Inhalt der Vorlesung B2 - e2.physik.tu
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Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Inhalt der Vorlesung B2 3. Elektrizitätslehre, Elektrodynamik Einleitung Ladungen & Elektrostatische Felder Elektrischer Strom Magnetostatik Zeitlich veränderliche Felder - Elektrodynamik Wechselstromnetzwerke Die Maxwell‘schen Gleichungen Elektromagnetische Wellen & Strahlung Relativität der Felder 4. Optik Licht als elektromagnetische Welle Geometrische Optik Optische Abbildungen Wellenoptik 1 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Influenz Versuch 3: Elektrometer 2 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Erklärung des Versuches: 3 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Versuch 6: Leitende Kugeln im Feld Ladungsmessung Kondensator Elektrode zum Ladungsnachweis elektrische Löffel Die elektrisch neutralen Löffel werden zusammengedrückt in das elektrische Feld geführt. Hochspannungs- Dann werden sie getrennt und quelle aus dem Feld genommen. Danach tragen sie jeweils eine Ladung mit unterschiedlichem Vorzeichen. 4 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Erklärung: Wenn man leitende Kugeln in ein elektrisches Feld bringt, verschieben sich die in ihnen frei beweglichen Ladungen aufgrund der Influenz. + + + + + + + + + + + + + + + + Nach der Trennung im Feld sind die Kugeln elektrisch geladen. Wenn die Kugeln parallel zu den Platten ins Feld gebracht werden, dann werden die Ladungen auf jeder einzelnen aufgrund der Influenz verschoben. Nach der Trennung und dem Entfernen aus dem Feld gleichen sich die Ladungen aber wieder aus, und die Kugln sind ungeladen. 5 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Versuch 8: Prinzip des Fotokopierers 6 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 7 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Funktionsweise eines Fotokopierers: (erfunden 1937 von Chester Charlton „Xerographie“ = trockenes Schreiben) Der Kopiervorgang läßt sich in vier Schritte zerlegen: (a) Elektrostatische Aufladung eines lichtempfindlichen Halbleiters, der sich auf einem Metallsubstrat befindet (lichtempfindlicher HL: dunkel-Isolator, hell-Leiter). Die Platte wird auf etwa 1000V aufgeladen negative Influenzladung auf dem Metallsubstrat. (b) Optische Belichtung führt zu beweglichen Ladungspaaren im HL Ladungen neutralisieren sich wo das Licht auftrifft. optisches Bild elektrostatisches Bild 8 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 (c) Negativ geladene Tonerteilchen lagern sich an den Gebieten positiver Ladung an „Tonerbild“ (d) Der Toner wird an ein positiv geladenes Blatt Papier weitergegeben. Kurzes Erhitzen verbindet den Toner mit dem Papier Papierbild Elektronenmikroskopaufnahme von Tonerteilchen, die an einem größeren Teilchen „kleben“. 9 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Fließende Ladungen in Leitern: Der elektrische Strom In einem Leiter sind die elektrischen Definition und Einheit des Stomes: Ladungen frei beweglich. Legt man C dQ I 1 1 Ampere I an solch einen Leiter eine Potentials dt differenz (Spannung) U dann geraten diese Ladungen in Bewegung. Häufig benutzt man ein idealisiertes Ersatzschaltbild für einen Stromkreis: Es fließt ein elektrischer Strom. I bewegte Ladung q + Leiter E U – – Leiter + U Spannungsquelle: U = const. = verlustfreier Leiter d.h. die Eigenschaften des Stromkreises 10 werden nur durch den Leiter bestimmt. Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Veranschaulichung von Stromstärken durch ihre Wirkung auf den Menschen: Einwirkungsdauer in ms Gefährdungsbereich für den Menschen (Stromweg: Eine Hand und beide Füße) Bereich 1: Wechselströme in diesem Bereich werden von den meisten Menschen nicht wahrgenommen. Bereich 2: Es ist ein Kribbeln zu spüren, auch schmerzhafte Verkrampfungen sind möglich. Direkte Schäden sind kaum zu befürchten. Bereich 3: Die Stromquelle kann auf Grund von Muskelverkrampfung nicht mehr losgelassen werden. Bereich 4: Schwere Schädigung und häufig tödliche Stromwirkung, z.B. durch Herzkammerflimmern. 