu n g der Korper eine Rolle spielen
Wir wollen u ns in de ssen hiermit nicht begnügen ; wir wollen
v e rsu chen die elek trom a neti schen u n d opti schen Ers chein u n gen
g
in ihrer Ge sam theit au f Gru n d der Elektronen theorie z u be
greifen Wir m üssen z u diesem Zwecke zu nächst den Nach
wei s führen daß die H au p tgleich u ngen der E lektrodynamik
sich au s den Gru n dgleich u n gen der E lektron en theorie ableiten
lassen
th e r i e
.
.
.
,
,
.
,
.
,
,
,
.
,
»
.
,
.
E rstes
Kapitel
Ru h ende
.
Körpe
r
25 1
.
Die Elektron entheorie kenn t nu r das elektr omagn etische
Feld im Ath er w elches du rch ru hen de oder konvektiv bew egte
Elektronen erregt wird Sie ni mmt an daß dieses elektro
magn etische Feld au ch im Inn ern der p o nderablen Körper
besteht oder wie man z u sagen pﬂegt daß der Ath er
die p o nderablen Korper du rchdrin gt Daß die elektrischen
u n d m a gn etischen Eigens chaften der Körper v o n denjeni gen
de s leeren Rau me s ab w eichen wird darau f zu r ückgeführ t daß
Elektr onen sich im Inn ern des Körp ers beﬁn den Die Leit
“
f ähigkeit der Körper w ir d du rch
L e i t u n g s e l ek tr o n e n
erklärt welche en tweder wie in den Metallen frei bew egli ch
oder wie in den Elektr olyten an neu trale Ato m oder Molekül
gru ppen gebu n den sein k önn en ; diese w andern im Körper u n ter
der E inwir ku n g elektrischer Kräfte über größere Strecken h in
u n d bilden so ein en elektr i s chen Leitu n gsstrom
Die elektrische
Polarisation der Dielek tr ik a w ird au f n egative Elektr on en
zu rückgeführt welche an die po sitiven gebu n den sin d u nd mit
ihn en zu sammen elektrische Dipole bilden Die Bewegu n g
“
dieser Po l a r i s a t i o n s e l e k tr o n e n in veränderli chen elek
tr ischen Feldern wird ein en elektri schen Strom ergeben w elcher
den au f die Materie entfallen den An teil de s V erschiebu n ge
Führ en die gebu n denen n egativen Elektr on en
str ome s bildet
ferner u mlau fen de Bewe gu n gen u m die po sitiven au s so geben
ein er Magneti sieru n g des Körpers Veranlassu n g u n d
sie z u
“
w erden d ann
Ma gn e t i s i e r u n gs e l e k t r o n e n z u be
als
zeichn en sein E s werden allerdin gs au ch die freien Elek
tr o n en im m agn etis chen Felde sich in gekrümmten B ahn en
bew egen u n d so di e Rolle v on Magn etisier un gselek tro n en
spielen könn en
Die v o n den einz eln en Elektronen erre gten Felder au f
welche sich die Gr u n dgleichu ngen des 5 4 (I bis IV) b eziehen weis en
H at
a u ß erorden tlich große r äu m li che Un regelm äßigkeiten au f
doch das Feld des ru hen den Elektrons in den beiden E n d
pu nk ten ein es E lek tron endu rch m e sser s die en tgegen ge setzte
Richtu n g En tsprechende starke zeitliche Schwanku n gen der
Feldstärken w erden den Gru n dgleichu n gen zu folge an einem
,
.
,
,
,
.
,
,
.
„
,
,
,
,
.
,
.
„
,
.
„
.
.
,
,
.
.
Zw eite Ab ch nitt
25 2
s
r
.
E le ktro magnet
.
Vo
rgänge
in w ägbaren
Körp em
.
im Ra u me festen Pun kte au ftreten wenn ein Elektron sich
Wir erwähnten bereits in 5 4 daß
über ih n hin weg bewegt
die Felder deren Existenz die Gru n dgleichu ngen po stu li eren
der direkten Beob achtu n g u n zu gänglich sin d E s sin d imm er
nu r die Mittelwer te
au f w elche die B e ob a chtu n gen s ich be
ziehen Die Mittelw ertsbildu n g über die Felder der einz elnen
E lektron en wird u ns z u den H au p tgleich u ngen der Maxwells chen
Theorie füh ren u n d wird u ns zeigen wie die dor t au ftreten den
Vekto ren mit den in den Feldgleichu n gen der Elektr on en
theorie au ftretenden beiden Vektoren zu sammenhän gen
Wir wollen die Bezeichn u n gen
für die in den Hau pt
gleichu ngen au ftr etenden Feldstärken der beob achtbaren Felder
res ervieren u n d daher u m Verw echselu ngen vorzu beu gen für
die elek tromagnetischen Vektoren w elche du rch die Grun d
gleichu n gen (I bis IV) der Elektron entheorie mitein an der ver
knüpft sin d jetzt die Beze ichnu n gen r einfüh ren Jene Glei
chu n gen sind dann z u schreiben
,
,
.
,
.
,
.
,
.
,
,
,
,
,
c u rl i
I
()
I
I
( )
cu rl t
=
1
8
—
+
=
1
8
I
di
I
I
v
( )
I
V
( )
2
.
4
4 75 9 ,
=
b
div
0
.
die sen Feldgleichu n gen h at H A Lorentz für den
allgemei nen Fall e in e s be w egt en Körpers die H au t leich un e n
p g
g
der Elektrodynamik du rch Mittelw ertsbildu n g abgeleitet )
Wir w erden in diesem Paragraphen die en tsprechen den E nt
w ickelu n gen für ru hen de Körper du rchfüh ren
Hi er ergeben
alle
au f
dem Boden der N ah ew irk u n g stehenden Theorien
dasselbe während in der E lektrodynamik be w egter Körper
w ie w ir sp äter sehen w erden
z w ischen den verschiedenen
Theorien gew isse Abw eichu n gen v orhanden sin d
Au s
.
.
?
.
,
,
,
.
1)
S 3 05
.
.
H A
.
.
Lor entz
.
Ak
a d v an
.
W eten sch ap en te
Am t
s erdam
1 1 , 1 9 02,
E nz ykl d m ath em W is sen s ch Bd V , Art 1 4 , N r 26 —3 4
.
.
.
.
.
.
.
.
25 4
Zw eite Absch ni tt
r
.
E lektrom agnet
.
Vorgänge
in w ägbaren Körp em
.
Bei der Vergleichu ng der Mittelwerte welche z u zwei
verschi eden en Zeiten in ein em u nd demselben Punkte herrschen
ist selbstverstän dlich der Ra di u s der Ku gel konstant z u halten
,
,
daß man h at
so
1
5
a)
9
(
i d de m n a ch Mi tt e l w e r ts bi l du n g u n d D i ff e
r e n t i a t i o n n a c h d e r Z e it m i t e i n a n de r v e rt a u s ch b a re
Das gleiche gilt v o n den Operation en der
O p er a ti o n e n
Mittelw ertsbildu n g u n d der Differen tiation n ach den Ko ordi
Hierbei handelt es sich u m die Vergleichu ng der Werte
n a ten
v on 9
welche in zwei benachbarten Punkten P u nd P de s
Rau mes z u ders elben Zeit bestehen E s sin d dabei die Mittel
wer te 5 du rch zwei u m P u nd P ges chla gene physikalisch
u n endlich kleine Ku geln v o n dem glei che n Radi u s deﬁni ert
Demgemäß ist z B
E
s
s n
.
.
'
,
.
'
.
Qg
8 a:
_
_
3 / dv
8 a: v
deres als die du rch Verrückun g der Ku gel parallel
Achs e bedingte Verän deru n g des V olu mintegrales v o n g
der
div idier t du rch das Volu men der Ku gel Diese Ve ränderun g
läßt sich darstellen als herrühren d v o n den (po sitiven oder
derjenigen V o lu melemente welche die
n e gativen) Beiträgen
O berﬂ äche f der Ku gel bei der Verrücku ng be streicht E s folgt
ni
chts
q
.
.
an
-
,
.
.
3
An derseits ist
v on
na
g
ch
1
dﬂ
der Mittelwert der Differentialqu otienten
x
%
q(
1
co s
3
so
daß m an
v
)
w df,
erhält
83
1
b
9
5
)
(
0
75
55
.
i d a ls o wie behau ptet au ch di e r a u m l i ch e
D i f f ere n ti a ti o n u n d di e Mi t t e lw e r t s b i l du n g m i t
e i n a n der v ert a u s chb a r e O p er a ti o n e n
E
s
s n
,
,
.
E rstes
Kapitel
Ru h en de
.
Kö p e
r
r
25 5
.
Gru nd der Regeln ( 1 5 9 a b) ergeben sich du rch
Mittelw ertsbildu n g au s I bis IV die Diﬁerentialgleich u ngen
Au f
'
s
I
( )
cu rl ii =
a
H
( )
O ll l l C
3:
1
4
=
}
t
g ,
3
—
'
-
2
div
4 az g
=
W
div
0
a
)
b
(
In dem di e Mi ttelw erte fu r phy sikal isch u n en dlich kleine
Bereiche gebildet w u rden sin d die ras chen u nd regello sen
räu mlichen Än deru ngen des Feldes w elche du rch di e ato
mistisch e Stru ktu r der Elektrizität u nd der Materie be dingt
s in d
herau sgefallen Man kann daher bei der Berechnu n g
des cu rl u n d der Divergen z der Vekto ren
u n d 5 u nter da
d y d3 sta tt m athemati sch u n en dlich klein er Str ecken au ch
physikalis ch un en dlich klein e Strecken verstehen Fern er kann
m an die Mittelw ertsbildu ngen w ie über den Rau m so au ch
ü ber di e Zeit erstr ecken u nd u n ter dt e in
p hy s i k a l i s c h
“
u n e n d l i ch k l ei n e s Z e i ti n t erv a l l
verstehen das heißt e in
verschwin dend gerin ge
s olch es
in w elchem die Vektoren e
zeitliche Än deru ngen erfah ren
Wir betrachten zu nächst den idealen Fall daß der Korper
n u r Leitun gs elektr o n en enthäl t
D ann gilt
I
I
I
a)
(
,
.
,
.
:
,
,
.
„
,
,
'
'
.
,
.
6
0
1
)
(
Die beobachtbaren Dichten der Elektrizität u nd des
Leitu n gsstr omes
1 s in d dann einfach gleichz u setzen den
Mittelwer ten der Dichten der Elektr izität u n d des Ko nv ek tio ns
berechnet für physikali sch u n endlich kleine Volu m
strome s
elemen te Nehmen w ir ein e Reihe verschiedener Elektronen
v o n den L adu n gen e
den au f die Volu m
arte n an
e,
e,
einheit b erechneten Z ahl en N N N ,
un d den mittleren
Geschwin digkeiten h„ h, s„ so h at man
.
,
,
,
1
a)
6
0
(
1
b
0
6
)
(
.
,
.
Zw eite Abschnitt
25 6
r
E lektrom agnet
.
.
Vo rgänge in w ägbaren Kö p em
r
.
ein en idealen Leiter der weder elektrisch polarisierbar
n och m agneti sierbar ist n ehmen die H au p tgle ich u n en der Max
g
w ellsch en Theorie eine sehr einfache Form an ; es wird nämli ch (5
mit 8 iden tisch Im allgemein en Falle aber sin d zw ei
m it 4 rz
Paare elektrischer u n d m agn etis cher Vektoren (au ßer 1) in den
E s kommt jetzt
H a u p tgleich u n gen z u u n terscheiden (v gl I 6
gerade darau f an den Zu sammenhang dieser Vekto ren mit e u nd
richtig z u erfassen u n d den Unterschied zwischen wahrer u n d
vom
freier E lektriz ität sowie w ahrem u n d freiem Stro m s
Standpu nkte der Elektronentheorie au s z u verstehen Im H in
blick hierau f w ollen w ir die An te ile v o n 5 u n d T( E in Betracht
ziehen welche v o n den an einan der gebu n denen po sitiven u n d
n egativen E lektr on en herrüh ren
Für ein elektr i sch n eu trales Mo lekül ist di e Ge samtla du n g
Nu ll Au ch bildet die fortschreitende Bewegun g ein es solchen
Mo lek üle s kein en Leitu ngsstr om Denn och kann die gegen
s eitige Verschi ebu n g der E lektron en im Molekül z u ein er Ab
än deru n g des Mittelw ertes 5 der räu ml ichen Dichte Ver
der j a du rch ein e im Rau me feste physi
anl assu n g geben
kalisch u nendlich kleine Ku gel deﬁniert w ar Au ch könn en
di e inn eren Bew e gu n gen der Elektr onen sich du rch ein e
Än derun g des Mittelw ertes (Tu der Stromdichte bemerkbar
machen
W ir n enn en das über das Volu men ein es Molek üles er
s treckte In te gral
Fur
,
,
.
.
,
' '
,
,
.
.
.
.
,
,
.
“
.
6
1
1
)
(
1
1
t
di)
e l ek tri s ch e M o m e n t de s Mo l e k u l e s indem wir u nter r
den v o n ein em fe sten Pu nkte 0 des Mo lek ül es au s gezogenen
Fahrstrahl verstehen H at man es mit ein em au s zwei Pu nkt
ladu n gen be stehen den Dipo le z u tu n so ist 11 das Momen t
des Dipole s
Wir w ollen in dessen die allgemein ere Annahme m achen
daß sich in jedem Mo lekül e
Elek tr on en v on den Ladu n gen
beﬁnden Das elektrische Moment des Mo lek üles
e
e„ e
ist d ann
das
,
.
,
.
,
,
,
„
.
25 8
Zw eite Absch nitt
r
.
E le ktromagnet
.
Vo
rgän ge
in w agbaren Körp em
.
Diese Moleküle sin d es welche bei der Herstellu n g der
Momen te ( 1 61 a) Elektr on en erster Ar t du rch df sen den u nd
zw ar im Sinn e derjenigen Normalen w elche mit r einen
Die gesamte bei der Herstellu n g
spitz en Winkel e in schließt
de s Momente s mit de n E lektro n en erster Ar t du rch df im
Sinne der Normalen tr eten de E lektrizitätsmenge w ird du rch
,
,
,
,
.
N
e, r, .
df
ch dem Vorzeichen nach richtig an gegeben Die An te ile
der verschiedenen Elektronen su mmieren d erhalten wir
au
.
df =
v
$
v
df
die ge samte bei der Herstellu n g der Momente du rch df
treten de Elektrizität D abei stellt
N i) di e Vektorsu mme der
Momen te aller in der Vo lu meinheit enthalte nen Moleküle der
Da s erh alten e Resu ltat gilt au ch dann w enn die in ein em
physikalisch u n endlich klein en V o lu melement liegenden Mole
k üle nicht alle da s gleiche elektri s che Momen t be sitzen Man
h at di e Betra chtu n g dann a uf jede Gru ppe gleichartiger Mole
k üle an zu wende n u n d die An teile aller Gru ppen z u su mmieren
In die sem allgemein eren Falle ist dann
f ür
,
.
.
,
.
.
6
1
0
1
)
(
etzen
Die ser Vektor stellt die au f die Volu meinheit berechn ete
“
d
n d e m di e E l e ktr o n e n
e
ek
ri
ch
e
P
o
l
r
i
a ti o n
ar
I
t
a
s
l
s
„
the o ri e d i e Po l a ri s a t i o n e i n e s Di e l e k tr i k u m s a u f di e
Ve r s chi e b u n g d er ge b u n d e n e n E l ek tr o n e n z u r ück
f ühr t v e r l e i h t s i e d em Vek t o r 13 d e r im e r s te n B a n d e
4 1 ) e i n ge f ü hr t w u r de e i n e k o n kre t e p hy s ik a l i s ch e
Be deu t u ng
Die bei der Polarisation des Dielek triku ms du ch ein im
Rau me festes Flächenelemen t d h in du rch tr etende Elektrizität
Demn ach ist
wird du rch
df an gegeben
z u
s
.
.
,
,
,
.
r
.
1
6
2
( )
d er v o n de n Po la r i s a t i o n s e l e k t r o n e n herr üh re n d e An
t e i l d e r S tr o m di cht e E r stellt den Vorstellu n gen der
.
,
E rste s
Kapitel
.
Ru h en de
Kö p e
r
r
25 9
.
Elektronentheorie nach den an der Materie haftenden Bestand
teil des V emch iebnn gsstr o m es de r (v gl I S
Bei der Herstellu n g der elektris chen Momente der Moleküle
ist die Elektr izitätsmen ge
,
.
iv
.
d
v
$
du rch ein e geschlossene Fläche herau sgetr eten Vor Her
w o di e L adu n gen e
stellu n g de s Momen t s
c all e in
e,
e
dem Mittelpu nkte 0 des Mo lek üles lagen gin gen nach ( 1 6 1 b )
v o n dem ein zeln en Moleküle überh au pt kein e Kraftlini en au s
die mittlere Dichte der Elektrizität in jedem physikalisch
Da nu n bei
u n en dlich klein e n Bereiche
w ar gleich Nu ll
Herstellu n g der Momente die soeben berechnete E lek triz itäts
menge au s dem Rau me v herau sgetr eten ist so erh alten w ir
für den v o n de n Po l a r i s a t i o n s e l e k t r o n e n h err ü hre n d e n
An tei l der e l ek t ri s c he n D i chte
.
,.
,
,
,
,
.
1
6
a
2
)
(
41
Die Au sdr ücke ( 1 62) u n d ( 1 62 a) der v o n den Polarisations
elektron en herrühr enden Dichten des Stromes u n d der Elek
triz ität erfüllen wie es sein mu ß die Ko ntin u itätsbedingun g
,
,
6
b
l
2
)
(
dem Mittelpu nk te 0 eines Mo lek üles
au s z w ei entgegen ge setzt
gleiche Radienv ek to ren r u nd r
konstru iert u nd an ihren Endp un kten gleiche Ladun gen e 0,
fern er im Mittelpu nkte s elb st di e Ladu n g
an gebra cht
Man denke sich
v on
,
,
,
,
elektri sche Moment die ses Systemes wird
gleich Nu ll sein so daß solche Molek ül e z u r Polarisation des
L assen wir nu n die
Dielektrik u m s kein en An teil liefern
Ladu ngen e, 8 u m den Mittelpun kt O u mlau fen so w ird ein
Po lari satio n sstr om die se Umla u fsbew e gun g n icht begleiten
Doch wird die Umlau fsbew egu n g w enn sie genügen d schn ell
erfolgt sich als eine Magn etisieru ng des Ko rp ers k u ndgeben
beﬁn dlich
.
Da s
,
.
.
,
.
,
.
17
*
Die Elektr onentheorie verfolgt das Ziel du rch solche u mlau fen de
Bew egun gen der Elektr on en die Magnetiüeru ng der Körper
z u
erklären in dem sie die Bestr ebu ngen v on Ampere u nd
W Weber wieder au fn immt
Wir deﬁnieren allgemein das m a g n eti s che M o m e n t
e in e s e lektri sch n e u tralen Mo lek ül e s du rch
,
,
.
.
1
3
6
( )
v
g[
rt
]
dv
Haben w ir 91 als Punk tladun gen
tro nen im Moleküle so ist
z u
rl
[ ]
betrachtende Elek
a
1
6
8
)
(
Ist
.
-
n
[
rr
hal
icht
6
b
l
3
(
)
o dern
s n
au
ch
( 1 63 0 )
u nd
daher
3
d
6
1
(
)
e,
h, +
Elektron en system w eder u m Leitun gsstro m e n och
au ch z u r Po la i s ation u n d z u m Po larisa tio n sstr o m e Beitr äge
“
liefert so w ird e s als Ma gn e t i s i e r u n gs e l e k t r o n s chl echt
w e g bezeichn e t
Ist m v o n Nu ll verschieden u n d ( 1 63 b) nicht
erfüllt so w ird das Mo lekül ni cht elektrisch n eu tral sein es
wird so w ohl z u m Le itu ngsstr o m e w ie u r Ma gnetisieru n g bei
tragen w ährend in dem Falle w o in u n d 11 für ein elektrisch
n e u tra le s Mo lekül v o n Nu ll vers chi eden sin d m an das Mo lekül
w ie au ch als Magne tisie ru ngs
s o w o hl als Po larisatio nselek tro n
elektron in Betra cht z u ziehen h at
Der Beitr ag jeder ein zelnen E lek tro n enart z u m ma gn e
tis chen Momen te be stimmt s ich als Prod kt a u s sein er elektro
ma gn etisch gemessen en Ladu n g u n d dem axialen Vektor
ll] der im Sinn e der Pu nktmechani k als Fläch en ge sch w in dig
so
daß das
z
,
r
„
,
.
,
,
z
,
,
,
.
u
,
262
Zw eite Absch nitt
r
e
E l ktro magnet
.
.
Vo
in
rgänge
w ägba en
r
Körp em
.
t ttﬁndet so fällt bei der Mittelw ertsbilduh g
über e in solche s Intervall das zweite Glied fort ; denn di e
Konﬁgu ration der Ladun gen im Moleküle bleibt im Mittel u n
geän dert Die en tstehende Gleichu n g
v on
Umlauf en
s a
.
1
6
4
( )
hl
— +
m
i
[ ]
)
r,
(
t
11
ha
der Gleichu ng (1 6 1 a) f ür das elektrische Moment des Mole
k üles an die Seite z u stellen
Dem Skalar 0 dort entspricht
hi er der Skalar t
Der
s elbe genügt inf o lge v o n ( 1 6 3 d)
(
der Bedingun g
ist
.
,
w
(
(
1
6
4
8
(
)
f,
f,
elche (1 6 1 b) en tspricht
Führen wir nu n den Vektor
en
hn
c
)
.
’
N m + N m +
n
l
6
b
4
(
)
e in
"
'
"
elcher die v o n den verschieden en Mo lek ülgattu ngen her
rüh rende au f die Volu meinh eit berech nete M a g n e ti s i e r u n g
darstellt so en tspricht der Vektor [t M] vollkommen dem
Vektor (v gl 1 61 c) Wie w ir in ( 1 62 a) au s den Mittel
wert 5 der elektrischen Dichte ableiteten so könn en wir nu n
mehr au s dem Vektor [1 SR] au f Grun d der analogen Beziehu n g
w
,
.
.
div [i n]
0
Mittelw ert des v on den Magnetisieru ngselektr on en her
rührenden Ko nv ek tionsstr o mes ermitteln Da t ein vom Orte
S 438)
s o ergibt die Re gel 1 (Bd I
u n abh än giger Vektor ist
div [HW] t cu rl QR
den
.
,
.
,
.
.
Da di e se s für jede
gelten mu ß so folgt
6
4
1
0
)
(
beliebige Richtung
c
de s Hilfsv ekto r s 1
cu rl
M i tte l w ert de s v o n de n Ma gn e t i s i e r u n gs e l e k tr o n e n
h er r ühre n d e n e l ek tri s ch e n S tr o m e s Die Mittelwerts
als
.
Kapitel
E rste s
.
Ru h ende
Kö p e
r
r
268
.
bildu n g bezieht sich dabei w ie au s den obigen Überlegungen
fo lgt au f phy sikali sch un en dlich klein e Zeiten u n d phy si
kalisch u n endlich klein e Gebietsteile des Rau mes Der Strom
n
u
i
tä
b
e
d
t
s
u
n
ü
n
t
i
n
d
i
n
a
ß
n
c
ge
t
der
oh
e
ei
e
n
K
o
6
4
1
g
g g
)
(
parallel gehen de zeitliche Änderun g der Dichte der Elektrizität
z u berück sichtigen w äre
Wir schreiten nu nmehr z u r Su mmieru ng der An teile die
mittleren Dichte
v o n den verschieden en E lek tro n enarten z u
der Elek trizität u nd des elektrischen Stromes beige steu ert
werden Au s ( 1 60) u n d (1 62 a ) folgt
=
6
div
1
3
5
1
e
{ öl 9
( )
9
D er e r s te B e s t a n dtei l di e v o n de n L e i t u n g s
e l e k tr o n e n herr ühre n d e D i chte i s t i d e n ti s ch m it d e r
D i chte d er w a hr e n E l e k tr i z i t a t in d er M a x w e ll
H e rtz s ch e n T h e o ri e In der Tat die wahre Ladu n g ein es
Leiters ist diejenige die nu r du rch ein en Leitu ngsstr om ab
geän dert werden kann u nd die w enn ein solcher fehlt au ch
dann konstan t bleibt wenn der Leiter in ein an deres Dielek
D i e d u rch di e Po l a ri s a ti o n de s
trik u m ein gebettet w ird
Di e l e k t r i k u m s a b ge a n de r t e m i t t l e re D i cht e 5 h i n
g e ge n i s t i d e n ti s ch m i t d e r D i chte 9 d er f r e i e n E l ek
tr i z i t ät i n de r M a x w e ll H ertz s ch e n T h e o ri e
Da (
du rch die Divergen z v o n
Ö 9 aber du rch di e Divergenz
v on 9
gegeben w u rde (v gl I
so m u ß zwi schen di esen
beiden Vektoren die Beziehu n g bestehen
,
,
.
.
,
r
.
'
.
s
,
,
,
.
,
,
,
,
.
"
“
'
1
-
.
'
,
.
1
5
6
a
(
)
d1 v
1
ﬁ
,
=
d1 v
(5
S
{
wenn an ders die Mittelw ertsbild u n s w irklich z u den Hau pt
gleichu ngen der Maxwells chen Theorie führen soll
Als re su ltieren der Mittelw ert des elektri schen Str ome s
folgt au s ( 1 60 1 62 u n d 1 64 0 )
.
,
—
5
1
0
6
1
)
(
+
c cu rl
a
m
.
D er er s te B e s t a n d tei l d er v o n de n L ei t u n g s
e l ek tr o n e n he rr ührt i s t a u ch f ür m a g n e ti s i er te L e ite r
,
,
Zw eite Ab ch nitt
264
s
r
.
E lek trom agnet
.
Vo
rgänge
in w ägbaren Körp e m
.
m i t d e r D i ch te de s w a hre n L e i t u n g s s tro m e s i n de r
M a x w e ll H ertz s ch e n T he o ri e i d e n ti s c h Ders elbe be
stimmt die Än deru ng der w ahren L adu ng der Leiter
Die
d u rch di e M i t w irk u n g d er Ma gn e t i s i e r u n gs e l e k tr o n e n
a b ge än de rte m i tt l ere D i ch te hi n ge ge n
-
.
.
1
6
5
c
(
)
i
'
h 211
c rl
i
3
l
a
a
Bd
I
S
G
eich
g
i
cht
d
e
re
i
n
s
n
l
s
2
3
u
n
1
7
6
s
s
t
(
)
d i e D i ch te de s f re i e n S tro m e s i n de r M a x w e ll H e r tz
i
5
1
s che n Th e o ri e
u rch cu rl
d
Da f ür stationäre Ströme
%
4 1
hin gegen du rch cu rl bestimmt wird so ist z u po stu lieren
v
l
g
.
.
,
.
-
-
.
5
,
c
cu rl 8
1
65
d
(
)
cu rl
4 75 91 }
Wie ordnen sich nu n die Vektoren (E u nd 9 8 u n d
den Mitte lwer ten
u nd b z u
die in den Grun dgleichu n gen
l
a bis N a
der
E
ektro
e
theorie
rete
Wir
s
ehe
n
n
u
l
n
a
f
t
n
?
(
)
so fort
daß w ir der qu ellenfreien Verteilu n g de s Vektors 8 der
ma gnetischen Indu ktion gerecht werden w enn w ir setz en
,
,
,
,
1
66
(
)
8
Al sdann führ t
5
.
die zw eite H au p tgleich u ng (Bd I
S 238 Gleichu ng
bei Au sschlu ß eingeprägter Kräfte wenn
identiﬁziert w ird
3 mit
II
a
( )
auf
.
,
.
l
6
6
a)
(
(E
i
.
D i e E l e ktr o n e n th e o ri e i d e n ti f i zi e rt di e Vek t or e n
8 u n d G de r M a x w e l l s ch e n Th e o ri e m i t de n Mi tte l
w ert e n d er e l ek tr o m a g n e ti s ch e n V e k t o r e n b u n d c
w e l ch e di e F e l d er d er e i n z e l n e n E l ektr o n e n k e n n
z e i ch n e n Hier w ird v on vornherein ein Stan dpu nkt ein
gen ommen welcher n icht die Hertz H eav iside sch e An alogie
der Vektoren (E un d einerseits 4 15 9 u n d 8 an derseits z u
l
e
t
Die
Symmet
ie
der
e
ektri
d
l
s chen u n d m a gn e
n
m
e
r
g
g
ti schen Größ en wird v o n der Elektron en theorie au fgegeben ;
in ihren Gru n dgleichu n gen spielt bereits 5 ein e an dere Ro lle
w ie C w as daher rührt daß zw ar E lekt rizität u n d elektri scher
'
,
.
,
,
“
.
,
26 6
Zw eite Absch nitt
r
E lektr omagnet
.
.
Vo
rgänge
in
w ägbare n
Körp em
e l ek tri s ch e n D i ch t e m it d e r f re i e n D i chte d er
M a x w e l l H ertz s ch e n Th e o ri e i de n ti f i z i e r t de r Mi tt e l
w ert de s Ko n v e k t i o n s s t r o m e s d e r E l ek t ro n e n m it de m
ve rm ehrt u m de n a n d er M a te ri e
f r e i e n S tr o m e
h a f t e n d e n An te i l de s V e r s c h i e b u n gs s t r o m e s (v gl 1 65
u n d 1 65 b c
)
Das Schema der H au p tgleich un gen w ird in der Maxwell
Hertzschen Theorie (v gl I 5 60) au sgefüllt du ch Hi nzu fügun g
de Beziehu n gen welche 6 mit i u nd 9
mit 8 verkn üpfen
Die E lektron entheo ie gelangt z u diesen Beziehu n gen in dem
w elche die L age u n d der
sie die V e ran deru n gen be tr a chtet
Bew e gu n gs z u s
der E lektronen infolge der Einwirku n g
äu ßerer Felder erfährt
Wir w erden in sbesondere für die
Po larisatio nsele ktr o n en die se Betra chtu n gen in den beide n
nächsten Para graph en
du rchführen u nd w erden zeigen daß
di e Berücksichtigu n g der Tr ägheit der Elektron e n z u m V er
d
s tän dni s der Farbenz erstr eu u n
u
n
der
m
a gneti schen Dreh u n g
g
der Polarisations ebene führt
Die
V o n ein geprägten Kräften haben w ir abge s ehen
Maxw ells che Theorie versteht u n ter eingep ragt<m elektri schen
Kräften solche welche u nabhän gig v on wah rn ehmbaren elektr o
magneti schen Ursachen sind u nd mit irgendw elchen sonstigen
physikalischen oder chemi schen Z u stän den de s Körpers ver
k nüp ft sin d (v gl I 5
Nach der Elektron entheorie ist die
ein gep ra te Kraft ein e äu ßere
l
n en an greif en de
n
E
ektro
a
n
d
e
g
Kraft Da aber nach den Gr un dhypothe sen u n serer Theorie
nu r elektrom agneti sche Kräfte e s sin d
w elche an den Elek
tr o n en an gre ifen
so
müssen w ir po stu li eren daß die ein
r
n
n
e
a
e
Kr
ä
f
t
e
erk
l
rt
d
heißt
di
e
e
l
ek
t
rom
a
g
eti
s
che
t
n
ä
a
u
f
s
a
g p g
Kräfte verborgen er Felder zu rückgef ühr t w erden Der Stan d
p u nk t der Elektr on entheorie ist dabei z u vergleichen dem
i
e
n
n
w
l
e
h
a
n
e
che
die
Hertz
che
Mech
ik
mec
i
s
che
n
n
s
a
n
d
e
n
j g
Kräften gegen über einn imm t Ist der Mechanismu s der Kraft
übertragu n g n icht w ah m eh mbar
so
fordert die Hertzs che
Mechanik daß die Kraft au f die Wirku n g v erborgen er Massen
zu rückgeführt w erde W ie die Hertzsche Mechanik ﬁngierte
-
,
,
.
,
.
.
r
,
r
.
r
,
,
.
.
.
,
,
.
.
,
,
,
.
.
.
Kapitel
E rstes
.
Ru h ende
Körper
26 7
.
träge Massen z u h ilfe nimmt so zieht die Elektron entheorie
Kräfte ﬁngierte elektrische
z u r Erkläru n g der
ein gep r ägtm
Felder heran welche auf di e freien oder au f die gebu n den en
Elektr onen wirken In der Du rchführun g dieses Gr un dgedanken
bleibt der Hypothese ein w eiter Spielrau m
,
,
.
.
29
e l e k tr o m a gn e tis ch en
Di s p e r s i o n der
.
W e lle n
.
Wir betrachten ein en u nmagn etisierbaren homogen en Iso
lator Die für ein en s o lchen gelten den Feldgleichu n gen werden
in der Maxw ellschen Theorie erh alten indem ll)? u nd i gleich
Nu ll u nd
.
,
,
—l ©
)
1
6
7
( )
gesetzt w ird Die Dielektrizitätskonstante w ird dabei als
ein e für den betr effen den Isolator charakteristi sche Kon stan te
betra chtet u nd die erhalten en Feldgleichu n gen werden au ch
v l I
au f die Fe lder der Lichtw ellen an ge w an dt
5
( g
Die Elek tronentheorie führ t die elektri sche Polarisation
ein e Verschiebu n g der gebu n den en Elektr on en zu rück
au f
Die Pr0 p o rtio nalität der Momente der Po larisationselektronen
z u r elektri schen Feldstärke erklärt sie du rch An nahme qu asi
elastischer Kräfte welch e dieselben in ihre Gleich gew ichts
Solche u asielastisch en Kräfte mu ßten
lagen zu rückziehen
w ir schon früher ann ehmen (5 9) u m v o n der Exi sten z der
in der Lichtemi ssio n sich ku n dgebenden Eigensch win gun gen
Rechensch aft z u geben Die Eigenschwin gun gen ergaben sich
ohn e weiteres au s der An nahme u asielastisch er Kräfte u nd
au s der trägen Mass e der E lektro n e n
Nu n w ar en bekanntlich du rch An n ahme v o n Eigen
schwi n gun gen in den Mo lekülen der lichtbrechen den Körper
v o n Sellme ier
Ketteler u n d Helmholtz die Erscheinu n gen der
Dispersion erklM w orden Man gelangt z u ein er elektro
magneti sch en Theorie der Di sp ersion in dem man der tr ägen
Masse der v o n den Lichtwellen in Schw ingu ngen versetzten
elek trischen Teilchen Re chn u n g trägt Wir w erden bei der
Darstellun g der Elektron entheorie der Di spersion u ns ins
‘
.
,
.
,
.
q
,
.
q
.
.
.
,
.
Zw eite Absch nitt
26 8
r
E lek tr omagnet
.
.
Vo
in w ägbare n Körp em
rgän ge
.
beson dere an H A Lorentz ) P Dru de u nd M Planck an
s chließen
Wir betra chten eine eben e homogene elektr omagnetische
Welle welche in dem homogen en isotrop en Dielektriku m parallel
der x Achse fortschreitet ; die Well e sei geradlinig p arallel der
polarisiert d h die magnetischen Vekto ren
z Achse
8
fall en in di e z Achs e u n d die elektrischen
u n d G in die
n
e
ch
e
Die
I
b
II
b
ergebe
H
a
u
e
i
h
u
n
l
A
s
t
c
n
y
p g
)
g
(
1
.
.
.
.
.
,
-
-
,
.
.
-
,
-
.
3 °3
ex
mithi n
na
4
73
_
“
39y
at
e
ch Elimin ation
8x
e
8 08
ßt
’
v on
3
4
5
1
6
7
3)
(
’
1 92
1
8%
‘
7
mon ochromatische Wellen v on der Fr equ enz
wird
u n d S „ v on x
die Abhän gigkeit der Komponenten
t du rch den komplexen Faktor
Für
nu n
u nd
11
(
t
iv
e
—£
E)
die
Ge
gekenn zeichn et sein
s chw in digkeit der Well en
2
n dem n ach den Brechu n gsin dex de s Körpers an gibt
Au s ( 1 6 7 a) fo lgt für diese Well e n :
—
wo
,
,
.
”
n G
4 1: S „
,
.
eptiert man die v on der Maxw ellschen Theorie be
h au p tete Proportion alität v o n 9 u n d
G
1
o
ge
gt
s
l
m
a
n
a
n
(
’
z u r Maxwellschen Relatio n n
8 zu rück (v l I S 308 G1 205
g
Wenn w ir au ch diese Beziehu n g ni cht als allgemein gültig
müssen w ir doch fordern daß bei gegebener
ann ehmen
so
Frequ enz 1
Ak z
.
.
,
,
,
.
.
,
1
4n 9 =
7
6
b
l
)
(
1)
H A
.
.
électro m agnéti
Lo rentz
q
de
ue
n
*
6‚
Ann
.
—1 e
)
.
Maxw ell
d Ph
.
ys
S 64 1
9
.
Leide 1 8 92
.
.
E
.
.
La th éorie
J Brill (Ar ch Néerl 25 ,
.
.
.
.
S 3 63
.
Dru de
2) P
.
s 6 7 7 , 1 904
.
3)
M
.
Ann d Ph
.
.
y
s
.
48 ,
S 5 3 6 , 1 89 3
.
Ann d Ph
.
.
.
Plan ck
.
Berliner Sitz
u ngsbe r
.
1 902 , S 4 7 0
.
.
.
ys
.
1 4,
27 0
Zw eite Absch nitt
r
.
E lek tro magnet
.
Vo
in w ägbaren Körp em
rgänge
.
vernachlässigen indem man die Geschwindigkeit der sch w in
gen den Elektr onen als klein gegen die Lichtgeschwindigkeit
betrachte t
E s folgt aus ( 1 68) u n d ( 1 6 8 a b)
z u
.
