THEORETISCHE ELEKTRODYNAMIK Blatt 10

THEORETISCHE ELEKTRODYNAMIK
Blatt 10
Sommersemester 2009, Prof. J. Ankerhold
Aufgabe 1: Leiterschleife im Magnetfeld
Eine quadratische Leiterschleife der Seitenlänge l rotiert um die Mittelachse ihrer Schleifenebene
mit einer Winkelgeschwindigkeit ω. Die Schleifenebene werde durch ein homogenes magnetisches Feld B durchdrungen, welches in eine bestimmte feste Richtung zeigt, die senkrecht zur
Schleifenachse steht. An den beiden Leiterenden wird über Schleifkontakte die Spannung U
abgegriffen.
a) Wie sieht der zeitliche Verlauf U (t) aus, wenn die Schleife zum Zeitpunkt t = 0 senkrecht zu den
Feldlinien steht?
(1 Punkt)
Tipp: Man denke sich die Leiterschleife als ein geschlossenes Objekt (d.h. von der räumlichen
Trennung der beidenI Leiterenden kann praktisch abgesehen werden). Damit ist die abgegriffene
~ r ) zu berechnen und das geht mit dem Stockesschen Integralsatz.
Spannung aus U = d~rE(~
Maxwellsche Gleichungen besorgen dann die Verbindung zum magnetischen Fluss, der leicht
ausgerechnet werden kann.
b) Berechnen Sie die zeitlich gemittelte Leistung der Schleife, wenn an die Schleifkontakte ein Verbraucher mit einem Widerstand R angeschlossen wird.
(1 Punkt)
c) Was ändert sich, wenn der Leiterdraht sich N mal um die Schleife windet?
(1 Punkt)
“Mantel”
Aufgabe 2: Koaxialkabel
Gegeben sei ein langes Koaxialkabel der Länge l mit den Radien
r0 , r1 für die “Seele” und r2 , r3 für den “Mantel”gemäss Skizze.
Die “Seele” und “Mantel” bestehen aus einem Leiter (mit magnetischer Permeabilität µr = 1), während die Zwischenräume mit
einem Isolator gefüllt seien. Durch die “Seele” fliesse ein Strom I
und durch den “Mantel” der entgegengerichtete Strom −I.
“Seele”
r0 s r1
r2
r3
a) Bestimmen Sie das Magnetfeld, welches von einem Strom I erzeugt wird, in allen Bereichen (d.h.
r ∈ [0; r0 ], [r0 ; r1 ], [r1 ; r2 ], [r2 ; r3 ], [r3 ; ∞)) des Koaxialkabels. Die jeweilige Stromdichten seien
dabei als konstant anzunehmen. Skizzieren Sie den Betrag des Magnetfeldes in Abhängigkeit
vom Radius. Wie ist dieses gerichtet?
(2 Punkte)
b) Berechnen Sie den magnetischen Feldfluss Φm , der durch einen Längsschnitt des Kabels hindurchtritt. Bestimmen Sie daraus die Induktivität L = Φm /I und die Arbeit W = LI 2 /2, die
zum Aufbau des Stroms I geleistet werden muss.
(1 Punkt)
c) Stellen Sie einen Ausdruck für die Energiedichte des Magnetfeldes auf und berechnen Sie die
Gesamtenergie dieses Feldes im Koaxialkabel. Wie verträgt sich dieses Ergebnis mit dem aus
Aufgabe b)?
(1 Punkt)
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Aufgabe 3: Elektromagnetische Wellen im Leiter
Sei das Medium, in dem sich elektromagnetische Wellen ausbreiten, ein Leiter mit dielektrischer
Konstante ǫ und magnetischer Permeabilität µr . Darin kommen keine freien Ladungsquellen
~ wobei σ die Leitfähigkeit des
vor, d.h. ̺ = 0, und ausserdem gilt das Ohmsche Gesetz ~j = σ E,
Leiters darstellt.
a) Zeigen Sie mit Hilfe der Maxwellgleichungen, dass die elektrische und magnetische Feldkomponenten den folgenden dynamischen Gleichungen genügen:
~ = µ0 µr σ
∆E
~
~
∂E
∂2E
+ µ 0 µ r ǫ0 ǫ 2
∂t
∂t
,
~ = µ0 µr σ
∆H
~
~
∂H
∂2H
+ µ 0 µ r ǫ0 ǫ 2 .
∂t
∂t
(1)
Tipp: Erinnern Sie sich an die Beziehung rot rot = grad div − ∆ und bedenken Sie, dass wir in
SI-Einheiten rechnen.
(1 Punkt)
b) Als Vorbereitung für die nächste Aufgabe soll gezeigt werden, dass
qp
qp
√
1
2
2
2
2
u +v +u +i
u +v −u
u + iv = √
2
(2)
gilt. Dazu benutze man die polare Darstellung komplexer Zahlen und zeige die für positive u und
v gültige Identität
√
1
1
v
v
2
2 1/4
u + iv = (u + v )
cos
arctan
arctan
+ i sin
.
2
u
2
u
Benutzen Sie anschliessend die (als bekannt vorauszusetzenden) trigonometrischen Beziehungen
"√
"√
#1/2
#1/2
1 + tan2 α + 1
1 + tan2 α − 1
α
α
√
√
cos =
und sin =
, um zu sehen, dass die Aussage
2
2
2 1 + tan2 α
2 1 + tan2 α
(2) stimmt.
(2 Punkte)
c) Lösen Sie die Gleichungen (1) für die ebenen monochromatischen (Frequenz ω fixiert)
p Wellen der
~k~
~k~
i(
r
−ωt)
i(
r
−ωt)
~
~
~
~
~
Form E(~r, t) = E0 e
, H(~r, t) = H0 e
. Wie sieht die Lösung für |k| = ~k2 aus, bzw.
was ist nach Aufgabeteil b) der Real- und Imaginär-Teil davon? Was kann man nun über die
~ und H-Felder
~
Eindringtiefe der Esagen? Diskutieren Sie den Spezialfall σ = 0 (Vakuum oder
transparenter Isolator) und den Fall σ → ∞ (idealer Leiter).
(2 Punkte)