Ubungsaufgaben zur Spieltheorie

Universität Mannheim, Lehrstuhl für Mathematik VI
Prof. Dr. Claus Hertling
Blatt 7
18.10.2011
Übungsaufgaben zur Spieltheorie
1. (2+2+2 Punkte) Erinnerung an Satz 3.2.1.6: Sei (A, S, U ) ein endliches 2-Personen-Nullsummenspiel, das
mindestens ein Nash-Gleichgewicht besitzt, und sei (A, G, V ) seine gemischte Erweiterung. Die Zahlen
vmin
:=
vN ash
:=
=
max min U 1 (s),
s1 ∈S 1 s2 ∈S 2
vmax := min
max1 U 1 (s),
2
2 1
s ∈S s ∈S
max
min2 V 1 (g) = max
min2 V 1 (g 1 , s2 )
1
1 2
1
1 2
g ∈G g ∈G
g ∈G s ∈S
max1 V 1 (s1 , g 2 )
min max V (g) = min
2
2 1
1
g2 ∈G2 g1 ∈G1
g ∈G s ∈S
erfüllen
vmin ≤ vN ash ≤ vmax .
vN ash ist der Wert eines jeden Nash-Gleichgewichts von (A, G, V ).
Erinnerung an Beispiel 3.2.2.1: Im Fall |S 1 | = 2 kann man vN ash graphisch bestimmen, mit vN ash =
maxg1 ∈G1 mins2 ∈S 2 V 1 (g 1 , s2 ). Dann ist G1 ′′ =′′ [0, 1] mit der Koordinate γ11 , mit g 1 = γ11 s11 + (1 − γ11 )s12 ′′ =′′
γ11 . Für jedes s2j ∈ S 2 = {s21 , ..., s2n2 } ist hj : [0, 1] → R definiert durch
hj (γ11 ) := V 1 (g 1 , s2j ) = U 1 (s12 , s2j ) + (U 1 (s11 , s2j ) − U 1 (s12 , s2j ))γ11 ,
und das ist affin linear in γ11 . Sein Graph in [0, 1] × R ist die Strecke von (0, U 1 (s12 , s2j )) nach (1, U 1 (s11 , s2j )).
Man trägt die Graphen aller hj in ein Bild ein, macht den Graphen von minj=1,...,n2 hj kenntlich und findet
die Punkte auf ihm, deren zweite Koordinate maximal ist. Der Wert der zweiten Koordinate dieser Punkte
ist vN ash .
Die folgenden 3 Matrizen sind die Auszahlungsmatrizen (U 1 (s1i , s2j ))i=1,2;j=1,...,n2 für 3 endliche 2-PersonenNullsummenspiele mit |S 1 | = 2, |S 2 | = n2 (= 2, 2, 3).
1 2
1 −1
2 0 21
.
I:
II :
III :
0 2 1
3 2
0 1
Erstellen Sie für jedes der 3 Spiele Bilder, die jeweils die Graphen aller hj enthalten und bestimmen Sie damit
vN ash . Geben Sie auch (aber ohne Begründung) jeweils vmin und vmax an.
2. (4 Punkte) Seien p1 , p2 , p3 , a1 , a2 ∈ R>0 mit 0 < p1 < p2 < p3 und 0 < a1 < a2 . In einer Kleinstadt bieten 2
Kaufleute die gleiche Ware an. Jeder legt morgens seinen Tagespreis fest, jeweils einen der Preise p1 , p2 oder
p3 . Bei gleichem Preis macht keiner Gewinn. Bei verschiedenem Preis macht der billigere Anbieter Gewinn
a1 , falls sein Preis p1 ist, und Gewinn a2 , falls sein Preis p2 ist. Der teurere Anbieter macht ebenso großen
Verlust. Also handelt es sich um ein 2-Personen-Nullsummenspiel. Schreiben Sie die Auszahlungsmatrix für
den 1. Kaufmann auf und bestimmen Sie ein Nash-Gleichgewicht (es gibt eins).
3. (3 Punkte) Sei (A, S, U ) ein 2-Personen-Nullsummenspiel, das (mindestens) ein Nash-Gleichgewicht besitzt.
Dann sind nach Satz 3.2.1.3 die Nash-Gleichgewichte die Sattelpunkte von U 1 , es gilt
max inf U 1 (s1 , s2 ) = min
sup U 1 (s1 , s2 ) =: vN ash ,
2
2
s1 ∈S 1 s2 ∈S 2
s ∈S s1 ∈S 1
und alle Nash-Gleichgewichte s ∈ S haben den Wert U 1 (s) = vN ash .
Zeigen Sie: Falls (A, S, U ) zusätzlich symmetrisch ist, d.h.
S1 = S2
und ∀ (s1 , s2 ) ∈ S 1 × S 1 ist U 1 (s1 , s2 ) = U 2 (s2 , s1 ),
dann ist vN ash = 0.
Bemerkung: Der Beweis ist wenige Zeilen lang. Aber man kann viel unsauberes formulieren, das auf den 1.
Blick sinnvoll aussieht, aber doch nichts bringt. Bitte vermeiden Sie das.
4. (3 Punkte) (Schwer, mit 3 Punkten eigentlich unterbewertet) Sei (A, S, U ) ein endliches 2-Personen-Nullsummenspiel
mit |S 1 | = 2 und |S 2 | = n2 ≥ 2, und sei (A, G, V ) seine gemischte Erweiterung. Zeigen Sie:
vmin = vN ash =⇒ vmin = vN ash = vmax .
Hinweis: Man kann mit den hj aus Aufgabe 1 und ihren Graphen arbeiten. Was sagt vmin = vN ash über sie?
Alle Informationen zur Vorlesung (Termine, bungsbltter, Prüfungsmodalitäten, Literatur) sind unter
http://hilbert.math.uni-mannheim.de/11_HWS_spiel.html
zu finden.
Abgabe bis Dienstag, den 25. Oktober 2011, vor der Vorlesung in C015.