Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für
Studierende der Informatik
PD Dr. U. Ludwig
Vorlesung 3
1 / 16
§ 1.3 Mehrstufige Zufallsexperimente
2 / 16
Häufig besteht ein Zufallsexperiment aus mehreren
Teilexperimenten. Zwei Beispiele:
das n-fache Werfen einer Münze ist ein mehrstufiges
Zufallsexperiment.
Wir betrachten eine Urne mit 2 roten und 3 schwarzen Kugeln.
Es wird rein zufällig eine Kugel aus der Urne gezogen; ihre
Farbe wird notiert. Anschließend werden diese Kugel und eine
weitere Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt. Nach
gutem Durchmischen wird wiederum eine Kugel aus der Urne
gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel rot?
3 / 16
Wahrscheinlichkeitsraum bei einem endlichen 2-stufigen
Experiment
Sei Ω1 die Menge der Ereignisse der ersten Stufe, Ω2 die Menge der
Ereignisse der zweiten Stufe. Ω1 , Ω2 seien endlich. p1 sei eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ω1 .
Für jedes a1 ∈ Ω1 sei ein System von
Übergangswahrscheinlichkeiten p2 (a2 |a1 ) ≥ 0 gegeben, mit
X
p2 (a2 |a1 ) = 1 für alle a1 ∈ Ω1 .
a2 ∈Ω2
Der Ereignisraum ist Ω = Ω1 × Ω2 .
Als Ereignisalgebra nehmen wir P(Ω).
Die Wahrscheinlichkeit p(ω) für ω = (a1 , a2 ) ∈ Ω ist gegeben
durch
p(ω) = p2 (a2 |a1 ) · p1 (a1 ) (erste Pfadregel).
4 / 16
Wahrscheinlichkeitsraum bei einem endlichen 3-stufigen
Experiment
Grundraum: Ω1 × Ω2 × Ω3 .
Wahrscheinlichkeitsverteilung p1 auf Ω1 .
Übergangswahrscheinlichkeiten p2 (a2 |a1 ) ≥ 0 und
p3 (a3 |a1 , a2 ) ≥ 0, so dass
X
p2 (a2 |a1 ) = 1 für alle a1 ∈ Ω1
a2 ∈Ω2
und
X
p3 (a3 |a1 , a2 ) = 1 für alle (a1 , a2 ) ∈ Ω1 × Ω2 .
a3 ∈Ω3
Die erste Pfadregel lautet nun, für ω = (a1 , a2 , a3 )
p(ω) = p3 (a3 |a1 , a2 ) · p2 (a2 |a1 ) · p1 (a1 ).
5 / 16
Wahrscheinlichkeit in einem n-stufigen
Wahrscheinlichkeitsexperiment
Definition 1.12.
Es sei Ωj endlich oder abzählbar unendlich für j = 1, . . . , n; ferner
sei p1 eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ω1 . Wir betrachten als
Grundraum eines n−stufigen Zufallsexperiments die Menge
Ω = Ω1 × . . . × Ωn . Für die Modellierung des Übergangs vom
(j − 1)−ten zum j−ten Teilexperiment (2 ≤ j ≤ n) sei ein System
von Übergangswahrscheinlichkeiten
pj (aj |a1 , . . . , aj−1 ) ≥ 0 für jedes (a1 , . . . aj−1 ) ∈ Ω1 × . . . × Ωj−1
mit
X
pj (aj |a1 , . . . , aj−1 ) = 1 für alle (a1 , . . . aj−1 ) ∈ Ω1 ×. . .×Ωj−1
aj ∈Ωj
gegeben.
6 / 16
Wahrscheinlichkeit in einem n-stufigen
Wahrscheinlichkeitsexperiment (Fortsetzung)
Definition 1.12. (Fortsetzung)
Die Wahrscheinlichkeit p(ω) für ω = (a1 , . . . , an ) kann nun nach
der ersten Pfadregel durch
p(ω) = p1 (a1 ) · p2 (a2 |a1 ) · . . . · pn (an |a1 , . . . , an−1 )
berechnet werden. Für eine Teilmenge A ⊂ Ω definieren wir
X
p(A) =
p(ω) (zweite Pfadregel).
ω∈A
(M.a.W: die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A berechnet sich
als Summe aller Wahrscheinlichkeiten, die in der n−ten Stufe zu
einem ω ∈ A führen.)
Dann ist (Ω, P(Ω), p) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
7 / 16
Produktexperimente
Definition 1.13.
Ist ein n−stufiges Zufallsexperiment gegeben und gilt für das
System der Übergangswahrscheinlichkeiten
pj (aj |a1 , . . . , aj−1 ) = pj (aj )
für alle aj ∈ Ωj , a1 ∈ Ω1 , . . . , aj−1 ∈ Ωj−1 , dann ist (Ω, P(Ω), p)
mit
n
Y
p(ω) =
pj (aj ) für ω = (a1 , . . . , an )
j=1
ein Wahrscheinlichkeitsraum. Man nennt solche mehrstufigen
Zufallsexperimente auch Produktexperimente.
