Ubung 1 Koordinatensysteme Affine Transformationen

Übung 1
Ulf Döring
25.10.2010
Koordinatensysteme
1. Gegeben sei ein rechtshändiges kartesisches Koordinatensystem im dreidimensionalen
Raum.
y
Zeichnen Sie die z-Achse ein.
Geht die Achse auf Sie zu, kennzeichnen Sie sie durch
“. Geht sie von Ihnen weg in die Blattebene hinein,
”
so kennzeichnen Sie die Achse durch ⊗“.
”
z
x
2. (a) Wodurch unterscheiden sich kartesische und homogene Koordinaten?
(b) Wie wirken sich Translation, Rotation, Skalierung bzw. Scherung auf einen Richtungsvektor aus?
3. Im dreidimensionalen Raum seien Ortsvektoren Pi = (xi yi zi 1)> und Richtungsvektoren
ri = (xi yi zi 0)> gegeben sowie Operationen auf diesen Vektoren.
Interpretieren Sie die Ergebnisse folgender Verknüpfungen:
Operation
P1 − P 2
P1 + P 2
P1 + r 2
P1 − r 2
r1 + r2
r1 − r2
Ergebnis
Affine Transformationen
4. Ein Quadrat Q sei zu einem Objekt Q0 zu transformieren.
y
Die Transformation wird durch folgende Berechnung beschrieben:

 

1 sx 0
0 1 1 0
Q0 = sy 1 0 · 0 0 1 1 = S · Q
0 0 1
1 1 1 1
1
D
C
A
B
1
(a) Welche Dimension hat der Raum?
–1–
x
Übung 1
(b) Welcher Typ von Koordinaten wird verwendet?
(c) Um welche Art der Transformation handelt es sich?
(d) Berechnen Sie Q0 allgemein für die Variablen sx und sy .
(e) Skizzieren Sie Q0 für sx = 0, 4 und sy = 0, 2.
5. Problem: Spiegelung an einer beliebigen Gerade in der xy-Ebene.
Gegeben sei eine Gerade g und ein Dreieck ABC mit den Eckpunkten A (2; 4; 1),
B (4; 6; 1) und C (2; 6; 1).
Die Geradengleichung für g lautet y = 21 x + 2 bzw. y = 21 (x + 4).
(a) Skizzieren Sie das Dreieck ABC, die Gerade g, die Geraden durch A und A0 , B und
B 0 sowie C und C 0 und das resultierende Dreieck A0 B 0 C 0 .
Hinweis: Punkte werden stets entlang einer Geraden gespiegelt, die senkrecht zur
Spiegelgeraden liegt. Für senkrecht aufeinander stehende Geraden gilt folgendes: Hat eine Gerade den Anstieg tan α = a : b, so hat die andere den Anstieg
−b : a.
Die Geraden durch A und A0 , B und B 0 sowie C und C 0 lassen sich also unter
Nutzung von A, B und C sowie ihrem Anstieg einzeichnen. Entsprechend einfach ergeben sich dann auch A0 , B 0 und C 0 , was für die Überprüfung späterer
Rechenschritte von großem Nutzen ist.
(b) Stellen Sie die Transformationsmatrizen für folgende Teilschritte auf:
Hinweis: Die Aufstellung der Rotationsmatrizen kann günstig mittels rationaler
a 2b2=c2
c= 5
Zahlen und Wurzeln erfolgen. Diese ergeben sich wie in nebenstehender Skizze
α
beschrieben. Werden diese Matrizen verwendet, fallen bei der Rückrotation die
b=2
Wurzeln wieder heraus.
i. Verschiebung von g in den Ursprung
ii. Rotation von g auf die x-Achse (Drehsinn beachten!)
iii. Spiegelung an g (jetzt an der x-Achse)
iv. Inverse Rotation (Drehsinn beachten!)
v. Rücktranslation
a=1
a 1
sin α= =
c 5
b 2
cos α= =
c 5
a
tan α=
b
sin−α=−sin α
cos−α=cos α
(c) Überprüfen Sie die Korrektheit der unter (b) erstellten Matrizen durch schrittweise
Anwendung auf die Eckpunkte des Dreiecks ABC.
(d) Bilden Sie eine gemeinsame Matrix M (enthält nur rationale Zahlen, keine Wurzeln)
und wenden Sie sie auf die Eckpunkte des Dreiecks an. Vergleichen Sie das Ergebnis
mit der Berechung aus (c) sowie mit der Skizze aus (a).
Ansichtstransformationen
–2–
Übung 1
6. Der Punkt P (gegeben in kartesischen Koordinaten im 3D-Raum) soll mittels Zentralprojektion auf eine zur xy-Ebene parallele Ebene projiziert werden. Diese schneide die
z-Achse bei ze . Das Projektionszentrum (der Augpunkt) sei im Ursprung des Koordinatensystems.
(a) Geben Sie die Projektionsmatrix an und leiten Sie sie mit Hilfe des Strahlensatzes
her.
(b) Welche kartesischen Koordinaten hat der projizierte Punkt P 0 ?
(c) Wie lässt sich die Projektionsmatrix für einen beliebigen Augpunkt A (xA ; yA ; 0)
mit Hilfe des Strahlensatzes herleiten?
7. Ein in einem 3D-Rechtssystem (Achsenbezeichnungen x, y und z) achsenparallel positionierter Würfel der Kantenlänge 1 sei auf die xy-Ebene projiziert worden. Dabei hat
sich nebenstehende Abbildung ergeben.
(a) Um welche Projektionsart handelt es sich?
(b) Skizzieren Sie die z-Achse in der Abbildung.
(c) Wie sieht die entsprechende allgemeine Projektionsmatrix aus? Erläutern Sie die
Bedeutung der in der Matrix enthaltenen Parameter anhand geeigneter Skizzen.
(d) Berechnen Sie die Parameter entsprechend der gegebenen Abbildung.
Hinweis: Benutzen Sie hierfür die Punkte P 0 (1, 0; 1; 0) und Q0 (1, 5; 1, 25) in der
Abbildung.
(e) Wohin würde der Punkt (1; 2; 3) projiziert werden?
(f) Ist es möglich, die Position des Punktes P im Raum eindeutig zu bestimmen?
Berechnen Sie die entsprechende Position (oder gegebenenfalls mehrere mögliche
Positionen).
–3–