X - Prof. Dr. Christoph Karg

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Definitionen und Sätze
Prof. Dr. Christoph Karg
Studiengang Informatik
Hochschule Aalen
Wintersemester 2017/2018
4.10.2017
Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum
Definition 1.1 Sei Ω eine endliche oder abzählbar unendliche
Menge. Sei Pr : Ω 7→ R eine Abbildung.
(Ω, Pr) ist ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, falls folgende
Bedingungen erfüllt sind:
1. Für alle ω ∈ Ω gilt: 0 ≤ Pr [ω] ≤ 1.
∑
2.
ω∈Ω Pr [ω] = 1.
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Definitionen und Sätze
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Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
Ereignis
Definition 1.2. Sei (Ω, Pr) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine
Menge A ⊆ Ω heißt Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit Pr [A] des
Ereignisses A ist definiert als
∑
Pr [A] =
Pr [ω] .
ω∈A
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Definitionen und Sätze
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Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
Prinzip von Laplace
Prinzip von Laplace:
Wenn nichts dagegen spricht, kann man davon ausgehen,
dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind.
Formal: Für alle ω ∈ Ω gilt:
Pr [ω] =
1
.
∥Ω∥
Voraussetzung: ∥Ω∥ < ∞
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Definitionen und Sätze
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Rechenregeln
Additionssatz
Satz 2.1 (Additionssatz) Für zwei disjunkte Ereignisse A und B
gilt:
Pr [A ∪ B] = Pr [A] + Pr [B] .
Allgemein: Sind die Ereignisse A1 , . . . , An paarweise disjunkt, dann
gilt:
[ n ]
n
∪
∑
Pr
Ai =
Pr [Ai ] .
i=1
i=1
Für eine unendliche Menge von disjunkten Ereignissen A1 , A2 , . . . gilt:
[∞ ]
∞
∪
∑
Pr
Ai =
Pr [Ai ] .
i=1
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i=1
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Rechenregeln
Elementare Rechenregeln
Satz 2.2 Für zwei beliebige Ereignisse A und B gilt:
1. Pr [∅] = 0, Pr [Ω] = 1.
2. 0 ≤ Pr [A] ≤ 1.
[ ]
3. Pr A = 1 − Pr [A].
4. Wenn A ⊆ B, dann Pr [A] ≤ Pr [B].
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Rechenregeln
Siebformel
Satz 2.3 (Siebformel) Für zwei Ereignisse A und B gilt:
Pr [A ∪ B] = Pr [A] + Pr [B] − Pr [A ∩ B] .
Für drei Ereignisse A1 , A2 und A3 gilt:
Pr [A1 ∪ A2 ∪ A3 ]
= Pr [A1 ] + Pr [A2 ] + Pr [A3 ]
−Pr [A1 ∩ A2 ] − Pr [A1 ∩ A3 ]
−Pr [A2 ∩ A3 ] + Pr [A1 ∩ A2 ∩ A3 ]
Allgemein: Für n ≥ 2 Ereignisse A1 , . . . , An gilt:
Pr [A1 ∪ . . . ∪ An ]
[
]
∑
∩
=
(−1)∥S∥+1 Pr
Ai
S⊆{1,...,n}
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i∈S
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Definitionen und Sätze
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Definition 3.1 Gegeben sind die Ereignisse A und B, wobei
Pr [B] > 0.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit Pr [A|B] von A gegeben B ist
definiert durch
Pr [A ∩ B]
Pr [A|B] =
.
Pr [B]
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Multiplikationssatz
Satz 3.5 (Multiplikationssatz) Gegeben sind die Ereignisse
A1 , . . . , An .
Angenommen,
Pr [A1 ∩ . . . ∩ An ] > 0.
Dann gilt:
Pr [A1 ∩ . . . ∩ An ] = Pr [A1 ] · Pr [A2 |A1 ] · Pr [A3 |A1 ∩ A2 ]
· . . . · Pr [An |A1 ∩ . . . ∩ An−1 ] .
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Beispiel: Geburtstagsproblem
3
exp(-x)
1-x
2.5
y
2
1.5
1
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
x
Approximation von 1 − x durch e−x
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Beispiel: Geburtstagsproblem (Forts.)
