ZEITABH¨ANGIGE FELDER

Kapitel 9
ZEITABHÄNGIGE
FELDER
Hier geht es um E↵ekte, die durch die
~ und
zeitliche Änderung der Feldgrößen E
~ hervorgerufen werden.
B
Dynamik
Aus der zweiten Gleichung folgt, dass
ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld
Ursache für eine endliche Zirkulation im
~
E-Feld
ist. Dieser Zusammenhang wurde
1831 von Faraday gefunden.
~ ·E
~ = 1⇢
r
✏0
~
~ ⇥E
~ = @B
r
@t
Analoges sagt der letzte Term in der vierten Gleichung. Ein sich zeitlich änderndes
elektrisches Feld ist Ursache für eine Zir~
kulation des B-Feldes.
Diesen Term interpretierte Maxwell als
Verschiebungsstrom.
9.1
~ ·B
~ =0
r
~
~ ⇥B
~ = µ0 ~j + 1 @ E
r
c2 @t
Faradaysches Induktionsgesetz
1831 induzierten Michael Faraday und Joseph Henry mit einem bewegten Stabmagneten Ströme in einer Leiterschleife. Grundlegende Versuche dazu sind die
Beobachtungen, dass ein Strom in der Schleife fließt,
1. wenn ein Permanentmagnet in eine Leiterschleife hinein bzw. aus ihr heraus bewegt wird,
2. wenn bei zeitlich konstantem Magnetfeld die Schleife aus dem Feldbereich
gezogen wird oder in das Feld bewegt wird,
3. wenn der Permanentmagnet durch eine Spule ersetzt wird und ein Strom
in dieser Spule ein- bzw. ausgeschaltet wird.
Schluss:
Ein sich zeitlich verändernder magnetischer Fluß erzeugt ein elektrisches
83
84
KAPITEL 9. ZEITABHÄNGIGE FELDER
Feld. In einem Leiter äußert sich dieses Feld als Potentialdi↵erenz über die Länge
des Leiters. An den Leiterenden (Anfang und Ende der geschlossenen Kurve C,
siehe Seite 11) kann die sogenannte Induktionsspannung abgegri↵en werden.
Aus der zweiten Maxwell Gleichung folgt mit dem Stoke’schen Satz
Z ⇣
S
~ ⇥E
~
r
⌘
~ ⇥E
~ · dS
~
r
I
~ · d~s
E
=
=
=
C
das Induktionsgesetz
I
~ · d~s =
Uind =
E
C
~
@ B/@t
Z
@
~ · dS
~
B
@t S
Z
@
~ · dS
~
B
@t S
@
@t
Z
S
~ · dS
~=
B
@
@t
(9.1)
m
Die Fläche S wird von der Kurve C umrandet. Das Vorzeichen ( ) ist nicht
willkürlich festgelegt. Es gilt die Lenz’sche Regel, die besagt, dass die induzierte Spannung über den Leiter einen Strom und damit ein Magnetfeld erzeugt,
das der Flussänderung entgegen wirkt.
Die Leiterschleife versucht, den magnetischen Fluss, der sie durchsetzt,
konstant zu halten.
Die Induktionspannung bewirkt in der Leiterschleife den Stromfluss I = Uind /R.
Dabei wird die Leistung P = I 2 R verbraucht. Diese Energie stammt aus der
kinetischen Energie der Bewegung.
! " #" $ %
"
!
$ %& ' ( )*
+ ,&- . (
/
& ' ( )" *
- # " .% ,
& '( % ) *
+ % ,)
#
+
,
/
! " # $%
Aluminiumring auf einem Elektromagnet:
Beim Einschalten wird im Ring ein Strom induziert. Das dadurch entstehende Magnetfeld wirkt
dem primären Feld entgegen und beschleunigt
den Ring. (Ring mit kleinem Schlitz?)
Das Waltenhofen Pendel wird durch Wirbelströme gebremst. Die Lorentz-Kraft wirkt auf
jeden Abschnitt des induzierten Wirbelstromes.