,
2
70 113
9
1
6
( )
Np
“
“
D abei ist un ter c ein Mittelwert des V ek to n c z u ver
stehe n ; ders elbe ist jedoch kein eswegs m it dem Mittelw ert
6
des vorigen Para graphen z u verw echs eln Der Mittelwert bezog
sich nämlich au f
e in phy sikalisch u n en dlich kl ein e s V o lu m
“
element des Rau mes ; der Mittelwert e ist nu r fu r diejenigen
Rau mpu n kte z u bilden in welchen sich mitschwingende Elek
Au ch han delt e s sich ni cht u m den to talen
tr o n en beﬁn den
“
Wert des Vektors c vielmehr ist in c das vom Elektron
Die Berechnu ng des Mittel
s elb st erre gte Fe ld fortgefallen
w erte s
erfordert einige Überlegun g
Wir legen u m den Pu nkt für w elchen
berechnet
werden soll ein e Ku gel mit dem physikalisch un endli ch
klein en Radi u s R; es heißt das es soll R klein gegen die
Wellenlänge sein u n d doch die Ku gel ein e große Z ahl v o n
Elektronen ein schließen Da R klein gegen die Wellenlänge
ist so w erden inn erh ab der Ku gel u n d au ch au f ihrer Ober
“
ﬂäche die Vektoren u nd konstant sein Zu dem Vektor c
w erden nu n
erstens di ejenigen Elektr onen ein en Beitrag
li efern die inn erhalb der Ku gel sich b ﬁnden u nd zw eiten s
diejenigen au ßerhalb der Ku gel Den letztgenannten Bestan d
teil der elektrischen Kraft be stimmen w ir in dem wir au s dem
Inn ern der Ku gel die E lektronen f o rtge sch aﬂt denken ; nach
Fo rtsch aﬂun g aller Elektronen au s dem Inn ern der Ku gel
w eicht das Feld im Inn ern v o n dem Felde 6 der Lichtwellen
im Körper nu r au s dem Gru n de ab weil sich jetzt au f ihrer
Oberﬂäche ein e Sch icht freier Ladu ngen beﬁndet Die E in
w irku n g die ser Schicht kö nn en wir da der Radiu s der Ku gel
klein gegen die W ellenlän ge ist au f Gru n d elektr o statischer
Betrachtu ngen ermitteln Wir hatten in Bd I 42 eine ähn
.
.
.
.
,
,
,
.
,
,
.
,
e
,
,
.
,
'
‘
,
.
,
,
.
.
E rstes
liche
Kapitel
.
Körpe
Ru h ende
r
27 1
.
Au fgabe
gelö st ; wir hatten das v on einer homogen
polarisierten Ku gel erregte Feld be| timmt un d es im Innern
J
gleich T 13 gefun den ( Gleichu ng 1 44 h s
Nu n ist
die Feldstärke du ch die freien Ladu ngen bestimmt ; in dem
vorliegenden Falle w o au ßerhalb der Ku gel die konstante
herrscht u n d das Innere der Ku gel ni cht polari
Polari sation
ist die Dichte der freien Elektrizität au f der Ku gel
s iert ist
ﬁäch e o ffenbar die entgege nge setzte wie in dem damals be
han delten Falle w o das Ku gelinn ere ho mogen polarisier t das
Äuß ere aber nicht polari siert w ar E s gibt demn ach
"
.
,
r
,
,
,
.
“
Wert v o n e an den man erhält w enn man diejenigen
Kräfte nicht berücksichtigt die v o n den Elektr o nen in nerhalb
der Ku gel herrühren Für den Mittelw ert der S u mme dieser
v on
den Po larisatio n selek tro n en der ben a chb arten Moleküle
au s ge übten Kr äfte setzt n u n H A Loren tz 4 n s $ w o 3 ein e
Konstante bedeu tet u n d erhält so
den
,
,
,
.
.
.
,
9
1
a
6
(
)
t
a
=
)
4 1:
s
Für fe ste Korper,
bei denen man eine geordn ete L ageru ng der
Moleküle u nd E lektron en anzu nehmen h at w ird im allgemein en
ein e v on den Momenten der benachbarten Molekül e u n d
E lektr o n en herrühren de Kraft z u berücksichtigen sein
Bei
Flüssigkeiten u nd Gasen hingegen w o egellose Än derun gen
in der Gru ppieru n g der Mole küle s tattﬁn den w ird e s ges tattet
s ein
mit M Plan ck an zu n eh men daß die Einw irku n gen der
in n erhalb der Ku gel be ﬁn dl ichen E lektro n en sich im Mittel auf
heben u nd s demnach gleich Nu ll z u setzen Wir ziehen es indessen
die Kon stan te s beizu beh alten Wir u mfassen dann au ch
v or
“
die Theorie v o n P Dru de in w elcher c einfach mit der Feld
stärke G der Lichtw ellen iden tiﬁziert w ird ; der Dm desch e An
indem
satz geht au s dem Lo r entz sch en hervor
,
.
r
,
,
,
,
.
'
.
,
.
.
,
1
8
gesetzt wird
.
27 2
Zw eite Ab ch nitt
s
r
E lek trom agnet
.
.
Vo
rgänge
in w ägbaren Körp em
Unter Ann ahme rein perio di scher Schw in gu ngen
Frequ enz 1 folgt au s ( 1 69) u n d ( 1 69 a)
v on
.
der
1
k
(
b
1
6
9
)
(
Hierau s
k
(
2
v
,
)
"
’
v
in
w
e
{
— c
Np
-
m
(ä
—
4 az
Verbin du ng mit ( 1 6 7 b) erhalten
—
1
M
(
)
P
(
4a
n
g
—1
w ir
)}
)
s
Die Kons tante k der Schw in gun gsgleichu n g (1 68) ist ni chts
als die Frequ en z der Eigen schwin un gen der Po lari
an dere s
g
Führen wir statt der Frequ enzen k 1 der
satio n selek tro nen
Eigen schwin gun gen u n d der erzw u n gen en Schw in gu n gen deren
im leeren Rau me gemessen en Wellenlän gen e in
1
.
2 az
c
v
so
wird
1
0
1
7
( )
n
‚
_
1
+
1
1
1
1
wo
a
1
7
0
)
(
gesetzt ist
D i e D i s p e r s i o n s f o r m e l ( 1 7 0) dr u ckt di e Ä n d er u n g
de s B r e ch n g s i n d e x
mi t d er We l l e n l än ge r a u s Setzt
m an 3
0 so w ird
.
u
.
,
1
7
0
0)
1
(
der Moleküle proportional ist so mu ß
bei ein er Dich teänden m g des Körpers für Licht bestimmter
*
Farbe die Fu nktio n 91 1 /n 2 des Brechu n gsexpon enten
der Dichte proportion al variieren w enn an ders die Z ahl der
mitschw in genden Elektronen im Molekül u n d die Wellenlänge
ihrer Eigenschwingun g bei der Dich teän deru n g sich ni cht
än dern
Dieses L or e n tz L o r e n z s c h e Ge s e tz h at sich
vielfach bestätigt gefu n den E s h at sich au ch ergeben daß
für Mi schu n gen die Größe
l /n + 2 sich au s de n Bei
tragen der Kompon enten n ach der Mischun gsregel berechn en
Da 7
der Z ahl
N
,
2
,
-
.
.
,
2
27 4
Zw eiter Absch ni tt
E lek trom agnet
.
.
Vo
Körp em
w
ä
b
a
r
e
i
n
e
n
ä
n
g g
g
r
.
Brechu n gsin dex u berh au p t nicht mehr ; es schw in gen di e Elek
tro n en nicht mehr mit
Man w ird hi ernach au s der Gleichheit der Brech u n gs
indizes ein e s Körpers für zwei verschi eden e Wellenlängen
dürfen daß zwischen diesen beiden Wellenlän gen
schli eßen
kein e Eigens chw ingun g der Elektronen li egt Ins besondere
wird au s der Übereins timmun g des Qu adrates de s Brech ungs
für sichtbares Licht mi t der Dielek triz itäts
exp o n ente n
konstante di e beispielsw eise bei Lu ft u nd W asser sto ﬁ fest
gestellt ist z u schließen sein daß im u ltraroten Spektral
gebiete kein e Eigens chw in gungen li egen P Dm de der in
der zweiten der ob en zitierten Ar beiten das Be o bach tunge
material in u mfassen der Weise vom Stan dpu nkte der Elektr on en
theorie au s disk u tiert kommt z u dem Schlu sse daß die u ltra
roten Eigens chwin gu ngen den trägeren po sitiven Elektronen
die u ltravioletten den mit w eit geringerer Trägheit behafteten
Die D ispersion des
n egativen Elektro nen zu zu schreib en sin d
W ass ersto ﬁes wird man hi ernach au f die An we senheit n egativer
Elektronen zu rückzu führ en s u chen deren Eigens chwingun gen
im Ultra violetten li egen u nd wir d mit Rücksicht au f die e in
fa che B au art der H Moleküle di e Ann ahm e ein er ein zigen
sch w in gu ngsfäh ige n E lek tr o n enart hier als berechti t ansehen
g
.
.
'
,
,
.
,
,
.
'
,
Lorentz ) di e Kettelersch en Messu ngen an
°
W assersto ff v o n 0 C elsiu s u n d Atmo sphärendru ck wo
nu r
w enig größer ist als 1 du rch die Formel darge s tellt
Nu n h a t
H
.
A
1
.
,
n
*
3
=
-
2 (n
1
Die Vergleichu ng mit ( 1 70 b) ergibt
—
5
10
Hierau s
u nd au s
satio n selek tro nen
l)
S 51 3
.
.
HA
.
.
Lo rentz
im
.
1
7
0
a
l
ä
ßt
(
)
II,
Ak
-
für
Wasserstoff
.
ich die Z ahl p der Polari
Moleküle berechnen
s
.
ad v an
.
W e% nsch te Am sterdam Bd
.
.
.
6
.
Kapitel
E r ste s
r
27 5
.
wo M sein Molekulargewicht
sto ﬂato m es
M m
N
d
mE
,
ber die Masse
a
des
Wasser
ist
'
.
E s fo lgt
demnach mit Rü cksicht
c
e
d
0 711
Ü
3
Gleichu n g
d
7
11
_
’
1
7
a
0
(
)
au s
=p
1
7
0
0
)
(
7
°
i ch a u f Gr u n d di e s er G l e i ch u n g da s Pr o
d u k t v o n Z a h l p u n d s p e z i f i s ch e r L a d u n g 7) d er n e g a
ti v e n E l ek tro n e n a u s d er K o n s t a n t e d e r D i s p er s i o n s
f o rm e l b ere ch n e n f a l l s n u r e i n e e i n z i ge E l e k tro n e n
a r t in s S p i e l k o m m t
Für ideale Gas e speziell ist allgemein
E
s
la ß t
au f
,
eN
dah er
r
die Dichte eines Körpers
E s ist
u nd
Kö p e
Ru h ende
.
s
,
.
so
daß
0d
7
1
)
(
wird
p
11
.
Für
Wasserstoff folgt
p
der
Da p ein e
Ablenku n g
am
nä
chsten
0
6
7
1
)
(
,
au s
dem
an
gegebenen Werte
v on
y
7
10
9;
.
ganze Z ahl sein mu ß so kommt m an dem au s
der Kathodenstrahlen berechn eten Werte v o n ;
wenn m an mit P Dru de setzt
,
1
:
.
P
2:
77
1 748
10
7
’
i d a l s o i m H , M o l e k ül e z we i Po la ri s a ti o n s
e l ek tr o n e n a n z u n e hm e n
Wir haben der Abs orp tion des Lichtes bei Wellenlängen
den Eigen schwin gu n gen der Po larisation selek tron en
w elche
e nt sprechen
ni cht Rechnu n g getra gen
Zu r Darstellu ng der
Ab sorption u nd au ch z u r genau eren Verfolgun g der Di sp ers ion
du rch den Ab sorptionsstreifen hin du rch wäre die Einführu ng
v o n Däm p fun s lie dem
i
n
l
die
Schwi
g
g
s
g
eich
g
u
n
1
6
n
u
n
8
gg
( )
E
s
s n
-
.
,
.
,
18
Z w eite Absch nitt
27 6
r
E lek tr om agn et
.
.
Vo
rgänge
in w ägbaren Körp em
.
otw en dig Man kann diese Einführ ung in verschi eden er Weise
vornehm en entweder in dem man mit P Dru de ein e der Ge
s ch w in di k eit proportionale Re ib u n g äh nlich w ie in der
w
e
ö
h
n
g
g
li chen Mechani k annimmt oder indem m an mit M Plan ck
au ch hier die Dämp fun s li eder als Rückwirk u ng der Strahlun g
gg
au ffaßt
w obei di e s e der zweiten Ab leitun g der Gesch w in di g
keit nach der Zeit proportional werden (v gl 9 Gleichu n g 5 8 b )
In beiden Fällen erklärt sich das Au ftreten ders elben Lini en
Emissionsspektru m u nd im Absorptionsspektru m au f Gru nd
der allgemein en Schw ingun gslehre ; die Po larisationselek tro nen
sprechen au f diejenigen Wellen an
w elche mit ihren Ei gen
s chwin gu n gen in Res onanz
sin d
Wir haben hier nu r ein e einzige E lek tronenart u nd ein e
ein zige Eigen schwin gu n g an gen ommen Man kann die mathe
matisch en En twickelu n gen ohn e weitere s au f den Fall beliebi g
vieler Eigenschwin gun gen au sdehnen in dem man jede Eigen
s chwin u n g ein er an deren E lek tr o nenart zu schreibt
E
s
i
s
t
g
aber die Fra ge
ob diese D arstellu ng der Wirklichkeit ent
spricht
Dieselben u n gelo sten Probleme welche u n s die
E missio nssp ektra darboten (v gl 5 9) treten un s au ch in der
Theorie der Absorptionsspektren entgegen
n
.
,
.
.
,
_
.
.
.
.
,
.
,
.
.
.
5
Ma gn e ti s oh e Dre h u ng
30
.
de r Po lari s a ti o n s e b e n e
.
ein em früheren Abschnitte
1 0) hatten wir v o n den
V eran deru ngen gesprochen w elche die Spektrallinien im m ag
Im einfachsten Falle des n orm alen
netisch en Felde e rfahren
Zeeman E ﬁektes w erden parallel den magn etischen Kraft
linien zw ei z irk ularp o lar isierte Wellen au sgesan dt ; der Unter
schied ihrer Fr equ en zen ist gleich der speziﬁschen L a du n g der
E lektron en multipliziert mit der magnetischen Feldstärke
v l 60 d
un g
nschwin gun gen
Die
e
Ver
er
der
Eige
der
d
s
ä
n
( g
)
E lektron en die sich in den Emissionsspektren zeigt kommt
An Stelle
nun au ch in den Ab s orptionsspektre n z u r Geltu n g
ein er einz igen Linie des Absorptions spektru ms tr eten bei
Einw irku ng eines der Fo rtp ﬂanz u ngsrich tu n g des Lichtes
parallelen magnetischen Feldes deren zwei in denen die rechts
In
,
,
.
‘
-
,
.
.
,
,
.
,
Zw eite Absch nitt
27 8
r
.
E lek trom agn et
Vo
.
rgän ge
in w ägbaren Körp em
.
ma gnetischer Krafte au f die Elektron en abgesehen haben
Wir haben jetzt den Einﬂu ß eines kons tan ten magnetischen
Feldes au f die E lek tron ensch w in gu n gen in Betracht z u ziehen ;
W ir wollen dasselbe der z Ach se p arallel ann ehmen u n d de n
Betrag der Feldstärke mit H bezeichn en
z u m Unterschi ede
v o n der periodisch verän derlichen Felds tärke
der Lichtwellen
Die Diﬂer entialgle ich u n gen
welche für di e Kompon enten
v o n 1!
gelten gehen au s den Gleichu n gen (5 9 a b c) der
Eigenschwingun gen hervor in dem die äu ßeren elektrischen
Kräfte in der im vorigen Paragraphen dargelegten Weise ein
geführt werden An Stelle der Gleichu ngen ( 1 69 1 69 a) treten
dann die folgenden :
.
-
.
‘
,
.
d$
N
„
+ °7H d
;g
d
i
Np
y
N
— p
7
1
d
1
(
)
e
‚
{
e
:
e
{
6 . + 4n
‘
6
Wir w ollen monochromatische transversale Lichtwellen be
trachten w elche sich p arallel den Magnetkraftlin ien fo rtp ﬂan z en
Wir su chen demgemäß di e Gleichu n gen du rch Ann ahme homo
gener ebener Wellen z u erfüllen in denen die Feldstärken von t
in der Weis e abhän gen w ie e s du rch den komplexen
u nd z
,
.
,
,
Faktor
dinalen
s
etzen
,
e
z u
m Au sdru ck
gebracht wird Die lo ngitu
sin d dabei gleich Nu ll z u
u nd
.
Kompon enten
m
1
7
u nd e s w ird
e
a
ß
1
g
(
,
,
1 7 1 b)
4 77 $
e d
w ähr n
au s
7
a
1
o
1
f
l
t
)
g
(
n (6,
=
Du rch Elimin ation
1
7
2
(
)
w
”
n
(
=
n6„
folgt
v on
4 az
$„
”
n
(
1)
elche s au ch immer der Polarisationszu stan d der Welle sein mag
.
E rstes
K apitel
Ruh en de
.
Körpe
r
27 9
.
Wir w ollen nu n un ter n bz w
die Brechu n gsindizes
der rechts bz w link sz irkﬂ arp o larisierten Wellen verstehen
welche sich im magnetischen Felde fo rtp ﬂanz en
Bei Fortpﬂanzu n g p arallel der z Achee gilt
'
.
.
,
.
-
=
5
Z
L
@y
92
1
2
8)
7
(
u nd
"
daher
1
7
2
b
(
)
i @x ,
i
=
$y i
i $x ;
wobei das obere Vorzeichen sich au f die rech tsz irk ular e das
u n tere au f die link sz irk ular e Schwin u n g bezieht ; erstere ent
g
letz te re einer po sitiven Drehu ng u m
spricht ein er n egativen
die z Achs e Die Einführu ng v o n ( 1 7 2) u nd ( 1 72b) in
1
ergibt
7
1
c
)
(
,
-
.
{
”
B
’
1) k
:;
m; H
oder
1
7
3
(
)
n
,
i
_
1
ä
—
+
+
s
}
+
(
n
1)
ﬂ
s
)}
”
k
=
D i e s e erw e i terte Di s p e r s i o n s gl e i c h u n g b e s ti mm t
di e Bre ch u n g s i n di z e s u n d s o m i t di e Ge s c h w i n di g
k ei te n der b e i d e n de n M a g n etk r a f t l i n i e n p a r a l l e l
f ortg ep f l a n z te n z i r k u l a r p o l a r i s i e r t e n We l l e n
Der
Kl ammerau sdru ck au f der rechten Seite verschwin det für die
u
n
e
n
i
e
n
n
7
Freq
e
ze
der
Lich
ch
i
ge
we
c
e
d
rch
w
n
n
l
n
u
n
h
e
t
s
d
u
j g
g
das ma gn etische Feld abge än derten Frequ enzen der Eigen
s chw in gun gen der E lektron en entsprechen ( v l 6 0 b
a wir
D
g
)
in dessen die Abso rp tionsglie der der Schwingu n gsgleichu n gen
gestrichen haben so müssen wir u n s ein Eingehen au f die inn er
halb des Ab sorptionsstreifens z u beobachten den Fo rtp ﬂan z u n gs
geschwindigk eiten versagen u nd u n s au f solche Sch w in gu ngs
zahlen beschrän ken w elche v o n denjenigen derEigenschwin gu ngen
eini germ aßen entfernt sin d Hier bedin gt der Einﬂu ß des
ma gn etischen Feldes nu r ein e gerin ge Abänderu ng des Brech u ngs
in dex
Verstehen wir u nter
die gemein same Geschw in digkeit
der beiden Wellen vor Erregun g des magnetischen Feldes
w elche be stimmt ist du rch
.
1
.
.
,
,
.
.
,
280
Zw eite Ab chnitt
s
r
7
3
a)
1
(
so
„
darf gesetzt
d
ä7z
f
‚
_
w
(
1
1
1
1
an
derseits
n
än
1
"
1
n
’
1
in w ägbaren Körp em
“JH
1
1
”"H
n
.
”
4 17 N p 8
4 as
e
'
f
l
1
7
a
o
t
3
(
)
g
au s
dr
erhalten
1
)
)
dn d
so
Vorgänge
erden
ß
r
.
s
1
d
Da
E lek tro magnet
.
(
1
n
—1
’
w ir
1”
H
2
%;
1) H
n
Du rch
dv
Differen z der Brechu ngsindizes der rechts u nd
link sz irk u l arp o larisierten Welle bestimmt sich jetzt di e Drehu n g
der Polarisations ebene Diese Eben e ist du rch den mag
der Lichtwelle gegeben welche du rch
n e tisch en Vektor
S u perpo sition zweier rechts bz w h nksz irk nlarer Wellen gleicher
Amplitu de entsteht
Wir könn en mit Ru ck sich t au f ( 1 7 2 a) u nd ( 1 73 b) schreiben
die
.
,
.
.
5
2
3
{
1
(
iv t
g
n
l
_
c
— ia
w
Ae
(
t
" 2
_
(
v
co s
Ae
sin
(n
iQ
(
'
-
—
l?
gg
)
Wir können demgemäß den Vorgan g der du rch Su per
position der beiden z irku larp olarisierten Wellen entsteht au f
fas sen als ein e Fortpﬂanz u n g ein er gera dlinig polarisierten
Welle mit der u rsprünglichen du rch den Brechu ngsindex n
gekennz eichn eten Geschw indigkeit verbu nden mit einer Drehu n g
der Polarisationsebene Die Polarisationsebene die für z 0
in die (x z ) Eben e ﬁel ist n ach Du rchlau fu n g der S trecke 2:
u m den Winkel
,
,
,
.
,
-
,
1
7
3
c
(
)
m
v
(
n
'
—n
20
"
)
z
Zw eiter Absch nitt
2 82
e
E l k troma gnet
.
.
Vo
in w ägbaren Körp em
rgänge
.
die Disp ersio nsk u r v e gegeben so kann hierau s die
magnetische Drehu n g u nd ihre Abhän gigkeit v on der Wellen
länge ermittelt w erden
Daß die Formel in manchen Fﬁ en
z u trif t
h at H Becqu erel
gezeigt ; au ch au s der Theorie
v o n W Voigt
ergibt sich di e gleiche Formel allerdings wird
dort die mu ltiplikative Konstan te nicht in Verbindu n g mit der
Ladu n g der Elektronen gebracht Dieses h at
spez iﬁschen
n achgetra gen
u n d für vers chi eden e Körper
L H Siertsem a
den Wert der speziﬁschen L adu ng der Elektr o nen au s der
beobachte ten m agnetischen Drehu ng mit Hilfe jener Formel
berechn et Er ﬁndet z B für W assersto ﬂ den Wert
Ist
,
.
.
,
.
.
.
.
‘
.
.
.
7
l
4
o
(
)
10
7
,
elcher mit den au s der Ablenkb arkeit der Kathodenstrahlen un d
Be c u er elstrahlen ermittelten Werten der speziﬁschen L adu n g
n och be ss er stimmt
als der im vorigen Paragraphen au s der
Dispersion des Wasserstoffes abgeleitete Wert Für die an deren
u n tersu chten
Körper erhält allerdin gs Siertsema du rchweg
kleinere Werte v o n
w
q
,
.
Wie di e Elektronentheorie die Beziehu ngen welche zw ischen
der elektrischen Polarisation
u n d der
elektrischen Feld
du rch geeignete Ann ah men über die Eigen
stärke (5 be stehen
schaften der Po larisatio n selek tr o n en z u v erm eh au lich e n su cht
di e zwi schen der Ma gnetisierun g QR
so mu ß sie be str ebt s ein
obwaltenden Beziehu ngen
u n d der m a gn eti schen Feldst ärke
di e Mitwirku n g der Magnetisieru ngselek tr on en zu rück
au f
zu führen Dies e Magnetisieru ngselektron en sind nahe verwandt
den Molekularströmen du rch w elche Amp ere un d Weber die
ma gnetischen Eigenschaften der Körper z u erklären su chten
Ob w irklich der Paramagnetismu s u nd der Diamagnetismu s
,
,
,
,
.
.
1)
2)
3)
H Becqu e el C R 1 25
W Voigt Ann d Ph ys
L H Sie t em a Ak a d
r
.
.
.
,
.
r s
.
,
.
.
,
S 67 9
.
,
.
.
1 8 97
6 7 , S 35 1
.
.
v
.
.
.
.
1 899
W etensch te
.
.
Am
m 1 902, S 4 99
sterda
.
.
K apitel
E rste s
ich
läßt
Ru h en de
.
Kö p e
r
r
283
.
mlau fende oder rotieren de Elektronen zur ückführ en
is t v o n W Voigt
u nd P L an gevin
u n tersu cht w orden
)
Weber h at den Diamagnetismu s au f die Moleku larströme
zu rückgeführt w elche beim Entstehen ein es ma gnetischen
Feldes in widerstandslosen Bahn en indu ziert werden so llen
Dem entsprechen nach P Lan gevin die Umlau fsbew egungen der
Elektronen w elche im Inn ern der Moleküle beim Entstehen
magneti scher Felder erregt w erden ; dieselben ergeben stets
eine diamagnetische Erregu n g Größere Schwierigkeiten bietet
di e Erkläru n g des Param a gn etism u s ; hier si nd die Stöße u n d
die son stigen Wechselwirku n gen der Moleküle heran zu z iehen
u n d e s ist die mittlere Orientieru n g der Ma gn etisieru n gselek
tr o n en in ein em gegeb en en Felde n ach den Methoden der Kin e
tik z u behan deln ; für diese Au ffassu n g spricht der Umstan d
daß speziell für Gas e der Param a gn eti sm u s v o n der Tempe
ratu r abhän gt im Gegensatz z u dem v o n der Temperatu r nicht
be einﬂu ßten Diam agn etismu s
Zu r Deu tu n g man cher m agnet0 0 p tisch er Ers chein u ngen
reicht die Einf ühru n g der Po larisatio nselek tron en au s w ie
Ge w isse magneto
w ir im vorigen Para graphen dargel egt haben
optische Eigenschaften der ferromagnetischen Körper in dessen
in sbesondere diejenigen w elche der Magnetisiem ng p arallel
”
gehn erfordern die Heranziehu ng der Magnetisieru ngselek tro nen )
W as das Verstän dnis des Ferrom a gnetismu s überhau pt anbelan gt
so
h at die E lek tr o n enh yp o th ese bi sher leider kein e Erfolge
z u
verzeichnen Wir sin d n och w eit davon en tfernt die
An om alien der ferromagnetischen Körper vom Standpu nkte
der Elektron en theorie au s deu ten z u könn en
au f
s
u
2
,
.
.
.
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
,
,
,
.
.
c
L
i
e
e
tu n g
8
Nach der Elektron entheorie beru ht die Eigenschaft ge
au f der An
w i sser Körper den elektri schen Strom z u leiten
32
E le k tr i s h
.
.
,
,
W Voigt
1)
.
,
Götting
2) P Langev in , C
.
1 905
.
S 70
.
.
.
Nach
R
.
t
.
1 90 1 S 1 6 9 Ann d Ph
.
1 3 9, S 1 204
.
.
.
.
1 904
.
An
.
.
ys
9, S 1 1 5
.
.
ch im
de
.
.
et
1 902
ph y
s
.
.
3) V gl P
.
.
Dru de , Leh rbu ch d
.
Optik
.
p
Lei
z
ig 1 900
.
Kapitel v n
.
Zw eite Absch nitt
284
r
.
E lek trom agnet
.
Vo
in w ägbaren Körp em
rgän ge
.
e e heit v on Leitun gselek tron en d h v o n elektrischen
Teilchen w elche u n ter der Ein wirkun g elektrischer Felder
über größere Strecken hin w an dern
Diese Elek tronen könn en
mit der Masse materieller Atome beladen sein wie bei Elektro
ly ten oder sie könn en frei d h nu r mit der ihn en eigen en
elektr omagn etischen Mass e behaftet sein Gerade in den best n
Leitern den Me t a l l e n w ird m an freie E lektron en als Strom
träger anz u n ehmen haben Wie wir bereits mehr fach er virähn t
haben (I S 1 92 u
sin d v o n E Riecke
u n d insbes on dere
v o n P Dru de
Vorstellun gen über die Bew egun g der Elektronen
im Metalle entwickelt worden welche der k in etischen Theorie
der Gas e nachgebildet sind Fehlen äu ßere elektri sche Kräfte
so
s o llen die Elektron en sich regello s bewegen
äh nlich w ie
die Molekül e ein es Gase s ; di e mittlere lebendi ge Kraft ein e s
Elektro ns so ll gleich derjeni gen sein w elche ein em Gasm ole
k ül e bei der gleichen Temperatu r z u kommt
Wir bezeichn en
mit a die mittlere leben dige Kraft eines Mo lekül es oder Elek
trons bei der absolu ten Temperatu r
1 (B o l t z m a n n
Dr u de s c h e K o n s t a n te) u nd setzen
w s n
„
.
.
.
,
,
.
,
.
e
.
,
,
.
,
.
.
.
.
,
,
.
,
,
.
Die Elektron en sollen Zick z ack bah nen beschreiben ; der
Stoß du rch den di e Bewegu n gsrichtu n g geän dert w ird kann
entw e der zwis chen den Elektr on en selb st erfolgen oder an
den n eu tr alen Molek ülen welche gew i ssermaßen das fe ste Ge
rüst de s Metalle s bilden
Welches wird nu n der Einﬂu ß ein es elektrischen Feldes
E s wird di e u nregelm äßige Wärmebew egu n g der Elek
s ein ?
tr o n en e in wenig abgeän dert werden so daß im Mittel die
w
u
n
Be
eg
g
richt
u
n
g
ü
berwie
t
n
a
ch
der
die
E
ektro
e
e
n
i
e
l
n
n
s
j g
g
du rch das Feld getr ieben werden E s sei in die mittlere Ge
sch w indigk eit der be tr effen den E lektro n en gru ppe l die mittlere
freie Weglän ge ; beim D u rchlau fen der freien Weglän ge I wird
,
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
1) E
.
Rieck e Ann d Ph ys
,
2) P Dru de , Ann
.
.
.
.
d Ph
.
y
s
.
.
6 6 , S 35 3 , 5 45
u
.
1 , S 5 66
.
.
.
1 1 99
3, S 3 69
.
.
.
1 8 98
1 900
.
.
Zw eite Absch nitt
286
r
E lek trom agnet
.
.
Vo
rgänge
in w ägbaren Körp e m
.
Emissions vermögen der Metalle für Wärmestrahl en
u leiten
ll
roßer
We
e
ge
herz
n
l
ä
n
g
In Gas en sind di e Vorgän ge welche di e elektr ische Leitu n g
begleiten w eit verwickelter als in Metallen Die freie Weg
län ge der Elektro nen ist hi er größer so daß die du rch das
elektrische Feld erteilte Geschwin digkeit keineswegs immer
klein gegen diejenige der regello sen Wärmebew egun g ist So
e rklären sich die Ab w eichu n gen vom Ohm s chen Ge s etze w elche
bei Gasen o ft in recht au genfälliger Weise hervortreten Au ch
lagern sich den freien Elektron en neu trale Mo leküle in w ech
s cln der Anz ahl an
wie in 1 erwähnt w u rde Dort haben
w ir die für di e allgemeine Theorie der Elektrizität be deu tu n gs
vollen Ergebnisse der neu eren Untersu chu n gen über Gasionen
bereits kenn en gelernt
tro n en das
.
,
,
.
,
.
,
.
,
.
.
33
.
Da s
e l e k tr
om agn e tis ch e
F e l d h o oh fr e
in li n e are n L e i te r n
q
u e n te r
S tr öm e
.
Wir h atten bereits in dem einl eiten den Kapitel di eses
Bandes
8) allgemein e S ätze über die Fortpﬂanz u n g elektro
magneti scher Störu ngen kenn en gelern t Wir waren dabei au s
d
n
i
eg
a
n
ge
v
o
n
e
Fe
l
dg
l
eich
u
n
ge
n
I
b
s
I
V
der
E
ektro
e
n
l
n
n
g
(
)
theori e u n d hatten di e se mit Hilf e der elektrom a gnetischen
Pote ntiale u nd n och übers ichtlicher mit Hilfe des Hertzschen
”
°
Vektors 3 gelö st W ar die Dichte l =
des Ko nv ek tio n s
s trome s der Elektron en gegebe n
so li eß s ich a u f Gru n d v o n
l
7
8
d
a
c
d
e
ektrom
g
n
eti
che
Fe
d
der
be
egte
4
8
4
s
a
s
l
4
w
n
(
)
E lektron en ermitteln
In der Bez eichn m gsw eise deren wir u ns jetzt bedienen
w erden die elektr om agn eti schen Vektoren der v o n den ein zeln en
E lektr onen erregten Felder du rch e
vorgestellt Au s den Feld
l
u n gen I bis I
l
V
eich
der
E
ektro
e
th
orie
h
be
wir
n
n
e
a
n
i
n
2
8
5
g
(
)
du rch Mittelw ertsbildu ng die Diﬂer ential gleich u n gen (l a bis IV a)
a bgeleitet ; die se lben verkn üp fen die Mittelwerte
l) mit den
Mittelw erten der Dich ten der Elektrizität u n d des Ko nv ektio ns
s tr om e s ge nau so
w ie d u rch die u rsprün gli chen Gleichu n gen
.
.
,
,
,
,
.
,
,
,
'
.
E rstes
Kapitel
Ru h ende
.
Körpe
r
287
.
d
v or
mit
e
Dichte
e
l
b
s
t
n
n
s
b
Wir könn en also dasjenige w as w ir au s diesen
k nüpft w a ren
Feldgleichu n gen ableiteten ohn e w eiteres au f die du rch Mittel
w e rtsbildu n g en tstan den en Gleichu n gen (Ia bis IV a) über
tragen Erinn ern w ir u ns fern er daß w ir du rch ( 1 6 6) u n d
aben
en w ir
mit
ide
ti
ziert
h
s
erh
t
n
ﬁ
o
a
l
6
a
1
mit
6
(5
8
b
)
(
IV) die Vektoren
b
i
I
s
(
e u nd
,
.
,
.
,
,
1
8
0
( )
cu rl
8
l
.
8
e
a
1
8
0
)
(
ct
’
Dabei ist 5 die beobachtb are Feldstark e des anfänglichen
elektro stati schen Feldes E s bestimmen sich die elektrische
z u
Feldstärke
einer be
u n d die m a gneti sche In du ktio n 8
liebigen Zeit w enn der Hertzsche Vektor bekannt ist Die ser
au s den
a ber berech n et sich
4
7
u nd
bzw
8
1
4
5
c
e
n
t
(
( )
( )
sprechen den Beziehu n ge n
0
.
,
.
.
=
.
3
8(
o,
Al s
Körp em
l)
=
idi
1 d1
t
d
i
,
ö
de
i
a(
,
z
—i )
.
Mittelwert der elektri schen Stromdichte in ru henden
ist dabei der in ( 1 6 5 b) an gegeben e Au sdru ck ein
zu tragen
d
l
8
o
(
)
u
e
der zu sammengesetzt
=i+
ist
«
au s
den Po larisatio nselek tr o n en
den
u nd
v on
den
m an
,
den
Leitu n gselektronen
,
Magnetisierun gselektronen
herrühren den Stromanteilen V on jedem V o lu melem ente des
Rau mes in w elchem das Zeitinte gral ( 1 80 b) diese s Vektors v o n
Nu ll verschi eden ist wird e in Beitrag z u m Hertz schen Vektor
beigesteu ert ; ders elbe eilt mit Lichtgeschwin digkeit nach dem
Au fp u nk te hin w obei sein Betrag sich in e in em dem zu rück
gelegten Latensw ege u mgekehrt proportionalen Maße verrin gert
.
,
,
,
,
.
288
Z w eite Absch nitt
r
.
E lek trom agnet
.
Vo
rgänge
e
in w ägbar
n
Körp em
.
eckmäßig den Hertzschen Vektor in derselben
Weise z u schreiben in welcher du rch (5 0 b 5 1 b ) die elektro
magnetischen Poten tiale au sgedrückt wu rden nämlich
E s ist
z
w
,
,
1
0
8
(
,
e)
Die Integration
hier über die v o n Elektri zität dur ch
str o m ten V o lu m ele men te de s ganz en Rau me s au s zu dehn en
E s brau cht kau m bemerkt z u w erden daß die Beziehu n gen
1
0
b
i
s
1
0
8
8
s
e
ich
ch
I
b
au
d
H
u
i
e
a
s
e
a
l
h
u
n
e
I
n
t
i
n
b
b
c
s
V
u
(
)
(
)
p g
g (
)
der Maxwellschen Theorie hätten herleiten lassen v o n deren
Identität mit den Gleichun gen (Ia bis IV a) w ir u ns j a in 5 28
überze u gt haben
In der T at sin d die phy sikalis chen Vorau s
setzu n gen
au f den en die E n tw icke lu n gen die se s Para graphen
u n d de s n äch stfo lgen den beru he n
diejeni gen der Maxw ellschen
Theorie Die Hypothesen der Elektronentheorie kommen dabei
n icht in s Spi el
Wir waren bei der D arlegu ng der Theorie
der elektri schen Schwin gu ngen im ersten Bande dieses Werkes
au f die Str ahlu n g ein e s Stro m system e s nicht ein gegan ge n
r
w
i
;
hatten versprochen im zweiten Ban de diese Lücke au szu füllen
Die allgemein en S ätze über die Au sbreitu ng elektr omagnetischer
Störun gen die u ns in der Mechanik der Elektron en v o n so
großem Nu tzen w aren gestatten es u ns jen es Versprechen z u
erfüllen un d nu nmehr jen e für die drahtlo se Telegraphie
fu n damentalen Fra gen z u erledigen
Wir denken u n s ein Sy stem elektrischer Sch w ingu ngs
kr eise ; dass elbe se i v o n beliebigen polarisierb aren u nd magneti
E s w erde etw a du rch den elek
sierbar en Körp em u mgeben
trischen Fu nken plötzlich ein Schw ingun gsvorgan g au sgelö st
Welches elektrom agnetische Feld wird erregt ?
