Physik für Lehramt - Physik Uni Rostock
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Klausur zur Vorlesung Dienstag 10.2.2009 Alte Bibliothek 9 Rotation 1 Bogenmaß und Raumwinkel Zweidimensional l = r ⇒ Θ = 1 rad 360° 1 rad = ≈ 57.3° 2π 1 rad = 0.159 rev 1° = 0.175 rad l r Θ Dreidimensional Oberfläche der Einheitskugel 4πr ² = 4π ⋅1² = 12.57 Eine Verschiebung entgegen dem Uhrzeigersinn ist positiv, eine im Uhrzeigersinn negativ dimensionslose Einheit Steradian (sr) 2 Winkelgeschwindigkeit Θ, t ΔΘ Θ 0 ,t0 Δt = t − t0 ΔΘ = Θ − Θ 0 mittlere Winkelgeschwindigkeit ΔΘ ω= Δt instantane Winkelgeschwindigkeit ωFerrari = ωPink Panther Da die Winkelgeschwindigkeit über die Änderung des Winkels bestimmt wird rotiert jeder Punkt auf dem Rad mit derselben Winkelgeschwindigkeit! ΔΘ d ω = lim = Θ Δt →0 Δt dt Einheit der Winkelgeschwindigkeit [rad/s] 3 Winkelgeschwindigkeit Zusammenhang zur linearen Geschwindigkeit r r v ω Δl ΔΘ Definition P ω= r dΘ & =Θ dt O x Obwohl Winkelgeschwindigkeit für jeden Punkt auf dem Rad identisch ist, ändert sich die lineare Geschwindigkeit mit dem Abstand zum Zentrum. Das bestätigt unsere tägliche Erfahrung! l = Θr Δl rΔΘ = v= Δt Δt dl ΔΘ Δt →0 dΘ & v= =r →r = rΘ dt dt Δt v = rω ω in Einheiten von rad 4 Graphische Darstellung Winkel Θ(t) Winkelgeschwindigkeit ω(t) Rotation im Uhrzeigersinn ω>0 Drehung im Uhrzeigersinn Zeit t Θ(t ) = −1.0 − 0.6t + 0.25t ² Zeit t ω <0 Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn 5 Winkelbeschleunigung konstant ω, t ω0 ,t0 Δt = t − t0 Δω = ω − ω0 mittlere Winkelbeschleunigung Δω αR = Δt Da die Winkelbeschleunigung über die Änderung der Winkelgeschwindigkeit definiert ist, erfährt jeder Punkt auf dem Rad derselbe Winkelbeschleunigung instantane Winkelbeschleunigung Δω d α R = lim = ω Δt →0 Δt dt Einheit der Winkelbeschleunigung [rad/s²] 6 Cargolifter Justage des Schubs durch Änderung der Rotationsgeschwindigkeit der Rotoren 7 α R konstant Winkelbeschleunigung Zusammenhang zur linearen Beschleunigung tangentiale Komponente a tan atan P aR Δv rΔω Δt →0 dω = = ⇒r = rω& Δt Δt dt atan = rα R Betrag der Geschwindigkeit ändert sich O radiale Komponente Zentripedalbeschleunigung v² (ωr ) = = = ω ²r r r 2 arad Richtung des Geschwindigkeitsvektor ändert sich Definition dω = ω& dt 2 &Θ& = d Θ = d ⎛⎜ dΘ ⎞⎟ = d ω = ω& dt 2 dt ⎝ dt ⎠ dt r Vektoraddition r r α R = atan + arad Zentripedalbeschleunigung wächst mit dem Abstand r zur Drehachse Diese Gleichungen geben den Zusammenhang zwischen den Winkelgrößen und den linearen Größen an. v = rω arad = ω ² r atan = rα R 8 Zusammenhang zu linearer Bewegung gilt nur für konstante Winkelbeschleunigung Lineare Bewegung x − x0 v t a v0 unbekannte Variable v = v 0 + at x⇔Θ v⇔ω a ⇔α Rotationsbewegung ω = ω0 + α R t Θ − Θ0 1 x − x0 = v 0t + at ² 2 v² = v 02 + 2a(x − x0 ) 1 Θ − Θ 0 = ω0t + α R t ² 2 ω ² = ω02 + 2αΘ ω 1 x − x0 = (v + v 0 )t 2 1 x − x0 = vt − at ² 2 v + v0 v= 2 1 (ω + ω0 )t 2 1 Θ − Θ 0 = ωt − α R t ² 2 ω + ω0 ω= 2 αR v = v0 a=0 x = v 0t v=v Θ − Θ0 = t ω0 unbekannte Variable ohne Beweis αR = 0 ω = ω0 Θ = ω0t ω =ω 9 Anglerglück Winkelbeschleunigung 100 rad/ s² für 2 