Sie ist aber im Gebiet des stärkeren Magnetfeldes größer, hindert also die Bewegung. Bei einer
Begrenzung der Wirbelstrombahnen (z.B. dünne,
isolierte Bleche im Transformatorkern) können
Wirbelstromverluste minimiert werden.
I
B1
F1
F2
v
B2
9.1. FARADAYSCHES INDUKTIONSGESETZ
85
Eine gut leitende Drahtschleife versucht mit Hilfe des Induktionsstromes den
magnetischen Fluss durch ihren Querschnitt konstant zu halten. Dies gelingt
umso besser, je höher die Leitfähigkeit des Leiters ist.
Wenn infolge des induzierten Stromes der
magnetische Fluss durch den Leiterring
(bzw. die leitende Platte) nahezu konstant
!
ist, dann werden also die Feldlinien von einem guten Leiter, der sich bewegt (wenigs$ %& '
#
tens teilweise) mitgenommen.
Diese Mitnahme erklärt die Verformung
des Dipolfeldes der Erde in großer Höhe
"
durch die geladenen Teilchen des Sonnenwindes, eines elektrisch leitenden Mediums
aus Protonen und Elektronen.
Ein Wa↵ensystem (HEMP, huge electromagentic pulse) ist seit 1950 in Diskussion. Mit ihm soll die Elektronik des Gegeners, durch Wirbelströme in Folge
~
von riesigen Werten von @ B/@t,
ausgeschaltet werden. Mit Implosionstechniken
(Mitnahme von Magnetfeldlinien) wurden kurzzeitig Magnetfelder über 103 T esla
demonstriert.
Wechselstromgenerator:
Eine rechteckige Leiterschleife mit N Windungen und der Fläche A dreht sich
mit konstanter Geschwindigkeit im homogenen Magnetfeld. Dabei ändert sich
der magnetische Fluss durch die Leiterschleife periodisch
Z
~ · dS
~ = BN A cos '(t)
B
(9.2)
m =
Der Winkel ändert sich mit der Zeit
gemäss '(t) = !t. Die Zirkulation von
~ und damit die induzierte Spannung
E
ist proportional zur Winkelgeschwindigkeit und zum Produkt B N A. Eine
Wechselspannung wird induziert.
Uind =
d
m
dt
= !B N A sin !t
!
!
!
(9.3)
Die Kurve C in Gl. (9.1) muß nicht mit einer Leiterschleife zusammenfallen.
86
KAPITEL 9. ZEITABHÄNGIGE FELDER
Ein freies Elektron mit der Masse m und dem Impuls p erfährt die zeitliche
Änderung des Magnetfeldes als Beschleunigung:
I
~ · d~s = 2R⇡E = @ (B̄⇡R2 )
E
@t
!
@p
eR @ B̄
=
eE ⇡
@t
2 @t
"
1
p = mv =
e R B̄
2
wobei B̄ die mittlere Feldstärke innerhalb des Sollkreises mit dem Radius R an~
gibt. Nach diesem Prinzip werden im Betatron Elektronen im B-Feld
auf eine
~
Kreisbahn mit dem Radius R gezwungen und gleichzeitig beschleunigt, da B
mit der Zeit anwächst. Die Elektronen bleiben auf dem Sollkreis, wenn die Zentrifugalkraft die Lorentz-Kraft kompensiert. Die Magnetfeldstärke am Sollkreis
ist Bs = mv
eR und damit B̄ = 2Bs (Wideroe-Bedingung). Mit einem radial inhomogenen Magnetfeld (erzeugt durch geeignet geformte Polschuhe) erreicht man
im Betatron Elektronenenergien bis 200 M eV , z.B. für harte Röntgenquellen.