Die Gleichu n gen ( 1 80) b is ( 1 80 e) bestimmen die Vektoren
de s ge su chten Felde s
u nd 8
Freilich bedürfen w ir z u r
Berechn u n g v on 17 der Kenn tni s n icht nu r des Leitu n gs
s on d ern au ch der
str ome s
Magnetisieru ng u n d des an der
Materie haften den Anteile s des V erschiebun gsstr o mes Meist
w erden w ir die Stromverteilu n g in den Leiterkr eisen u n d die
ist
.
,
,
.
,
.
.
.
,
,
,
,
.
,
,
.
.
,
.
,
.
290
Zw eite Absch nitt
1
1
8
(
3
r
E lek trom agn et
.
.
8
)
Vo
rgänge
in w ägbaren Korp sm
.
{ Q },
c
Wert des Hertzschen Vektors in ein em Au fp u nk te dessen
En tfernu ng r v on den stro mdu rchﬂo ssen en Drähte n groß
gegen die Q u erschnittsabme ssu ngen ist; dies er Wert stellt sich
dar als e in län gs der Leitlini en aller stro mdu r chﬂo ssen en
lin earen Leiter erstr e ck te s In te gral u n d zwar hängt der v o n
den Stro m ele m enten beige steu erte Beitra g v o n dem Werte v o n 9
ab
w elcher in ein em u m di e Laten sz eit
z u rück lie en den Mo
g
mente die bis dahin du rch geströmte Elektrizitätsmen ge angab
Wir erhalten übrigens au s (48 a) u n d
a) für das
elektromagnetische Vektorpotential den Au sdru ck
als
,
,
c
.
1
1
1
8
b
(
)
Diese Formel konn en w ir der Formel ( 1 68 a) in Bd I
S 220 an die Seite stellen welche das Vektorpotential ein es
stationären Strome s in ein em lin ea ren Leiter be stimmt
W ir
haben hier 77 gleich 1 gesetzt weil wi r v o n dem Felde im
gleich ist
leeren Rau me red en w o cu rl 91 s owohl 8 w ie
Der w esentliche Un terschied der beiden Formeln jedoch liegt
darin daß dort die jew eili ge Stromstärke in Rechnu n g gezogen
w u rde w ähren d hier die en dliche Au sbreitu n gs gesch w in digk e it
der v o n den Stro melem enten au sgehenden Wirku n gen berück
w
l
sich ti t ist
u ch du rfte dort
e in statio närer Str om stets
ei
A
g
e in ge s chlo ssen er Str om ist w elcher du rch alle Q u erschn itte die
selbe Elektrizitäts men ge führt J vor das In tegralz eichen ge setzt
werden Das ist hier nicht ohne w eitere s erlau bt ; ein ni cht
statio närer Strom kann du rch vers chieden e Q u ers chnitte ein e s
Leiters verschieden e Elektrizitätsmengen tran sportieren w obei
ein e An h au fu n g v o n Elektrizität an der Oberﬂäche des Drahtes
Der nicht stationäre Strom brau cht au ch kein es
stattﬁndet
wegs ein ge schl o ssen er z u sein Wir können u ns etw a die En den
de s Leitun gsdrahte s in die einan der gegenüberliegen de n Platten
eines Kon densators münden d vorstell n oder au ch frei endigend
In jedem Falle kann das m agn eti sche Feld au s ( 1 81 b) sr
.
,
,
.
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
.
.
e
,
.
Kapitel
E rste s
Ru h en de
.
Kö p e
r
r
29 1
.
mittelt w erden Wir erhalten au s dieser Formel ein Urteil u b er
de n Gültigkeitsbereich der The orie des u asistatio nären Strome s
v l Bd I Ab schn III Kap
l
we
che
a
u f der Formel I 1 6 8 a
( g
(
)
beru ht u n d w erden befähi gt di e Theorie au f hochf requ ente
Ströme in linearen Leitern anz u w enden die weder als qu a si
n och als ges chl o ssen gelte n könn en
Bei schn ellen
station är
Schwin gu ngen ist das magnetische Feld u nzertrennli ch mit
dem elektri schen verkn üpft w ie j a au ch an Stelle des sk a
laren e lektro stati schen Poten tiales bzw de s m a gnetischen Vektor
potentiales die beiden elektromagnetischen Poten tiale treten
die sich dem Hertzschen Vektor u n terordn en (v gl 48 a b)
Au f Gr u n d v o n (1 8 1 a) b e s ti mm e n w ir d u rch di e
G l e i ch u n ge n
38
u rl
c
c
8
1
1
’
(
)
äT
q
.
.
,
.
.
,
.
,
,
,
,
,
.
,
.
,
.
.
”
1
d
1
8
(
)
—
6
3 %
3
m
Fe l d de r e l ektro m a g n e t i s ch e n S t o r u n g i m L u f t
r a u m e w e l ch e v o n s c h n e ll e n e l ek tri s ch e n S c h w i n
g u n ge n i n l i n e a re n L e i t er n erre gt w ird I n s b e s o n de re
b eh e rr s ch e n w i r s o d ie Th e o ri e d er e n t s a n dte n We ll e n
d i e i n d e r dr a h tl o s e n T e l e gr a p hi e z u r Ü b ertr a g u n g
d er te l e gr a p hi s ch e n Z e i ch e n ve r w a n dt w erd e n
Wir w enden die allgemein en An sätze au f ein en Sch w in gu n gs
kreis an dessen Abmessu n gen klein gegen die Wellenlän ge der
en tsan dten Wellen sin d Dieser Bedin gu n g genügt di e in Bd I
E
e
n
:
n
n
P
a
beh
de
l
te
A
n
or
g
i
n
Ko
de
tor
de
e
tt
6
a
n
d
n
u
n
n
s
a
s
s
l
6
5
du rch ein en Leitun gsdr aht verbu n den sind Hier kann der
Strom als u asistatio när betrachtet w erden falls di e Kap azität
der Leitun g gegen di ejeni ge des Kon dens ators verschwin det
u n d es h at die Stro mstark e J u n d deren Zeitintegral g für
Verstehen
alle Qu er schni tte der Leitun g den gleich en Betra g
wir u nter c die jeweilige Ladu n g derjeni gen Ko ndensato rp latte
in welcher die Leitu n g en digt so gil t nach ( 1 81 )
da s
,
.
,
.
,
.
.
,
,
q
.
,
,
.
,
,
t=
e
292
Zw eite Absch ni tt
r
.
E lek trom agn et
.
Vo
rgänge
in w ägbaren Körp em
.
Dabei ist c die anf ängli che L adu n g jen er Kon densato r
platte ; die jew eilige u nd die anfän gliche Ladun g der ihr
gegen überstehen den Platte in welcher die Leitu ng beginn t
6 bzw
6
sin d
Wir denk en u n s ein en Au fp u nkt dessen Entfernu n g v o n
dem Sch w ingungskreise groß ist gegen die Abmessungen des
Kreises Die Entfernu ng brau cht daru m n och ni cht groß
gegen die Wellenlänge z u sein Die Entfernu ng r dieses
Au fp u nk tes v o n den e in zelnen Pu nkten der Drah tleitu ng ist
merklich die gleiche ; es kann daher in ( 1 8 1 a) diese E nt
D asselbe gilt
fernu n g vor das In te gr alzeichen gesetzt werden
denn es sollen die Abmessu n gen des Kreises
v o n 9 (Z
l
u n d demn ach di e Di fferen zen der Latensw e e
k
ei
gege
die
n
n
g
Wellenlänge sein die Schw ingu ngsphasen sin d mith in für alle
Punk te der Leitu ng z u r Zeit des Entsen dens merklich die
gleichen Wir erhalten
o
,
.
0
,
.
.
.
.
,
,
,
.
1
8
2
a)
(
Die hier eingehende Vektorsu mme aller Elemente des
lin earen Leiters kann gemäß den allgem em en Regeln der
Vekt oraddi tion du rch ein en einzigen Vektor ersetzt w erden
w elcher direkt v o n dem Anfan gsp u n kt der Leitu n g z u ihrem
Endpu nk te führt
Vers tehen w ir u nter 11 das Moment des Dipoles w elcher
du rch zwei in diesen Punk ten beﬁn dliche L adu n gen i 6 ge
bildet w ird ao k önn en w ir schreiben
,
,
,
.
,
,
”
8
2
b
1
8
)
(
”
l
(
0
°
1
‘
9
rsprün gliche elektro statische Feld der L adu n gen
wird gemäß Bd I S 63 G1 (8 1 ) gegeben du rch
Das
u
.
.
.
w
E s folgt
Feld
demnach
l
—
=
au s
— div
.
,
1
1
8
(
des Sch w in gu ngsk r eises
c d)
,
f ür das
i
—
( ß)
elektromagnetische
294
Zw eiter Absch nitt
.
E lektromagnet
.
Vo
in w ägbaren Körp em
rgän ge
.
der mit der L adu n g e versehenen Platte du rch
e versehen en
das Did aktriku m nach der mit der L a d un g
gerichtet Der V erschiebu n gsstro m ergänzt den Leitungsstr om
im Drahte z u ein er geschl ossenen Strömu n g er ist dem Strom
elemen te das v on der Ladu n g c nach 6 geht u nd welches
den Leitu n gs strom hin sichtlich der Fem w irk u ng ersetzt ent
gegen gerichtet Würde der gesamte V ersch iebu n gsstr o m in
Rechnu ng z u setzen sein so würde seine Fem w irk un g die
D
a aber n u r der
Lei
g
tr
me
ger
de
hebe
t
u
n
s
au
s
f
e
d
o
s
a
n
e
e
n
i
s
j g
1
—
in Rechnu n g z u ziehen ist so w ird di e Fern
Bru chte il 1
wirku n g ni cht au fgehoben sondern nu r im Verhältn is 1 : 6 ver
Wir könn en das Ergebnis au ch so au sdrücken Is t
r in gert
d e r R a u m z wi s ch e n de n Ko n de n s a t o r p la tt e n m i t e i n er
di e l ek tri s ch e n S u b s t a n z er f üllt s o i s t f ür di e F e r n
w irk u n g da s M o m e n t de r f r ei e n L a d u n ge n d er K o n d e n
s a to r be le u n
n
m
a ß geb e n d
e
g
g
Für die drahtlo s e Tele graphie ist die Kenn tni s der Feld
s tärken in der W ellen z o ne v o n Wichtigkeit ; die se b ildet sich
in E n tfernu n gen vom Schwin gu n gskrei s die groß gegen di e
Wellenlänge sin d Die Feldstärken des Dipoles w erden hier
du rch (54) gegeben ; sie sind am größten in Richtu n gen senk
recht z u r Achse des Dipole s Hier w ird
ist
nu n v o n
.
,
,
,
.
,
.
,
,
:
.
,
.
.
.
=
@
II
=
lé l
l
—
r
Die elektrische Feldstärke ist dabei p arallel die magne
tische senkrecht z u r Achse des Dipoles gerichtet Ist d der
Ab stan d der Ko n den sato rp latten d h der Ab stan d der einan der
gegenüberliegen den En den der Leitun g so w ird speziell für
ein fach harmoni sche Schwin gu n gen v o n der Schw ingun gszahl
i
n 2 : Seku n de n
(
)
,
.
,
.
.
,
77
D i e We ll e n a mp l i t u d e i s t p rop o rti o n a l d er La du n gs
a m p l i t u de u n d de m A bs t a n d d er Ko n de n s a t o r l a t t e n
p
s o wi e d e m Q u a dr a t e d e r S chwi n g u n g s z a h l u m gek ehrt
,
,
E rstes
p r o p o rti o n a l d e r
E
Kapitel
.
Ru h ende
Kö p e
r
r
295
.
D i e l e k tr i z i ta t s k o n s t a n t e n
un
d
d er
n tfe r n u n g
.
Man könnte
denken die Tragw eite der funken
telegraphis chen Signale dadu rch z u vergrößern daß man die
Kapazität des Kon densators steigerte ; denn di e Ladu ngsamp litu de
e ist j a gleich dem Produ k te au s der Sp ann u n gsamplitu de welche
du rch di e Schlagweite der Fuh k enstreck e bestimmt ist u nd
au s der Kap azität
Nu n ist aber wie au s Formel (I S 282
G1 1 92 0 ) hervorgeht bei gegeben er Selb stin du kti on der Lei
”
tu n g v u mgekehrt propo rtional der Kapa zität K des Kondensato rs
Vergrößert man die Kapazität in dem m an d u nd 6 konstan t hält
d h in dem man die Fläche der Konden sato rp latten vergrößert
s o bleibt trotz der V er ro ßeru n
d
e
e
m
der
l
i
t
u
d
i
a
d
a
L
s
u
n
p
g
g
g
Wellenamplitu de die gleiche Erreicht man jedoch die Ste i
geru n g der Kap azität du rch Verrin geru n g des Platten
ab stan de s d oder du rch Wahl
ein es Isolators v o n größerer
Dielektrizitätskonstan te s so verkleinert man 8 0 gar die Ampli
tu de der en tsandten Wellen Der Vergrößeru n g der im Sch w in
n
n
n
u
n
e
ge
peicherte
E
ergie
e
t
pricht
mithi
kei
e
k
r
i
se
u
f
n
s
s
s
a
s
n
g g
wegs ein e Steigeru ng der au sgestrahl ten Energie
Üb erhau pt ist die Verwendun g nahezu geschlo ssener Krei se
u nd
u asistatio näre r
Ströme für die Z w ecke der drahtlosen
Telegraphie ni cht günstig Bei ein er solchen An ordnu n g zer
stören sich
w ie w ir ge sehe n ha b en die Beiträge der ein z eln en
Stro m elem ente fast vo llständi g w ährend im Gegenteil ein e
Verstärku ng der v on den ein zeln en Str o melementen herrührenden
Wellen anz u streben ist Das Z u sammenwirken der Wellen
aller Str o m ele m e n te w ird am vo llstän digsten erreicht bei den
geradlini gen Sen deantennen die man in der drahtlosen Tele
w
n det
sich der n achs te
r
phie
ver
e
Mit
ihrer
Theorie
wird
a
g
Paragraph be schäftige n
Wir wollen u m Mißverständni sse au szu schließen n ochmals
betonen daß die in den Gleichu n gen ( 1 82 1 82 a) vor
gen ommene Spezialisieru ng nu r dann erlau bt ist wenn die
Abme ssu n gen des nahezu ge schl o ssen en Kreise s klein gegen
die Wellenlän ge sin d ; nu r in diesem Falle setzen sich die v on
nu n
daran
,
,
,
,
.
.
,
.
,
,
.
,
.
,
,
.
.
.
.
q
.
,
,
,
.
.
.
,
,
,
,
296
Zw eite Absch nitt
r
.
E lektro m agnet
.
Vo
rgänge
in w ägbaren Körp em
.
einzeln en Stro melementen erregten Wellen z u einer einzigen
Welle zu sammen w elche v on der Lücke der Leitu ng au szu gehen
H at m an e s hin gegen m it ein em n ahezu ge schl o ss enen
s chein t
Kreise z u tu n dessen Abmessu ngen nicht klein gegen di e
Wellenlän ge sind (z B einem Hertzschen Re sonator ohn e e in
geschaltete Kap az ität) so h at man den Hertzschen Vektor au s
den allgemein eren Gleichu n gen ( 1 8 1 1 8 1 a ) z u berechn en Die
Stromstärke J u n d ihr Zeitinte gral 9 haben hier keinesw egs
für alle Q u ers chn itte den gleichen Wert da die Kap a zität der
Leitu n g nicht z u v em achlässigen ist Au ch haben die Bei
träge die v o n verschiedenen Stro m elem enten des Kreises ent
gleichzeitig in ein em entfernten Au fp u nk te eintreﬂen
san dt
in die sem Falle Laten sw e ge zu rückgelegt deren Differen zen v o n
der Ordnu ng der W ellenlän ge sin d ; es sin d demn ach für die ein
zeln en Str o m elem ente verschieden e Schw in gun gsphasen in Be
tracht z u ziehen Au s diesen Gru nden ist es n icht gestattet die
Fem w irk u n g ein e s ge schl o ss enen Sch w in gu n gskr e ises allgemein
gleich Nu ll z u setzen u nd die Fem w irku ng ein er u n gesch lo ssenen
Leitu n g stets v o n den Enden au sgehen z u
I m a ll
ge m e i n e n g eht di e S tr a h lu n g k e i n e s w e g s v o n de n
E n d e n d e r L e i t u n g s o n der n v o n a ll e n St r o m e l e m e n t e n
d e r L e i t u n g a u s Au ch e i n ge s c h l o s s e n er Kre i s e n t
d a he r i m a ll ge m ei n e n w e n n e r v o n s ch n e ll
s e n de t
w e ch s e l n d e m S tr o m e d u rch f l o s s e n i s t e l e k tr o m a gn e
Nu r d an n wenn sein e Abme ssu n gen klein
t i s ch e We ll e n
gegen die W ellenlan ge sin d w ird di e Vektorsu mme aller Strom
elemente gleich Nu ll ; au s diesem Gru nd e u nd weil dieselbe
Schw in gu ngsphase für alle Stro melemente in Betra cht kommt
vers chw in det das Feld in entfernten Au fpu nk ten u nd somit
die Strahlu n g des ges chlo ssen en Krei ses
den
,
.
,
.
.
.
,
.
,
,
'
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
.
,
,
,
,
.
C
j
1)
H
.
ambridge
e den
M Macdo nald
.
1 902
die irrige
n
l
o
s
n
h
s
sc
e
e
e
g
hl
ss
n
o
ene
s
e
c
g
B eh au ptu ng
feh lerh aft
.
ste llt
Leitu n g
Leitu ng
basierten
stets
in
sein er
B eh au ptun g
v e rsch w in de
v on
au
f , daß die Strah lu ng
u nd
den E n den
E ntw ick elu ngen
E le ctric
Preissch ri ft
“
w av e s
der
die Strah lu ng
au sgeh e
.
Die
n
na
n
t
n
e
e
g
,
ein er
ein er u n
au f
Sch rift
dieser
sin d
Zw eite Absch nitt
298
r
E lek tromagnet
.
.
Vo
’
Drahtlän ge
d h sie ist gleich der doppelten
Oberschw in gu n gen die Drahtlän ge
fache s der halben Wellenlän ge ist
.
in w ägbare n Körp e m
rgänge
.
w ie
,
4 71
2 77 0
3
.
1
1
8
)
(
währen d fu r die
ein ganz zahli ge s Vie l
die Gleichu n g
2 17
,
.
besagt Die du rch ( 1 83 b ) bestimmten n 1 Stromk noten
teilen den Draht in n Strecken deren jede ein er halben Wellen
län ge gleich ist V on den geradzahli gen Eigens chwin gu ngen w elche
in der Mitte ein en Stromkn oten be sitzen sehen wir hier ab
Inw iefern di e theoretischen Vorau ssetzu n gen des Ans atzes
m
nken
1
z u tr eﬂen
a
z
Wir
de
83
u n ächst u n erörtert bleiben
g
(
)
Die Gr un d
u ns dies e Stromverte ilu n g experimen tell festge stellt
formel ( 1 8 1 a) be stimmt dann den Hertzschen Vektor u n d
s omit die Fe m w irk u n g des Drahte s
Au s der du rch ( 1 8 1 )
be stimmten Gr öße
.
,
,
.
.
,
'
.
.
.
( f) (
f
folgt
ch ( 1 8 1 a)
na
3
4
1
8
(
)
als
z
-
1
co s
Kompon en te
)
W
( )
de s
co s
.
Hertzschen Vektors
%
l
(
Die beiden anderen Komponenten v on 8 verschw in den
Au f Gru n d v o n ( 1 8 1 c d) be stimmt sich hierau s das elektro
magn etische Feld in En tfernu ngen die groß gegen die Ab
messu n gen des Drah t u ersch nittes sin d Der v o n l = ct u n
abhän gige Teil de s Au sdru cke s ( 1 84) rührt v o n der anf än glichen
L adu n gsverteilu n g her u n d ergibt deren elektro statische s Feld
Un s interessiert n u r das periodi sch wechseln de Feld der Sch w in
gu n g ; w ir setzen daher für die Hertzsche Fun ktion
.
q
1
a)
8
4
(
u nd e
rhalten
8
,
.
”I
co s
,
au s
1
8
1
(
(
W
;
)
:
c d) die Komponenten der
,
8 88
’
8y 81
2
8 82
öx öl
2
°
Feldstark on
E rste s
Kapitel
Körpe
Ru h e nde
.
8 88
2
299
r
.
— ’
äy a.
'
6”
öz
“
öl
’
Wir wollen diese Au sdrücke z u r Em ittel
der vom
Drahte au sgesan dten elektr omagn etischen Wellen verw erten
Wir w ü en einen Au fp u nkt dessen Entfernu n g ro vom Mi ttel
p un kt de s Drahte s groß sowohl gegen di e Wellenlänge als
Im Nenner de s Inte gran den
au ch gegen die Drahtlänge ist
in ( 1 84 a) kann dann r du rch ro ersetzt w erden hingegen im
Argu mente de s im Z ähler au ftreten den Ko sinu s ist z u setzen
.
r
=
r
„
oder
8
5
1
( )
r
C
u
ro
co s
,
90 ,
«
obei 6 den Winkel anzeigt welchen der vom Drah tmittel
pun k te nach dem Au fp un k t h in gezogene Fahrstrahl r mit
der Drah ta ch se ein schließt Die Unterschiede der Latensw ege
der v o n vers chieden en Pu nkten des Sen dedrah tes en tsandten
u n d gleich z eitig im Au fp u nk te e in treﬂen den Wellen kommen
hier w esentlich in Betra cht
Wir erhalten
w
0
,
.
'
.
1
9)
5
8
(
8
co s
:
Nu n ist
infolge
v on
o ﬂenbar
'
a
8
3
1
)
(
ergibt ferner eine einfache Rechnu n g
300
Zw eite Absch nitt
r
.
E lek tro magn et
Demnach erhalten
ti o n
.
Vo
r gänge
in w ägbar en Körp em
.
Wert de r H e rtz s ch e n F u n k
d e r W e ll e n z o n e
w ir als
de s S e n de dr a h t e s i n
b
1
5
8
)
(
Dieser Au sdru ck entspricht der Hertzschen Fun ktion eines
der z Achse p arallelen Dipoles (v gl
doch ist für die ver
s chiede n en
du rch bestimmten Richtu n gen ein verschieden es
Moment des Dipoles in Rechnu n g z u setzen Das ist das
Ergebnis der Su perpo sitio n der v on den Str o mele menten des
Drahtes herrührenden Wirku ngen welche in verschieden en
Phasen im Au fp u nkte ein treﬂen
Bei der Berechnu n g der F eldstärken au s ( 1 84 b c) brau cht
das Argu ment des v o n Z un d ro abh än gigen Ko sinu s
nu r
diﬂer enz iert z u w erden da in großen Entfern u n gen die übrigen
du rch Differentiation nach den Koordinaten entstehenden Terme
u nd
fortfallen
Man erh ﬂ t ein e Orientieru n g der Vektoren
in der W ellen z o n e welche gan z derjen igen des Dipole s
entspricht Konstru iert man au f der Ku gelﬂäch e welche die
L age der Welle angibt das Sy stem der Län gen u n d Breiten
kreise indem man die Schni ttpu nkte der verlän gerten Draht
achs e mit der Ku gel als Pole w ählt
s o ﬁn det man den elek
trischen Vektor überall den Meridian en den m a gnetischen den
Breitenkr ei sen p arallel w eisend Die Beträge der beiden Vek
toren sind
-
.
,
.
'
.
,
'
,
.
,
.
,
,
,
,
.
00 8
1
5
8
c
(
)
(5
(
“
g
Über
die Verteilu ng der Feldstärken längs der Meridian e
ist folgen de s au sz u sager : I hr e n m a x i m a l e n B e tr a g h a b e n
r
di e F e l ds t a r k e n a m A u a t o r de r K u ge l (wo gemäß 1 85
F ür d i e Gr u n d s chw i n g u n g
ist)
1)
O 9 =
u
de n P o l e n h i n a b u m
n eh m e n s i e a l l m äh l i ch n a ch
d o rt u v er s ch w i n d e n D i e Ob e r s chw i n g u n ge n h i n
ge ge n h a b e n di e d u rch
q
,
,
7
,
«
0
.
,
z
.
302
Zw eite Absch nitt
r
.
E lek tr om agn et
.
Vo
rgänge
1
1
1
ein e
un
dW
(
1
a
86
C
(
) „
1
ist,
konn en wir schreiben
3
dt
wo abkürzu ngswei se gesetzt
m)
co s z u
gerade gan ze Zahl
1
8
6
( )
.
14
du
Da
in w ägbaren Körp em
5
ist
co s am
))
1
(
1
(
n
co s
handelt sich n och u m di e Berechn u ng die ses tran s
Wir zerlegen dasselbe in vier Inte grale
z en de nten In te grale s
Es
.
x
u nd
berechn en jedes derselben
.
{ ä)
w( l
1
6
0
8
(
)
dritte
In te gral
s
co s a:
w
Die Sum me
d a:
Für das
-
00 8
a:
der
ln (2 am )
beiden ersten
.
chreiben wir
}
co s
)
w
e K pit l
E rst
Nu n folgt
(
e
du rch
”
*
s
a
e
Kö p e
r
r
30 3
.
au s
— co s x
)
—
Vertau schu n g der
(
e
*
"
co l z e
Integratio nsfo lge
)
co s x
wenn die bekann te Formel )
1
dx e
Es
Ru h ende
.
y
(
-
q
l
-
l
f
_
g
ber u ck sich tigt
1
wird
.
“co s a:
*
ergibt sich demnach
(
— co s
d
6
1
8
)
(
ii i
)
,
Der zweite Bestan dteil v o n ( 1 86 c) aber läßt sich
2
Grun d einer v on Dirichlet herrühren den Formel )
(
e
6
1
8
)
(
1
23
Fu n ktion u nd mit der sogenannten E u lerschen Ko n
s tanten in Verb in du n g brin gen
Der vierte Term im Au sdru ck v on C en dlich laßt sich
du rch p artielle Integration au f di e Form einer h albk onv er genten
Reihe brin gen
mit
der
e
auf
F
.
,.
dx
B
x
3!
1
co s x
a
z
2
n
(
)
’
2
n
(
u
)
5!
“
n
2
( u)
W
°
Riem ann
eber ,
Partielle Diﬁerenti algleich u n gen
1 ) V gl z
1 5 1 9 Gl 2 S 4 3
2) G L Dirich let, Jou rnal f rein e u angew Math em 1 5 , S 26 0 1 8 86
.
.
.
.
.
.
.
.
-
.
'
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Zw eite Ab ch ni tt
304
r
s
Vo
E lek tro m agn et
.
.
rgänge
in w ägbaren Körp em
.
In di eser
Reihe ist der Re st stets kleiner als das letzte
beibehaltene Glied sie ist demn ach wenn man möglichst genau
mit dem kleinsten Gliede abzu brechen
z u rechn en wüns cht
Au | ( l 86 b c d e f ) folgt jetzt
,
,
,
,
,
,
7
1
8
( )
.
,
31
C ,.
u
(
)
n
,
D u rc h ( 1 86) u n d ( 1 87) b e | t i m m t | i ch d i e m itt l e r e
s e k u n dl i c h e G e s a m t s t r a h l u n g d e r E ige n s chw i n g u n g e n
de s D r a h t e s
Dieselbe wächst bei gegeben er m aximaler
Str omamplitu de mit der Ordn u ngsz ahl der Schw ingu ng ; je
größer di e Ordnun gszahl desto rascher konvergiert die Reihe
Fu r die Gr u n d s chw i n g u n g f i n de t m a n de n
n u m eri s ch e n W ert
.
,
“
2
1
7
8
a
(
)
C1
20
d e r m i tt l e re n s e k u n dl i c h e n Ge s a mt s tr a h lu n g Die
maximale Stromamplitu de a ist dabei elektro statisch z u messen
Die hier gegeben e Berechn u n g der Strahlu ng ein es Wellen
e rregers b eru ht au f der Ann ahm e
daß die au s der Theorie
der stehen den Drah tw ellen geläuﬁgen Vorstellu ngen sich ohn e
w eiteres au f den Erreger übertra gen lassen
E s kann be
w erden
z weifelt
ob di e se Üb ertragun g v o n vornh erein be
r e ch tigt ist
In der T at di e Frage n ach dem zeitlichen Ver
la u fe der Eigenschwin gu ngen eines Hertzschen Erregers w ar
viele Jahre h indu rch ein e str ittige Währ end H Hertz u nd
V Bjerkn es die Vorstellu ng vertraten daß der Erreger nu r
e in e einzigehau ptsächl ich du rch Str ahlu n g gedämpfte Schw in gu n g
a u sse nde
s chl o sse n s ich an dere Fors cher einer v o n S ara | in
au fge stellten Hypothes e
an
indem sie die
u n d de la Riv a
Str ahlu n g des Hertzschen Erregers als ein ko ntinu ierliche s
Spektru m u ngedämp fter Schwingu n gen ansahen In An betr acht
dieser Sachlage meinte ich als ich die Behan dlun g de s
Pr o blem e s in An griﬂ n ahm
i e An alogie der Drah twellen
au f d
.
.
,
.
,
,
.
.
.
.
.
,
'
1)
M
.
Ab
Die
rah am
förmigen Leite r
.
Ann d Ph
.
.
Sch w in gu ngen
elek tr is ch en
ys
.
3
S
5
66
4
3
,
( )
.
.
1 8 98
.
um
e inen
stab
306
Zw eite Absch nitt
r
E lek trom agnet
.
.
Vo
rgän ge
in w ägbaren Körp em
.
Derselbe stellte das Vorhandensein der u n geradzah ligen Ober
1 7 fe st e s fehlten hingegen die gerad
schw in gu n gen bis
w
ntsprechen d
u n gen des Sen dedrah tes ;
Eige
ch
i
g
e
n
z ahli en
n
s
g
der angewandten E rregu ngsw eise (Fu nk enstrecke in der Mitte)
bei welcher im An fange die Spannu n g in zwei symmetrisch
liegen den Pu nkten des Erregers entgegen ge setzt gleich ist
bildete n sich nu r diejenigen Eigenschwin gungen au s welche
in der Mitte des Drahte s einen Spann u n gsk n oten be sitz en
Wir müssen u ns hi er ein gen au eres Eingehen au f die
u nd u ns
stren ge Theorie de s s tabförmigen Sen ders versa gen
mit ein em Hinw eise au f die Originalarbeit u n d au f di e v o n
F Hack ) gegebene zeichn erische Darstellu ng der elektris chen
Kraftlinien der E igen | ch w ingu ngen u nd ihrerBew egu ng begnügen
Die obige mehr elemen tare Abteilu ng der Strahlu n g eines Sen de
veröffen tli cht als diese Dinge für
dr ahte s habe ich sp äter
die drahtlose Telegraphie v o n aktu eller Bedeu tun g w u rden
Bei der u rsprünglichen Marconisch en Senderan 0 rdnu n g wird
der ein e Pol ein er Fu nkenstrecke mit der An tenn e der andere
mit der Erde verbu nden Man h at es also hier nicht mit
einem frei im Rau me schwingenden Draht z u tu n es i| t viel
mehr die Erde in Betra cht z u ziehen Das kann aber in s eh r
einfacher Weise geschehen w enn man mit Rücksicht au f die
Wahrnehm u n g daß die Wellen ni cht merklich in di e Erde
eindringen die Erde als gut leitend betrachtet oder o p ti| ch
gesprochen als spiegelnd Die an der Oberﬂäche ein es voll
kommenon Leiters gelten de Grenzbedin gun g daß di e elek
tri schen Kraftlin ien senkrecht s tehen wird w ie die Theorie
ergibt v o n allen u ngeradz ahligen Eigens chw in gu ngen des freien
Spiegelt man die
Sendedrah tes an der Äqu atorebene erfüllt
v o n der Erde s enkrecht bis z u r Höhe h au fs teigende Sen de
an tenn e an der eben en E r do berﬂa ch e
u n d zieht die u n era d
g
z ahli en Eigen schwi n gu n gen de |
n
e
t
t
de
n
ger
a
de
Dr
hte
a
n
e
a
s
n
s
n
g
v o n der L än ge E
M in Betracht so erhält man ein elektr o
,
,
,
.
,
1
.
.
,
.
,
.
,
.
,
,
,
,
.
,
,
,
,
.
,
1) F
2)
.
M
.
Ha
ys (4) 1 4 S 5 3 9
y Z eitsch ift 2 S
A
n
n
d
Ph
,
brah am , Ph sik
A
ck
.
.
.
.
,
r
.
,
.
.
1 904
.
3 29
.
1 901
.
E rstes
Kapitel
.
Ru h ende
Körp er
307
.
Feld w elches an der Erdoberﬂäche der gestellten
Grenzbedin gun g Gen üge leistet ; dasselbe ist oberhalb der Erd
o berﬂäch e mit demjeni gen der wirkli chen Sen de antenn e identisch
Für die drahtlo se Telegraphi e kommt nu n hau ptsächl ich die
Gru ndschwi ngu ng in Betracht Au s un s erem Sp iegelun gs
verfahren u nd au s Gleichu ng ( 1 83 c) könn en wir schli eßen
D i e We ll e n län ge d er Gr u n d s chw i n g u n g e i n er S e n de
a n t e n n e i s t g l ei ch ihre r vi er f a ch e n Hö he
Die Höhe
ist dabei v on der Erde an z u rechn en entsprechend dem Um
daß di e Sp annu n g des u ntersten
der Erdoberﬂäche
stands
zu gehörigen Pu nktes der Leitun g gleich Nu ll ist D a s
Dä m p f u n gs de k r e m e n t de r Gr u n d s ch wi n g u n g i| t nach
1
7
b
8
a
(
)
magnetiw h e s
.
.
.
,
.
2°44
7
8
1
0
(
)
2h
Diese Formel bezieht sich allerdin gs zu nachst au f ein e
An tenne deren Q u erschn itt na ch der Spitze hin allmähl ich
Immerhin wird man sie au ch au f zylin dr ische
abn immt
Drähte anwenden können wie e s j a überhau pt au f den genau en
Z ahl wert des als Argu ment des Lo garithm u s auftretenden
Q u otienten kau m ank ommt
cm u n d
Man erhält 2 B für I)
für h
25 Meter J
1 00 Meter
für h
25 0 Meter I,
1 000 Meter 6 1
.
,
.
.
,
.
,
,
.
,
.
M e i s t w i r d m a n b e i de r Ve rw e n d u n g ei n e s e i n
de s
z e l n e n Se n de dr a h t e s m i t de m Werte
Str a h l u n gs de k r e m e n t e s re c h n e n k ö n n e n Ihm entspricht
e in Herab sink en der Wellenamp litu den au f den e
Teil nach
Dieser immerhin beträchtliche
fünf gan zen Schwin gun gen
Wert der D ämpfu n g stimmt mit der allgemein en Erfahrun g
übere in wo nach die Re s o nanzku rve (v gl I 5 6 7 ) ein er so lchen
einfachen An tenne eine ziemlich ﬂache der Bereich des An
sprechens mithin ein ziemlich weiter ist
Die Bedin gun gen
für eine abge stimmte Telegraphi e sin d bei die ser e inf achsten
,
,
.
°"n
.
,
.
,
.
20
*
Zw eite Absch nitt
308
r
.
E lek tr om agn et
.
Vo
in
rgän ge
w ägbaren
Körp em
.
recht u n günstige Übrigens kommt neben der
D ämpfu n g du rch Strahlu ng di ejeni ge d rch Jo u lesch e Warm e
in Fra ge ; ihr Betrag ist allerdings verhältnismäßig gering ; die
Wärmeentwickelu n g in der metallischen Leitun g ist gegen die
Au sstr ahlun g ganz z u v em achlässigen ; höchstens könn te di e
in der F u nken strecke en twickelte Wärme in Re chn u n g z u
ziehen sein
Bei den n eu eren Brau n Slabyw h en Senderano rdnu n gen h at
man es mei stens mit zwei Leitu n gen z u tu n In der ersten n ahez u
geschlo ssen en Leitu ng beﬁn den sich Konden satoren in den en die
En ergie au fgespeichert ist Mit ihm indu ktiv verkoppelt oder
w elche die
an ih n direkt an ge schl o ss en ist di e Sen dean tenn e
Wellen in den Rau m hinau s sendet Die Literatu r über di ese
An ordnu n gen ist ein e s ehr u mfan greiche Viele der Au toren
jedoch begnügen sich entweder damit den Strom in der An tenn e
u a sistatio när z u behan deln
indem sie di e in Bd I 5 68
als
dargelegten zu nachst au f den Tesla Transform ator bez u glich en
Entwickelu n gen ohn e weiteres au f den vorliegen den Fall über
tragen an dere wiederu m besch rän ken sich darau f di e Verteilu n g
n tenn e z u be | tim m en ohn e
v o n Str om u n d Sp ann u n g län gs der A
entsandten Wellen z u reden Gerade auf die ent
v o n den
san dten Wellen aber kommt e s bei der dr ahtlo sen Tele raphi e
g
u n d a u ch ihre Rückwirk u n g au f die Sen ders ch w in u n en
an
g g
darf nicht au ßer a cht gelas sen w erden Daß man u nter Berück
sich tigu ng die ser Um s tände da| di rekt gekoppelte Gebers y ste m
habe ich kürzlich gezeigt ) E s
appro xim ativ behan deln kann
ergeben sich au ch wenn die beiden Leitu n gen v o r der K0 pp e
lu n g in Re sonanz waren zwei verschiedene Gru n dschwin gu n gen
des gekoppelten Syste mes ; die se geben z u Sch w ebu n gen Anlaß
n Verlau fe die En er ie vom Prim ärkr eü
v l I 5
i
n
dere
( g
g
der An tenn e zu geführt u n d so z u r Am strahlun g gebracht wird
Au ch wenn man es mit mehreren parallelen Sen de dräh ten
kann man au s der Stromverteilun g au f Gru n d der
z u tu n h at
Entwickelu n gen der beiden letzten Paragraphen u n schwer die
An ordnu ng
.
u
.
