GIN1b Folien, Version 1.0beta

Grundlagen der Informatik 1b – Mathematische
Grundlagen/Diskrete Strukturen, WS03/04
Prof. Dr. Wolfram Conen
[email protected]
Raum: P -1.08
Version 1.0β , 20. Februar 2004∗
∗ Diese Version enthält nur einige wenige syntaktische Korrekturen zur letzten Version. Die Inhalte, die ich im Vergleich zur Vorlesung als fehlend markiert habe, sind erst für die Sommerklausuren von Bedeutung (und werden
dann verfügbar sein). Mein Dank für Verbesserungsvorschläge und Hinweise zu Fehlern geht an B. Borg, G. Jansen, B.
Köppchen, N. Tocha, P. Backs (die hier stellvertretend für die anderen Hinweisgeber genannt sein sollen) – verbleibende
Fehler sind natürlich allein meine Schuld, für weitere Hinweise bleibe ich dankbar!
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„Meine Gedankenwelt, d.h. die Gesamtheit S aller Dinge, welche Gegenstand meines Denkens sein können, ist unendlich“ (Richard Dedekind in Was sind und was sollen die Zahlen?, 1888, Vieweg)
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 2
Inhalte
• Mengen und das Unendliche
• Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
• Graphen und das Geheimnis des kürzestens Wegs: von Problemen, Schwierigkeiten und Näherungslösungen
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Ziele aus der Modulbeschreibung . . .
• Erkennen der grundlegenden Bedeutung von mathematischen/theoretischen Instrumenten für das Finden und die Analyse von Problemlösungen.
• Beherrschen der grundlegenden Begrifflichkeiten, der wichtigsten Resultate und
der wesentlichen Beweisverfahren.
• Überblicksartige Kenntnisse der grundlegenden theoretischen Resultate und Methoden, die wichtigen Einfluss auf weitere Felder der Informatik haben (z.B. auf
Algorithmik, Sprachen, künstliche Intelligenz).
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Literatur...
Kaufen Sie erstmal nichts! Aber schauen können Sie in
• Deiser: Einführung in die Mengenlehre, Springer 2002
• Schöning: Logik für Informatiker, 5.Aufl., Spektrum, 2000
• Sehr nett (und günstig) als einführende Lektüre zur Logik auch HoyningenHuene: Formale Logik, Reclam, 1998
• Gritzmann, Brandenberg: Das Geheimnis des kürzesten Weges, Springer, 2.
Aufl., 2003
Für den Blick über den Tellerrand dieser Vorlesung:
• Schöning: Ideen der Informatik, Oldenbourg, 2002 (auch als Quelle für den Logikteil)
• Steger bzw. Schickinger, Steger: Diskrete Strukturen, Band 1 und 2, Springer,
2001
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Unterlagen...
Für Skriptversionen, Übungsblätter, aktuelle Nachrichten usw. schauen Sie bitte unter
http://www.informatik.fh-gelsenkirchen.de/conen
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Mengen und das Unendliche
Was ist Mengenlehre?
„Die Mengenlehre ist die Untersuchung von Ordnung und Größe in der Mathematik.“ (Oliver Deiser in Einführung in die Mengenlehre, 2002, Springer)
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 7
Mengen und das Unendliche
Fragen zur Mengenlehre
•
•
•
•
Was ist eine Menge, was ist ein Element?
Wie definiert man Mengen?
Wie mißt man die Größe einer Menge? Wie vergleicht man Mengen?
Was kann man mit der Mengenlehre tun?
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Mengen und das Unendliche
Historischer Überblick
Die Mengenlehre wurde im letzten Viertel des 19. Jahrhunderts von G EORG C AN TOR entwickelt - zunächst galt das (nicht unproblematische) „naive Kompressionsprinzip“:
„Zu jeder Eigenschaft existiert die Menge aller Objekte, auf die diese
Eigenschaft zutrifft“
E RNESTO Z ERMELO und andere (u.a. auch J OHN VON N EUMANN !) haben die Mengenlehre axiomatisch präzisiert und formalisiert.
Die axiomatische Mengenlehre kann alle Objekte der Mathematik zur Verfügung
stellen, z.B. Zahlen aller Art, Funktionen, geometrische Gebilde etc. - d.h. es existieren auf dem Mengenbegriff basierende Definitionen dieser Begriffe, die alle erwünschten und in der Mathematik benötigten Eigenschaften der Objekte bereitstellt.
Die Mengenlehre eignet sich damit als Grundlagendisziplin für die Mathematik selbst
(und auch die Informatik)!
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 9
Mengen und das Unendliche
Bedeutung der Mengenlehre
Deiser schreibt: „Heute ist die Mengenlehre nicht nur Rahmen für die Mathematik,
sondern selbst eine schillernde mathematische Theorie. Sie fasziniert ... durch die
stille Schönheit ihrer ersten Konzepte und durch deren erstaunliche und anscheinend noch bei weitem nicht ausgelotete Reichweite und Tragfähigkeit.“
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Mengen und das Unendliche
Menge und Element
Im weiteren schreiben wir für „a ist Element von X “ a ∈ X .
C ANTOR 1895 im Original: „Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung
oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem
Ganzen.“
„Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente haben“ (Extensionalitätsprinzip)
Den Begriff Menge hat übrigens B ERNARD B OLZANO eingeführt. Neben Menge wurden auch Mannigfaltigkeit, Gesamtheit, Inbegriff, Varietät, und Klasse verwendet (die
Liste ist sicher nicht komplett).
Heute gilt Menge als ein nicht weiter definierter Grundbegriff - irgendwo muss man
anfangen!
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 11
Mengen und das Unendliche
Mengen sind Ideen . . .
Nochmals C ANTOR: „Unter einer ... Menge verstehe ich nämlich allgemein jedes
Viele, welches sich als Eines denken läßt, d.h. jeden Inbegriff bestimmter Elemente,
welcher durch ein Gesetz zu einem Ganzen verbunden werden kann, und ich glaube
hiermit etwas zu definieren, was verwandt ist dem Platonischen ... iδα.“
Mengen existieren als Ideen unabhängig von uns! (Und dies gilt allgemein für die
Objekte der Mathematik)
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 12
Mengen und das Unendliche
Zahlen
Wir setzen:
•
•
•
•
N = „die Menge der natürlichen Zahlen“
Z = „die Menge der ganzen Zahlen“
Q = „die Menge der rationalen Zahlen“
R = „die Menge der reellen Zahlen“
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 13
Mengen und das Unendliche
Natürliche und ganze Zahlen
• Die natürlichen Zahlen enthalten die 0 als Element.
• Natürliche Zahlen schreiben wir in Dezimalschreibweise: 0,1,2,3,. . . ,10,11,. . . .
• Eine ganze Zahl schreiben wir in der Form +n oder −n, wobei n eine natürliche
Zahl ist. Also +0,-0,+1,-1,+2,-2 . . . . Es gilt +0 = −0.
• Jede nichtleere Menge von natürlichen Zahlen hat ein kleinstes Element. Ist A
eine nichtleere Menge von natürlichen Zahlen, so sei min(A) = „das (eindeutig
bestimmte) kleinste Element von A (Minimum von A)“
Beispiel: min({7, 9, 15, 4, 6}) = 4.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 14
Mengen und das Unendliche
Rationale Zahlen
Schreibweisen:
• Bruch: +n/m bzw. −n/m, mit n, m ∈ N, m 6= 0
• Endlicher Dezimalbruch: ±n, a1 . . . ak
• Periodisch endender, unendlicher Dezimalbruch: ±n, b1 . . . bma1 . . . ak a1 . . . ak . . .
(wobei n, m, k ∈ N und 0 ≤ ai, bj < 10 für alle 1 ≤ i ≤ k bzw. 1 ≤ j ≤ m
gilt.)
Beispiele:
−17/8 = −2, 125,
1/7 = 0, 142857142857142857 . . . ,
1/700 = 0, 00142857142857142857 . . . ,
1/3 = 0, 333 . . .
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 15
Mengen und das Unendliche
Reelle Zahlen
• Dezimalbruch: ±n, a1a2a3 . . . , n ∈ N, 0 ≤ ai < 10 für alle i ≥ 1.
• Sei x eine reelle Zahl. Ist eine Dezimaldarstellung von x in der Form
±n, a1 . . . ak 000 . . . , so sagen wir, dass diese Dezimaldarstellung von x trivial
endet.
• Jede reelle, von 0 verschiedene Zahl x hat eine eindeutige nicht trivial endende Dezimaldarstellung! Es gilt beispielsweise:
1,000
1,1245000. . .
-1,01000
=
=
=
0,999. . .
1,1244999. . .
-1,009999. . .
Diese nicht-triviale Dezimaldarstellung nennen wir die kanonische (unendliche)
Dezimaldarstellung von x.
Beachte: 0,000. . . ist die kanonische, unendliche Dezimaldarstellung der 0.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 16
Mengen und das Unendliche
Mathematische Objekte
Wir setzten im Weiteren N, Q, Z, R, die üblichen Rechenoperationen und die natürlichen Ordnungsbeziehungen < und ≤ als gegeben voraus.
Die mathematischen Grundobjekte (Urelemente) sind die natürlichen,
ganzen, rationalen und reellen Zahlen.
Jede Menge ist ein mathematisches Objekt.
Beachten Sie: Ist b eine Menge und a ∈ b, so ist a ein Grundobjekt oder eine
Menge.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 17
Mengen und das Unendliche
Einige Konvention
• Wir identifizieren n ∈ N mit +n ∈ Z
• +n bzw. −n ∈ Z mit +n/1 bzw. −n/1 ∈ Q
• ±n, a1 . . . ak ∈ Q mit ±n, a1 . . . ak 000 · · · ∈ R, d.h., jede natürliche Zahl ist
eine ganze Zahl, jede ganze Zahl eine rationale Zahl und jede rationale Zahl
eine reelle Zahl.
• Der Betrag |x| einer reellen Zahl x ist definiert durch
|x| =
(
x,
−x,
falls x ≥ 0,
sonst.
Später führen wir die Mächtigkeit einer Menge M ein, diese wird mit |M | bezeichnet, der Bezug wird Verwechselungen verhindern.
• Sind x1, . . . , xn reelle Zahlen, so bezeichnet min(x1, . . . , xn) die Kleinste und
max(x1, . . . , xn) die Größte der Zahlen x1, . . . , xn.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 18
Mengen und das Unendliche
Einfache Mengenbildungen
• a ∈ b: „a ist Element von b“, „a Element b“, „a in b“
• a∈
6 b (oder auch non(a ∈ b)): „a ist nicht Element von b“
Definition 1. [Direkte Angabe der Elemente, Einermengen, Paarmengen]
Seien n ∈ N, n ≥ 1 und a1, . . . , an Objekte. Wir setzen:
{a1, . . . , an} = „die Menge, die genau a1, . . . , an als Elemente enthält“.
Speziell heißen für Objekte a, b die Menge {a} die Einermenge von a und {a, b}
die (ungeordnete) Paarmenge von a, b.
Es gilt also für alle x x ∈ {a1, . . . , an} gdw. x = ai für ein i ∈ N mit 1 ≤ i ≤ n.
Hier steht gdw. für genau dann, wenn bzw. dann und nur dann, wenn.
Beachte: Für die Bildung von Paarmengen ist a 6= b nicht vorausgesetzt! Nach dem
Extensionalitätsprinzip gilt:
{a} = {a, a} = {a, a, . . . , a}
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 19
Mengen und das Unendliche
{a, b} = {b, a}
{a, b} = {a} gdw. a = b
Definition 2. [Leere Menge]
Wir setzen:
∅ = „die Menge, die keine Elemente enthält“.
∅ heißt die leere Menge oder die Nullmenge. Sie wird auch mit {} bezeichnet.
Merke: Die leere Menge kann Element einer anderen Menge sein! M = {∅} =
{{}} hat ein Element (die leere Menge). M = {∅, {∅}} hat zwei (verschiedene!)
Elemente.
Jetzt können wir Mengen durch Aufzählung definieren (in dem wir ihre Extension,
also ihre Elemente, angeben). „Einfacher“ ist es häufig, Mengen über eine Eigenschaft, die ihren Elementen gemeinsam ist, zu definieren.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 20
Mengen und das Unendliche
Mengenbildung über Eigenschaften
Definition 3.
Sei E(x) eine Eigenschaft. Wir setzen:
{x|E(x)} = „die Menge aller Objekte x, auf die E(x) zutrifft“.
Wir sagen auch: {x|E(x)} ist die „Menge aller x mit E(x)“.
Es gilt z.B. z ∈ {x|E(x)} gdw. E(z) (die Eigenschaft also für z gilt).
Eine genaue Definition von Eigenschaften ist hier (noch) nicht nötig. Intuitiv ist eine
Eigenschaft E eine mathematische Aussage über mathematische Objekte. Es gilt
für jedes Objekt z und jede Eigenschaft E entweder E(z) oder non(E(z)) (d.h., z
hat die Eigenschaft E oder es hat die Eigenschaft E nicht).
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 21
Mengen und das Unendliche
Auswahl von Elementen
Man bezieht sich häufig auf eine bereits definierte Menge und wählt Elemente daraus aus, z.B. U = {x ∈ N|x ist ungerade} (alle ungeraden natürlichen Zahlen).
Definition 4. [Aussonderung]
Sei M eine Menge und E(x) eine Eigenschaft. Wir setzen:
{x ∈ M |E(x)} = {x|x ∈ M und E(x)}
Definition 5. [Parameter einer Eigenschaft]
Sei E eine Eigenschaft. Die Parameter von E sind die in E vorkommenden mathematischen Objekte.
In M = {x|x < 11 und x ∈ N} sind 11 und N die Parameter (und x eine Variable).
Jede „aufgezählte“ Menge der Form {a1, . . . , an} können wir auch über eine Eigenschaft definieren („intensional“): {a1, . . . , an} = {x|x = a1 oder . . . oder x = an}
(hier sind a1, . . . , an dann die Parameter).
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 22
Mengen und das Unendliche
Das naive Komprehensionsprinzip
(Komprehension: lat. Zusammenfassung)
Naives Komprehensionsprinzip für Eigenschaften: Ist E eine Eigenschaft über
mathematische Objekte, so existiert die Menge {x|E(x)} aller Objekte x, für die
E(x) erfüllt ist.
Dieses Prinzip führt zu Problemen! Warum? Erinnern Sie sich an den ersten
Übungszettel! Wir kommen darauf zurück.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 23
Mengen und das Unendliche
Teilmengen
Definition 6. [Teilmenge und Obermenge]
Seien a und b Mengen.
1. a ist Teilmenge von b, in Zeichen a ⊆ b, falls für alle x ∈ a gilt x ∈ b.
2. a ist echte Teilmenge von b, in Zeichen a ⊂ b, falls a ⊆ b und a 6= b.
3. Ist a ⊆ b, so heißt b Obermenge von a, in Zeichen b ⊇ a.
4. Ist a ⊂ b, so heißt b echte Obermenge von a, in Zeichen b ⊃ a.
Wenn Sie nach einer Definition für = suchen, dann erinnern Sie sich an das Extensionalitätsprinzip: zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn Sie die gleichen
Elemente haben, mit anderen Worten: Seien a und b Mengen. Dann schreiben wir
a = b, falls für alle x ∈ a gilt x ∈ b und für alle x ∈ b gilt x ∈ a, oder, kürzer:
Definition 7. [Gleichheitskriterium]
Für alle Mengen a, b gilt: a = b gdw. a ⊆ b und b ⊆ a.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 24
Mengen und das Unendliche
Beachten sie: Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge (mit folgender Begründung: es ist für eine Menge M zu überprüfen, ob jedes x ∈ ∅ auch in M ist. Es gibt
aber gar keine x in ∅, also ist jedes x ∈ ∅ in M ! q.e.d)
Die Teilmengen-„Relation“ ⊆ ist transitiv: seien Mengen a, b, c mit a ⊆ b und
b ⊆ c, dann gilt auch a ⊆ c!
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 25
Mengen und das Unendliche
Einfache Operationen mit Mengen (1)
Definition 8. [Vereinigung; Schnitt; Subtraktion; Disjunktheit]
Seien a, b Mengen. Die Vereinigung a ∪ b (sprich: a vereinigt b), der Schnitt a ∩ b
(a geschnitten b) und die Subtraktion a − b (oft auch: a\b, sprich a minus b bzw. a
ohne b) sind definiert durch:
a ∪ b = {x|x ∈ a oder x ∈ b}
a ∩ b = {x|x ∈ a und x ∈ b}
a − b = {x|x ∈ a und x 6∈ b} = {x ∈ a|x 6∈ b}
a und b heißen disjunkt, falls a ∩ b = ∅ (d.h., ihre Schnittmenge ist leer).
Assoziativgesetze für Vereinigung und Durchschnitt:
Seien a, b, c Mengen. Dann gilt:
(i)
(a ∪ b) ∪ c = a ∪ (b ∪ c)
(ii) (a ∩ b) ∩ c = a ∩ (b ∩ c)
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 26
Mengen und das Unendliche
Einfache Operationen mit Mengen (2)
Definition 9. [Relative Komplemente]
Seien a, b Mengen und a ⊆ b. Dann heißt b − a das relative Komplement von
a in b. Ist b fixiert, so nennen wir b − a kurz das Komplement von a, und setzen
ac = b − a.
Satz 10. [Eigenschaften der relativen Komplemente] Sei d eine Menge. Weiter
seien a, b ⊆ d. Dann gilt für die relativen Komplemente in d:
(i)
a ∪ ac = d
(ii)
a ∩ ac = ∅
(iii) (a ∩ b)c = ac ∪ bc
(iv) (a ∪ b)c = ac ∩ bc.
Die beiden letzen Aussagen werden auch als de Morgansche Regeln bezeichnet.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 27
Mengen und das Unendliche
Beweise der letzten Aussagen
Zu (iii): Wir zeigen zunächst (a ∩ b)c ⊆ ac ∪ bc: Sei x ∈ (a ∩ b)c, so gilt
(1) x ∈ d und
(2) x 6∈ a oder x 6∈ b.1
Für x 6∈ a ist wg. 1. x ∈ d − a = ac.
Für x 6∈ b ist wg. 1. x ∈ d − b = bc.
Also gilt immer: x ∈ ac oder x ∈ bc, also x ∈ ac ∪ bc.
Nun zu (a ∩ b)c ⊇ ac ∪ bc: Sei x ∈ ac ∪ bc, dann gilt: x ∈ d − a oder x ∈ d − b.
Im ersten Fall ist x ∈ d − (a ∩ b) wg. d − a ⊆ d − (a ∩ b).
Im zweiten Fall ist x ∈ d − (a ∩ b) wg. d − b ⊆ d − (a ∩ b).
Also gilt in beiden Fällen:
x ∈ d − (a ∩ b) = (a ∩ b)c.
Aus dem Gleichheitskriterium folgt die behauptete Aussage (a ∩ b)c = ac ∪ bc.