Der Drehstrommotor ist ein Beispiel für die Mitnahme eines guten Leiters
durch ein rotierendes Magnetfeld. Drei Wechselströme geeigneter Phasenverschiebung ( = 120o ) speisen drei jeweils um 120o versetzte Spulenpaare. Damit entsteht im Inneren ein magnetisches Drehfeld. Dieses nimmt einen um das
Zentrum drehbaren, gut leitenden Rotor mit. Ein Vorteil ist, dass dieser Rotor
keine leitende Verbindung nach außen benötigt. Er dreht sich mit der Netzfrequenz.
Wirbelstromverluste:
In einem Leiter mit dem Radius R entsteht durch ein sich zeitlich änderndes Ma~
gnetfeld B = B0 cos(!t) ein elektrisches Wirbelfeld r⇥E
= Ḃ. Näherungsweise
ist das induzierte Feld aus dem Stokesschen Satz
E 2R⇡ = ḂR2 ⇡
Dieses Feld erzeugt im Leiter die Stromdichte j = E. Der Stromfluß I der
durch die Potentialdi↵erenz Uind entsteht, leistet die Joulsche Wärme P =
I Uind . Mit I = j dR dz und Uind = E 2R⇡ ist die Joulsche Wärmeleistung
pro Volumseinheit, p (im zeitlichen Mittel hpi )
p
=
p
=
hpi
=
P
=j·E
2R⇡ dR dz
1 2 2
1 2 2 2 2
E2 =
R Ḃ =
R ! B0 sin !t
4
4
1 2 2 2
R ! B0
8
dBsdt
dz
R
j
dR
Wegen hpi / R2 baut man Transformatorenkerne aus dünnen, isolierten Blechen.
9.2. SELBSTINDUKTION
9.2
87
Selbstinduktion
In einer Spule L1 bewirkt ein zeitabhängiger Strom ein zeitabhängiges Magnetfeld, dB/dt. Der Induktionse↵ekt
ist in einer zweiten Spule L2 nachweisbar
,aber auch in der ersten Spule selbst.
Hat die erste Spule N Windungen, erzeugt
das sich ändernde Magnetfeld in ihr die Induktionsspannung (9.1)
Uind =
N
d
m
dt
.
In der Näherung einer unendlich langen Spule (7.17) ist das Feld der ersten
Spule gleich B = µ0 w I, wobei w = N/` ist und ` die Länge der Spule angibt.
Damit erhalten wir mit dem Spulenvolumen V = ` A für den magnetischen Fluß
m = B A,
m
= µ0 w V I/` .
(9.4)
Für die in der ersten Spule induzierte Spannung gilt
Uind =
N
d
m
dt
=
µ0 w 2 V
dI
=
dt
L1
dI
.
dt
(9.5)
Den Proportionalitätsfaktor L1 nennt man Induktivität. Die Größe der Induktivität L hängt von der Spulengeometrie ab. Für eine lange Spule mit w
Windungen pro Meter und dem Spulenvolumen V gilt näherungsweise
L ⇡ µ0 w 2 V .
(9.6)
Für die Induktivität einer beliebigen Leiteranordnung definiert man
L=
Uind
.
dI/dt
(9.7)
Die Dimension der Induktivität ist
[L] =
Vs
Wb
=
= H = Henry .
A
A
(9.8)
Beispiel:
Eine 10 cm lange Spule mit 100 Windungen mit dem Durchmesser von 1 cm
hat die Induktivität L = 4⇡ 10 7 ⇥ 106 ⇥ 0.0052 ⇡ ⇥ 0.1 ⇡ 100 µH.
Füllt man das Spulenvolumen mit einem Eisenkern der Permeabilität µ dann
erhöht sich die Induktivität etwa um den Wert µ.
9.3
Transformatoren
Transformatoren nutzen die gegenseitige Induktion zweier Spulen in vielen technischen Anwendungen. Ein Strom I1 fließt in der ersten Spule L1 mit Windungszahldichte w1 und erzeugt das Magnetfeld B1 . Für das Magnetfeld B1 gilt:
B1 = µ0 w 1 I1 .
