Erste Partielle Differentiale thermodynamischer Zustandsgrößen Dr

Erste Partielle Differentiale
thermodynamischer Zustandsgrößen
— Vollständiges Verzeichnis und Beispiele —
s h p
u
g
v f T
Dr.-Ing. T. Finke
2010, 2013
c Dieser Text1 wurde erstellt durch
Ingenieurgemeinschaft IgH
Dr.-Ing. T. Finke
Heinz-Bäcker-Str. 34
45356 Essen
Tel: 0201/360140
Fax: 0201/3601414.
http://www.igh-essen.com
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Für die Richtigkeit des Inhaltes wird keine Gewähr übernommen.
1
maxwell, Stand 12. September 2013, Revision: 1.20
INHALTSVERZEICHNIS
1
Inhaltsverzeichnis
1 Formelzeichen
2
2 Differentiale thermodynamischer Zustandsgrößen
2.1 Thermodynamische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Maxwells Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Formale Bestimmung der Differentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
5
6
3 Beispielanwendungen
3.1 Volumenstromgeführter Zylinder . . .
3.2 Zylinder unter veränderlichem Druck
3.3 Speicher-Federsteifigkeit . . . . . . .
3.4 Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . .
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7
8
9
10
11
4 Haftungsausschluss
11
5 Verzeichnis der Differentiale
5.1 Differentiale des spezifischen Volumens v . . .
5.2 Differentiale der Temperatur T . . . . . . . .
5.3 Differentiale des Drucks p . . . . . . . . . . .
5.4 Differentiale der spezifischen inneren Energie u
5.5 Differentiale der spezifischen Entropie s . . . .
5.6 Differentiale der spezifischen Enthalpie h . . .
5.7 Differentiale der spezifischen freien Energie f .
5.8 Differentiale der spezifischen freien Enthalpie g
12
12
14
16
18
20
22
24
26
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1 FORMELZEICHEN
1
2
Formelzeichen
In den folgenden Abschnitten werden zahlreiche Formelzeichen zur Beschreibung unterschiedlicher Größen verwendet. Die wichtigsten sind in Tabelle 1 verzeichnet.
Tabelle 1: Größen und Formelzeichen
Kürzel Größe
v
spezifisches Volumen
%
Dichte
T
Temperatur
p
Druck
u
spezifische innere Energie
s
spezifische Entropie
h
spezifische Enthalpie
f
spezifische freie Energie
g
spezifische freie Enthalpie
t
Zeit
x
Kolbenweg
q
spezifische übertragene Wärme
α
Wärmeübergangskoeffizient
A
Oberfläche
m
Gasmasse
F
Kolbenkraft
cv
isochore Wärmekapazität
τ
Eigenzeit
κ
thermischer Isentropenexponent
c
Steifigkeit
w
Schallgeschwindigkeit
2 DIFFERENTIALE THERMODYNAMISCHER ZUSTANDSGRÖSSEN
2
2.1
3
Formale Bestimmung der Differentiale thermodynamischer Zustandsgrößen
Thermodynamische Grundlagen
Die Beschreibung von Zustandsgrößen realer reiner Fluide erfolgt unter Verwendung von
Zustandsgleichungen. Unter Verwendung des Ersten und Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik kann der Zusammenhang der Zustandsgrößen übersichtlich dargestellt werden. Zustandsgleichungen werden als Funktionen zweier Veränderlicher modelliert. Häufig
beschreiben sie die Zusammenhänge messtechnisch bestimmbarer physikalischer Größen.
So wird häufig der Druck p als Funktion des spezifischen Volumens v und der Temperatur
T angegeben. Die Wahl dieser unabhängigen Größen erlaubt die eindeutige Beschreibung
des Zustands auch in Phasenwechselgebieten wie dem Nassdampfgebiet. Man findet also
die thermische Zustandsgleichung:
p = p(v, T )
(1)
Diese Beziehung ist jedoch nicht kanonisch – nicht alle Zustandsgrößen lassen sich daraus
ableiten. Deshalb wird zusätzlich ein kalorischer Zusammenhang modelliert, beispielsweise
die spezifische isochore Wärmekapazität cv :
cv = cv (v, T )
(2)
Im weiteren wird also angenommen, dass die Zustandsgleichungen als Funktionen von v
und T gegeben sind.
Der Erste Hauptsatz liefert für geschlossene Systeme die spezifische innere Energie u bei
Zufuhr der spezifischen Wärme q unter Berücksichtigung der Volumenänderungsarbeit:
du = dq − p dv
(3)
Der Zweite Hauptsatz setzt die spezifische Entropie s in Beziehung zur Wärme:
dq = T ds
(4)
So erhält man den Zusammenhang reiner Zustandsgrößen:
du = T ds − p dv
(5)
Dies ist eine der kanonischen Gleichungen. Die spezifische innere Energie ist also eine
Potentialgröße in s und v, aus der sämtliche Zustandsgrößen, also neben den bisher aufgeführten auch die spezifische Enthalpie h sowie die spezifische freie Energie f und die
spezische freie Enthalpie g bestimmt werden können. Da die Zustandsgleichungen als
Funktionen von spezischem Volumen und Temperatur gegeben sind, wird die kanonische
Beziehung in diesen Größen gesucht. Mit
f = u−T s
df = du − T ds − s dT
= −s dT − p dv
(6)
(7)
(8)
2 DIFFERENTIALE THERMODYNAMISCHER ZUSTANDSGRÖSSEN
4
zeigt sich, dass die spezische freie Energie f die gesuchte Größe ist. Man erhält die kanonische Beziehung:
f = f (v, T )
(9)
u = f +T s
h = u + pv
g = h−T s
∂f
s = −
∂T
v
∂f
p = −
∂v T
(10)
(11)
(12)
Daraus lässt sich nun ableiten:
(13)
(14)
Aus den Zustandsgleichungen 1 und 2 werden bei geeigneter Formulation die folgenden
Ableitungen erhalten:
∂p
∂p
=
(v, T )
∂T v
∂T v
∂p
∂p
=
(v, T )
∂v T
∂v T
∂u
cv =
∂T v
(15)
(16)
(17)
Mit den zweiten Ableitungen von f zeigt man außerdem, dass gilt:
∂ 2f
∂ 2f
=
=
∂v ∂T
∂T ∂v
∂s
∂v
=
T
∂p
∂T
(18)
v
Dies ist eine der Maxwellschen Beziehungen der thermodynamischen Zustandsgrößen. Die
übrigen lassen sich analog aus den Potentialgrößen durch zweifache Ableitung nach deren
jeweiligen Unabhängigen bilden. Die Zurdnung der Potentialgrößen zu ihren Unabhängigen geht übersichtlich aus dem Schema 2.1 hervor. Die Potentialgrößen stehen jeweils
zwischen den Unabhängigen, die auf den Ecken angeordnet sind.
s h p
u
g
v f T
Abbildung 1: Maxwellsche Potentialgrößen
2 DIFFERENTIALE THERMODYNAMISCHER ZUSTANDSGRÖSSEN
2.2
5
Maxwells Beziehungen
Zur Bestimmung aller ersten Differentiale der aufgeführten acht Zustandsgrößen als Funktion von v und T wird zunächst die erste partielle Ableitung einer allgemeinen Funktion
a nach einer weiteren Funktion b betrachtet, wobei eine dritte Funktion c konstant sein
möge. Die Funktionen a, b und c seien von den unabhängigen Größen x und y abhängig
und hinreichend differenzierbar:
a = a(x, y)
b = b(x, y)
c = c(x, y)
(19)
(20)
(21)
Gesucht ist also der folgende Ausdruck.
∂a
∂b
(22)
c
Allgemein gilt für die analytischen Funktionen a, b und c:
da =
db =
dc =
∂a
∂x
∂b
∂x
∂c
∂x
dx +
y
dx +
y
dx +
y
∂a
∂y
∂b
∂y
∂c
∂y
dy
(23)
dy
(24)
dy
(25)
x
x
x
Ist c konstant, dann gilt:
dc = 0
(26)
∂c
∂x y
⇒ dy = − dx
∂c
∂y
(27)
x
Damit wird


∂c ∂a
∂a
∂x y  dx
da = 
−
∂x y
∂y x ∂c
∂y
x


∂c ∂b
∂b
∂x y  dx
db = 
−
∂x y
∂y x ∂c
∂y
(28)
(29)
x
(30)
Und schließlich
2 DIFFERENTIALE THERMODYNAMISCHER ZUSTANDSGRÖSSEN
∂a
∂c
∂a
∂c
−
∂x y ∂y x
∂y
∂x
∂a
x y
= ∂b
∂c
∂b
∂c
∂b c
−
∂x y ∂y x
∂y x ∂x y
6
(31)
Für die Menge Z = {v, p, T, u, s, h, f, g} werden nun formal gemäß Gleichung 31 die
Ableitungen aller Kombinationen gebildet:
{(a, b, c)} ∈ {Z × Z × Z}, a 6= b 6= c
(32)
Für die Unabhängigen gilt:
(x, y) = (v, T )
2.3
(33)
Formale Bestimmung der Differentiale
Die konkrete Bestimmung der Differentiale erfolgt sachgerecht unter Verwendung eines
Computer-Algebrasystems. Dies wird hier am Beispiel von Maxima (http://maxima.