Beispiel: n-facher Wurf mit einer fairen Münze.
8 / 16
1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten,
der Satz von Bayes
9 / 16
Beispiel
Alex, Bob und Charly spielen Skat. Jeder erhält 10 Karten, 2
Karten bilden den Skat.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Pik-Ass bei Alex? Mit
welcher Wahrscheinlichkeit ist das Pik-Ass im Skat?
Antwort: 10/32, 2/32.
Bob weiß, dass er das Pik-Ass nicht hat. Er beantwortet die
obigen Fragen mit: 10/22, 2/22.
A = “Alex hat das Pik-Ass”. Y = “Bob hat das Pik-Ass nicht”. Wir
bezeichnen mit p(A/Y ) die Wahrscheinlichkeit von A unter der
Bedingung, dass Y schon eingetreten ist. In unserem Beispiel gilt
p(A) = 10/32, p(A/Y ) = 10/22.
10 / 16
Beispiel (Beispiel 1.14 im Skript)
3 Maschinen produzieren denselben Artikel. Man weiß, dass
Maschine 1 nur 2 % Ausschuss produziert, Maschine 2 dagegen
10 % und Maschine 3 schließlich 4 %. Die Anteile der drei
Maschinen an der Gesamtproduktion betragen 30 %, 50 % bzw.
20 %.
U :=“Artikel ist unbrauchbar”.
M1 :=“Artikel ist von der Maschine 1 produziert”.
Analog M2 und M3 ....
Die Wahrscheinlichkein, dass ein Artikel, der von Maschine 1
produziert wurde, unbrauchbar ist, beträgt p(U|M1 ) = 0, 02.
Analog p(U|M2 ) = 0, 1 und p(U|M3 ) = 0, 04.
Von der Gesamtproduktion wird ein Artikel zufällig ausgewählt. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Artikel unbrauchbar ist? 11 / 16
Bedingte Wahrscheinlichkeit im Fall eines Laplace’schen
Experiments
Sei Ω ein Laplaceraum. Es seien A, Y Ereignisse in Ω.
Wir wollen p(A|Y ) bestimmen. Y ist also eingetreten, d.h. das
Ergebnis des Experiments ist ein ω0 ∈ Y . Wir bestimmen zuerst für
ω ∈ Ω die bedingte Wahrscheinlichkeit p({ω}|Y }:
1/|Y | falls ω ∈ Y ,
p({ω}|Y ) =
0
falls ω 6∈ Y .
Da das Wahrscheinlichkeitsmaß additiv ist, erhalten wir
p(A|Y ) =
p(A ∩ Y )
|A ∩ Y |
=
.
p(Y )
|Y |
12 / 16
Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in einem
Wahrscheinlichkeitsraum
Definition 1.15.
Es sei (Ω, A, p) ein Wahrscheinlichkeitsraum; sind A und B zwei
Ereignisse, d.h. A, B ∈ A, mit p(B) > 0, so ist die bedingte
Wahrscheinlichkeit p(A|B) = pB (A) (”Wahrscheinlichkeit von A
unter der Bedingung B”) definiert durch
pB (A) :=
p(A ∩ B)
.
p(B)
13 / 16
Multiplikationssatz
Bemerkung 1.16. (Multiplikationssatz)
(a) Sind A, B ∈ A mit p(A) > 0 und p(B) > 0, so folgt aus der
Definition 1.14
p(A ∩ B) = pB (A) · p(B) = pA (B) · p(A).
(b) Sind A1 , A2 , . . . , An ∈ A mit n ≥ 2, so dass
p(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Aν−1 ) > 0 gilt für alle ν = 2, . . . , n. Dann ist
p(A1 ∩ · · · ∩ An ) = p(A1 )
n
Y
p(Aν | A1 ∩ · · · ∩ Aν−1 ).
ν=2
14 / 16
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Satz 1.17. (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
n
[
Es sei Ω =
Bk eine disjunkte Zerlegung mit p(Bk ) > 0 für
k=1
1 ≤ k ≤ n. Dann gilt für beliebiges A ∈ A :
p(A) =
n
X
p(Bk ) · pBk (A).
k=1
15 / 16
Zurück zu unserem Beispiel 1.14
U :=“Artikel ist unbrauchbar”.
M1 :=“Artikel ist von der Maschine 1 produziert”. Analog M2 , M3 .
Machine
1
2
3
Ausschuss
0,02
0,1
0,04
Anteil an Gesamtproduktion
30 %
50 %
20 %
Von der Gesamtproduktion wird ein Artikel zufällig ausgewählt. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Artikel unbrauchbar ist?
Mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit erhalten wir die
Antwort:
p(U) = pM1 (U) · p(M1 ) + pM2 (U) · p(M2 ) + pM3 (U) · p(M3 )
= 0.02 · 0.3 + 0.1 · 0.5 + 0.04 · 0.2 = 0.064
16 / 16