(9.9)
88
KAPITEL 9. ZEITABHÄNGIGE FELDER
Eine zweite Spule spürt diesen magnetischen Fluss am Ort (2). Für eine feste
Spulenanordnung ist der magnetische Fluss durch die zweite Spule m (2) / I1
also m (2)/I1 = const. Wenn sich der Strom I1 zeitlich ändert, dann wird in
der zweiten Spule die Spannung
U2 =
L21
dI1
dt
(9.10)
induziert. Die Größe L21 bezeichnet man als Gegeninduktivität, sie wird von
der Geometrie beider Spulen bestimmt. Wenn die zweite Spule N2 Windungen
und die Fläche A hat, und wenn der gesamte magnetische Fluss durch die zweite
Spule dringt, gilt
U2 =
N2 A
dB1
=
dt
µ0 N2 A w1
dI1
.
dt
Damit ist die Gegeninduktivität
! " # $ %
' ( *
L21 = µ0 w1 N2 A = µ0 w1 w2 V .
&
Im allgemeinen Fall gilt
p
L21 = k L1 · L2 ,
(9.11)
wobei k die Güte der Kopplung zwischen beiden Spulen
angibt (0 < k < 1). Mit einem Eisenkern scha↵t man eine
feste Kopplung zwischen beiden Spulen. Man erreicht in
guter Näherung, dass der gesamte Fluss der ersten Spule
durch die zweite Spule dringt, m (1) = m (2) = m .
' ( )
!
Legt man an die Primärspule die Eingangsspannung U1 = U0 cos !t, dann fließt
ein Strom I1 , der einen magnetischen Fluß und damit eine Induktionsspannung
1
Uind = L dI
N1 d dtm bewirkt. Da im geschlossenen Stromkreis auf der
dt =
Eingangsseite das Kirchho↵sche Gesetz ⌃i Ui = 0 gilt, ist Uind = U1 . Bei
vollständiger Kopplung gilt
U2 =
N2
d
m
dt
,
und damit
|U2 /U1 | = N2 /N1 .
Diese Beziehung gilt nur im Leerlauf . Liegt
ein Lastwiderstand an der zweiten Spule an,
dann fließt durch die zweite Spule ein Strom,
der zu einem Spannungsabfall am Innenwiderstand der zweiten Spule führt und so U2 erniedrigt.
9.4
!
"
(9.12)
#
"
$
R-L Leiterkreis
Wir untersuchen die zeitliche Entwicklung des Stromes in einem R-L Leiterkreis. Am Kreis liegt die feste äußere Spannung U0 an.
9.4. R-L LEITERKREIS
89
Einschalten: Wird der Schalter geschlossen (Position a), dann gilt für die Summe der Spannungen
U0
=
RI
Uind
dI
RI +L .
dt
=
!
#
(9.13)
%
"
$
!
Ohne Selbstinduktion L würde der Strom sofort auf den Wert I = U0 /R ansteigen. Infolge der Selbstinduktion entsteht in der Spule einen Gegenspannung,
sodass der Stromanstieg dI/dt den Wert U0 /L nicht übertre↵en kann. Mit der
Abkürzung für die Zeitkonstante
⌧ = L/R
(9.14)
ist die Lösung der inhomogenen linearen Di↵erentialgleichung (9.13)
⌘
U0 ⇣
I(t) =
1 e t/⌧ .
(9.15)
R
Beispiel:
Mit L = 600 Henry und R = 200 ⌦ steigt der Strom im Kreis mit der Zeitkonstante ⌧ ⇡ 3 Sekunden an. Nach einer Zeit t = ⌧ erreicht der Strom (1
1/e) ⇡ 0.63 des Endwertes U0 /R.
Ausschalten: Wenn wir den Stromkreis plötzlich ö↵nen, wird dI
dt unendlich
groß und eine hohe Induktionsspannung kann entstehen (Funke am Schalter).