(iv) läßt sich analog zeigen.
1 Warum? x ist im Komplement von (a ∩ b), d.h. x ∈ (d − (a ∩ b)), also gilt x ∈ d und x 6∈ a ∩ b. Das Zweite ist
gleichbedeutend (äquivalent) mit x 6∈ a oder x 6∈ b.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 28
Mengen und das Unendliche
Weitere einfache Eigenschaften
Distributivgesetz: Für alle Mengen a, b, c gilt:
(i)
(a ∪ b) ∩ c = (a ∩ c) ∪ (b ∩ c)
(ii) (a ∩ b) ∪ c = (a ∪ c) ∩ (b ∪ c)
Beweis in den Übungen.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 29
Mengen und das Unendliche
Mengensysteme
Definition 11. [Mengensysteme]
Ein Mengensystem M ist eine Menge, deren Elemente alle Mengen sind, d.h. M
enthält keine Grundobjekte als Elemente.
Sei nun M ein Mengensystem.TDann setzen wir:
Durchschnitt von M :
M = {x| Für alle a ∈ M ist x ∈ a}
S
Vereinigung von M :
M = {x| es existiert ein a ∈ M mit x ∈ a}
S
T
Erläuterung: Streng nach Definition (so sagt Deiser) gilt: ∅ = ∅ und ∅ = {x| ist
T
ein Objekt }. Deiser erklärt: Sei x beliebig. Wir zeigen x ∈ ∅. Hierzu ist zu zeigen:
Für alle a ∈ ∅ gilt x ∈ a. Es gibt aber gar keine a ∈ ∅, also ist die Aussage sicher
richtig. So ganz streng nach der Definition ist das Zweite aber im Grunde nur unter
Berücksichtigung einer Setzung, die auf einer Konvention in der (mathematischen)
Logik beruht, zu der wir später noch kommen werden: eine Eigenschaft ist für alle
x ∈ M genau dann erfüllt, wenn es kein x ∈ M gibt, für dass sie nicht erfüllt ist
– und dies ist insbesondere immer dann erfüllt, wenn es gar kein x in M gibt – das
letztere ist die Konvention, deren Sinn man philosophisch hinterfragen könnte.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 30
Mengen und das Unendliche
Potenzmenge
Definition 12. [Potenzmenge]
Sei M eine Menge. Dann ist die Potenzmenge von M , in Zeichen P(M ), die
Menge aller Teilmengen von M : P(M ) = {a|a ⊆ M }
• Für alle Mengen M gilt: ∅ ∈ P(M ), M ∈ P(M ).
• Weiter gilt für alle Mengen a: mit a ∈ P(M ) folgt M − a ∈ P(M ).
Beispiel:
M = {1, 2, 3}
P(M ) = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 31
Mengen und das Unendliche
Grundlegende Fragen
(A) Was ist eigentlich ein mathematisches Objekt?
– Alle mathematischen Objekte (Zahlen, Funktionen, usw.) können als Mengen
interpretiert werden.
(B) Welche mathematischen Objekte (=Mengen) existieren?
– Axiome bestimmen grundlegende Mengen. Axiome und darin verwendete Eigenschaften von Mengen/Objekten werden als logische Formeln formuliert. Mit ihrer
Hilfe kann man die Existenz von Mengen folgern und Zusammenhänge zwischen
Mengen beweisen.
Beispiel Potenzmengenaxiom: Zu jeder Menge M existiert die Potenzmenge von
M , d.h.: Für alle M gibt es ein P mit der Eigenschaft: Für alle x gilt x ∈ P gdw.
x ⊆ M.
Als logische Formel: ∀M ∃P ∀x(x ∈ P ↔ ∀y(y ∈ x → y ∈ M )), zu lesen als:
Für alle M existiert ein P , so dass für alle x gilt: x ist in P genau dann, wenn für
alle y gilt: aus y in x folgt y in M .
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 32
Mengen und das Unendliche
Mit der Abkürzung a ⊆ b für ∀c(c ∈ a → c ∈ b): ∀M ∃P ∀x(x ∈ P ↔ x ⊆ M )
Verwendete Symbole:
∀ entspricht „für alle“
∃ entspricht „es existiert ein“ (mindestens eins, nicht genau eins!)
→ entspricht „(es) folgt“ (bzw. „aus . . . folgt . . . “)
↔ entspricht „gdw.“
(C) Was genau ist ein mathematischer Beweis einer Aussage?
– Eine schrittweise Umformung von Formeln mit Hilfe eines Kalküls, der Regeln
angibt, wie bestimmte Zeichenketten in andere verwandelt werden dürfen.
Mit den Axiomen und einem präzisen Beweisbegriff kann man metamathematische
Fragen stellen, z.B. Was ist beweisbar?. Wesentlich sind folgende Fragen:
(L1) Ist das Axiomensystem widerspruchsfrei? (Zu bejahen, wenn die Aussagen
0 = 1 oder ∃x x 6= x sich formal nicht aus den Axiomen ableiten lassen)
(L2) Ist das Axiomensystem vollständig? (Zu bejahen, wenn für jede Aussage φ ein
Beweis von φ oder ein Beweis der Negation von φ, in Zeichen ¬φ, existiert – jede
Aussage läßt sich also entweder beweisen oder widerlegen)
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 33
Mengen und das Unendliche
Glauben Sie, dass sich ein solches Axiomensystem für die Mengenlehre (und, darauf aufbauend, für die anderen Zweige der Mathematik) finden läßt?
K URT G ÖDEL beantwortete in den 30er Jahren des 20. Jahrhunderts die Fragen wie
folgt (aufbauend auf F REGE , H ILBERT, RUSSELL):
(zu L1): Wir können es nicht sicher wissen: die Widerspruchsfreiheit der axiomatischen Mengenlehre ist unbeweisbar!
(zu L2): Nein! Ist das zugrunde gelegte Axiomensystem der Mengenlehre widerspruchsfrei, so gibt es stets Aussagen, die weder beweisbar noch widerlegbar sind!
(Ist es widerspruchsvoll, dann verliert die Frage ihren Sinn, denn dann ist jede Aussage beweisbar)
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 34
Mengen und das Unendliche
Abbildungen zwischen Mengen
• Sehr nützlich ist der Begriff des geordneten Paares P von zwei Objekten a,b, in
Zeichen: P = (a, b). Aber in der Mengenlehre gilt immer: {a, b} = {b, a} für
zwei beliebige Objekte a,b.
• Geordnete Paare müssen die folgende Eigenschaft erfüllen: (a, b) = (c, d) gdw.
a = c und b = d.
Definition 13. [Geordnetes Paar] 2
Seien a, b Objekte. Dann ist das geordnete Paar von a und b, in Zeichen (a, b),
definiert durch: (a, b) = {{a}, {a, b}}
2 Andere Definitionen sind möglich, z.B. von Hausdorff die Obige ist von Kuratowski): (a, b) = {{a, 1}, {b, 2}}. Die
ist aber nicht so schön, weil wir neue, von a und b unterscheidbare Objekte einführen müssen, und für ein Paar aus
diesen Objekten 1 und 2 brauchen wir dann neue „Indikatorobjekte“ usw.
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Mengen und das Unendliche
Kreuzprodukt
Definition 14. [Kreuzprodukt oder kartesisches Produkt]
Seien A, B Mengen. Dann ist das Kreuzprodukt von A, B , in Zeichen A × B
(sprich: A kreuz B ), definiert durch: A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} = {x|x =
(a, b) für ein a ∈ A und ein b ∈ B}.
Beispiel: Für A = {1, 2} und B = {a, b, c} ist
A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}.
Das Kreuzprodukt sammelt also alle Möglichkeiten ein, die Objekte der beiden beteiligten Mengen miteinander zu paaren. Man kann das Kreuzprodukt natürlich auch
für 3 oder mehr Mengen definieren.
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Mengen und das Unendliche
Relation
Mit Hilfe der geordneten Paare können wir nun den Begriff der Relation definieren
(wir kennen bereits die Beziehungen/Relationen =,⊆,∈ usw.):
Eine Relation ist eine Menge von geordneten Paaren.
D.h., jede Menge R von geordneten Paaren liefert eine Relation (genannt R). Zwei
Objekte a, b stehen in der Relation R zueinander genau dann, wenn (a, b) ∈ R.
Definition 15. [Relation]
Eine Menge R heißt (zweistellige) Relation, falls jedes x ∈ R ein geordnetes Paar
ist. Ist A eine Menge und gilt R ⊆ A × A, so heißt R Relation auf A.
Sind a, b Objekte und gilt (a, b) ∈ R, so schreiben wir hierfür auch aRb (InfixNotation).
Beispiel: Für A = {1, 2} und B = {a, b, c} (s. Kreuzproduktbeispiel) bestimmt
jede Teilmenge von P(M ) eine Relation, z.B. R1 = {(1, a), (2, b)} oder auch
R2 = {(1, a), (1, b), (2, b), (2, c)}.
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Mengen und das Unendliche
Definitions- und Wertebereich
Definition 16. [Definitionsbereich, Wertebereich]
Sei R eine Relation. Wir setzen:
dom(R) = {a| es existiert ein b mit (a, b) ∈ R}
rng(R)
= {b| es existiert ein a mit (a, b) ∈ R}.
dom(R) heißt der Definitionsbereich von R (dom für engl. domain).
rng(R) heißt der Wertebereich von R (rng für engl. range).
Beispiel: Der Definitionsbereich dom(R1) von R1 aus dem letzten Beispiel ist
{1, 2}, der Wertebereich rng(R1) ist {a, b}.
• Die Ordnungsbeziehungen „kleiner“ und „kleinergleich“ auf den Zahlmengen
N, Z, Q, R sind Relationen:
<N= {(n, m) ∈ N × N|n ist kleiner als m}
≤Q= {(p, q) ∈ Q × Q | p ist kleiner als q oder p ist gleich q}.
• Man kann nun z.B. ≤R als <R ∪{(x, x)|x ∈ R} definieren.
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Mengen und das Unendliche
• Es gilt <7N ⊆ <Z ⊆ <Q ⊆ <R (den Index lassen wir i.d.R. weg).
• Zur Schreibweise: Normalerweise schreiben wir (a, b) ∈<N als a <N, aber
beide Schreibweisen sind austauschbar.
Definition 17. [reflexiv, symmetrisch, transitiv]
Sei R eine Relation auf einer Menge A.
1. R heißt reflexiv, falls für alle x ∈ A gilt xRx.
2. R heißt symmetrisch, falls für alle x, y ∈ A gilt: aus xRy folgt yRx.
3. R heißt transitiv, falls für alle x, y, z ∈ A gilt: aus xRy und yRz folgt xRz .
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Mengen und das Unendliche
Äquivalenzrelation
Definition 18. [Äquivalenzrelation]
Sei R eine Relation auf einer Menge A. R heißt Äquivalenzrelation auf A, falls R
reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Für jedes x ∈ A ist dann die Äquivalenzklasse von x bzgl. der Äquivalenzrelation
R, in Zeichen x/R (sprich: x modulo R), definiert durch x/R = {y ∈ A|xRy}.
Weiter ist A/R (Sprich: A modulo R) definiert durch A/R = {x/R|x ∈ A}.
x/R ist also die Menge aller Elemente aus A, die mit x in Relation R stehen. A/R ist die Menge all dieser Klassen.
Beispiel: für ein festes m ∈ N, m ≥ 1, sei die Relation %m auf N definiert durch:
%m = {(a, b) ∈ N × N| a und b haben den gleichen Rest bei Division durch m }.
Dann ist %m eine Äquivalenzrelation auf N (prüfen sie: %m ist reflexiv, symmetrisch
und transitiv). Für m = 3 gilt z.B. 2 %3 5 (denn beide lassen sich mit Rest 1 durch 3
teilen) und es gibt genau drei Äquivalenzklassen (welche? Natürlich die natürlichen
Zahlen, die sich mit Rest 0, 1 oder 2 durch 3 teilen lassen) – übrigens bilden diese
drei Klassen eine Zerlegung von N (vgl. die Aufgabe Zerlegungsbegriff).
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Mengen und das Unendliche
Der Funktionsbegriff
Intuition: eine Funktion kann man als eine „Vorschrift“ ansehen, die Objekten andere
Objekte eindeutig zuordnet. Aber zunächst definieren wir den Begriff „extensional“:
Definition 19. [Funktion]
Sei f eine Menge von geordneten Paaren. f heißt Funktion, falls für alle a, b1, b2
gilt: aus (a, b1) ∈ f und (a, b2) ∈ f folgt b1 = b2. (Rechtseindeutigkeit)
Funktionen sind rechtseindeutige Relationen!
Wir schreiben auch f (a) = b für (a, b) ∈ f .
Definition 20. [Bild unter einer Funktion]
Ist f eine Funktion und f (a) = b, so heißt b das Bild von a unter f .
Definition 21. [Funktion von A nach B ]
Sei f eine Funktion und seien A, B Mengen. f heißt Funktion von A nach B , in
Zeichen f : A → B , falls gilt: dom(f ) = A und rng(f ) ⊆ B . Die Menge B
werden wir auch Zielbereich nennen.
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Mengen und das Unendliche
Beispiel: Bei f (n) = 0 für alle n ∈ N schreibt man z.B. f : N → N.
Definition 22. [injektiv,surjektiv,bijektiv]
Sei f eine Funktion.
1. f heißt injektiv, falls für alle a1, a2, b gilt: aus f (a1) = b und f (a2) = b folgt
a1 = a2. (Linkseindeutigkeit: es werden nur verschiedene b „getroffen“!)
2. f heißt surjektiv nach B , falls gilt rng(f ) = B , d.h. für alle b ∈ B existiert ein
a ∈ dom(f ) mit f (a) = b. (Alle b aus B werden getroffen!)
3. f heißt bijektiv von A nach B , falls gilt: f ist injektiv und surjektiv von A nach
B . (Jedes b aus B wird genau einmal getroffen!)
Beachten Sie: die Eigenschaft injektiv benötigt keinen Zielbereich, um gelten zu
können (also können alle Funktionen nach Def. 19 diese Eigenschaft haben). Surjektivität und Bijektivität machen hingegen nur Sinn, wenn man sich für einen bestimmten Zielbereich interessiert (also können nur Funktionen, für die ein solcher
Bezug nach Def. 21 angegeben wurde, auf Surjektivität und Bijektivität untersucht
werden).
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Mengen und das Unendliche
Einige einfache Folgerungen (s. auch Übung):
1. Ist f : A → B , so ist f : A → rng(f ) surjektiv.
2. Ist f : A → B injektiv, so ist f : A → rng(f ) bijektiv.
3. Ist f : A → B bijektiv, so existiert ein bijektives g : B → A.
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Mengen und das Unendliche
Einfache Operationen auf Funktionen (I)
Definition 23. [Einschränkung und Fortsetzung einer Funktion]
Seien f : A → B und C ⊆ A. Dann setzen wir f |C = {(a, b) ∈ f |a ∈ C}. f |C
heißt die Einschränkung von f auf C .
Sind f, g Funktionen mit f ⊆ g , so heißt g eine Fortsetzung von f .
Definition 24. [Umkehrfunktion]
Sei f eine injektive Funktion. Dann ist die Umkehrfunktion von f , in Zeichen f −1,
definiert durch f −1 = {(b, a)|(a, b) ∈ f }.
−1
Es gilt: f −1 ist injektiv, dom(f −1) = rng(f ), rng(f −1) = dom(f ), f −1
= f.
Beachten Sie: Injektivität und Umkehrbarkeit bauen auf dem allgemeinen Funktionsbegriff aus Def. 19 auf, sie benötigen also keinen Zielbereich, um zu „funktionieren“.
Definition 25. [Verkettung/Verknüpfung von Funktion]
Seien f : A → B und g : B → C . Dann ist die Verkettung g ◦ f der Funktionen
f und g (sprich: g nach f), definiert durch: g ◦ f = {(a, c)|a ∈ A, (f (a), c) ∈ g}.
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Mengen und das Unendliche
Einfache Operationen auf Funktionen (II)
Definition 26. [Identität]
Sei A eine Menge. Dann ist die Identität auf A, in Zeichen idA, definiert durch
idA = {(a, a)|a ∈ A}.
Es gilt idA : A → A. idA ist natürlich eine Bijektion von A nach A.
Satz 27. [Verkettung zur Identität]
(a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(i) f : A → B ist injektiv
(ii) Es existiert eine Funktion g : B → A mit g ◦ f = idA
(b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(i) f : A → B ist surjektiv
(ii) Es existiert eine Funktion g : B → A mit f ◦ g = idB
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Mengen und das Unendliche
Beweis zur ersten Äquivalenz
Beweis: Beachten Sie zunächst, dass zwei Aussagen (i) und (ii) äquivalent sind,
in Zeichen (i) ⇔ (ii), wenn die eine jeweils aus der anderen folgt, also (i) ⇒ (ii) und
(ii) ⇒ (i). Äquivalenzen von drei oder mehr Aussagen kann man zeigen, indem man
Ringe von Schlüssen bildet. Bei drei Aussagen (i),(ii),(iii) zeigt man dann z.B. (i)
⇒ (ii), (ii) ⇒ (iii) und (iii) ⇒ (i). Aus der Transitivität der logischen Implikation folgt
dann auch (i) ⇒ (iii), (iii) ⇒ (ii) und (ii) ⇒ (i), und damit folgen die gewünschten
Äquivalenzen.
Hier ist aber nur die Äquivalenz von zwei Aussagen zu zeigen. Nun zu (a): Wir
zeigen zunächst (i) ⇒ (ii), d.h. wir zeigen, dass aus der Injektivität einer Funktion
f : A → B folgt, dass eine Funktion g : B → A existiert mit g ◦ f = idA.3
Seien B 0 = rng(f ) und a ∈ A beliebig. Definiere nun g : B → A durch g|B 0 =
f −1 (das sind also die Fälle, in denen b aus dem Range von f stammt) und g(b) = a
3 Unsere Aufgabe ist es, eine Funktion g tatsächlich anzugeben, die die gewünschte Eigenschaft hat. Intuitiv ist klar,
dass die Umkehrfunktion von f eine wichtige Rolle spielen wird. Allerdings trifft f nicht notwendigerweise alle Elemente
von B , deshalb müssen wir die Umkehrfunktion noch sinnvoll erweitern für die Fälle, in denen ein b ∈ B nicht im Range
von f liegt.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 46
Mengen und das Unendliche
für b 6∈ B 0. Dann ist natürlich g ◦ f = idA.
Nun zur Richtung (ii) ⇒ (i): Sei f (a1) = b = f (a2) für a1, a2 ∈ A. Dann ist
g(b) = g(f (a1)) = idA(a1) = a1 und g(b) = g(f (a2)) = idA(a2) = a2, also
a1 = a2. Also ist f injektiv.4
Ganz ähnlich gehen wir beim Beweis von (b) vor:
(i) ⇒ (ii): Definiere g : B → A durch g(b) = „ein a ∈ A mit f (a) = b“. Beachte:
Ein a ∈ A mit f (a) = b existiert wg. rng(f ) = B nach Voraussetzung. Dann
gilt g : B → A und nach Definition von g ist f (g(b)) = b für alle b ∈ B . Also
f ◦ g = idB .
