¨Ubung zu “Mathematische Rechenmethoden”

Übung zu “Mathematische Rechenmethoden”
SS 2011
Übung 7
Ausgabe: 20.06.2011
Abgabe: 27.06.2011
Aufgabe 7.1: Vektorfeld der magnetischen Feldstärke
~ = 1 2 (−y, x, 0)T .
Das Vektorfeld der magnetischen Feldstärke eines auf der z-Achse liegenden Leiters ist H
2πr
a) Geben Sie die magnetische Feldstärke eines Leiters, der auf der x-Achse liegt, an. Der Stromfluß
ist in positive x-Richtung.
(1 Punkt)
b) Zeigen Sie, daß es sich bei den Feldlinien um Kreise um die x-Achse handelt.
(1 Punkt)
c) Schreiben Sie das Feld in geschickt gewählte Zylinderkoordinaten um.
(1 Punkt)
Aufgabe 7.2: Das Higgs-Potential
Gegeben sei das aus der Teilchenphysik bekannte Higgs-Potential V (x, y) = −α2 (x2 +y 2 )+β(x2 +y 2 )2
a) Skizzieren Sie in der xy-Ebene die Äquipotentiallinien V (x, y) = −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1 und 0
für α = 3 und β = 0.3 im Wertebereich x, y ∈ [−2, 2].
(1 Punkt)
b) Bilden Sie den negativen Gradienten und skizzieren Sie das Vektorfeld für die oben angegebenen
Parameter.
(1 Punkt)
c) Die bisherigen Resultate deuten eine Symmetrie des Problems an. Welche Koordinaten sind angemessen? Transformieren Sie in diese Koordinaten.
(2 Punkte)
Aufgabe 7.3: Kugelkoordinaten
Gegeben sei ein Potential
Φ(~r) =
QP2 (cos θ)
r3
in Kugelkoordinaten, die ein Quadrupolfeld beschreibt. Dabei ist P2 (x) = 21 (3x2 − 1) das dritte
Legendre-Polynom.
~ = −∇Φ das elektrische Feld.
a) Berechnen Sie aus E
(1 Punkt)
~ r) = 0 ist.
b) Zeigen Sie, daß ∇ × E(~
(1 Punkt)
c) Es gilt für die Ladungsdichte ∆Φ = −4πρ mit dem Laplace-Operator ∆. Bestimmen Sie ρ.
(2 Punkte)
Aufgabe 7.4: Sphäroidale Koordinaten
Mit den sogenannten prolaten sphäroidalen Koordinaten lassen sich Probleme beschreiben, die eine
elliptische Symmetrie aufweisen. Sie sind definiert über
x = sinh(µ) sin(ν) cos(φ)y = sinh(µ) sin(ν) sin(φ)z = cosh(µ) cos(ν)
a) Skizzieren Sie die Funktion (µ, ν, φ)(t) = (0.2, t, 0)
(1 Punkt)
b) Berechnen Sie die Einheitsvektoren der prolaten sphäroidalen Koordinaten in kartesischen Koordinaten
(1 Punkt)
c) Geben Sie die Form von Gradient und Divergenz in prolaten sphäroidalen Koordinaten an.
(2 Punkte)