11 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Veranschaulichung von Strom und Spannung durch fließendes Wasser Kleiner Bach: geringer Strom, geringe Spannung Der Rhein: großer Strom, kleine Spannung < 1m 12 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Niagara-Fälle: hoher Strom, hohe Spannung Yosemite-Park: mittlerer Strom, sehr hohe Spannung ca. 900 m 13 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Wir wollen nun die Geschwindigkeit der Ladungen in einem Leiter berechnen. Die Ladung dQ im Teilvolumen dV = A dx ist: dx Dann ist die Geschwindigkeit der Ladungen (Elektronen): I v ρA v Beispiel: Kupferleiter dQ A dx A Die Ladungen bewegen sich in der Zeit dt um die Strecke dx. Dann ist der Strom: dx dQ I A Av dt dt 1cm I = 1000 A 1cm 14 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 In 1 cm3 Kupfer sind 8·1022 Atome. Wenn jedes Atom ein frei bewegliches Elektron liefert, ist die Ladungsdichte: Q ρ V 8 10 22 1.6 10 19 C 4 C 1.28 10 3 1 cm cm 3 Damit wird die Elektronengeschwindigkeit im Leiter: I 1000 C/s v ρ a 1.28 10 4 C cm 3 1 cm 2 cm mm 0.078 1 (!!!) s s Beispiele für Leiter und Halbleiter: • Metalle, vor allem Cu und Ag • Quecksilber, bei T < 10 K sogar „Supraleiter“ • Dotiertes Si und Ge (Halbleiter) • Salzlösungen • ionisierte Gase (Lichtbogen) • Vakuum (wenn freie Elektronen vorhanden) Beispiele für Nichtleiter • Keramik, Kunststoffe • Gase bei niedriger Temperatur • reines Vakuum • Glas (bei nicht zu hohen Temperaturen) 15 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Das Ohm‘sche Gesetz Legt man an einen Leiter eine Spannung U, so entsteht in ihm ein homogenes elektrisches Feld E. Wenn ein Strom der Stärke I durch eine Fläche A eines Leiters fließt, dann zeigt der Vektor der Stromdichte j in die Fließrichtung der LadunI gen und hat den Betrag: j Länge l Stromdichte j U A Die Stärke des fließenden Stromes ist proportional zum angelegten elektrischen Feld E, genauer gilt: j E ist die Leitfähigkeit eines Stoffes. Sie ist eine spezifische Materialkonstante. Ihre Einheit ist 2 j A m A 1 E V m Vm V A m Das Verhältnis aus der angelegten Spannung U zum fließenden Strom I in einem Stromkreis nennt man den „Widerstand“ R des Kreises, d.h. R = U / I . Er hat die Einheit: 1V/A = 1 = 1Ohm 16 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 ρ 1 ρ m 17 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Im Leiter nehmen wir ein homogenes Der Ausdruck elektrisches Feld an. Dann ist die R Potentialdifferenz an den Leiterenden: l 2 1 U E dr El j 0 l I l A Dabei ist A die Querschnittsfläche und l die Länge des Leiters. Daraus folgt sofort: l U I σA l A ist der Widerstand des Kreises. Er gibt den Zusammenhang von Strom I und Spannung U wieder. Generell gilt U R (U , I , T , ) I d.h. der Widerstand hängt von unterschiedlichen Größen ab. Bei bestimmten Leitern ist der Widerstand praktisch konstant. Dann gilt das „Ohm‘sche Gesetz“ : U R I (R const.) 18 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Genereller Aufbau eines Stromkreises: I Strom Leiter U R Spannung Der Widerstand wird durch die Messung der Spannung U und des Stroms I ermittelt. Bei der Strommessung liegt das Meßgerät in der Leitung („Durchflußmessung“), bei der Spannungsmessung parallel zu den Kontakten. U großer Widerstand Das Ohm‘sche Gesetz kleiner Widerstand I Georg Simon Ohm 19 ( 1789-1854 ) Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Farbcode auf Widerständen: 20 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Versuch 9: Zum Ohm‘schen Gesetz U1 I U2 I U1 U2 R1 = 1k R2 = 1k S R1 = 1k R2 = 1k Wenn der Schalter S geschlossen wird, dann halbiert sich der Gesamtwiderstand und der Strom I verdoppelt sich. 21 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Die elektrische Leistung x Die Zeit t , die die Ladung Q benötigt, um die Strecke x zu durchlaufen, ist: x ρ A t v Q A Die Geschwindigkeit der Ladungen im Leiter ist (siehe