(ii) ⇒ (i): Sei b ∈ B . Wg. f ◦ g = idB ist f (g(b)) = b. Also ist b ∈ rng(f ), denn
f (a) = b für a = g(b). Also ist f : A → B surjektiv.
4 Hier wird also die Injektivitätbedingung geprüft – eine Funktion ist injektiv, wenn es kein Objekt in ihrem Range gibt,
das von zwei Objekten des Domains getroffen wird – mit anderen Worten: wenn für zwei beliebig ausgewählte Objekte
aus dem Domain die Bilder gleich sind, dann müssen die Objekte selbst identisch sein.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 47
Mengen und das Unendliche
Forts. zu Funktionen
Definition 28. [Bild, Urbild]
Sei f eine Funktion. Weiter seien A ⊆ dom(f ) und B eine beliebige Menge. Wir
00
00
setzen f A = {f (a)|a ∈ A} und f −1 B = {a ∈ dom(f )|f (a) ∈ B}.
00
00
f heißt das Bild von A unter f (sprich: f zwei Strich von A). f −1 B heißt das
Urbild von B unter f .
00
00
Es gilt f A ⊆ rng(f ) für alle A ⊆ dom(f ) und f −1 B ⊆ dom(f ) für alle Mengen
B . (Warum?)
Manche sprechen anstelle von Funktion auch von Abbildung, Transformation, Zuordnung oder auch Operator. Das suggeriert irgendeine „Tätigkeit“ – wir nehmen
hier anstelle einer etwas vagen, leicht geheimnisvoll scheinenden Position, die einer
Funktion etwas Dynamisches zuschreibt, eine Position ein, in der die Funktion nichts
tut, sondern (im statischen Sinne) nur ist. [In Anlehnung an P.R.Halmos, 1982, in „Naive Mengenlehre“]
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 48
Mengen und das Unendliche
Größenvergleiche
Wie vergleichen Neandertaler zwei große Haufen Nüsse? Große Zahlen kennen Sie
nicht! Wiegen können Sie nicht!
Der Algorithmus des Abtragens:
Nimm je eine Nuss von Haufen H1 und eine von Haufen H2 weg und lege sie
beiseite.
Wiederhole diese Paarbildung, bis einer der beiden Haufen aufgebraucht ist.
Mögliche Resultate:
(I) H1 ist am Ende aufgebraucht.
(II) H2 ist am Ende aufgebraucht.
(III) H1 und H2 sind am Ende aufgebraucht.
Das entspricht den drei Fällen:
(I) H1 hat weniger oder ebensoviele Nüsse wie H2.
(II) H2 hat weniger oder ebensoviele Nüsse wie H1.
(III) H1 und H2 haben gleichviele Nüsse.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 49
Mengen und das Unendliche
Diese Entsprechung bezeichnen wir als Korrektheit der Algorithmus, von der wir
intuitiv überzeugt sind (hoffentlich ;)
Übersetzen wir das bisher gesehene in unsere Sprache der Mengenlehre: Der Algorithmus erzeugt eine Funktion: Sei f die Menge aller Paare (a, b) ∈ H1 × H2,
die während des Abtragens entstehen.
Im Fall (I) ist f : H1 → H2 injektiv.
Im Fall (II) ist g = f −1 = {(b, a)|(a, b) ∈ f }. Dann ist g : H2 → H1 injektiv.
Im Fall (III) ist f : H1 → H2 bijektiv.
Aus der Korrektheit des Algorithmus folgt, dass das Ergebnis nicht vom Verlauf der
Paarbildung abhängt, d.h. jede mögliche Durchführung bzw. Funktion f , liefert das
gleiche Resultat.
Wir setzen:
|H1| ≤ |H2|, falls (I) eintritt.
|H2| ≤ |H1|, falls (II) eintritt.
|H1| = |H2|, falls (III) eintritt.
Beachte: Die Begriffe mehr, weniger, gleichviel beruhen nicht auf dem Zahlbegriff!
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 50
Mengen und das Unendliche
Definition 29. [Größenvergleich] Seien A und B Mengen. Dann ist die Mächtigkeit von A kleinergleich der Mächtigkeit von B , in Zeichen |A| ≤ |B|, falls gilt:
Es existiert ein injektives f : A → B .
Definition 30. [Gleichmächtig] Seien A und B Mengen. Dann ist A gleichmächtig zu B , in Zeichen |A| = |B|, falls gilt: Es existiert ein bijektives f : A → B .
Wir kommen jetzt zu einem wichtigen Satz, den C ANTOR 1883 formulierte und den
der 19-jährige F ELIX B ERNSTEIN 1897 bewies, den Satz von Cantor-Bernstein.
Der Satz selbst besagt etwas scheinbar triviales: Aus |M | ≤ |N | und |N | ≤ |M |
folgt |N | = |M |, d.h., wenn es zwei Injektionen f : M → N und g : N → M gibt,
so gibt es auch eine Bijektion h : M → N . Dies ist allerdings keineswegs klar!
B ERNSTEIN benötigte zunächst einen vorbereitenden Satz:
Satz 31. [Inklusionssatz] 5 Seien M, N Mengen mit N ⊆ M und |N | = |M |.
Weiter sei N 0 eine Menge mit N ⊆ N 0 ⊆ M . Dann gilt |N 0| = |M | = |N |.
5 Gibt es solche Mengen N, M, N 0 überhaupt? Nehmen wir mal an, dass alle Mengen paarweise verschieden sind.
Dann folgt aus N ⊆ M , dass jedes Element von N auch in M ist. Wir können also in jedem Fall eine Injektion von N
nach M finden, nämlich die Identität, die jedem Element aus dem Definitionsbereich sich selbst zuordnet. Aus |N | =
|M | folgt, dass es sogar eine Bijektion zwischen M und N gibt. Im Endlichen folgt hier unmittelbar N = M ! Und damit
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 51
Mengen und das Unendliche
Satz 32. [Inklusionssatz, alternative Formulierung]
Seien A, B, C paarweise disjunkte Mengen mit |A ∪ B ∪ C| = |A|. Dann gilt auch
|A ∪ B ∪ C| = |A ∪ B|.
Satz 33. [Äquivalenzsatz von C ANTOR -B ERNSTEIN]
Seien M, Q Mengen mit |M | ≤ |Q| und |Q| ≤ |M |. Dann gilt |M | = |Q|.
Definition 34. [Echt kleinere Mächtigkeit]
Seien A, B Mengen. A ist von echt kleinerer Mächtigkeit als B , in Zeichen |A| <
|B|, falls |A| ≤ |B| und |A| 6= |B|.
Folgerung: Aus |A| < |B| und |B| < |C| folgt |A| < |C|.
Satz 35. [Vergleichbarkeitssatz] Seien M, N Mengen. Dann gilt |M | ≤ |N |
oder |N | ≤ |M |.
ergibt sich der Rest von selbst (denn aus N ⊆ N 0 ⊆ M und N = M folgt unmittelbar N 0 = M – und der Inklusionssatz
ist ziemlich inhaltsleer). Allerdings können wir das noch gar nicht so genau zeigen, denn der Begriff der Endlichkeit ist
noch nicht definiert. Aber im Unendlichen wird der Inklusionssatz wieder interessant (fragen sie sich einmal, ob es mehr
natürliche Zahlen gibt, als gerade natürliche Zahlen!)
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Mengen und das Unendliche
Unendliche Mengen (I)
Seien N = {0, 1, 2, 3, . . . } und G = {0, 2, 4, 6, . . . } die Menge der geraden
Zahlen. Definiere f : N → G durch
f (n) = 2n für n ∈ N.
Dann ist f : N → G bijektiv! Es gilt also: |N| = |G|. Zudem ist G ⊂ N.
Beachten Sie, dass beide „Größenbegriffe“ (Mächtigkeit und Inklusion) durchaus
sinnvoll sind. Bedenken Sie aber auch, dass manche Mengen hinsichtlich der Inklusion gar nicht in eine Ordnung gebracht werden können – die Teilmengenbeziehung
ist weniger „universell“ als der Mächtigkeitsbegriff (wenn es um „Größe“ geht), z.B.
können Sie mit der Teilmengenrelation nicht eine Menge von Äpfeln und eine Menge
von Birnen vergleichen.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 53
Mengen und das Unendliche
Unendliche Mengen (II)
Definition 36. [Unendlichkeit nach Dedekind]
Sei M eine Menge. M heißt unendlich, falls es eine echte Teilmenge N von M
gibt, die sich bijektiv auf M abbilden läßt, d.h. es gibt ein N ⊂ M mit |N | = |M |.
Hilbert’sche Hotel: Dieses sehr spezielle Hotel hat für jede natürliche Zahl ein Zimmer – allerdings sind alle Zimmer belegt! Dennoch schafft es der Portier immer
wieder, neue Gäste unterzubringen:
(i) Jeder alte Gast zieht von Zimmer n nach Zimmer n + 1.
(ii) Der neue Gast wird in Zimmer 0 einquartiert.
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Mengen und das Unendliche
Einige Sätze über unendliche Mengen
Satz 37. [Übertragung der Unendlichkeit auf Obermengen]
Seien A, B Mengen und es gelte A ⊆ B . Dann gilt: Ist A unendlich, so ist auch B
unendlich.
Beweis: Sei A unendlich. Dann existieren A0 ⊂ A und f : A → A0 bijektiv.
Definiere g : B → B durch:
g(b) =
(
f (b), falls b ∈ A
b,
falls b 6∈ A.
Also g = f ∪ idB−A. Wg. f : A → A injektiv ist g injektiv. Weiter ist rng(g) =
rng(f ) ∪ (B − A) = A0 ∪ (B − A) ⊂ B wegen A0 ⊂ A, A ⊆ B . Also ist g eine
Bijektion von B auf die echte Teilmenge rng(g) von B , und damit ist B unendlich.
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Mengen und das Unendliche
Satz 38. [Übertragung der Unendlichkeit auf gleichmächtige und größere Mengen]
Seien A, B Mengen und es gelte |A| ≤ |B|. Dann gilt: Ist A unendlich, so ist
auch B unendlich.
Satz 39. [Entfernen eines Elementes]
Sei A eine unendliche Menge. Weiter seien a ∈ A und B = A − {a}. Dann ist
auch B unendlich.
Korollar 40. [Hinzufügen eines Elementes]
Sei B eine endliche Menge, a ein beliebiges Objekt, a 6∈ B . Weiter sei A = B ∪
{a}. Dann ist auch A endlich.
Der Apparat, der uns zur Verfügung steht, ist bisher ein wenig schwerfällig. Wir verknüpfen jetzt die Endlichkeit enger mit den natürlichen Zahlen:
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Mengen und das Unendliche
Endlichkeit und natürliche Zahlen
Definition 41. [Die Mengen n̄ für n ∈ N]
Für n ∈ N sei n̄ = {0, 1, . . . , n − 1} = {m ∈ N |m < n}.
Übrigens: Funktioniert der Algorithmus des Abtragens eigentlich, wenn beide Mengen unendlich sind?
Satz 42. [Endlichkeit von n̄]
Jede Menge n̄ ⊂ N ist endlich.
Korollar 43.
Seien n, m ∈ N und sei f : n̄ → m̄ bijektiv. Dann gilt n = m.
Satz 44. [Einbettbarkeit der natürlichen Zahlen in unendliche Mengen]
Sei M eine Menge. Dann sind äquivalent:
(i) M ist unendlich
(ii) |N| ≤ |M |.
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Mengen und das Unendliche
Satz 45. [Charakterisierung der endlichen Mengen mit Hilfe der natürlichen Zahlen]
Sei M eine Menge. Dann sind äquivalent:
(i) M ist endlich
(ii) Es existiert ein n ∈ N mit |M | = |n̄|.
Die Vereinigung zweier endlicher Mengen ist endlich.
Die Vereinigung endlich vieler endlicher Mengen ist endlich.
Alternative Definition von Endlichkeit/Unendlichkeit:
Eine Menge M ist endlich, falls es ein n ∈ N gibt mit |M | = |n̄|. Eine Menge ist
unendlich, falls sie nicht endlich ist.
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Mengen und das Unendliche
Anmerkungen zur Unendlichkeit
DAVID H ILBERT, 1925: „Durch diese Bemerkung wollte ich nur dartun, daß die endgültige Aufklärung über das Wesen des Unendlichen weit über den Bereich spezieller fachwissenschaftlicher Interessen vielmehr zur Ehre des menschlichen Verstandes selbst notwendig geworden ist . . . “
„Die Endlichkeit des Wirklichen haben wir nun in zwei Richtungen festgestellt: nach
dem Unendlichkleinen und dem Unendlichgroßen. Dennoch könnte es sehr wohl
zutreffen, daß das Unendliche in unserem Denken einen wohlberechtigten Platz hat
und die Rolle eines unentbehrlichen Begriffs einnimmt . . . “
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Mengen und das Unendliche
Abzählbare Mengen
Definition 46. [Abzählbare Mengen]
Eine Menge M heißt abzählbar, falls gilt:
(i) M ist endlich, oder
(ii) es existiert ein f : N → M bijektiv.
Satz 47. Sei M eine Menge. Dann sind äquivalent:
M ist abzählbar,
|M | ≤ |N|.
Beweis: (i) ⇒ (ii): Sei M abzählbar. Ist M endlich, so existiert ein n̄ mit |M | = |n̄|,
und dann gilt offenbar |M | ≤ |N|. Ist |M | = |N|, so ist trivialerweise |M | ≤ |N|
(ii) ⇒ (i): Sei |M | ≤ |N| und f : M → N injektiv. Definiere, solange möglich,
x0 = min(rng(f )), xn+1 = min(rng(f ) − {x0, . . . , xn}).
Ist n minimal mit xn nicht definiert, so ist |M | = |n̄|. Ist xn definiert für alle n ∈ N,
so gilt |M | = |N|, denn g : N → N mit g(n) = xn für n ∈ N ist bijektiv. Also ist M
abzählbar.
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Mengen und das Unendliche
Satz 48. Sei M eine unendliche Menge. Dann existiert eine abzählbar unendliche
Teilmenge von M .
Beweis: Übung!
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Mengen und das Unendliche
Forts. Abzählbarkeit
Die „entscheidende“ Frage: Ist jede Menge abzählbar?
Es folgen einige Beispiel: Sind die ganzen Zahlen abzählbar?
Z = {. . . , −1, 0, 1, . . . }
f : Z → N definiert durch
f (x) =
(
2x,
falls x ≥ 0,
−2x − 1 falls x < 0
(1)
Dann ist f bijektiv!
Also ist Z abzählbar!
Satz 49. Seien A und B abzählbar, dann ist auch A ∪ B abzählbar!
Beweis: Übung!
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 62
Mengen und das Unendliche
Forts. Abzählbarkeit
Ist N × N abzählbar?
Satz 50. N × N ist abzählbar.
Beweis: Hier hilft die berühmte Cantor’sche Paarungsfunktion: definiere π : N ×
N → N bijektiv durch
π(a, b) = 1/2(a + b)(a + b + 1) + a.
Beispiel: π(1, 2) = 1/2(1 + 2)(1 + 2 + 1) + 1 = 7
Übrigens: Es gibt nur dieses eine Polynom zweiten Grades, dass N xN aufzählen
kann (und natürlich seine symmetrische Form).
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 63
Mengen und das Unendliche
Forts. Abzählbarkeit
Das Ergebnis kann man auf höhere Dimensionen verallgemeinern: ein πn : Nn → N
existiert für alle n ≥ 2! (und ist dann ein Polynom n-ten Grades).
Satz 51. Eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar!
Beweis: Seien An, n ∈ N, abzählbare Mengen. Für jedes n ∈ N fixieren wir ein
fn : An → N injektiv.
Sei A =
funktion).
S
n∈N
An. Sei π : N × N → N bijektiv (etwa die Cantor’sche Paarungs-
Wir definieren g : A → N durch:
g(x) = π(n, fn(x)),
wobei n = „das kleinste n ∈ N mit x ∈ An“ ist. Dann ist g injektiv, also |A| ≤ |N|.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 64
Mengen und das Unendliche
Forts. Abzählbarkeit
Sind die rationalen Zahlen abzählbar?
Satz 52. Q ist abzählbar.
Beweis: Für q ∈ Q seien N (q) bzw. Z(q) Nenner bzw. Zähler des gekürzten Bruches |q| = q für q ≥ 0, |q| = −q für q < 0. Wir setzen für n ∈ N
An = {q ∈ Q|N (q) + Z(q) = n}.
S
Dann ist jedes An abzählbar (sogar endlich!), und Q = n∈N An. Also ist Q abzählbar!
Anmerkung: Hinter diesem Beweis steht die folgende Spiral-Aufzählung des Z20
Gitters. Für n ∈ N setzen wir An = {(a, b) ∈ R2 | |a| + |b| = n und
0
|a|, |b| ≤ n}. Die Mengen An sind Quadrate im Raum R2 mit den Ecken
(n, 0), (0, n), (−n, 0), (0, −n).
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 65
Mengen und das Unendliche
Forts. Abzählbarkeit
Sind die reellen Zahlen abzählbar? Zunächst ein wenig Vorbereitung:
Definition 53. [Überabzählbare Mengen] Sei M eine Menge. M heißt überabzählbar, falls M nicht abzählbar ist.
Anmerkungen – offenbar sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(i) M ist überabzählbar.
(ii) non(|M | ≤ |N|), d.h. es existiert kein injektives f : M → N.
(iii) Es existiert kein surjektives f : N → M
(iv) |N| < |M |.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 66
Mengen und das Unendliche
Forts. Abzählbarkeit der reellen Zahlen?
Satz 54. [Satz von C ANTOR über die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen]
Die Menge R der reellen Zahlen ist überabzählbar.
Beweis: Es genügt zu zeigen: Es existiert kein surjektives f : N → R. Sei hierzu
f : N → R beliebig. Wir finden ein x ∈ R mit x 6∈ rng(f ) wie folgt.
Für n ∈ N schreiben wir f (n) in kanonischer unendlicher Dezimaldarstellung (mit
0 = 0, 0000 . . . ). Sei also
f (0) = z0, a0,0a0,1a0,2 . . .
f (1) = z1, a1,0a1,1a1,2 . . .
f (2) = z2, a2,0a2,1a2,2 . . .
f (3) = z3, a3,0a3,1a3,2 . . .
...
f (n) = zn, an,0an,1an,2 . . .
...
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 67
Mengen und das Unendliche
Wir definieren x = 0, b0b1b2 · · · ∈ R durch
(
1, falls an,n = 2,
bn =
2, falls an,n 6= 2.