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
Satz 3.7 (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit) Angenommen
die
∪n Ereignisse A1 , . . . , An bilden eine Partition von Ω, d.h.
i=1 Ai = Ω und für alle i ̸= j gilt Ai ∩ Aj = ∅.
Dann gilt für jedes Ereignis B ⊆ Ω:
Pr [B] =
n
∑
i=1
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Pr [B|Ai ] · Pr [Ai ] .
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von Bayes
Satz 3.9 (Satz von Bayes) Gegeben sind die paarweise disjunkten
Ereignisse A1 , . . . , An . Falls B ⊆ A1 ∪ . . . ∪ An mit Pr [B] > 0, dann
ist für ein beliebiges i ∈ {1, . . . , n}
Pr [B|Ai ] Pr [Ai ]
Pr [B]
Pr [B|Ai ] · Pr [Ai ]
= ∑n
.
[A
]
[B|A
]
Pr
Pr
j
j
j=1
Pr [Ai |B] =
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Satz von Bayes (Forts.)
Satz 3.9 (Satz von Bayes) Für eine unendliche
∪∞ Folge von paarweise
disjunkten Ereignissen A1 , A2 , . . . mit B ⊆ i=1 Ai gilt analog, dass
Pr [B|Ai ] Pr [Ai ]
Pr [B]
Pr [B|Ai ] · Pr [Ai ]
= ∑∞
.
]
[B|A
]
[A
Pr
Pr
j
j
j=1
Pr [Ai |B] =
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Definitionen und Sätze
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Unabhängige Ereignisse
Unabhängige Ereignisse
Definition 4.1 (Unabhängigheit) Die Ereignisse A und B sind
unabhängig, falls
Pr [A ∩ B] = Pr [A] Pr [B]
gilt.
Konsequenz: Für zwei unabhängige Ereignisse A und B gilt:
Pr [A|B] = Pr [A] .
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Unabhängige Ereignisse
Unabhängige Ereignisse (Forts.)
Definition 4.3 (Unabhängigkeit) Die Ereignisse A1 , . . . , An sind
unabhängig, wenn für alle Teilmengen S ⊆ {1, . . . , n} gilt, dass
[
]
∩
∏
Pr
Ai =
Pr [Ai ] .
i∈S
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i∈S
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Unabhängige Ereignisse
Eine nützliche Eigenschaft
Notation: A0 = Ai und A1 = A.
Satz 4.4 Seien A1 , . . . , An beliebige Ereignisse. Sei k ∈ {1, . . . , n}
und sei {i1 , . . . , ik } ⊆ {1, . . . , n} eine beliebige Auswahl von Indizes.
Angenommen, für alle (b1 , . . . , bn ) ∈ {0, 1}n gilt:
[
]
[
]
[
]
Pr Ab11 ∩ . . . ∩ Abnn = Pr Ab11 · . . . · Pr Abnn .
Dann gilt für alle (bi1 , . . . , bik ) ∈ {0, 1}k , dass
[ b
]
[ b ]
[ b ]
bik
i
i1
i1
Pr Ai1 ∩ . . . ∩ Aik = Pr Ai1 · . . . · Pr Aii k .
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Unabhängige Ereignisse
Nachweis der Unabhängigkeit von Ereignissen
Satz 4.5 Die Ereignisse A1 , . . . , An sind genau dann unabhängig,
wenn für alle (b1 , . . . , bn ) ∈ {0, 1}n gilt, dass
[
]
[
]
[
]
Pr Ab11 ∩ . . . ∩ Abnn = Pr Ab11 · . . . · Pr Abnn ,
wobei A0i = Ai und A1i = Ai .
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Unabhängige Ereignisse
Kombination von unabhängigen Ereignissen
Satz 4.6 Sind A, B und C unabhängige Ereignisse, dann sind auch
A ∩ B und C bzw. A ∪ B und C unabhängige Ereignisse.
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Definitionen und Sätze
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Zufallsvariablen
Zufallsvariable
Definition 5.1 (Zufallsvariable) Gegeben ist ein
Wahrscheinlichkeitsraum mit Ereignisraum Ω.
