Zustände, Spur und Spurklasse

9. Zustände;Spur,Spurklasse
9.1.
ZurMotivation
NurzurEinführungindieQM.ist„Zustand“mehroderwenigergleichbedeutend
mit„Wellenfunktion“oder„Spinor“.SolcheZustände,fürdieein„Zustandsvektor“
zurCharakterisierungausreicht,heißen„reineZustände“.
InderstatistischenPhysikbrauchtman(nachBoltzmann)Zuständemitvielen
Ungenauigkeiten.MankannsolcheZuständealsLinearkombinationenreiner
Zuständedarstellen,sieheißendaher„gemischteZustände“.
GemischteZuständegibtesaberauch„wirklich“.
9.2.
Hypothese(Def.)undLemma:Observable
„Observable“sinddieselbstadjungiertenOperatoren;hier:beschränktes.adj.Op.
SiespannendenganzenRaumB(H)auf: ∀R:R=H+iK,
H=H*,K=K*
Genauer:Ja/nein‐Beobachtungen↔Projektoren→Op.vonendlichemRang
→beschränkteOp.→unbeschränktes.adj.Op.→unbeschr.normaleOp.
1 9.3.
Def:Zustand
„Zustand“isteinnormiertespositiveslinearesFunktionalüber B(H): A(A) linear: (αA+B)=α(A)+(B)
positiv: A≥0ρ(A)≥0
normiert: ( )=1
 |ρ(A)| ≤ ‖A‖,‖ρ‖=1 Dazufordertmannoch,dasseinZustandein„normalerZustand“seinsoll:
normal:
 {Qn: Qn+1 ≥ Qn ≥ 0; Qn  } : ρ(Qn) 1 9.4.
Satz: ZuständebildeneineabgeschlossenekonvexeMenge
AbgeschlossenbezüglichderNorm   sup  (B) , B  1 Konvex:FürZust.σ,,unda(0,1)istauch=aσ+(1–a)einZustand
2 9.5.
Def:Zerlegung;Extremalpunkte
EinZustandwiein9.4.heißtgemischt,undlässtsichzerlegen. Punkte
einerkonvexenMenge,diesichnichtalsLinearkombinationanderer
PunktedieserMengedarstellenlassen,heißen„Extremalpunkte“.
9.6.
BeispielekonvexerMengen
a) Dreieck, Tetraeder, Simplices: b) Kugel: Jede Zerlegung ist eindeutig Keine Zerlegung ist eindeutig 9.7.
Satz:ReineZustände=ExtremaleZustände(Beweisspäter)
9.8. Gemischte Zustände der Quantenmechanik sind nicht
eindeutigzuzerlegen
Beispiel:GeschichtevonLieseundMarcus
ManmöchteabereineklareunzweideutigeDarstellung,unabhängigvon
einerWahlderZerlegung:→„Dichtematrizen“ρ=∑k|ψk⟩wk⟨ψk|↔
MischungreinerZuständemitZustands‐Vektoren|ψk⟩,mit„klassischen“
Wahrscheinlichkeitenwk
3 9.9.
BemerkungenüberquantenmechanischeZustände
9.10. Def:SpurundSpurklasse
a) Sei R  B(H), R  0, {en} ein VONS: „Spur von R“: Tr (R):  en R en n
b) R  0 ist in der Spurklasse, wenn die Spur endlich ist c) Spurklasse: Alle endlichen Linearkombinationen solcher Operatoren: T =  ik Rk Satz(BeweisinCKapitel13):Diagonalisierung,
SpektraldarstellungvonreellenSpurklasse‐Operatoren
FürjedenselbstadjungiertenOperatorTausderSpurklassegibteseinVONS{en}
undeineabsolutsummierbareFolgereellerZahlen{rn},sodass

T   en rn en n 1
4 9.11. Satz:
a) Die Operatoren von endlichem Rang, das sind Operatoren T, sodass
THeinTeilraumendlicherDimensionist,bildeneinenNorm‐dichten
TeilraumderSpurklasse‐Operatoren.
b) Sei Tn eine Folge von Operatoren mit endlichem Rang, die in Norm
gegen T konvergiert. Wenn die Folgen Tr(Tn + Tn*) und Tr(Tn – Tn*)
Cauchyfolgensind,dannistTinderSpurklasseund Tr(T)=limn→∞Tr(Tn)
c) UnabhängigkeitvomVONS:SowohlfürSpurklasse‐alsauchfürbelie‐
bige positive Operatoren ist die Spur unabhängig von der gewählten
Basis.FürselbstadjungierteTmitSpektraldarstellungwieoben,ist