sourceforge.net) demonstriert. Das folgende Listing gibt den Quelltext eines MaximaScriptes wieder, mit dem die Funktion md() definiert wird, welche die Bestimmung der
ersten Ableitungen ermöglicht.
args : [v, T] $
deps : [p, u, s, h, f, g] $
gradef(f,
gradef(f,
gradef(p,
gradef(p,
gradef(s,
gradef(s,
v,
T,
v,
T,
v,
T,
-p) $
-s) $
dpv) $ /* dpv = (dp/dv)_T */
dpT) $ /* dpT = (dp/dT)_v */
dpT) $
cv/T) $
u : f + T * s $
h : u + p * v $
g : h - T * s $
depends(deps, args) $
/* md(a, b, c) = (da/db)_c */
md(a, b, c) := block(
( diff(a, v) * diff(c, T) - diff(a, T) * diff(c, v) ) /
( diff(b, v) * diff(c, T) - diff(b, T) * diff(c, v) )
) $
Nun können alle gewünschten Beziehungen bestimmt werden. Soll beispielweise die Ableitung der spezischen inneren Energie nach dem Druck bei konstanter Temperatur ermittelt
werden, dann genügt im Maxima-Dialog die folgende Eingabe:
3 BEISPIELANWENDUNGEN
7
(%i1) md(u, p, T);
Die Ausgabe lautet dann:
(%o1)
dpT T - p
--------dpv
∂p
∂p
beziehungsweise
. Im VerDie Ausdrücke dpT und dpv stehen als Kürzel für ∂T
∂v
v
T
A
zeichnis 5 sind die Ausdrücke im L TEX-Format gesetzt. Es ergibt sich also für das obige
Beispiel:
∂p
−p
T
∂T v
∂u
=
∂p
∂p T
∂v T
(34)
Im Abschnitt 5 sind alle Differentiale systematisch aufgeführt. Das genannte Beispiel ist
unter 5.4.14 zu finden.
3
Beispielanwendungen
Eine bespielhafte Anwendung der berechneten Differentiale kann an einem einfachen Zylinder demonstriert werden, der in Abbildung 2 schematisch skizziert ist.
α, A
Q
m, p, T, c
v
F
Tu
V, x
Abbildung 2: Zylinder mit Gasfüllung
Der Zylinder sei mit der Masse m eines realen Gases gefüllt. Das Volumen des Gases kann
durch Bewegung des reibungsfreien Kolbens verändert werden. Das Gas kann außerdem
mit der Umgebung, in der die Temperatur Tu herrscht, die Wärme Q austauschen. Der
Wärmeübergang wird durch den Ansatz nach Fourier gebildet:
Q̇ = α A (Tu − T )
(35)
Hier wird angenommen, dass die wirksame Oberfläche A und der Wärmeübergangskoeffizient α bekannt und hinlänglich unveränderlich seien. Der entscheidende Wärmeübergangswiderstand liege auf der Außenseite der Wandung an. Bezogen auf die Gasmasse
wird Gleichung 35 in differentieller Schreibweise zu
3 BEISPIELANWENDUNGEN
8
dq =
αA
(Tu − T ) dt
m
Q
q=
m
(36)
(37)
Es erweist sich als nützlich, die Wärmeübergangseigenschaften des Zylinders in einer
Größe zusammenzufassen, die von der Dimension einer Zeit ist. Sie beschreibt das Verhältnis von Wärmespeichervermögen zu Wärmeübergangsleistung. Diese zeitliche Größe ist in
der Regel recht charakteristisch für ein gegebenes System, jedoch von diversen Einflüssen
abhängig. Sie wird daher nicht als Zeitkonstante bezeichnet, wie dies in vergleichbaren
pyhsikalischen Systemen gebräuchlich ist, sondern als Eigenzeit. Mit der isochoren spezischen Wärmekapazität cv wird die Eigenzeit τ zu:
τ=
m cv
αA
(38)
Im Beispiel sollen die zeitlichen Differentialgleichungen für den beschriebenen Zylinder
unter verschiedenen Randbedingen bestimmt werden. Vorgegeben sei etwa ein zeitlich
veränderliches Volumen. Auch kann ein zeitlich veränderlicher Druck aufgeprägt werden.
Gesucht ist jeweils die Differentialgleichung für die Temperatur. Diese Gleichungen sollen
in rein thermischen Größen formuliert werden, um einen Vergleich mit messtechnisch
erfassbaren Größen zu erlauben.
3.1
Volumenstromgeführter Zylinder
Das Prozessgesetz für den Zylinder mit Volumen V , der gefüllt ist mit der Gasmasse m,
lautet bei Beaufschlagung mit dem Volumenstrom V̇ , der als Funktion der Zeit t gegeben
sei:
V̇
= V̇ (t)
V̇
dt
dv =
m
(39)
(40)
Zunächst gilt die Energieerhaltung für geschlossene Systeme, was durch Gleichung 3 beschrieben ist. Diese soll nun in rein thermischen Zustandsgrößen formuliert werden, um
eine Differentialgleichung für die Temperaturänderung zu erhalten. Das Differential der
Inneren Energie u als Funktion zweier Veränderlicher (Temperatur T und Volumen v)
lautet allgemein:
du = cv dT +
∂u
∂v
dv
(41)
T
Unter Einsetzen der Eigenzeit τ aus 38 wird diese Beziehung nach der Temperatur aufgelöst, was nach zeitlichem Differenzieren den Zusammenhang für die Temperaturänderung liefert:
Tu − T
V̇
Ṫ =
−
τ
m cv
∂u
∂v
+p
T
(42)
3 BEISPIELANWENDUNGEN
9
Aus dem Verzeichnis der Differentiale findet man unter 5.4.1:
∂u
∂v
= −p + T
T
∂p
∂T
(43)
v
Die Differentialgleichung der Temperatur liegt nun in rein thermischen Größen vor:
Tu − T
QT
Ṫ =
−
τ
m cv
3.2
∂p
∂T
(44)
v
Zylinder unter veränderlichem Druck
Das Prozessgesetz für den Zylinderdruck p laute:
ṗ = ṗ(t)
(45)
Das Differential der Inneren Energie u als Funktion der Veränderlichen Temperatur T
und Druck p ist allgemein:
du =
∂u
∂T
dT +
p
∂u
∂p
dp
(46)
T
Das Differential des spezifischen Volumens v als Funktion zweier Veränderlicher (Temperatur T und Druck p) wird analog zu:
dv =
∂v
∂T
dT +
p
∂v
∂p
dp
(47)
T
Die Gleichungen 46 und 47 eingesetzt in die Energieerhaltung 3 ergeben:
∂u
∂T
dT +
p
∂u
∂p
dp = dq − p
T
∂v
∂T
dT +
p
∂v
∂p
!
dp
(48)
T
Nach Trennung der Variablen erhält man:
∂u
∂T
+p
p
∂v
∂T
!
p
∂v
∂u
dT = dq − p
+
dp
∂p T
∂p T
(49)
Die Beziehung für die zeitliche Temperaturänderung wird daraus zu:
cv
∂v
∂u
(Tu − T ) − p
+
ṗ
τ
∂p T
∂p T
Ṫ =
∂u
∂v
+p
∂T p
∂T p
Aus dem Verzeichnis der Differentiale liest man aus 5.1.1, 5.1.7, 5.4.14 und 5.4.8 ab:
(50)
3 BEISPIELANWENDUNGEN
∂v
∂T
10
=
p
∂v
=
∂p T
∂u
=
∂p T
∂u
=
∂T p
∂p
∂p
−
∂T v
∂v T
∂p
1
∂v T
∂p
∂p
−p + T
∂T v
∂v T
∂p
∂p
∂p
∂p
cv +
p−T
∂v T
∂T v
∂T v
∂v T
(51)
(52)
(53)
(54)
Damit wird die Differentialgleichung der Temperatur in rein thermischen Größen schließlich zu:
cv
Ṫ =
3.3
Tu − T
∂p
−T
ṗ
τ
∂T v
T
2
∂p
∂p
cv
−T
∂v T
∂T v
∂p
∂v
(55)
Speicher-Federsteifigkeit
Die Bestimmung der Federsteifigkeit eines hydropneumatischen Speichers erfolgt über die
allgemeine Definition der Federsteifigkeit c, welche die Kraftänderung dF ins Verhältnis
zur Wegänderung dx setzt:
c=
dF
.
dx
(56)
Für die Wegänderung gilt
dV = −A dx.
Entsprechend bestimmt sich die Kraftänderung als
dF = A dp.
