Lineare Algebra Inhaltsverzeichnis 1 Begriffe 2 Matrizen f

Merke Spaltenvektoren: Bild der Basisvektoren
Lineare Algebra
Christian Schluchter, [email protected]
Matrix
Sei A : Rn → Rm linear. Die Basisvektoren e1 =
(1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., en = (0, ..., 0, 1) ∈ Rn spannen den
Raum Rn auf, d.h. jeder Vektor v ∈ Rn schreibt sich eindeutig als
Linearkombination der Vektoren ei . Alle Spaltenvektoren nebeneinander zusammengefasst nennt man Matrix.
20. Februar 2008
Inhaltsverzeichnis
1
Begriffe
2
Matrizen für lineare Abbildungen
2.1 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Produkt zweier Matrizen . . . . . . . .
2.1.2 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Gauss-Algorithmus . . . . . . . . . . .
2.2 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 lineare Abhängigkeit ⇔ det= 0 . . . .
2.3.3 Invertierbarkeit (Regularität)⇔ det , 0
2.3.4 Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . . .
2.4 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Rang und Dimension . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
4
Determinante
3.1 Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Verhalten der Determinante unter Zeilenoperationen:
3.1.4 Spezielle Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
5
5
5
5
5
4
Norm
4.1 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
5
Vektorräume
5.1 Die Basis eines Vektorraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Reelle Vektorräume und lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
6
Lineare Gleichungssysteme
6.1 Lösbarkeit von Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
Koordinatentransformationen
7.1 Transformationsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Orthonormale Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
8
Eigenwertproblem
9
Systeme linearer Differentialgleichungen
9.1 Exponentialfunktion für Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 DGL Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1 Rechenregeln
1
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A+B=B+A
(A + B) + C = A + (B + C)
(A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC
Im · A = A · Im = A
(AB)C = A(BC)
(λA)B = A(λB) = λ(AB)
(A + B)T = AT + BT )
(AB)T = BT AT
Sind A und B invertierbar, so auch AB, es gilt:
(AB)−1 = B−1 A−1
!
a
·A=A· a b
b
zur Kommutation
a
0
von der Form C =
CB! = BC gilt für alle Matrizen B, falls C
0
a
2.1.1 Produkt zweier Matrizen
8
10
10
10
Satz
Das Produkt AB einer (m × n)-Matrix A = [aij ] und einer (n × p)Matrix B = [bij ] ist eine (m × p)-Matrix, deren Elemente cik wie folgt
erhalten werden:
1 Begriffe
Dimension Anzahl linear unabhängiger Vektoren (entspricht bei Matrix dem Rang)
cik :=
n
X
aij b jk = ai1 b1k + ai2 b2k + ... + ain bnk
j=1
Isomorphismus Die Abbildungen φ und ψ sind isomorph gdw φ und
ψ sind zueinander invers und beide linear.
oder
elmik (AB) = rowi (A)
nilpotent Eine Potenz einer Matrix ist 0.
span a, b, ..., z Raum, von den Vektoren a bis z aufgespannt (diese Vektoren müssen nicht zwangsläufig lin. unabh. sein)
·
Ska.p.
colk (B)
Beispiele:
a11
a21
Spur Summe der Diagonalelemente einer Matrix.
Regel: spur (MN) = spur (NM)
a12
a22
!
·
b11
b21
b12
b22
!
=
a11 b11 + a12 b21
a21 b11 + a22 b21
a11 b12 + a12 b22
a21 b12 + a22 b22
!
a
c
b
d
!2
=
a2 + bc
ca + dc
ab + bc
bc + d2
2.1.2 Inversion
Vorgehen
allgemeine Matrix:
2 Matrizen für lineare Abbildungen

 a

1.  d

g
Merke Eine m × n-Matrix hat m Zeilen und n Spalten.
b
e
h
c
f
i
1
0
0
0
1
0
0
0
1






 ∗

2. Bringe die Matrix links auf Dreiecksform, oder die Form  0

0
1
∗
∗
∗
0
0
∗
∗
∗
∗

 1

3. Weiteres auflösen nach der Form  0

0
0
1
0
0
0
1
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗





Satz
Zu jeder Matrix M ∈ Rm×n existiert eine lineare Abbildung A :
Rn → Rm mit Mat(A) = M
Dreiecksmatrix

 1
 0

Bestimme die Inverse zu 
 0

0

1
0
a
b
c
 1
 0
1
d
e
0
1


0
1
f
0
0
 0

0
0
0
1
0
0
Umwandlung mit Gauss zu:

∗
∗
0
0
0
 1
 0
1
0
0
∗
∗

 0
∗
∗
0
1
0

0
0
0
1
∗
∗
In diesem Beispiel:

1
−a
0
0
0
 1
 0
1
0
0
0
1

 0
0
1
0
0
0

0
0
0
0
0
1
a
1
0
0
0
0
1
0
∗
∗
∗
∗
b
d
1
0
0
0
0
1
∗
∗
∗
∗
c
e
f
1







b
d
0
b
0
d
b
a
b
Merke Die Summe zweier linearer Funktionen ist wieder eine
lineare Funktion.
Das Produkt einer linearen Funktion mit einer Konstanten ist
wieder eine lineare Funktion.







→ Die Menge aller linearen Funktionen ist ein UVR.
−b + ad
−d
1
0
spezielle Matrizen
!
a b
1
A=
→ A−1 = det(A)
c d




 1 0 0 

 0 a 0 
−1
A = 
 → A = 



0 0 1




 1 0 b 

 0 a 0 
−1

A = 
 → A = 



0 0 1

 a

A =  c

0

 a

A =  0

c

 a
 b
A = 

b







b f − ad f − c + ae
−e + d f
−f
1
d
−c
1
0
0
1
0
0


 d
0 
 −c
1

0  → A−1 = det(A)


e
0


 d
0 

1
 −c
e  → A−1 = det(A)



0
0


b 
 c


−1
b  → Ansatz : A =  d


d
a
1
a
0
0
1
0
2.3.2 lineare Abhängigkeit ⇔ det= 0
linear abhängig
Die Vektoren v1 , v2 , ..., vn ∈ V sind linear
abhängig, falls es Zahlen λ1 , λ2 , ..., λn ∈ R gibt, nicht alle 0, so
dass λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = 0.
!
−b
a
0








0 

0 

1

−b 
0 

1
−b
a
0
0
0
Merke Ist die Anzahl Vektoren grösser als deren Dimension, sind
sie linear abhängig.





det(A) 
e

−b 
a 

det(A)
0
e

d
d 
c
d 

d
c
0
0
Merke Zum testen der linearen Abhängigkeit von Vektoren, schreibe sie als Zeilenvektoren in eine Matrix und wende das Gaussverfahren an oder berechne die Determinante. Entsteht eine 0-Zeile,
oder ist die Determinante =0, sind sie linear abhängig.
2.3.3 Invertierbarkeit (Regularität)⇔ det , 0
2.1.3 Gauss-Algorithmus
Satz
erlaubte Operationen
• Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl
1. Alle Elementarmatrizen sind invertierbar.
• Vertauschen von Zeilen (nicht aber Spalten)
2. Jede invertierbare Matrix A ∈ Rn×n ist ein Produkt von
Elementarmatrizen.
• Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren
3. A ist invertierbar, wenn der Rang(A) = n (d.h. wenn A
regulär ist ⇔ det(A) , 0).
2.2 Spezielle Matrizen
Spiegelung SG an der Geraden y = ba x
MSG =
cos(2α)
sin(2α)
sin(2α)
− cos(2α)
!
α = arctan
a
b
Merke Eine reguläre Matrix ist invertierbar. Eine nicht invertierbare Matrix heisst singulär.
Drehung Dα um 0 mit Drehwinkel α
MDα =
cos(α)
sin(α)
− sin(α)
cos(α)
2.3.4 Diagonalisierbarkeit
!
diagonalisierbar
Eine Matrix M ∈ Rn×n heisst diagonalisierbar, falls eine invertierbare Matrix T ∈ Rn×n existiert, so dass
T−1 · M · T Diagonalform hat.
Es gibt eine Basis aus EV (Eigenbasis).
2.3 Eigenschaften
2.3.1 Linearität
Folgerungen:
• Zwei Abbildungsmatrizen einer linearen Abbildung A :
V → V sind immer konjugiert.
lineare Abbildung
Eine Abbildung A : Rn → Rm heisst linear, falls gilt: A(p + tv) = A(p) + tA(v) ∀p, v ∈ Rn , t ∈ R
Es muss gelten A(0) = 0.
• Eine reelle, symmetrische Matrix ist diagonalisierbar.
2
Satz
Eine Matrix A ∈ Rn×n /Cn×n ist genau dann über R/C diagonalisierbar, wenn
Dimensionsformel
Es sei A eine (m × n)−Matrix und L0 der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems Ax = 0 (der Kern). Dann gilt
1. χA (t) n reelle Nullstellen hat
dim L0 = n − rang A
2. Die Eigenräume Eλ (Menge der EV zu λ) haben als Dimension die Vielfachheit der Nullstelle λ
Merke Abb. A : V → W mit (m × n)-Matrix
Merke Quadrieren einer Diagonalmatrix quadriert die Diagonalmatrixeinträge:
!2
!
a 0
a2
0
=
0 b
0 b2
dim V = n
dim W = m
dim(im A) = rang A ≤ m
Bsp
Abbildung A : R3 → R2 ⇒ dim A = 3
L0 = z − Achse (wird auf 0 abgebildet)
Merke