Dann ist x in kanonischer Dezimaldarstellung (also eine reele Zahl), die sich aber
von jeder Zahl im Range von f an mindestens einer Stelle unterscheidet, denn für
jedes f (n) gilt, an,n 6= bn – also wird nicht jedes Element von R getroffen, d.h., f ist
nicht surjektiv, da x 6∈ rng(f )! Diese Beweismethode heißt Diagonalisierung, weil
wir eine Zahl konstuiert haben, die von Ziffern auf der Diagonale der angenommenen Tabelle abweicht. Merken sie sich: es geht darum, eine Zahl (oder später auch
etwas anderes) zu konstruieren, die nicht im Range einer vermeintlich surjektiven
Funktion liegen kann.
Korollar 55. [Jedes reelle Intervall ist überabzählbar]
Seien x, y ∈ R, x < y . Dann ist ]x, y[= {z ∈ R|x < z < y} überabzählbar.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 68
Mengen und das Unendliche
Weitere Resultate zur Überabzählbarkeit
Satz 56. [Subtraktion abzählbarer Mengen] Sei M eine überabzählbare Menge.
Weiter sei A ⊆ M abzählbar. Dann gilt |M − A| = |M |.
Satz 57. Es gilt |R| = |P(N)|.
Satz 58. [Satz von C ANTOR über die Potenzmengen] Sei M eine Menge und
P(M ) = {X|X ⊆ M } die Potenzmenge von M . Dann gilt |M | < |P(M )|.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 69
Mengen und das Unendliche
Exkurs: Das Kontinuumsproblem
Cantors Kontinuumsproblem: Folgen die reellen Zahlen in der Hierarchie der Mächtigkeiten unmittelbar nach den natürlichen Zahlen oder gibt es eine Menge M , für
die gilt |N| < |M | < |R|?
H ILBERT (ein berühmter Mathematiker, der lange in Göttingen lebte und lehrte und
1900 auf einem Mathematiker-Kongress in Paris eine berühmte Rede hielt, in der er
eine Liste mit den 23 seiner Ansicht nach wichtigsten Problemen, die die Mathematik
im nächsten Jahrhundert lösen sollte, formulierte) stellte das Kontinuumsproblem an
den Anfang seiner Liste!
Es wurde erst 1938 (K URT G ÖDEL) bzw. 1963 (PAUL C OHEN) gelöst - und zwar
durch den Beweis seiner Unlösbarkeit! (trotzdem beschäftigen sich Mathematiker
auch heute noch intensiv mit verwandten Fragestellungen - wir aber in dieser Veranstaltung nicht)
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 70
Mengen und das Unendliche
Ordnungen
Definition 59. [Lineare Ordnung] Sei M eine Menge und sei < ⊆ M × M eine
zweistellige Relation auf M . < heißt lineare Ordnung auf M , falls für alle a, b, c ∈
M gilt:
(i) non(a < a) (Irreflexivität)
(ii) aus a < b und b < c folgt a < c (Transitivität)
(ii) a < b oder a = b oder b < a (Linearität)
Beispiele: (N, <) etc.
Anmerkung: Relationen, die irreflexiv und transitiv sind, heißen auch partielle Ordnungen (d.h., alle linearen Ordnungen sind auch partiell, aber nicht umgekehrt).
Beispiele s. Übungen.
Zur Sprechweise: Ist X ⊆ M und s ∈ M , so bedeutet X < s, dass x < s für
alle x ∈ X . Analog sind X ≤ s, s < X und s ≤ X definiert. s heißt <-kleinstes
Element der Ordnung, falls s ≤ M . Analog ist das <-größte Element definiert.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 71
Mengen und das Unendliche
Wohlordnungen
Definition 60. [Wohlordnung] Sei (M, <) eine lineare Ordnung. (M, <) heißt
Wohlordnung auf M , falls jede nichtleere Teilmenge M 0 von M ein <-kleinstes
Element hat, d.h. es gibt ein m ∈ M mit m ∈ M 0 und m ≤ x für alle x ∈ M 0.
(R, <) ist keine Wohlordnung, z.B. ist 0 die kleinste untere Schranke für die Menge
M 0 = {1/n|n ∈ N, n > 1} ⊆ R, aber 0 6∈ M 0.
Bemerkung: Es gilt der folgende Wohlordnungssatz von Z ERMELO:
Sei M eine Menge, dann existiert eine Wohlordnung < auf M .
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 72
Mengen und das Unendliche
Beweis des Induktionsprinzips
Induktionsprinzip: Sei E(n) eine Aussage. Es gelte:
(1) E(0)
(2) Für alle n ∈ N gilt: aus E(n) folgt E(n + 1)
Dann gilt E(n) für alle n ∈ N .
Beweisbar in der Mengenlehre (hier durch Widerspruch): Angenommen, es gibt
ein l ∈ N mit non E(l), d.h. die Eigenschaft gilt nicht für dieses l. Dann ist A =
{l ∈ N| non E(l)} =
6 ∅.
Da (N, <) wohlgeordnet ist, hat A ein kleinstes Element k, d.h. die Wohlordnungseigenschaft garantiert uns, dass wir ein konkretes Element aus der Menge A „in die
Hand“ nehmen können.
Nach (1) ist k 6= 0, denn sonst wäre die Eigenschaft ja erfüllt. Sei also k = m + 1
– ein solches m aus N existiert immer, denn k ist ja größer als 0 und zu jedem
Element n aus N − {0} gibt es einen Nachfolger n + 1.
Nach Definition von A und k gilt E(m), denn m muss ausserhalb von A liegen,
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 73
Mengen und das Unendliche
sonst könnte k nicht das kleinste Element aus N sein, für das die Aussage nicht
erfüllt ist.
Nach (2) folgt aus E(m) aber E(m + 1), also E(n) wg. m + 1 = n im Widerspruch
zur Annahme!
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 74
Mengen und das Unendliche
Ein Paradox droht!
Erinnern Sie sich an unseren Barbier! Hier eine Variante – das RUSSELL Z ERMELO ’ SCHE PARADOX:
Sei R = {x ist eine Menge und x 6∈ x} die Menge aller Mengen, die nicht Element
von sich selbst sind. Dann gilt für alle Mengen y : y ∈ R gdw. y 6∈ y . Insbesondere
gilt dies auch für y = R. Dies ergibt aber R ∈ R gdw. R 6∈ R. Widerspruch!
Eine „Lösung“ ist, solche selbst-referentiellen Konstrukte nicht zuzulassen in der
Formulierung von Eigenschaften – man kann dann R nicht mehr als „Ganzes“ im
Sinne der Mengenlehre betrachten (dies passt zu der Definition C ANTORS, die wir
zu Beginn gesehen haben: Eine Menge ist jede Vielheit, die als Ganzes aufgefasst
werden kann, sie sagt nicht etwa, dass jede Vielheit als Ganzes aufgefasst werden
kann. Wir werden im folgenden sehr knapp eine Axiomatisierung („gesetzte“ Regeln)
der Mengenlehre betrachten, die die Paradoxien vermeidet (nicht durch Verbote,
sondern durch Konstruktionsvorschriften „von unten“, die sicher stellen, das selbstreferentielle Paradoxien nicht auftreten können).
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 75
Mengen und das Unendliche
Axiomatische Mengenlehre
Alle Objekte sind Mengen und die einzigen Grundrelationen zwischen
Mengen sind die Gleichheit „a = b“ und die Elementbeziehung „a ∈ b“.
F RAENKEL (1928): „Dieser Aufbau der Mengenlehre verläuft nach der sog. axiomatischen Methode, die vom historischen Bestand einer Wissenschaft (hier der
Mengenlehre) ausgeht, um durch logische Analyse der darin enthaltenen Begriffe, Methoden und Beweise die zu ihrer Begründung erforderlichen Prinzipien – die
Axiome – aufzusuchen und aus ihnen die Wissenschaft deduktiv herzuleiten. . . . “
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 76
Mengen und das Unendliche
Axiome der Mengenlehre – die ZFC-Axiome
Extensionalitätsaxiom (EXT): Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie die
gleichen Elemente haben.
Existenz der leeren Menge (LM): Es existiert eine Menge, welche keine Elemente
hat.
Paarmengenaxiom (PA): Zu je zwei Mengen x, y existiert eine Menge z , die genau
x und y als Elemente hat.
Vereinigungsmengenaxiom (VER): Zu jeder Menge x existiert eine Menge y , deren Elemente genau die Elemente der Elemente von x sind.6
Aussonderungsschema (AUS): Zu jeder Eigenschaft E und jeder Menge x gibt es
eine Menge y , die genau die Elemente von x enthält, auf die E zutrifft.7
6 Bedenken Sie, dass unsere Objekte alle Mengen sind. Hier geht es also um eine Menge y , die die Elemente der
Mengen, die in x enthalten sind – wie bei einer Vereinigung über die Mengen eines Mengensystems, s. Def. 11.
7 Beachten Sie: Dieses Schema „generiert“ unendlich viele Axiome, eines pro Eigenschaft, deshalb ist ein sog. Axiomenschema!
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 77
Mengen und das Unendliche
Unendlichkeitsaxiom (UN: Es existiert eine Menge x, die die leere Menge als Element enthält und die mit jedem ihrer Elemente y auf {y} als Element enthält. (Also
sind z.B. ∅, {∅}, {{∅}}, . . . Elemente von x).
Natürliche Zahlen: Sei E(u) die Eigenschaft „∅ ∈ u und mit jedem y ∈ u ist auch
{y} ∈ u.“. Wir setzen U = {u ∈ P(x)|E(u) (das ist das x aus dem Axiom). U existiert nach POT und AUS und besteht aus allen Teilmengen von x, die ∅, {∅}, . . .
T
enthalten. Insbesondere ist x ∈ U . Wir definierten nun: Z0 =
U . Dann besteht
Z0 genau aus den Mengen ∅, {∅}, . . . und jede Menge x0 aus dem Unendlichkeitsaxiom enthält Z0 als Teilmenge (Z0 ist die kleinste unendliche Menge).
Z0 kann man als Menge der natürlichen Zahlen auffassen:
0 = ∅, 1 = {∅}, 2 = {{∅}}, 3 = {{{∅}}} . . . , also
0 = ∅, 1 = {0}, 2 = {1}, 3 = {2}, . . .
Aus der Definition der Ordinalzahlen nach von N EUMANN und Z ERMELO folgt eine
andere Definition der natürlichen Zahlen (beides geht!):
0 = ∅, 1 = {0}, 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, . . .
Hier hat jedes n genau n Elemente und die ∈-Relation ordnet die natürlichen Zahlen linear (jede Zahl ist hier eine Menge, die in allen größeren Zahlen als Element
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 78
Mengen und das Unendliche
vorkommt).
Potenzmengenaxiom (POT): Zu jeder Menge x existiert eine Menge y , die genau
die Teilmengen von x als Elemente besitzt.
Ersetzungsschema (ERS): Zu jeder funktionalen Eigenschaft E und jeder Menge
M existiert eine Menge N , die genau diejenigen y als Elemente enthält, für welche
ein x ∈ M existiert mit E(x, y). [Funktionale Eigenschaft: Ist E(x, y) eine Eigenschaft in zwei Variablen x und y , so heißt E(x, y) funktional, falls es für jedes x
genau ein y gibt mit E(x, y).]
Fundierungsaxiom (FUN): Jede nichtleere Menge x hat ein Element y , das mit x
kein Element gemeinsam hat.
Auswahlaxiom (AC): Ist x eine Menge, deren Elemente nichtleer und paarweise
disjunkt sind, so existiert eine Menge y , die mit jedem Element von x genau ein
Element gemeinsam hat.
Diese Axiome bilden die sogenannten ZFC-Axiome (Zermelo-Fraenkel-Choice).
Verschiedene Auswahlen aus diesen Axiomen wurden auch benannt: Z = ZFC ohne
ERS, FUN, AC; ZF = ZFC ohne AC; ZFC− = ZFC ohne POT; ZF− = ZF ohne POT.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 79
Mengen und das Unendliche
ZFC und die Antinomien
In ZFC lösen sich die Antinomien auf: Für alle x existiert ein y ⊆ x mit y 6∈ x
(Satz nach Z ERMELO, 1908).
Beweis: Sei x beliebig. Nach dem Aussonderungsschema existiert y = {z ∈
x|z 6∈ z}. Dann gilt y 6∈ x, denn anderenfalls hätten wir y ∈ y gdw. y 6∈ y –
ein Widerspruch wie bei der RUSSELL -Z ERMELO-Paradoxie!
Daraus folgt z.B. unmittelbar, dass es kein x gibt mit der Eigenschaft: Für alle y ist
y ∈ x (denn ein solches x würde alle seine Teilmengen als Elemente enthalten, im
Widerspruch zum eben gezeigten Satz).
Ende des Mengenlehre-Kapitels!
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 80
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Syntax der Aussagenlogik
Definition 61. [Syntax der Aussagenlogik]
Eine atomare Formel hat die Form Ai (mit i = 1, 2, 3, . . . ).
Formeln werden durch folgenden induktiven Prozess definiert:
1. Alle atomaren Formeln sind Formeln.
2. Für alle Formeln F und G sind (F ∧ G) und (F ∨ G) Formeln.
3. Für jede Formel F ist ¬F eine Formel.
Sprechweisen: Eine Formel der Bauart ¬F heißt Negation von F ,
(F ∧ G) heißt Konjunktion von F und G,
(F ∨ G) heißt Disjunktion von F und G.
Eine Formel F , die als Teil einer Formel G auftritt, heißt Teilformel von G.
Beispiel: F = ¬((A5 ∧ A6) ∨ ¬A3) ist eine Formel und sämtliche Teilformeln von
F sind F , ((A5 ∧ A6) ∨ ¬A3), (A5 ∧ A6), A5, A6, ¬A3, A3
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 81
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Wir vereinbaren die folgenden abkürzenden Schreibweisen (F1, F2 . . . sind beliebige Formeln):
A, B, C, . . .
statt A1, A2, A3, . . .
(F1 → F2) statt (¬F1 ∨ F2)
(F1 ↔ F2) statt ((F1 ∧ F2) ∨ (¬F1 ∧ ¬F2))
bzw. ((F1 → F2) ∧ (F2 → F1))
Beispiel: So ist z.B. (A ↔ E) eine Abkürzung für ((A1 ∧ A5) ∨ (¬A1 ∧ ¬A5)).
Beachten Sie, dass hier tatsächlich der fünfte Buchstabe des Alphabets, also E ,
für die atomare Formel mit der Nummer 5, also A5, verwendet wird. Bei hohen
Nummern wird eine solche Entsprechung allerdings unklar, für kleine n ist das aber
eine sinnvolle Konvention.
Bisher haben wir nur definiert, dass Formeln bestimmten Zeichenketten entsprechen. Diese Zeichenketten haben noch keine Bedeutung, die sie durch eine Belegung erhalten werden.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 82
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Semantik der Aussagenlogik
Definition 62. [Semantik der Aussagenlogik]
Die Elemente der Menge {0, 1} heißen Wahrheitswerte. Eine Belegung ist eine
Funktion A : D → {0, 1}. Hier ist D eine Teilmenge der atomaren Formeln. Wir
erweitern A zu einer Funktion Ā : E → {0, 1}. Es gilt D ⊆ E . E ist die Menge
aller Formeln, die nur aus atomaren Formeln in D aufgebaut ist.
1. Für jede atomare Formel A ∈ D ist Ā(A) = A(A).
(
1, falls Ā(F ) = 1 und Ā(G) = 1
2. Ā((F ∧ G)) =
0, sonst
(
1, falls Ā(F ) = 1 oder Ā(G) = 1
3. Ā((F ∨ G)) =
0, sonst
(
1, falls Ā(F ) = 0
4. Ā(¬F ) =
0, sonst
Ā ist eine Fortsetzung (Def. 23) von A. Nachdem wir nun die formale Definition
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 83
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
korrekt ausführen konnten, vereinfachen wir uns die Schreibarbeit und schreiben A
für Ā.
Beispiel: Es sei A(A) = 1, A(B) = 1, und A(C) = 0. Dann ergibt sich
(
1, falls A(((A ∧ B) ∨ C)) = 0
A(¬((A ∧ B) ∨ C)) =
0, sonst
(
0, falls A(((A ∧ B) ∨ C)) = 1
=
1, sonst
(
0, falls A((A ∧ B)) = 1 oder A(C) = 1
=
1, sonst
(
0, falls A((A ∧ B)) = 1 (da A(C) = 0)
=
1, sonst
(
0, falls A(A) = 1 und A(B) = 1
=
1, sonst
= 0
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 84
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Wahrheitstafeln
Die Operationen (bzw. Verknüpfungen) lassen sich auch durch Wahrheitstafeln darstellen:
A(F )
0
0
1
1
A(G)
0
1
0
1
A((F ∧ G))
0
0
0
1
A((F ∨ G))
0
1
1
1
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
A((F → G))
1
1
0
1
A((F ↔ G))
1
0
0
1
A(¬F )
1
1
0
0
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 85
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Induktion: eine Anmerkung
Die Definition von Formeln ist eine induktive Definition: Es werden zunächst die
einfachsten Formeln definiert (die atomaren Formeln) und dann wird der Aufbau
zusammengesetzter Formeln aus diesen einfachen Formeln mit Hilfe von Verknüpfungen erklärt.
Ebenso induktiv ist die Belegung A definiert. Dieses Induktionsprinzip kann man
auch in Beweisen verwenden:
Um zu beweisen, dass eine Behauptung B(F ) für jede Formel F gilt, führt man
folgende Schritte durch:
1. Man zeigt, dass B(Ai) für jede atomare Formel Ai gilt
2. Man zeigt, dass unter der Induktionsannahme, dass B(H) und B(G) gelten,
folgt, dass B(¬H), B((H ∧ G)), und B((H ∨ G)) gelten.
Ein Beispiel für die Anwendung dieser Form der Induktion findet sich beim Ersetzbarkeitstheorem (Satz 67).
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 86
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Einige wichtige Begriffe (1)
Definition 63. [Passend, Modell]
Sei F eine Formel und A eine Belegung. Falls A für alle in F vorkommenden atomaren Formeln definiert ist, so heißt A zu F passend. [Zur Erinnerung hier in der Sprache
der Mengenlehre: Sei M die Menge aller in F vorkommenden atomaren Formeln. Dann ist die Belegung A, die ja eine
Funktion ist, genau dann passend zu F , wenn M ⊆ dom(A).]
Falls A zu F passend ist und A(F ) = 1 gilt, so sagen wir: F gilt unter der
Belegung A, oder: A erfüllt F , oder auch (wichtiger!): A ist ein Modell für F ,
symbolisch: A |= F . Falls A(F ) = 0, so sagen wir: Unter A gilt F nicht oder: A
ist kein Modell für F , symbolisch: A 6|= F .
Sei F eine Menge von Formeln (die auch unendlich groß sein kann!). Dann ist A ein
Modell für F, falls für alle F ∈ F gilt, dass A |= F .