Sekunden (Radius 50 mm) Winkelgeschwindigkeit ω = ω0 + α R t Anzahl der Drehungen der Rolle 1 Θ = ω0 t + α R t 2 2 1⎛ rad ⎞ 2 Θ = 0 + ⎜100 ⎟(2 s ) = 200 rad 2⎝ s² ⎠ 1 rev Θ = 200 rad = 31.8 rev 2π rad 50 mm rad ⎛ 100 rad ⎞ ⎟(2 s ) = 200 s ⎝ s² ⎠ ω = 0+⎜ Geschwindigkeit der Angelschnur v = ωr m rad ⎞ ⎛ v = (0.05 m )⎜ 200 ⎟ = 10 s s ⎠ ⎝ 10 Diskuswurf Winkelbeschleunigung rad α R = 50 s² r=80 cm gewählte Winkelgeschwindigkeit rad ω = 10 s m ⎛ rad ⎞ atan = rα R = (0.8m )⎜ 50 2 ⎟ = 40 s ⎝ s ⎠ 2 m ⎛ rad ⎞ ( ) arad = ω r = ⎜10 0.8m = 80 ⎟ s ⎠ s ⎝ m 2 2 α R = atan + arad = 89 ≈ 10 g s² 2 Diskobolos 450 v Chr. 11 Air Canada Vince Carter‘s Windmill Slam Dunkies 270 Grad Rotation des Baseballs 0.14 s für 3/4 Rotation Masse Baseball 0.624 kg mittlere Geschwindigkeit des Baseballs Armlänge 0.85 m 2π r t 270° Rotation des Baseballs 2π (0.75)(0.85 m ) m v 3/4 = = 28.6 0.14 s s v= Zentripedalbeschleunigung des Baseballs 2 Kraft, die Vince Carter aufbringen muss, um den Baseball auf der Bahn zu halten m⎞ ⎛ Fc = (0.624 kg )⎜ 962.3 2 ⎟ = 600 N s ⎠ ⎝ arad m⎞ ⎛ 28.6 ⎜ ⎟ m v2 ⎝ s⎠ = = = 962.3 2 ≈ 10 g r s 0.85 m 12 13 Propellerdesign Geschwindigkeit der Flügelspitzen maximal 300 m/s (90 % Schallgeschwindigkeit) Winkelgeschwindigkeit rev 2π rad 1 min min rev 60 s rad ω = 250 s ω = 2400 Beide Geschwindigkeitskomponenten müssen vektoriell addiert werden v 2 res = v +v = v +r ω 2 F 2 P 2 F 2 max 2 ⇓ m m − 75 v −v s s rmax = = rad ω 251 s Maximaler Radius des Propellers rmax = 1.16 m 2 res 2 F 300 Beschleunigungswerte an der Flügelspitze arad = ω 2 r rad ⎞ ⎛ arad = ⎜ 250 ⎟ s ⎝ ⎠ m arad = 7.2 ⋅10 4 s² 2 (1.16 m ) ⎛ F ⎞ ⎜ = !⎟ ⎝ m ⎠ leichtes, stark belastbares Material gefragt z.B. Aluminiumlegierung 14 Informationspeicher 1 rev 2π rad = s s Frequenz ω f = ⇔ ω = 2πf 2π 1 T= f r=3 cm ω = 2πf = Einheit der Frequenz f [1 Hz=1 rev/s=1s-1 ] Periode 2π rad 7200 rev/min rev 60s/min rad ω = 740 s rad ⎞ m ⎛ v = rω = (0.03m )⎜ 740 ⎟ = 22.2 s ⎠ s ⎝ 2 Festplatte 3,5 Zoll (=88.9 mm) 7200 rev/s Transfer 100 MB/s rad ⎞ m ⎛ arad = rω ² = (0.03m )⎜ 740 = 16430 ⎟ s ⎠ s² ⎝ Soviel Platz braucht eine 22.2m/s Informationseinheit auf der l Bit = 8 < 222 nm Festplatte 10 bit/s 15 Rechte-Hand-Regel Die Drehachse einer rotierenden Scheibe definiert einen Vektor ω, der den Geschwindigkeitsvektor der Drehbewegung repräsentiert diese Achse ist ausgezeichnet Rechte Hand Regel Richtung des Drehrichtung Geschwindigkeitsvektors Die Länge von ω ist ein Der Vektor zeigt nicht in Richtung der Maß für die Bewegung. Deshalb ist die Notation Größenordnung der etwas gewöhnungsbedürftig. Statt dessen Winkelgeschwindigkeit rotiert der Körper um die Vektorachse. Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung von ω, dann zeigen die Finger die Drehrichtung an. 16 Sind die Winkelgrößen Vektoren? r r a +b r r b +a Θ r O x Sowohl der Vektor der Winkelgeschwindigkeit (ω) als auch der der Winkelbeschleunigung (α) erfüllen die Regeln der Vektoraddition. Richtung OK r r r r a + b =/ b + a Betrag OK Dies gilt nicht für den Winkel Θ! 17 Kinetische Energie der Rotation Dieser Term gibt an, wie die Masse des Rotationskörpers verteilt ist