B - Max-Planck-Institut für Plasmaphysik

Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Lineare Gleichgewichte
1
Lineare MHD-Gleichgewichte
z
j
z
B
B
j
θ
θ
j
z
jθ
p
Bθ
a
Bz
p
r
Wolfgang Suttrop, Max-Planck-Institut für Plasmaphysik, Garching
a
r
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Lineare Gleichgewichte
Inhalt
• MHD-Kraftgleichgewicht
• Kraftfreies Gleichgewicht, Magnetfeld-Topologie
• 1-D Kraft-Gleichgewichte in Zylindersymmetrie
– z-pinch
– θ-pinch
– screw pinch
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Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Lineare Gleichgewichte
MHD-Gleichungen
Kontinuitätsgleichung:
∂
n + ∇ · (n~u) = 0
∂t
Kraftgleichung:
d
∂~u
m (n ~u) = m n + mn (~u · ∇)~u = ρ~E + ~j × ~B − ∇ · P0
dt
∂t
Verallgemeinertes Ohm’sches Gesetz:
~E +~u × ~B = η0~j
Zustandsgleichung, z.B. adiabatisch mit z Freiheitsgraden:
z+2
d p
=
0,
γ
=
dt nγ
z
Maxwell-Gleichungen (~E statisch, Ladungsneutralität):
ρ !
~
~
∇·E =
= 0,
∇ × ~E = − ∂∂tB ,
ε0
~
∇ · ~B = 0, ∇ × ~B = µ0~j + ε0 µ0 ∂∂tE ≈ µ0~j
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Lineare Gleichgewichte
MHD-Kraftgleichgewicht
Ann.: Stationär (∂/∂t = 0), ideale Leitfähigkeit (spez. Wid. η → 0),
Advektionsterm (~u · ∇)~u = 0 (aber i.a. ~u 6= 0, d.h. Strömung erlaubt), skalarer Druck
Kraftgleichung:
m
∂~u
d
(n ~u) = m n
+mn (~u · ∇)~u = ρ~E +~j × ~B − ∇ · P0
| {z }
|{z}
| {z }
dt
∂t
|{z}
=∇p
=0
=0
d.h.
=0
∇p = ~j × ~B = −∇ · T
Maxwell-Gl.:
∇ × ~B = µ0~j (Ampere),
∇ · ~B = 0
Kraft-“Gleichgewicht”: Kinetischer Druckgradient vs. j × B-Kraft.
Trivialer Sonderfall: ∇p = 0 ⇒ ~jk~B (“Kraftfreie” Ströme)
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Lineare Gleichgewichte
Sonderfall: Kraftfreies Gleichgewicht
Ideales MHD-Gleichgewicht: ∇ · T + P = 0.
Bei kleinem β ≡ p/(B2 /µ0 ) ≪ 1 ist kinetischer Druck vernachlässigbar
⇒ “kraftfreies” Gleichgewicht (zwischen magnetischen Zug- und Druckspannungen)
0 = ∇ · P = −∇ · T = ~j × ~B
d.h. ~jk~B
Ampère’sches Gesetz: µ0~j = ∇ × ~B = α~B
Mit Div(Rot(~B)) = 0 und ∇ · ~B = 0:
0 = ∇ · ∇ × ~B = α ∇ · ~B + ~B · ∇α = ~B · ∇α = 0
d.h. ~B liegt in Flächen mit konstantem α.
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Magnetfeld-Flächen sind mehrfach zusammenhängend
Beweis: Betrachte Kurvenintegral entlang Ck~B
I
~Bdℓ 6= 0
C
Stokes’scher Satz (einfach zusammenhängende Fläche S,
berandet durch C)
I
Z
Z ~Bdℓ =
∇ × ~B · dA = α~B · dA 6= 0
C
S
Kugel
S
Lege S so, daß α konstant ist
Z
S
α~B · dA = α
Z
~B · dA 6= 0
S
Da ~B in Flächen mit α = const (senkrecht zur Flächennormalen)
Torus
~B · dA = 0
Widerspruch, d.h. ~B liegt auf mehrfach zusammenhängender
Fläche (z.B. Torus, “Flußröhren”), nicht auf einfach
zusammenhängender Fläche (Kugel).
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Magnetische Flächen (endliches Beta)
Kraftgleichgewicht:
∇p = ~j × ~B
Skalarprodukt mit ~B bzw. ~j:
∇p · ~B = (~j × ~B) · ~B = 0
∇p · ~j = (~j × ~B) · ~j = 0
⇒ ~B ⊥ ∇p, ~j ⊥ ∇p.
~B, ~j liegen in Flächen gleichen Drucks.
j
B
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Lineare Gleichgewichte
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Einfachste Konfiguration: Linearer z-Pinch
Willard H Bennet, Phys. Rev. 45 (1934) 890, “Magnetically self-focusing streams” (of fast electrons)
θ
Ip
z
Bθ
Zylindrische Koordinaten: jz , Bθ , dp/dr
jz = const = j0 =
Ein Profil kann frei gewählt werden, z.B.