Eine Abbildung X : Ω 7→ R heißt �Zufallsvariable (über Ω). Eine
Zufallsvariable X über einer endlichen und abzählbar unendlichen
Ergebnismenge Ω heißt �diskret.
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Zufallsvariablen
Bedingte Zufallsvariable
Definition 5.2 (Bedingte Zufallsvariable) Sei X eine
Zufallsvariable und A ein Ereignis mit Pr [A] > 0. Die �bedingte
Zufallsvariable X|A besitzt die �Dichte
[ −1
]
Pr X (x) ∩ A
fX|A (x) = Pr [X = x|A] =
.
Pr [A]
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Zufallsvariablen
Dichte und Verteilung einer Zufallsvariablen
Definition 5.3 (Dichte und Verteilung) Sei X eine diskrete
Zufallsvariable über dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω.
Die Dichtefunktion (kurz: Dichte) von X ist die Funktion
fX : R 7→ [0; 1] mit
∑
fX (x) = Pr [X = x] =
Pr [ω] .
ω∈X−1 (x)
Die Verteilungsfunktion (kurz: Verteilung) von X ist die Funktion
FX : R 7→ [0; 1] mit
∑
FX (x) = Pr [X ≤ x] =
Pr [X = x ′ ] .
x ′ ≤x
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Zufallsvariablen
Beispiel: Summe zweier Würfel
Dichte der Augensumme zweier Würfel
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Zufallsvariablen
Beispiel: Summe zweier Würfel (Forts.)
Verteilung der Augensumme zweier Würfel
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24 / 71
Zufallsvariablen
Kombination Zufallsvariable und Funktion
Satz 5.5 Sei X eine Zufallsvariable über dem
Wahrscheinlichkeitsraum Ω und sei f : R 7→ R eine beliebige
Abbildung. Dann ist f(X) eine Zufallsvariable über Ω.
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Definitionen und Sätze
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Erwartungswert
Erwartungswert
Definition 6.1 (Erwartungswert) Der Erwartungswert Exp [X]
einer diskreten Zufallsvariablen X ist definiert als
∑
Exp [X] =
x · Pr [X = x]
x∈WX
=
∑
x∈WX
x · fX (x)
vorausgesetzt die obige Summe konvergiert.
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Erwartungswert
Berechnung von Erwartungswerten
Satz 6.4 Sei X eine diskrete Zufallsvariable. Sei A1 , . . . , An eine
Partition des Ereignisraums Ω.
Angenommen, es gilt Pr [Ai ] > 0 für alle i ∈ {1, . . . , n}.
Dann ist:
Exp [X] =
n
∑
i=1
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Exp [X|Ai ] · Pr [Ai ] .
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Erwartungswert
Berechnung von Erwartungswerten (Forts.)
Satz 6.4 (Variante 2) Sei X eine diskrete Zufallsvariable. Sei
A1 , A2 , A3 , . . . eine Partition des Ereignisraums Ω.
Angenommen, es gilt Pr [Ai ] > 0 für alle i ∈ {1, 2, 3, . . .}, die
Erwartungswerte Exp [X|Ai ] existieren und die Summe
∑
∞
i=1 Exp [X|Ai ] · Pr [Ai ] konvergiert.
Dann ist:
Exp [X] =
∞
∑
i=1
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Exp [X|Ai ] · Pr [Ai ] .
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Definitionen und Sätze
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Erwartungswert
Berechnung von Erwartungswerten (Forts.)
Satz 6.6 Sei X eine Zufallsvariable, deren Erwartungswert existiert.
Dann gilt:
Exp [X] =
∑
ω∈Ω
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X(ω) · Pr [ω] .
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Definitionen und Sätze
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Erwartungswert
Monotonie des Erwartungswerts
Satz 6.7 (Monotonie des Erwartungswerts) Seien X und Y
Zufallsvariablen über dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω.
Falls für alle ω ∈ Ω die Ungleichung X(ω) ≤ Y(ω) gilt, dann gilt
Exp [X] ≤ Exp [Y].