Kinetische Energie der Translation eines massiven Körpers KEL = n 1 2 Rotation m v ∑ i i v = ωr 2 i =1 Ansatz: Man ersetze die linearen Größen durch die entsprechenden Größen bei der Beschreibung der Rotation n n 2 2 2 R i i i i i =1 i =1 KE = 1 1⎛ ⎞ ( ) = m ω r m r ⎜ ⎟ω ∑ ∑ 2 2⎝ ⎠ etwas anders sortiert Definition Trägheitsmoment n Rotationsenergie eines massiven Körpers 1 2 KER = Iω 2 I = ∑ mi ri 2 i =1 System von Massenpunkten Zusammenhang zu den linearen Größen mi ⇒ mi ri2 v i2 ⇒ ω ² kontinuierliche Massenverteilung z.B. Bumerang I = ∫ r ² dm 18 Rotation Masse in der Nähe der Rotationsachse geringes Trägheitsmoment leicht in Rotation zu versetzten Masse weiter entfernt von Rotationsachse größeres Trägheitsmoment schwerer in Rotation zu versetzten 19 Berechnung von Trägheitsmomenten Homogener Ring mit Masse M auf dem Radius R I = ∫ r ² dm = R 2 ∫ dm = MR 2 Scheibe mit Masse M gleichmässig verteilt bis Radius R Drehachse z Erwartung: das Trägheitsmoment is geringer Wähle Ringe mit Masse dm auf dem Ring mit Radius r mit Dicke dr Fläche der Scheibe !!! A = πR 2 Fläche eines Ringsegments dA = 2πrdr Drehachse z dm = I = ∫ r ²dm = ∫ R 0 M M 2πrdr dA = A A M M r ² 2πrdr = 2π A πR 2 ∫ R 0 2M r ³dr = 2 R ⎛1 4⎞ 1 2 ⎜ R ⎟ = MR ⎝4 ⎠ 2 20 Trägheitsmomente Rotation unterschiedlicher Körper Gleiches Trägheitsmoment für beide Drehachsen Wie ist dann das R/L Verhältnis ? 1 L2 1= + 2 2 6R 1 L2 = 2 6R 2 1 R= L 3 1 1 I D = MR 2 + ML2 4 12 1 1 MR 2 ML2 1 L2 ID 4 12 = + = + I C 1 MR 2 1 MR 2 2 6 R 2 2 2 21 Noch mehr Trägheitsmomente Fliehkraftregler Beim Fliehkraftregler nutzt man aus, dass durch die schnellere Drehung die Gegengewichte auf einen größeren Radius gebracht werden Resultat: Das Trägheitsmoment vergrößert wird. Beispiel Astrophysik 22 Kosmische Leuchttürme Pulsare sind schnell rotierende Neutronensterne 1.44 bis 3 Sonnenmassen Durchmesser 10 km, 1000 rev/s Durch Abstrahlung on Energie in Form von Licht verliert der Stern Rotationsenergie RNS = 10 km ρ NS = 1015 vom Pulsar beleuchtetes Gas I NS = Pulsar im Krebsnebel kg m³ 2 MR 2 5 ( 2 I NS = 1.44 ⋅1030 kg ⋅ 10 4 m 5 I NS = 5.76 ⋅1037 kg m² ) 2 23 JoJo Maxwellsches Rad Maxwellsches Rad Potentielle Energie PE = Mgh Translationsenergie und Rotationsenergie 1 1⎛1 ⎞⎛ v ⎞ 2 + ⎜ MR 2 ⎟⎜⎜ CM ⎟⎟ KE = Mv CM 2 2⎝2 ⎠⎝ R ⎠ KE = v CM R 1 I = MR 2 2 ω= 1 1 2 + Iω 2 KE = Mv CM 2 2 2 3 2 Mv CM 2 Elastische Energie Translationsenergie und Rotationsenergie Potentielle Energie ... etc ... Geschwindigkeit am tiefsten Punkt PEi = KE f 3 2 Mv CM 4 4 = gh 3 Mgh = v CM Zum Vergleich fallender Stein v CM = 2 gh 1/3 der potentiellen Energie wird in Rotationsenergie umgewandelt 24 Körper auf schiefer Ebene Welche Beschleunigung erfahren die beiden Körper? Zylinder s Rohr h v ω= R Zylinder Θ 1 2 1 2 1 2 1 v2 mgh = mv + Iω = mv + I 2 2 2 2 2 R v 2 = v 02 + 2a( x − x0 ) ⇓ 2mgh 2mgh = 2 as v² = ⇒ I I m+ m+ R² R² ⇓ mg sin Θ a= I m+ R² D = 2R I R = mR² aR = 1 g sin Θ 2 1 mR² 2 2 aS = g sin Θ 3 IS = geringere Beschleunigung, da Masse auf dem Mantel Lösung unabhängig von Masse und Radius 25 Bremsen Drehbewegung obwohl Reibungskräfte nur in der Ebene angreifen? 26