¨Ubungsblatt 6 zur “Einführung in die Quantentheorie”
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Übungsblatt 6 zur “Einführung in die Quantentheorie” WS 2012/13 Prof. H. Köppel Abgabetermin 03.12.2012 (11:00) Aufgabe 1 (Eigenschaften der Hermite-Polynome) a) Bestimmen Sie H3 (z) anhand der Rekursionsrelation für die Koeffizienten der Hermite(3) Polynome gemäß Vorlesung. Benutzen Sie zusätzlich a3 = 8. (2P) b) Verifizieren Sie anhand von H2 (z) und H3 (z), dass sich die Hn (z) durch folgende Erzeugungsvorschrift konstruieren lassen (z = αx): (3P) dn −z 2 e dz n c) Zeigen Sie für die Eigenfunktionen |ψ0 i, |ψ1 i und |ψ2 i des Harmonischen Oszillators, dass diese jeweils zueinander orthogonal sind. (3P) Hinweis: Verwenden Sie für die auftretenden Integrale: r r Z ∞ Z ∞ π 1 π −ax2 2 −ax2 e dx = und x e dx = a 2a a −∞ −∞ Hn (z) = (−1)n ez 2 Nutzen Sie eventuell auftretende Symmetrien! d) Verifizieren Sie anhand obiger Erzeugungsvorschrift den Vorfaktor 2n für die jeweils höchste Potenz der Hermite-Polynome Hn (z) durch vollständige Induktion (vgl. entsprechendes Beiblatt und VL). (3P) Aufgabe 2 (Teilchen im Kasten, Unschärferelation) Die normierten Wellenfunktionen des Teilchens im eindimensionalen Kasten der Länge L lauten (siehe Übungsblatt 4): r 2 nπx sin , n = 1, 2, . . . ψn (x) = L L a) Berechnen Sie die Mittelwerte von Ort und Impuls gemäß (5P) Z +∞ Z +∞ h̄ d hxi = hψn |x̂|ψn i = ψn∗ (x)xψn (x)dx , hpi = hψn |p̂|ψn i = ψn∗ (x) ψn (x)dx . i dx −∞ −∞ b) Berechnen Sie das Produkt der Orts- und Impulsunschärfe ∆x·∆p, wobei die Unschärfe q ∆ für den Operator  wie gewohnt nach ∆ = hÂ2 i − hÂi2 definiert ist. (6P) 2 Führen Sie hierbei den Mittelwert hp̂ i auf Ekin zurück (siehe Übungsblatt 4), wodurch sich die Rechnung erheblich vereinfachen läßt! Entspricht das Ergebnis Ihren Erwartungen? Hinweis: Lösung der auftretenden Integrale mittels partieller Integration und trigonometrischer Umformungen. Anpassen der Integrationsgrenzen bei Substitution beachten!