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Erwartungswert
Linearität des Erwartungswerts
Satz 6.8 (Linearität des Erwartungswerts) Sei X eine
Zufallsvariable und seien a, b ∈ R beliebige Zahlen.
Dann gilt:
Exp [a · X + b] = a · Exp [X] + b.
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Definitionen und Sätze
31 / 71
Erwartungswert
Nochmals Berechnung von Erwartungswerten
Satz 6.9 Sei X eine Zufallsvariable mit WX ⊆ N0 .
Dann gilt:
Exp [X] =
∞
∑
i=0
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Pr [X ≥ i] .
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Definitionen und Sätze
32 / 71
Erwartungswert
Linearität des Erwartungswerts
Satz 6.10 (Linearität des Erwartungswerts) Seien X1 , . . . , Xn
Zufallsvariablen und a1 , . . . , an ∈ R beliebige Zahlen.
Für die Zufallsvariable X = a1 X1 + . . . + an Xn gilt:
Exp [X] = a1 · Exp [X1 ] + . . . an · Exp [Xn ] .
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Definitionen und Sätze
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Erwartungswert
Multipikativität des Erwartungswerts
Satz 6.12 (Multiplikativität des Erwartungswerts) Für
unabhängige Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn gilt
Exp [X1 · . . . · Xn ] = Exp [X1 ] · . . . · Exp [Xn ] .
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Definitionen und Sätze
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Varianz und Standardabweichung
Varianz und Standardabweichung
Definition 7.2 (Varianz) Sei X eine Zufallsvariable mit dem
Erwartungswert µ = Exp [X].
Die Varianz Var [X] von X ist definiert als
[
]
Var [X] = Exp (X − µ)2
∑
=
(x − µ)2 · Pr [X = x] .
x∈WX
Definition 7.3 (Standardabweichung) Die Standardabweichung
(Streuung) von X ist definiert als
√
σX = Var [X].
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Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Definitionen und Sätze
35 / 71
Definitionen und Sätze
36 / 71
Varianz und Standardabweichung
Berechnung der Varianz
Satz 7.5
Für eine beliebige Zufallsvariable X gilt
[ ]
Var [X] = Exp X2 − Exp [X]2 .
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Varianz und Standardabweichung
Varianz einer linearen Funktion
Satz 7.7 Für eine beliebige Zufallsvariable X und a, b ∈ R gilt
Var [a · X + b] = a2 · Var [X] .
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Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Definitionen und Sätze
37 / 71
Varianz und Standardabweichung
Varianz unabhängiger Zufallsvariablen
Satz 7.8 Seien X1 , . . . , Xn unabhängige Zufallsvariablen. Sei
X = X1 + . . . + Xn . Dann gilt:
Var [X] = Var [X1 ] + . . . + Var [Xn ] .
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Definitionen und Sätze
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Diskrete Verteilungen
Binomialverteilung
Binomialverteilung
Eine Zufallsvariable X mit WX = {0, 1, 2, . . . , n} ist binomialverteilt
mit den Parametern n und p, symbolisch X ∼ Bin(n, p), falls
( )
n k
Pr [X = k] =
p (1 − p)n−k
k
für alle k = 0, 1, 2, . . . , n.
Es gilt:
• Exp [X] = n · p
• Var [X] = n · p · (1 − p)
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Diskrete Verteilungen
Definitionen und Sätze
39 / 71
Definitionen und Sätze
40 / 71
Binomialverteilung
Binomialverteilung (Forts.)
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Diskrete Verteilungen
Binomialverteilung
Binomialverteilung (Forts.)
Satz 9.1 Wenn X ∼ Bin(nX , p) und Y ∼ Bin(nY , p), dann gilt für
Z = X + Y, dass Z ∼ Bin(nX + nY , p).
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Diskrete Verteilungen
Definitionen und Sätze
41 / 71
Geometrische Verteilung
Geometrische Verteilung
Eine Zufallsvariable X mit WX = N ist geometrisch verteilt mit dem
Parameter p, symbolisch X ∼ Geo(p), falls
Pr [X = k] = (1 − p)k−1 · p
für alle k ∈ N.