Abschnitt 4.3.6): I v const. ρA Die Kraft auf die Ladung Q ist: U F Q E Q x Als geleistete Arbeit erhält man dann: W F x Q U ρ A x U v x I Damit folgt die Leistung zu: W ρ A x U P U I t ρ A x I Mit einem Widerstand R und dem Ohm‘schen Gesetz ergibt sich für die elektrische Leistung: 2 U P U I I 2R R [ P ] 1Watt Die geleistete Arbeit ist dann t W P d P t U I t 0 [W] = Watt·s oder 22 [W] = kWh Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Parallel- und Serienschaltung von Widerständen Zunächst die Parallelschaltung zweier Widerstände betrachtet: I Rges U I1 I2 I ges R1 R2 und U I2 R2 1 1 I1 I 2 U R1 R2 Hieraus ergibt sich der Gesamtwiderstand: Rges Die Ströme durch die Widerstände sind: U I1 R1 Der Gesamtstrom ist dann: U R1 R2 1 I ges 1 1 R1 R2 R1 R2 Allgemein erhält man für eine beliebige Anzahl N von parallel geschalteten Widerständen: N 1 1 1 1 1 Rges R1 R2 RN í 1 Ri 23 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Daraus folgt sofort I R1 U1 Rges R1 R2 und für N Widerstände in Reihe N U Rges Ri R2 U2 i 1 Beispiel: Bei der Serienschaltung ergibt sich für die Gesamtspannung: U U1 U 2 Außerdem gilt jeweils: U1 R1 I und U 2 R2 I U I R1 R2 I Rges Rges ? R R R R Rges Lösung: 2 R2 R Rges 2 R 2 R 4 R2 R 4R 24 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Strom- und Spannungsmessung Jedes Meßinstrument (Volt- oder Amperemeter) hat einen endlichen Innenwiderstand. Wir betrachten die folgende Schaltung: Es sollen der Strom Ix und die Spannung Ux bestimmt werden. I I IU U0 U Ru Ix R Ux • Die Spannung wird exakt gemessen, da U = Ux. • Das Voltmeter hat den Innenwiderstand Ru. Es gilt: Ux Ux Ix , IU R RU Das (ideale) Ampèremeter zeigt den Gesamtstrom: 1 1 I Ix Iu Ux R Ru 25 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Daraus folgt: Ux lim I Ix RU R Ein Spannungsmessgerät muß also einen möglichst großen Innenwiderstand haben, damit die Strommessung nicht merklich beeinflußt wird. Beispiele: Innenwiderstände von Voltmetern. (ii) Elektronische Voltmeter, z.B. Digitalvoltmeter RU 10 M (iii) Elektrostatisches Voltmeter RU (i) Drehspulinstrumente: dRU 10 20 k/V dU 26 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Wir betrachten nun die folgende Schaltung. Wieder sollen der Strom Ix und die Spannung Ux bestimmt werden: Ix RI • Der Strom wird exakt gemessen, da I = Ix. • Das Ampèremeter hat den Innenwiderstand RI. Es gilt: I U Ix U U 0 U x U U0 U R Ux Dabei ist: U RI I x Die vom (idealen) Voltmeter gemessene Spannung ist daher: U U x RI I x 27 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Daraus folgt: lim U U x RI 0 Ein Strommessgerät muß also einen möglichst kleinen Innenwiderstand haben, damit die Spannungsmessung nicht merklich beeinflußt wird. Beispiele: Innenwiderstände von Ampèremetern. (ii) Elektronische Ampèremeter, z.B. Digitale Ampèremeter RI 0.2 (iii) Stromwandler (DCCT): RI 1 m (i) Drehspulinstrumente: RI 1 100 28 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Netzwerke und Hierfür verwendet man die beiKirchhoff‘sche Regeln den „Kirchhoff‘schen Regeln“. Jetzt sollen Spannungen und Ströme (i) Die Knotenregel in beliebigen Netzwerken berechnet werden. Beispiel: R3 U1 R1 U2 R5 R7 R2 R4 R6 Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) I2 I1 I3 IN Wegen der Ladungserhaltung fließt nur soviel Strom in einen Knoten, wie auch wieder herausfließt. In jedem Knoten verschwindet daher die Summe aller N Ströme: N I i 1 i 0 29 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 (ii) Die Maschenregel Beispiel: Die Wheatstone‘sche Brücke U2 Iges U1 U3 I1 1 UN In jeder geschlossenen Masche verschwindet die Summe aller Spannungen: U i 0 i 1 I2 I3 2 R1 U0 N A R3 = Rx Rm Im C R2 D 3 Iges B R4 I4 Wir nehmen an, daß R3 = Rx unbekannt ist. Man soll R1 so variieren, daß Im = 0 wird (Kompen30 sationsmethode zur Messung von Widerständen). Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Masche 1 : U 0 R1 I1 R2 I 2 0 Daraus folgt mit Rx = R3 Masche 2 : I 3 R3 I m Rm R1 I1 0 (2) I 3 Rx I1 R1 0 Masche 3 : I 4 R4 I 2 R2 I m Rm 0 (3) I 3 R4 I1 R2 0 Knoten: I ges I1 I 3 I 2 I 4 (A,B) I1 I m I 2 I3 I m I 4 (C) (D) Mit diesen 6 Gleichungen lassen sich die Ströme I1, I2, I3, I4, Im und Iges berechnen. Wenn die Brücke abgeglichen ist, dann gilt Im = 0 (Meßinstrument zeigt keinen Strom an): ( C) I1 I 2 ( D) I 3 I 4 und weiter: Rx R1 R4 R2 Auflösen nach Rx ergibt dann: R1 Rx R4 R2 Da die Widerstände R1, R2, R4 genau bekannt sind, ergibt sich Rx ebenfalls mit sehr hoher Genauigkeit. 31 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Schaltungen mit Kondensatoren Kapazität C I0 = const. +Q Dann ist der Aufladestrom: dQ dU I0 C dt dt Nach der Zeit t ist dann die Spannung: U(t) -Q t I0 1 U (t ) I 0 d t U 0 C C0 U(t) Wenn in einen Kondensator ein Strom fließt, dann lädt er sich auf. Die gespeicherte Ladung im Kondensator mit der Kapazität C ist: Q C U U0 = 0 V t 32 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 (i) Parallelschaltung von Kondensatoren Die Gesamtladung auf den Kondensatorplatten ist: I0 I1 U Q1 I2 Q2 C1 Qges Q1 Q2 C2 C1U C2U C1 C2 U Cges CgesU Daraus folgt sofort: Cges C1 C2 Dies läßt sich einfach auf N parallel geschaltete Kondensatoren verallgemeinern. Es ergibt sich: Für jeden einzelnen Kondensator gilt: Q1 C1U Q2 C2U N Cges Ci i 1 33 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 (ii) Serienschaltung von Kondensatoren Die Gesamtspannung setzt sich aus den Einzelspannungen zusammen: I0 C1 Q1 Q Q U U1 U 2 C1 C2 U1 U Cges C2 Q2 U2 Für jeden einzelnen Kondensator gilt jetzt (mit Q1 = Q2 = Q): Q C1U1 Q C2U 2 1 1 1 Q Q Cges C1 C2 Daraus folgt sofort: 1 1 1 Cges C1 C2 Dies läßt sich wieder einfach auf N in Serie geschaltete Kondensatoren verallgemeinern. Es ergibt sich: N 1 1 Cges i 1 Ci 34 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Laden und Entladen von Kondensatoren entladen laden IR U0 IC R U(t) = ? C Zunächst wird der Kondensator über den Schalter mit der Batterie verbunden und lädt sich dabei auf die Spannung U0 auf. Danach wird auf den Widerstand R umgeschaltet, so daß über ihn der Strom IR abfließt. Es soll der Spannungsverlauf U(t) = R IR(t) berechnet werden. 35 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Für die Spannungen gilt: dQC U dU IC C und IR R dt dt Da beim Entladen IC = IR ist, folgt: 1 dU (t ) U (t ) dt RC dU (t ) 1 U (t ) 0 dt RC Dies ist eine lineare, homogene DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die Funktion U(t). Ihre Lösung lautet: t U (t ) U 0 exp RC Dabei ist U0 die Spannung zum Zeitpunkt t = 0. Die Spannung U(t) und damit auch der Entladestrom IR(t) = U(t)/R klingen exponentiell ab mit der Zeitkonstanten: RC V As 1 1s A V t U (t ) U 0 exp U0 t exp I R (t ) R 36 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Entladekurve eines Kondensators U(t) U0 t U (t ) U 0 exp RC U0 e RC t 37 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Es soll nun die Spannung U(t) berechnet werden, die über einem Kondensator der Kapazität C beim Aufladen über einen Widerstand R abfällt. R U0 I(t) U(t) = ? C Der Strom durch den Kondensator ist: U 0 U (t ) I (t ) R Gleichzeitig gilt: dQ dU (t ) I (t ) C dt dt Daraus ergibt sich durch Gleichsetzen wieder eine DGL für U(t): dU (t ) U 0 U (t ) C dt R 38 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Dies läßt sich umformen zu: U0 dU (t ) 1 U (t ) RC dt RC Also gilt für die Gesamtlösung: U (t ) U p (t ) U h (t ) t U (t ) U 0 A exp RC Es handelt sich um eine lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten KoeffiziDie Konstante A ist mit der Anfangsenten, die jetzt aber inhomogen ist. bedingung U(t) = 0 für t = 0 festDie Lösung der homogenen Gleichung gelegt: U ( 0) U 0 A 0 lautete (siehe Entladung): t U h (t ) A exp RC Eine partikuläre Lösung Up(t) ergibt sich leicht aus der Bedingung: lim U P (t ) U 0 t A U 0 Damit ergibt sich die gesuchte Aufladekurve eines Kondensators: t U (t ) U 0 1 exp RC 39 Physik A/B1 PHYSIK B2 SS 2017 SS14 SS13 Aufladekurve eines Kondensators U(t) U0 t U (t ) U 0 1 exp RC t 40