 λ1






λ2
..
.
λn
 λ a
 1 11
 λ a
 2 21
= 
..

.

λn an1
 a
  11
  a
  21
  .
  .
  .

an1
λ1 a12
λ2 a22
..
.
λn an2
...
...
...
...
...
...
λ1 a1p
λ2 a2p
..
.
λn anp
a1p
a2p
..
.
anp
n = 3; dim L0 = 1 ⇒ dim Bild = 2








3 Determinante








Satz
Seien A, B ∈ Rn×n (Determinante nur für quadratische Matrizen
definiert).
1. A ist singulär ⇔ det (A) = 0
2.4 Folgerungen
2. Es gilt det(AB) = det(A)det(B) ∀A, B.
A symmetrisch (A = AT ) .
• alle EW sind reell
• es existiert eine Orthonormalbasis von EV
3.1 Berechnung
A orthogonal (AT = A−1 ) .
3.1.1 Strategien
• Abb. ist längentreu
• die Spalten von A bilden eine orthonormale Basis in Rn
• Überprüfe lineare Abhängigkeit, dann det=0
A, B schiefsymmetrisch (antisymmetrisch) .
• Umformen zu Kästchenform, dann Produkt der Determinanten
der Kästchen
• Ai,j = −A j,i
•

 0
 −a


−b
a
0
−c

b 
c 

0
• Umformen zu Dreiecksmatrix, dann Produkt der Diagonalelemente
det(A) , 0 .
•
•
•
•
•
•
•
• Auflösen nach Zeilen/Spalten
A ist invertierbar, also regulär
Rang(A)=Anzahl Zeilen von A
alle Vektoren der Matrix sind linear unabhängig
(A−1 )−1 = A
(AT )−1 = (A−1 )T
Ax = b für jedes b eindeutig lösbar
Ax = 0 hat nur triviale Lösung x = 0
3.1.2 Regeln
A : (n × n)-Matrix
det(−A) = (−1)n det(A)
det(λA) = λn det(A)
det(AB) = det(A)det(B)
2.5 Rang und Dimension
det(A−1 ) =
1
det(A)
det(A + B) , det(A) + det(B)
Satz
Ist eine (m × n)−Matrix gegeben, so spannen die m Zeilenvektoren
einen Unterraum Z von Rn auf, den Zeilenraum von A, und die
n Kolonnenvektoren einen Unterraum K von Rn , den Kolonnenraum.
Z und K besitzen dieselbe Dimension, den Rang der Matrix A.
det(A) = det(AT )
für A schiefsymmetrisch, mit n ungerade: det= 0
3
4 Norm
Determinante = Produkt der Diagonalele-
Dreiecksmatrizen
mente
euklidsche Norm ||x||2 :=
p
x1 2 + x2 2 + x3 2
Maximumsnorm ||x||∞ :=max(|x1 |, |x2 |, |x3 |)
Norm einer Funktion || f || :=max| f (x)|
Kästchenform
Hat die Matrix A Kästchenform mit quadratischen Teilmatrizen A1 und A2 :
[A1 ]
0
A=
so gilt
0
[A2 ]
Lp -Norm ||x||2 :=
4.1 Rechenregeln
||v|| ≥= 0
||v|| = 0 ⇔ v = 0
||a + b|| ≤ ||a|| + ||b||
||λa|| = |λ| ||a||
x, y orthogonal: ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 = ||x − y||2
!
a
c
b
d
!
2 × 2-Matrix
det
5 Vektorräume
Beispiel für 3 × 3-Matrix
c
i
+gdet
x1 2 + x2 2 + x3 2
!
detA = detA1 · detA2
Auflösen nach Spalten

