Mathematik II für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik II
für Wirtschaftswissenschaftler
Blatt 10
Sommersemester 2010
Prof. Hesse
Die Aufgabe 1b) wird am Dienstag, den 20.7 in der Vortragsübung vorgerechnet. Ihre Lösung der
anderen Aufgaben können Sie online überprüfen.
10.1) Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung der Differentialgleichungen
a) y ′′ + 2y ′ + 5y = 50x + 8e−x
b) y ′′ + 2y ′ + 5y = cos 2x
c) y ′′ + 2y ′ + 5y = xe−x sin 2x ?
Antwort:
a) y(x) =
+
x+
1
b) y(x) =
cos(
17
R
e−x + e−x c1 cos(
x)+
e−x x sin(
c) y(x) =
16
R
x)+
sin(
x)
x2 cos(
+e−x
x) + c2 sin(
c1 cos(
x) ,
x)+c2 sin(
x) + c1 cos(
x)+c2 sin(
10.2) Bestimmen Sie die Polardarstellung der folgenden komplexen Zahlen:
a) 3 + 4i,
b) 3 − 4i,
c) − 2 + 2i,
d) − 2 − 2i .
Antwort:
a)
b)
c)
d)
exp(
exp(
exp(
exp(
i)
i)
i)
i)
(Auf vier Dezimalstellen gerundet)
10.3) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differenzengleichungen:
a) y(n + 1) + 3y(n) = 2 · 4n ,
b) y(n + 1) + 3y(n) = (−3)n ,
c) y(n + 2) − 4y(n + 1) + 3y(n) = 2 · 4n ,
d) y(n + 2) − 4y(n + 1) + 3y(n) = 3n ,
e) y(n + 2) − 6y(n + 1) + 9y(n) = 2 · 3n .
Antwort:
c1 , c2 ∈ R
x) ,
x) ,
c1 , c2 ∈
c1 , c2 ∈
n+
a) yn =
·
b) yn =
n−1 n+
c) yn =
·
d) yn =
·n·
e) yn =
·n2 ·
n c,
c ∈ R(bzw.C)
n c,
n
c ∈ R(bzw.C)
nc
+ c1 +
n
nc
+ c1 +
n+
n
c1 , c2 ∈ R(bzw.C)
2,
2,
c1 , c2 ∈ R(bzw.C)
· (c1 + c2 n),
c1 , c2 ∈ R(bzw.C)
(Auf vier Dezimalstellen gerundet)
10.4) Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung der folgenden Differenzengleichung:
y(n + 2) − 4y(n + 1) + 5y(n) = 2 · 4n .
Antwort:
yn =
·
n+
n/2 (c
) + c2 sin n arccos(
1 cos n arccos(
)),
c1 , c2 ∈ R
(Auf vier Dezimalstellen gerundet)
10.5) Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems:
y(n + 2) − 4y(n + 1) + 5y(n) = 2 · 4n ,
y(0) = 1, y(1) = 3 .
Antwort:
yn =
·
n+
n/2 (
cos n arccos(
)+
sin n arccos(
)),
(Auf vier Dezimalstellen gerundet)
10.6) Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Systems von Differenzengleichungen:
x(n + 1) − x(n) = 2 · 3n + y(n)
2y(n + 1) + y(n) = 3n − x(n)
Antwort:
xn = c1 ·
yn = −c1 ·
n+
n+1
n
2
c1 , c2 ∈ R