.
,
.
,
.
.
q
,
,
.
,
-
,
,
,
.
.
?
,
,
,
.
,
.
,
1)
M
.
Ab
rah am
,
Ph
ys Z eitsch
.
rift
S 1 74
.
.
1 904
.
31 0
Zw eite Absch nitt
r
E lektrom agnet
.
.
Vo
in w ägbaren Körp em
rgänge
.
tischen Fällen der Wert der Fo rtp ﬂanz u ngsgesch w indigk eit der
Wellen sich merklich änderte An diese Untersu chu n g schli eßt
welche Wellen behandelt die
sich diejenige v o n G Mic ) an
an zwei p arallelen Drü ten v on en dlicher Leitfähi gkeit fort
Wie Kapazität u nd Selbstindu ktion der Leitu n g in
schreiten
di esen F ällen z u deﬁnieren sin d h at der Verfas ser die ses Werke s
?
dargelegt ) Leider müssen w ir un s hi er mit einem ku rzen
Hinweis au f diese Probleme begnügen der den Leser z u m
Stu di u m der Originalabhandlu n gen anregen mag
.
1
,
.
,
.
,
.
Z w e i t e s K ap i tel
.
Bew egte Korp er
.
erste H au p tgl e ich u n g
Wir haben im vorigen Kapitel (5 28) die H au p tgleich ungen
der Elektrodynamik ru hen der Körper au s der Elektr onentheorie
abgeleitet ; wir sin d dabei au s gegan gen v o n den Gleichu n gen I a
(
bis IV a) welche sich du rch Mittelw ertsbildu n g über die Felder
der einzeln en Elektron en ergeben hatten Die au ftr eten den
Mittelwerte
haben wir mit der magnetischen Indu ktio n 8
u n d der e lektri schen Feldstärke
identiﬁziert (G1 1 66 1 66 a)
u n d die Vektoren
du rch ( 1 66 b c) deﬁniert Für
u nd
ru hen de Körper e rgaben sich die Gleichu n gen (I b bis IV b) der
Maxw ellschen Th eorie D abei ist der ersten H au p tgleich u n g (I b)
die dritte (III b) zu zu ordn en die au fs engste mit ihr verknüpft
ist ; bildet man n amlich die Divergenz v o n I b u n d differenz iert
IIIb n ach der Zeit so gelan gt man z u r Ko ntinu itätsbedin gun g
der wahren (an den Leih m gselektr on en haftenden) Elektrizität
An derseits ist die zweite H au p tgleich u ng (II b ) mit der vierten
ü
e
s
d
n
f
t
I
V
b
I
Vb
verk
p
der
Dichte
n
h
d
V
e
n
h
w
i
n
d
e
n
i
t
a
s
c
c
;
)
p
(
w ah ren Magneti smu s au s deren zeitliche An deru n g nach I
Ib
ohn edies verschwinden mu ß
35
Die
.
.
,
.
.
,
,
.
.
,
,
.
,
.
1)
G
2)
M
.
.
Mic
Ab
,
Ann d Ph
rah am
.
,
.
Ann
.
ys
.
1
4
2
S
2
0
,
( )
d Ph
.
.
y
s
.
1 900
.
2
7
S
1
6
4
( ) ,
.
.
.
1 90 1
.
Z w eites Kapitel Bew egte Körpe
r
.
31 1
.
Wir wollen nun für den allgemeinen Fall ein es be
wegten Körpers in diesem Paragraphen di e erste Hau pt
gleichu n g un d im nächsten Paragraphen die zweite au s den
Gru ndhypothe sen der Elektronentheorie ableiten D abei bilden
wiederu m die Differentialgleichu n gen (Ia bis IVa) den Au sgangs
punk t Unter h ist aber jetzt n icht die Geschwin digkeit der
E lektron en relativ z u r Materie z u verstehen sondern die abso
lu te Ge schwindi gkeit der E lektr o nen im Rau me d h di e Ge
uni versellen Bez u gssy ste m
i
n
dem
s ch w in di k eit
i
n
g
welchem di e Isotropie der Lich tfo rtp ﬂanz u n g statth at Ob u n d
wie di eses Bezu gssystem empirisch festzu legen ist mag hier
Seine Existenz wird schon du rch die
nicht erörtert werden
Maxwellschen Gleichu ngen gefordert w elche in dem v on Materie
th er) gelten
Nach den
un d Elektrizität leeren Rau m s (im A
Grun dvorstellu n gen der Lorentz schen Theorie sin d es Zu stände
de s Rau me | welche du rch die elektr om agneti schen Vekt oren
In der Hertzschen Elektr odyn amik
u nd 8 be schr ieb en werden
bew e gter Körper dagegen sin d e s | tets die elektromagnetischen
Zu stän de der Materie welche du rch die elektromagn etischen
Vektoren gekennzeichnet werden Hierin liegt der prin zipielle
Gegen satz der Hertzschen u n d der Lo rentz sch en Theorie ; wie
wir bereits im ersten Ban de dieses Werkes an deu teten beﬁndet
gerade in der Elektrodynamik bewegter Körper die
sich
Lo r entz sch e Theorie in be sserer Überein stimmun g mit der Er
Im folgen den wir d das au sführ
fah ru ng als die Hertz sche
licher z u zeigen sein
W ir bezeichn en mit m die Ge schwin digkeit der Materie
mit h die Relativgeschwin digkeit der Elektron en gegen die
Materie E s wird dann die absolu te Geschwin digkeit der
Elektro nen
.
.
.
.
.
,
.
,
.
.
.
.
.
,
'
.
=
n
m+ ﬁ
.
Diese ist es welche in der ersten H au ptgleich u ng au ftritt
Die Form (I a) der ersten H au p tgleich u ng enth ﬂ t Größen die
du rch Mittelw ertsbildu ng über einen physikali sch u nendlich
klein en Bereich entstanden sin d Die Moleküle welche in
diesem Bereiche enthalten sind konn en ganz verschiedene Ge
.
,
.
,
31 2
Zw eite Absch nitt
r
.
E lektro m agnet
.
Vo
rgänge
in
Körp em
w ägbaren
.
besitzen ; u nter 111 jedoch ist die sichtb ar e Ge
d h der Mittelwert der Moleku lar
sch w in digk eit der Mate rie
geschw indigkeiten für einen physikalisch u nen dlich klein en Be
reich z u verstehen E s wird demnach der Mittelwert des
Konv ektiom stro me s der Elektr on en
sch w indigk eiten
.
.
.
1
88
( )
h
e
m
5
h
o
'
.
Der erste Ba tan dteil enthält den Mittelwert der Dichte
der Elek triz ität der n ach ( 1 65) ni chts anderes ist als die
Dichte g der freien Elektrizität E s ist also
,
,
'
.
1
a
8
8
(
)
t
i
l
g
'
l
0
9
der K o n v ekti o n s s tr o m d e r f re i e n E le k tr i z i t a t
Falls die Elektronen relativ z u r Materie ru hen kommt
nu r die ser erste Be stan dteil de s ge sa mten S trome s ( 1 88) in
Betracht Bewegen sie sich dagegen relativ z u r Materie s o
ist der z w eite Be standteil in Rechnu n g z u ziehen
Das kann
wie e s
nu n in ähnli cher Wei se für be w e gte Körper ge schehen
in 5 28 für ru hen de Körper ge schah Man h at wiederu m die
An teile z u son dern w elche v o n den Leitu n gselektro nen Polari
satio n selek tro nen u n d Magnetisieru ngse lektro nen herrühre n
Die relative Bew egu ng der Leitu ngselektronen gegen den
Korper macht sich als ein L e i t u n g s s tr o m bemerkb ar dessen
Dichte ist
.
,
.
,
.
,
.
,
,
.
,
b
1
8
8
)
(
Bei der Herstellu n g des du rch 19 gekennzeichn eten elek
tri sche n Mome nte s der Volu meinheit ist du rch e in Flächen
element df die Elektrizitätsmen ge $ df in dem du rch die Nor
male 4 angegebenen Sinne h in du rch getreten ; das wu rde in 5 28
na chgewie sen u n d gilt für ein en bewe ten Körper genau s o
g
w ie für ein en ru hen den
E s s o ll nu n der Strom be stimmt
werden der v on den Po larisatio nselek tro nen du rch eine u n
eschl o n ene Fläche f des Körpers tran sportiert w ird
W
ar
g
z u r Ze it t die mit den Po lar isatio ns e lek tro n en du rch f ge schoben e
Elektrizität gleich
,
:
,
.
,
.
Zw eite Absch nitt
314
r
E lektrom agnet
.
F
1
8
f
8
(
)
'
h
—i +
.
Vo
rgänge
in w ägbaren Körp em
a
gesamten v on der relativen Bewegu ng der Elektr on en
gegen die Materie herrüh renden Str om Au s ( 1 88) u nd ( 1 88 a f )
erhält man schließli ch als ge s a m te n M i tte l w ert de s Ko n
v e k t i o n s s t r o m e s de r E l ek t ro n e n :
für den
,
.
1
8
8
(
g)
Dieser Au sdru ck der als Erweiteru n g des au f ru hen d e
Körper bezüglichen Au sdru ckes (l 65 b) sich ergibt ist nu n in
di e erste H au p tgleich u n g (I a) ein zu führen An Stelle v o n
b
bz w 8 z u setzen ;
ist w ie in 5 28 (Gleichu n gen 1 66 l öß e )
u nd
au ch sin d di e Deﬁni tion en ( l 6 6 b
o) v o n
z u
be
D ann folgt als e r s te H a u p t gl e i ch u n g f ür
rück sich tigs n
b e w e gt e K ö rp er
,
.
,
,
.
.
{
— i
9
1
8
( )
hiernach Beitrags
D e r V e r s c h i e b u n gs s tr o m i m Ath e r de r L e i t u n g s
d e r K o n ve kti o n s s t ro m d er f r e i e n E l ektri z it ät
s t ro m
u n d de r P o l a ri s a ti o n s s tro m i m b e w e gte n Körp er
Man kann an Stelle der Dichte g der freien Elektrizität
der w ah ren Elektrizität ein
au ch du rch ( 1 65 ) die Dichte
Au f Gru n d v o n ( 1 6 6 b) u n d ( 1 88 c) wird dann
führen
Zu m
Wirbel
de s
Vektors
m
s
'
liefern
,
,
.
'
.
cu rl e
a)
1
8
9
(
= —
{
i
Diese Form der ersten H au ptgleich u n g wollen wir der
ersten H au p tgleich u ng der Theorie v o n H Hertz (I Gleichun g
25 2 S 425 ) gegen überstellen
,
.
,
.
cu rl
5
-
1
1
1
=
f
3 >
m
+
g
,
ch der H ertz w h en Theorie so w erden au ch nach
der Lorentz w h en du rch den Leitun gsstrom den V erschiebu ngs
den Konvektions strom der wahr en Elektrizität
str om
u nd
Wie
na
,
,
Zw eites Kapitel
Körp e
Bew egte
.
315
r.
magneti sche Wirkun gen erregt ; nu r hins ichtlich des vierten
Terme s der rechten Seite der ersten H au p tgleich u ng w elcher
“
d
n
v
l
I
e
a
nn
9
s
oge
te
n
R
ö
0
n
r
m
b
n
t
e
n
s
t
o
e
|
t
i
m
m
t
5 )
( g
g
weicht di e Lo r entz sch e Theorie v on der Hertzschen ab N a ch
d e r L o r e n t z s c h e n The o ri e b e s ti mm t
cu rl in]
di e Di ch t e de s Ro n t gs n s tr o m s s Gerade diese Fordsm n g
w elche du r ch di e Versu che v o n A Eichenw ald ihre
w ar s |
experimentelle Be| tätigu n g gefu n den h at
Die Di sku ssion dies er E xperimente ist am besten an die
Form ( 1 89) der ersten H au p tgleich u n g an zu knüpfen E s waren
4
2
l
a den en Ko n dens ato r latten
I
S
die
ge
z
mme
mit
7
u
s
n
a
p
(
)
dem zwischen ihn en beﬁn dlichen Dielektriku m in gleich
förmiger Rotation begriﬂen
Hier ist der Z u stan d ein statio
n är er au ch dann
wenn man e in mitr o tiersn des Bez u gssy| tem
zu grun de legt ; die v o n einem solchen Bezu gssystem au s be
3
ist folglich Nu ll
u rte ilte zeitliche Än deru n g
,
„
,
.
,
.
.
,
.
.
.
.
,
'
.
,
,
.
Da
Nu ll
ein
ist,
so
Leitu ngsstrom ni cht ﬂießt
fo lgt a u s ( 1 89)
5
;
cu rl
un d
da
%
g
h
l
i
e
c
f
a
l
h
g
'
t
n
o
.
b e i E i ch e n w a lch Ve r s u ch e n erre gt e m a g
n e t i s c h e F e l d i s t a l s o n a ch d e r E l ektro n e n the o ri e di e
B e w e g u n g d e r f re i e n E l e ktri z i t ät m a ß geb e n d Dieses
w ar eben die Fe ststellu n g Eiche nwalde
Nach der Hertzschen
Theorie da gegen wäre der allgemein e Au sdru ck der ersten
Fu
r
da |
.
H au p tgleich u ng
cu rl ©
=
dem vorliegen den Falle die v o n dem bewegten
Körper au s beu rteilte zeitliche Än deru ng v on
ebenso wie i
verschwindet so würde sich nach H Hertz überhau pt k ein e
m agnetische Wirku n g ergeben D i e Ver s u che v o n E i che n
w a l d z ei ge n d e m n a ch da ß n i cht di e H ertz s ch e w o h l
da
nu n
in
.
,
.
,
,
Zw eiter Absch nitt
31 6
.
E lek trom agnet
.
Vo
rgänge
in w ägbaren Körp em
b e r di e L o r e n t z s c h e E l ektro dy n a m ik b ewe gt e r
K ö rp er d i e e r s te H a u p t gle i c h u n g f ür di e hi e r i n
F r a ge k o m m e n d e n la n g s a m e n B e w e g u n ge n ri chti g
f orm u l iert
Wir erhalten eine dritte mit ( 1 89) u nd ( 1 89 a) gleich
w ertige Form der ersten H au p tgleich u ng wenn wir den n eu en
Vekto r einführ en
a
.
,
,
;
“
Ö
D l
9
[
m] +
1
1
b
8
9
(
)
Setzen wir
dann
n
och
cu rl
N div 9
‚
berücksichtigen daß nach ( 1 66 b) gilt
cu rl [ibm]
cu rl [MQ ] 4 11: cu rl [M ]
u nd daß m an allgemein h at
div
9
so konn en w ir
89
a) schreiben
1
(
u nd
,
4 95
cu rl
1
9
0
( )
{
,
i
D er U n t e r s chi e d de r L o r e n t z s c h e n The o ri e v o n
der H e rtz s ch e n gib t s i ch hi e r d a d u rch k u n d da ß d e r
“
u
u n d V e r s c h i e bu n
a
u
t
r
m
w
hr
e
a
s
L
e
i
t
n
g
s
s
tro
m
s
s
o
„
g
i m b ew e gte n K ö rp er z u s a m m e n ge s e tz te S tro m b e i
H ertz bu rl
b e i L o re n tz d a ge ge n cu rl
b e s tim m t
W as die au s der ersten H au p tgleich u n g ﬂieße nde Grenz
bedingu ng an der T renn u ngsﬂäch e zweier bewegter Körper
anbelan gt
so
ergibt sich diese in sehr einfacher Weise
Schreibt man den Körp em ein e endliche Leitfähi gkeit u nd
e in e e n dliche Po larisati0 n sfäh i k eit z u | 0 mu ß n a ch ( 1 90) an der
g
Tr ennu n gsﬂäch e der Fläch enw irbel v on
verschwinden d h
die tangen tiellen Kompon enten v on
du rchsetzen stetig die
T rennu ngsﬂäch e
Für den ideale n Grenz fall des vollkommen en
Leiters (I 5 7 2) hingegen w o ein en dlicher Fläch enstro m 1
ist die ser Fläch enstro m mit dem
als z ul assig b etr achtet wird
,
,
.
,
.
,
,
.
,
,
,
.
.
Zw eite Absch nitt
31 8
r
.
E lek trom agnet
.
Vorgänge
in w ägbaren Körp e m
.
Diese Form der zweiten H au p tgleich un g ist nichts anderes
au sge sprochen für ein im Rau me
als das In du ktionsgesetz
die Kraft au f einen
festes Flächen element ; denn es stellt
ru hen den mit der Einheit der Ladu ng versehen en Probekörp er
dar während die au f der rechten Seite v o n ( 1 92) au ftr eten d e
zeitliche Änderu ng v o n 8 au f einen festen Rau mpu nkt sich
bezieht
E s entsteht nu n aber die Frage ob au ch für bewegte
Körper das Faradaysche In du ktionsgesetz (v gl I S
welches j a v on der Erfahrun g du rchweg bestätigt wird au s
den Gru n dv o rstellu n gen der Elektron en theorie sich ableiten
läßt
müssen wir auf die Gru nd
Um dies z u zeigen
gleichu n g (V) des 5 4 zu rückgehen w elche die elek tro magne
tische Kraft { y bestimmt ; e s ist in der jetzt angewandten Be
z eich nu n sw eise die au f die Einh eit der L adu n g wirken de Kraft
g
,
,
.
.
.
,
.
,
,
'
Wir betrachten eine Gru ppe v on Elektron en welche sich
mit der gemein samen Geschw in digkeit h bewegen Die Mittel
w ertebildu n g über e in phy sikalisch u n endlich kleine s Gebiet
ergibt dann fu r diese Elektronen gru ppe die elektromagnetische
Kraft
.
1
93
( )
-
Wir setzen
w
ä
ieder wie im vorigen
=
n
Paragraphen
m+ nß
indem wir u n ter in die Geschwindigkeit der Materie u nter D
die Geschwin digkeit der Elektron en relativ z u r Materie ver
stehen
Dan n wird
'
,
.
s
WO
h
1
3
9
(
)
-
die Kraft
ladu n g ist
.
au f
ein e relativ
z ur
m
8
[ ]
Materie ru hende
E inh eits
Zw eites Kapitel B ew egte Kö pe
r
.
r
319
.
Der zweite Term in ( 1 93 a) ergibt als Kraft au f die in
der Volu meinheit enthalten en Elektron en der betreffenden
Gru ppe :
e
.
[
Hierdu rch bestimmt sich falls nu r Leitun gselektr on en in
Betracht kommen au f Gru nd v o n ( 1 88 f ) die am Leiter an
o t o r i s c h e Kr a f t de s m a g n e ti s c h e n
m
rei
f
e
de
o
n
d
e
r
o
n
p
g
F e l de s in Überein stimmu n g mit I Gleichu ng 245 c
Au ch k ann m an du rch Unterscheidu ng vers chi edener Arten
v o n Elektron en
die in starken m agnetischen Feldern auf
tretende z u r Stromrichtu n g senkr echte elektromotori sche Kraft
des H a l l E f f ek t e s (I S 242) ableiten Das geschi eht in den
v o n E Riecke u n d P Dru de en twickelten E lektron entheorien
Für magn etisierte Körper tritt
der Metalle (v gl II 5
im Au sdru cke der p o ndero m o to risch en Kraft cu rl 93 an Stelle
i
—
wodu rch sich die Ä qu ivalenz v o n Magneten u n d elek
v on
trischen Strömen k undgibt die in I 81 u nter besonderer
Berücksichtigu ng der p o ndero mo to risch en Kräfte abgeleitet
Für ein en ru hen den Kö rper v o n wech seln der elek
w u rde
trisch er Polari sation en dlich ergibt ( 1 88f ) die p on dero m o to risch e
Kraft pro Volu meinh eit
,
,
,
,
,
-
,
.
.
.
.
.
,
,
.
1
c
3t
Der Vergleich mit der entsprechenden p o ndero m o to risch en
Kraft der Hertzschen Theorie (I Gleichu n g 250 a S 421 )
zeigt daß bei Hertz der ge samte V erschi ebu n gsstro m bei
Lorentz nu r der an der Materie haftende Bestandteil desselben
ein er p onderomo torisch en Kraft an gegriffen wird Das
v on
hän gt damit zu sammen daß na ch Lorentz elektrom agneti sche
Kräfte überhau pt nu r an den Elektronen un d nicht an den
v o n Elektron en leeren Gebieten de s Rau me s an greifen v gl I
I
5
(
Uns intere ssiert hier vorzu gswei s e der erste Bestan dteil
des Vektors 8 den wir mit (5 bezeichn eten ; die Gleichu n g
1
3
ü
b
die
i
be
timmt
ber
ck
ichti
t
die
Beweg
u
g
d
9
h
n
s
s
n
r
e
(
g
)
Materie u nd formu liert das Gesetz der d u rch B ew e g u n g
,
,
.
,
.
,
.
'
°
,
,
,
320
Zw eite Absch nitt
r
.
e
e V
E l k tromagn t
.
in w ägbaren Körp em
orgänge
.
i n d u z i erte n e l e ktro m o t o ri s ch e n Kr a f t In der T at nach
den Vorstell un gen der E lektron entheorie ist (E die Kraft
welche an der Einheit der mit dem Körper bewegten Elek
tr iz ität an greift u nd du rch diesen Vektor be stimmt sich der
Bew egun gsantrieb auf die Elektronen wie er sich für ruh ende
Kö rper du rch bestimmt An Stelle der für m bende isotrope
Leiter geltenden Bez iehu n g i 6 G w ird demnach für bewegte
Leite r
1
9
3
c
i
)
(
daß die Leit
z u s etz en sein ; es ist ein e p lau sible Ann ahme
fähigkeit
wenigstens w as Größen erster Ordnu ng (in dem
.
1
3
Qu otiente n
anbelan gt
dur ch die Bew egu ng des L eite rs
ni cht geändert wird
Au s ( 1 92) u n d ( 1 93 b) fo lgt
,
.
'
,
,
.
,
,
0
.
1
9
4
( )
eu rl
=
e
'
Die rechte Seite bestimmt die zeitliche Anderu ng de s
In du ktio nsﬂu sse s du rch ein e bewegte Fläche ; au s der all
gemein en V ektorfo rm el (I Gleichu n g 1 22 S 1 21 ) folgt
nämlich mit Rücks icht au f die Grun dgleichu n g (IVb) welche
da s Verschwinden de s wahren Magn etismu s fordert :
,
.
,
cu rl [B in]
Dem
entspricht demna ch
der indu zierten elektromotorischen Kraft
Diﬁerentialge setz e
Integralgesetz
}
'
9
1
4
(
)
g
1
9
4
a
(
)
t
das
g
;
‚
e
L i n i e n i n te gr a l d er im b e w e gte n L e it er w irk
e l ek tri s che n Kr a f t (5 i s t g l ei ch d er d u rch 0
sam e n
g e t e i l t e n z e i t l i c h e n A b n a h m e de s u m s c h l u n g e n e n
I n d u k ti o n s fl u s s e s
Die Hertzsche Theorie drückt die zweite H au p tgleich u n g
etwas anders au s Sie setzt (I 5 86) bei fehlenden ein
geprägte n Kräften
Da s
'
.
.
,
322
Zw eite Ab ch nitt
s
r
An teil der
E lektro m agn et
.
.
Vo
rgän ge
in w ägbamn Körp em
.
ktrischen Verschiebun g entsprechen d der Glei
ele
,
4 7t 9
der an der Materie haftende Teil der elektrischen
Verschi ebun g d h die Verschi eb un g der Po larisatio nselek tro nen
An Stelle
des Körpers wird du rch den Vektor 6 bestimmt
der für ru h ende is otr op e Kö rper geltenden Bezi ehun g
Nu r
.
,
.
'
.
(
tritt
für
b ewegte Isolatoren
(
4 75 23
so
in
1)
s
e
gemäß ( 1 93 b) die ge s a m t e e l e k tr i s c h e V e r s c h i e bu n g
ei n e m b ew e gte n D i e l ek tri k u m gegeben wird du rch
daß
4 n a>
b
4
9
1
)
(
e
s
n
u
s
[ ]
.
Die exp erimentelle Prüfu ng dieser v o n der Elektronen
theorie geforderten Beziehun g bildete den Gegenstan d ein er
Arbeit v o n H A Wi l s o n ) Die ser Forscher ließ einen dielek
trischen hohl en Zylinder in ein em der Achse p arallelen magne
tischen Felde rotieren Die metalli schen Belegun gen der inn eren
du rch Gleitkontakte
u n d äu ßeren Be grenz u n gsﬂäch en w aren
mit den Qu adranten ein es Elektrometers verbu n den ; die inn ere
Belegu ng w ar gleichzeitig geerdet Die inf olge der Rotation
sich h er stellende radi ale elektri sche Verschi ebu n g gibt z u ein er
w ahren L adu n g der Zylinderbele gun gen Veran lassu n g ; die selbe
bestimmt sich auf Gru n d v o n ( 1 94b) folgen dermaßen :
die
Kraft au f die ru hen de Einh eit der Ladu n g leitet sich au s dem
elektro statischen Potentiale der freien Elektr iz ität ab An Stelle
v on ’
8 kann da m an es bei den Versu chen mit Körp em z u
deren magnetische Permeabilität nicht merklich
tun hatte
gesetzt werden Fern er ist senk
v o n 1 verschi eden w ar
recht z u
gerichtet ; sein Betrag ist gleich 14 r wo 40 die
Wink elgeschwindigkeit r der Ab stan d v o n der Achse ist
?
.
.
.
.
,
.
,
,
.
.
,
1)
H
.
A W ilso n
.
.
Lo ndon Ro
yal
So c T r ans
.
.
V ol 204 A , S 1 21 , 1 904
.
.
.
Zw eites Kapitel
Bew egte
.
Mithin
Körpe
23
r.
ist
4
c
9
1
(
)
42 9
=
ff
i
e
=
,
(
i
— l
)
e
zweite Glied wechselt bei Umkehru ng des magnetischen
Feldes das Vorzeichen Ist h die Höhe des Zylinders u n d e die
Ladu ng sein er inn eren Belegun g a u n d b die Qu erschnitts
radien der äu ßeren un d inn eren Belegu ng so ist
Das
.
,
,
28
717
konzentrische Zylin der des Dielektri ku ms
derselben Verschiebu n g e du rchsetzt w erden so ergibt
In te gration v on ( 1 94 c) zw ischen den Grenz en b un d a :
Da
nu n
,
—
e e
oder
9
1
d
4
(
)
wo
K
(
x
.
i E
0
91
die Kapazität
1
9
e)
4
(
E
des
"
di elektri schen Zylinders
1
(
1
di e
=
e
)g
—
v on
| e| (
a
-
i
ist
u nd
=
Die Ladu n g der Inn enseite des au ßsren Zylin ders ist e ;
folglich ist
e die L adu n g seiner Au ßens eite de s mit ihr ver
bu n den en Q u adran te n des E lektrometers u n d des Leitu ngs
drahtes zu sammen ; der an dere Qu adrant ist z u r Erde ab
geleitet Ist K die Kap azität dieses ganzen System s so h at
,
,
.
man
8
K
Hierau s
f
1
9
4
(
)
u n d au s
4 ß
'
‘
P1
‘
P:
°
1
l
d
o
gt
4
f
9
(
)
‘
)
o
g.
K +K
'
der gemessenen Po tentialdiﬂerenz der Qu adran ten u n d
den Konstan ten des App arates die Größe E sich ermitteln u n d
so die experimente le Prüf un g der v o n der E lektr o nentheo rie
s
g
l
forderte n Beziehun g ( 1 94 e) sich du rchführ en läßt
so
daß
'
au s
‘
.
21
324
Zw eite Absch nitt
r
Vo
E lek tromagnet
.
.
rgänge
in w ägbaren Körp em
.
Die messenden Versu che H A Wilsons be stätigen nu n
du rchau s die Gültigkeit dieser Beziehu n g ; mit der Hertzschen
T heorie hingegen s in d sie ni cht z u verein bar en ( die se setzt in
v on s
1
i
n
n
4
e
Ste
e
mith
Ste
e
1
b
ll
1
9
a
n
i
9
a
n
4
1
ll
(
)
(
)
i
v on l
Wir k ö n n e n a l s o a u s de n Ver s u che n v o n
)
H A Wi l s o n s ch l i eß e n da ß zw a r d i e L o r e n t z s c h e
n i cht a b er d ie H e rtz s ch e E l ek tro dy n a m i k b e w e gte r
K ö rp e r di e B e z i eh u n g z w i s ch e n de n F e l ds t a r k e n u n d
d e r e l ektri s ch e n Ve r s ch i eb u n g f ür di e hi er i n Fr a ge
k o m m e n d e n l a n g s a m e n B e w e g u n ge n ri chti g w i e dergib t
Ob eine der Gleichu n g ( 1 94 b) entsprechende Bezieh u ng
die magnetische Indu ktion bewegter magnetis ch weicher Kö rper
bestimmt darüber scheint weder theoretisch noch experimentell
etwas bekann t z u sein Besch ränken w ir u ns au f ni cht mag
n etisierbar e Kö rper wo 8 mit
identisch ist so lau ten di e
i n de n b e i d e n l etz te n Pa r a gr a p he n a u s d er E l e kt ro n e n
th e o ri e a b ge l e i tet e n Gr u n dg l ei ch u n ge n d e r E l ektro
dy n a m ik
ö
u rl
I
c
c
i
+ é
( )
f
.
.
,
_
.
8
.
,
.
,
.
,
,
.
,
,
{
2
cu r l
o
H
( )
}
,
div
I
V
div
c
)
(
9
I
I
I
c
)
(
O
.
D abei sind fu r beliebige Geschwin digkeit
und
deﬁni ert du rch
9
1
5
)
(
6
'
e
Ferner sollen
i
e
un d
9
5
1
c
(
)
e
(
e
-
.
s
i
4x »
m
c
[
]
2
—
ich folgendermaßen bestimmen
9
1 95 b)
die Vektoren
v
i
n
[ t ].
c
'
in
dü
'
,
1) c =
'
ec
'
j
-
Zw eiter Absch nitt
326
37
.
.
E lek tro magnet
.
De r V e r su ch
Vorgän ge
v on
F iz
in wägbaren Körp em
e au
.
.
Über
die Fortpﬂanzu n g des Lichtes in strömendem Wasse r
ist v o n Fizeau ein Versu ch an ge stellt worden ; v on Michels o n
u n d Morley wiederholt stellt di e ser Versu ch e in E xperimen ta m
cru cis dar welches für die Lo rentz sch e u nd gegen die Hertzsche
Optik bewegter Körper entscheidet Wir wollen ni cht ver
s äu men
die Theorie die se s Versu che s v o n dem Stan dp u nk te
der Elektr onentheorie au s darzu legen
Bei den Versu chen gelan gten z w ei Lichtb ündel z u r In ter
ferenz welche zwei p arallele Röhren du rchsetzt ha tten Wu rde
das in den beiden Röhren enthalten e Wasser in entgegen
gesetzten Richtu ngen in Str o mu n g versetzt so erfolgte ein e
Verschiebu ng der Interferenz streifen ; au s dem Betrage der Ver
schieb u n g
konn te die Verän derun g der Fo rtp ﬂanz u gs
geschwin digkeit des Lichte s infolge der Bewegu ng des Wassers
ermittelt u nd mit der Theorie verglichen w erden
E s han delt sich al s o hier u m Lichtwellen welche p arallel
der Geschwindigkeitsrichtu n g oder in dem sntgegen gesetz ten
Sinn e sich fo rtp ﬂanz en Wir legen die z Achse in die Be
l
I
—
w egun gsrich tu ng de s Wasser s setzen
u
n
n
bet
chte
d
ra
ß
zu n ächst ein en geradlinig polarisierten Lichtstrahl in dem di e
elektrischen Schwin gungen der Achse die magneti s chen der
A
ll
l
l
s
s
a
a
f
n
s
n
r
ch
e
p
r
e
er
o
ge
de
e
St
h
richt
g
mithi
die
a
l
u
n
n
i
n
y
z Ach se f ällt
Man h at nach ( 1 95 ) u nd ( 1 95 8 )
,
,
.
.
.
,
.
,
-
.
-
,
-
,
-
.
59
ca?
7
1
9
)
(
Q:;
99
@
ß z
o
Handelt es sich u m ein disp ersionsfreies Mediu m dessen
Brechu ngsindex sich au s der Maxwellschen Relation b estimmt
so kann die elektrische V ers chieb u n g 9 au f Gru n d v o n
1
9
5
0
(
)
berechnet w erden Zieht man aber die Dispersion des Wassers
in Betracht s o h at man die Polari sation
au f Gru n d der An sätze
des 5 29 z u berechn en
Die Verschiebu ng der Polarisations
elektronen bestimmt sich n atürlich hier mit Rücksicht au f die
Bewegu ng nicht du rch (5 son dern du rch (E dementsprechend gilt
,
,
.
,
.
'
,
1
7
9
a
(
)
4 1159
4 115 23
”
n
(
1)
G
'
.
Zw eites Kapitel
.
D abei
genommen
e K ö pe
Bew egt
r
r
327
.
der Brechu ngsin dex in dem ru henden Korper
für die Schwingun gszahl v
in welcher die E lek
tro nen des bewegten Mediu m s wirklich schwin gen ; au s der
v o n ein em ru hen den Beoba chter w ahrgen ommen en Sch w ingu n e
g
zahl bestimmt sich diese au f Gm nd des Do p plersch en Prin
“
z 1 p es
bei Vernachl ässigung v o n Größen der Ordnun g ß
ist
'
n
,
'
,
,
9
b
1
7
)
(
D abei ist w die Geschwin digkeit der Wellen
wegten Wasser welche wir su chen
Die beiden H au p tgleich u ngen (I c) u n d (II c)
Paragraphen ergeben
'
,
1
9
8
( )
Die
hi er
dem be
.
ÜÖ
_
in
Q
4 51
32
c
des
vorigen
38
3 93
öt
öz
retenden Differentialqu otienten nach der Zeit
sin d di e v o n einem mitbew e gten Pu n kte au s be u rteilten Die Fort
ﬂ
u
l
a
a
u
a
n
z
n
der
We
ll
e
n
re
tiv
z
m
bewegte
W
a
s
er
m
n
n
s
u
n
p
g
g
du rch den komplexen Faktor z u r D arstellu n g gebracht werden :
auf t
.
,
,
Wird dann n och die mit Rücksicht au f die Dispersion
verallgemeinerte Beziehu ng für die elektrische Verschiebu n g
ein geführt welche au s ( 1 97 a) folgt
,
1
98
a)
(
so
erhalten wir
4 715 9
au s
1
8
9
( )
(
n
un d
"
9
7
1
(
)
1)
Zw eiter Absch ni tt
328
E lek tro magnet
.
.
Die Eli mination
ti sche Gleichu n g
v on
Vo
ergibt
u nd
(Q,
rgänge
in w ägbaren Körp em
fu r w
'
.
die qu adra
1
99
<
9
der sich die ge su chte Relativgeschwindigkeit der Licht
w ellen gegen das str o m en de Was ser folgen derm aßen be stimmt
au s
1
b
1
9
9
(
)
!
!
ß
_
+
ß
ich u m Stro m u n gsgesch w indigk eiten des Wassers
han delt die klein gegen di e Lichtgeschwindigkeit sind so
k ann m an zweite u n d höhere Potenzen v o n ‚6 streichen
Alsdann wird
Da
es
s
,
,
.
00
2
( )
Re l a t i vge s chw i n d i gk ei t d er L i chtw e ll e n ge ge n da s
s tr öm e n d e Wa s s e r
Die Geschwindigkeit der Lichtwellen
’
welche ein ru hender Beob achte r w ah m immt ist demnach w wo
die
.
,
,
0
2
9
0
(
)
0
+ ß
=
Nach der Hertzschen Theorie w ürde die Relativ gesch w in di g
keit der Wellen gegen das strömende Wasser dieselbe sein
w ie gegen ru hen de s Wasser
Die Wellen würden bei der Be
w e gu ng einfach mitgeführt werden
Nach der Lo rentz sch en
Theorie ist das ni cht der Fall ; inf olge der Bewegun g de s
Wassers wird die Geschw in digkeit des p arallel sich fort
m
s o n dern n ur
n
n
ei
e
d
Lichte
icht
e
n
e
s
u
u
m
n
n
ﬂ
a
n
z
m
p
I
Bru chteil v o n | m| vermehrt Der Faktor (1 n ) in Glei
chu n g (200 a) der dieses anzeigt w ird der F r e s n e l s c h e
“
genann t Fresn el w ar es der
F o r t f u h r u n gs k o e f f i z i e n t
zu erst die An nahme ru hende n Äthers vertrat welche dann
Lorentz der elektromagnetischen Optik bewe gter
v on H A
Körper zu gru n de gelegt w urde Nach Lorentz entspricht der
Fo rtfüh ru ngsk o efﬁz ient d u rchau s dem Faktor 1
in der
(
Formel ( 1 94 welche der Theorie der Versu che v o n H A W il
,
.
.
„
.
„
,
,
.
,
.
.
.
.
.