Es gilt:
• Exp [X] =
• Var [X] =
1
p
1−p
p2
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Definitionen und Sätze
42 / 71
Diskrete Verteilungen
Geometrische Verteilung
Geometrische Verteilung (Forts.)
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Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Diskrete Verteilungen
Definitionen und Sätze
43 / 71
Geometrische Verteilung
Geometrische Verteilung (Forts.)
Satz 9.2 (Gedächtnislosigkeit) Falls X ∼ Geo(p), dann gilt
Pr [X > y + x | X > x] = Pr [X > y] .
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Definitionen und Sätze
44 / 71
Diskrete Verteilungen
Poisson Verteilung
Poisson Verteilung
Eine Zufallsvariable X mit WX = N0 ist Poisson verteilt mit dem
Parameter λ, symbolisch X ∼ Poi(λ), falls
e−λ λk
Pr [X = k] =
k!
für alle k ∈ N0 .
Es gilt:
• Exp [X] = λ
• Var [X] = λ
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Diskrete Verteilungen
Definitionen und Sätze
45 / 71
Definitionen und Sätze
46 / 71
Poisson Verteilung
Poisson Verteilung (Forts.)
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Diskrete Verteilungen
Poisson Verteilung
Poisson Verteilung (Forts.)
�Gesetz der seltenen Ereignisse: Für alle λ ∈ N gilt:
( ) ( )k (
)n−k
n
λ
λ
λk −λ
lim
1−
= e
n→∞ k
n
n
k!
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Diskrete Verteilungen
Definitionen und Sätze
47 / 71
Poisson Verteilung
Poisson Verteilung (Forts.)
Satz 9.5 Summe von Poisson Verteilungen Seien X1 , . . . , Xn
unabhängige Zufallsvariablen, wobei Xi ∼ Poi(λi ) für alle i = 1, . . . , n.
Sei X = X1 + . . . + Xn . Dann gilt: X ∼ Poi(λ1 + . . . + λn ).
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Definitionen und Sätze
48 / 71
Diskrete Verteilungen
Hypergeometrische Verteilung
Hypergeometrische Verteilung
Seien N, M, n näturliche Zahlen mit der Eigenschaft M ≤ N und
n ≤ N.
Die Zufallsvariable X ist �hypergeometrisch verteilt mit den
Parametern N, M und n (symbolisch: X ∼ Hyp(N, M, n)), falls
(M)(N−M)
Pr [X = k] =
k
(Nn−k
)
n
für alle k ∈ {0, 1, . . . , n}.
Es gilt:
• Exp [X] =
• Var [X] =
n·M
N
n·M
N
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(
1−
M
N
) N−n
N−1
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Diskrete Verteilungen
Definitionen und Sätze
49 / 71
Hypergeometrische Verteilung
Hypergeometrische Verteilung (Forts.)
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Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Definitionen und Sätze
50 / 71
Abschätzen von Wahrscheinlichkeiten
Markov Ungleichung
Markov Ungleichung
Satz 10.1 (Markov Ungleichung) Sei X eine Zufallsvariable, die
nur nicht-negative Werte annimmt.
Dann gilt für alle t ∈ R mit t > 0, dass
Pr [X ≥ t] ≤
Äquivalent:
Exp [X]
.
t
1
Pr [X ≥ t · Exp [X]] ≤ .
t
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Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Abschätzen von Wahrscheinlichkeiten
Definitionen und Sätze
51 / 71
Ungleichung von Chebyshev
Ungleichung von Chebyshev
Satz 10.2 (Ungleichung von Chebyshev) Sei X eine
Zufallsvariable und t ∈ R mit t > 0.
Dann gilt
Pr [|X − Exp [X] | ≥ t] ≤
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Var [X]
.
t2
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Definitionen und Sätze
52 / 71
Stetige Zufallsvariablen
Einführendes Beispiel
Beispiel Glücksrad
1
5
2
8
10
4
ϕ
7
3
12
9
6
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11
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Stetige Zufallsvariablen
Definitionen und Sätze
53 / 71
Definition
Stetige Zufallsvariable
Definition 11.2 (Stetige Zufallsvariable)
Eine stetige Zufallsvariable X ist definiert durch eine integrierbare
Dichtefunktion fX : R 7→ R+
0 mit der Eigenschaft
∫∞
fX (x) dx = 1.
