Aufgabenblatt 9 (15.06.2016)

Prof. Sibylle Gemming
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Tobias Schneider
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Theoretische Physik (Elektrodynamik)
https://www.tu-chemnitz.de/physik/SKALMOD/lehre.html
Aufgabenblatt 9 (15.06.2016)
– Hamilton-Jacobi-Theorie –
Präsenzaufgaben
Aufgabe 9/1: Kanonische Transformation
Gegeben ist die Hamiltonfunktion H(q, p) für ein System mit einem Freiheitsgrad. Für welche
Parameter α, β, γ , δ sind die Transformationen
Q = q α pβ , P = q γ pδ
kanonisch? Die notwendige und hinreichende Bedingung hierfür ist, dass die Poissonklammer
gleich 1 ist, {Q, P } = 1.
Bestimmen Sie für diesen Fall die Erzeugende G(q, Q).
Aufgabe 9/2: Kräftefreies Teilchen
Formulieren Sie die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für ein kräftefreies Teilchen und
lösen Sie diese für die charakteristische Funktion W .
Aufgabe 9/3: Eindimensionale Bewegung in Potential
Stellen Sie die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für die eindimensionale Bewegung eines
Teilchens der Masse m im Potential
V (x) = −bx
auf und lösen Sie das Bewegungsproblem mit den Anfangsbedingungen
x(t = 0) = x0 , ẋ(t = 0) = v0 .
Aufgabe 9/4: Zweidimensionale Bewegung in Potential
Ein Teilchen der Masse m führe eine zweidimensionale Bewegung in der x-y-Ebene im Potential
V (x, y) = c(x − y)(c = const)
durch. Lösen Sie die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für die charakteristische Funktion
W (x, y, p̂x , p̂y ). Benutzen Sie die Anfangbedingungen:
x(t = 0) = y(t = 0) = 0
ẋ(t = 0) = v0x > 0
ẏ(t = 0) = 0.