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 87
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Einige wichtige Begriffe (2)
Definition 64. [Erfüllbar, unerfüllbar, gültig (Tautologie)]
Eine Formel F (oder eine Formelmenge F) heißt erfüllbar, falls sich für F (bzw.
F) mindestens ein Modell finden läßt, anderenfalls heißt F (bzw. F) unerfüllbar.
[Anmerkung: Eine Formel F ist also dann erfüllbar, wenn man eine Belegung A finden kann, die zu F passt und ein
Modell für F ist – mit anderen Worten: die Belegung muß die Formel F wahr werden lassen.]
Eine Formel F heißt gültig, falls jede zu F passende Belegung ein Modell für F
ist. Dann sagt man auch, dass F eine Tautologie ist, symbolisch |= F . Falls F
keine Tautologie ist, schreiben wir 6|= F (Vorsicht, das steht für „keine Tautologie“
und nicht für „unerfüllbar“!)
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 88
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Negationen von Tautologien sind unerfüllbar!
Satz 65. Eine Formel F ist eine Tautologie gdw. ¬F unerfüllbar ist.
Beweis: Es gilt:
F ist eine Tautologie
gdw. jede zu F passende Belegung ist ein Modell für F
gdw. jede zu F (und damit zu ¬F ) passende Belegung ist kein Modell für ¬F
gdw. ¬F besitzt kein Modell
gdw. ¬F ist unerfüllbar.
Merke: Die Negierung einer gültigen Formel führt zu einer unerfüllbaren Formel
(und umgekehrt). Die Negierung einer erfüllbaren, aber nicht gültigen Formel führt
wieder zu einer erfüllbaren, aber nicht gültigen Formel.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 89
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Wahrheitstafeln
Um zu prüfen, ob eine Formel erfüllbar, gültig oder unerfüllbar ist, genügt es, die
endlich vielen verschiedenen Belegungen, die man zu den in F vorkommenden
atomaren Formeln finden kann, auf ihre Konsequenz für den Wahrheitswert von F
hin zu testen. Falls F n verschiedene atomare Formeln enthält, so sind dies genau
2n zu testende Belegungen.
A1:
A2:
.
.
A2n :
A1
0
0
A2
0
0
1
1
...
...
...
.
.
...
An−1
0
0
An
0
1
1
1
F
A1(F )
A2(F )
.
.
A2n (F )
F ist erfüllbar, falls der Wahrheitswerteverlauf von F (also die Spalte unter F )
mindestens eine 1 enthält [Anmerkung: Wenn man schreibt, dass etwas eine 1 enthält, dann meint man
immer mindestens eine, und nicht genau eine – man könnte also das mindestens im vorigen Satz auch weglassen]. F
ist eine Tautologie, wenn dort nur Einsen stehen, F ist unerfüllbar, wenn dort nur
Nullen stehen.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 90
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Beispiel zur Verwendung von Wahrheitstafeln
Beispiel: Es sei F = (¬A → (A → B)).
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
¬A
1
1
0
0
(A → B)
1
1
0
1
F
1
1
1
1
F ist also eine Tautologie!
Anmerkung: Wir lassen die Notation A() in der ersten Zeile der Wahrheitstafeln zur
Vereinfachung ab jetzt weg, es sollte jetzt klar sein, dass es letztlich um Belegungen
geht.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 91
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Exkurs: Von der Schwere des Erfüllbarkeitsproblems
Die Wahrheitstafelmethode ist ein algorithmisches Verfahren, um die Erfüllbarkeit
einer Formel zu prüfen. Es ist aber sehr schnell sehr aufwendig – für 100 atomare
Formel wäre auch der schnellste heutige Rechner tausende Jahre beschäftigt!
Unglücklicherweise ist dieses Exponentialverhalten der Rechenzeit vermutlich
nicht generell einzudämmen (ausser für Einzelfälle), denn das Erfüllbarkeitsproblem
für die Aussagenlogik ist ein sogenanntes NP-vollständiges Problem (das heißt
in etwa, dass bis heute kein Algorithmus bekannt ist, der das Problem zum einen
löst und dessen Laufzeit sich zum anderen für eine gegebene Eingabe der Größe
n durch ein Polynom abschätzen läßt, also z.B. durch n3 + 7000. Man kann aber
andererseits sehr leicht prüfen, ob eine einzelne Belegung eine Formel erfüllt (mit
linearem Aufwand), deshalb gehört das Problem zu einer Klasse von „schweren“
Problemen, für die noch nicht abschließend geklärt ist, ob es nicht doch effiziente
Algorithmen geben kann, die das Problem mit polynomialem Aufwand lösen können. Mehr hierzu hören sie im zweiten Semester in GIN2. Bis dahin können Sie
aber auch schon mal z.B. in Uwe Schönings Ideen der Informatik schmökern, wenn
sie mögen).
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 92
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Äquivalenzen und Normalformen
Definition 66. [Semantische Äquivalenz] Zwei Formeln F und G heißen (semantisch) äquivalent, falls für alle Belegungen A, die sowohl für F als auch für
G passend sind, gilt A(F ) = A(G). Symbolisch: F ≡ G.
Achtung! Auch Formeln, die auf ungleichen Mengen von atomaren Formeln basieren, können äquivalent sein (Tautologien).
Satz 67. [Ersetzbarkeitstheorem (ET)]
Seien F und G äquivalente Formeln. Sei H eine Formel mit (mindestens) einem
0
0
Vorkommen der Teilformel F . Dann ist H äquivalent zu H , wobei H aus H hervorgeht, indem (irgend) ein Vorkommen von F in H durch G ersetzt wird.
Beweis durch Induktion über den Formelaufbau:
Induktionsanfang: Falls H eine atomare Formel ist, dann kann nur H = F sein.
0
0
Und damit ist klar, dass H äquivalent zu H ist, denn H = G.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 93
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Induktionsschritt: Falls F gerade H selbst ist, so trifft dieselbe Argumentation wie
beim Induktionsanfang zu. Sei also angenommen, dass F 6= H (aber F ist natürlich
weiterhin eine Teilformel von H ). Dann muß man drei Fälle unterscheiden:
Fall 1: H hat die Bauart H = ¬H1. Nach Induktionsannahme ist H1 äquivalent
0
0
zu H1, wobei H1 aus H1 durch Ersetzung von F durch G hervorgeht. Nun ist aber
0
0
0
H = ¬H1. Aus der (semantischen) Definition von ¬ folgt dann, dass H und H
äquivalent sind.
Fall 2: H hat die Bauart H = (H1 ∨ H2). Dann kommt F entweder in H1 oder in H2
vor. Nehmen wir den ersten Fall an (der zweite ist völlig analog, deshalb können wir
dies ohne Beschränkung der Allgemeinheit tun). Dann ist nach Induktionsannahme
0
0
H1 wieder äquivalent zu H1, wobei H1 aus H1 durch Ersetzung von F durch G
0
0
hervorgeht. Mit der Definition von ∨ ist dann klar, dass H ≡ (H1 ∨ H2) = H .
Fall 3: H hat die Bauart H = (H1 ∧ H2). Beweis analog zu Fall 2.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 94
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Nützliche Äquivalenzen
(F ∧ F )
(F ∨ F )
(F ∧ G)
(F ∨ G)
((F ∧ G) ∧ H)
((F ∨ G) ∨ H)
(F ∧ (F ∨ G))
(F ∨ (F ∧ G))
(F ∧ (G ∨ H))
(F ∨ (G ∧ H))
¬¬F
¬(F ∧ G)
¬(F ∨ G)
(F ∧ G)
(F ∨ G)
(F ∧ G)
(F ∨ G)
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
F
F
(G ∧ F )
(G ∨ F )
(F ∧ (G ∧ H))
(F ∨ (G ∨ H))
F
F
((F ∧ G) ∨ (F ∧ H))
((F ∨ G) ∧ (F ∨ H))
F
(¬F ∨ ¬G)
(¬F ∧ ¬G)
G, falls F Tautologie
F , falls F Tautologie
F , falls F unerfüllbar
G, falls F unerfüllbar
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(Idempotenz)
(Kommutativität)
(Assoziativität)
(Absorption)
(Distributivität)
(Doppelnegation)
deMorgansche Regeln
(Tautologieregeln)
(Unerfüllbarkeitsregeln)
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 95
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Beweisen der Äquivalenzen
Beweise: Alle Äquivalenzen können leicht mittels Wahrheitstafeln nachgeprüft werden. Bsp. erste Absorptionsregel
F
0
0
1
1
G
0
1
0
1
(F ∨ G)
0
1
1
1
(F ∧ (F ∨ G))
0
0
1
1
Die erste (für F ) und die vierte Spalte (für (F ∧ (F ∨ G))) stimmen überein, also
(F ∧ (F ∨ G)) ≡ F .
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 96
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Vereinfachung von Formeln
Beispiel: Mit den Äquivalenzen und dem Ersetzbarkeitstheorem können wir nun
viele Formeln vereinfachen. So können wir z.B. nachweisen, dass
((A ∨ (B ∨ C)) ∧ (C ∨ ¬A)) ≡ ((B ∧ ¬A) ∨ C)
Beweis: Es gilt ((A ∨ (B ∨ C)) ∧ (C ∨ ¬A))
≡ (((A ∨ B) ∨ C) ∧ (C ∨ ¬A))
(Assoziativität und ET)
≡ ((C ∨ (A ∨ B)) ∧ (C ∨ ¬A))
(Kommutativität und ET)
≡ (C ∨ ((A ∨ B) ∧ ¬A))
(Distributivität)
≡ (C ∨ (¬A ∧ (A ∨ B)))
(Kommutativität und ET)
≡ (C ∨ ((¬A ∧ A) ∨ (¬A ∧ B)))
(Distributivität und ET)
≡ (C ∨ (¬A ∧ B))
(Unerfüllbarkeitsregel und ET)
≡ (C ∨ (B ∧ ¬A))
(Kommutativität und ET)
≡ ((B ∧ ¬A) ∨ C)
(Kommutativität)
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 97
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Nieder mit den Klammern . . .
Das Assoziativgesetz ermöglicht uns, die Klammerung zu vereinfachen: die Schreibweise
F =A∧B∧C∧D
soll etwa für eine beliebige Formel der folgenden Aufzählung stehen:
F = (((A ∧ B) ∧ C) ∧ D)
F = ((A ∧ B) ∧ (C ∧ D))
F = ((A ∧ (B ∧ C)) ∧ D)
F = (A ∧ ((B ∧ C) ∧ D))
F = (A ∧ (B ∧ (C ∧ D)))
Analoges gelte für Disjunktionen (und natürliche auch für längere oder kürzere Konjunktionen bzw. Disjunktionen).
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 98
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
. . . aber nicht mit allen!!
Wenn F eine Teilformel ist, dann müssen die äußeren Klammer erhalten bleiben!
(z.B., wenn sie das F von oben als Teil von z.B. G betrachten, wie in G = F ∨ H ,
also G = (A ∧ B ∧ C ∧ D) ∨ H , und nicht G = A ∧ B ∧ C ∧ D ∨ H , denn dann
wäre nicht mehr klar, ob Sie . . . C ∧ (D ∨ H) oder (. . . C ∧ D) ∨ H meinen – und
das macht einen Unterschied!
Wir verzichten also nicht ganz auf Klammern. Insbesondere haben wir keine sogenannte „Präzedenz“ der Operatoren vereinbart (eben deshalb ist im Beispiel eben
nicht klar, welche Variante gemeint ist). Klammern haben gegenüber einer Präzedenzregel den Vorteil, dass immer unmittelbar klar ist, was zusammengehört (das
vermeidet Fehler und Missverständnisse! Denken Sie hier auch an die Klammerung
der Boole’schen Ausdrücke, die von SUNs Code Conventions für Java empfohlen
wird! Sonst fragt man sich regelmäßig: wusste der Codierer des Programms tatsächlich, in welcher Reihenfolge die Auswertung seines ungeklammerten Ausdrucks
stattfindet?)
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 99
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Nützliche Verallgemeinerungen
Zunächst führen wir die abkürzende Schreibweisen (
Wn
und ( i=1 Gi) für G1 ∨ · · · ∨ Gn ein. Dann gilt:
Vn
i=1
Gi) für G1 ∧ · · · ∧ Gn
Satz 68. [Verallgemeinerte deMorgan’sche Regeln, verallg. Distributitivtät]
Vn
F
≡
(
i=1 ¬Fi )
i=1 i
Wn
Vn
¬( i=1 Fi) ≡ ( i=1 ¬Fi)
Wm
Wn
Wm Wn
(( i=1 Fi) ∧ ( j=1 Gj )) ≡ ( i=1( j=1(Fi ∧ Gj )))
Vm
Vn
Vm Vn
(( i=1 Fi) ∨ ( j=1 Gj )) ≡ ( i=1( j=1(Fi ∨ Gj )))
¬(
Wn
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 100
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Normalformen
Jede Formel, auch wenn sie noch so kompliziert aussieht, kann in „einfacher“ strukturierte Normalformen gebracht werden. Das ist eine wichtige Voraussetzung, um dann möglichst einfach algorithmisch
die Erfüllbarkeit oder andere Eigenschaften der Formel prüfen zu können.
Definition 69. [Literal, Normalformen]
Ein Literal ist eine atomare Formel oder die Negation einer atomaren Formel (auch
positives Literal bzw. negatives Literal genannt).
Eine Formel F ist in konjunktiver Normalform (KNF), falls sie eine Konjunktion von
Disjunktionen von Literalen ist, F hat also die Form
Vn Wmi
.
F = ( i=1( j=1 Li,j )) mit Li,j ∈ {A1, A2, . . . } ∪ {¬A1, ¬A2, . . . }
Eine Formel F ist in disjunktiver Normalform (DNF), falls sie eine Disjunktion von
Konjunktionen von Literalen ist, F hat also die Form
Wn Vmi
F = ( i=1( j=1
Li,j )), mit Li,j wie eben.
Beispiel DNF: (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ∨ (B ∧ ¬D)
Beispiel KNF: (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬C) ∧ (B ∨ D)
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 101
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Äquivalente Normalformen
Satz 70. [Existenz äquivalenter Normalformen]
Für jede Formel F gibt es eine äquivalente Formel in KNF und eine äquivalente
Formel in DNF.
Der Beweis funktioniert wieder mittels Induktion über den Formelaufbau und ist konstruktiv (für endliche Formeln), d.h. er liefert ein rekursives Verfahren, um Formeln
in DNF bzw. KNF zu überführen. Wir schauen uns aber eine etwas direktere Umformungsmethode an (für sehr Neugierige: der Beweis findet sich z.B. auf den Seiten
27 und 28 der fünften Auflage von Uwe Schönings Buch Logik für Informatiker, 2000,
Spektrum Verlag).
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 102
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Eine Umformungsmethode zur Herstellung der KNF
Gegeben: Eine Formel F.
Erster Schritt: Ersetze in F jedes Vorkommen einer Teilformel der Bauart
¬¬G
¬(G ∧ H)
¬(G ∨ H)
durch
durch
durch
G
(¬G ∨ ¬H)
(¬G ∧ ¬H)
bis keine derartige Teilformel mehr vorkommt.
Zweiter Schritt: Ersetze jedes Vorkommen einer Teilformel der Bauart
(F ∨ (G ∧ H))
((F ∧ G) ∨ H)
durch
durch
((F ∨ G) ∧ (F ∨ H))
((F ∨ H) ∧ (G ∨ H))
bis keine derartige Teilformel mehr vorkommt.
Die resultierende Formel ist in KNF (es kommen eventuell noch überflüssige, aber
zulässige Disjunktionen vor, die Tautologien sind).
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 103
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Beispiel für eine Umformung in KNF
Gegeben: F = ¬(A ∨ B) ∨ (¬C ∧ D).
Umformung in KNF, 1. Schritt:
¬(A ∨ B) ersetzen: (¬A ∧ ¬B) ∨ (¬C ∧ D) = F 1.
2. Schritt:
F 1 hat die Form G ∨ (¬C ∧ D) mit G = (¬A ∧ ¬B). Also läßt sich die erste
Umformungsregel anwenden (die zweite Regel wäre auch anwendbar):
F 2 = (G ∨ ¬C) ∧ (G ∨ D) = ((¬A ∧ ¬B) ∨ ¬C) ∧ ((¬A ∧ ¬B) ∨ D)).
Die Anwendung der zweiten Regel auf beide Teile der top-level Konjunktion und
Vereinfachung der Klammerung bringt das gewünschte Ergebnis:
F 3 = (¬A ∨ ¬C) ∧ (¬B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ D) ∧ (¬B ∨ D).
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 104
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Ableiten von DNF/KNF aus einer Wahrheitstafel
Ableiten einer DNF: Jede Zeile der Wahrheitstafel mit Wahrheitswert 1 wird zu einer
Konjunktion. Jede atomare Aussage Ai, die in der Zeile mit einer 1 belegt ist, wird
als Ai in die Konjunktion übernommen, die mit 0 belegten Ai werden zum Literal
¬Ai. Die Konjunktionen werden anschließend zu einer Disjunktion verknüpft.
Ableiten einer KNF: Analog zu oben: Jede Zeile mit dem Wahrheitswert 0 wird zu
einer Disjunktion. Jede atomare Aussage Ai, die mit einer 1 belegt ist, wird als ¬Ai
in die Disjunktion übernommen, die mit 0 belegten Ai werden zum Literal Ai. Die
Disjunktionen werden anschließend zu einer Konjunktion verknüpft.
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 105
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Beispiel für KNF/DNF-Ableitung per Wahrheitstafel
Beispiel: Eine (unbekannte) Formel F habe die Wahrheitstafel
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
F
1
0
0
0
1
1
0
0
Äquivalente Formel F D in DNF:
(¬A ∧ ¬B ∧ ¬C) ∨ (A ∧ ¬B ∧ ¬C) ∨ (A ∧ ¬B ∧ C)
Äquivalente Formel F K in KNF:
(A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (A ∨ ¬B ∨ ¬C)
∧ (¬A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬C)
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 106
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Kontrolle der DNF
Frage: Sind Sie überzeugt, dass das stimmt? Wenn Ihnen das Vertrauen fehlt, kontrollieren Sie mittels Wahrheitstafel! Hier für F D :
A
0
0
0
0
1
1
1
1
¬A
1
1
1
1
0
0
0
0
B
0
0
1
1
0
0
1
1
¬B
1
1
0
0
1
1
0
0
C
0
1
0
1
0
1
0
1
¬C
1
0
1
0
1
0
1
0
F
1
0
0
0
1
1
0
0
¬A ∧ ¬B ∧ ¬C
A ∧ ¬B ∧ ¬C
A ∧ ¬B ∧ C
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
Das ist unmittelbar einleuchtend: jede „wahre“ Zeile für F führt in der DNF-Formel
zu einem erfüllten Disjunktionsglied, alle anderen Zeilen werden ignoriert. „Spannender“ ist dies bei der KNF-Formel (s. nächste Folie).