 +
b− c+ 
 a

e
f  =
det d−

 +
g
h
i
!
e f
b
adet
−ddet
h i
h
p
p
b
e
Körper
Ein Körper ist eine Menge mit Addition und Multiplikation und
zu k ∈ K ∃ − k
zu k ∈ K mit k , 0 ∃ k−1 (k · k−1 = 1).
!
c
f
= ad − bc
Vektorraum
Ein Vektorraum über einem Körper R (C) ist eine
Menge V auf welcher eine Addition + : V×V → V und eine skalare
Multiplikation · : R × V → V existieren und es gelten folgende
Bedingungen: ∀v, w, u ∈ V, α ∈ R
1. v + w = w + v
(u + v) + w = u + (v + w)
3.1.3 Verhalten der Determinante unter
Zeilenoperationen:
2. Es existiert ein Element 0 ∈ V, so dass 0 + v = v
Zeilen-/Spaltentausch: Die det ändert Vorzeichen.
3. Zu jedem v ∈ V existiert ein additiv Inverses
”−v”.
v + (−v) = 0
Multiplikation einer Zeile mit λ: det multiplizert sich mit λ.
Add. des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen: det bleibt
4. α(x + y) = αx + αy, (α + β)x = αx + βx
(αβ)x = α(βx), 1 · x = x
3.1.4 Spezielle Determinanten
Vandermonde-Determinante






V(λ1 , ..., λn ) := det 




1
λ1
λ1 2
..
.
λ1 n−1
1
λ2
λ2 2
..
.
λ2 n−1
...
1
λn
λn 2
..
.
λn n−1
Unterraum
Eine Teilmenge U eines Vektorraums V heisst ein
Unterraum (Untervektorraum UVR) von V, wenn U bezüglich
der in V erklärten Operationen abgeschlossen ist, das heisst: Für
beliebige x, y ∈ U, λ ∈ R müssen x + y und λx wieder in U liegen.











5.1 Die Basis eines Vektorraums
Es gilt
V(λ1 , ..., λn ) =
Y
Basis
Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines
Vektorraums V heisst eine Basis von V.
Ist (b1 , b2 , ..., bn ) eine Basis des Vektorraums V, so besitzt jeder Vektor x ∈ V eine Darstellung
(λ j − λi )
i<j



Bsp. V(λ1 , λ2 , λ3 ) = det 

1
λ1
λ1 2
1
λ2
λ2 2
1
λ3
λ3 2



 = (λ2 − λ1 )(λ3 − λ1 )(λ3 − λ2 )

Insbesondere ist genau dann V(λ1 , ..., λn ) = 0, wenn zwei λi
übereinstimmen.
x = ξ1 b1 + ξ2 b2 + ... + ξn bn =
n
X
k=1
mit eindeutig bestimmten Koeffizienten ξk .
4
ξk bk
Satz
Alle Basen eines endlich erzeugten Vektorraums V bestehen aus
derselben Anzahl Vektoren.
Satz
1. Ein reguläres System A · x = c ist für jedes c ∈ R eindeutig
lösbar.
2. Ein singuläres n × n -System ist nicht immer lösbar. Es
hat für gewisse rechte Seiten c keine Lösung, für andere
unendlich viele.
Es gilt jedoch L0 , ∅, sogar dim(L0 ) ≥ 1.
Satz
Jede Menge linear unabhängiger Vektoren in V lassen sich zu
einer Basis von V ergänzen.
6.1 Lösbarkeit von Systemen
Merke Um einen linear unabhängigen Vektor v zu finden, suche
senkrechten Vektor. Dazu schreibe die vorhandenen Vektoren als
Zeilen in eine Matrix A. Das Gleichungssystem
Av = 0
liefert v.
5.2 Reelle Vektorräume und lineare
Abbildungen
Bsp
Für welche a, b, c, d ist ax3 + bx2 + cx + d Linearkombination von x3 , (x + 1)3 , (x + 2)3 ?
reeller Vektorraum
Rn mit komponentenweiser Addition und
Streckung mit reellen Zahlen heisst reeller Vektorraum.
ax3 + bx2 + cx + d hat dim= 4
ex3 + f (x + 1)3 + g(x + 2)3 hat dim= 3
a, b, c oder d ist also frei wählbar!
Merke Eine Abbildung A : V → V ist regulär, wenn sie den Rang
n hat, sonst singulär
7 Koordinatentransformationen
7.1 Transformationsformeln
Satz
Es seien V , W zwei endlich-dim. Vektorräume, A : V → W linear.
Dann existieren zwei Basen v und w von V und W, so dass die
Abbildungsmatrix Matv,w (A) folgende Form hat:






v,w
Mat (A) = 




|
1
0
..
.
|
0
..
.
{z
...
1
}
r
{z
0 ...
.. . .
.
.
| {z }
k
0
Transformationsmatrix
Tv,v = (tij ) ∈ Rn×n ist eine Transfor0
mationsmatrix. Es gilt also: v0 = v · Tv,v