Somit wird die Federsteifigkeit bei schnellen Bewegungen, also bei isentroper Betriebsweise
zu
dF
A2
c =
=−
dx
m
V
m= .
v
∂p
∂v
(57)
s
Bei sehr langsamen Bewegungen findet eine nahezu isotherme Zustandsänderung des Gases statt. In diesen technisch eher seltenen Fällen würde gelten:
dF
A2
c=
=−
dx
m
∂p
∂v
.
T
(58)
4 HAFTUNGSAUSSCHLUSS
11
Im Verzeichnis der Differentiale findet man 5.3.3:
∂p
∂v
=
−T
s
∂p
∂T
2
+
v
∂p
∂v
!
cv
/cv .
T
Für ideale Gase vereinfacht sich dieser Ausdruck mit dem Isentropenexponenten κ zu
∂p
∂v
p
= −κ .
v
s,id
Die Federsteifigkeit hängt also in erster Ordnung vom Isentropenexponenten ab.
3.4
Schallgeschwindigkeit
Nach der Wellentheorie gilt für die Schallgeschwindigkeit w
2
w =
∂p
∂%
.
(59)
s
Die Dichte % ist der Kehrwert des spezifischen Volumens, so dass für ihr Differential gilt:
∂% = −
1
∂v.
v2
(60)
Damit gilt für die Schallgeschwindigkeit
2
w = −v
2
∂p
∂v
.
(61)
s
Aus der Tabelle findet man unter 5.3.3:
∂p
∂v
=
−T
s
∂p
∂T
2
v
∂p
∂v
2
+
!
cv
/cv
(62)
T
Für die Schallgeschwindigkeit gilt dann also:
s
w=v
4
T
cv
∂p
∂T
−
v
∂p
∂v
.
(63)
T
Haftungsausschluss
Die vorstehend wiedergegebenen Beziehungen, Formeln und Beispiele sind nach bestem
Wissen erstellt. Für ihre Richtigkeit kann dennoch keine Gewähr übernommen werden.
Die Verantwortung für die Nutzung und deren Folgen liegt ausschließlich beim Anwender.
5 VERZEICHNIS DER DIFFERENTIALE
5
5.1
Verzeichnis der Differentiale
Differentiale des spezifischen Volumens v
∂p
∂T v
∂p
∂v T
1.1
∂v
∂T p
1.2
∂v
∂T u
= −cv
1.3
∂p
−p + T ∂T
∂p
∂v
=
−c
T
v
∂T s
∂T v
1.4
∂v
∂T h
= −v
1.5
∂v
∂T f
= −s /p
1.6
∂v
∂T g
=
1.7
1.8
1.9
1.11
1.12
∂v
∂p
=−
1.10
∂p
cv +v ∂T
v
∂p
∂p
+T ∂T
∂v T
(
∂v
∂p
s
∂v
∂p
∂v
∂p
T
∂p
∂v T
= cv
.
cv +
−T
∂p 2
∂T v
∂p
∂v T
+
−p
∂T
v
∂p
s( ∂v
)
T
∂v
∂u h
=1
=
−p(cv +v (
1.17
∂v
∂u f
=s
1.18
∂v
∂u g
=
1.19
∂v
∂s T
=1
1.20
∂v
∂s p
=T
1.21
∂v
∂s u
= T /p
∂p
∂v T
+s
v
1.16
T
∂p
1.15
1.14
∂u T
cv
∂p
∂T v
∂p
s−v ( ∂T
)
g
∂v
p−T
v
2
v
=
∂p
∂p
−T ( ∂T
) +( ∂v
) cv
f
∂v
∂p
∂p
∂T v
∂p
cv +v ( ∂T
)
=s
)v
∂p
∂v T
h
(
v
∂p
v ( ∂v
)
= cv
=
v
∂p
s−v ( ∂T
)
=1
u
)
( )
T
∂v
∂p
∂p
−p + T ∂T
v
∂p
∂p
∂v
= ∂T
− ∂v
c +
∂u p
v
T v
∂v
= −1 /p
∂u s
1.13
12
∂p
∂T
∂p
∂T v
−p + T
∂p
cv +v ( ∂T
)v
∂p 2
∂p
+v
T
))
( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
v
−p (s + cv ) + T s
T
∂p
∂T v
∂p
−s+v ( ∂T
)
v
2
∂p
p(s−v ( ∂T
)
∂p
∂p
∂p
)+vT ( ∂T
)v −(v( ∂v
)T cv +T s( ∂T
)v )
v
∂p
∂T v
.
∂p
∂T v
T
∂p 2
∂T v
−
∂p
∂v T
cv
∂p
∂T v
Differentiale des spezifischen Volumens
1.22
∂v
∂s h
∂p
cv +v ( ∂T
)v ∂p 2
∂p
v T ( ∂T ) −( ∂v
) cv
=T
v
1.23
∂v
∂s f
= Ts
1.24
∂v
∂s g
=T
T
v
2
∂p
∂p
∂p
vT ( ∂T
) −(v( ∂v
) cv +T s( ∂T
)
T
∂p
∂v T
∂v
∂h T
=1
1.26
∂v
∂h p
=
1.27
∂v
∂h u
= cv
.
1.28
∂v
∂h s
= cv
. v −T
1.29
∂v
∂h f
=s
1.30
∂v
∂h g
=
v
.
∂p
∂T v
1.32
1.33
1.34
1.35
1.36
∂v
∂f
∂v
∂f
∂v
∂f
∂v
∂f
∂v
∂f
∂v
∂f
+
∂p
∂v T
∂p
∂T v
cv
∂p 2
∂T v
+
∂p
∂v T
cv
∂p
∂v T
+s v
+T
∂p
∂T v
∂p
−s+v ( ∂T
)
v
∂p
∂p
∂p
vT ( ∂T
) −(v( ∂v
) (s+cv )+T s( ∂T
)
T
v
)
= −1 /p
∂p
∂T v
=
u
s
1.38
∂v
∂g
1.39
1.40
∂v
∂g
∂v
∂g
∂v
∂g
−pcv + T s
∂p
−p(cv +v ( ∂T
)
v
∂p
−s+v ( ∂T
)
v
∂p
∂p
−pv ( ∂T
) +s(p+v( ∂v
)
v
p
T
)
∂p
∂v T
∂p
∂T v
=
s
∂p
∂v T
∂p
∂v T
= cv
cv +
= cv
. v −T
∂p 2
∂T v
v
∂p
∂T v
+
p−T
∂p
∂v T
∂p
∂T v
v
−pv
T
∂p
∂T v
+s p+v
cv + T s
∂p
cv +v ( ∂T
)v 2
∂p
∂p
∂p
v −T ( ∂T ) +( ∂v ) (s+cv ) +T s( ∂T
)
=s
f
∂p
∂p
)+s(v( ∂v
)T +T ( ∂T
)v )
v
v
=
∂p
∂T v
∂p
cv +v ( ∂T
)
T
∂p
∂T v
=1
h
∂p
∂v T
= cv
g
+s
−p (s + cv ) + T s
=
s
=
u
∂p
∂T v
−p
= cv
h
∂v
∂g
∂v
∂g
+ v −T
∂p 2
∂T v
−p cv + v
cv
2
p
1.42
T
1.37
1.41
∂p
∂v T
−
∂p
∂T v
p cv + v
)
∂p 2
∂T v
T
v
∂p
∂T v
+T
v
1.31
∂p
−s+v ( ∂T
)
1.25
∂p
∂T v
−pcv + T s
v
13
v
∂p
∂v T
+ s −p + T
∂p
∂T v
∂p
∂T v
Differentiale der Temperatur
5.2
Differentiale der Temperatur T
∂p
∂v T
2.1
∂T
∂v p
=−
2.2
∂T
∂v u
= p−T
2.3
∂T
∂v s
= −T
2.4
∂T
∂v h
=−
2.5
∂T
∂v f
= −p /s
2.6
∂T
∂v g
= −v
∂T
∂p
=1
∂T
∂p
∂T
∂p
∂T
∂p
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
=
/cv
T
v
∂p
cv +v ( ∂T
)
∂p
∂v T
=
∂p
∂T v
∂p
−p+T ( ∂T
)
∂p
∂p
−( ∂v
) cv +( ∂T
)
.
∂p
∂T v
=T
∂p
∂T v
−s + v
T
h
∂T
∂p
/cv
∂p
∂p
v ( ∂v
) +T ( ∂T
)
s
v
u
∂p
∂T v
∂p
∂T v
v
∂T
∂p
∂p
∂T v
v
∂p
(−p+T ( ∂T
)v )
v
∂p 2
∂T v
T
∂p
∂v T
−
cv
∂p
∂p
v ( ∂v
) +T ( ∂T
)
T
2
v
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
=p
p
f
T
∂p
∂T v
∂p
∂v T
−s
= v /s
g
∂T
∂u v
2.14
= 1 /cv
∂p
∂T
= ∂v
∂u p
T
∂p
∂v T
2.15
∂T
∂u s
=T
∂p
∂T v
/(pcv )
2.16
∂T
∂u h
=
2.17
∂T
∂u f
=p
2.18
∂T
∂u g
=v
2.19
∂T
∂s v
= T /cv
2.20
∂T
∂s p
=T
2.21
∂T
∂s u
=T
2.22
∂T
∂s h
=T
2.23
∂T
2.13
14
cv +
∂p
∂T v
v
∂p
∂v T
v
.