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 107
FD
1
0
0
0
1
1
0
0
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Kontrolle der KNF
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
F
1
0
0
0
1
1
0
0
A ∨ B ∨ ¬C
1
0
1
1
1
1
1
1
A ∨ ¬B ∨ C
1
1
0
1
1
1
1
1
A ∨ ¬B ∨ ¬C
1
1
1
0
1
1
1
1
¬A ∨ ¬B ∨ C
1
1
1
1
1
1
0
1
¬A ∨ ¬B ∨ ¬C
1
1
1
1
1
1
1
0
Diese KNF führt zu einer 1, wenn alle Zeilen der Ausgangstabelle, die zu einer
0 führen, gleichzeitig nicht zu dieser 0 führen. So führt z.B. die Belegung A(A) =
A(B) = 0, A(C) = 1 zu einer 0, also genau dann, wenn die Formel ¬A ∧¬B ∧ C
erfüllt ist. Wir dürfen in der KNF also keine 1 produzieren, wenn dieser Fall (oder
einer der vier anderen) eintritt, d.h. die Negation dieser Formel muss erfüllt sein
(und die der anderen vier 0-Fälle). Die Negation ist eben ¬(¬A ∧ ¬B ∧ C) =
¬¬A ∨ ¬¬B ∨ ¬C = A ∨ B ∨ ¬C , unser erstes Konjunktionsglied!
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 108
FK
1
0
0
0
1
1
0
0
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Hornformeln
Definition 71. [Hornformeln] Eine Formel F ist eine Hornformel, falls F in KNF
ist und jede Disjunktion in F höchstens ein positives Literal aufweist.
Beispiel: Eine Hornformel ist
F = (A ∨ ¬B) ∧ (¬C ∨ ¬A ∨ D) ∧ (¬A ∨ ¬B) ∧ D ∧ ¬E
Das kann man anschaulicher als Konjunktion (oder Menge) von Implikationen darstellen (diese Form wollen wir die Implikationsform nennen, erlaubt sind nur Implikationen mit einer 0 oder einem/dem positiven Literal auf der rechten Seite der
Implikation):
F = (B → A) ∧ (C ∧ A → D) ∧ (A ∧ B → 0) ∧ (1 → D) ∧ (E → 0)
Hier steht die 0 für eine beliebige unerfüllbare Formel, z.B. (A ∧ ¬A) und 1 für
eine beliebige Tautologie, z.B. (A ∨ ¬A). Zudem lassen wir die Klammern um die
inneren Konjunktionen weg (d.h., ∧ bindet stärker, als →). [Diese Schreibweisen
werden wir uns ab jetzt generell gestatten!]
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 109
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Tests des Wahrheitsgehaltes von Formeln
Wir suchen nach algorithmischen Tests auf Gültigkeit, Erfüllbarkeit, Unerfüllbarkeit
einer gegebenen Formel (beachte: einen Test auf Gültigkeit von F kann man durch
einen Unerfüllbarkeitstest von ¬F ersetzen und umgekehrt!).
Die Erfüllbarkeit oder Unerfüllbarkeit von aussagenlogischen Formeln läßt sich immer überprüfen, aber i.A. nur mit großem Aufwand (s. Wahrheitstafeln).
Für Hornformeln gibt es aber einen sehr effizienten Erfüllbarkeitstest!
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 110
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Ein Erfüllbarkeitstest für Hornformeln
Eingabe: eine Hornformel F in Implikationsform.
Schritt 1: Markiere jedes Vorkommen einer atomaren Formel A in F , falls es in F
eine Teilformel der Form (1 → A) gibt.
Schritt 2: Tue das Folgende
Falls es in F eine Teilformel G der Form (A1 ∧ · · · ∧ An → B), n ≥ 1, gibt
und alle Ai, 1 ≤ i ≤ n bereits markiert sind
und B noch nicht markiert ist, dann markiere B .
Falls es in F eine Teilformel G der Form (A1 ∧ · · · ∧ An → 0), n ≥ 1, gibt
und alle Ai, 1 ≤ i ≤ n bereits markiert sind,
dann gib unerfüllbar aus und stoppe.
bis es keine Formel der beiden Bauarten mehr gibt.
Schritt 3: Gib erfüllbar aus und stoppe.
Die Markierung gibt die erfüllende Belegung an: A(Ai) = 1 gdw. Ai hat eine Markierung (und 0 sonst).
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 111
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Ist der Algorithmus korrekt?
Satz 72. Der obige Markierungsalgorithmus ist für die vorgesehene Eingabe korrekt und stoppt immer nach spätenstens n Markierungsschritten (n = Anzahl der
atomaren Formeln in der Eingabeformel).
Beweisskizze: Zuerst zeigt man, dass der Algorithmus terminiert: es können höchstens n atomare Formeln markiert werden.
Dann geht es um die Frage, ob der Algorithmus die richtige Antwort liefert: Wenn
es überhaupt Modelle für F gibt, dann müssen sie die vom Algorithmus markierten
atomaren Formeln mit 1 belegen (offensichtlich für 1 → Ai und, in der Konsequenz,
dann auch für A1 ∧ · · · ∧ An → B , wenn A1 bis An bereits markiert sind). Hieraus
folgt auch, dass der Algorithmus bei A1 ∧ · · · ∧ An → 0 und markierten Ai korrekterweise unerfüllbar ausgibt.
Der gegebenenfalls folgende Schritt 3 antwortet dann korrekt mit einem Modell (alle
Konjunktionsglieder von F müssen 1 sein): Sei G ein beliebige Disjunktion in F .
Ist G eine atomare Formel, dann ist G markiert, also A(G) = 1. Hat G die Form
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 112
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
A1 ∧ · · · ∧ An → B , so sind entweder alle atomaren Formeln markiert (inkl. B),
und damit A(G) = 1, oder für mindestens ein j , 1 ≤ j ≤ n gilt A(Aj ) = 0.
Auch dann folgt A(G) = 1. Weil in Schritt 2 nicht unerfüllbar ausgegeben wurde,
gilt die Argumentation so auch für A1 ∧ · · · ∧ An → 0 (also A(G) = 1 und damit
A(F ) = 1, denn alle denkbaren Varianten für Konjunktionsglieder führen zu einer
1).
Anmerkung: Der Markierungsalgorithmus konstruiert das kleinste Modell A für F
0
(falls existent), d.h. für alle Modelle A und alle atomaren Formeln B gilt A(B) ≤
0
A (B). [Beachte: 0 und 1 sind natürliche Zahlen und ≤ ist hier die ganz gewöhnliche Kleiner-Gleich-Relation über natürlichen Zahlen].
Beispiel (s. Übung):
F = (¬A ∨ ¬B ∨ ¬D) ∧ ¬E ∧ (¬C ∨ A) ∧ C ∧ B ∧ (¬G ∨ D) ∧ G
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 113
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Erfüllbarkeitstest durch syntaktische Umformung: Resolution
Die Resolution ist ein sogenannter Kalkül: eine Menge von rein mechanisch anwendbaren syntaktischen Umformungsregeln. Die Resolution generiert (wenn die
nötigen Voraussetzungen erfüllt sind) in einem Schritt aus zwei Formeln eine dritte
Formel. Sie soll die Frage nach der Unerfüllbarkeit einer gegebenen Formelmenge
beantworten.
Wichtige Fragen: Ist der Kalkül korrekt und vollständig? Korrektheit bedeutet, dass
keine erfüllbare Formelmenge durch den Kalkül als unerfüllbar bezeichnet wird. Vollständigkeit bedeutet, dass jede unerfüllbare Formelmenge auch als solche erkannt
wird.
Zur Einnerung: Mittels eines Unerfüllbarkeitstest kann man z.B. testen, ob eine Formel F eine Tautologie ist, indem man ¬F auf Unerfüllbarkeit prüft. Oder man kann
die Frage beantworten, ob eine Formel G aus einer Formelmenge {F1, F2, . . . , Fk }
folgt – aus Aufgabe 35 wissen wir, dass dies der Frage nach der Unerfüllbarkeit von
F1 ∧ F2 ∧ · · · ∧ Fk ∧ ¬G entspricht (wir haben in Aufgabe 35 nur eine Richtung
gezeigt, die Aussage der Aufgabe 35 ist aber tatsächlich eine Äquivalenz).
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Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Details zur Resolution (I)
Aufgabe: Prüfen, ob eine beliebige Formel F unerfüllbar ist.
0
Vorgehen: Zunächst muß aus F eine äquivalente Formel F in KNF erzeugt werden,
also z.B.
0
F = (L1,1 ∨ · · · ∨ L1,n1 ) ∧ · · · ∧ (Lk,1 ∨ · · · ∨ Lk,nk ).
Diese Formel wird nun in eine sogenannte Klauselform gebracht – sie wird als
Menge von Klauseln wie folgt dargestellt
F k = {{L1,1, . . . , L1,n1 }, . . . , {Lk,1, . . . , Lk,nk }}.
Jedes Element von F k heißt Klausel und repräsentiert eine Disjunktion der enthaltenen Literale. Durch die Mengendarstellung verschwinden mehrfach auftretende
Elemente und syntaktische Unterschiede, die sich aus Kommutativität, Assoziativität und Idempotenz ergeben würden (s. das folgende Beispiel).
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 115
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Details zur Resolution (II)
Beispiel: Die folgenden äquivalenten KNF-Formeln führen alle zur selben Darstellung in Klauselform, {{A3}, {A1, ¬A2}}:
((A1 ∨ ¬A2) ∧ (A3 ∨ A3))
(A3 ∧ (¬A2 ∨ A1))
(A3 ∧ ((¬A2 ∨ ¬A2) ∨ A1)) usw.
0
Unsere Begriffe wie Erfüllbarkeit etc. lassen sich unmittelbar von der Formel F
auf die Klauselform übertragen. Beispielsweise ist A genau dann ein Modell für F k ,
0
0
wenn es ein Modell für F (und damit für F ) ist. Weiter folgt z.B. für jede Formel F in
0
KNF und jedes Modell A von F , dass A auch ein Modell für jedes Konjunktionsglied
von F ist – und damit auch ein Modell für jede Klausel in F k .
Zur Vereinfachung bezeichnen wir die Klauselform einer Formel F ebenfalls mit F .
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 116
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Resolventen
Definition 73. [Resolvent]
Seien K1, K2 und R Klauseln. Dann heißt R Resolvent von K1 und K2, falls es
ein Literal L gibt mit L ∈ K1 und L̄ ∈ K2 und R die folgende Form hat:
R = (K1 − {L}) ∪ (K2 − {L̄}).
Hierbei ist L̄ definiert als
L̄ =
(
¬Ai, falls L = Ai
Ai ,
falls L = ¬Ai.
Sprechweise: R wird aus K1, K2 nach L resolviert.
Die leere Menge, die als Resolvent zweier Klauseln K1 = {L}, K2 = {L̄} auftreten kann, wird mit bezeichnet. Tritt diese leere Menge als Element einer Klauselmenge auf, dann ist diese Menge (bzw. die durch sie repräsentierte Formel) unerfüllbar (wie wir gleich sehen werden). Wir werden auch als die leere Klausel
bezeichnen.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 117
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Das Resolutionslemma der Aussagenlogik
Satz 74. [Resolutionslemma]
Sei F eine Formel in KNF, dargestellt als Klauselmenge. Ferner sei R ein Resolvent
zweier Klauseln K1 und K2 in F . Dann sind F und F ∪ {R} äquivalent.
Beweis: Zu zeigen ist nun, dass jedes Modell für F auch Modell für F ∪ {R} ist
und umgekehrt.
Sei A eine zu F (und damit auch zu F ∪ {R} passende Belegung.
Die Richtung A |= F ∪ {R} ⇒ A |= F ergibt sich unmittelbar, denn wenn A jede
Klausel in F ∪ {R} erfüllt, dann erfüllt sie natürlich auch jede Klausel in F .
Noch zu zeigen bleibt die Richtung A |= F ⇒ A |= F ∪ {R}. Wir nehmen also
an, dass A |= F und damit auch A |= Ki für alle Klauseln Ki in F .
Der Resolvent R habe die Form aus der Definition, d.h. R = (K1 − {L}) ∪ (K2 −
{L̄}) mit K1, K2 ∈ L und L ∈ K1, L̄ ∈ K2. Nun müssen wir zwei Fälle unterc 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 118
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
scheiden – entweder ist unter A das Literal L oder seine Negation L̄ erfüllt (beides
zugleich geht natürlich nicht!)
Fall 1: A |= L. Dann folgt wg. A |= K2 und A 6|= L̄, dass A |= K2 − {L̄} und
damit A |= R.
Fall 2: A 6|= L. Dann folgt wg. A |= K1, dass A |= K1 − {L̄} und damit A |= R.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 119
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Mengen von Resolventen
Definition 75.
Sei F eine Klauselmenge. Dann ist Res(F ) die Vereinigung von F mit den Resolventen, die man zu den Klauseln in F finden kann. Res(F ) ist definiert als
Res(F ) = F ∪ {R|R ist Resolvent zweier Klauseln in F }.
Außerdem setzen wir:
Res0(F ) = F
Resn+1(F ) = Res(Resn(F )) für n ≥ 0
und schließlich
S
Res∗(F ) = n≥0 Resn(F ).
Die Mengen Res(F ), Res0(F ), . . . sind natürlich ebenfalls Klauselmengen.
Übrigens: Für jede endliche Klauselmenge F kommt irgendwann der Punkt, an dem
man keine neuen Resolventen mehr findet, d.h. es existiert ein (kleinstes) k ∈ N,
so dass Res∗ = Resk (F ) = Resk+1(F ) = . . . .
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 120
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Resolution in der Aussagenlogik
Satz 76. [Resolutionssatz der Aussagenlogik]
Eine Klauselmenge F ist unerfüllbar genau dann, wenn ∈ Res∗(F ).8
Aus dem Resolutionssatz leitet sich der folgende Algorithmus ab, der für eine Formel
F in KNF entscheidet, ob sie unerfüllbar ist:
Eingabe: eine Formel F in KNF.
Algorithmus: Bringe F in Klauselform.
Wiederhole
G := F
F := Res(F )
bis ( ∈ F ) oder (F = G)
Falls ( ∈ F ) dann gib „F ist unerfüllbar“ aus
sonst gib „F ist erfüllbar“ aus
8 Der Beweis des Satzes ist konstruktiv und führt zu einem korrekten und vollständigen Verfahren, um die Unerfüllbarkeit von Klauselmengen zu untersuchen. Die Korrektheit zeigt man direkt, die Vollständigkeit mittels Induktion über die
Anzahl der in F vorkommenden atomaren Formeln. Der Beweis ist nicht kompliziert, aber langwierig. Interessierte finden
ihn auf Seite 41f in Schönings Logik für Informatiker, 5. Aufl., Spektrum.
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 121
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Merke: Der Algorithmus kann in manchen Fällen sehr schnell zu einer Entscheidung
führen, in anderen müssen erst exponentiell viele Klauseln erzeugt werden!
Beachte: Falls F unerfüllbar ist, so wird irgendwann die leere Klausel erzeugt. An
der sogenannten Herleitung dieser leerer Klausel waren möglicherweise wesentlich
weniger Klauseln beteiligt, als von obigem Algorithmus erzeugt werden. Für einen
Beweis der Unerfüllbarkeit einer Formel kann man sich auf diese Klauseln beschränken:
Definition 77. [Deduktion/Herleitung/Beweis]
Eine Deduktion (oder Herleitung oder Beweis) der leeren Klausel aus einer Klauselmenge F ist eine Folge K1, K2, . . . , Km von Klauseln mit folgenden Eigenschaften:
Km ist die leere Klausel und
für jedes i = 1, . . . , m gilt, dass Ki entweder Element
von F ist oder aus gewissen Klauseln Ka, Kb mit
a, b < i resolviert werden kann.
Satz 78. Eine Klauselmenge F ist genau dann unerfüllbar, wenn eine Deduktion
der leeren Klausel aus F existiert.
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 122
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Merke: Um zu beweisen, dass eine Klauselmenge F unerfüllbar ist, genügt es, eine
Herleitung der leeren Klausel anzugeben. Bei der Angabe einer solchen Herleitung
sollte nicht nur die nackte Folge angegeben werden, sondern auch deutlich werden,
welche Klauseln resolviert werden:
Beispiel: F = {{A, B, ¬C}, {¬A}, {A, B, C}, {A, ¬B}}. F ist unerfüllbar,
denn die leere Klausel kann man z.B. wie folgt herleiten:
K1
K2
K3
K4
K5
K6
K7
=
=
=
=
=
=
=
{A, B, ¬C}
{A, B, C}
{A, B}
{A, ¬B}
{A}
{¬A}
(Klausel aus F )
(Klausel aus F )
(Resolvent von K1, K2)
(Klausel aus F )
(Resolvent von K3, K4)
(Klausel aus F )
(Resolvent von K5, K6)
Übrigens: es müssen nicht immer die beiden direkten Vorgänger in der Folge sein,
die zu einem Resolventen führen, K9 könnte z.B. Resolvent von K4 und K8 sein.
Es ist natürlich auch möglich, die graphische Darstellung aus der Vorlesung zu verwenden!
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 123
Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
[Hier fehlen noch die Ausführungen zu logischen Schaltungen und Prädikatenlogik,
nicht relevant für die Winterklausur (15.03.2004)]
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 124
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Graphen und das Geheimnis des kürzestens Wegs: von
Problemen, Schwierigkeiten und Näherungslösungen
Ruth: „. . . Aber praktisch brauchbare und gleichzeitig einfache Mathematik, gibt’s
sowas?“
Vim: “Ich habe nicht gesagt, dass die Mathematik einfach ist. Ich sagte nur, dass
die Probleme leicht zu verstehen sind. Die Mathematik dahinter kann sehr schwierig
sein. Glücklicherweise gibt es aber einige Probleme, bei denen auch die Mathematik
nicht zu schwierig ist.“
Ruth: “Also gut, worum geht es?“
Vim: “Um Routenplanung.“
[Dialog zwischen Ruth und Vim in Das Geheimnis des kürzesten Weges,
2. Aufl., Springer, von Peter Gritzmann und Rene Brandenberg]
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 125
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Routenplanung
Typische Fragestellungen:
• Finden Sie den kürzesten Weg von der FH Gelsenkichen nach Düsseldorf.
• Finden Sie den schnellsten Weg von der FH Gelsenkirchen nach Düsseldorf.
Antworten hierzu z.B. unter http://www.map24.de.
Problem 1: Datenbeschaffung (das interessiert uns hier nicht)
Problem 2: Welches Lösungsverfahren bzw. welcher Algorithmus bestimmt eine
optimale Lösung? (das interessiert uns!)
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 126
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Ein Routenplanungs-Problemtyp: Kürzeste Wege finden
Das informelle Problem:
Finde einen kürzesten Weg von s, wie Start, nach z , wie Ziel.
Das ist das Kürzeste-Wege-Problem.