Die hohe Induktionsspannung verwendet man
+ ' , - . (/ (0 1123 . 2'
z.B. bei der Zündung von Leuchtsto↵röhren.
Anfänglich fließt ein Strom über den Bimetallstreifen und die Spule, I = U0 /R. Nach
$ %& ' () **
!
Erwärmen ö↵net sich der Bimetallschalter.
Durch die Unterbrechung des Stromes über
den Bimetall entsteht eine hohe Induktions!
" #
spannung, die zum Zünden der Gasentladung
in der Leuchtsto↵röhre ausreicht.
Bringen wir den Schalter in der Abbildung oben rechts auf Position b, dann ist
der maximale Stromfluss durch den Widerstand begrenzt: Imax = Uind /R. Den
zeitlichen Verlauf des Stromes erhalten wir aus
dI
0 = RI +L
(9.16)
dt
als
I(t) = Imax e
t/⌧
.
(9.17)
R-C Leiterkreis:
Eine Spule hat für das magnetische Feld eine ähnliche Bedeutung wie die Kapazität (C = Q/U ) für das elektrische Feld. Wir schließen eine Spannungsquelle
U0 an einen R C Kreis um den Kondensator aufzuladen. Zur Zeit t = 0 ist die
Spannung am Kondensator U (t = 0) = 0. Für den Ladestrom muss gelten:
I(t) =
1
(U0
R
U (t)) =
U0
R
Q(t)
.
R·C
(9.18)
90
KAPITEL 9. ZEITABHÄNGIGE FELDER
Dabei ist Q(t) die zur Zeit t am Kondensator anliegende freie Ladung. Nach
Di↵erentiation erhalten wir
dI(t)
=
dt
1
I(t) .
R·C
(9.19)
Damit ergibt sich für den Ladestrom
I(t) = I0 e
t/(R·C)
,
(9.20)
und für die zeitliche Entwicklung der Spannung am Kondensator (⌧ = R · C)
beim Einschalten
U (t) = U0 (1
9.5
e
t/⌧
).
(9.21)
Energie des Magnetfeldes
In der Elektrostatik hatten wir für die im Kondensator gespeicherte Energie
1 A
1
1
C U 2 = ✏ 0 E 2 d2 = ✏ 0 E 2 V
2
2 d
2
Wel =
(9.22)
und für die Energiedichte des elektrischen Feldes:
wel =
1
✏0 E 2 .
2
(9.23)
Asu den SI-Einheiten für die elektrische Feldstärke

J
1
As V2
AVs
Ws
[wel ] = 3 =
✏0 E 2 =
· 2 =
= 3 .
3
m
2
Vm m
m
m
lässt sich die Dimension verifizieren (Energie pro Volumen).
Beim Entladen der Spule wird die Energie des magnetischen Feldes im Widerstand in Joulsche Wärme umgewandelt. Die zeitliche Entwicklung des Stromes
ist I(t) = I0 e t/⌧ und damit die Leistung
P (t) =
dW
= I 2 R = RI02 e
dt
2t/⌧
(9.24)
Da die Leistung gleich ist der Energie pro Zeiteinheit, gilt für die gesamte, im
Magnetfeld gespeicherte Energie
Z 1
Z 1
⌧
1
Wmag =
P (t) dt = RI02
e 2t/⌧ dt = R I02 = L I02 .
(9.25)
2
2
0
0
Um die Energiedichte des magnetischen Feldes zu bestimmen, gehen wir von
einem homogenen Feld im Inneren der Spule aus. Die magnetische Feldstärke
in der Spule ist B = µ0 w I0 . Mit der Selbstinduktivität der Spule L = µ0 w2 V
(V ist das Volumen der Spule, w is die Windungszahldichte) wird
Wmag =
1 2
1 B2
L I0 =
V
2
2 µ0
(9.26)
9.6. VERSCHIEBUNGSSTROM
91
und die Energiedichte des magnetischen Feldes (µ0 ✏0 c2 = 1 )
wmag =
1 2
1
B = ✏0 c2 B 2
2µ0
2
(9.27)
Für die Dimension gilt:

J
1 2 2
As m2 V2 s2
Ws
[wmag ] = 3 =
✏0 c B =
· 2 ·
= 3 .