Merke In den Kolonnen von T stehen die alten Koordinaten der
neuen Basisvektoren.
}
n=r+k
Hier ist r = Rang(A),
Merke Für eine zulässige Koordinatentransformation muss die
Inverse T−1 zu T existieren.
k =dim(Kern(A))
Merke Die Spur einer Matrix ist invariant unter Basistransformation.
6 Lineare Gleichungssysteme
Merke Ein Punkt x = (x1 , ..., xn ) kann geschrieben werden als
Kern
Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems
Ax = 0
L0 = Kern(A) = {v ∈ Rn | A(v) = 0}L0 ist ein UVR in Rn
x=
n
X
xi ei
i=1
bzw. in neuen Koordinaten
Satz
Ein homohenes Gl.System hat nicht triviale Lösungen gdw r < n.
Wobei r: Rang und n: Anzahl Zeilen
x=
n
X
k=1
5
x0k e0k
Es folgt
xi =
n
X
tik x0k
Merke : Alternative chp Berechnung
2 × 2-Matrix
pA (λ) = λ2 − tr(A)λ + det(A)
(1 ≤ i ≤ n)
k=1
In Matrizenform
3 × 3-Matrix
0
x=T·x
Satz
0 0
Transformationsformel für Matrizen Matv ,v (A)
0
v,v
v,v
Mat (A) · T
0
0
(Tv,v = T;
Tv ,v = T−1 )
pA (λ) = λ3 − tr(A)λ2 + (det(A1 ) + det(A2 ) + det(A3 ))λ − det(A)
=
0
Tv ,v ·
Merke
• Jeder Vektor e , 0 ist EV zum EW 0. Ist kern A = {0}(d.h. A
ist regulär), so ist 0 kein EW von A.
7.2 Orthonormale Basen
• Die Summe der Diagonaleinträge (die Spur) jeder Matrix
ist gleich der Summe der EW.
• Wenn Eigenvektoren die Spalten von einer Matrix T sind,
bildet T Vektoren in der neuen Basis auf Vektoren in der
alten Basis ab.
Merke Ist die neue Basis ebenfalls orthonormal, ist T orthogonal,
es gilt
T−1 = TT
• Nullvektor ist nie ein EV, Null kann aber ein EW sein.
• Bei einer Diagonalmatrix sind EW gerade die Diagonalelemente −→ det ist Produkt der EW
konjugiert
Zwei quadratische Matrizen M0 und M ∈ Rn×n
heissen konjugiert, falls eine invertierbare Matrix T ∈ Rn×n
existiert mit M0 = T−1 MT
Satz
A reell, symmetrisch, dann gilt:
Zwei konjugierte Matrizen beschreiben die gleiche Abbildung mit einer anderen Basis.
• A ist diagonalisierbar
Bedingung für konjugiert: gleicher Rang
• Es gibt eine orthonormale Eigenbasis zu A
• Es gibt eine orthogonale Matrix T, sodass T−1 AT = TT AT
diagonal ist. In der Diagonalen stehen die EW von A, Spalten von T sind normierte EV von A.
8 Eigenwertproblem
• EV von versch. EW stehen senkrecht aufeinander
Definitionen
Eigenvektor, Eigenwert Ein Vektor e , 0, für den mit einem
geeigneten λ ∈ R gilt Ae = λe, heisst ein Eigenvektor der
Abbildung A; die betreffende Zahl λ ist der zugehörige
Eigenwert von A.
Satz
Zu verschiedenen EW gehörende EV sind linear unabhängig.
Eigenvektoren ändern durch die Multiplikation mit der zugehörigen Matrix
ihre Wirkungslinie nicht.
λ0 ist EW zu EV v
Berechnung der EV zu EW:
Satz über symmetrische Matrizen
Ist A ∈ Rn×n eine symmetrische Matrix mit Eigenwerten λ1 , ..., λn ,
so gilt:
⇔ f (v) = λ0 · v
⇔ det( f − λ0 Id ) = 0
1. Alle EW sind reell.
⇒ (A − λ0 Id )v = 0
2. EV, die zu verschiedenen EW gehören, stehen aufeinander
senkrecht.
geometrische Vielfachheit Anzahl der frei wählbaren Parameter eines EV.