330
.
e Vo gänge
E lek tro magn t
.
r
in w ägbere n Körp em
diese Gesetz e hi er z u entwickeln ; au ch dürfen
w ir u ns ni cht au f r u hen de Flächen beschränken son dern wir
m üssen die Betrachtu ngen au f bewegte Flächen au sdehn en
Zwei Arten v on Flächen sin d es die in der Strahlu ngs
theorie ein e Rolle spielen : D i e v o llk o m m e n s chw a r z e n
B ei d e Ar te n
u n d di e v o l l k o m m e n s p i e ge ln d e n F l äc h e n
F l a ch e n la s s e n d i e L ich tw e ll e n n i cht in ihr
v on
I n n e re s e i n dri n ge n D i e s chw a rz e F lä ch e gib t n i c ht
z u r B i l d u n g re f l ek ti e rt er We l l e n V er a n l a s s u n g ; sie ver
wan delt die E nergie der au ffallendsn Strahlun g volls tän dig in
Wärme oder in Arbeit des Strahlu ngsdru ckes die Bew egu ngsgröße
der au ffallenden Strahlun g in mechani sche Bewegu ngsgröße
des einges chlo ssenen Kö rpers D i e v o ll k o m m e n s p i e g e ln de
“
o d er v o ll k o mm e n b la n k e F l äch e h i n ge ge n v er w a n d e l t
n i cht de n ge ri n g s te n B r u chte i l de r a u ff a ll e n d e n S t r a h
lu n g i n Wärm e Die Energie des einfallsnden Lichte s ﬁnd e t
s ich s oweit sie nicht in Ar beit des Strahlu ngsdru cke s an der spi e
e
l
n
e
d
e
l
i
s
t
i
n
e
ﬂ
e
k
i
e
n
F
che
v
rw
d
t
dem
Lichte
wi
der
n
l
ä
r
t
e
a
n
r
t
e
e
g
;
die Bewegu ngsgrößen de s einfallenden u nd des reﬂek tierten Lich
te s bestimmen den Betra g des Strahl u n gsdru cke s Flächen v o n
solchen Eigens chaften ﬁn den sich als Oberﬂächen wirklicher
Körper in der Natu r nu r an genähert realisiert Au ch die besten
Spiegel sind nicht vollkommen blank u nd die im au ﬂsl lenden
Lichte sch w ärz esten Flächen sind ni cht ab so lu t s chw arz Immer
h in ist di e Idealisieru n g welche sich die Th eorie erlau bt in
dem sie v o n vollkommen blan ken oder vollkommen schwarzen
Flächen spricht nicht bedenklicher als die An n ahme starrer
Körper in der Mechanik idealer Gase oder idealer verdünnte r
Lösu n gen in der Thermodyn am ik
Diese Idealisieru ng ermög
licht es sich bei der Ableitu n g der Strahlu n gs gesetz e v o n den
individu ellen Eigenschaften der Körper un abhängig z u machen
In der Tat s ind die En twickelu n gen der folgenden Para graphen
im abh ängig v on jeder beson deren Hypothese über die Z ahl
u n d die Eigenschaf ten der Molekül e u n d der Elektron en
Sie
beru hen allein au f den Gru n dhypothesen der Elektron entheorie
welche in den Gru ndgleichu n gen (I bis V) ihre m athemati sche
ni
ch t
Zw eiter Absch nitt
v ers au
men
,
.
.
.
,
.
„
.
,
,
.
.
'
,
.
,
,
,
.
.
.
,
Zw eites Kapitel
K ö p er
Bew egte
.
r
33 1
.
Formu lierun g gew onn en haben Die Grenzbedingun gen an
der Oberﬂäche des vollkomm enen Spiegels welche wir am
Sch lu sse des 5 36 au fgestellt hatten gelten für beliebige
Geschwindigkeiten des Spiegels wenn anders jen e Gru n d
gleichu ngen die Ein wirkun g der Leitun g8elek tro nen des Spiegels
au f die elektrom a n etischen Vorgänge im Rau me rich tig fo r
g
.
,
,
,
mu lieren
.
Wie bereits in 5 5 er wah nt wu rde bestimmt sich gerade
f ür vollkommen schw ar ze u nd vollkommen spiegeln de Flächen
die p ondero mo to risch e Kraft des Feldes vollstän dig du rch den
in Gleichu ng ( 1 7 ) angegebenen Vektor
,
(
{
n ist
e in
Diese
der
au ßeren
W) }
paralleler Einheitsvektor }
29 6 .
26 6 .
Normalen
v
deres als die au f die
Fla ch ens inh e it bezogen e Re sultier en ds der Maxwellschen Sp an
Würde e s sich u m ein en Körper handeln in dessen
n u n gen
Inn eres das elektrom agneti sche Feld eindrin gt so würde w ie
in 5 5 dargele gt w u rde bei der Berechn u n g der re su ltieren den
elektr omagnetischen Kraft n och die zeitliche Änderu ng der im
Körper enthalten en elektromagn eti schen Bewegu n gs größe in
Rechnu ng z u setzen sein Für s olche Körper jedoch di e v on
blan ken Flächen u mschl o ssen sind fällt
ab solu t s chw arzen ode
dieses Glied der resu ltierenden Kraft fort Die resultieren de
Kraft des elektromagnetischen Feldes ergibt sich du rch Inte
ra ti o n der Fläch e nkr aft 2 über die Oberﬂ äche des ruh en den
g
Körpers
Wie andert sich nu n der Wert der Fläch enkr aft wenn
der Kö rper in Bewe gu ng begriffen ist? D ann erhält die Flächen
kr aft einen Z u wachs da Bewe gu n gsgröße infolge der Bewegu ng
au fgefan ge n wird
Ist in die Ge schwindi gkeit des betreffen den
Pu nk te s der schwarzen oder b lanken Fläche so ist die v o n
dem Flächenelemente df bei sein er Bewegu ng in der Seku n de
au fgefan gene elektr om a gneti sche Bewegu n gsgröße
Fläch enkr aft ist
n
ichts
an
,
.
.
,
r
,
.
.
,
.
,
mf
—
d
g f
.
Zw eiter Absch nitt
332
.
E lek tr om agnet
.
Vorgänge
in
w ägbaren
Körp em
.
Diesen Zu wachs erfährt die an df an greifende elektro
m agnetische Kraft du rch die Bewegu ng des Fläch enelementes
E s f o l gt für di e a u f di e b ew e gte F l äc h e n s i n h e i t b e
z e g an e Kr a f t de s S tr a h l u n g s dr u ck e s
2
0
1
( )
z
2
'
2
0
1
a
)
(
z
erhalten w ir den Au sdru ck
d u rch die elektromagnetischen Vektoren
Au s
tors
'
1
7
( )
8 45 2
u nd
'
1
8
( )
28
8.
.
se
des
””
j
e
.
Vek
e
[ s]
.
ein en bewegten Körper der v on einer absolu t schwarzen
oder blanken Fläche begrenzt ist ergibt sich di e resultieren de
Kraft der Strahlun g du rch Integration v on 2 über die Ober
ﬂäche
Wir wollen den erhalten en Au sdru ck n och etwas u m
formen
Wir gehen dabei au s v on der Iden tität
Für
,
,
'
.
.
0
2
2
( )
m
m
9 [m8 1
e in]
.
.
=
Diese beweist man in dem man die Komponente nach
irgendein er Richtu ng nimmt die m an mit der Achse z u
E s ist
sammenfallen lass en kann
,
-
,
.
in].
in.
m, m
(5.
(5,
.
9
4
Diese Determinante jedoch
in.
m)
(
cos u
ist
in,
in,
(5,
(E,
gleich
d h gleich der Kompon en te der rechten Seite
Drückt man nu n den letzten Term in (201 a)
2
0
a
n
2
a
u
gezeigte
Wei
e
erh
t
n
s
s
so
ä
l
m
a
n
( )
-
.
.
,
2
a
2
0
(
)
se z
'=
28 8 .
'
2 e e.
u
{
=
e
v on
in
der du rch
334
Zw eite Ab ch nitt
r
s
E lek tro magnet
.
.
Vo
w ägbaren
in
rgän ge
Körp em
.
d er S tr a h lu n g s dr u ck k ei n e t a n ge n t i e ll e n Kr a f t s a u f
di e v o llk o m m e n s p i e ge ln de F lä ch e a u s
Die Formel (204b) ist insofern bemerkenswert als in
derselben di e Bewegun g des Spiegels explizite ni cht au ftritt
Für ein en ru henden Spiegel erhält m an jene Formel in dem
m an den Fara days chen Län gsz u g der z u r leiten den Fläche
n orm alen elektri schen Kraftlinien u nd den Qu er dru ck der tan
F
ü
r
en tiellen m a n eti s chen Kraftlini en I 5 8 9 zu sammenf ügt
g
g
)
(
ein en bewegten Spiegel ist di ese Deu tun g n icht zuläs sig ; hier
der
tr itt 2 an Stelle v o n 2 au ch ist nicht
s on dern
Vekt or welcher die Kraft auf die Einheit der am Leiter
haftenden Elektrizität anzeigt u n d der daher senkrecht z u r
vollk ommen leitenden Fläche gerichtet sein mu ß Denn o ch
ist der form ale Z u sammenh an g des Lichtdru cke s mit den Feld
wie
stärken na ch (2o4 h ) für den bewegten Spiegel der gleiche
Natürlich sin d die Werte der Feldstärken
für den ruh enden
der Sp iegeloberﬂäch e ihrerseits v on der Bewegun g des
an
Spiegels abhän gig
Wir betrachten zu na chst ebene Wellen die senkr echt
Die Spiegeleben e
au f e in en r u h e n de n ebenen Spiegel fallen
Die Feldstärken
der
w erde als (w ) Eben e ge w ählt
—
einfallen den Welle seien parallel der
A
ch
s
e
bzw
der
y)
diejeni gen der reﬂek tierten Welle
parallel
z Ach se
der y Achse bzw der z Achse Da für diese ebenen Wellen
.
,
.
,
,
.
'
,
,
.
,
.
.
.
-
.
-
.
-
-
-
.
.
(51 3;
0
5
2
( )
ist ,
u nd
da
an
vorgeschrieben
91 0
(52 31
der spiegeln den Flache die Grenzbedingu ng
ist
(Ey
=
0:
© w + Üﬂy
=
é z Ö l + 92 3
s
8 75 2
f
de s
s
f i n de t
11
:
2 91 2 ;
93
i ch d em n a ch der n orm al e L i chtdr u ck
de n r u h e n d e n S p i e ge l b ei s e n kre chter I n z i d e n z
L i chte s
E
au
:
s
Zw eites Kapitel
Bew egte
.
Kö p e
r
r
33 5
.
=
p
2
6
0
( )
g l ei ch d er d o p p e l te n E n ergi e di chte d er e i n f a ll e n d e n
We ll e
Wir gehen jetzt z u m b e w e gte n Spiegel über ; die Be
w egu ng erfolgt p ar allel der äu ßeren Norm alen u
di e jetzt
mit der Achse zu sammenfällt d h entgegen den einfallen den
Wellen Die Beziehu ngen (205 ) gelten au ch jetzt noch aber
die Grenzbedin gu n g ist eine an dere ; e s soll die tangentielle
Komponente des du rch (203) deﬁnierten Vektors (5 ver
s chwinden
Setzen wir
o
f
s
o
l
gt
au
s
3
.
,
-
.
.
.
'
,
.
ß©
mit Rücksicht
0
2
5
( )
au f
.
ig
2
0
7
( )
fern er
wird (2o4 h )
2
7
s
o
(
)
Da
so
8 95 2
gemäß
nu n ,
Ö
folgt
2
7
0
b
(
)
au
f
'
s
=
gilt
Ön
8n 3
=
+ Ös.
'
n
D er D r u ck de s s e n kr e cht ei n f a ll e n de n L ichte s
de n ihm e n tge ge n b ew e gte n S p i e g e l wird hi er n a ch
1
2
0
8
( )
f
a
1
'
1
iä
1
Er wir d du rch die B ewegu ng des Spiegels im Verhältnis
n
w
d
u
n
l
ge
teigert
u
ird
e
d
ich
we
n
der
Spiege
1
1
s
n
n
l
3
ß
‚
mit Lichtgeschw in digkeit bewegt E i n e B e w e g u n g
sich
S p i e ge ls m i t L i cht ge s chw i n di gk ei t d e r a u f
de s
f a l l e n de n S tr a h l u n g e n tg ege n er f o rd ert u n e n d l i che
Arb e i t s l e i s t u n g u n d i s t d a h er p hy s i k a l i s ch n i cht
re a l i s ierb a r
Die Ar beitsleistu ng gegen den Dru ck der Strahlu ng
brin gt eine Steigeru ng der Amplitu den des reﬂektierten Lichtes
,
.
.
33 6
Zw eite Absch nitt
r
E lektr om agnet
.
.
Vorgänge
in w ägbaren Körp em
.
mit sich welche du rch (207 gegeben ist Man überzeu gt
daß die erhaltenen Ergebni sse mit dem
sich u n s chwer davo n
E nergiesatz e u n d dem Imp u lssatz e in Überein stimmu ng sin d
Wir wollen indessen hierau f an dieser Stelle ni cht eingehen
Weiter u nten
40) werden wir das Problem der Licht
r s ﬂexio n du rch e in en bewegten Spi egel für den allgemein eren
Fall schiefer Inz idenz behandeln u n d gerade di e Im p uls
gleichu n gen u nd die En ergiegleichu ng werden d ort an die
Spitze gestellt werden
,
.
,
.
.
.
.
39
.
De r
r e lati v e
S tr ah l .
der elementaren Theorie der Aberration bestimmt man
die Ri cht u n g de s re l a t iv e n S tr a h l e s bekanntlich folgen der
m aßs n
Man denkt sich den Strahl du rch eine Ö ffnu n g 0
tretend
u nd
na ch
Du rch
lau fu ng der S trecke O P im
Au fp unk te P eintreﬂend Der
in P be ﬁn dliche Beob achter
dessen O ff
u n d der Schirm
mögen die ge
nu n g 0 ist
Trans
m einsame kons tante
In
.
,
,
‘
.
,
,
P
Abb 5
lationsgesch vﬁn di gk eit
Dann ist di e O ﬂnu ng
z u der Zeit
w o das Licht in P e intriﬂt bereit s n ach 0 ge
langt (v gl Abb
u n d der Beob achter der v o n der Bewegun g
kein e Kenn tnis besitzt wird 0 P als Strahlrichtun g bezeichnen
D i e Ri c ht u n g de s r e l a tiv e n S tr a h l e s i s t h i er n a ch di e
e
i
d
n
e
e
s
Vekto
r
s
j
g
.
itzen
in be
.
s
’
.
'
'
,
,
.
,
.
'
.
,
2
0
9
( )
'
c
c
m
,
d er di e R e l a ti vg e s ch wi n di gk eit v o n L i ch t u n d Be
d a r s te ll t Schon Bradley erklärte du rch diese
o b a ch te r
vom Standpu nkt der Emissions theorie des Lichtes ohne
weiteres einleu chten de Konstru ktion die Aberration des Fix
stem lich te s inf olge der Umlau fsbew e gu n g der Erde ; der di e s e
Umlauf sbew egu ng darstellende perio di sche Teil der Erd
.
Zw eite Absch nitt
3 38
r
E lek tr o magnet
.
.
Vo
rgänge
in w ägbaren Körp e m
“
Strahl ist
.
Der Begriﬂ
nicht nu r e in geometrischer
s ondern au ch e in phy sikali s cher ; der Be tra g des Strahlv ek tors
“
oder di e S tr a h l u n g wird gemessen du rch die auf Zeiteinheit
bezogen e Wärmeentwickelun g in einer
u n d Flächen einh eit
z ur
Str ahlrichtu n g gestellten schw arz en Fläche
s enkr echt
W ir haben in di e sem Werke bisher nu r v o n der a b s o lu te n
“
S tr a h lu n g S gesprochen die du rch ein e r u h e n d e senk
stellte sch warze Fläche deﬁniert ist
recht z u
oder
ge
(
gleichzeitig die in der Seku n de au f
E s be stimmt (v gl 5
den Q u adratzentimeter fallen de Bew egu n gs größe de s Lichte s
oder di e Kraft des Lichtdru ckes au f di e schwarze Fläche Der
a b s olu ten Strahlu n g stellen wir jetzt die
r e l a t i ve S tr u h
“
l u n g S gegen über ; die se w ird geme ssen du rch die Wärme
en tw ickelu ng welche in der Seku n de im Qu adratzentimeter
einer z u r relativen Strahlrichtu ng (d h z u c ) senk rechten
b e w e gte n schw arzen Fläche stattﬁn det Sie berechn et sich
folgen derm aßen
Die E n er gi e m e n g e die in der Seku n de du rch die
Flächeneinheit ein er im Rau me z u c senkr echten bewegten
n
ac
h
d
u
r
h
i
ged
hte
F
l
ä
che
i
n
t
r
i
t
t
s
t
i
r
ko
nn
e
die
e
c
w
n
s
s
(
)
“
au ch als
r e l a ti ve n E n er gi e s tr o m bezeichn en Um die
Wärmeentw ickelu n g in der schw arzen Fläche z u be stimmen
haben wir noch di e Arbeitsleistu ng des Lichtdr u ckes z u su b
trahi er en Die in der Seku n de au f die Flächen ein heit au ﬂallende
g
Be w egu ngsgröße ist
ihre Richtun g ist diejeni ge des ab
s o lu ten Strahl e s ; s ie gibt die Dru ckkraft der Strahlu n g au f
die schw arze Fläche an Folglich ist di e Arb e i t s l e i s t u n g
de s S tr a h l u n g s d r u ck e s
u nd daher di e re l a ti v e
S tr a h lu n g
'
„
,
.
„
,
,
.
.
.
,
'
.
.
.
,
'
,
„
.
,
.
c
.
2
1
1
)
(
Da
parallel
2
1
1
a)
(
s
es
z u
s
c
ich hi er
ist,
so
S
"
'
% 3 )
s
m
©
(
eben e Wellen handelt bei denen
w ird mit Rücksicht au f (209)
um
,
”
c
—
—
S
co s
c
x
.
Zw eites
Gru nd
Au f
2
1
1
(
Ka pitel
Kö p e
r
könn en wir
0
21
a)
(
v on
Bew egte
.
au
r
339
.
ch schreiben
3
b)
“
S tr a h l e einen
Verstehen wir jetzt u nter dem r e l a ti v e n
Vektor
dessen Richtun g diejeni ge v on c u nd dessen Betrag
die relative Strahlu n g S ist s o erhalten w ir au s (2 1 1 a) ohn e
w eitere s den f ür e b e n e We ll e n g ül ti ge n Au s dr u ck v o n G
„
'
"
,
'
2
1
1
0
(
)
Wir wollen dieser synthetischen Ableitu n g de s relativen
Strahles ein e analytische gegen überstellen indem wir v on dem
allgemein gül tigen Au sdru ck v o n 6
du rch die elek tro magne
tischen Vektoren au sgehen F1ir eben e Wellen gelangen wir
au f die sem Wege z u r
elektromagn etischen Begrün dun g der
obigen Kons tru ktion der relativen Strahlrichtu ng
Der abs olu te Strahl wird bestimmt du rch den Poyntingsch en
Vektor
,
'
‘
.
.
—
2
1
2
)
(
G
[
derselbe gibt den Energiestrom du rch ein e ru hen de Fläche an
Der r e l a ti v e E n ergi e s tr o m n ach ein er du rch 1 gekenn
zeichneten Richtu n g ist
.
:
1
a
2
2
(
)
10"
8 1 1:
er stellt die En ergiemen ge dar w elche in der Seku nde du rch
den Q u a dratzentimeter einer be w egten senkrecht z u 1 gestellten
h
l
h
i
n
d
u
r
c
t
r
i
tt
v
1
ged
a
chte
F
che
im
R
me
G
ei
l
ä
a
u
n
4
l
(
)
( g
chu n g 7 6 b )
Die au f die Flach en ein h eit berechn ete Kraft des Strahlu ngs
dru ckes ist du rch (20 1 a) gegeben Handelt es sich u m die
re l a ti v e S tr a h lu n g au f bew egte materielle Flächen so ist
die Arbeitsleistu ng der Fläch enk r aft 2 v on (21 2 a) z u su b
jetzt nicht wie im vorigen Paragraphen der
tr ah ieren Da
v on
der Fläche fortw eisen den s on dern der nach ih r h in
w ei senden Norm ale 1 p arallel ist so ist di e Arb ei t s l ei s t u n g
,
:
,
.
.
‘
.
,
'
,
.
:
,
,
22
*
340
Zw eite Absch nitt
r
.
.
S tr a h lu n g s dr u ck e s
s chr e i b e n
de s
!
w
(
Vo
E lek trom agn et
an
in w agh eren Körp em
rgänge
d e r b e w e gte n F l a ch e
.
z u
)
m
(
Die Differenz v on (2l 2 a) u n d (21 2b) ist es die sich als
Wä rm eentwickelu n g in ein er senk recht z u 1 ge stellten be
w egten schw arz en Fläche ku n dgibt
W ir vers tehen u n ter der
“
re la tiv e n S tr a h lu n g parall el der du rch gek em z eichn eten
Rich t1m g eben diese Differenz :
,
!
.
e‚ +
ä{
c‚
m
c
( )
w
w
( e)
.
k ö n n e n hi er n a ch di e re l a ti v e S tr a h lu n g n a ch
irge n d e i n er R i cht u n g a u ff a s s e n a l s K o m p o n e n te de s
Vekt o r s
W ir
f{
=
e
'
2
3
1
(
)
„
c
m
c
( )
m
e (me)
9)
8
D i e s er Vek tor i s t de r re l a ti v e S tr ah l
Wir wollen an Stelle der Vektoren (E
die du rch (203)
deﬁnierten Vektoren (5 u nd einführen ; w ir b erechn en deren
äu ßere s Produ kt
.
,
'
m
[
e
[ s]
a
1
2
3
(
)
2
—
c
]
m
[ él
j
—
Nach Regel (6)
Bd I S 43 7 ist
,
.
und
der
(y)
Fo rm elz u samm ens tellu ng in
.
-
[
1
1
1
1
]
151 1111 91
s
(
mc>
)
»s w
e n
m
(
)
w zu 11
Zw eite Abschnitt
342
r
E lek trom agnet
.
.
Vo
rgänge
in w ägbaren Körp em
.
Damit sind w ir v on der elektromagnetischen Deﬁnition
1
2
3
u sgehen d
d
e
s
b
re
ive
n
Str
e
ebe
e
We
e
l
a
t
s
a
f
ü
n
a
hl
r
ll
n
z
u
(
)
1
1
c
z
r
ckge
gt
Wir
ehe
d
a
ß
2
l
a
n
s
l
p
a
r
a
ll
e
der
Re
tiv
u
ü
n
l
a
6
(
)
geschwin digkeit c des Lichtes gegen die auffangende Fläche
ist daß mithin di e e l em e n t a r e K o n s tr u k ti o n der r e l a
ti v e n S tr a h l ri cht u n g a u ch v o m S t a n dp u n kte d er L o
r e n t z s c h e n T h e o ri e di e ri chti g e ist
Gleich zeitig erhalten
wir den Au sdru ck (21 1 a) bzw (21 1 ) für di e relative Strahlu n g
eben er Wellen wieder
Die Konstru ktion des relativen Strahl enganges beruht
wesentlich au f der Vorau ssetzun g daß die Lich tfo rtp ﬂanz u ng
im Rau me du rch di e Bew egun g der Körper ni cht beeinﬂu ßt
wird Die v o n di eser Konstru ktion au sgehen de Aberration
theorie fu ßt demnach au f der Anna hme ru henden Äthers
Die Annahme daß der Ath er sich nicht mit der Erde
be i ihrem Umlau f u m die Sonn e mitbewegt w ar es die
Fresn el der Aberratio nsth eo rie zu grun de legte Im Gegensatze
hi erzu nahm Stokes an daß der Ath er v o n der Erde mit
geführt wird ; h ier werden di e Gese tze der Aberration des
Fixs ternlich tes nu r du rch äu ßers t komplizierte u nd willk ürliche
Hypothesen über die Bew egu n g des Äthers in der Umgebu ng
der Erde gewonn en V o n den elektrom agnetischen Theorien
entspricht di e Hertzsche der Stokesschen die Lo rentz sch e der
Fr esnels ch en Die Erklärun g der Aberrati on vom Standp u nk te
der Hertz schen Elektrodyn amik bew egter Körper au s begegn et
ähnlichen Schw ierigkeiten wie die Stoke ssche auf der ela stischen
Lichttheorie fu ßende Erklärun g Vom Lor entz sch en Stan d
pu nk te au s erklärt sich die Aberration gan z u ngezwu n gen ; es
ist eben die Bewegu n g der Erde gegen das u n iverselle du rch
die Gesetze der Lich tfo rtp ﬂanz u ng deﬁn ierte Bezu gssystem
welche di e j äh rliche Periode der relativen Strah lrich tu ngen
bedin gt An derseits gibt die Hertzsche Theorie ohn e weiteres
daß di e elektromagn etischen
v o n der T a ts ache Rechens chaft
w elche mich au sschließlich an der
u nd optis chen Vorgän ge
Erdoberﬂäche ab spielen genau so verlau fen wie in einem
Die Gru ndvorstellu n gen der Elektron en
ruh enden Sy steme
,
'
,
.
'
,
.
.
.
,
.
,
.
,
.
.
,
.
,
,
.
,
,
,
.
Zw eite Kapitel
s
Bew egte
.
Kö pe
r
r
343
.
theorie hin gegen legen di e V ermu t1m g nahe daß die Umlau fs
bew egu n g der Erde au ch di ese Ers cheinu ngen beeinﬂu ßt u nd
daß es möglich sein s ollte
du rch elektrodynamische oder
optische Versu che im Laborato riu m di e jeweilige Richtu ng der
Erdbewegu n g festzu stellen Daß di es n icht der Fall ist beru ht
na ch H A Lore ntz au f e in er merk w ürdi gen Kompens ation der
Wirk un gen ; w ir kommen spate r hierau f zu rück (5 42 bis
,
,
.
.
.
5
,
Di e Re ﬂ exi o n de s L i ch te s du r ch
40
.
Sp i e ge l
ein en
b e w e gten
.
Wir behandeln in diesem Paragraphen das Problem der
Reﬂexion des Lichtes du rch einen in gleichförmiger Tran s
latio n sbew e gu ng begriﬂenen vollk ommen blan ken Spiegel Wir
gehen dabei au s v on der Lo rentz sch en Theorie der einzigen
au f die ein e präzis e Lö su n g des Prob lem s sich h at be grün den
Wir könnten dabei in ah nlich er Weise vorgehen wie
es im 5
für den Fall senkr echter In zidenz ge s chah w o
n eben den Ge s etzen der Lich tfo rtp ﬂan z u n g im R au me di e an
der spiegelnden Fläche vorgeschrieben e Grenzbedin gu ng heran
gezogen wu rde Wir ziehen es indessen v o r die allgemeinen
Au f
Imp u lssätz e u n d den En ergie satz zu gru n de z u legen
diese Wei se treten die Vorau ssetzun gen au f denen di e gegeben e
s die Gru n d
Lö su n g ber uht deu tlicher hervor : E s ist ersten
hypothes e der Elektr onentheorie daß die L i cht f o rtp f l a n z u n g
i m R a u m e d u r ch di e B e w e g u n g d e r K örp e r (hier des
Spiegels) n i c h t b e e i n f l u ß t w i r d Z w eiten s di e Ann ahm e
e in er B e w e g u n g s gr ö ß e d er L i ch tw e ll e n w elche der Rich
tu n g nach du rch den absolu ten Strahl bestimmt dem Betrage
n ach dem Q u otien ten au s der En ergie u n d der Ge sch w in dig
keiten de s Lichtes gleich ist; diese Ann ahme kommt schon
bei der Ableitun g des Lichtdru ckes au f ru hen de Flächen in s
Spiel Drittens endlich die E igen schaft des idealen Spiegels
die in 5 38 abgeleitet w u rde keiner scheren den Dru c kkraft
'
.
,
,
,
,
,
.
.
,
,
,
.
,
,
.
,
,
M
.
A
brah am , Boltz m ann Festsch rift , S 8 6
S 23 6
.
-
.
.
1 904
.
.
1 904
.
Ann
.
d Ph
.
ys
.
3 44
Zw eite Ab ch nitt
s
r
E lek tr om agnet
.
Vo
in w ägbaren Körp em
rgänge
.
gesetzt z u sein Diese dritte Vorau ssetzu n g
kan n w ie sich zeigen wird , a u ch du rch das H u y gh e n s s c h e
P ri n z ip ersetzt w erden
Wir legen die (w ) Eb en e in die Spiegelebene die Ach se
w ei se n ach au ßen
E s bezeichn en ß „ ß ß die du rch
t
e
e
il
g
ten Kompon enten der Tran slatio n sgesch w indigk eit des Spiegels
a
die C o sinu s der Winkel w elche di e
E s s eien
u nd
a
a b solu ten Strah lrich tu n en der einfallenden u n d der r eﬂek tierten
g
Welle mit der Achse eins chli eßen Das Licht sei mon o
bzw a die Schwingun gszahlen
u n d es seien v
chrom ati sch
der ein fallen den u n d reﬂek tierten Wellen an ein em im Rau m e
'
fe sten Punkte ; v h ingegen s ei die Schw in gu ngszahl an ein em
Pu n kte des be w egten Spiegels Dem D o p p l e r s c h e n Pri n z i p
1 4) zu folge sin d die Sch w in g m gsz ahlen
u nd 1
der an
ein em festen u nd ein em bew egten Pu nk te gezählten Lichtwellen
du rch die allgemein e Beziehu ng verkn üpft
des
Lichtes
.
au s
.
,
.
-
-
,
,
.
,
,
.
,
,
,
.
-
.
,
.
,
.
:
,
.
1
1
2
4
( )
1
9
ß
co s (p
'
.
D abei ist (p der Winkel des ab solu ten Strahls gegen di e
Bew egu ngsrichtu n g Die se Formu lieru n g de s D0 pp lersch en
Prinzip s gilt sowohl dann w enn der Beob achter sich bewegt
als au ch wenn die Lichtqu elle sich bew egt
falls u nter jede s
mal die Schw in gu n gszahl an ein em ab solu t r uhen den Pu nkto
verstanden wird Au s ( 21 4) folgt nu n ohn e weiteres
.
,
,
,
.
1
4
11 )
2
(
1
ß
co s c
p,
daher bestimmt sich
Lichtes folgendermaßen
u nd
= 1
ß
co sg
p,
Schwingungszahl
di e
des
r eﬂek tierten
:
l
2
1
4
b
(
)
1
die ab solu ten Strahlu ngen des ein
fallen den u n d des r e ﬂek tierten Lichte s d h die E nergiemen gen
die in der Seku nde du rch die Flächeneinh eit ru h ender z u r ab
s o lu ten Strahlrichtu n g senkr echter Flächen treten
Für schi ef
gestellte u nd bewegte Flächen ist di e du rch die Flä cheneinh eit
Es
i d
1
—ß co s
—ß co s g>,
s n
81
u nd
S,
,
.
,
.
.
Zw eite Ab chnitt
346
s
r
.
e
e V
E l k tr o magn t
o rgänge
.
in w ägbamn Körp em
.
ders au sgedrückt die Geschwindi gkeiten mit denen die
Lichtwellen über einen im Spiegel festen Pu nkt fo rtstreich en
E s sin d fern er
an
,
,
.
die Sinu s der Winkel welche die absolu ten Strahlrich tungen
mit der Sp iegelno rmalen einschließen Demnach sin d di e Ge
m i t d e n e n di e Sc h n i tt ge r a de n d e r
s c h w i n di gk e i t e n
W e ll e n e b e n e n l än g s d er s p i e ge l n d e n E b e n e f o rte i l e n
.
,
c (1
—ﬂco s ga, )
1
(
c
—ß co s ga, )
“1
V
I
Das H u y gh e n s s c h e Pri n z i p
l
n
u
n
d
i
ver
a
n
gt
e
d
a
ß
se
)
beiden Geschwindi gkeiten mit denen die Spu ren der ein
fallen den u n d der gespiegelten W ellen län gs der Spiegelebene
forte ilen ein ander gleich seien
E s bestimmt di e Richtu ng
des r eﬂek tierten Strahl es au s die ser Forderu n g
1
,
.
l
21
6
( )
— ß co s cp
1
l
—ß oo s ga,
verlan gt fem sr daß der reﬂektierte ab solu te Strahl in der
Ein fallsebene liegt
Au s der Bez iehu ng (21 6) u nd der au s der E nergie
gleichu ng u nd der Impulsgleichu ng gewonn en en (21 5 b) folgt
es
,
.
—
0=s
1
a
6
2
(
)
S
l
Hier steht rechts nichts an deres als die mit c mu lti
i
li
z
e
i
n
d
i
e
Spiege
ebe
n
e
e
n
de
Kompo
e
n
te
der
F
che
n
r
t
e
l
f
a
ll
n
l
ä
p
Wir haben damit
kraft 3 des Strahlun gsdru ckes (v gl
au s dem H u y h enssch en Prin z ip abgeleitet daß der Strahl u ngs
g
dr u ck senkrecht z u r Eben e de s idealen Spiegels wirkt
Wir hätten u mgekehrt au ch v o n der Forderu n g au sgehen
könn en daß der Strahlu n gsdru ck kein e scheren de Kompon ente
besitzt ; wir hatten dies ja im 5 38 au s der Elektronen theorie
Da alsdann die tangentiellen Komponenten der
abgeleitet
'
.
,
.
.
1 ) V gl h ie rz u : F H a sen öh rl
d Ph s (4) 1 5 , S 3 44 , 1 904
.
.
.
y
.
.
.
.
W ien Ber
.
.
113,
S 48 8 , 1 904 ; Ann
.
.
Zw eite s Kapitel B ew egte Körpe
.
r
3 47
.
e den u nd reﬂek tierten Bewegun gsgröße einander gleich
s ein
müssen so folgt ohn e weiteres daß der ge spiegelte
ab so lu te S trahl in ein er E ben e mit dem einfallen den
Strahl
u n d der Sp ie eln o rm al e liegt u n d daß die Differen z (21 6 a)
g
der in di e Sp iegelebene fallenden Komponen ten der au ffallen den
bzw entsan dten Bewegu ngsgröße gleich Null ist; hierau s u nd
1
6
ung
2
d
as
l
b
o
gt
die
Bezieh
we
ch
au s
1
alsd ann
e
2
5
f
l
( )
(
)
Wir sehen also : D a s
H u ygh enssch e Prin zip fo rmu liert
H u y gh e n s s c h e Pri n z ip u n d d i e F o rder u n g da ß di e
Kr a f t de s S tr a h lu n g s dr u cke s a u f d i e S p i e ge l eb e n e k e i n e
t a n ge n ti e ll e Ko m p o n e n te b e s i tz t s i n d e i n a n de r v o ll
k o m m e n äq u i v a le n t
au ffall n
,
,
.
.
,
,
.
E s ist
— ac
1
— ßw “i
s
Hierau s
u n d au s
-
W
‚
1
V
1
6
f
l
o
gt
2
( )
2
1
6
b
(
)
Man sieht
die Ri cht u n g de s re f l ekti erte n S tr a h l e s
v on
d er n o rm a l e n K o m p o n e n te d er S p i e ge l
nu r
ge s chw i n di gke i t a b h än gt Bewegt sich der Spiegel in
sein er Eben e
so erfolgt die Reﬂexion de s Lichte s genau so
wie am ru hen den Spiegel
Mit Rücksicht au f (21 6) u n d (21 6 b) konn en wir jetzt die
Formel (21 4b) welche das D0 p p lersch e Prinzip enthält
fo lgen derm aße n schreiben
,
daß
.
,
,
.
,
2
7
1
(
)
L i chte s
di e
h a n gt
„
a
a
l
‚
S ch w i n g u n g s z a h l de s re f l ekti erte n
n u r v o n d er n o rm a l e n K o m p o n e n te de r
Sp i e ge l ge s c h w i n di gk e i t
W as den
—ß
1
V1
Au ch
au s
+ px
l
n
ab
.
o rm a l e n Li chtdr u ck
belan gt
an
so
,
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1
5
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8
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P
,
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“
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1 ( 1
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Ss “
s
ß)
z
}
fo lgt
348
Zw eite Ab ch nitt
s
r
Er
E lek tro magnet
.
.
Vo
in w ägbaren Körp em
rgän ge
.
bestimmt wenn m an die Richtung u nd den Betra g
der reﬂek tierten S trahlu n g kennt Letzterer aber bestimmt
sich au s dem D0
l
h
ri
zip
1
b
der
d
rch
e
s
c
n
P
n
2
4
u
n
d
r
e
u
pp
)
(
Vereini gu n g der Energiegleichu n g u n d Impu lsgleichu n g ge
w o nnen en Beziehu n g ( 21 5 b ) fo lgenderm aßen
ist
,
.
31
1
2
9
(
)
S.
ß„)
”1
d er S e k u n d e a u f de n S p i e g e l f a ll e n de n u n d
d i e v o n ih m im re f l e kti e rte n L i chte e n t s a n dte n
E n e rgi e m e n ge n v er h a l te n s i ch w i e d i e e n t s p re ch e n de n
S chw i n g n g s z a h l e n
Wie a s (2l 6 b) folgt liegen di e Ko sin u s
der
a
W ellenno rm alen gegen die Spiegelno rm ale in den ein an der
zu geordneten In tervallen
Di e in
‚
u
.
u
,
,
ag
e
gn
+a5 e
g
L
Die Grenzen entsprechen dem im relativen Strahlen gan ge
streifen den
bzw dem senkrecht einfallenden u nd r eﬂek tierten
Str ahle Sieht man v o n dem ersteren Grenz falle wo nach
2
1
8
i
b
s
der
S
r
g
r
ck
N
l
l
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a
hl
u
n
s
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u
u
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g
.
.
,
Infolgedessen ge stattet
1
(
p
c
1
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s) 1 5
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1
b
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Identitat
1
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s +
1
(
“
1 )
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“
“
ß )( l
B”
2
w
!
die Gleichu n g abzu leiten
(
al
dieser Beziehu n g ergeben sich zwei neu e Formeln
die beide z u r Bestimmu ng des Reﬂexionsw ink els dien en könn en :
Au s
,
35 0
Zw eiter Absch nitt
E lek tro ma gnet
.
.
Vo
rgänge
in w ägbaren Körp em
.