∂p
∂v T
∂p
∂v T
−T
∂T v
cv +
∂p 2
∂T v
+
∂p
p−T ( ∂T
)
v
pcv
∂p
∂p
v ( ∂v
)T +T ( ∂T
)v 2
∂p
∂p
v −T ( ∂T ) +( ∂v ) cv
= pT
pcv − T s
T
∂p
p (s + cv ) − T s
v
∂s f
∂p
∂T v
∂p
∂p
v ( ∂v
)T +T ( ∂T
)v
∂p
∂p 2
∂p
p(cv +v ( ∂T ) )+v −T ( ∂T ) +( ∂v
) cv
v
p−T
T
∂p
∂T v
∂p
∂T v
∂p
∂v T
p−T
cv
∂p
∂T v
+ s −p + T
∂p
∂T v
Differentiale der Temperatur
15
. v −T
∂T
∂s g
2.25
2.26
∂p
cv + v ∂T
.
∂p
∂T
= ∂v T
−T
∂h p
2.27
∂T
∂h u
2.28
. ∂p
∂T
= T ∂T v
v T
∂h s
2.29
∂T
∂h f
= vT
∂T
∂h v
=1
=
∂p 2
∂T v
∂p
∂v T
2.24
2.30
2.31
2.32
2.33
2.34
2.35
2.36
2.37
2.38
2.39
∂T
∂f
∂T
∂f
∂T
∂f
∂T
∂f
∂T
∂f
∂T
∂f
∂T
∂g
∂T
∂g
∂T
∂g
cv + T s
∂p 2
∂T v
∂p
∂v T
+
cv
∂p
−p+T ( ∂T
)v
∂p
∂p
∂p 2
−p(cv +v ( ∂T
) )+v T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
∂p 2
∂T v
T
∂p
∂v T
−
=p
cv
∂p
∂v T
∂p
∂v T
+T
∂p
∂T v
= −1 /s
v
∂p
∂v T
=
p
=
u
∂p
∂T v
p
∂p
∂v T
−s
∂p
−p+T ( ∂T
)
v
∂p
p(s+cv )−T s( ∂T
)
v
∂p
∂T v
=T
s
=
h
∂p
∂T v
pcv − T s
∂p
∂p
v ( ∂v
) +T ( ∂T
)
T
p(cv +v (
=v
g
=1
∂p
∂T
∂p
∂v T
v
∂p
∂p
)v )−s(v( ∂v
)T +T ( ∂T
)v )
∂p
∂T v
pv
−s + v
v
−s p+v
∂p
∂v T
∂p
∂T v
= −1 /s
p
=
∂p
−p+T ( ∂T
)
u
v
2
∂p
p(s−v ( ∂T
)
s
2.41
2.42
(s + cv ) + T s
∂p
∂p
∂p
)+vT ( ∂T
)v −(v( ∂v
)T cv +T s( ∂T
)v )
v
.
∂p
∂p 2
∂p
2.40 ∂T
=
T
vT
−
v
c + Ts
∂g
∂T v
∂T v
∂v T v
∂p
∂T v
v
∂p
p cv + v ∂T
−s v
v
. ∂p
∂p 2
∂T
=
v
v
−T
+
∂h g
∂v T
∂T v
v
∂p
∂v T
+
∂T
∂g
∂T
∂g
=
h
∂p
∂p
v ( ∂v
) +T ( ∂T
)
v
∂p
∂p
∂p
vT ( ∂T
) −(v( ∂v
) (s+cv )+T s( ∂T
)
v
=p
f
T
2
pv
T
∂p
∂T v
−s p+v
v
)
∂p
∂v T
∂p
∂T v
∂p
∂T v
Differentiale des Drucks
5.3
16
Differentiale des Drucks p
3.1
∂p
∂v T
=
3.2
∂p
∂v u
=
∂p
∂v T
3.3
∂p
p − T ∂T
∂p
∂p 2
∂p
= −T ∂T v + ∂v T cv /cv
∂v s
3.4
∂p
∂v h
=
3.5
∂p
∂v f
= −p
3.6
∂p
∂v g
= −s
3.7
∂p
∂T v
=
3.8
∂p
∂T u
=
3.9
∂p
∂T s
=
3.10
∂p
∂T h
=
3.11
∂p
∂T f
= p
3.12
∂p
∂T g
= s /v
3.13
∂p
∂u v
=
∂p
∂v T
∂p
∂T v
cv +
v
/cv
2
∂p
∂p
−T ( ∂T
) +( ∂v
) cv
v
T
∂p
cv +v ( ∂T
)
∂p
∂T v
v
∂p
∂v T
+s
∂p
∂v T
−s + v
/s
∂p
∂T v
∂p
∂T v
∂p
∂p
−( ∂v
) cv +( ∂T
)
∂p
(−p+T ( ∂T
)v )
−p+T (
)v
T
v
∂p
∂T
2
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
T
∂p
T ( ∂T
)
v
2
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
T
∂p
∂p
v ( ∂v
) +T ( ∂T
)
T
v
∂p
∂T v
∂p
∂v T
−s
/p
∂p
∂T v
3.14
/cv
∂p
∂p
=
−p + T
∂u T
∂v T
3.15
∂p
∂u s
3.16
∂p
∂u h
∂p
∂T v
2
=
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
T
pcv
2
=
∂p
∂p
−T ( ∂T
)v+( ∂v
)T cv
∂p
∂p 2
∂p
−p(cv +v ( ∂T ) )+v T ( ∂T ) −( ∂v
) cv
v
3.17
∂p
∂u f
=
∂p
∂p
p( ∂T
) −s( ∂v
)
v
v
∂p
∂u g
= −s
3.19
∂p
∂s v
=T
3.20
∂p
∂s T
=
3.21
∂p
∂s u
=T
3.22
∂p
∂s h
T
∂p
p(s+cv )−T s( ∂T
)
3.18
.
∂p
∂v T
∂p
∂T v
∂p
∂v T
p s−v
=T
∂p
∂T v
/cv
∂p
∂T v
∂p
∂p
∂p
)T cv +( ∂T
)v (p−T ( ∂T
)v )
( ∂v
pcv
2
T
v
∂p
∂p
−T ( ∂T
)v +( ∂v
)T cv
∂p 2
∂p
v T ( ∂T ) −( ∂v ) cv
v
T
+ vT
∂p 2
∂T v
− v
∂p
∂v T
cv + T s
∂p
∂T v
Differentiale des Drucks
17
∂p
∂p
p( ∂T
) −s( ∂v
)
∂p
∂s f
=T
3.24
∂p
∂s g
= −T s
3.25
∂p
∂h v
=
3.26
∂p
cv + v ∂T
v
∂p
∂p
∂p
∂p
= ∂v
v ∂v
+ T ∂T
∂h T
T
T
v
3.27
∂p
∂h u
=
3.28
∂p
∂h s
= 1 /v
3.29
∂p
∂h f
=
3.23
3.30
3.31
3.32
3.33
3.34
3.35
∂p
∂f
∂p
∂f
− v
∂p
∂v T
cv + T s
∂p
∂T v
∂p
∂p
∂p
( ∂v
)T cv +( ∂T
) (p−T ( ∂T
)v ) v
∂p 2
∂p
∂p
p(cv +v ( ∂T ) )+v −T ( ∂T ) +( ∂v
)T cv
v
v
∂p
∂p
p( ∂T
) −s( ∂v
)
v
∂p
∂f
∂p
∂f
T
∂p
∂T
=−
∂p
∂T v
/s
=−
∂p
∂v T
/p
=
u
∂p
∂f
3.38
∂p
∂g
T
∂p
∂p
−T ( ∂T
) +( ∂v
) cv
v
−p(cv +v (
=
v
∂p
∂T
∂p
∂v T
∂p
∂T v
T
∂p
∂p
)v )+s(v( ∂v
)T +T ( ∂T
)v )
g
∂p
∂T v
−pv
+s p+v
∂p
∂v T
∂p
∂T v
−s + v
= 1 /v
T
=
∂p
∂p
∂p
( ∂v
)T cv +( ∂T
)v (p−T ( ∂T
)v )
∂p
∂p
∂p
∂p
v (( ∂v
)T cv +( ∂T
)v (p−T ( ∂T
)v ))+s(−p+T ( ∂T
)v )
=
∂p
∂p
−T ( ∂T
)v +( ∂v
) cv
T
2
∂p
∂p
∂p
v −T ( ∂T ) +( ∂v ) cv +T s( ∂T
)
u
2
s
v
T
v
2
∂p
∂g
v
∂p
−pcv +T s( ∂T
)
= −s
∂p
∂g
∂p
∂p
−T ( ∂T
) +( ∂v
) cv
2
=
∂p
∂g
∂p
∂p
∂p
)T cv +( ∂T
)v (p−T ( ∂T
)v )
( ∂v
∂p
−p(s+cv )+T s( ∂T )
v
v
h
∂p
∂g
2
=
s
∂p
∂f
=
h
∂p
∂g
p(cv +v (
T
3.37
3.42
∂p 2
∂T v
vT
∂p
∂T v
v
3.41
.