3. Es gibt eine orthonormale Basis (e01 , ..., e0n ) von Rn mit
 α − β 
 1 
 −1 






β
Beispiel: u = 
 = α  0  + β  1 






α
1
0
→ geom.Vielfachheit 2
A0 = diag(λ1 , ..., λn )
Eigenraum Der Eigenraum Eλ zum EW λ enthält sämtliche EV
zum EW λ.
Eλ := {x ∈ V|Ax = λx}
4. Es gibt eine orthogonale Matrix T mit
A = T · diag(λ1 , ..., λn ) · T0
6
3. Berechne
Berechnung von Ak
2. T = (EV1 , EV2 , ...), D

 EW1

=


0
0
.
.
.
EWn















3. Ak = (T−1 DT)k = T−1 Dk T
















9 Systeme linearer
Differentialgleichungen
.
0
0
1
0
0
1
0
.
.
.
.
.
..
0
−a0
0
−a1
...
...
0
0
..
.
0
...
...
1
−an−1
=




 =






 
  x0
  x
 
1
 
.
 
.
 
.
 
 x

n−1


.
.

 0
 y (t) 
 y00 (t) 






..


.



 (n)
y (t)
=
x1 (t)
..
.
xn−1 (t)
−an−1 xn−1 − an−2 xn−2 − ... − a0 x
 −λ

 0





= 




 0

−a0
Exponentialfunktion
Unter der Exponentialfunktion für die
2
3
Matrix M ∈ Rn×n verstehen wir eM = 1 + M + M2! + M3! + ...
..


















4. Zur Berechnung von etA müssen wir die EW von A
bestimmen.
Berechne χA (λ) = chp(λ) = det(A − λId )
9.1 Exponentialfunktion für Matrizen

 λ1

Merke Falls A = 

0
 tλ

0 
 e 1




..


.




tλ
0
e n
=
d
dt x(t)
1. EW und EV berechnen
x00 (t)
x01 (t)
..
.
x0n−1 (t)









1
−λ
0
1
0
.
.
.
.
.
0
−a1
...
...
.
.
...
...
0
0
.
.
.
.
.
−λ
1
−an−1 − λ
=
Entwicklung nach letzter Zeile
n
a1 λ + a0 )(−1)

0 


 diagonal ist, dann gilt etA =


λn
















(λn + an−1 λn−1 + ... +
Alternative zur direkten Berechnung von etA
1. Bestimme die EW von A: λ1 − λn
2. Bestimme die zugehörigen EV: v1 − vn
Merke Falls AN = 0 ist, dann gilt
etA = 1 + tA +
(tA)2
2!
+ ... +
3. Dann bilden die Vektoren eλ1 t v1 −eλn t vn die Lösungsmatrix.
(tA)N−1
(N−1)!
 λ

0 
 e 1



−1

 −1
..
eTDT = T 
 T
.




λ
n
0
e
Allgemein: Falls A diagonalisierbar ist, d.h. es existiert T ∈ Rn×n mit
−1
T−1 AT = D = diagonal , dann gilt: etA = et(TDT ) = TetD T−1 .
Hauptsatz
Sei A ∈ Rn×n eine quadratische Matrix, dann bilden die Spalten der
Matrix etA eine Basis für den Lösungsraum der Diff.-gleichung
x0 = Ax(t).
9.2 DGL Lösung
Satz aus Analysis
Die Lösungen der DGL y(n) + ... + a0 y = 0 sind von der Form
y(t) = b1 eλ1 t + b2 eλ2 t + ... + bn eλn t , wobei die λi Nullstellen von
χA (λ) sind.
Falls ein λi zu hohe Multiplizität hat (grosse Vielfachheit), dann
muss man noch die Ausdrücke der Form teλi t , t2 eλi t ,etc. dazunehmen.
Wie bringe ich die DGL y(n) + an−1 y(n−1) + ... + a0 y in die Form
d
dt x(t) = Ax(t)?
1. Setze x0 (t) = y(t),
x1 (t) = y0 (t), ..., xn−1 (t) = y(n−1) (t)




2. Fasse diese Koordinaten zu einem Vektor x(t) = 


x0 (t)
x1 (t)
..
.
xn−1 (t)








7