Einfallswinkel im relativen Strah lengan ge u m
klein er als
im absolu ten u nd der Reﬂexio nsw ink el im ab solu ten Strahlen
l
s o daß der Reﬂexions
ge
k
ei
er
n
als im rela tiven
u
m
a
n
g
wink el im ab solu ten Strahlengange u m
,
Zr + ZV
klein er
”
21 1
der Einfalls wink el Erfolgt da gegen die Be
so ist im
w e gu n g des Spiegels in en tgegenge s etz tem Sinn e
rößer
m 2
ab s o lu ten Strah len gan ge der Re ﬂexio ns w ink el
g
Bewegt sich der Spiegel schief z
als der Einfallswink el
s o kann m an den r eﬂek tie rten a b s o l u te n S trahl
s ein er Eben e
in ders elben Wei se be stimmen in dem m an nu r den z u r Spiegel
ebene senkrechten Bestan dteil v o n m berück sichtigt D agegen
der u nter Berück sichtigu ng des gesamten in bestimmte r e l a tiv e
Strahlengang befolgt in diesem allgemein en Falle kein e einfach
au szu sprechen de Regel ; der Reﬂe xio ns w ink el ist hier im all
gemeinen nicht gleich dem Einfallsw ink el Nu r im Falle
ein er B e w e g u n g p a r a ll e l der S p i e ge l eb e n e liegt di e
S ache w ieder sehr einfach ; wie im absolu ten so ist au ch im
relativen Strahlen gan gs in di esem Falle der Reﬂexio nsw ink el
dem Einfallsw inkel gleich
Han delt es sich u m ein einfallendes Lichtbün del dessen
Strahlenk egel im ab solu ten Strah lengan ge den körperlichen
Winkel 111 ein schließt so be stimmt sich der Öﬂnu n gsw ink el m
de s ge spiegelten Strahlbün de ls am einfachs ten au s (220 a)
Man ﬁn det
ist,
als
.
,
u
u
.
,
,
.
.
,
.
'
1
,
.
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ch (220 b)
w as na
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2
1
7
(
)
‚
;
ergibt
2
1
2
(
)
1
1
D i e v o n e i n em a b s o lu t r u h e n d e n B e ob a chter w a hr
ge n o m m e n e n Ö f f n u n g s w i n k e l de s e i n f a ll e n d e n u n d
de s ge s p i e g e l t e n S tr a h lb u n de l s v erh a l te n s ich w i e di e
re zi p r o k e n Q u a dr a t e d er b e o b a ch te te n S c h w in gu n gs
z ah le n
.
Zw eites Kapitel Bew egte Kö pe
r
.
1
9
ü
o
gt
rig
n
2
f
l
b
s
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( )
Au s
22
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0
)
(
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r
85 1
.
du rch Einführun g
v o n ( 21 7)
31
2
2
2
(
)
g,
D i e a b s o l u te n S tr a h lu n ge n v e rh a l te n s i ch w i e d i e
Q u a dr a te d er S ch w i n g u n g s z a h l e n
Infolge der genann ten Relation en geht (21 8) über in
.
s,
_
e
o
der gemäß (220 a)
,
,
“
+
x
(
—ß
l
in
2 ‘Si
2
3
2
)
(
0
ß)
’
ﬁz )
;
1
(
d e r B e tr a g de s n o rm a l e n Str a h lu n gs
dr u ck e s b e i s chi e f e r I n z i d e n z de s L i cht e s Bei senk
rechter Inzidenz wird die Gleichu n g (208) des 5 38 wieder
e rh al ten
Au ch b e i s ch i e f er I n z i d e n z w ir d d er S t r a h
l u n gs dr u c k u n e n d l i ch f ür ß = 1 d h w e n n de r S p i e ge l
s i ch s e n kre cht z u s e i n e r E b e n e m i t L i c h t ge s c h w i n di
g
k e i t b e w e g t Fällt auf die Vorders eite des Spiegels ein e
so kann sich der Spiegel senkr echt
n och so gerin ge Strahlu n g
Be
z u s ein er Eben e n icht mit Lichtge schwi n digkeit be w egen
merkens w ert ist der Gegen satz z u m Falle des bewegten Elek
trons w o Bewegu n g mit Lichtgeschwin digkeit kein es w egs au s
z u schließen w ar
Da s
is t
,
.
.
„
,
.
.
.
,
.
,
.
4
1
5
.
Di e T e m p e
r a tu r
de r Str ah l u n g
.
Die strahlende Warme ist f ür die Ökon omie des Weltalls
u tu n g ; sin d es doch die Sonn ens tr ahl en
rößt
Bede
v o n der
n
e
g
die alle Be w egun g u nd alles Leben au f der Erde u nterhalten
Wenn an ders die Hau ptsätze der mechanischen Wärmetheori e
überh au pt ein e allgemeine Gültigkeit be s itzen s o m üss en sie
n icht n u r au f die in dem m ateriellen Körper en thalten e so n dern
D aher
au ch au f die strah len de W ärme An w en du ng ﬁn den
h at s chon R C lau siu s bei der Be grün du n g der The rmodynamik
die thermis chen Wirku n gen der Strahlu ng in Betracht ge
,
.
,
,
.
.
35 2
Zw eite Absch nitt
r
.
E lektro m agn et
.
V
o rgänge
in w ägbar en Körp em
.
zogen u nd G Kirchhoff ist bei sein en für die Strah lu n gs
theorie gru n dlegen den Unters chu ngen v o n der Gültigkeit des
C am o t C lau siu ssch en Prinz ipes für die Licht u n d Wärm e
Wir w ollen in die sem Paragraphen
strahlu n g a u sgegan gen
ru n gen entwickeln w elche sich au s der Anw en du n g
di e Folge
der Thermodyn amik au f die Wellen str ahlu n g ergeben
Wir denk en u ns ein Bündel u np o larisierten Lichtes v on
dem kleinen Öﬂnu ngsw ink el co D u rch ein e senk recht z u r
Achse des Bün dels gestellte Flache me ssen w ir die St ah lu n gs
intensität S ; bei Lich tstrahlen im en geren Sinn e könnten w ir
die Lichtstärke photometrisch messen w ir denk en u n s hier
jedoch ste ts die S trahlu n gsintens ität bolometris ch d h du rch
ihre thermi sche Wirku ng gemessen S ist bereits a f die E in
heit der au ffan gen den Fläche berechn et ; e s erw eist sich fern er
als zw eckm äßig
sie au f die Einheit des körperlichen Wink els
z u
beziehen u nd die S trahlu ng spektral z u zerlegen Wir
n enn en
,
.
u
-
.
.
'
.
r
,
,
.
.
u
.
,
.
224
( )
“
H e ll i gk e i t de s Strahlbündels
die ge s a m t e
die
u nd H
Helligkeit der spektral zerlegten Strahlu n g oder die H e l li g
“
k e i t schlechtw eg Beob achtet man ein mon ochr omatisches
Lichtb ün del oder au ch ein au s verschiedenf rbigem Lichte
zu samm engesetzte s in v erschieden en Entfernu n gen v on der ent
s en den den Fläche
s o ni mmt di e S trahlu n gsinten sität S
gekehrt proportional dem Qu a drate der Entfernu ng v o n der
leu chten den Fläche ab ; in dem s elben Maße aber ni mmt der
körperliche Win kel « 1 ab u n ter w elchem die leu chtende Fläche
gesehen wird Die Helligkeit jeder F rbe u nd au ch ihr über
das gan ze Spektru m erstr e ck tes In tegral andert sich bei der
freien Fortpﬂan z u n g de s Lichte s im Rau me n icht
Mit M Planck ) werden wir den Vorgan g der u n gesto rte n
Lich tfo rtp ﬂanz u n g im Rau me da er sich du rch p assen d ge
wählte Hohl spiegel oder Lin sen ru ck gan gig m achen läßt als
„
„
.
a
,
,
a
.
.
1
.
,
1)
M
.
Planck
.
Ann d Ph
.
.
y
s
.
4
1
( )
,
S 7 1 9 , 1 900 ; 3 , S 7 64 , 1 900
.
.
.
Zw eite Absch nitt
354
r
.
E lek tro m agnet
.
Vo
in w ägbaren Körp em
rgänge
.
“
Strab
na türli che
icht stren g mon ochromatisch sin d Jede
lu n g z B diejenige ein er Spektrallin ie erfüllt e in zwar klein e s
aber doch
v o n Nu ll
verschieden es spektrales Interv all v o n
Schwin gu n gszahlen Gerade die Anwesenheit einer großen
Z ahl v o n Partialw ellen welche in regelloser Wei se miteinan der
interferieren ist n ach M Planck diejenige Eigenschaft der
“
welche die An wendu n g der Thermo
natürlichen S trahlu n g
dynamik ermöglicht Wenn w ir im folgenden v o n „ mon o
“
chromatischem Lichte reden so verstehen wir daru n ter stets
solche s
dessen Schw ingun gszahlen ein kleines aber doch v o n
Nu ll vers chiedenes Intervall d erfüllen
E s en tspricht der v o n u n s du rchw eg zu gru nde gelegten
Au ffassu ng daß wir die Strahlu n g S du rch ein e ab solu t
ru hende Fläche gemessen denk en u n d ebens o u n ter an den
Ö ffnu n gswinkel des Kegels der ab solu ten Strah lrich tu ngen
verstehen Dementsprechend bezieht Gleichu n g (224) au ch die
Helligkeit au f das u n iverselle Bezu gssystem welches u n sere
Wie die En ergie u nd die Be
Gr un dgleichu n gen po stul ieren
w e gu n gsgröß e der Lichtwellen so ist au ch ihre Helli gkeit u n d
ihr e Temperatur du rch die Eigen schaften des „ abs olu ten
“
Strahles bestimmt
Um nu n den zweiten Hau ptsatz der Thermodynamik für
die Ermittelu n g der Beziehu ng zwischen Helli gkeit u nd Tempe
ratu r fru chtbar z u m achen müssen wir einen rev ers ibeln m it
Arbeitslei stu n g verbu n den en Vorgan g angeben bei welchem
die Helli gkeit der Strahlu ng v eran dert wird E in solcher V o r
gan g ist der im vorigen Paragraphen behan delte nämlich die
Reﬂexion ein es Lichtb ündels du rch einen bewegten voll
k o mm en en Spiegel ; wir überze u gen u n s u ns chw er davon daß
ders elbe u mkehrbar im Sinne der Thermodyn amik ist
Wir stellen z u diesem Z w ecke zw ei Vorgänge einan der
gegenüber Bei dem ersten sei S die ab solu te Strahlu ng
m der klein e Ö ffnu n gswinkel de s einfall en den m o n och ro m w
tischen Lichtbündels dv se i die Breite de s In tervalles der
Schwin gu n gsz ahlen ;
sei der Ko sin u s de s Wink els
w elchen
die Achse des B ün dels m it der Sp iegeln ormale ein s chließt D u rch
n
.
,
,
.
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
,
.
.
,
.
,
,
,
.
,
,
.
1
.
,
,
,
a,
,
.
Zw eites Kapitel B ew egte Kö p e
r
.
2
24
a
)
(
SI
.
35 5
r.
H , m, dv ,
odann die Helligkeit H des einfall enden Bündels deﬁn iert
Bei dem ersten der betrachteten Vorgän ge soll nu n ß po sitiv
s ein
d h der Spiegel soll sich dem einfall enden Lichte ent
ge gen bew egen D abei wird v o n äu ßeren Kräften gegen den
Strahlu n gsdru ck eine gewisse Ar beit geleistet Au s (2l 6 b)
bestimmt sich der Ko sin u s a„ de s Reﬂexio ns w ink els ; der Re
ﬂexio nsw in k el is t klein er als der Einfallswin kel
Nach (21 7
wird die Schw ingu ngszahl des Lichtes bei der Reﬂexion er
ö
ß
ert u n d gem äß
r
a
22
2
die
b
o
l
u
te
Str
h
l
u
n
g
im
Verh
t
a
s
ä
l
n
i
s
g
(
)
de s Q u a drates der Schw in gu n gszahlen verstärkt Da na ch (221 )
der Ö ﬂn u n gsw ink el des B ün dels im u m gekeh rten Verhaltni s
des Q u adrate s der Schwin g un gszahlen verrin gert wird so ist
ist
s
,
.
„
,
.
.
.
.
.
v
.
'
,
“
dv ,
S
m
B d ».
6
F
E
25 )
i
3 I
D abei ist wie au s (21 7) hervorgeht das Verhältni s
bei gegebener Bew egu ng des Spiegels ein kons tan tes so
,
,
daß
man h at
Demgemäß wird
2
6
2
( )
D i e H e ll i gk e i te n d er b e i d e n B ün de l v erh a l te n
s i ch w i e di e dri tte n P o te n z e n d e r S chwi n g u n g s z a h l e n
Dem soeben betrachteten V o rgan ge bei dem «x„ der Ko
sin u s de s Re ﬂe xi o n sw ink els w ar
stellen wir jetzt einen zweit en
Vorgang gegenüber ; hier soll der Ein fallswinkel denjenigen
Wert besitzen den vorher der Reﬂexionsw ink el besaß W ie
der Wert v o n a„ so sollen jetzt au ch die Werte v o n v „ S„
H u nd m
die bei dem ersten V o rgan ge dem r eﬂek tierten
Bündel zu kamen jetzt dem einfallenden Bündel zu geschrieben
werden Gleichzeitig soll die Bewegun g des Spiegels in ent
n
e
z ter Richtu n g vor sich gehen
ß
ei
e
n
e
e
s
e
t
d
a
n
der
rt
a
ß
g g g
dem Betrage nach gleichen dem Vorzeichen nach aber entgegen
.
,
.
,
,
,
.
,
,
,
23
*
35 6
Zw eite Absch nitt
r
E lek tr om agnet
.
.
Vo
rgän ge
in w ägbaren Körp em
.
“
gesetzten Wert anni mmt Setzen wir dementsprechen d
I
so
an Stelle v o n ﬁ u n d den In de x 2 an S telle de s In de x 1
bleibt (21 6 b) erfüllt wenn jetzt der Ko sinu s des Reﬂexio ns
winkels ist Wie der Reﬂexio ns w ink el des zw eiten Vorgan ge s
gleich dem Einfallsw inkel des ersten ist so ist nach (21 7 ) die
klein ere Schw ingu n gszahl 1 jetz t diejeni ge des reﬂek tierten
B ün dels Folglich sin d nach (21 9) die in der Seku n de u m
gew an delten Men gen strahlen der Wärme die gleichen wi e
orher ; die Umwan dlu n g geschieht in dessen in en tgegen
gesetz tem Sinn e Die gleiche Arbeit die vorher gegen den
Strahlu ngsdr u ck geleistet w u rde w ird nu n mehr v o n ihm ge
lei stet
Im thermodyn am ischen Sinn e ge sprochen macht als o
der zweite Vorgang den ersten rück gan gig D i e R e f l e x i o n
e i n e s L i cht b ün d e l s d u r c h e i n e n b e w e gte n v o l l
k o m m e n o n S p i e ge l i s t e i n re v er s ib l er Pr o z e ß
Den zweiten Hau ptsatz der Thermodyn amik au f die in der
Seku n de u mgewan delten W ärmemengen an wenden d erhalten wir
„
.
x
,
a
,
,
.
,
1
,
.
v
,
.
,
.
.
.
,
,
S1
7
2
2
( )
82
“
( z p)
,
D abei sind
und
die T emp er a t u r e n d e r b ei d e n
m o n o c hr o m a ti s che n L i ch tb ün de l gemäß der thermo
dynamischen Deﬁni tion der abso lu ten Temperatu r
Au s (227 ) in Verbin du ng mit der au s dem Do p p lers ch en
Prin zip u n d der En ergie u n d Imp u lsgleichu n g abgeleiteten
Relation (21 9) folgt
,
.
7
a
2
2
(
)
D i e T e m p e r a t u re n de r b e i d e n Li chtb ün de l v er
h a l te n s i ch w i e ihre S chw i n g u n g s z a h l e n
Hierau s u n d au s (226) ergibt sich
8
7
b
2
2
)
(
D i e He lli gke ite n d er b ei d e n m o n o chro m a ti s che n
B ün d e l v erh a l te n s i ch wi e di e dritte n Po te n z e n de r
a b s o l u t e n T e m p er a t u re n
An Stelle v o n (225 ) aber k önnen
wir schreiben
2
27
H
c
d
v
v
H
d
(
)
,
.
.
°
,
,
2
Zw eite Absch ni tt
358
r
.
Vo
E lek tro magnet
.
rgänge
in w ägbaren Körp e
betra chtet in den en alle Farben di e gleiche Temperatu r
bzw
besitz en E s wird gestattet sein solches Licht in
w elchem alle Farben vertreten sin d u n d zw ar mit der gleichen
“
Temperatu r als w e i ß e s L i ch t z u bezeichn en Vergleicht
m an die Gesamthelli gkeiten zweier we ißer Lichtb ün del so w ird
,
.
,
.
,
„
,
.
,
D i e ge s a m te n H e ll i gk e i te n z w e i e r B u n d e l w e i ß e n
L i chte s v e rh al te n s i ch w i e di e vi erte n Po te n z e n ih re r
Das ist das Ge setz we lche s
a b s o lu t e n T e m p e r a t u r e n
zu erst v o n Stefan als empirisches Gesetz au fgestt u n d dann
w ie
erw ähnt v o n Boltzmann theoretisch begrün det wu rde
—
Die Gleichu n g (227 c) übertra gt das Stefan Bo ltz m ann sch e
Gesetz au f zwei monochrom ati sche Lichtbündel
Das Ver s ch i e b u n g s ge s etz wu rde zu erst v o n W W ien
Doch verm ochte di eser Au tor e s nich t den Zu
de
s selben mit dem Do p p lers ch en Prin zip u n d dem
sam m enh an
g
Strah lu n gsdru ck e in e in w andsfr eier Wei s e z u formulieren Das
gelin gt in der T at nu r dann wenn man v o n ein er p raz isen
L ösu n g des Pro blemes der Lich treﬂexion du rch ein en bew egten
Spiegel au sgeht Au f dem hier verfolgten zu erst vom Ver
fe ss er die se s Werkes ein ge schl agen en Wege erhält m an da s
Verschiebu n gsgesetz un d das V erstärku ngsge setz mit einem
Schla ge ; ihr Zu sammenh an g mit den Prinzipien der elektro
magnetisch en Mechani k tritt bei dem gegeben en Beweise
deu tlich hervor Wir du rften u ns ni cht mit der Lö su ng des
Reﬂe xionsp ro blem es für den Fall senk rechter In z iden z eb ener
Wellen begnügen weil die Kenn tni s des Verhältni sses der
Öﬂnu n gsw ink el der beiden Lichtbün del z u r Ermittelu n g de s
Verhäl tnis ses der Helligkeiten erforderli ch w ar u n d das Ver
h ältnis der Ö ffnu n gswinkel (221 ) du rch Differen tiation v o n a
n ach oe erh alten w ird
Um diese Differen tiation au sführ en z u
,
.
,
,
.
.
.
,
.
.
,
.
‘
,
,
1)
.
W W ien
.
S 1 3 2, 1 8 94
.
.
.
Be
rliner
Sitz u ngsber 1 893 ,
.
S 65
.
.
Ann d Ph
.
.
y
s
.
5 2,
Zw eites Kapitel
Körpe
Bew egte
.
r
35 9
.
können m u ß das Reﬂexio nsp roblem fur den Fall schiefer
Inzidenz gelö st sein
Wie man sieht ergibt sich das thermodynamische Gesetz
der natürlichen Strahlu n g au s den all gemein en Eigens chaften
der elektroma gnetischen Strahlun g au f Grund des thermo
dynamischen T emp eratu rbegriﬂes Das Gesetz ist au f jede be
lie bige n atürliche Licht u n d Wärme strahlu n g an zu wen den wie
sie
immer entstanden sein mag Die so bestimmte
au ch
Temperatu r der Strahlu ng ist aber im allgemeinen du rch au s
ni cht mit der Temperatu r des str ahlen den Körpers iden ti sch
Wir m üssen die Beziehun gen die z w ischen der Temperatu r
de s em ittieren den Körpers u n d der Temperatu r der entsan dten
S trahlu n g bestehen hi er ku rz erläu tern da au f ihn en die Ver
gleichu n g der strahlu ngsth e o retisch en u nd der gewöhnlichen
o
e
as
t
h
h
Temp
ber
u
ht
e
r
e
t
i
s
e
r
a
s
k
a
l
a
n
t
ur
c
g
Natürliches Licht kann au f zwei wesentlich verschi edene
Wei sen entstehen : D u r ch re i n e T emp er a t u r s tr a h lu n g u nd
d u rch Lu m i n i s z e n z Die rein e Temperatur strahlu n g ist ein
rein thermischer Vorgan g Die En ergie der Wellen entstammt
dem W ärmev o rrat des emittierenden Körpers u nd ist du rch
se in e Temper atu r be stimmt ;
chemische u n d elektris che V o r
gan ge spielen bei dieser Art der Emission n icht mit Bei der
Lu mini sz en z hin gegen spielen Vorgänge ni cht thermis cher Natu r
mit u n d demgemäß ist die entsan dte Strahlu ng ni cht au s
s chließlich
du rch die Temperatu r der Lichtqu elle bedingt
D aher kann bei den V o rgan gen der Lu m in isz enz v o n einer
allgemein gültigen Bezieh un g z w i schen den Temperatu ren der
Lichtqu elle u n d der Strahlu n g kein e Rede sein Man h at ge
fu n den daß z u den au f Lu min isz en z beru hen den Vorgän gen
di e Emi ssion der Lin ien sp ek tra gehört
Die Temperatu r de s
Lichtes der Spektrallini en gestattet daher du rchau s kein en
Rücks chlu ß au f di e Temperatu r des entsendenden Körpers
Für die re i n e T e m p e r a t u r s tr a h l u n g lassen sich Be
ziehu n gen z u r Temperatu r des leu chten den Körpers au s der
Thermodynamik ableiten Man denk e sich ein en H oh l r a u m
dessen Wän de rein e T emp eratu rstrahler sin d ; diese Wände
,
.
,
‘
.
,
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
3 60
Zw eite Absch ni tt
r
.
.
einer gegebenen Temperatu r 0 gehalten Nach dem
C lau siu ssch en Axiom e m üssen sich in di e sem Systeme da
di e
an dere als rein thermi sche Vorgän ge a u s ge schl o ssen sin d
Temperatu ren au sgleichen ; e s mu ß sich schließlich ein ther
mischer Gleichgew ichtszu stan d herstellen bei w elchem alle
Teile des Syste me s die gleiche Temperat r besitzen Das
gilt nicht nu r v o n der Temperatu r der mate riellen Körper die
m an etwa in den Hohlra m brin gen m ag son dern a ch v o n
der Temperatu r der den Hohlrau m erfüllen den Strahlu n g selbst
D i e T em p er a t u r d er H o h l r a u m s tr a h lu n g i s t g l e i c h de r
T em p e r a t r d er Wän d e E in im Innern des Hohlrau m es
beﬁn dlich er Beob achter würde v o n allen Seiten Licht der
gleichen Helli gkeit u n d der gleichen spektralen Z u sammen
s etzu n g emp fan gen
Die Helli gkeit mu ß sich der Temperatu r
des Hohlrau me s so zu ordn en w ie e s das th errﬁo dynami s ch e
S trahlu n gsgesetz (228 a) fordert Die Temperatu r aller Farben
“
mu ß die gleiche sein so daß das Licht als „ w eiß
in dem
oben an gegebenen Sinn e z u bezeichn en ist Kö nn te m an sich
in das Inn ere ein e s Hohlrau me s begeben de ssen Wände so
daß sie info lge ihrer Temperatu r leu chten
stark erhitzt sin d
s o kö nn te m an da s thermodyn ami sche Strahlun gsge se tz exp eri
m entell prüfen w enigsten s in demjenigen Temperatu rbereiche
in w elchem ein e au f der gasth e o r etisch en Skala beru hende
T em p em tu rm e ssu n g moglich ist
Da e s n u n au s n aheliegen den Grün den u nm o glich ist
sich in ein en de rartig erhitzten Hohlr au m hi n ein z u begeben
so
h at m an ein en Ku n stgriﬂ an ge w an dt ; ders elb e w ar n icht so
wie er u n s jetz t erschein en mag; er besteht
s elb stverstän dlich
darin daß m an in die Wan d des Hohlrau mes ein kleine s Loch
bohrt u n d du rch die ses hin einblickt Dieser Gedanke ist
zu erst v o n L Boltzm ann ) au sgesprochen u n d später v o n
“
O La mme u nd W Wien ) d rchgeführ t w orden Ist die Öff
nu n g de s Hohl rau mes hinreichen d klein
s o stört sie die Her
s
eien
E lek trom agnet V o rgänge in w ägbaren Körp em
.
au f
.
,
,
u
.
,
u
u
,
.
u
.
.
,
.
,
.
,
,
,
.
,
'
,
.
‘
.
r
.
u
.
.
,
1) L
Boltz mann
2)
Lu mm
.
O
.
.
Ann d Ph
er u n d
.
—
W
.
.
Wie
n
.
y
s
.
22 , S 35
.
Ann d Ph
.
.
1 88 4
,
y
s
.
.
5 6 , S 46 1 , 1 8 95
.
.
Zw eite Abschni tt
3 62
r
E lek tr o m agnet
.
.
Vo
rgänge
in w ägbaren Körp em
.
Wärmebew egung der Moleküle die in der kinetischen Gas
theorie ihren Au sdr u ck ﬁnden ; sie verkn üpft die u niverselle
Kons tante k au fs engste mit der sogenann ten B o ltz m a n n
Dr n de s c h e n K o n s t a n te n
d h der mittleren leben digen
Kra ft eines Mo leküles bei der absolu ten Temperatu r 1 Plan ck
ﬁn det )
.
.
.
1
2
2
9
c
(
)
e
ehr hohe Temperatu ren u nd sehr lange Wellen
kleine 1 u n d große 9 geht (229) über in
Für
d h
.
.
= —k=
s
für
)
«
2
9
2
d
(
)
H
,
,
22 9
Diese Formel h at H A Lorentz gew onn en indem er
v o n der E lektr on en theorie der Metalle
32) au s gin g u nd für
eine dünn e Schicht eines Metalles die Emission lan gwelliger
Wärmestrahlen dur ch die in Zickz ackbahn en sich bew egenden
Elektronen bestimm te ; indem er an derseits die Absorption lan ger
Wellen in der Metallschicht au s der elektrischen Leitfähi gkeit
berechnete w as n ach den Ergebni ssen v on E Hagen u n d H Ru
bens (v gl I 5 7 1 ) gestattet ist konnte er den Q u otien ten au s
Emissionsvermögen u nd Absorption svermögen ermitteln der nach
dem Ki rchh o ﬂsch en Gesetze fü r alle rein en Temp eratur strahler
den gleichen Wert besitzt u n d eben du rch die Helligkeit H be
stimmt ist v l u n ten
entz s ch en Ablei tun g h a t al s o
Bei
der
o
r
L
( g
)
direkt die Bedeu tun g der mittleren leben digen Kraft eines freien
Elektrons im Metalle Mit der Boltzmann Dru desch en Kons tanten
ist der Wert der Mas s e eine s W asser sto ffato m e s en g verknüpft
u n d die s er w ieder
hän gt mit dem elektrischen Elementar
qu antu m z u sammen (v gl 5
So k ann denn au s der Ko n
stante
k der Strahlun gsformel der Wert de s elektrischen
E lem entar u antu ms ermittelt w erden
E s ergibt s ich nach
.
,
.
,
.
.
.
,
,
,
'
er
.
.
-
.
,
.
q
1)
M
2) H
.
.
Planck
.
.
A Lo rentz
.
Ann d Ph
.
.
.
Ak a d
.
y
v an
s
.
4 , 5 6 4 , 1 90 1
.
W etens ch de Am ster dam
.
11
.
1 903 , S 7 8 7
.
.
Zw eites Kapitel Bew egte Kö pe
r
.
30
2
( )
4, 69
e
.
1o
r
3 63
.
1°
-
elektrostatische Ein heiten w as ni cht so sehr v on dem in 5 1
ange ge ben en au f ganz verschieden emWege gefu n den en Werte 2
( )
abw eicht
Wie 19 so mu ß au ch die Konstante h der Strahlu ngsformel
ein e u ni verselle Bedeu tu n g haben ; da die ein zige elektro
m agnetische Konstante des Äthers die Lichtgeschw in digkeit c
ist so m u ß e s sich u m ein e Kon stan te han deln welche v o n
den Eigenschaften der p o n derablen Materie oder der E lektr on en
abhän gt ; e s mu ß aber ein e v o n den in divid u ell en Eigenschaften
de s Körpers u n abhängige Gr öße s ein
Wie man sieht drin gt das vollstän dige Strahlu ngsgesetz
2
2
9
f
i
n
a
f
tie
die
mo
ek
re
Eige
ch
te
der
M
terie
l
n
s
n
a
e
i
n
a
u
l
n
(
)
Sein Bew eis beruh t au f Vorau ssetz un gen deren D arlegun g
u n s hier z u
w eit führen würde
Wir w ollen nu r n och in
Kürze das Kir chh o ifsch e Gesetz formu lieren welches für die
Emi ssion u nd Abs orption der rein en T emp eratu rstrahler gilt
Bildet der Korper u m den es sich han delt ein en Teil
der Wan d ein e s Hohlrau me s so sendet er ein er im Inn ern be
ﬁndli ch en Fläche diejenige Strahlu n g z u die sich a u s sein er
Temperatu r gem aß dem Strahlu ngsgesetz e (229) berechnet
Diese Strahlu n g dr in gt aber n u r z u m Teil au s dem Inn ern
des Korpen hervor z u m an deren Teil ist e s reﬂek tierte Strah
lu ng Le u chte t der Körper n ur mit eigen em Lichte ohn e daß
Licht au s an deren Lichtqu ellen au f ih n fällt so ist sein e
Emission eine gerin gere Au f diese Eigenstrahlu n g bezieht
sich nu n da s Kir chh o ffsch e Ge s etz
E in klein e s eben es Flächen
s tück f der Oberﬂ äche des Ko rp e rs sen det ein em Pu nk te P des
Rau me s Eigenstrahlu n g der Schw in gun gszahl in der H elli g
’
keit H z u An derseits w ird v o n der Energie ein er Lichtw elle der
gleichen Schw in gu n gszahl die v o n P au s nach f geht du rch
den Körper bei der betr effen den Temperatu r der Bru chteil A
ab s orbiert
Wir konn en dann das Ki r c h h o ff s c h e G e s e tz
folgen dermaßen au ssprechen : D e r Q u o ti e n t a u s H e l l i g
k e i t H u n d Ab s o rp ti o n s v erm ö ge n A f ür S tr a h l e n b e
,
,
.
,
,
,
.
,
.
,
.
,
.
,
,
.
,
,
.
,
.
.
,
.
,
.
'
,
,
3 64
Zw eite Absch nitt
r
E lektro magnet
.
.
Vorgän ge
in w ägbaren Körp em
.
F a rb e u n d Ri cht u n g h a t f ü r a ll e T e mp e r a t u r
s t r a h l er b e i ge ge b e n e r T emp er a t u r de n g l ei ch e n We rt
s ti m m t e r
H
1
3
2
)
(
A=H
'
.
Er i s t g l e i ch d er H e lli gk ei t w e iß e r S tr a h lu n g v o n d e r
b e tre ff e n d e n T e mp e r a t u r
G Kirchhoff h at sein Gesetz etw as an ders formu liert
“
in dem er u nter Emissions vermögen diejenige Strahlu ng ver
welche die Fläche f, ein er an deren f; zu sen det u n d die
steht
Strahlu ng nicht nach der Skala der Schw ingu n gszahlen sondern
Au ch u n te r
nach derjenigen der Wellenlän gen zerlegt denk t
scheidet er n eben der Farbe u n d Richtu n g die Polari sation s
richtu ng w ovon w ir hier abgesehen haben Der Kir chh o ffsch e
Bew eis ist ein recht u m stän dlicher Ein en übersichtlichen
Bew ei s de s Gesetzes ﬁndet man bei E Prin gsh e im ß) Dieser
Forscher faßt das Kirchh o ffsch e Gesetz als Bedin gu n g dafür
au f daß jeder nu r info lge sein er Temperatu r le u chten de Körper
in die Wan d ein e s Hohl rau mes ein gefügt in der Helligkeit
de s w eißen Lichtes leu chtet in dem z u der Eigenstrahlu n g
gerade so viel reﬂek tierte (oder geborgte) Strahl u ng kommt
daß H z u H ergän zt w ird Hier w ird als o der S atz v o n der
Hohlrau mstrahl u n g z u m Fun dam en t der Strahlu ngsth eo rie ge
macht w ähren d Kirchh o ff diesen Satz au s seinem au f anderem
Wege bew iesenen Ge setze herleitet
Die Gültigkeit des Kirchh o ﬂsch en Gesetz e s ist w ie her v or
gehoben w u rde au f die Vorgän ge der rein en Temperatu r
Lu m in is en z e rsch einu n gen w ie E lnore s
strahlu n g be schr änk t
zen z u n d Pho sphoreszen z fallen nicht in sein en Gültigk eits
bereich Würde man lu minisz ie ren de Körper in den Hohlrau m
bringen so w ürden die chemischen oder elektri schen Prozesse
w elche die Emi ssion begleiten im stan de sein
die Herstellun g
de s Temperatu rgleichge w ichte s z u verhindern
D aher ist au ch
die Anw en du n g au f die Spektralli nien in der m an früher die
w e s entliche Bede u tu n g des Kir chh o ffsch e n Ge se tze s mein te er
.
,
.
,
,
.
.
.
.
,
,
,
,
.
,
.
'
,
,
z
.
.
,
,
,
,
.
1)
E
Fringsh eim
.
1 901
.
.
Ve b
r
.
der
deu tsch en
ph y
s ik
.
Gesellsch aft 3 ,
Zw eite Absch nitt
3 66
r
.
E lektromagnet
.
Vo
rgän ge
in w ägbare n Körp em
.
Strahlu ngsformel du rch Beobachtu n g der Eigen strahlu n g
möglichst schw arzer “Ko rper z u bestimmen gesu cht Doch
ist die Reali sierun g des schw arz en Körpers au f die se Wei se
“
“
n icht möglich ge w e s en
Die schw arze oder „ w eiße Strab
lu n g ist erst du rch Kon stru ktion des Hohlr au mes verw irklicht
worden D i e E m i s s i o n de s L i c hte s d u r ch e i n e n H o h l
r a u m die ja als beson derer Fall der Lich tfo rtp ﬂanz u ng im
Rau me au fgefaßt w erden kann i s t e i n r e ve r s ib l e r Pro z e ß
Denn die strahlen de Wärme behält hi er ihre Temp eratu r bei
.
„
.
.
,
,
.
.
5
42
.
D i e Li ch t z
eit
in
e in e m
e
i
l
c
h
f
ö
g
n
b e w e gte n Sy s t e m
.
hatten in 5 3 9 die Aberration des Fixste m lich tes
erklärt indem w ir zeigten daß nach der Lo rentz sch en Theori e
die Richtu n g de s v on ein em mit der Geschw indigkeit in be
w egten Beob achter w ahrgen ommen en relativ en Stra hl e s du rch
den Vektor be stimmt ist ( Gleichu n g 209)
W ir
,
,
'
2
2
3
( )
c
=
in,
d h du rch den Vektor der Relativgeschw in digkeit v o n Licht
u n d Beoba chter
Un ter in w ar dabei die Geschwin digkeit der
Erde z u verstehen Berücksichtigt man nu r die Umlauf s
bew egu ng u m die Sonn e in dem m an ein e gemeinsame Be
w e gun g des gesamten So nn ensy stem e s z u n ächst au ß er acht
läßt so ist la | nah ezu kon stan t ; es ist
.
.
.
.
,
,
2
2
a)
3
(
ß
10
0
Welchen Ein ﬂu ß h at nu n die Erdb ew egu ng au f dasjeni ge
Licht w elches v o n irdischen Lichtqu ellen entsan dt wird ? Läßt
dur ch Beobachtun g dieses Lichtes also du rch
sich
nicht
optische Versu che im L aboratoriu m die Bew egun g der Erde
fes tstellen ? Die se Frage führt u n s dazu die Lich tfo rtp ﬂanz u n g
in einem gleichförmig bew egten Sy steme z u behan deln
Die Ri ch t u n g des ab solu ten z u r Zeit t in einem Au f
pu nkte P ein treffenden Strahles ist du rch den Radiu svektor 1:
bestimmt (Abb 2 S
der v o m Orte E des Entsen dens au s n ach
dem Au fp u nk te h in gezogen ist In E befan d sich die Licht
,
,
,
.
,
"
.
.
"
.
Zw eites Kapitel B ew egte Kö p e
r
.
r
367
.
T
qu elle
ein er u m die Latensz eit 1
zu rückliegenden Zeit
Zu r Zeit t w o das Licht in P anlan gt beﬁn det sich
t
die Lichtqu elle im Pu nk te E ; sie h at die Strecke in zu rück
gelegt Der nach dem Au fp u nk te P hin v o n dem gleich
zeitigen Orte der Lichtqu elle au s gezogen e Fahrstrahl E P
E s ist
m ag jetzt mit r (statt mit St) bezeichn et w erden
:
z u
,
,
.
'
.
3
2
2
b
(
)
r
Da
'
in
r
die absolu te Str ahlrichtu ng
r
folgt
mithin
au s
2
32
( )
2
u nd
'
2
c
3
2
)
(
ist
"
'
in
c
c
c
r
so
2
2
3
b
(
)
c
r
zeigt
c
7
es
an
wird demn ach die Richtu n g des relativen Strahles
du rch den v on der gleichzeitigen L age der Lichtqu elle a u s
gezogen en Fahr s trahl an gezei gt d h i n e i n e m g l e i ch f ö rm i g
b e w e gte n S y s te m e s i eh t m a n d i e L i cht q u e ll e d o rt w o
s i e s i ch g er a d e b e f i n d e t
Die gemein same Bewegun g v on
Lichtqu elle u nd Beobachter ist demnach dur ch Beobachtu n g
der Strahlrichtun g du rchau s n icht festzu stellen
Ähnlich w ie mit der Richtu n g verhält es sich mit der
F a rb e des Lich tes Hatten w ir doch bereits in 5 1 4 gezeigt
daß bei ein er gemeinsamen gleichförmigen Transla tion der
Lichtqu elle un d des Beoba chters die D0 p p lersch e Korrektion
fo rtfäﬂt
D i e S ch w i n g u n ge n irdi s ch er L i chtq u e ll e n
w er d e n v o n e i n e m m i t d er E rd e b e w e gte n B e o b a ch te r
ri chti g g e z a h l t Au f die w ahrgen ommen e Farbe ist demnach
die Erdbew egun g gleichfalls ohn e Einﬂu ß
Dagegen sollte m an vermu ten daß die Erdbew egu ng du rch
Messu n g der L i c h t z e i t sich feststellen ließe Denn die seit
dem Au genblicke des Entsendens verstrichen e Zeit ist kon stant
au f Ku geln
die u m den O rt E de s E ntsenders (Abb 2) ge
zogen sin d Der gleich zeitige Ort E der Lichtqu elle liegt
Es
,
.