−∞
Die zu fX gehörende Verteilungsfunktion FX ist definiert als
∫x
FX (x) = Pr [X ≤ x] =
fX (t) dt
−∞
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Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Definitionen und Sätze
54 / 71
Stetige Zufallsvariablen
Definition
Ereignis
Definition 11.3 (Ereignis)
Sei X eine stetige Zufallsvariable.
∪
Eine Menge A ⊆ R, die durch Vereinigung A = k Ik abzählbar vieler
paarweise disjunkter Intervalle beliebiger Art (offen, halboffen,
geschlossen, einseitig unendlich) gebildet werden kann, heißt Ereignis.
Das Ereignis A tritt ein, wenn X einen Wert aus A annimmt. Die
Wahrscheinlichkeit von A ist definiert als
∫
∑∫
Pr [A] = fX (x) dx =
fX (x) dx.
A
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k
Ik
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Stetige Zufallsvariablen
Definitionen und Sätze
55 / 71
Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert und Varianz
Definition 11.7 (Erwartungswert und Varianz)
Sei X eine stetige Zufallsvariable. Der Erwartungswert von X ist
∫∞
Exp [X] =
t · fX (t) dt,
−∞
falls das Integral
∫∞
−∞
Die Varianz von X ist
|t| · fX (t) dt endlich ist.
[
]
2
Var [X] = Exp (X − Exp [X])
∫∞
=
(t − Exp [X])2 fX (t) dt,
−∞
[
]
wenn Exp (X − Exp [X])2 existiert.
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Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Definitionen und Sätze
56 / 71
Stetige Zufallsvariablen
Erwartungswert und Varianz
Formel zur Berechnung des Erwartungswerts
Satz 11.8 Sei X eine stetige Zufallsvariable und sei g : R 7→ R eine
Abbildung. Für die Zufallsvariable Y = g(X) gilt:
∫∞
Exp [Y] =
g(t) · fX (t) dt.
−∞
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Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Stetige Verteilungen
Definitionen und Sätze
57 / 71
Gleichverteilung
Gleichverteilung
Die stetige Zufallsvariable X ist gleichverteilt über dem Intervall
[a, b], wobei a < b, falls sie die Dichte
{
1
x ∈ [a; b],
b−a
fX (x) =
0
sonst.
besitzt. Die entsprechende Verteilung ist:


x < a,
0
x−a
FX (x) = b−a
a ≤ x ≤ b,


1
x > b.
Es gilt:
• Exp [X] =
• Var [X] =
a+b
2
(a−b)2
12
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Definitionen und Sätze
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Stetige Verteilungen
Normalverteilung
Normalverteilung
Eine stetige Zufallsvariable X ist normalverteilt mit den Parametern
µ ∈ R und σ ∈ R, symbolisch X ∼ N (µ, σ2 ), falls sie die Dichte
(
)
1
(x − µ)2
fX (x) = √
· exp −
2σ2
2πσ2
besitzt. Hierbei ist exp(x) = ex . Anstatt fX (x) schreibt man auch
φ(x ; µ, σ).
N (0, 1) nennt man die Standardnormalverteilung.
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Stetige Verteilungen
Definitionen und Sätze
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Normalverteilung
Normalverteilung (Forts.)
Die Verteilungsfunktion von X ∼ N (µ, σ2 ) ist
(
)
∫x
1
(t − µ)2
Φ(x; µ, σ) = √
exp −
dt
2σ2
2πσ2 −∞
Diese Funktion nennt man Gauß’sche Phi-Funktion. Falls µ = 0 und
σ = 1, dann schreibt man kurz Φ(x).
Es gilt:
• Exp [X] = µ
• Var [X] = σ2
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Stetige Verteilungen
Normalverteilung
Normalverteilung (Forts.)
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Stetige Verteilungen
Definitionen und Sätze
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Normalverteilung
Transformation einer Normalverteilung
Satz 12.2 Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit
X ∼ N (µ, σ2 ).