∂p
∂v T
∂p
∂p
)v )−s(v( ∂v
)T +T ( ∂T
)v )
.
∂p
∂p 2
∂p
∂p
=
−s
vT ∂T
−
v
(s + cv ) + T s
∂h g
∂v T
∂v
v
T
3.36
3.40
T
v
3.39
v
∂p
pcv −T s( ∂T
)
v
=
f
∂p
∂p
−T ( ∂T
)v +( ∂v
)Tcv
∂p
∂p
∂p 2
v −T ( ∂T ) +( ∂v ) (s+cv ) +T s( ∂T
)
T
∂p
∂p
p( ∂T
) −s( ∂v
)
v
T
∂p
∂p
pv ( ∂T
) −s(p+v( ∂v
)
v
T
)
v
∂p
∂T v
Differentiale der spezifischen inneren Energie
5.4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Differentiale der spezifischen inneren Energie u
∂p
= −p + T ∂T
v
∂p
∂u
= − ∂v
c +
∂v p
T v
∂u
= −p
∂v s
∂u
∂v T
∂u
∂T v
= cv
4.8
∂u
∂T p
=
4.9
∂u
∂T s
= pcv
4.10
∂u
∂T h
v
2
∂p
∂v T
∂p
∂T v
cv +
∂p
∂T v
p−T
4.14
4.15
2
∂p
∂p
v (( ∂v
) cv +( ∂T
)
=
∂u
∂p
= cv
∂u
∂p
∂u
∂p
∂u
∂p
∂u
∂p
∂u
∂p
v
T
v
= −pcv
s
=
.
∂p 2
∂T v
−T
∂p
p(s+cv )−T s( ∂T
)
v
∂p
∂v T
+
2
cv
v
T
∂p
∂p
v (( ∂v
) cv +( ∂T
)
T
v
g
4.19
∂s v
=T
4.20
∂u
∂s T
= −p + T
4.21
∂u
∂s p
=T
4.22
∂u
∂s h
∂p
∂v T
∂p
∂p
p( ∂T
) −s( ∂v
)
∂u
∂p
∂p
)+v T ( ∂T
)v −( ∂v
)T cv
v
2
∂p
∂p
−T ( ∂T ) +( ∂v ) cv
v
T
f
=
∂p
∂T v
∂p
−p(cv +v ( ∂T
)
h
=
∂p
∂p
(p−T ( ∂T
)v ))+s(−p+T ( ∂T
)v )
∂p
v ( ∂v )
T
T
∂p
∂T v
= −p + T
v
∂u
∂T g
∂p
∂v T
∂p
∂T v
T
∂p
∂p
)+v −T ( ∂T
)v +( ∂v
)T cv
=
∂p
∂p
v ( ∂v ) +T ( ∂T )
T
v
∂p
∂u
= p (s + cv ) − T s ∂T
/p
∂T f
v
∂p
∂T v
∂p
∂p
∂p
)+vT ( ∂T
)v −(v( ∂v
)T cv +T s( ∂T
)v )
∂p
−s+v ( ∂T )
v
∂p
p(cv +v ( ∂T
)
4.13
4.18
2
∂p
p(s−v ( ∂T
)
4.7
4.17
∂p
∂T v
v
=
4.16
−p + T
∂p
∂p
)+v T ( ∂T
)v −( ∂v
)T cv
=
∂p
cv +v ( ∂T )
v
∂p
∂u
= −p (s + cv ) + T s ∂T
/s
∂v f
v
4.6
4.12
∂p
∂T v
∂p
−p(cv +v ( ∂T
)
∂u
∂v h
∂u
∂v g
4.11
18
=T
∂p
∂p
(p−T ( ∂T
)v ))+s(−p+T ( ∂T
)v )
∂p
s( ∂v )
T
∂p
∂T v
∂p
∂T v
∂p
∂p
−( ∂v
) cv +( ∂T
)
∂p
(−p+T ( ∂T
)v )
∂p
∂p
T ( ∂T ) −( ∂v ) cv
v
T
T
2
v
∂p
∂p 2
∂p
−p(cv +v ( ∂T
)v )+v T ( ∂T
)v −( ∂v
)T cv
∂p 2
∂p
v T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
T
Differentiale der spezifischen inneren Energie
4.23
4.24
4.25
4.26
∂u
∂s f
=T
∂p
p(s+cv )−T s( ∂T
)
19
v
∂p
pcv −T s( ∂T
)
v
∂p
p(s−v ( ∂T
)
∂p
∂p
∂p
)−v( ∂v
)T cv +T ( ∂T
)v (−s+v( ∂T
)v )
2
∂p
∂p
vT (
)v −(v( ∂v )T cv +T s( ∂T )v )
∂p
∂u
= cv cv + v ∂T
∂h v
v
∂u
∂s g
=T
∂u
∂h T
=
v
∂p
∂T
∂p
−p+T ( ∂T
)
v
∂p
∂p
v ( ∂v
) +T ( ∂T
)
T
∂u
∂h p
=
4.28
( )(
( )v )
( ) ( )
. ∂p 2
∂p
∂u
=
−pc
v
−T
+
c
v
∂h s
∂T v
∂v T v
4.29
∂u
∂h f
=
4.30
∂u
∂h g
4.27
4.31
4.32
4.33
4.34
4.35
4.36
4.37
4.38
∂u
∂f
∂u
∂f
∂u
∂f
∂u
∂f
∂u
∂f
∂u
∂f
∂u
∂g
∂u
∂g
=
v
−(
v
∂p
∂p
∂p
c + ∂T
−p+T ∂T
∂v T v
v
∂p 2
∂p
T ∂T
− ∂v
cv
v
T
)
∂p
p(s+cv )−T s( ∂T
)
v
∂p
p(cv +v ( ∂T
)
∂p
∂p
)−s(v( ∂v
)T +T ( ∂T
)v )
v
vT (
∂p
∂p
∂p
)+vT ( ∂T
)v −(v( ∂v
)T cv +T s( ∂T
)v )
∂p
∂p
v
(s+c
)+T
s
) ( ( ∂v )T
v
( ∂T )v )
v
∂p 2
−
∂T v
= −cv /s
∂p
∂T v
= p−T
T
=
T
−p(
= −pcv
∂p
(−p+T ( ∂T
)v )
∂p
)v +s( ∂v )T
v
∂p
∂T
2
∂p
∂p
)+v T ( ∂T
)v −( ∂v
) T cv
= −p c +v ∂p v +s v ∂p
∂p
( v ( ∂T )v ) ( ( ∂v )T +T ( ∂T )v )
=
∂p
p(s−v ( ∂T
)
g
v
∂p
∂T v
−pcv + T s
∂p
−p(cv +v ( ∂T
)
h
/p
∂p
∂p
−( ∂v
) cv +( ∂T
)
p
s
2
∂p
p(s−v ( ∂T
)
= cv
=
T
2
∂p
∂p
∂p
)+vT ( ∂T
)v −(v( ∂v
)T cv +T s( ∂T
)v )
∂p
∂p
−pv ( ∂T
)v +s(p+v( ∂v
)T )
v
−s + v
∂p
−p+T ( ∂T
)
∂p
v ( ∂v
)
∂p
∂T v
v
T
∂p
(−p+T ( ∂T
)v )
s( )
p
. ∂p 2
∂p
∂u
4.40 ∂g = −pcv
v −T ∂T v + ∂v T cv + T s
4.39
∂u
∂g
=
∂p
∂p
−( ∂v
) cv +( ∂T
)
T
v
∂p
∂v T
s
4.41
4.42
∂u
∂g
∂u
∂g
=
h
v
=
f
∂p
∂p
∂p 2
−p(cv +v ( ∂T
)v )+v T ( ∂T
)v −( ∂v
)T cv
∂p 2
∂p
∂p
v −T ( ∂T
) +( ∂v
) (s+cv ) +T s( ∂T
)
T
v
∂p
p(s+cv )−T s( ∂T
)
v
∂p
∂p
pv ( ∂T
) −s(p+v( ∂v
)
v
T
)
∂p
∂T v
Differentiale der spezifischen Entropie
5.5
20
Differentiale der spezifischen Entropie s
∂p
∂T v
5.1
∂s
∂v T
=
5.2
∂s
∂v p
=
5.3
∂s
∂v u
= p /T
5.4
∂s
∂v h
=v
5.5
∂s
∂v f
=
5.6
∂s
∂v g
=
5.7
∂s
∂T v
= cv /T
5.8
∂s
∂T p
=
5.9
∂s
∂T u
5.10
∂s
∂T h
= vT
5.11
∂s
∂T f
=
5.12
∂s
2
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
T
∂p
T ( ∂T
)
v
2
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
T
∂p
T (cv +v ( ∂T
)
v
)
∂p
−pcv +T s( ∂T
)
v
Ts
2
∂p
∂p
∂p
vT ( ∂T
) −(v( ∂v
) cv +T s( ∂T