4
m
2
Vm s
m
m
Die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes ist
wem =
9.6
1
✏0 E 2 + c2 B 2 .
2
(9.28)
Verschiebungsstrom
Noch fehlt die Behandlung zeitlich veränderlicher elektrischer Felder (zeitlich
variable Ladungsverteilungen und deren Felder).
Dazu wiederholen wir das Beispiel von Seite 11: Beim
Aufladen des Kondensators fließt ein Strom I(t) für eini!
!
ge Zeit, obwohl der Stromkreis durch den Kondensator
“unterbrochen” ist.
Wir denken uns eine Kurve C um den Draht mit der
Fläche S1 . Gemäß der Stromdichte auf der rechten Seite
" #
von Gl.(7.15) erwarten wir
I
~ · d~s / Fluss von I durch S1
B
(9.29)
C
Jetzt zeichnen wir eine neue Oberfläche S2 , mit der gleichen Berandung C. Diese Fläche ähnelt einem Fingerhut, sie schneidet den Leiter nicht, sie schließt sich
zwischen den Kondensatorflächen. Kein herkömmlicher Strom fließt durch diese
~ um C (9.29) muss die gleiche bleiben.
Oberfläche, aber die Zirkulation von B
Die Erklärung dazu kam von Maxwell:
Im Kondensator baut sich im Laufe der Zeit ein elektrisches Feld auf. Die zeit~ Maxwell
liche Änderung dieses Feldes ist Ursache für die Zirkulation von B.
führte das Konzept eines Verschiebungssstroms ein, der zwischen den Elek~ aufbaut)
troden des Plattenkondensators (in dem sich ein elektrisches Feld E
fließt. Mit dem Ansatz für die Verschiebungsstromdichte
~
~js = ✏0 @ E ,
@t
in der verallgemeinerten Ampere’schen Beziehung
I
Z ⇣
⌘
~ · d~s = µ0 I = µ0
~,
~j + ~js · dS
B
C
S
(9.30)
(9.31)
92
und dem Stokes’schen Satz
I
Z ⇣
⌘
~ · d~s =
~ ⇥B
~ · dS
~,
B
r
C
(9.32)
S
ergibt sich die di↵erentielle Form der Maxwell Gleichung als
~
~ ⇥B
~ = µ0 ~j + µ0 ✏0 @ E .
r
@t
(9.33)
Magnetfelder entstehen durch freie oder atomare Ströme
und durch zeitlich sich ändernde elektrische Felder.
9.7
Ursprung elektrischer Felder
Es gibt zwei Ursachen für das Auftreten eines elektrischen Feldes:
1. Elektrisches Feld durch ruhende Ladungen: (Statik)
~ ⇥E
~ =0
r
und
~ ·E
~ = 1 ⇢.
r
✏0
Die Feldlinien starten in + Ladungen und enden in
~ = r
~ .
Dieses Feld ist konservativ, E
(9.34)
Ladungen.
2. Elektrisches Feld durch Magnetfeldänderung: (Dynamik)
~ ⇥E
~ =
r
@B
.
@t
(9.35)
Dabei entstehen (in Abwesenheit von Ladungen) elektrische Feldlinien die
geschlossen sind. Dieser Anteil des elektrischen Feldes kann nicht durch
den Gradienten eines skalaren Potentials angegeben werden.
~ muß man die Zeitabhängigkeit des Vektorpotentials
Zur Berechnung von E
mit hinzunehmen,
~ =
E
~
r
~
@A
.
@t
(9.36)
~ =r
~ ⇥A
~ definiert wurde (siehe Gl. 7.24)
Da das Vektorpotential über B
erfüllt der Ansatz (9.36) die zweite Maxwell Gleichung (9.35).