Dann gilt für beliebige a ∈ R − {0} und b ∈ R, dass Y = aX + b
normalverteilt ist mit Y ∼ N (aµ + b, a2 σ2 ).
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Stetige Verteilungen
Normalverteilung
Additivität der Normalverteilung
Satz 12.5 (Additivität der Normalverteilung) Die
Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien unabhängig und normalverteilt mit
den Parametern µi und σi für i = 1, . . . , n.
Dann ist die Zufallsvariable
Z = a1 X1 + . . . + an Xn
normalverteilt mit Erwartungswert µ = a1 µ1 + . . . + an µn und
Varianz σ2 = a1 σ21 + . . . + an σ2n .
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Stetige Verteilungen
Definitionen und Sätze
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Exponentialverteilung
Exponentialverteilung
Eine Zufallsvariable X ist exponentialverteilt mit Parameter λ ∈ R,
symbolisch X ∼ EX P(λ), falls sie die Dichte
{
λ · e−λx x ≥ 0,
fX (x) =
0
sonst
besitzt.
Die Verteilungsfunktion einer exponentialverteilten Zufallsvariable X
ist für x ≥ 0
∫x
−λx
FX (x) = αe−λt dt = 1 − e .
0
Für x < 0 ist FX (x) = 0.
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Stetige Verteilungen
Exponentialverteilung
Exponentialverteilung (Forts.)
Angenommen, X ∼ Exp(λ).
Dann gilt:
• Exp [X] =
• Var [X] =
1
λ
1
λ2
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Stetige Verteilungen
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Definitionen und Sätze
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Exponentialverteilung
Exponentialverteilung (Forts.)
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Stetige Verteilungen
Exponentialverteilung
Multiplikation mit einer Konstanten
Satz 12.7 Sei X eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit
Parameter λ.
Für jedes a > 0 ist die Zufallsvariable Y = aX exponentialverteilt mit
Parameter λa .
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Stetige Verteilungen
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Exponentialverteilung
Gedächtnislosigkeit
Satz 12.8 (Gedächtnislosigkeit) Eine stetige Zufallsvariable X
mit Wertebereich R+ ist genau dann exponentialverteilt, wenn für
alle x, y > 0 gilt:
Pr [X > x + y | X > y] = Pr [X > x] .
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Stetige Verteilungen
Exponentialverteilung
Minimum exponentialverteilter Zufallsvariablen
Satz 12.9 Gegeben sind die paarweise unabhängigen
Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn .
Angenommen, Xi ist exponentialverteilt mit Parameter λi für
i = 1, . . . , n.
Dann ist die Zufallsvariable X = min{X1 , . . . , Xn } exponentialverteilt
mit dem Parameter λ1 + . . . + λn .
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Grenzwertsätze
Definitionen und Sätze
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Der Zentrale Grenzwertsatz
Der Zentrale Grenzwertsatz
Satz 13.1 (Zentraler Grenzwertsatz) Angenommen, die
Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn besitzen jeweils dieselbe Verteilung und
seien unabhängig. Erwartungswert und Varianz von Xi existieren für
i = 1, . . . , n und seien mit µ bzw. σ2 bezeichnet, wobei σ2 > 0 gelten
soll.
Betrachte die Zufallsvariablen Yn = X1 + . . . + Xn für n ≥ 1.
Es gilt: Die Folge der Zufallsvariablen
Yn − nµ
Zn = √
σ2 n
konvergiert gegen die Standardnormalverteilung. Formal: Für alle
x ∈ R gilt:
lim Pr [Zn ≤ x] = Φ(x).
n→∞
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Grenzwertsätze
Grenzwertsatz von DeMoivre
Grenzwertsatz von DeMoivre
Satz 13.3 (Grenzwertsatz von DeMoivre) Die Zufallsvariablen
X1 , . . . , Xn seien Bernoulli-verteilt mit gleicher
Erfolgswahrscheinlichkeit p. Dann gilt für die Zufallsvariable
Hn = X1 + . . . + Xn ,
dass die Verteilung der Zufallsvariablen
Hn − np
Zn = √
np(1 − p)
für n → ∞ gegen die Standardnormalverteilung konvergiert.
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