Ip
, (r < a)
2
πa
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Magnetisches Feld im z-Pinch
Ampère’sches Gesetz in Zylinderkoordinaten:
1 ∂
(rBθ ) = µ0 j0
r ∂r
Integrieren:
µ0
Bθ =
r
Z r
0
µ0 r2
µ0 r
r jz dr =
j0 =
Ip 2 ,
r
2
2π a
′
′
Aussenbereich ( jz = 0):
µ0 1
Ip ,
Bθ =
2π r
(r > a)
(r ≤ a)
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Radiale Kraftbilanz im z-Pinch
I p µ0 I p
dp
= − jz Bθ = − 2
r
2
dr
πa 2πa
Randbedingung:
p(a) = 0 (T (a) = 0 bzw. n(a) = 0):
p(r) =
µ0 I p2
4π2 a2
1−
r 2 a
jz
p
Bθ
(r ≤ a)
a
und
p(r) = 0
(r > a)
Berechne
2µ0 < p >
=1
2
Bθ a
(allgemeines Resultat für den z−pinch, unabhängig von Druckprofil)
β = βθ =
r
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“Z machine”
Sandia National Laboratories, Albuquerque, NM, U.S.A.
20 MA Wolframdraht-Implosion, starke Röntgen-Lichtquelle
Quelle: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Zmachine.jpg,
http://zpinch.sandia.gov/
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Ist der z-Pinch stabil?
Kraft-Gleichgewichte können sein:
stabil
indifferent
labil (instabil)
Potenzielle Energie W .
Kraftgleichgewicht: dW /dξ = Fnet = 0
Stabilität: d2W /dξ2 > 0
Instabilität: d2W /dξ2 < 0
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Pinch-Instabilität
Sausage (Würstchen-) Instabilität
Kink (Knick-) Instabilität
jz
jz
Bθ
Bθ
Bθ gross
jz
jz
Bθ klein
Bθ
Ursache: Steigender Magnetfelddruck B2θ /2µ0 findet keinen Gegendruck
- kinetischer (hydrostatischer) Druck bleibt konstant
- keine weitere rücktreibende Kraft
→ beschleunigte Störung
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Beobachtung der sausage-Instabilität
F L Curzon et al, Proc. Roy. Soc. A 257 (1960) 386
Schnelle Aufnahmen mit Kerr-Zelle (elektro-optische
Polarisationsdrehung) zwischen zwei gekreuzten
Polarisatoren.
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Theta- (θ-) pinch
Rein axiales Magnetfeld ~B = (0, 0, Bz (r)),
interner und/oder externer azimuthaler Strom jθ .
Gleichgewichtsbedingung:
2
Bz
d
p+
=0
dr
2µ0
B
z
j
D.h. p + B2z /2µ0 = const. = B20 /2µ0
→ Erfordert Vakuumfeld B0 > (2µ0 pmax )1/2 , d.h.
θ
0 ≤ β ≡ p/(B2 /2µ0 ) ≤ 1
Stromdichte (Ampère’sches Gesetz):
jθ = −
1 dBz
µ0 dr
jθ
Bz
p
a
r
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Lineare Gleichgewichte
Der screw pinch
Zusätzliches axiales Führungsfeld erhöht Stabilität.
B
Ip
Icoil
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Der screw pinch
Verallgemeinerung von z- und θ-pinch: ~B = (0, Bθ (r), Bz (r))
Gleichgewichtsbedingung:
B2θ
B2θ
B2z
d
+
p+
=−
dr
2µ0 2µ0
µ0 r
Anders geschrieben:
p∗′ ≡
d
dr
p+
B2z
2µ0
=−
Bθ
(rBθ )′
µ0 r
Formal gelten Lösungen des z-pinch, jedoch p → p∗ (beinhaltet Axialfelddruck)
Ohne Beweis:
β∗θ
hB2z i − B2z (a)
= βθ +
=1
2
Bθ (a)
Im Unterschied zum z-Pinch ist βθ 6= 1 möglich:
• β p > 1:
hB2z i < B2z (a) Bz steigt nach außen: Diamagnetismus
• β p < 1:
hB2z i > B2z (a) Bz fällt nach außen ab: Paramagnetismus
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Lineare Gleichgewichte
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Zusammenfassung
• Stationäre Plasmakonfigurationen ergeben sich durch Kraftgleichgewicht zwischen Plasmadruck und
Magnetfelddruck (Expansion) und Magnetfeldspannung (Kompression)
• Die Gleichgewichtsbedingung wird durch ideale MHD (d.h. Einflüssigkeitsbild mit η = 0)
beschrieben.
(Bei η 6= 0 gilt weiterhin Kraftgleichgewicht, jedoch kann die Konfiguration durch Rekonnektion
zerfallen.)
• Im “kraftfreien” Gleichgewicht gleichen Druck- und Zugspannungen des Magnetfelds einander aus.
Die Magnetfeld-Topologie ist zwei- oder mehrfach zusammenhängend - “Flußröhren”. I.a. sind die
Magnetfeldlinien mit unterschiedlicher Steigung je nach Radius verschraubt.
• Im Kraftgleichgewicht (∇p 6= 0) liegen ~j und ~B ebenfalls auf Flußröhren, Flächen konstanten Drucks.
• Einfache (1-D) Grenzfälle im zylindersymmetrischen Fall sind der z-Pinch (Bz = 0, βθ = 1,
weitgehend instabil), der θ-Pinch (Bθ = 0, β ≤ 1) und der screw pinch. Der screw pinch ist
diamagnetisch für βθ > 1 und paramagnetisch für βθ < 1.