Tr(T)   rn n 1
Beweis: a) Spektraldarstellung; b) Folge von 9.10 c; c) Approximiere R durch einen Operator von endlichem Rang. Verwende Zerlegung der Einheit in einem anderen VONS. Vertausche die Faktoren, vertausche die Summen. 5 9.12. EigenschaftenderSpur
unabhängigvondergewähltenBasis
Linearität
Tr(A*)=(Tr(A))*
A 0Tr(A) 0
R∙AistSpurklasse,wennR≥0,undSpurklasse,Abeschränktist;
esgilt
|Tr(R∙A)|≤Tr(R)‖A‖
Zyklizität:Tr(RA)=Tr(AR) wennRSpurklasse,Abeschränkt
6 9.13. Definition:Dichtematrix
PositiverOperator,„Matrix“ρmitSpurEins
OperatoralsMatrixineinerbeliebigenBasis:
ρm,n=em|ρ|en, ρ=∑m,n|em⟩ρm,n⟨en|,
∑nρn,n=1
Beispiel:DarstellungeinesgemischtenZustandsmiteinerDichtematrix:
A    w i i A i i
beliebigeBasis|ek⟩,zerlegedieEinheit,vertauscheSummations‐Reihenfolge:
=∑k|ek⟩⟨ek|
A

  w i i A i   w i i A ek ek i   ek i w i i A ek i
 Tr(A) ,
i,k
   i w i i 
i
k,i
e
m
em i w i i en en m,n,i
7 9.14. Satz:ZustandDichtematrix
(A)=Tr{A}
Beweis:
a)Dichtematrixdefiniert,mitSpurbildung,einennormalenZustand b)Zustandρ→definiertMatrixelementeρm,n≔ρ(|enem|)
N
„normal“  (A)  lim  e n  A e n  Tr ( A) N 
n
normiertTr(ρ)=1
Beweisvon9.7: a)DarstellungjedesbeliebigenZustandsmitDichtematrixρ
b)Diagonalisierungvonρ
c)BetrachteErwartungswertederObservablen P    ;SchwarzscheUn‐
gleichungJedeMischungandererreinerZustände⟨φ|Pψ|φ⟩gibtρ(Pψ)<1 
derZustand(A)=Tr{PψA}istextremal,dennnurdieserZustandgibtρ(Pψ)=1
8 9.15. Beispiel:ZuständefürSpin1/2
2  2 Dichtematrizen bilden eine Kugel, die „Bloch‐Kugel“ { ρ = (1 + xσx + yσy + zσz)/2, x2+y2+z2 ≤ 1 } 9.16. Beispiel:ZuständefürzweimalSpin1/2
4  4 Dichtematrizen  9.17. Def:ReduzierterZustand,Partialspur
DefiniertalsZustandderOperatorenA⊗
→ZustandderOperatorenA
9.18. Beispiel:Singlet‐ZustandfüreinTeilchenpaar
Ein reiner Zustand, aber der reduzierte Zustand ist total gemischt. 9.19. Def:SeparableversusVerschränkteZustände
Inkohärente Zerlegung in Produktzustände (wie in der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie) ist nicht immer möglich 9 9.20. DasE.P.R.‐Paradoxon.
„Quantensprung“ der formalen Beschreibung auch über weite Entfernung 9.21. Überraschung
ManchmalsindTheorienmitverborgenenParameternmöglich,abernurin
Ausnahmefällen,dennesgilt
9.22. DieBellscheUngleichung
FürzweiSpin1/2–Teilchen
9.23. DasG.H.Z.–Mermin–Experiment
MitdreiSpin1/2–Teilchen
10 9.24. Schmidt‐Zerlegung eines reinen Zustands für zwei
Systeme
EinVektor  ausHAHBkanninderForm  rk k  k dargestellt
k
werden,wobei{k}und{k}ONSindenHilberträumenHAbzwHBsind,
2
rk 0, und
rk   k
Beweis:DiagonalisierediePartialspur A  TrB    A   rk k k k
MitdemProjektorPk:= k k  findekmittels rk k  k : Pk  Zeige,durchUntersuchungderErwartungswerte,dass{k}einONSist.
9.25. ReinerZustanddurchErweiterungdesSystems
JedergemischteZustandvonB(H)kannalsreduzierterZustandeines
reinenZustandeseinesgrößerenSystemsdargestelltwerden.
Beweis‐Methode:VerdopplungdesSystemsundUmkehrungder
Schmidt‐Zerlegung
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