13. Tutoriumsblatt Lineare Algebra II

Fachbereich Mathematik
Martin Otto
Achim Blumensath
Laurenţiu Leuştean
Markus Wermer
Sommersemester 2009
13. Tutoriumsblatt Lineare Algebra II
(T13.1) [Zum Aufwärmen: Quadratische Formen]
(i) Welche der folgenden sind quadratische Formen? Bestimme in diesem Fall die Matrix der zugehörigen symmetrischen Bilinearform.
(a) Q1 : R2 → R,
x 7→ x1 + x2 .
(b) Q2 : R2 → R,
x 7→ 2x21 + 2x1 x2 − x22 .
p
x 7→ x41 + x42 .
(c) Q3 : R2 → R,
(d) Q4 : R3 → R,
x 7→ ||xk2 .
(ii) Wir betrachten die quadratische Form Q : R2 → R, die definiert ist durch
Q(x1 , x2 ) =
1
(21x21 + 29x22 − 6x1 x2 ).
10
(a) Finde die zugehörige symmetrische Bilinearform σ : R2 × R2 → R.
(b) Bestimme eine Orthonormalbasis von R2 , bezüglich der die Matrix von σ diagonal ist.
(T13.2) [Quadratische Formen]
Bestimme die Hauptachsen und die Signatur der folgenden quadratischen Formen
(i) Q1 (x) = 5x21 − 4x1 x2 + 8x22 ,
(ii) Q2 (x) = 6x21 − 20x1 x2 + 6x22 ,
2
(iii) Q3 (x) = (x21 − 6x1 x2 + 9x22 ),
5
wobei x = (x1 , x2 ) ∈ R2 .
(T13.3) [Determinante]
Wir betrachten den reellen Vektorraum V der symmetrischen, reellen 2 × 2-Matrizen.
(i) Zeige, dass det : V → R eine quadratische Form ist.
(ii) Bestimme die Matrix der zugehörigen Bilinearform bezüglich der Basis
¶¶
¶
µ
¶
µ
µ
µ
0 1
0 0
1 0
.
, B3 =
, B2 =
B = B1 =
1 0
0 1
0 0
(iii) Bestimme die Hauptachsen und skizziere die Mengen
{v ∈ V | det v = 1},
{v ∈ V | det v = −1}.
(als Teilmengen des R3 , wenn jede Matrix mit ihren Koordinaten bezüglich obiger
Basis identifiziert wird.)
(T13.4) [Quadriken]
Wir betrachten die Quadrik
X = {b ∈ Rn : Q(b) = c},
wobei Q eine quadratische Form über Rn ist und c ∈ R. Zeige, dass X unter den folgenden
linearen Isometrien von Rn invariant ist:
(i) − id : x 7→ −x (Zentralsymmetrie);
(ii) Spiegelungen an Hyperebenen, die zu einer Hauptachse orthogonal sind (d.h. Hyperebenen, die von jede n − 1 Basisvektoren einer Orthonormalbasis, die Q und die
assoziierte σ diagonalisiert, aufgespannt wird.
(iii) Drehungen in Ebenen, die von zwei Hauptachsen aufgespannt wird, bzgl. denen Q
desselben Eigenwerte hat, d.h. von Basisvektoren b, b′ einer Orthonormalbasis, die
Q diagonalisiert, so dass Q(b) = Q(b′ ).