.
,
.
.
,
.
.
.
.
,
.
"
,
.
.
Zw eite Absch nitt
36 8
r
exz entrisch
.
E lektro m agnet
.
Vo
in w ägbaren Körp em
rgänge
.
die sen W ellenﬂach en E s mu ß demnach die
Latensz e it ein e an dere in dem be w egte n Sy steme sein als in
dem ruh enden u n d es fragt sich ob ni cht hier die Beob achtu n g
einsetzen u nd ein en w ahrnehmbaren Einﬂu ß der Erd bew e gu n g
Diese Frage bedarf der gen au eren Unter
feststellen könn te
z u
.
,
,
.
dem Dreieck der Vektoren
Au s
r
’=
’
r %c
r
'2
2r
+
r
'
r
ß
r
r
’ ’
'
co s
”
o
2
r
+
ß
r
ß
'
u nd
0
( ,
co s
"
x
,
folgt
in
=1
ß
”
.
Die Au flo su n g dieser qu adratischen Gleichu n g ergibt
Wert des (ste ts po sitiven ) r
2
3
3
( )
=
r
Wir
x
2
fiih ren
o
n
n
t
n
e
e
p
a
m
{
an
Stelle
w =
'
den
Vektor
r„ e in
als
mit
r
'
den
des Fah rstrahl es
co s «p,
y
'
z
,
r
'
mit
den Ko m
'
Komponenten
z „= z
2
3
a
3
)
(
'
.
Diesen Zu sammenhan g zwischen dem Fahrstrahl r im
bew egten Systeme 2 nd dem eingeführten H ilfsv ek to r r„
wollen w ir symbolisch darstellen du rch
'
'
4
28
( )
u
t
'
=
(
99,
1 , 1)
to
.
Deu tet man w„ 3 als Koordinaten ein es Systemes 2 so
entsteht dieses Sy stem au s dem betrachteten bew egten Systeme 2
du r ch eine S trecku n g parallel der Bew egu ngsrichtu n g im Ver
h ältnis x
Die Einführ u n g ein es s olchen ru henden Hi lfs
1 8 S 1 6 3 Gleichu n g
sy steme s h at u n s s cho n früher
bei der Behan dlun g der gleichförmigen Translation elektrischer
Ladun gen gu te Dienste gelei stet
Jetzt k önn en w ir (233) schreiben
0
0
"
“
1
.
,
.
,
3 70
Zw eite Ab ch nitt
s
r
E lek trom agnet
.
.
Vo
rgän ge
in w ägbaren Körp em
.
der u nivers ellen Konstanten c der Gru ndgleichu ngen berechn et
Z w ei in 0 u n d P beﬁndli che Beobach ter könn en so du rch
Lichtzeichen oder all gemeiner du rch elektrische Zeichen ihre
C hron ometer vergleichen
Diese Vergleichu n g beru ht au f der
Is otr opie der Lich tfo r tp ﬂan z un g w elche für ein ru he nde s
Syste m v on u n seren Gru n dgleich un gen gefordert w ird Die
Zeit t die an so verglichen en u nd gleichlau fen den Uhren ab
gelesen w ird ist es die in den Gru ndgleichu n gen au ftri tt
Ihre Deﬁni tion setzt die Existenz ein es absolu t ru hen den
Bez u gssy stemes vorau s
Nu n beziehen sich aber u n sere Zeitme ssu n gen in Wirklich
keit au f ein bew egtes System in welchem die Lich tfo rtp ﬂan z u ng
n icht mehr n ach all en Richtu n gen mit ders elben Ge sch w in di
g
keit vor sich geht Denn och w ollen w ir u n s die Vergleichu n g
der in 0 u nd P beﬁndlichen C hr on ometer in der oben an
gegeben en Weise au sgeführt denk en indem wir die Bew eg1m g
des Sy stem es u nberücksichtigt lassen u n d so verfahren als ob
die relati v e Geschw indigkeit des Lichtes au ch jetzt noch u n
abh an i
ar gleich 6
so
w
v o n der Richtu n g
d
z
w
ä
re
Die
u
n
gg
für die Pu nkte de s gleichförmig bew egten Sy steme s fe stgele gte
“
Zeit t wollen w ir mit H A Lorentz die O rt s z e i t des be
treffenden Pu nkte s n enn en O ffenb ar besteht zw ischen der Orts
zeit t u nd der allgemein en Zeit t eben diejeni ge Beziehu ng
u nd
abgeleite t wu rde
die oben für
.
,
.
,
.
,
,
,
.
.
,
.
,
,
,
.
'
.
„
.
.
'
,
,
2
6
3
(
)
t
'
t
Kontrollieren wir die C h onometer indem w ir ein Licht
zeichen u mgekehrt v on P na ch 0 übermitteln u nd den im
relativen Strah len gange zu rückgelegten Lichtw eg in Rechn u n g
ziehen so ﬁnden w ir ihre An gaben bestätigt Die Gang
3
1
w eier die allgemein e Zeit t u n d die Ortszeit t
differen z
z
(T )
die in P stattﬁn det versch windet namlich
an zeigen der Uhren
w ieder w enn m an z u 0 z u r ück keh rt Die Di fferenz z w i s chen Orts
zeit un d allgemein er Z eit ist eben nu r eine Fu nktion de s Ortes im
w
l
w
i
s
eich
örmig
be
e
t
n
Sy
s
teme
s
e
ver
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h
i
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det
d
a
h
er
beim
f
e
;
g
g
r
,
,
.
'
,
,
,
.
Zw eites Kapitel
Bew egte
.
Körpe
r
37 1
.
D u rchlau fen ein es i m bewegten System geschlo ss en en Weges
Gibt man die Lichtzeichen ni cht direkt v o n 0 nach P sondern
so gelan t m an
sch alte t ein e Re ihe v o n Zwi s chen sta tio nen ein
g
z u dem s elben Werte der Ortszeit ; e s komm t nu r di e Differen z
der p arallel der Bew egu n gsrichtu n g des Systemes gemessenen
Koordinaten v on Endpu nk t u nd Anfan gspun kt des im relativen
Strahl en gang du rchlau fenen Lichtw eges in Fra ge ; diese gibt
mit
m u ltipliziert die Abweichun g der Ortszeit v o n der
all gemein en Zeit an
Au s der Deﬁn ition der Ortszeit ﬂießt nu n die selb st
verstän dliche Folgerung: D i e z u r D u r ch l a u f u n g e i n e r ge
w e gte n S y s t e m e r f o r d e r l i ch e
i
m
b
e
e b e n e n S tr e c k e r
g
L i chtz e it i s t v o n d er G e s ch w i n di gk e i t de s S y s t e m e s
Größen erste r Ordnu ng in ß anbelangt)
u n a b h än gi g ( w as
w e n n s i e d u r ch di e D i f f ere n z d e r O rt s z ei t e n gem e s s e n
di e d e m E n t s e n d e n u n d d em E i n tre ff e n de s
w ird
L i cht e s e n t s p r e ch e n Die so gemessene Lichtzeit ist eben
jedoch ist der du rch geteilte im
s on dern 7
n icht 1
relativen Strah len gange du rchl au fen e Lichtw eg Dieser Licht
weg ist für eine Strecke v o n gegeben er Län ge v o n deren
Orien tieru n g gegen die Bewegun gsrichtu ng des Systemes u n
abhän gig
Wir sin d jetzt in der L age z u beu rteilen inw ie w eit die
Beobachtu n g den E inﬂu ß der Erdbe w egung au f di e Lichtzeit
feststellen könnte Wird die Lichtzeit mit Hilfe v o n rotieren den
Spiegeln Zah nrädem oder dergleichen geme ssen so kommt
du rch w elche Mittel die Stellu ng derselben regu
e s darau f an
liert wird
Wird sie du rch optische oder elektromagnetische
Mittel regu liert so kommt da s a u f dasselbe herau s als wenn
die Zeitmessu n g nach Ortszeit geschieht Al sdann fällt jeder
Einﬂ u ß der Erdbew egu ng fort es ergibt sich dieselbe Licht
zeit ob nu n der Strahl parallel oder entgegen der Bew egun gs
richtu n g der Erde sich fo rtp ﬂanz t Um den Einﬂu ß der E r d
bew egu ng festzu stellen bedarf e s einer ni cht elek tro magn e
tische n Kontrolle der Apparate D abei müßte die Stellu n g der
.
,
,
-
,
,
0
.
'
,
,
.
'
,
.
.
,
,
.
'
,
.
,
,
.
,
,
.
,
.
24
*
372
Zw eite Absch ni tt
r
.
E lek trom agnet
.
Vo
in w ägbaren Körp em
rgänge
.
rotierenden Spiegel oder Z ahnräder so genau regu liert sein
“
daß Ab w eichu n gen in ih m Stellu n g wie sie in der Zeit
f
vorkommen mit Sicherheit vermieden sin d ; diese Zeit ist aber
höchstens gleich dem Bru chteil 1 0 der Lichtzeit Eine so
genau e mechani sche Kontr olle des Gan ges der App arate dürfte
kau m du rchführbar sein Steht man auf dem Stan dp u nk te der
elektroma gn etischen Weltanschau u ng w elche die mechanischen
Kräfte au f elek tromagnetische zu rückzu führen strebt so w ür de
man au ch ei ne so lche mechani sche Regu li eru n g als ein e Regu lie
run g na ch Ortszeit an zu sehen haben ; man müßte dann erw arten
da ß der Versu ch den Einﬂu ß der Erdbe w egu n g au f die Licht
zeit z u entdecken un ter allen Umständen ein n egatives Er
ebnis h ätte
g
Wir haben un s hi er darau f beschrankt die Fortpﬂan zu ng
des Lichte s im leeren Rau me z u behan deln v o n der Mit
wirkun g dielektri scher Körper haben wir abgeseh en Das er
h alten e Ergebnis jedoch gilt au ch in allgemein eren Fallen wie
v o n H A Loren tz au f Gm n d der Feldgleichu n gen de s 5 3 6
be w iesen w orden ist beschränk t man sich au f Größen erste r
Ordnun g in 6 und au f un m agnetisierbare Nichtleiter so gilt
folgen der S atz : D i e V e k t o r e n Ö u n d
h än ge n i m g l ei ch
f ö rm i g b e w e gte n S y s tem e i n d er s e l b e n Wei s e v o n d er
O r t s z e i t t u n d de n re la ti ve n K o o rd i n a te n (w y z ) a b
w i e i m r u he n de n S y s tem e 6 u n d v o n d e r a ll gem e i n e n
Z e i t t u n d de n K o o r di n a te n (x y z ) a bh än ge n
In der
s e lben Wei se en tsprechen ein an der die v o n der Vers chiebu n g
der Po larisatio nselek tro nen herrühr enden elektrischen Momente
im be w egten u nd im ru henden Syste m Dabei ist an gen ommen
daß die u asielastisch en Krü te we lche die Elektr on en in die
Gleich gew ich tslage ziehen keine Än deru n g ers ter Ordnu n g
du rch die Bew egun g erfahr en ; v on der elektr omagn et ischen
Masse die bei dispergieren den Körp em ins Spiel kommt folgt
dies au s u nseren früheren E n tw ick elu ngen
Das Fehlen eines
,
'
,
,
.
.
,
,
,
,
,
.
.
.
.
'
'
'
'
'
,
.
q
.
,
,
,
,
.
1)
H A Lorent Ve
.
.
z
.
rsu ch eine r
p
T h eo rie der elektrisch en u n d o ti sch en
E rsch einu ngen in bew egten Körp em
.
Leiden 1 8 95
.
Zw eite Absch nitt
3 74
E lek trom agnet
.
.
Vo
rgänge
in w äg baren Körp em
.
Lichtw eg I ein an derer ist je nach dem Winkel
den der rela tive Strahl O P mit der Richtu n g der Be w egu n g
eins chli eßt Denn ein er Ku gel in 2 entspricht in 27„ ein
parallel der x Achse im Verhältni s ao gestrecktes Ro tations
ellip soid ; derjen ige Ra diu svekto r r„ dieses Ro tatio n sellip so ides
w elcher dem betreffenden Fahr s tr ahl O P en tspricht ist nach
w
t
7
a
ä
n
d
e
s
a
u
die
L
ge
b
o
te
Lich
ege
m
ßgebe
d
2
3
s
l
n
s
f
ü
r
a
n
(
)
Vergleicht man insbeson dere zw ei Fahrstrahlen gleicher Län ge
in Z
v o n den en der erste p aralle l
der zweite senk recht z u r
Be w egu n gsrichtu ng w eist so v erh alten sich die entsprechenden
Radionv ek to ron in z
w
na ch (23 4
i
e n
1
i
n
dem
e
be
s
l
n
;
)
Verhältni s müssen nach (237 a) die Längen der beiden im
ab s o lu ten Strahlen an e d u rchlau fen en Lichtwege stehen
D
i
e
g g
Differenz A l derselben ist demnach
s
ich
r
,
daß der
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1
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A
b
7
3
2
(
)
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)
ä— 1
}
z=
-
ä
ﬂ
ß
-
z,
wenn Größen vierter u nd h öherer Ordn u n g in ß gestrichen
w erden
Au f die En tdecku ng die ser zu erst v on Maxw ell au s der
Ann ahme ru hen den Ä thers abgeleiteten Differen z der Licht
welche zw ei parallel bz w senkr echt z u r Erdbew egun g
w e ge
gerichteten relativen Strahlen entsprochen zielte der Versu ch
E s w u rde n z w ei Lichtstrahl en z u r
v o n A Michels on ) h in
In terferenz gebracht welche v o n derselben Lichtqu elle au s
gehend längs zw eier zu ein an der senkr echter Arme O P u nd O Q
fo rtgop ﬂan z t h a tten u n d dort du rch Spiegel zu rück
sich
reﬂektiert w aren In dem jedes Lichtb ün del mehrmals h in u n d
h er reﬂektiert wu rde konnte die L än ge 2 des Lichtw ege s au f
E s wu rde n u n zu ers t der Arm O P
22 m gebracht w erden
in Richtu n g der Erdbew egu n g ge stellt u n d dann du rch Drehun g
des App arates u m ein en rechten Win kel der Arm 0 Q in diese
La ge gebracht D abei wäre eine V ers ch iebun g der Interferenz
.
.
1
.
.
,
,
.
,
.
.
1)
A
Mi ch elso n
Ph il Mag
.
.
.
Mich elso n Arnerican Jou rnal o f Scien ce ( 3 ) 22
American Jou rnal of Scien ce ( 3) 34
u n d Mo rley
4
44
7
S
5
2
9
1
88
( )
.
.
,
.
,
.
,
S 1 20 , 1 88 1
,
S 3 33 , 1 8 8 7
.
.
.
.
Zw eites Kapitel
Bew egte
Kö p e
r
r
375
.
reifen z u erw arten gew e sen In Bru chteilen der Wellen
länge des verw an dten Natriu mlichte s gem e ssen
beträgt die
für die Ver schi eb u n g ma ßgeben de doppelte Differenz der beiden
Lichtw ege
st
.
,
24 1
7
2
3
0
(
)
1
W
(
T
Die erhalten en Vers chiebu n gen der In terferenz streifen aber
w aren klein er als
des Stre ifen abstandes
Da s n egative Ergebnis des Mich elso nsch on In te rferenz
versu ches spricht gegen die Annahme ru henden Äthers mithin
au ch gegen die Lo r entz s ch e Theorie
falls die bei der Ab
leitu n g v o n (23 7 b ) stillschweigen d gema chte Vorau ssetzu n g
daß die Abme ssu n gen der fe sten Körper au f der be
z u tr t
w o gte n Erde die gleichen sin d die sie a u f der ru hen den E rde
waren Läßt man die Moglichkeit einer Dimen sionsän derun g
infolge der Erdbewegu n g u so sin d die Betrachtun gen ent
sprechen d
abz u ändem
In der T at haben Fitzgeral d u n d
H A Lorentz das n egative E rgebnis de s Mi ch elso ns ch on Ver
in dem sie z u r Hyp o the s e d e r K o n tr a kti o n
su che s erklärt
d e r M a te ri e i n f o l ge d er E rdb e w e g u n g ih re Zu ﬂ u cht
E s s olle n die Körper infolge der Erdbew e gu n g ein e
nahmen :
Kon traktion im Verhältni s x parall el der Bew egungsrichtu n g
erfahren derart daß die Pun kte die au f der ru henden Erde
au f ein er K u gel liegen w ürden
au f der be w egten Erde au f
ein em He av iside E lli p s oid liege n
Betra chtet m an in dem gleichförmig bew egten Systeme 2
die Pu n kte P die au f ein em Hea vi si de E llip soide u m 0 liegen
u n d vergleicht die Lichtw ege
w elche n a ch (23 7 a) dem rela
tiven Strahlen gan g O P 0 entsprechen so ﬁn det man daß sie
alle den gleiche n Wert haben
D enn geht man hier in der
du rch (234) an gezeigten Weise z u dem ru hen den Hilfssysteme 2
über
stellt s ich herau s
daß dem Heavis ide Ellip s oide in
so
ein e Ku ge l in 2 0 entspricht daß demn ach allen Radien
2
vektoren O P des Heaviside Ellip soides derselbe Wert v o n r
n ach 23 7 a
selbe ab s olu te Lichtweg zuk ommt
der
u n d fo lglich
)
(
.
,
,
,
.
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.
.
.
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,
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-
,
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0
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o
,
,
.
37 6
Z w eite Absch nitt
r
E lek trom agn et
.
.
Vo
rgänge
in w ägbare n Körp em
.
Nach der Fitzgerald Lo rentz sch en Hypothese ist demna ch ein
po sitives Ergebni s des In terferenz v orsu ch es au s geschlo ssen ni cht
u n g so n dern a u ch
w as Größen
nu r w as Größen z w eiter Ordn
beliebiger Ordnu n g anbelan gt Wird der Arm 0 Q statt 0 P
beim Mich elso nsch on Versu ch der Richtung der Erdbew egun g
p arallel gestellt so wird 0 Q im Verhältn i s ec verkürzt O P
im Verhältn is ao verlängert u nd die hierdu rch bedin gte Ver
än deru ng der Lichtwege kompens iert gerade di e infolge der
Bew egun g der E rde stattﬁn den de so daß kein e Vers chi ebu ng
der Interferenz streifen z u erwarten ist
Man könn te nu n einwenden daß di e Dim ensio nsänderu ngen
fester Körper wenn sie au ch s ehr klein sin d der Me ssu n g
zu gän glich sein müßten Das w äre aber nu r dann möglich
wenn man di e Abmessu ngen der Körper du rch ab solu t
“
r uhen de Maßstäbe me ssen k önnte Wir sin d aber au f solche
Maßstäbe angew ies en die sich mit der Erde bewegen ; diese
erfahren nach der Kontraktion shypothese bei der Bew egun g
der Erde dieselbe L ängenänderun g wie die z u messenden
Körper ; ein e Ku gel des irdischen Maßstabes ist der Kon
trak tio n sh yp o th e se zu folge ein He avi side E llip soid de s ab so lu t
ru henden Maßstabes Mit irdischen Maß stäben kann m an
diese Behau ptu n g w eder b estätigen n och widerlegen Au ch
w enn m an z u r L än genmess u n g optis che Methoden verw en det
ist e s selb stverständlich u nm o glich die behau ptete Ko ntraktion
der Materie festzu stellen Man w ürde dann die Län ge ein es
Stabes du rch den Lichtweg messen währen d beim Michelson
sch on Versu ch der Lichtw eg du rch die Län ge ein e s fe ste n
Stabes gemessen w ird Der Einﬂu ß der Erdbew egu ng au f
Lichtw eg einerseits un d Län ge des Stabes anderseits kompen
daß sie au f der bew egten Erde gleich
siert sich aber gerade so
erscheinen wenn sie auf der ru henden gle ich w ären ; eine
o ptische oder elektri sche Me s su n g k ann als o ni em als die be
h au p tete Ani sotropie der Körper au f der bewegten Erde fe st
s tellen
E in Einﬂ u ß der Erdbe w egu n g bleibt jedoch na ch (237 a)
bestehen Währ end in dem ru hen den Systeme Z „ in welches
-
,
,
,
,
.
1
,
.
,
,
,
.
,
„
.
,
,
-
„
.
.
,
.
,
.
,
.
.
Zw eiter Ab ch nitt
3 78
s
E lek trom agnet
.
Vo
.
rgänge
in w ägbaren Körp em
.
Erkläru ng des Mich elso ns ch on Versu ches ein
ef u h rte Kon traktionshypoth es e er schein t zu n ächs t bedenklich
g
H A Lorentz h at in de men versu cht sie plau sibel z u machen
indem er v on der Vorstellu n g au sging daß die Molek u lar
kr äfte welche die Form fester Körper bestimmen elektrischer
Natu sind An jedem Moleküle des ru hen den Körpers halten
di e ser Vorstellu n g zu f olge die v o n den übrigen Molek ülen
sich
herrühr en den elektr o statischen Kräfte da| Gleichgew icht Wird
nun der Kö rper in ein e gleichförmige Tr an slatio n sbe w e gu n g
vers etz t so w erden die Moleku lark räfte abgeän dert in dem z u
dem elektrischen Felde ein m agnetische s tritt W ie in 5 1 8
dargelegt wu rde entspricht dem Gleich gew ichte der elektro
im ru hen den Sy steme 2 ein Gleich
s ta tis che n Kräf te (5
gewicht der elektroma gnetischen Kräfte (hi erfür ist jetzt (5
zu
schr eibe n
i
n ein em bewegte n Sy steme
we
che
s aus 27
l
)
„
du rch ein e Kontraktion im Ve haltni s x p arallel der Be
w e gu n gsrich tu ng hervorgeht
Diese s bew egte System ist nach
als
2
9
n
s
d
n
e r Ko n traktio ns h ypothe s e
kei
dere
3
a
n
v
d
as
o
(
)
an ge n ommen e Sy stem
würde also an jedem Mole
In
k üle Gleichgew i cht der Mo lek u larkräfte be stehen
wenn e s
in dem ru hen den Sy steme 2
be stand ; allgemein stehen di e
elektro stati sche Kraft (5 auf die ru hen de u n d die elektro
magnetisch e Kraft (5 au f die mitbew egte E inh eit der L adu n g
di e in zwe i einan der en tsprechenden Pu nk ten v o n 23 bz w 23
herrs chen in dem du rch ( 1 06 c S 1 65 ) au sgedr ückten Zu
sam m enh ango ; wir woll en die s e Beziehu n gen symboli sch dar
stellen du rch
Die
z ur
.
.
,
,
.
,
r
.
,
,
.
,
,
.
0
'
,
r
.
,
,
0
0
'
,
'
0
,
.
,
2
40
( )
(E
'
l
( ,
.
)
x, x
(5 0
.
Betrachtet man die Mo lek u larkräfte in ru h enden Ko rp ern
als elektr o sta tis che Kräf te u n d läßt man die Wirku n gen der
regello sen Moleku larbewegu n gen au ßer acht so ers cheint e s
hi ern ach plau sibel daß e in fe ster Körper in Be w egu n g ge
s etzt
der Be w egu ngsrich tun g parallel im Verhältni s x
sich
ko ntrahiert Allerdin gs dürfen w ir u ns nicht verhehlen daß
w ir n och w eit d avon en tfern t sin d
die Mo leku larkr äfte in
,
,
,
,
.
,
Zw eite Kapitel
s
.
K ö pe
Bew egte
r
3 79
r.
ru henden Ko rp ern auf Gru n d der elektri schen Au ffassu ng in
befriedigen der Wei se deu ten z u könn en
Akzeptiert man jen e elektri sche Deu tun g der Moleku lar
k r fto s o ist ein e mech aniw h e Re g
nl ieru n g der Stellu n g v o n
Zah nrädem oder rotieren den Spiegeln z u m Z w ecke der Mes su n g
42) als elektrom agn eti s che Regul ieru n g an
der Lichtzeit
zu sehen ; es erscheint als dann au sgeschlo ssen da ß die Trans
latio n sbew egu n g der Erde au f di e Lichtzeit die Abmessu n gen
fe ster Körper oder au f Interfer enz v or su ch e n a ch Ar t de s
Mich elso n sch on irgen dw elchen Einﬂu ß beliebiger Ordnu n g
be sitzt der sich ein em irdischen Beob achter ku n dgeben könnte
Dieses folgt au s den bisherigen Erörteru n gen sow eit nu r die
Lich tfo rtp ﬂanz u n g im leeren Rau me in Betracht kommt
.
a
,
,
,
.
.
44
5
Di e L o re n tz
.
s ch e
u nd
di e C o h n s ch e O p tik
b e w e gte r K ör p e r
Laßt die Elektron en theorie
.
egatives Ergebn is des
Mich elso n sch on In terfer enz v orsu ch es au ch dann erw arten wenn
die Lich tfo rtp ﬂanz u n g nicht im leeren Rau me sondern in
einem beliebigen dielektrischen Korper gew hieh t ? V o n dieser
Frage au sgehend h at H A Lorentz in zwei n eu eren Arbeiten )
sein e Un tersu ch u n gen au f gleich förmig be w egte Sy steme au s
gedehn t deren Geschw in digkeit zw ar klein er als die Licht
aber n ich t klein gegen die Lich tge sch w in di g
e ch w in di k e it
g
g
keit ist E r h at Hypothesen über die Eigenschaften der Elek
tr o nen u nd Moleküle au fgestellt w elche kombin iert mit der
Kontraktionsh ypothese geeignet sin d v o n allen n egativen
Versu chsergebn issen über den Ein ﬂu ß der Erdbewegu ng au f
die elektrischen u n d optisch en Erscheinu n gen Rechen sch aft z u
geben
Er nimmt an daß die Verschi eb u ngen der Polarisations
elektronen au s ihr er Gleichgew ich tslage welche die Licht
fo rtp ﬂan z u n g in du rchsichtigen Körp em beglei ten info lge der
e in
n
,
,
‘
.
.
,
.
,
,
,
.
,
,
,
1) H
1 8 99 ,
un d
.
A Lorentz
.
1 2,
.
A
1 904
cad
.
.
v an
W eten s ch de
.
Am te d m
s
r
a
7,
S 5 07 ,
.
Zw eite Absch ni tt
3 80
r
E le ktr o m agnet
.
.
Vorgän ge in w ägba
re n
Körp em
.
Be w egun g der Körper in derselben Weise abgeän dert werden
w ie die na ch en tsprechen den m ateriellen Pu nk ten gezogen en
Fahr strahlen (v gl 239) der Kontraktionshypothes e gemäß sich
au f di e
Volu m
Da die elektrische Polari sation
än dern
einheit berechn et ist so w ürde
,
.
.
,
4
2
1
)
(
—1
3
)
Z u sammenhan g angeben in w elchem die Po l a ri s a ti o n e n
des ru hen den Systemes E „ u n d
an entsprechen den Pun kten
D abei sin d die re la tiv e n
de s bewegten Sy ste me s 2 stehen
Ge s chw i n di gk e i t e n d e r E l ektr o n e n gegen die Materie
die in
bzw in E „ stattﬁn den au szu drücken du rch
den
,
'
.
,
,
.
öt
'
“
di e selben
bz w
“
a?
00
.
'
'
4
1
a
2
(
)
h
”
x x
(
,
,
i
au f
,
'
_
ä to
i d demnach mit Rücks icht
du rch
s n
verknüpft
'
2
38
(
)
u nd
)
x
Die B e s ch l e u n i g u n ge n d e r E l ektr o n e n in ent
sprechen den Pu nkten v o n 23 u n d 23
s in d mithin au f einan der
bezogen du rch
”
’
2
4
b
is
1
a
a
e
6
)
(
)
(
'
0
s
,
,
Die Grun dgleichu n gen (I c bis IV c S 324) gelten nach der
Elektr on entheorie für beliebig rasch bewegte m agnetisierbare
Körper Nimmt man die Deﬁni tio ns gleich u ngen ( 1 95) u nd
u u n d s etz t :
v o n (E
9
5
a
d
h
i
n
z
1
u
n
)
(
,
.
.
'
=
0,
t
gelan gt man z u einem für du rchsichtige u nmagnetiderbare
Körper gültigen Gleichu n gssy steme in w elchem die w ahr en
Koordinaten u nd die allgemeine Zeit t die u nabh angigen Ver
än derlich en sin d
Führt man nu n statt dio| er die Koordinaten
x„ y„ 3 des H ilfssy ste m e s 23 ein u n d gleichzeitig die Ortszeit t
o
die du rch (238) deﬁniert ist so gelan gt man für gleichförmig
bew egte Sy steme z u einer neu en Form der Grun dgleichu ngen
H A Lo entz h at nu n gezeigt daß man dieselbe auf di e Form
so
,
.
0
0
,
,
.
.
.
r
,
3 82
Zw eiter Absch nitt
.
E lek trom agnet
.
Vo
rgän ge
in w ägbaren Körp em
.
bra cht v o n selbst in 23 übergeht Die Lo rentz sch e Hypothese
über die Bewegu n g der E lektronen besagt ferner daß 6 u n d ﬂ
gerade diejeni gen Geschw in digkeiten u nd Beschleuni gu n gen sin d
welche die Elektr onen bei dem betreffen den Strah lu ngsv o rgan ge
in dem z u r Ru h e gebrachten Körper be sitzen w ürden
Für
di e relative Strahlu ng du r ch en tsprech en de Flächenelemen te in
folgt au s ( 239) u n d (244) als dann
27„ u nd
0
,
.
0
,
o
,
‚
.
=
a
ol f
N a ch H A L or e n tz i s t d i e e l a ti ve S tr a h lu n g
w e l c h e z u r O rt s z e i t 15 a u f e i n ge geb e n e s F lä che n e l e m e n t
”
v on
f äl l t n u r d u rch de n F a kto r x v o n der a b s o l u te n
S tr a h l u n g v er s chi e d e n w e l ch e z u r a ll ge m e i n e n Z e i t t
a u f da s e n t s p re ch e n de F l ä che n e l em e n t i n 23 fällt
Hier
du rch ist au sgesprochen daß na ch den Lo rentz sch en Hypothesen
Erdbe w egun g au f die Richtun g des relativen
e in Ein ﬂu ß de
Strahles so wie au f Intorferenz ersch einnn gen au ch bei V erw en
du n g lichtbrechender Körper au sgesch lo ssen ist Au ch eine
Doppelbrechu n g der Körper infolge der Erdbew egun g kann dann
nicht s tattﬁn den s o daß das n ega tive Ergebn i s der au f di e E n t
”
decku ng einer Doppelbrechu n g der Ordnu ng ß hin ielen den
Versu che v o n Rayleigh ) u n d Brace mit dem Lo rentz sch en
H yp o th esen sy stom v ereinb a ist Die Verrin geru ng der In ten sität
der relati v en S trahlu n g w elche du rch ( 244 a) an gezeigt wird
w ürde sich vö lli g der Beob a chtu n g entziehen
Wir wollen die Lo ren tz sch en S ätze z u einem Probleme
der Optik bew egter Körper in Beziehu ng brin gen w elches w ir
näm lich dem Prob leme de s be w egte n
gelö st h aben (8
Wir haben dort bau p ts ach licb die ab
le u chten den Pu nkte s
s o lu te Strahlu n g z u m Gegen st an d der Betr achtu n gen gem acht
w elche sowo hl für die au sge strahl te E n ergie w ie für die au s
w
w
h
Be
eg
g
s größe m aßgebe n d ist
Wir
o
ll
e
n
jetzt
u
n
s
t
a
l
e
r
t
e
g
einige Bemerku ngen über die relative Strahlu n g u n d über den
.
r
.
,
0
,
,
o
0
.
,
r
,
.
,
z
1
r
.
,
.
,
.
,
,
.
1)
Rayleigh
2)
D B Bra ce
.
.
.
Mag 4
Ph il Mag
Ph il
.
.
.
.
,
.
S 6 7 8 , 1 902
.
7 , S 81 7
.
,
.
1 904
.
Zw eites Kapitel
Bew egte
.
Kö p e
r
r
3 83
.
Lichtdru ck ankn üpfen w elche ein mi t der Lichtqu elle mit
bewegter Beobachter wahrnehmen w ü de
Wir betrachten die Strahlu ng w elche der mit der Erde
bew egte leu chten de Pu nkt sein e Bewe gun gsrichtu n g p arallel
entsen det ; für diese kommen nur die trans versalen Sch w in
gu ngen des emittierenden Elektrons in Betracht so daß die
Strahlu n g proportional dem Au sdru ck (7 9) au f S 1 1 2 ist ; setzen
den Winkel z w i schen Strahlrichtu n g u nd Be w egun gs
w i (p
richtu n g de s Dipols gleich nu ll u nd beachten daß r der Ab
stan d de s Au fp u nk tes v o n der L a ge de s le u ch te n de n Punk te s
währ end der Abstand v on der
z ur Zeit des E n ts en den s ist
gleichz eitigen Lage des leu chtenden Pu nk tes nach (233) ist
r
.
,
r
,
.
r
,
,
,
—ß
)
so
ﬁn den
bew egten
wir
u nd
1
Verhältni s der absolu ten Strah lu n gen im
im ru h en den Sy steme
als
6
2
r
f
g
l
(
_
ß)
z
Nach (239) u n d (241 b ) ist die p ar allel der w Achs e ge
messen e En tfernu n g r in 23 im Verhältni s x klein er als die
w
n
d
i
t
a
n
s
n
i
dem
r
u
he
n
de
H
y
teme
23
ä
hre
d
e
r
e
e
i
n
n
i
lf
ss
s
j g
v ersale Be schl eu ni gu n g de s s ch w in gen den E lektro ns im Ver
”
Demn ach w ird
h ältni s x größer ist
-
'
'
0
.
S.
2
4
5
( )
.
f
i ;
D i e a b m l u t e S tr a h lu n g d e r L i cht q u e ll e er f a hr t
d u r ch d i e B e w e g u n g d er L i cht q u e ll e Ä n d e r u n g e n
e r s ter O rd n u n g i n ‚3
D u rch den ab solu ten Strahl ist die Dichte der elektro
magnetischen Bew egun gsgröße bestimmt u nd somit der Licht
dru ck au f ein e ru hen de schw arze Fläche Der Dru ck au f ein e
mitbewegte senkrecht z u r Bew egu ngsrichtu ng gestellte sch warze
Fläche ist
.
.
,
384
Zw eite Absch nitt
r
.
Au s (245 ) folgt
Vo
E lektro m agnet
.
rgänge
in
w ägbaren
Körp em
.
daher
=
p
Po
2
4
9)
5
(
1
(
'
D e r S tr a h l u n g s dr u ck a u f m i tb e w e gt e s chw a rz e
F läch e n er f ähr t Ä n d er u n ge n er s t er O rd n u n g i n f o l g e
d er E rdb ew eg u n g ; der Dru ck mu ß größer sein wenn die
Strahlu n g p arallel als wenn sie entgegen der Bew egu ngs
richtu n g der Erde sich fo rtpﬂanz t Bei der Schwierigkeit
welche die Beob achtun g des Lichtdru ckes bietet dürfte es
indessen kau m möglich sein die se gerin gfügige Än derun g
fe stzu stellen
Ist es da gegen eine spi egeln de Fläche w elche vor dem
so ist nach ( G1 208 S
au ffallen den Lichte zu rückweicht
n ach Umk eh m ng des Vorzeichens v o n 5 z u setz en
,
,
,
.
,
,
.
,
.
,
.
,
ß
+ß
1
1
c
Au s
f
l
o
gt
2
45
( )
mithin
=
p
p,
'
4
b
2
5
(
)
.
D er S tr a h l u n g s dr u ck a u f m i tb e w e gte S p i e ge l
er f a hrt k e i n e Ä n d er u n g i n f o l g e d er E rdb e w e g u n g
Die relativ e Strahlu ng irdischer Lichtqu ellen w elche bolo
metrisch du rch schwarze Flächen z u mes sen ist ergibt sich
.
,
,
au s
1
1
a , s 3 38
2
)
(
.
=8
e.
Au s
4
o
l
gt
2
f
5
(
)
s
.
1
(
ll
ß)
omit
2
45
0
)
(
2
„
5
01
»
Diese mit (244) übereinstimmende Beziehu ng besagt
D i e v o n d e r S tr a h l u n g irdi s ch e r L i ch tq u e ll e n her
r ühr e n de W a r m e e n t w i c k e lu n g i n z w e i s e n kr e cht z u r
Ri cht u n g d er E rdb e w e g u n g g e s te l l te n | ch w a r z e n
F l ä ch e n i s t d i e g l e i ch e s e i e s da ß di e S tr a h l u n g
p a r a ll e l o d er e n tge ge n d er B e w e g u n g s ri cht u n g d er
Erd e s i ch f ortgep f la n z t h a t
,
,
.
3 86
Zw eite Ab ch nitt
s
r
.
.