)
v
T
∂p
∂T
T (−s+v (
v
)
)v )
2
∂p
∂p
−T ( ∂T
) +( ∂v
) cv
v
T
∂p
T ( ∂v
)
T
= −pcv
∂p
∂T v
T −p + T
2
∂T g
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
∂s
∂p
v
∂s
∂p
∂p
∂p
−T ( ∂T
) +( ∂v
) cv
v
pT
∂p 2
∂p
∂p
v −T ( ∂T
) +( ∂v
) cv +T s( ∂T
)
v
=
= cv
∂p
∂T v
T
∂p
∂T v
=v
∂p
∂v T
∂p
∂v T
T
∂p
∂T v
cv +
p−T
=
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
)
T
∂p 2
∂p
∂p
v −T ( ∂T
) +( ∂v
) cv +T s( ∂T
)
T
v
∂p
T s( ∂v
)
5.19
∂s
∂u v
= 1 /T
5.20
∂s
∂u T
=
5.21
∂s
∂u p
=
v
∂p
∂p
T (p( ∂T
) −s( ∂v
)
v
=
T
∂p
pcv −T s( ∂T
)
g
T
2
∂p
∂p
T −T ( ∂T
) +( ∂v
) cv
v
f
∂s
∂p
= pcv
h
∂s
∂p
v
T
2
∂s
∂p
T
∂p
vT ( ∂v
)
=
u
T
∂p
pcv −T s( ∂T
)
T
∂s
∂p
v
∂p
∂p
(v( ∂v
)T +T ( ∂T
)v )
∂p
∂T v
v
T
−p + T
∂p
∂T v
2
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
T
∂p
∂p
T (−( ∂v
) cv +( ∂T
)
T
v
∂p
(−p+T ( ∂T
)v ))
∂p
∂T v
Differentiale der spezifischen Entropie
21
2
5.22
∂s
∂u h
=
∂p
∂p
T ( ∂T
)v −( ∂v
)T cv
v
∂p
∂p 2
∂p
T −p(cv +v ( ∂T ) )+v T ( ∂T ) −( ∂v
) cv
v
=
5.24
∂s
∂u g
=
5.25
∂s
∂h v
= cv
T
∂p
pcv −T s( ∂T
)
∂s
∂u f
5.23
v
v
∂p
T (p(s+cv )−T s( ∂T
)
v
)
2
∂p
∂p
∂p
vT ( ∂T
) −(v( ∂v
) cv +T s( ∂T
)
v
T p(s−v (
∂p
∂T
)v )+vT (
2
∂p
∂T
T
)
v
∂p
∂p
c
+T
s ∂T
v
∂v T
)v −(v( )
∂p
(
5.28
T cv + v ∂T v
∂p
∂p
∂p
∂s
=
v
+
T
∂h T
∂T v
∂v T
∂T v
∂s
= 1 /T
∂h p
. ∂p
∂s
=
pc
T
p
c
+
v
+
v
−T
v
v
∂h u
∂T v
5.29
∂s
∂h f
=
5.30
∂s
∂h g
=
5.26
5.27
5.31
5.32
5.33
5.34
5.35
∂s
∂f
∂s
∂f
∂s
∂f
∂s
∂f
∂s
∂f
∂s
∂f
v
5.38
5.39
5.41
5.42
∂s
∂g
∂s
∂g
∂s
∂g
∂s
∂g
cv
∂p
∂p
)v )−s(v( ∂v
)T +T ( ∂T
)v ))
∂p
∂T
2
v
) ( )v )
T
v
∂p
∂p
(s+c
)+T
s
v
∂v T
∂T
)v −(v( )
= −cv /(T s)
∂p
∂T v
/p
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
T
∂p
∂p
T (−p( ∂T
) +s( ∂v
)
v
= pcv
T
)
∂p
∂T v
T −p (s + cv ) + T s
2
= vT
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
T
∂p
∂p
∂p
(−p(cv +v( ∂T
)v )+s(v( ∂v
)T +T ( ∂T
)v ))
2
=
g
v
∂p
∂p
∂p
vT ( ∂T
) −(v( ∂v
) cv +T s( ∂T
)
v
T
T (−pv (
∂p
∂T
v
)
∂p
∂v T
)v +s(p+v( ) ))
∂p
= cv T −s + v ∂T
v
∂p
∂T v
=
T
v
∂p
∂v T
2
=
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
u
T
∂p
T s( ∂v
)
p
T
= pcv
∂p
∂v T
T v
cv +
∂p
∂T v
p−T
2
∂s
∂g
∂p
∂v T
2
=v
h
∂s
∂g
T vT (
=
h
5.37
5.40
=−
u
+
∂p
∂p
∂p
vT ( ∂T
) −(v( ∂v
) cv +T s( ∂T
)
p
∂p 2
∂T v
v
T (p(cv +v (
T
5.36
∂p
pcv −T s( ∂T
)
∂p
∂T
2
)v )
v
=
f
∂p
∂p
T ( ∂T
)v −( ∂v
)T cv
2
∂p
∂p
∂p
T v −T ( ∂T ) +( ∂v ) (s+cv ) +T s( ∂T
)
T
∂p
pcv −T s( ∂T
)
v
T (pv (
∂p
∂T
∂p
)v −s(p+v( ∂v
)T ))
v
∂p
∂T v
+ s −p + T
∂p
∂T v
Differentiale der spezifischen Enthalpie
5.6
Differentiale der spezifischen Enthalpie h
6.2
∂p
= v ∂v
+T
T
∂p 2
∂h
=
T ∂T
−
∂v p
v
6.3
∂h
∂v u
= p cv + v
6.4
∂h
∂v s
= v −T
6.5
∂h
∂v f
= −p cv + v
6.6
∂h
∂v g
=
6.7
∂h
6.1
22
∂p
∂T v
∂h
∂v T
∂p
∂v T
cv
∂p
∂v T
+
∂p
∂T v
+ v −T
∂p
∂T v
∂p 2
∂T v
∂p
∂T v
∂p 2
∂T v
∂p
∂v T
+s v
∂p
∂p
∂p
vT ( ∂T
) −(v( ∂v
) (s+cv )+T s( ∂T
)
v
∂p
∂v T
cv
T
v
+T
∂p
∂T v
/s
)
∂p
−s+v ( ∂T
)
v
∂p
6.8
= cv + v ∂T v
∂p 2
∂h
=
−T
+
∂T p
∂T v
6.9
∂h
∂T u
6.10
∂h
∂T s
=v
6.11
∂h
∂T f
= p cv + v
6.12
∂h
∂T g
∂T v
=
∂p
∂v T
cv
∂p
∂v T
2
∂p
−p(cv +v ( ∂T
)
∂p
∂p
)+v T ( ∂T
)v −( ∂v
)T cv
v
∂p
−p+T ( ∂T )
v
2
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
∂h
∂p
∂h
∂p
∂h
∂p
∂h
∂p
∂h
∂p
∂h
∂p
=
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
T
∂p
T ( ∂T
)
v
−s v
∂p
∂v T
T
∂p
v ( ∂v
)
= v
T
=
v
T
∂p
∂T v
∂p
∂T v
∂p
∂v T
∂p
∂T v
+T
∂p
∂v T
2
∂p
p(cv +v ( ∂T
)
∂p
∂p
)+v −T ( ∂T
)v +( ∂v
)T cv
∂p
∂p
∂p
( ∂v )T cv +( ∂T )v (p−T ( ∂T )v )
v
u
=v
s
=
∂p
p(cv +v ( ∂T
)
∂p
∂p
)−s(v( ∂v
)T +T ( ∂T
)v )
∂p
p(
)v −s( ∂v )T
v
∂p
∂T
f
=
∂p 2
∂p
∂p
v −T ( ∂T
) +( ∂v
) (s+cv ) +T s( ∂T
)
v
T
∂p
s( ∂v
)
g
T
6.19
∂h
∂u v
= cv + v
6.20
∂h
∂u T
=
∂h
∂u p
=
∂p
∂T v
/cv
∂p
∂p
v ( ∂v
) +T ( ∂T
)
T
v
∂p
−p+T ( ∂T
)
v
2
6.21
+T
∂p 2
∂p
∂p
v −T ( ∂T
) +( ∂v
) (s+cv ) +T s( ∂T
)
= cv + v
v
v
∂p
∂T v
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
T
∂p
∂p
−( ∂v
) cv +( ∂T
)
T