Wir suchen einen Algorithmus zur Lösung des Problems, der eben zum einen
den kürzesten Weg findet (also optimal ist), dies zum anderen aber auch möglichst
effizient tut (den Begriff der Effizienz werden wir noch genauer untersuchen).
Eine erste Annäherung an den Begriff des Algorithmus9 (von http://www.
xipolis.de):
Algorithmus, der: systematisches Rechenverfahren, das zu einer Eingabe nach endlich vielen Schritten ein Ergebnis liefert.
9 Eine wichtige Präzisierung des Algorithmus-Begriffs, die Turing-Maschinen, werden wir im nächsten Semester kennenlernen und vertieft im Fach theoretische Informatik betrachten.
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 127
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Beispiele für Routenplanungs-Probleme
Das Problem der kürzesten Auto-Route ist natürlich ein kürzeste-Wege-Problem.
Das Problem, eine schnellste Bahnverbindung zu finden, ist auch eines (Umsteigezeiten werden ins Wegeprobleme „hineinkodiert“).
Auch das Finden von Strassenverbindungen in Satellitenbildern kann man als
kürzeste-Wege-Problem auffassen, indem man die Pixel als Orte ansieht und Farbunterschiede in Abstände umrechnet (Beispiel Satellitenbild Boston: http://
edcsgs9.cr.usgs.gov/glis/graphics/guide/napp/bos.gif).
Weitere Beispiele für andere Routenplanungsprobleme: Stadt- und Verkehrsplanung
(welche Infrastruktur, z.B. Straßen, in welcher Dimension wo plazieren?); optimale
Routen für Müllabfuhr, Postboten, Straßenreinigung usw.; Telekommunikation (z.B.
Routing im Internet für das Verschicken von Emails, oder allgemeiner: Paketen)
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 128
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Beispiel Hausbau
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
..
.
Aufgabe
Baugrube
Fundamente
Mauerwerk Keller
Decke Keller
Mauerwerk Erdgeschoss
Decke Erdgeschoss
Dachstuhl
Wasserinstallation (roh)
..
.
Dauer
5
5
10
5
10
5
10
5
..
.
Aufgaben, die erledigt sein müssen
—
1
1,2
1,2,3
1-4
1-5
1-6
1-6
..
.
12
13
..
.
Dachdecken
Fenster
..
.
20
5
..
.
1-7
1-7,12
..
.
26
Einzug
5
1-25
Das Hausbau-Problem ist ein sogenanntes Projektplanungsproblem. Hier ist das
Beachten von Reihefolgebedingungen wichtig! Es kann als Routenplanungsproblem
formuliert werden (wie?)
Weitere Beispiele: Fertigung von Leiterplatten (Bohrung von Löchern: kürzeste Wege, Positionierung von Verbindungen: Routenplanung), und viele mehr!
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 129
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Wie modelliert man Routenplanungsprobleme?
Was ist ein Modell?
• Intuitiv: Ein Modell ist eine Nachbildung irgendeiner Sache.
• Diese Nachbildung soll helfen, Probleme zu lösen, die die eigentliche Sache
betreffen (und die sich nicht direkt mit Hilfe der Sache selbst lösen lassen).
• Modelle sind schlecht, wenn die Aussagen/Lösungen, die man gewinnt, auf die
Sache nicht anwendbar sind (weil man z.B. den kürzesten Weg mit dem Modell
gar nicht findet)!
• Idealerweise vereinfachen Modelle die Problemlösung, weil sie Unwesentliches
weglassen (z.B. sollte für eine Fahrt von München nach Hamburg die Frankfurter
Innenstadt irrelevant sein).10
10 . . . wenn man nicht gerade am Frankfurter Kreuz im Stau steht.
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 130
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Modelle (Forts.)
Beispiel Routenplan für ein Nahverkehrsnetz – das ist eine Abstraktion von den
wirklichen Gegebenheiten (Entfernungen nur annähernd maßstäblich, Streckenführungen „linearisiert“, z.B. http://www.mvv-muenchen.de/archiv/objects/
pictures/1/netz03(A4).pdf.
Diese Form der Abstraktion ist von großer Bedeutung für alle genannten Probleme
– es ist ein sogenannter Graph:
Definition 79. [Ungerichteter Graph]
Ein (endlicher) ungerichteter Graph G = (V, E) besteht aus einer endlichen Menge
V von Knoten (engl. vertices) und einer (endlichen) Menge E von Kanten (engl.
edges), die jeweils zwei Knoten miteinander verbinden, d.h. E ist eine Menge von
zweielementigen Teilmengen von V , also E ⊆ {{u, v} | u, v ∈ V }.
Beachte: Die Kanten in dieser ersten Definition sind ungerichtet (wie wir ja wissen,
ist {a, b} = {b, a}). Es kann jeweils nur max. eine Verbindung zwischen zwei
Knoten geben (E ist eben eine „ganz normale“ Menge).
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 131
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Modelle (Forts.)
In der obigen Definition 79 sind Kanten erlaubt, die einen Knoten mit sich selbst
verbinden (sogennante Schleifen). In vielen Aufgabenstellungen kommt das nicht
vor:
Definition 80. [Ungerichteter Graph ohne Schleifen]
Ein ungerichteter Graph
heißt schleifenfrei, wenn für alle {u, v} ∈ E gilt, dass u 6= v .
Definition 81. [Teilgraph; Untergraph]
0
0
Sei G = (V, E) ein Graph. Sei nun V ⊆ V und E ⊆ E ∩ {{u, v}|u, v ∈
0
0
0
0
0
V }, dann heißt H = (V , E ) Teilgraph11 von G. Gilt für E sogar E = E ∩
0
0
{{u, v}|u, v ∈ V }, dann nennt man H auch den von E aufgespannten (oder
induzierten) Untergraphen von G.
11 In der Vorlesung am 7.1. habe ich eine andere, aber inhaltlich äquivalente Definition angegeben, die allerdings etwas
mißverständlich formuliert war. Oben wird deutlicher, dass auch ein Teilgraph nur Kanten enthalten darf, die Knoten aus
seiner Knotenmenge verbinden. In der Mittwochsdefinition folgte das nur indirekt darüber, dass H bereits als Graph
angenommen wird (das ist unschön, weil die Eigenschaft „H ist Graph“ erst aus den Eigenschaften der Knoten- und
Kantenmengen von H folgen sollte). Das Bild mit einer Kante, die aus der Knotenmenge von H herausführt, ist kein
Beispiel für einen Teilgraphen, sorry!
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 132
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Modelle (Forts.)
Bei der Abstraktion werden z.B. Autobahnabfahrten und Autobahnkreuze zu Knoten,
oder Bahnhöfe/Haltepunkte, oder Pixel in Bildern, oder Aufgaben in einem Projektplan usw. Das kann natürlich zu einer sehr großen Anzahl von Knoten führen!
Häufig ergeben sich die Kanten als Verbindungen zwischen „benachbarten“ Knoten
auf natürliche Weise. Manchmal ist es nicht ganz so offensichtlich – bei der Suche
nach einer Strasse im Satellitenbild erhält man über die Pixelknoten eine Gitterstruktur, wenn man horizontal und vertikal unmittelbar benachbarte Knoten miteinander
verbindet (hier könnte man diskutieren, ob nicht auch diagobal versetzte Knoten
unmittelbare Nachbarn sein sollten!)
Wichtig ist: Wenn man eine einheitliche Abstraktionsform für verschiedene Probleme (besser: Problemtypen) findet, dann kann man nach einem Algorithmus suchen, der direkt auf dieser Abstraktion arbeitet und
damit alle abstrahierten Probleme verschiedenen Typs lösen kann!
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 133
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Eigenschaften von Graphen
Die betrachteten Graphen sollen zusammenhängend sein. Ein Graph ist zusammenhängend, wenn es von jedem Knoten einen Verbindung (auch Weg oder
Pfad genannt) zu jedem anderen Knoten gibt.
Definition 82. [Nachbarn] Sei G = (V, E) ein Graph und v ∈ V ein beliebiger
Knoten. Dann ist N (v) = {u|{v, u} ∈ E} die Menge der Nachbarn von v . Jedes
u ∈ N (v) heißt Nachbar von v .
Definition 83. Sei G = (V, E) ein Graph und seien v1, v2 ∈ V . Dann sind v1 und
v2 verbunden, wenn entweder v2 ein Nachbar von v1 ist oder wenn ein Nachbarn
von v1 mit v2 verbunden ist.
Definition 84. [Zusammenhängend] Ein Graph G = (V, E) ist zusammenhängend, wenn jedes Paar verschiedener Knoten miteinander verbunden ist (Merke: ein
Graph, der nur aus einem Knoten besteht, ist auch zusammenhängend: es gibt kein
Parr verschiedener Knoten, das die Bedingung verletzen könnte).
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 134
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Eigenschaften von Graphen (Forts.)
Man kann natürlich auch konkrete Verbinungen angeben (und nachweisen, dass ein
Graph zusammenhängend ist, indem man für jedes Paar unterschiedlicher Knoten
eine solche Verbindung angibt).
Definition 85. [Kantenzug; Weg; Kreis; einfacher Weg/Kreis]
Sei G = (V, E) ein Graph. Eine Folge12 (v0, v1, . . . , vn) von Knoten aus V heißt
Kantenzug, wenn ei = {vi, vi+1} ∈ E gilt für 0 ≤ i ≤ n − 1. Im Fall v0 = vn
handelt es sich um einen geschlossenen, sonst um einen offenen Kantenzug.
Wenn die Kanten ei alle paarweise verschieden sind, dann wird der Kantenzug auch
Weg genannt. Ein Weg mit v0 = vn wird auch Kreis genannt.13
12 Eine Folge der Länge m ist ein geordnetes m-Tupel der Form (a , . . . , a ). Unser geordnetes Paar aus der
m
1
Mengenlehre ist ein 2-Tupel. m-Tupel lassen sich in als Mengen durch mehrfache Anwendung der Definition 13 erzeugen
und erfüllen den gleichen Zweck, wie unser geordnetes Paar: sie ordnen Objekte an (beachten Sie, dass in Folgen
(auch Sequenzen, Vektoren, Arrays . . . genannt) Objekte mehrfach vorkommen können). So, wie man den Begriff des
geordneten Paares erweitern kann, kann man auch den Begriff des kartesischen Produktes erweitert verwenden: es gilt
(a1 , . . . , am ) ∈ A1 × · · · × Am (unter der Annahme, dass ai ∈ Ai für 1 ≤ i ≤ m).
13 In der Mittwochsdefinition wurden nur offene Kantenzüge als Weg bezeichnet. Intuitiver ist es, Wege als allgemeinen
Begriff zu behandeln und Kreise als Spezialisierung zu betrachten.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 135
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Wenn (v0, . . . , vn) ein Weg ist, die Knoten v1, . . . , vn−1 alle paarweise verschieden sind und wenn v0, vn 6∈ {v1, . . . , vn−1}, dann ist der Kantenzug ein einfacher
Weg. Gilt zudem v0 = vn, dann ist der Weg ein einfacher Kreis.
Die Länge eines Kantenzugs ist die Anzahl der in ihm enthaltenen Kanten. Der
Kantenzug (v0, . . . , vn) hat also die Länge n (und eben n + 1 Knoten).
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 136
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Eigenschaften von Graphen (Forts.)
Manchmal ist auch ein gewisser Grad an Zusammenhang (Redundanz!) von Interesse, denken Sie an die Probleme beim Ausfall von Leitungen oder Strecken in
Netzen!
Definition 86. [Ausfallsicherheit] Ein (zusammenhängender) Graph G = (V, E)
ist (einfach)14 ausfallsicher, wenn er nach der Entfernung einer beliebigen Kante
weiterhin zusammenhängend ist.
Beachte: Die Eigenschaft zusammenhängend stellt sicher, dass es von jedem Knoten zu jedem anderen Knoten eine
Verbindung gibt. In einem (kanten-)ausfallsicheren Graphen gibt es zudem eine weitere, alternative Verbindung zwischen
jedem Paar verschiedener Knoten.
Eine Ausfallsicherheit kann man auch für Knoten fordern (die z.B. Kreuzungen darstellen können). Wenn man in einem
zusammenhängenden Graphen nach Entfernung eines beliebigen Knotens und der unmittelbar in diesen eingehenden
Kanten noch einen zusammenhängenden Graphen hat, dann spricht man von ausfallsicher mit Bezug auf die Knoten
(oder knoten-ausfallsicher).
14 Das kann man natürlich weitertreiben: wenn er bei Entfernung zweier beliebiger, verschiedener Kanten noch zusammenhängend ist, dann ist er zweifach ausfallsicher usw.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 137
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Multigraphen
In manchen Kontexten ist es natürlich, Graphen zu betrachten, in denen es mehrere
Kanten zwischen zwei Knoten geben kann (z.B. mehrere Stromleitungen, mehrere
parallele U-Bahn-Strecken).
Beispiel nochmals
http://www.mvv-muenchen.de/archiv/objects/pictures/1/netz03(A4)
.pdf.
Trotzdem werden wir uns im folgenden (meist) auf „normale“ Graphen beschränken.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 138
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Gerichtete Graphen
Häufig ist es sinnvoll, den Kanten eine Richtung zu geben. Dann spricht man auch
von Bögen (oder Pfeilen).
Definition 87. [Gerichteter Graph] Ein (endlicher) gerichteter Graph G =
(V, E) besteht aus einer endlichen Menge V von Knoten und einer Menge E von
gerichteten Kanten (Bögen) zwischen diesen Knoten, d.h. E ist eine Teilmenge des
kartesischen Produkts V × V , also E ⊆ V × V . Gerichtete Graphen werden auch
als Digraphen bezeichnet (engl. directed graph).
Sei e = (u, v) eine Element von V . Dann nennt man u auch Anfangs- und v
Endknoten von e. Häufig schreibt man auch uv anstelle von (u, v).
Beachte: E besteht also aus einer Menge von geordneten Paaren. Jetzt kann es
zwar zwei Kanten zwischen zwei Knoten geben, diese müssen dann aber eine unterschiedliche Orientierung (oder Richtung) aufweisen.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 139
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Gerichtete Graphen (Forts.)
Definition 88. [Gerichteter Graph ohne Schleifen] Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph, so dass für alle (u, v) ∈ E gilt, dass u 6= v . Dann ist G ein gerichteter
Graph ohne Schleifen.
Beachte weiter: Jede (zweistellige) Relation kann man unmittelbar als Graph auffassen. Welche Eigenschaften hat der Graph z.B., wenn die zugrundeliegende Relation
eine injektive Funktion ist?
Definition 89. Jedem gerichteten Graphen G = (V, E) kann man eindeutig einen
ungerichteten Graphen Gu = (V, Eu) zuordnen mit Eu = {{u, v}|(u, v) ∈ E}.
Definition 90. [Kantenzug, Weg, Kreis]
Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph. Eine Knotenfolge (v0,. . . ,vn) heißt Kantenzug des gerichteten Graphen, wenn für für alle i, 0 ≤ i ≤ n−1, gilt (vi, vi+1) ∈ E .
Ebenso analog zu den ungerichteten Graphen definiert man (einfache) Wege und
(einfache) Kreise.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 140
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Gerichtete Graphen (Forts.)
Definition 91. [Erreichbar] Zwei Knoten v1 und v2 sind verbunden, wenn es
einen Weg zwischen v1 und v2 im ungerichteten Graphen Gu gibt. Wenn es einen
gerichteten Weg von v1 nach v2 gibt, dann ist v2 erreichbar von v1.
Definition 92. [Zusammenhängend; stark zusammenhängend]
Ein gerichteter Graph G heißt zusammenhängend, wenn Gu zusammenhängend
ist. Er heißt stark zusammenhängend, wenn für je zwei verschiedene Knoten u,v
gilt: v ist erreichbar von u und u ist erreichbar von v .
Die Begriffe ausfallsicher und Multigraph kann man unmittelbar an gerichtete Graphen anpassen.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 141
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Die Suche nach kürzesten Wegen
Wir wollen vom Marienplatz zur Hackerbrücke mit U- oder S-Bahn fahren. Welches
ist die kürzeste Verbindung?
http://www.mvv-muenchen.de/archiv/objects/pictures/1/netz03(A4)
.pdf.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 142
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Die Suche nach kürzesten Wegen (Forts.)
Gerade gab es mehrere Streckenführungen zum Stachus (eine Zwischenstation auf
dem Weg zur Hackerbrücke).
Uns interessiert bei der Suche nach dem kürzesten Weg zur Hackerbrücke aber
auch nur die kürzeste Verbindung zu den (möglichen und tatsächlichen) Zwischenstationen!
Im Beispiel ist also nur der direkte Weg vom Marienplatz zum Stachus interessant,
nicht die Verbindung über den Odeonsplatz (oder gar die über Sendlinger Tor, und
Hauptbahnhof, oder über Sendlinger Tor, Harras, Heimerplatz und Hauptbahnhof).
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 143
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Die Suche nach kürzesten Wegen (Forts.)
Das gilt generell: wenn wir einmal einen Weg von x nach y gefunden haben, dann
können wir längere Wege dorthin ignorieren – wenn wir den kürzesten Weg gefunden haben, dann können wir sogar alle anderen Wege von x nach y ignorieren!
Warum?
Weil längere Wege zu einem Zwischenhalt unsere Lösung nicht
verbessern können!
Wir werden zu dieser Beobachtung (B ELLMANS Prinzip der Optimalität) noch zurückkehren.
Man muß sich auch klar machen, dass wir in der Kodierung des Problems als Graph
keine Richtungsinformationen haben – ein Lösungsverfahren kann also nicht sehen,
welche Richtungen vielversprechend sind und welche nicht – es muss also auch
„falsche“ Richtungen erkunden, um auszuschließen, dass sich dort ein kürzerer Weg
verbirgt.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 144
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Kombinatorische Explosion
Lösungsidee: Alle Wege generieren und den Kürzesten auswählen!
Wieviele Wege gibt es hier? (s. die nächsten Folien)
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 145
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Kombinatorische Explosion (Forts.)
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vom Startknoten loszulaufen?
Wieviele Möglichkeiten, den Weg fortzusetzen, gibt es dann? Und wieviele Möglichkeiten in den folgenden Schichten?
Wieviele Wege ergibt das insgesamt?
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 146
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Kombinatorische Explosion (Forts.)
Mit einer Schicht mehr gibt es doppelt so viele Wege! (25 = 32)
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 147
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Kombinatorische Explosion (Forts.)
Jetzt sind es bereits 250 = 1.125.899.906.842.624 mögliche Wege!
Kann der Rechner in jeder Sekunde eine Millionen Wege durchtesten, dann
würde er mehr als eine Milliarde Sekunden benötigen . . . das sind ca.
1.125.899.906.8/31.536.000 Jahre, also fast 36 Jahre.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 148
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Kombinatorische Explosion (Forts.)
Im allgemeinen Fall für Graphen dieser Struktur sind es 2n mögliche Wege. Für
n = 100 sind es bereits 40 Millionen Jahre.