Vo
rgänge
in w ägbaren Körp em
.
l
n
d
es
S
v
k
irk
iche
Werte
t
r
a
hl
s
e
t
o
r
u
n
d
p
0
E s ist
des Lichtdru cke s au f der z u r Ru he gebrachten Erde
dabei z u betonen daß die Lo ren tz sch en Ann ahmen nu r in sofern
h ypo thetisch sin d als sie Größen z w eiter u n d he be er Ordn u n g
Bis au f Gr ößen erster Ordn u n g folgen sie au s
in ‚3 betreffen
den allgemein en Gru ndgleichu n gen der Elektron entheorie falls
Än derun gen erster Ordnu n g inf olge der Erdbe w egu n g in de n
Abme ssu n gen der Körpe r den Massen der Elek tronen u n d den
w elch e sie in die Gleichgew ichtsla ge
u as ie la stisch en Kräften
ziehen au sges chlossen sin d
Sollen die Lo rentz sch en Hypoth esen über die Bewegung
der Elektronen au ch in betreﬂ der Größen zw eiter u nd höherer
Ordn u n g der Wirklich keit entsprechen so m üssen die qu asi
ela stischen Kräfte u n d die T rägh eitskräfte der Elektronen ge
w issen Bedin gu n gen genügen
Um diese Bedin gu n gen ab
zuleiten denken wir u ns zu nächst einen Körper welcher kein e
erhebliche Di spersion zeigt Hier ist die Lich tfo rtpﬂanz un g
du rch die u asielastisch en Kräfte allein bestimmt indem die
Verschi ebu n g der Elektr onen dem Gleichgew ichte der qu asi
elastischen Kraft u nd der äuß eren elek tri| chen Kraft entspricht
Die Verschiebu ng der Elektr on en au s der Gleichgew ichtsla ge
w ird für den be w e gten Körper gerade dann die v o n Loren tz
w enn
s ein
die u a s i e la s ti s c h e n Kr äf t e
an gen o mmen e
infolge der Erdbe wegu ng die gleiche Änd eru ng erfah ren w ie
die elektrischen Kräfte gemäß G1 242 Man kann diese Hypo
these in ders elben Weise plau sibel machen wie die entsprechen de
Hypothese über die Änderu ng der Mo leku larkr äfte in dem m an
u asielas tis ch en Kräfte in ru hen den Kör em
a
l
s
nämlich die
p
elektro statisch e Kräfte deu tet
Diese An nahme über die u asielastisch en Kräfte reich t
in dessen nu r dann au s w enn bei der Lichtbrechu ng die Träg
Nach der Elek
h eit der Elektro n en n icht in s Spiel kommt
tr o n enth e o rie ist gerade die Trägheit der Elektron en für die
Dispersion maßgebend (v gl 5
Han delt e s sich u m die
Lich tfo rtp ﬂan z u n g in ein em di spergierenden Körper so h at
die Lo rentz sch e Ann ahme über die Bewegu n g de Elektron en
sin
d
u nd
5
die
E lek tro m agnet
o
w
.
,
r
,
.
q
,
,
.
'
,
.
,
q
.
,
.
q
,
.
.
q
,
.
q
.
.
,
r
Zw eites Kapitel B ew egte Kö pe
r
r
.
387
.
gewi sse Kon sequ en zen hin sichtlich der lon gitu dinalen u n d der
tran sversalen Masse im Gefolge E s m ii ssen nämlich wenn
anders die Schwin gu n gsgleichu n g der E lektr on en erfüllt se in
die Trägh eitskräfte in derselben Weise du rch die Erd
s o ll
bewegu ng beeinﬂu ßt werden w ie die äußeren elektrischen
Kräfte u n d die u asielastisch en Kräfte d h in der du rch (242)
Sollen gleichzeitig die Beschleu nigungen
an gegeben en Wei s e
der E lektron en in dem bew egten Systeme
u n d in dem
ru henden
in dem du rch ( 241 b) angegeben en Zu s ammen
han ge stehen so mu ß für die Masse als Qu otient v o n Kraft
u nd Be s chle u n igun g die Beziehu n g gelten
.
,
,
q
.
.
.
,
m
2
4
7
(
)
(
W
“
“
‘
‘
N
Diese Bezieh u ng drückt in der hier benu tzten Symbolik
dasselbe au s w ie die Gleichungen ( 1 25 ) u n d ( 1 25 a) au f S 203 die
für die elektroma gn etische Masse de s Lo rentz sch en E lektr on s
gelten In der Tat h at H A Lorentz jen e Ann ahme über die Form
de s E lektron s gera de im Hinbli ck au f die Op tik be w egter
Körper gemach t In folge der Erdbew egu ng sollen die Elek
deren Schwi n gun gen die Geschwin digkeit der Licht
t r o n en
fo rtp ﬂanz u n g in den Körp em be stimmen sich in der gleichen
Weise kon trahieren wie die m ateriellen Körper Im Ru he
zu stan de Ku geln sollen sie infolge der Bewegu ng Heav iside
Ellip soide w erden Diese Hypothese über die Gestaltsän deru n g
der Elektron en im Verein mit den übrigen Lorentz sch en
Hypothe sen verbürgt das Fehlen ein e s bemerkbaren E in
ﬂu sse s der Erdbe w egu ng au f die Lich tfo rtp ﬂanz u n g in festen
Körp em
Fiir ﬂüssige u nd gasfö rmige Körper fügt Lorentz
n och die Hypothe s e hin zu
daß die Massen der Molekül e in
derselben Weise du rch die Erdbew e gu ng abgeän dert werden
wie die elektromagnetischen Massen der Elektronen Alle
diese Hypothesen setzen die D u rchführ barkeit der elek tro
magnetischen Weltanschau u ng vorau s
Wir haben in 5 22 au f die Bedenken au fmerksam gemacht
w elche der Lor en tz s ch en Hypothe se de s defo rmierbar en Elek
trons gerade vom Standpunkte des elektr o magne tisch en Welt
.
.
.
,
.
.
,
,
.
,
.
,
‚
,
.
,
,
.
.
,
25
'
3 88
Zw eite Absch ni tt
bildes
r
E lek tro magnet
.
.
Vo
rgän ge
in w ägbaren Körp em
.
erwachsen V o n diesem Standpu nkte au s mu ßten
Die Formeln
w ir dem starren E lektr on den Vorz u g geben
die w ir für dessen elektrom agn etische Massen au fgestellt ha ben
w
w
n
n
u
1
1
as
G
d
n
a
n
c
eiche
röße
der
Or
g
9
3
1
8
n
S
G
b
1
(
)
”
b
w
z
belan gt v o n den Lor entz sch en du rch die Faktoren (1 %
ß
1
)
1
’ b Demn ch würden sich für di e Eigens ch w in g un en
a
a
1
ß
g
( 16 )
der Elektron en au f der bewegten Erde an dere W erte ergeben
w enn m an u n sere Formeln an Stelle der Lo r entz sch en setzte
u asielastisch en Kräfte be ibeh ielte ;
u n d die Hypo the s e über die
die Q u adrate der Wellenlängen der Eigenschw in gu ngen w ürden
dann in demselben Verhältn isse sich ändern w ie die Werte der
Massen E s w ürde als o die D au er der longitu dinalen u nd der
transv ersalen Eigen schwingun gen der Elektron en infolge der Erd
9
”
voneinander ab
10
bew egu ng u m Gr ößen der Ordnu n g ß
w eichen Diese Ab w eichu n g s o llte sich für di spergieren de Körper
du rch eine Doppelbrechu ng ku ndgeben ; senkrecht z u r Richtung
der Erdbew egun g sollte sich mon ochromati sches Lich t mit v er
je nachdem es parallel
sch ie den e r Ge schw in di gkeit fo r tp ﬂan z en
oder senk recht z u r Bew egun gsrichtu n g der Erde pola risiert
ist
Ein e D0 pp elbrecbu n g der Körper v o n di eser Ordnu ng
haben Rayleigh u n d Brace bei den ob en erw ähn ten Ver
entdecken könn en obgleich die Genau igkeit
su chen n icht
ein e hinreichende
na ch den An gaben der E xperimentatoren
gewes en wäre
Das Lor e ntz sch e H yp o th e w nsystem ist w enn au ch viel
leicht nicht das einzige so doch w ohl das einfa chste welche s
jeden bemerkbaren Einﬂu ß der Erdbew egun g au f die elek
trischen u nd optische n Eigenschaften der Körper au sschli eßt
Die Möglichk eit eines solchen au f der Elektron en theorie
fuß en den H yp o th esensy stem es zeigt daß au s dem Fehl en ein e s
s o lch en Einﬂu sse s kein prinzipieller Einwan d gegen die Gru n d
hypothesen der Elektronentheorie hergeleitet w erden k ann
Diese allgemein en Gru ndhypothesen lassen sich vielmehr mit
s peziellen Annahme n über die E lektro n en u n d Molekül e derart
vereinigen daß die elektromagnetischen Vorgän ge auf der be
au s
.
.
.
,
,
.
,
,
,
.
,
.
,
q
,
.
.
.
,
.
,
,
,
.
,
.
,
Z w eite Absch ni tt
3 90
r
E lek trom agnet
.
i=
4
2
c
8
)
(
.
Vo
rgänge
in w ägbaren Körp em
.
bei
f
eh
l
e
n
de
n
ei
n
gep
rä gten Kräften
{
}
,
2
8
4
d
)
(
Wie man sieht ist hi er di e Hertz H eav isidesch e Analogie
der elektrischen un d magnetis chen Größen ge w ahrt w elche
die Elektronentheorie au fgibt Für u nmagnetisierbare Körper
lehrt der Vergleich mit de n Gru ndgleichu ngen der Loren tz sch en
Elektrodynamik (S 324) folgen des : die Abw eichu n g besteht nu r
darin daß n icht wie dort die Vektoren u nd
s o n dern 6
u nd
z u Vektorprodu kten mit m vereini gt s in d
Diese Ab
w e ich u ng ist v o n der z w eiten Ordn u n g ; hin sichtlich der Großen
erster Ordnu ng in ‚3 sin d di e C o h nsch en Gru ndgleich u n gen
den Lo r entz s ch en völlig äqu ivalen t
W as die An w en du n g au f ein gleichförmig bewegtes
System 2 anbelangt so ergibt sich daß ähnlich w ie bei
Lorentz die Z u rückführu n g der Gru ndgleichu n gen au f die
e
n
i
e
n
n
d
i
e
l
ei
e
s
r
he
n
de
Sy
s
teme
mög
ich
i
t
we
u
n
s
23
nn
j g
0
all gemein e Zeit du rch ein e Ortszeit erse tzt w ird
D abei ist
e s aber
u m das Fehl en ei n e s Einﬂ u sse s der Erdbe w egu n g z u
erklären nicht n otw en dig eine Kontraktion der Kö rper an
zu n ehmen ; es sin d vielmehr die Abme ssu ngen des ru hen den
Sy stemes 2 mit denen de s bew egten Systemes 23 identisch
Die im bew egten Systeme gemessen en Längen sind hier die
wahren Län gen ; au ch ist di e Zeiteinh eit beim Übergan g z u m
ru henden Sy stem nicht abz u andem E s w ird also hier ohn e
hypothetische An nahmen über den Ein ﬂu ß de Erdbew egu n g
a u f di e Körper d as s elbe erzielt
w as Loren tz du rch sein Hypo
th e sen system erreicht
Die in 5 43 gegebene Theorie des Mich elso ns ch on Ver
als
su che s w ar v o n den Feldgleichu n gen in s o fern u n abhän gig
ihr Gegenstand nu r die Lich tfo rtp ﬂanz nn g im lu ftleeren Rau m s
w ar
Hi er w u rde die C o h nsch e Theorie w elch e die Ko n
traktio nsh yp o th ese fallen läßt e in po sitiv es Ergebni s de | Ver
s u che s er w arten la ssen
Nach C ohn soll das n egative Ergebni s
daher rühren daß die Fortpﬂanzu n g bei den w irklichen Ver
s u chen in L uf t ge schah ; m an
dürfte also n ach dieser Au f
-
,
.
.
'
,
.
.
"
,
,
.
,
,
0
.
.
r
,
.
,
,
.
,
.
,
Zw eite Kapite l
s
Bew egte
.
Kö p e r
r
89 1
.
fassu n g
die Gleichu n gen für den leeren Rau m hi er nicht an
w en de n
eben di e Feldgleichu n gen w elche für die
s on dern
m it der Erde be w egte Lu ft gelten sollen
Han delt e s sich nu r u m den Einﬂu ß sichtbarer Be
w egu ngen au f die elek tr o m agne tiw h en Vorgän ge in wägb aren
Körp em so kann man im Zweifel sein ob di e Lo rentz sch e
o der di e C o hnsch e Theorie den Vorz u g verdien t
Eine u m
fass ende Behandlu n g der Konv ektio ns u n d Wellenstrahlu n g ist
in de s sen au f Gr un d der C ohn sch en Gleichu n gen bisher n icht du rch
v o n C ohn sieht ab v o n atomi sti schen
e
f
ü
h
t
worde
n
Die
Theorie
r
g
Vorstellu ngen ; für die Au sbildu ng ein er atomistischen Theorie
der Elektrizität gibt sie n u r die Anw eisu n g : dieselbe so au s
daß für die meßbaren Mittelw erte jen e Gleich un gen
z u bilden
d
en Nachwe is s chu ldig
n
l
l
e
t
Sie
b
eibt
ei
e
o
che
l
e
d
a
s
ß
n
g
e lektris che Atomi stik möglich ist u n d da ß sie die E rfahru n gen
über Kathodens trahlen u n d Ra di u m strahl en richtig wiedergibt
Daß die Elektron entheorie dies es lei stet haben w ir in dem
vorliege nden B an de gezeigt Wir haben fem s r gesehen daß
die Elektronentheorie diese rein elektrischen Strahlu n gs
erscheinu n gen in di e en gste Verbin du ng bringt mi t gew issen
optisch en Eigensch aften der Körper w elche in dem Zeemans ch en
Phän omen der Dispersio n u nd der m agnetischen Drehu n g der
Eine u mfassende elektro
Polari sationsebene s ich ku n dgeb en
magnetische Theorie der Strahlun g ist heu te nu r au f Gru nd
der Elektronentheorie moglich Jene Verkn üpfun g der an
s chein en d verschiedenartigs ten Vorgänge ist ein e der wichti gs ten
Errun genschaften der Elektr on entheorie Diese Erru n gens chaft
w ird fe stzu h alten sein a u ch dann
w enn etwa der Forts chr itt
de r Wi ssen schaft die Gru n dla gen der E lektriz itätsth eo rie au fs
n e u e ersch üttem so llte
,
.
,
,
.
.
.
,
.
,
.
,
,
,
.
.
.
.
,
,
.
Fo rmelz u samm enstellu ng
392
.
F orm elz u sammenstellu ng
.
e
I F ld
.
u nd
e
Bew gun g
einz elner
e
E l k tro nen.
Gr u n d g l e i ch u n g e n der Elektron entheorie :
4
S
.
1 7)
I) cu rl @
g
l
ä
II) cu rl © +
c 8t
—
III) div ß = 4 az o,
=
IV div Q O ,
)
V)
1
—
6
c
l
a gn eti sche Kraft pro Einheit der
e
ektrom
(
Dichte der elektrom agn etischen
11
Lö su ng
m
[ ]
der
Gr undgleichun gen :
Es
_
V
1
8
27
1
s
G
(
)
65
.
.
1
8
s
3
2
G
8
(
)
q
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.
>
i d die e l ektr o m a g n eti s che n
s n
d:
71
.
B e w e gu n gs gr ö ß e
cu rl 71
=
c
Ladu n g)
18
G
1
5
0
(
mp (l , z
da ta, 1
Po te n ti a l e
.
G
1
5
1
(
_
.
D abei ist l ==ct 1 ist der Latensw eg ”da das Flächen
elemen t ein er mit dem Radiu s u m den Au fp u nkt ge
schl agen en Ku gel
,
.
Form elz u samm enstellu ng
3 94
E l ek tr o m a g n eti s ch e M a s s e n
gemeine Formeln
d l©
_
l lo n gitu dinale
.
Elektron s
des
Masse
d | 1a
1
1
1
1
11 ,
G
5
1
5
,
(
.
tr an sversale Mass e
All
.
S
Starres ku gelförmiges Elektron (m Masse bei
sam er Bew egu n g)
lan g
o
mi = mo
1 86 )
.
76 (ß ) :
'
G
1
1
1
7
d
,
(
.
mo
"t,
'
(ß )
l
l}
_
_
4
:
LL
l
(,
Lo r entz sche s
m.
m.
m,
mo
)
?
—1
}
l
G
l
7
e,
l
(
.
Elektron
8
_
1
l
2
1
2
5
a
S
G
5
0
2
3
.
,
(
)
.
.
°
romagneti sch e V o gänge in w ägba en Kö p em
Gr u n d g l ei ch u n ge n d e r L o r e n t z s c h e n E l ektr o
d y n a m ik f ür b e w e gt e u n m a gn e t i s i e r b a r e K örp er
II E lek t
3
5
(55
I
c
( )
cu rl
o
i
45 8
5
(5
'
s
S
l
1
G
9
4
(
,
S
.
.
3 1 6)
3 20)
9
l
——m
aü =
s
.
G
1
1
9
0
,
(
.
'
a
r
3 6)
u nd
u rl
c
)
div
I
I
I
c
(
)
div
V
c
I
(
)
H
(
r
r
.
m
[
'
'
-
1
m
5
]
[
[ 51
}
u
.
1 95 b,
1
11,
G
l
9
5
(
.
1
G
(
.
8 324)
.
II
.
E lektro m agn etisch e
i
t
s
m
{
Vo
rgänge
in w ägbaren Ko rp s m
.
Geschw indigkeit der Materie
bezieht sich
s in d die Mittelw erte
au f ein en mitbewegte n Pu nk t ; (5
der elektr omagnetischen Vektoren w elche die im Rau me
v o n den E lektron en erregte n Felder kenn zeichn en ; G ist
die elektrom agneti sche Kraft au f die Einheit der mit
bew egten L adu n g ; u n d 6 sin d Matsrialk on stants n die
v o n der Bewegu ng u nabhän gig sin d w enn Gr ößen zweiter
l
a
[
|
n icht in Fra ge kommen
Ordnu ng in
}
die
,
,
'
,
.
0
R e l a t i v er S tr a h l
21
b
l
3
34
1
8
G
,
)
(
.
F l a c h e n k r a f t für
.
die Flächen einheit ein er im Rau m s
bewegten Fläche :
s. +
11
8
{ 5
s
m}
1
2
8
33
G
4
3
0
,
)
(
.
T he r m o dy n a m i s ch e s G e s etz d er
lu n g :
H
9
3
.
W e ll e n s t r a h
G
2
1
2
8
a
,
(
9
.
bestimmt die Helli gkeit H der Strahlu ng
ratu r u n d der Schwin gu n gszahl v
v on
S
.
35 7 )
der Tempe
.
Plancksche
Formel
2
1
6
G
2
9
8
3
1
,
(
)
.
”
e
k
{
u nd
h
i d
s n
1
un
iverselle Konstanten
.
Re gi s t e r
.
Di e B eif li gu n g de r Pa r agrap h en an gab e bes agt
G
a
da ß der ganz
e gen s tan d be h an de lt
A
Str ahlu n g II 1 4
bbildu ng h dro d
ynamisch e I
y
48
.
II
Abklin gu ngsk o efﬁz ient
70
blenk bark eit der 6 Str ahl en
A
(g
21 1
M
rah am ,
II
des Fixsternlich tes
88 6 , 3 4 2
.
.
II 1 94
.
11 26 , 1 1 9,
,
20 1 , 3 04, 3 06 , 3 08 , 3 1 0, 34 3
abso lu te
I
Bew egu ng
48 0
.
(g
II 1 8
E nergie str öm u ng
abso lu te
1 07 , 888
Strah lu ng
abso lu te s Ma ßs stem
4, 20 7
.
II
(g
Ab pti
II 27 6
Ab pti
e
od r
.
I
y
24 9
W ellen I 8 1 6 ;
o n elek trisch e r
so r
.
o n sv ermögen
so r
I
I 828 ; II
868
.
Ach ssnsy sts me
10
a cti o u n d reacti o
88 6 , 898, 4 1 7 ,
42 1 , 42 3 ;
Additi
q
on v on
II
I
31
Vek to
.
re n
I
Magneten
p
I
I
A
un d
u n d elektris ch en
87 8
1 4 2 , 2 1 3 , 3 5 6 , 422, 43 0, 4 35
II
.
I
der elek trisch en u n d m ag
n eti sch e n Größ en
2 1 1 (5
21 7 , 4 3 0 ; II 2 64, 3 90
I
.
.
1 06 ,
.
n alo gie
Se ndedrah t
E , 11 7
Ge setz
der
.
.
.
Asch kinaß ,
asso ciativ e s
ek to r
a dditio n
7
on stitu tio n der E le k
ato m isti sch e
1 5 , 21 , 1 3 9
triz ität II 1 (g
E nergie
und
Be
au sges tr ah lte
w e gu ngsgröß e
1 28 , 28 2
äu ßeres Pr o du kt
1 6 (g
243
axi aler
ek to r I 22 (g
1 71 , 1 78
ewt o n s
xiom , e rstes
z w eite s
1 8 1 , 1 82
e w t on s
drittes
ew to ns 11 28 (g
.
.
I
V
.
K
I
V
A
II
.
.
.
N
N
N
II
H
.
.
II
S
h
1
9
u
n
t
r
a
l
4
1
4
,
ß
(5
g
79
alme r
I 86 7
arto li I
2 82
Be c u erel ,
,
Bec u erelstrahl en v gl ß Str ah len
59
Beltr ami , E ,
9
eschl eu ni gu n gsv ek to r
ek to rs
6
Betrag eines
Bew egu ng
abso lu te u n d relativ e
11 1 8
4 30 (g
Bew egu n gsglei ch u n gen de s starre n
-
B
B
II
.
.
q
H H
q
.
.
.
II
.
.
I
V
I
I
.
.
.
Körpe s I
r
Am ere I 37 9 3
260, 28 2
Am p ére sch e Sch w im mregsl
240
A
B
6
.
Ström en
Ath er
‘
.
Ä u ip o tenti alﬂäch en I 1 30
Äqu iv alenz v on D0 p p s lsch ich t
Wirbellinie I 1 03 (g
v on
.
ntenn e v gl
errati on
Ab
II
Dispe rsio n
27 8
an o m aler Z ee m aneﬂek t I
I 78
ano m ale
1 6)
Ab
p
Par agra h den be treffen den
.
-
.
e
89
.
I
1 1 8 (5
Flüssigk eit
de s E le ktro ns
1 4 7 (g
21 0
B ew egu ngsgröße 82
27
elek tr o m agnetisch e
de s E lektro ns
1 70
208
Bez u gss steme , bew egte 84 (5
ein er
I
II
y
112
II
(g
.
II
I
.
.
.
Register
398
II
r
ö
ß
e
g
27
.
II
E nergie 1 246 ;
elektr o m a gnetisch er
I 31 1
3 44, 3 5 6
,
I
B ew egu ngs
elek tro magnetisch e
20
.
E n ergie strom
(5
I
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(g
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—
h
2
1
1
867
sc ni tt 8 :
elektr om agne ti sch e Lich tth eo ri e
80 8
.
Kra ft
H
19
.
II
elektr om agn eti sch es
3 5 8 ; 11 1 3 6
II
Weltbild I 27 8
208, 3 8 1
elek tro m o to ri sch e
(g
.
K äfte I 1 94 (5
8 , 1 40
,
(g
.
p
H
—
2
1 82
1 3
17
.
Feld
I
Maß syste m
I Ab
s ch ni tt
209, 26 1
.
2:
.
y
elem e ntar e e le ktro d n ami s ch e
98
K aft
r
I
1 41 , 1 82 ;
26 6
q
H
I
pI
264
I
.
21 1 , 21 7
I
1 , 1 6 7 , 228 ,
Ferro m agn eti smu s
2 1 8 , 8 68 —8 90
11 28 8
Fitz ger ald II 8 7 6
Fiz e au s ersu ch
4 86 ;
8 26 (g
Fläch en dich te , elek trisch e 1 82, 1 46
Fläch en div ergenz
74
Fläch enk r aft
ele ktro m agn eti sch e
41 5 , 41 8 ; I
I 25 , 33 1 , 3 33
Fläch enw irbel
96
Fo rtp ﬂan m gsgesch w indigk eit
ele ktr o m agne tisch er Störu n gen
und
80 7 8 2 2 ;
ellen
62
freie E lektr iz ität 1 46
268,
I
V
K
I
H
.
I
II
I
H
.
.
.
.
.
I
Str o m
.
.
H
I 21 2
,
224
.
(g
2 64
(g
229
37 8
(5
.
I
A H
Fre u enz
27 6
2
8
8
4
8
Fre snel ,
2
,
„
Fr s snels ch er Fo rtfüh ru ngsk o e ﬁ z ient
H
.
II
,
(g
.
.
.
.
II
.
Magn etismu s
II
.
.
I
I
W
I
.
I
q
.
H
I
37 3
.
I
I
H
H
II
Fernw irk un gsth eo rie
freier
.
.
.
.
3 1 2, 3 1 6
E lem entar u antu m
elek tr isch es
11 1 (g
363
E missio n des Li ch te s
6 7 , 866 , 866
ath o den
ﬁ nissio n sh yp o th e se der
I 6
str ah le n I
864
8 28 ;
E mi ssio n sv ermögen
E n ergi e ein e s Strömu n gsfeldes 1 0 1
elek tr i sch e
1 68 (g
m agnetisch e 2 1 2, 2 28, 8 7 6 , 8 84
20
24 6 ;
elek tro m agn etis ch e
2 03
de s E lek tr o ns
1 7 0 (g
20, 2 9
E n ergie rin z i
246 ;
8 1 1 , 844, 8 6 6 (5
E nergi e strom
11 1 2, 20
3 6 3 (5
abso lu ter
1 07
r elativ er
1 08 , 8 8 9
p
2:
.
I
Gru ndgleich u n
E lek tro nenth e orie
elektr o statisch e s
—
43
1 22
.
.
.
H
p
.
.
.
HA
H
II
I
1 1 , 7 7 , 200, 27 5 , 28 2
der
.
2 7 2, 34 3 , 35 8, 87 8 ; I
I 1 5 , 99
.
ih r Feld u nd ih re Be
bsch nitt 1 : 1 — 249
w egu ng
9,
E lek tr on enl adu ng , s ez iﬁs ch e
n
e
g
Kap
II
r
203
I
.
I A
V
m agneti sch e
.
.
.
Feldgle ich u ngen
248
Feldstärk e , elektrisch e 1 1 28 (5
89
Po tentiale
bsch ni tt 3 , Kap 8
—36 6
E lektr on
E lektro nen
.
Maßsystem
Wellen I A
1 98
I
yI
208
elek tro m agn etis ch e
30 3
I
K p
Hy
y
F ara da
1 , 1 4 1 , 2 8 7 , 8 90 ;
1
Farbe nz erstreu u ng s Dis e rsio n
Feld eine s
bsch ni tt 1 ,
ek to rs
.
elek tro m agn eti sch e s
26 1
3 7 9 (g
3 7 3 (g
.
Ma sse H 1 87 , 1 6 2, 1 8 1
I
(g
,
84 2,
E u lers ch e
Bew egungsglei ch u ngen
de s starren
ör er s
89
in de r
118
dr o d n am ik
E xtink ti o n sk o e fﬁz ient
81 4
.
I
II 8 86
E rdbew egu n g 404 , 488 ;
3 66
868
elek tr o m a gn etis ch es
.
8 28
.
H
h
l
S
t
r
a
e
n
1
6
y
26 4
Gau ßisch e s Maßs stem
Gau ßiach e r Satz
6 4, 6 6
Geo m etr ie , nich teu klidisch e
486
9
Ges ch w i n di gk eitsv ek tor
i
h
f
e
e
l
k
i
u
n
l
c
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r
m
w
e
e
e
e
g g
g
g
1 6 8 (5
trisch er La du ngen
.
y
I
B
I
.
.
I
H
I
.
.
Register
He t sch e Mech anik 1 2 1 2 ; II 1 42
He t h e Re onato H 296
He t ch e Sch w ing ngen I 28 6
He t ch e Vekto H 6 6 6 9 287 288
He t P II 222 230 234
Hitto f W H 6
H oh l a m Hoh lr a m st ah l ng
H 86 9
H ll G P H 8 8
H y gh e sch e P in ip H 844 84 6
h y d o dyn am i ch e
G ndgleich u n
Gleich ge w ich t , stabiles labile s in
r z
I
diﬂerente s
8 0 (5
40 2
Gleitﬂäch e
Go ldstein , E ,
6, 1 4
Gra ßm ann
8 , 1 4, 1 6
Green sch er Satz
68
Grenz be din gu ngen
1 4 6 , 226 , 81 9 ,
3 30 ; I
I 3 1 6 , 3 25
Gru n dgleich u nge n s au ch H au p tgl
u n d Feldgl
Gru n dglei ch u ngen der E lektro nen
'
I
H
I
r z
y
H 1 40
k in em ati ch e H 1 41
s
H ack , F
.
H
,
80 6
,
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,
.
,
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.
,
I
I
II
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.
Hä te
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I 2 88
w eite
II 1 7
(5
(5
375
,
.
.
z
r
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.
,
.
.
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
400, 43 6 ; 11 6 , 6 2 , 1 42, 3 04 :
He t
r z
225 , 23 9, 43 0 ;
na o
e
,
,
.
Hert sch e E lekt o dyn am ik bew egte
Kö pe I 3 98 (5
42 1 424
z
r
r
(5
31 7
r z
,
43 0
(5
Hert sch e
He t sch e
z
r
r
r
II 3 1 0 (5
(5
3 26
E rreger
Fun k tio n
(5
342
,
,
II
86
.
I
.
als
K pp
I 287
8 90 ;
,
I
I
inn eres Pro du k t
I
1 91 ;
H
I
Kah elw ellen
8 20
.
H 1 40
,
.
I
.
.
(5
(5
18
l , 2, 4
I
I
H
.
.
Jo ul e sch s W m s
1 86
s o lato ren
1 8 0, 8 1 6
I
.
.
I
(5
846
Kanal t ah len H 1 4
Kap ität de K gelk ondenmto
.
az
I
.
(5
2 09 , 21 4 , 2 3 6
o n en
r
.
I
K
I
Vekto
27 7 ; I
I 26 4
268 (5
(5
4 0 6 (5
s
1 34 , 1 4 1
u
rs
.
de s gestreckt en Ro tation sellip
so ide s
1 88
der Längen einh eit ein er Leitu ng
I
.
3 3 6 , 8 46 , 34 9
n strah len
.
.
3 94
I
Kath o de
.
29
80, 8 6
(5
I
re
II
In du k ti o n sﬂu ß
26 6 , 269
In du kti0 nsk o efﬁz i% t
269
In du k tio nslinien
2 1 6 , 40 7
u
indu k tiv e
elu ng
2 94
Inﬂu enz
e le kt ris ch e
1 40
inn er e raft ein es E lektro n s
I
.
I 287 H 804
II 66 6 2 298
.
H
s r
A l gi I 21 1
II 264 390
H e av isidesch e
82 ;
2 1 1 , 21 4
.
,
82
m agnetisch e ,
,
po la
.
Helligk eit II 86 2
Helmh olt H I 47 1 1 9 1 99 ; II 26 7
H e glot
G H 21 4
He t H I 1 21 1 25 4 286 288
z
I
e
n du k tio n sge setz
.
p
.
I
u lsm o m ent
I
iside , O , I 8 , 200, 21 1 , 244 ;
II 90, 1 1 9, 1 3 8 , 1 8 1
I 9 1 , 1 6 6 , 20 1
eav isi de E lli so i d I
-
I 86 8 (5
elek tr om agn etisch er
u ni
(5
26 5 , 3 1 7
v
H
8 98
.
.
3 90 ( 5
.
,
(5
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I
H
.
,
m agn etisch e
u s
I
.
n
m
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i
s
h
7
2
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t
e
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e
8
8
,
,
g
H a sen öh rl , F
846
H au p tgleich u n g , e rste I 22 1 , 286 ,
2
4
4
11
5
1
7
6
2
5
5
,
(
,
(
r
z
ru
z
Im p u lssätz
E ffek t
242 ,
81 9
H amilto n sch er
e ra to r V I 49, 68 ,
-
r
112
re sis,
n du k ti o n
H all
s
e le k tro m a gn etisch es
r
r
u
,
pedan I 27 6
I p l I 82
r,
r u
r
s
n
e
g
.
s
.
ns
.
.
u
.
.
.
u
.
Im
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,
,
.
,
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Haga H II 1 6 1 20
H gen E s R ben
Halbleite Wellen in I 8 1 2 (5
Halb a m dielek t isch e I 1 6 0
.
,
u
u
.
(5
.
,
,
,
,
,
u
.
26 2, 824
.
.
.
th e o rie II 1 7
d n amis ch e
.
,
r
.
r
r
r
.
.
r
u
r z s
.
I
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r
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1 94
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I 1 91 ; II 6
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1 98 , 2 1 3
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I 1 92 ; H 7
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II
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H
89
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87 6
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Konv ek ti o nsp o te nti al
91 , 1 6 1
Ko nv ektio n sstrah lu n g
18
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4 26 ;
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1 6 8, 1 6 2, 1 7 9
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1 86 ;
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26 1 , 288 (5
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1 8 2 (5
1 86 ;
11 25 5 , 283 ( 5
H
I
.
2, 286
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1 90 ;
1
1 92 ;
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284
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240
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28 6 , 886 , 86 1
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S ste m e
8 66 ( 5
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86
,
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87
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.
.
II
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.
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1 1 , 7 7 , 200, 2 7 5 , 28 2
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1 7 5 , 1 7 9, 202
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(5
Langev in ,
H
Masse
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1 6 2,
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H
1 6 6 , 1 7 4,
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1
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11 23 , 26 , 5 9, 7 2, 1 1 9, 25 2, 26 8,
.
.
8 6 2, 3 7 2, 3 7 5 , 3 79
.
H
Lo mntz sch es E le ktron
20 1
Lo rentz Lo re nz sch es Gesetz
Los ch m idts ch e ah l
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86 9, 864
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Kirch h o ﬂsch e s Gesetz
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1 1 , 1 8 9,
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2 7 6 (5
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2 1 1 , 21 7 (5
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H
I
26 6
.
.
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Register
402
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1 0 7 , 1 08
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3 6 1 , 3 64
Pringsh eim , E ,
1 28 ,
Pro bek ör er , elek trisch er
II
.
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I
22
21 4, 27 6
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Pro du k t, sk alares (inneres) 1 8 (5
1 6 (5
v ek to riell es (äu ß eres)
dr eier ek to ren
1 9 (5
22
Pseu do sk alar
Pu nk tladu n g,
ellenstrah lu ng ein er
bsch n itt 1 , Kap 2 : 6 9—1 86
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.
,
.
.
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Rotatio n e ine s Vek to rs ro t 1 8 1
I
H
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1 20, 23 0
.
1 46 , 1 7 7 , 1 8 2 ;
.
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(5
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,
7 9, 1 99
,
,
.
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21 1 , 21 3 , 27 6
Ru n ge C H 7 7 , 7 8 ,
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.
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.
.
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.
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II
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1 81 ,
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.
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,
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s ch w arz e Str ah lu n g s w eiß es Lich t
9 7 , 98
Sch w arz schild ,
,
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Sch w ebu ngen
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Sch vvingnngen, elektri sch e , in Leiter
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2 8 8 (5
.
.
.
.
.
.
Radiu m Str ah len
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-
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Strah len
1 93
Radiu s des E lek tro ns
Ra leigh
882
Rau m , leere r 1 42, 21 8, 86 7 , 428 ,
435 ; H 1 8
Re ak tionsk r aft s Rück w irkun g
Reﬂexio n de s Lich te s du rch bew eg
8 48 (5
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86 4
Reﬂexionsv ermögen der Metalle
.
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H
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.
.
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.
.
.
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H
(5
81 8
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.
898 , 404, 4 80,
H
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1 08 , 88 9
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8 8 6 (5
Relaxatio nsz eit
1 89, 8 1 2
Res on anz , Reson anz k urv e
288
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H
I
Rieck e E I 206 ; H 284,
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Röntgen , W C , I 426 ; H
,
,
.
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.
.
.
I
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.
.
.
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.
.
.
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.
(5
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-
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26 7 , 88 6
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.
.
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II
6 8, 7 2, 26 9
.
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Selbstin du ktio n
26 0, 268
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.
I
.
.
I
.
3 38 , 3 4 6 , 349
H
26 7
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II
.
.
I 298
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(5
2 95 , 2 97
H II
282
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,
11
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4 , 28
sk alares Po tenti al, Pro du kt 8 Poten
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.
H
.
.
.
.
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.
.
.
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403
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.
1 20, 222, 286
,
248, 244, 809
.
.
p ann ng bei Drah tw ellen I 886
pannu ngen Maxw ellsch e I 41 8
H 26
(5
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.
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35 9, 864
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,
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,
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88 0
.
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H 1 72
11 200
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85 8
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1 6, 1 02, 842
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8 1 1 , 8 61 , 86 7 ;
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Strah lu ngsgesetz ,
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.
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.
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bsch ni tt 1 , Kap 1 : 4 4 8
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bsch ni tt 1 , Kap 2
V
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.
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rfu nk ti o n
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V
V
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21 7 , 220, 222,
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.
.
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Su btrak tio n v on ek toren
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227
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Wellen I 808
(5
.
.
T ri let , Zeemans ch s s
.
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H
I
25 4
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.
.
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H
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88 8
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1 37 , 230
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1 40, 1 68 , 206
Th omso nsch e Fo rmel
2 8 8 , 8 64
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Magnetismu s
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.
.
Str o m
1 88
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w ei ßes Li ch t
8 68 , 8 6 0, 864, 8 66
W e llen , elektro m agn eti sch e
Ab
sch nitt 8 , Kap 8 : 808
866
elle n strah lu ng
18
W ellenz one
6 4 , 1 01 , 227 , 8 00
eltbild, e lek tr o m agn etisch e s 27 8 ,
208 , 3 8 7
8 6 8 ; 11 1 8 6 (5
1 88, 1 86 , 2 7 6
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7 , 1 2, 1 6 , 8 6 , 1 02
i ech ert , E ,
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29 6
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