v
/cv
cv /cv
2
+
∂p
(−p+T ( ∂T
)v )
v
∂p
∂T v
/p
Differentiale der spezifischen Enthalpie
23
2
6.22
∂h
∂u s
=v
6.23
∂h
∂u f
=
6.24
∂h
∂u g
=
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
T
pcv
∂p
p(cv +v ( ∂T
)
∂p
∂p
)−s(v( ∂v
)T +T ( ∂T
)v )
∂p
p(s+cv )−T s( ∂T )
v
v
2
∂p
∂p
∂p
vT ( ∂T
) −(v( ∂v
) (s+cv )+T s( ∂T
)
v
T
2
∂p
∂T
6.27
6.28
∂h
∂s u
=T
6.29
∂h
∂s f
=T
6.30
∂h
∂s g
=T
6.26
6.31
6.32
6.33
6.34
6.35
6.36
6.37
6.38
6.39
6.40
6.41
6.42
∂h
∂f
∂h
∂f
∂h
∂f
v
∂h
∂f
∂p
∂p
)−s(v( ∂v
)T +T ( ∂T
)v )
∂p
pcv −T s( ∂T )
v
∂p
∂p
−v ( ∂v
) (s+cv )+T ( ∂T
)
vT (
T
∂p
∂T
=
∂h
∂g
∂h
∂g
∂h
∂g
( )v )
( ))
)
∂p
∂T v
(
/s
∂p
∂T v
+T
/p
v
T
∂p
∂p
−p( ∂T
) +s( ∂v
)
v
=
T
∂p
p(cv +v ( ∂T
)
v
)+v
2
∂p
∂p
−T ( ∂T
) +( ∂v
) cv
v
∂p
−p(s+cv )+T s( ∂T
)
T
v
2
=v
∂p
∂p
−T ( ∂T
) +( ∂v
) cv
v
T
∂p
−pcv +T s( ∂T
)
v
2
=
∂p
∂p
∂p
vT ( ∂T
) −(v( ∂v
) (s+cv )+T s( ∂T
)
v
T
∂p
∂p
−pv ( ∂T
) +s(p+v( ∂v
)
v
=
T
v
)
)
∂p
cv +v ( ∂T
)
v
∂p
−s+v ( ∂T
)
v
=
∂p
∂p
v ( ∂v
) +T ( ∂T
)
T
∂p
v ( ∂v
)
T
−(v (
2
v
∂h
∂g
)v
∂p
−s+v ∂T
v
∂p
∂p
c +T s ∂T
∂v T v
v
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
g
∂h
∂g
2
∂p
∂v T
=− v
T
v
s
v
∂p
p(cv +v ( ∂T
)
u
∂h
∂g
2
∂p
∂p
−T ( ∂T
) +( ∂v
) cv
pcv
= − cv + v
p
∂h
∂f
)+v
v
T
∂h
∂f
∂p
p(cv +v ( ∂T
)
)
( )v )
v
∂p
∂p
c
+T
s
v
∂v T
∂T
)v )+vT ( )v −(v( )
∂p
∂h
= T cv + v ∂T
/cv
∂s v
v
∂p ∂p
∂p
∂h
= v ∂v
+ T ∂T
∂s T
∂T v
T
v
∂h
=T
∂s p
6.25
p(s−v (
∂p
∂T
v
T
2
=
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
T
∂p
s( ∂v
)
p
T
∂p
p(cv +v ( ∂T
)
2
∂p
∂p
)+v −T ( ∂T
)v +( ∂v
)T cv
= v ∂p c + ∂p p−T ∂p
∂p
(( ∂v )T v ( ∂T )v ( ( ∂T )v ))+s(−p+T ( ∂T
)v )
v
u
2
=
s
v
=
f
∂p
∂p
−T ( ∂T
)v +( ∂v
) cv
T
v
2
∂p
∂p
∂p
v −T ( ∂T ) +( ∂v ) cv +T s( ∂T
)
p(
∂p
cv +v ∂T
−s
v
∂p
pv ∂T −s
v
(
T
∂p
v ∂v
+T
T
∂p
p+v ∂v
T
)) (( )
(
( ) ( ( ) )
v
∂p
∂T
)v )
Differentiale der spezifischen freien Energie
5.7
Differentiale der spezifischen freien Energie f
7.1
∂f
∂v T
= −p
7.2
∂f
∂v p
= −p
7.3
∂f
∂v u
∂p
∂T v
∂p
∂v T
∂p
∂T v
+s
7.4
∂p
= −p (s + cv ) + T s ∂T
/cv
v
∂f
∂p
= −pcv + T s ∂T
/cv
∂v s
v
7.5
∂f
∂v h
=
7.6
∂f
∂v g
=
7.7
∂f
∂T v
= −s
7.8
∂f
∂T p
= p
7.9
∂f
∂T u
=
∂f
∂T s
=
7.11
∂f
∂T h
=
7.12
∂f
∂T g
=
7.10
7.14
7.15
7.16
7.17
7.18
∂f
∂p
∂f
∂p
∂f
∂p
∂f
∂p
∂p
∂p
−pv ( ∂T
) +s(p+v( ∂v
)
v
∂p
∂T v
v
∂p
T ( ∂T
)
=
=
v
∂p
p(cv +v ( ∂T
)
∂p
−s v ∂v
+T
v
T
∂p
∂p
+T
∂v T
∂T v
) (( )
v( )
( )
∂p
∂p
pv ( ∂T
) −s(p+v( ∂v
)
v
v(
∂p
∂T v
∂p
∂v T
∂p
−p(s+cv )+T s( ∂T
)
v
∂p
∂p
∂p
( ∂v
)T cv +( ∂T
)v (p−T ( ∂T
)v )
∂p
−pcv +T s( ∂T
)
v
2
∂p
∂p
−T ( ∂T
) +( ∂v
) cv
T
∂p
−p(cv +v ( ∂T
)
∂p
∂p
)+s(v( ∂v
)T +T ( ∂T
)v )
2
∂p
−T (
)v +( ∂v )T cv
v
∂p
∂T
h
=
)
)
v
=
T
∂p
( ∂T
)v )
∂p
∂v T
∂p
∂p
pv ( ∂T
) −s(p+v( ∂v
)
v
T
)
∂p
s( ∂v
)
g
T
∂f
7.20
= −s /cv
∂f
= −p −p + T
∂u T
7.21
∂f
∂u p
7.19
∂p
pcv −T s( ∂T
)
= −p
s
∂p
∂v T
v
= −s
u
∂f
∂p
∂p
−p+T ( ∂T
)
T
∂p
∂v T
−s
∂p
p(s+cv )−T s( ∂T
)
v
∂f
∂p
)
T
∂p
−s+v ( ∂T
)
v
v
v
7.13
∂p
∂p
)+s(v( ∂v
)T +T ( ∂T
)v )
∂p
cv +v ( ∂T )
v
∂p
−p(cv +v ( ∂T
)
∂u v
=
∂p
∂T v
∂p
∂p
−p( ∂T
) +s( ∂v
)
v
T
∂p
∂p
−( ∂v
) cv +( ∂T
)
T
∂p
(−p+T ( ∂T
)v )
v
24
Differentiale der spezifischen freien Energie
7.22
∂f
∂u s
=
7.23
∂f
∂u h
=
7.24
∂f
∂u g
=
7.25
∂f
∂s v
∂p
pcv −T s( ∂T
)
v
pcv
∂p
−p(cv +v ( ∂T
)
∂p
∂p
)+s(v( ∂v
)T +T ( ∂T
)v )
∂p 2
∂p
+v
T
−
)v )
( ∂T )v ( ∂v )T cv
v
−p(cv +v (
∂p
∂T
∂p
∂p
−pv ( ∂T
) +s(p+v( ∂v
)
p(s−v (
∂p
∂T
)v )+vT (
v
∂p
∂T
)
T
∂p
∂p
c +T s ∂T
∂v T v
2
)v −(v( )
(
7.26
7.27
∂f
∂s p
=T
∂p
∂p
−p( ∂T
) +s( ∂v
)
2
v
7.28
∂f
∂s u
=T
7.29
∂f
∂s h
=T
T
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
T
∂p
−p(s+cv )+T s( ∂T
)
v
pcv
∂p
∂p
−p(cv +v ( ∂T
( ∂p ) )
)v )+s(v( ∂v
)T +T
∂T v
∂p 2
∂p
v T ( ∂T ) −( ∂v ) cv
v
T
∂p
+s p+v ∂v
v
T
∂p
∂p
v ∂v
cv +T s ∂T
T
=T
7.32
) ( ( ) )
vT (
)v −( ( )
( )v )
∂f
∂p
= −s cv + v ∂T
∂h v
v
∂f
∂p
∂p
=
−p
v
+
T
∂h T
∂v T
∂T v
7.33
∂f
∂h p
=
−pv (
∂p
∂T
∂f
∂s g
7.31
2
∂p
∂T
∂p
∂p
−p( ∂T
) +s( ∂v
)
2
v
T