Um ein Gefühl für die Größenrelation solcher exponentiell explodierter kombinatorischer Probleme z.B. zur Anzahl der Atome im Menschen, in der Erde und der Sonne
zu erhalten, kann man sich z.B. den folgenden Link anschauen:
http://www.harri-deutsch.de/verlag/hades/clp/kap09/cd236b.htm.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 149
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Gewichtete Graphen
Um die uns interessierenden Probleme modellieren zu können, brauchen wir noch
Informationen im Graphen zu Weglängen (oder Kapazitäten oder Zeiten oder Kosten
etc.).
Definition 93. [Gewichteter Graph] Sei G = (V, E) ein Graph (gerichtet oder
ungerichtet, Multi oder nicht) und w : E → N eine Bewertungsfunktion (die auch
z.B. in R abbilden könnte). Dann nennt man N = (G, w) einen gewichteten Graphen oder auch ein Netzwerk.
Beachte: die Bewertungsfunktion w ordnet jeder Kante e aus E ein Gewicht w(e)
zu. Wir betrachten im folgenden meist nicht-negative, ganzzahlige Gewichte (in
manchen Algorithmen nennen wir w() auch Bogenlänge() oder Kantenlänge().)
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 150
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Die Suche nach kürzesten Wegen
Grundidee: Zunächst kürzeste Wege zu (vermeintlichen und wirklichen) Zwischenstationen finden – und überflüssige Arbeit vermeiden!
http://www-m9.ma.tum.de/dm/java-applets/routenplanung/Algorithmen/
Dijkstra
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 151
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Dijkstras Algorithmus (1)
Input: Gewichteter Digraph G = (V, E)
Output: Output: Ein kürzester s, z -Weg und dessen Länge Distanz(z )
BEGIN S ← {s}, Distanz(s) ← 0
FOR ALL v ∈ V /{s} DO
Distanz(v ) ← Bogenlänge(s, v )
Vorgänger(v ) ← s
/* Vorgänger im kürzesten Weg */
END FOR
WHILE z 6∈ S DO
finde v ∗ ∈ V \S mit Distanz(v ∗) = min{Distanz(v ): v ∈ V \S}
S ← S ∪ {v ∗}
FOR ALL v ∈ V \S DO
IF Distanz(v ∗)+Bogenlänge(v ∗, v ) < Distanz(v ) THEN
Distanz(v ) ← Distanz(v ∗)+Bogenlänge(v ∗, v )
Vorgänger(v ) ← v ∗
END IF
END FOR
END WHILE
END
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 152
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Dijkstras Algorithmus (2)
Input: Gewichteter Digraph G = (V, E)
Output: Ein kürzester s, z -Weg und dessen Länge Distanz(z )
/* S sammelt alle ein Knoten, zu denen wir bereits kürzeste Wege kennen - zu
Beginn ist das natürlich s. */
BEGIN S ← {s}, Distanz(s) ← 0
FOR ALL v ∈ V /{s} DO
Distanz(v ) ← Bogenlänge(s, v )
Vorgänger(v ) ← s
END FOR
WHILE z 6∈ S DO
finde v ∗ ∈ V \S mit Distanz(v ∗) = min{Distanz(v ): v ∈ V \S}
S ← S ∪ {v ∗}
FOR ALL v ∈ V \S DO
...
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 153
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Dijkstras Algorithmus (3)
Input: Gewichteter Digraph G = (V, E)
Output: Ein kürzester s, z -Weg und dessen Länge Distanz(z )
BEGIN S ← {s}, Distanz(s) ← 0
/* Distanz(v ) merkt sich die Länge des bisher gefundenen kürzesten Weges von s
zu v , wenn es keinen Bogen sv gibt, wird es mit ∞ initialisiert. Vorgänger(v ) gibt
den Vorgänger auf dem bisher gefundenen kürzesten Weg von s nach v an. */
FOR ALL v ∈ V /{s} DO
Distanz(v ) ← Bogenlänge(s, v )
Vorgänger(v ) ← s */
END FOR
WHILE z 6∈ S DO
finde v ∗ ∈ V \S mit Distanz(v ∗) = min{Distanz(v ): v ∈ V \S}
S ← S ∪ {v ∗}
...
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 154
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Dijkstras Algorithmus (4)
Input: Gewichteter Digraph G = (V, E)
Output: Ein kürzester s, z -Weg und dessen Länge Distanz(z )
BEGIN S ← {s}, Distanz(s) ← 0
...
/* Die WHILE-Schleife fügt nach und nach alle benötigten Knoten zu S hinzu (S
enthält alle Knoten, zu denen wir die kürzesten Wege von s bereits kennen). Hierzu
bestimmt sie zunächst den (oder einen der) Knoten mit der kürzesten gefundenen
Weglänge, v ∗. Dieser wird zu S hinzugefügt und dann . . . (s. nächste Seite) */
WHILE z 6∈ S DO
finde v ∗ ∈ V \S mit Distanz(v ∗) = min{Distanz(v ): v ∈ V \S}
S ← S ∪ {v ∗}
FOR ALL v ∈ V \S DO
IF Distanz(v ∗)+Bogenlänge(v ∗, v ) < Distanz(v ) THEN
...
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 155
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Dijkstras Algorithmus (5)
Input: Gewichteter Digraph G = (V, E)
Output: Ein kürzester s, z -Weg und dessen Länge Distanz(z )
BEGIN S ← {s}, Distanz(s) ← 0
...
WHILE z 6∈ S DO
finde v ∗ ∈ V \S mit Distanz(v ∗) = min{Distanz(v ): v ∈ V \S}
S ← S ∪ {v ∗}
/* . . . wird geprüft, ob man mit den Bögen, die aus v ∗ herausführen, kürzere Weg zu
den damit unmittelbar erreichbaren Knoten finden kann, als bisher bekannt waren.
Wenn ja, dann werden die Informationen in diesen Knoten upgedated, also Distanz
(nun die Länge eines Weges über v ∗) und Vorgänger (nun v ∗) korrigiert. */
FOR ALL v ∈ V \S DO
/* sogenanntes Update */
IF Distanz(v ∗)+Bogenlänge(v ∗, v ) < Distanz(v ) THEN
Distanz(v ) ← Distanz(v ∗)+Bogenlänge(v ∗, v )
Vorgänger(v ) ← v ∗
...
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 156
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Dijkstras Algorithmus für Wege zu allen Knoten
Input: Gewichteter Digraph G = (V, E) mit positiven Gewichten
Output: Kürzeste s, v -Wege und deren Längen Distanz(v ) für alle v ∈ V
BEGIN S ← {s}, Distanz(s) ← 0
FOR ALL v ∈ V /{s} DO
Distanz(v ) ← Bogenlänge(s, v )
Vorgänger(v ) ← s
END FOR
WHILE S 6= V DO
/* ⇐= Hier auf alle Knoten erweitert! */
finde v ∗ ∈ V \S mit Distanz(v ∗) = min{Distanz(v ): v ∈ V \S}
S ← S ∪ {v ∗}
FOR ALL v ∈ V \S DO
IF Distanz(v ∗)+Bogenlänge(v ∗, v ) < Distanz(v ) THEN
Distanz(v ) ← Distanz(v ∗)+Bogenlänge(v ∗, v )
Vorgänger(v ) ← v ∗
END IF
END FOR
END WHILE
END
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 157
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Resultate zu Dijkstras Algorithmus
• Der Algorithmus findet kürzeste Wege in endlichen Graphen mit positiven Kantengewichten – er ist korrekt, d.h. er terminiert und liefert immer die richtige Antwort! [s. Mitschrieb]
• Er funktioniert natürlich auch für ungerichtete Graphen! (Man kann z.B. (generell) eine ungerichtete Kante durch zwei gerichtete ersetzen - er funktioniert aber
auch ohne solch eine Ersetzung)
• Der Algorithmus braucht nie mehr als n2 elementare Operationen (also ist er in
der Komplexitätsklasse O(n2))15 [s. Mitschrieb]
15 Zu den Komplexitätsklassen s. Veranstaltung GIN1a oder z.B. diese Quelle.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 158
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Edsger W. Dijkstra
Veröffentlicht wurde der Algorithmus 1959 in der ersten Auflage von Numerische
Mathematik (wo er nicht wirklich hineinpaßte).
Er stammt vom leider mittlerweile verstorbenen E DSGER W YBE D IJKSTRA (EWD),
einem wichtigen Pionier der mathematisch orientierten Informatik.
Eine kleine, nette Geschichte von EWD zur Entdeckung der beiden Algorithmen (ein
Weg/Alle Weg = ein Baum) finden sie hier.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 159
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Weiteres zu kürzesten Wegen
• Problematisch sind Graphen mit Kreisen mit insgesamt negativem Gewicht (dort
ist unendlich schnelles Reisen möglich!)
• Solche Kreise findet der F LOYD -WARSHALL-Algorithmus (s. z.B. http://
www-m9.ma.tum.de/dm/java-applets/floyd-warshall/Algorithmen/
FloydWarshall).
• Dieser findet auch kürzeste Wege, wenn es keine solchen Kreise (aber negative
Gewichte) gibt. Er gehört in die Komplexitätsklasse O(n3).
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 160
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Das Projektplanungsproblem
Kehren wir zurück zum Hausbau-Problem. Wann können Sie mit dem Einzug beginnen?
Dazu stellen wir das Problem als Digraph dar:
• Die Knoten repräsentieren die Aktivitäten.
• Die gerichteten Kanten die Beziehung unmittelbarer-Vorgänger-von.
• Gewichtet werden die Kanten mit dem minimalen Abstand zwischen den
Startzeiten der an der Kante beteiligten Aktivitäten.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 161
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Das Projektplanungsproblem (Forts.)
Jetzt würde uns der längste Weg von der ersten zur letzten Aktivität die Lösung
lieferen – die Mindestdauer des Hausbaus!
Das kann man in ein kürzeste-Wege-Problem umwandeln! Wie?
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 162
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Das Projektplanungsproblem (Forts.)
• Jetzt würde uns der längste Weg von der ersten zur letzten Aktivität die Lösung
lieferen – die Mindestdauer des Hausbaus!
• Das kann man in ein kürzeste-Wege-Problem umwandeln, indem man alle Gewichte mit −1 multipliziert (damit wird der längste zum kürzesten Weg!).
• Das Problem kann übrigens keine Kreise mit insgesamt negativen Kantengewichten haben (d.h. er hat eine sogenannte konservative Bewertungsfunktion, manchmal auch konservative Gewichte genannt), denn der Graph muss
immer ein Baum sein (s. Vorlesungen zu GIN1a) – sonst müßte eine Aktivität
sich selbst vorausgehen . . . .
• Für solche Graphen (mit negativen Gewichten, aber ohne Kreise mit negativem
Gesamtgewicht) liefert z.B. der M OORE -B ELLMAN -F ORD-Algorithmus kürzeste
Wege (und zwar alle).
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 163
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
M OORE -B ELLMAN -F ORD-Algorithmus
Input: Gewichteter Digraph G = (V, E) mit konservativen Gewichten (also ohne
Kreise mit negativem Gesamtgewicht)
Output: Kürzeste s, v -Wege (über Vorgänger(v ) generierbar) und deren Längen
Distanz(v ) für alle v ∈ V
BEGIN S ← {s}, Distanz(s) ← 0
FOR ALL v ∈ V /{s} DO Distanz(v ) ← ∞, Vorgänger(v ) ← s END FOR
FOR i = 1 TO |V|-1 DO
FOR EACH (v, w) ∈ E DO
IF Distanz(w) > Distanz(v ) + Bogenlänge((v, w)) THEN
Distanz(w) ← Distanz(v ) + Bogenlänge((v, w))
Vorgänger(w) ← v
END IF
END FOR EACH
END FOR
END
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 164
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
M OORE -B ELLMAN -F ORD-Algorithmus (Forts.)
Aufwand: Der Algorithmus benötigt (klarerweise) einen Aufwand in der Größenordnung O(nm) (n = Zahl der Knoten, m = Zahl der Kanten – das m kann deutlich
größer als n sein, genauer n ∗ (n − 1) im gerichteten und (n − 1) + (n − 2) +
· · · + 1 im ungerichteten Fall).
Korrektheit: Klarerweise terminiert der Algorithmus für endliche Graphen, zudem
bestimmt er die gewünschten kürzesten Wege (vgl. z.B. Combinatorial Optimization, Korte, Vygen, Springer 2000, Seite 142f).
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 165
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Näherungslösungen
„Man kann ungefähr in die Richtung der Luftlinie fahren und das ist dann auch am
Kürzesten“
Jein . . .
In der Praxis genügt es oft, eine „gute“ Lösung zu finden, die nicht unbedingt optimal ist.
Wir möchten gern sagen, wie weit so eine „Näherungslösung“ vom Optimum (höchstens) entfernt ist ohne dieses zu kennen – können wir das?
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 166
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Näherungslösungen (Forts.)
Das geht recht oft – selbst bei vielen der NP-schweren Probleme!
Beispiel: „graphische“ Probleme, deren optimale Lösungsgüte durch die Luftlinienentfernung nach unten beschränkt sind und in der die angegebenen bzw.
aus ihrer Position folgende Entfernung der Luftlinienentfernung entspricht.
Idee: Erstmal eine erste „ordentliche“ Lösung finden und dann den
Suchbereich stark einschränken!
Näherungsweise geht das auch für das S-Bahn/U-Bahn-Netz.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 167
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Preprocessing
Gelingt es, die Suche nach Lösungen weiter zu vereinfachen?
Suchen wir nach Kanten, die für die Ausfallssicherheit kritisch sind:
Z.B. die Verbindung Pasing–Laim.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 168
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Preprocessing (Forts.)
Fällt diese Verbindung aus, so ist der Graph in zwei nicht miteinander verbundene
Teilgraphen getrennt (sagen wir in A für den Teil mit Passing und B für den Rest).
Wenn wir nach einem kürzesten Weg von x ∈ A(V ) nach y ∈ B(V ) suchen,
dann können wir diesen zusammensetzen aus einem kürzesten Weg von x nach
Passing, einem kürzesten Weg von Laim nach y und der Kante Passing, Laim).
Wir lösen also zwei Teilprobleme anstelle eines großen Gesamtproblems.
Was bringt das? Wenn wir 1000 Knoten haben und in jedem Teil jeweils 500
davon liegen, und annehmen, dass eine konkrete Implementierung des DijkstraAlgorithmus etwa 10 ∗ n2 Operationen erfordert, dann lösen wir jetzt nur noch ein
Problem in der Größe 2 ∗ 10 ∗ 5002 = 5.000.000 anstelle eines in der Größe
10 ∗ 10002 = 10.000.000.
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 169
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Weitere Vereinfachung
Im S-Bahn/U-Bahn-Problem sind viele Knoten irrelevant (weil man nicht umsteigen
kann)!
Diese Knoten kann man entfernen und durch Kantengewichte ersetzten (die die
Haltestellen auf einem Teilstück zählen). Das reduziert die Knoten von 214 auf 52,
das ist für den Dijkstra-Algo eine etwa 16-fache Beschleunigung!
Das geht allerding nicht für Start- und Zielknoten (man muß also auch noch wissen,
welche Haltestellen auf zusammengefaßten Streckenabschnitten liegen).
Problem: Das finden kritischer Kanten oder das Entfernen von Knoten kostet Zeit!
Für einzelne Probleme oft zuviel Zeit – aber wenn die vereinfachte Problemstellung
oft verwendet wird (Bahnverbindungen suchen, Travelpiloten o.ä.), dann lohnt sich
das sehr schnell!
Übrigens: Einen solchen Trade-off gibt es häufig.16
16 Tarjan, ein weiterer wichtiger Informatiker, entwickelte den Begriff der amortisierten Kosten, um Algorithmen auch in
Situationen wiederholter Anwendung vergleichen zu können).
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 170
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Bäume
Ein ungerichteter Graph G = (V, E), der keinen Kreis enthält, heißt kreisfrei.
Ist er zusammenhängend und kreisfrei, dann nennt man ihn auch Baum (wenn
er nicht zusammenhängend ist, dann besteht er aus mehreren Bäumen, ist also ein
Wald).
Der Dijkstra-Algorithmus, der alle kürzesten Wege von einem Knoten s zu allen anderen Knoten findet, generiert einen Baum (aus allen Knoten das Ausgangsgraph
und den Kanten der kürzesten Wege).
Weil alle Knoten enthalten sind und der Graph zusammenhängend, ist der entstehende Teilgraph ein Spannbaum (er spannt die Knotenmenge V auf).
Ist der Graph gewichtet, dann nennt man die Suche nach einem Spannbaum mit
minimaler Kantensumme Spannbaumproblem – relevant ist es z.B. beim Mieten
von Leitungen für ein Telefonnetz durch Mitbewerber der Telekom.
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 171
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Spannbaumprobleme
Liefert der Dijkstra-Algorithmus minimale Spannbäume? [s. Mitschrieb]
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 172
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Prims Algorithmus
Input: Gewichteter Graph G = (V, E) mit positiven Gewichten
Output: Minimaler Spannbaum des Graphen G
BEGIN S ← {s}, Distanz(s) ← 0
FOR ALL v ∈ V /{s} DO
Distanz(v ) ← Kantenlänge(s, v )
Vorgänger(v ) ← s
END FOR
WHILE S 6= V DO
finde v ∗ ∈ V \S mit Distanz(v ∗) = min{Distanz(v ): v ∈ V \S}
S ← S ∪ {v ∗}
FOR ALL v ∈ V \S DO
IF Kantenlänge(v ∗, v ) < Distanz(v ) THEN
Distanz(v ) ← Kantenlänge(v ∗, v )
Vorgänger(v ) ← v ∗
END IF
END FOR
END WHILE
END
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 173
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Prims Algorithmus (Forts.)
• R OBERT C. P RIM ist der Schöpfer dieses Algorithmus.
• Laufzeit natürlich wie Dijkstras Algorithmus (für alle kürzesten Wege von einem
s zu den anderen Knoten).
• Korrektheit?
Beweis durch Widerspruch: Angenommen, der Algorithmus liefert keinen minimalen Spannbaum, macht also einen ersten (und möglicherweise weitere)
Fehler. Gezeigt wird, dass das nicht eintreten kann – und wenn es keinen ersten
Fehler gibt, dann gibt es natürlich auch keine weiteren! [s. Mitschrieb]
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Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 174
Graphen, kürzeste Wege und andere Probleme
Letzte Seite
[Hier fehlen noch die Ausführungen zu linearer Programmierung und zur Suche (Tiefensuche, Breitensuche, Uniform Cost, Iterative Deepening), zur Klausurvorbereitung für die Winterklausur (15.3.2004) nicht relevant.]
(Vorläufiges) Ende des Skripts
c 2003, Dr. W. Conen — Nutzung nur an der FH Gelsenkirchen
Version 1.0β , 20. Februar 2004, Seite 175