∂p
∂p
T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
v
7.34
∂f
∂h u
=
T
∂p
−p(s+cv )+T s( ∂T
)v
∂p
∂p
∂p 2
p(cv +v ( ∂T ) )+v −T ( ∂T ) +( ∂v
) cv
v
v
7.35
∂f
∂h s
=
−pcv +T s(
2
∂f
∂h g
7.37
7.38
7.39
7.40
7.41
7.42
∂f
∂g
∂f
∂g
∂f
∂g
)
)
∂p
∂p
−pv ( ∂T
) +s(p+v( ∂v
)
vT (
)v −(v( )
−s + v
v
= −s
= −p
T
=
∂p
∂T v
∂f
∂g
u
=
s
v
T
∂p
s( ∂v
)
∂p
−p(s+cv )+T s( ∂T
)
v ((
∂p
∂p
c + ∂T
∂v T v
)
(
v
∂p
∂p
)v (p−T ( ∂T
)v ))+s(−p+T ( ∂T
)v )
∂p
−pcv +T s( ∂T
)
v
∂p 2
∂p
∂p
v −T ( ∂T ) +( ∂v ) cv +T s( ∂T
)
v
=
h
T
=
∂p
∂v T
∂p
∂p
−p( ∂T
) +s( ∂v
)
p
)
( )v )
v
T
∂p
∂p
(s+c
)+T
s ∂T
v
∂v T
2
∂p
∂T
v
∂f
∂g
∂f
∂g
=
T
∂p
∂T v
∂p
c
∂v T v
∂p
v −T ( ∂T
) +(
v
7.36
)v )
= −T s /cv
∂p ∂f
=
−p
∂s T
∂T v
7.30
25
T
v
∂p
∂p
∂p
−p(cv +v ( ∂T
)v )+s(v( ∂v
)T+T ( ∂T
)v )
∂p 2
∂p
∂p
v −T ( ∂T ) +( ∂v ) (s+cv ) +T s( ∂T )
v
T
v
Differentiale der spezifischen freien Enthalpie
5.8
26
Differentiale der spezifischen freien Enthalpie g
8.1
∂g
∂v T
=v
8.2
∂g
∂v p
=s
8.3
∂g
∂v u
∂p
∂v T
∂p
∂v T
∂p
∂T v
8.4
∂p
∂p
∂p
= v ∂v
c + ∂T
p − T ∂T
+ s −p + T
T v
v
v
∂p 2
∂p
∂p
∂g
=
v
−T
+
c
+
T
s
/cv
∂v s
∂T v
∂v T v
∂T v
8.5
∂g
∂v h
=
8.6
∂g
∂v f
= −pv
8.7
∂g
∂T v
= −s + v
8.8
∂g
∂T p
= −s
8.9
∂g
∂T u
=
8.10
∂g
∂T s
=
8.11
∂g
∂T h
8.12
∂g
∂p 2
∂p
∂p
v −T ( ∂T
) +( ∂v
) (s+cv ) +T s( ∂T
)
v
T
v
∂p
cv +v ( ∂T
)
∂p
∂T v
v
∂p
∂v T
+s p+v
∂p
∂T v
∂p
p(s−v ( ∂T
)
2
v
∂p
∂p
∂p
)+vT ( ∂T
)v −(v( ∂v
)T cv +T s( ∂T
)v )
∂p
−p+T ( ∂T )
v
2
∂p
∂p
∂p
vT ( ∂T
) −(v( ∂v
) cv +T s( ∂T
)
v
T
T(
∂p
∂T
v
)
)v
2
∂T f
8.13
8.14
8.15
8.16
8.17
∂g
∂p
=
∂p
∂p
∂p
vT ( ∂T
) −(v( ∂v
) (s+cv )+T s( ∂T
)
v
T
v
)
∂p
∂p
v ( ∂v
) +T ( ∂T
)
T
= pv
∂p
∂T
v
∂p
∂v T
−s p+v
v
∂p
∂T v
= −s + v
v
∂g
∂p
/s
/p
∂p
∂T v
=v
T
∂g
∂p
=
∂p
∂p
v (( ∂v
) cv +( ∂T
)
T
u
∂g
∂p
=
∂p 2
∂p
∂p
v −T ( ∂T
) +( ∂v
) cv +T s( ∂T
)
v
v
8.19
∂g
∂g
∂p
T
∂p 2
∂p
∂p
v −T ( ∂T
) +( ∂v
) (s+cv ) +T s( ∂T
)
=
v
T
2
v
=
f
v
∂p
∂p
−T ( ∂T
) +( ∂v
) cv
h
v
8.18
T
2
∂p
∂p
−T ( ∂T
) +( ∂v
) cv
s
∂g
∂p
∂p
∂p
(p−T ( ∂T
)v ))+s(−p+T ( ∂T
)v )
∂p
∂p
∂p
( ∂v
)T cv +( ∂T
)v (p−T ( ∂T
)v )
v
T
∂p
∂p
pv ( ∂T
) −s(p+v( ∂v
)
v
T
∂p
∂p
p( ∂T
) −s( ∂v
)
v
)
T
∂p
8.21
= −s + v ∂T v /cv
∂g
∂p
∂p
= v ∂v
−p
+
T
∂u T
∂T
T
v
∂g
∂p
∂p
∂p
=
s
−
c
+
−p + T
v
∂u p
∂v T
∂v T
∂T v
8.22
∂g
∂u s
8.20
∂u v
2
=
∂p
∂p
∂p
vT ( ∂T
) −(v( ∂v
) cv +T s( ∂T
)
v
T
pcv
v
)
∂p
∂T v
∂p
∂T v
/cv
Differentiale der spezifischen freien Enthalpie
8.23
∂g
∂u h
=
∂p 2
∂p
∂p
v −T ( ∂T
)v +( ∂v
)T (s+cv ) +T s( ∂T
)v
2
∂p
∂p
∂p
−p(cv +v ( ∂T ) )+v T ( ∂T ) −( ∂v ) cv
v
v
T
8.27
= T −s + v ∂T v /cv
∂p ∂g
∂p
=
v
∂s T
∂v T
∂T v
.
∂g
∂p
∂p 2
=
T
s
T
−
∂s p
∂v T
∂T v
∂p
∂v T
8.28
∂g
∂s u
=T
8.29
∂g
∂s h
=T
8.24
∂g
∂u f
8.25
∂g
8.26
=
∂p
∂p
pv ( ∂T
) −s(p+v( ∂v
)
v
T
)
∂p
p(s+cv )−T s( ∂T
)
v
∂p
∂s v
∂p
p(−s+v ( ∂T
)
∂g
∂s f
=T
8.31
∂g
∂h v
=
8.32
∂g
∂p
∂p
∂p
v ( ∂v
)T (s+c
v )+T ( ∂T ) (s−v ( ∂T ) )
v
v
2
∂p
∂p
v T ( ∂T
) −( ∂v
) cv
T
∂p
∂p
pv ( ∂T
) −s(p+v( ∂v
)
v
T
∂p
pcv −T s( ∂T
)
v
v
∂p
cv +v ( ∂T
)
=v
∂p
8.34
∂g
∂h u
8.35
∂g
∂h s
=
=
∂p
∂v T
∂v T
∂p
∂p
v (( ∂v
) cv +( ∂T
)
8.38
∂g
∂h f
8.39
8.40
8.41
8.42
∂g
∂f
∂g
∂f
∂g
∂f
∂g
∂f
∂g
∂f
∂g
∂f
=
p(cv +v (
=s
∂p
∂T
cv
∂p
∂T v
∂p
∂v T
∂p
∂v T
)
∂p
)v )
( ∂T
/s
/p
∂p
∂T v
−p
+s
∂p
∂v T
∂p
∂p
v (( ∂v
) cv +( ∂T
)
∂p
∂p
(p−T ( ∂T
)v ))+s(−p+T ( ∂T
)v )
∂p
−p(s+cv )+T s( ∂T )
v
T
v
∂p 2
∂p
∂p
v −T ( ∂T
) +( ∂v
) cv +T s( ∂T
)
v
T
v
∂p
−pcv +T s( ∂T
)
v
=
h
T
∂p
+T
∂v T
)v )−s(v( )
u
T
v
T
s
∂p
∂v T
v
∂p
∂p
pv ( ∂T
) −s(p+v( ∂v
)
= −v
=
−
∂p
∂p 2
∂p
v −T ( ∂T
)v +( ∂v
)T cv +T s( ∂T
)v
∂p
∂p 2
v −T ( ∂T ) +( ∂v ) cv
v
=
∂p
∂p
(p−T ( ∂T
)v ))+s(−p+T (∂T
)v )
2
∂p
∂p
∂p
p(cv +v ( ∂T ) )+v −T ( ∂T ) +( ∂v ) cv
v
v
T
T
= s−v
p
∂p
∂T v
+T
∂p 2
∂T v
v
)
∂p
−s+v ( ∂T
)
8.33
8.37
pcv
v
.
∂g
∂p
=
s
T
∂h p
∂v T
8.36
cv
v
∂h T
∂p
∂p
∂p
)+v( ∂v
)T cv +T ( ∂T
)v (s−v( ∂T
)v )
v
v
8.30
27
∂p 2
∂p
∂p
v −T ( ∂T
) +( ∂v
) (s+cv ) +T s( ∂T
)
v
∂p
−p(cv +v ( ∂T
)
T
v
∂p
∂p
)+s(v( ∂v
)T +T ( ∂T
)v )
v