Geometrie und Topologie von Flächen

AB Geometrie & Topologie
Prof. Bernhard Leeb, Ph.D.
Dr. Jan Swoboda
Geometrie und Topologie von Flächen
Übungsblatt 6
1. (7 Punkte) Es sei
f ∶ (0, ∞) × R → R2 ∖ {0},
f (r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ)
die Polarkoordinatenabbildung. (Ihre Einschränkungen auf Streifen (ϕ1 , ϕ2 ) × R mit
0 < ϕ2 − ϕ1 < 2π liefern Parametrisierungen von offenen Sektoren in R2 ∖ {0}.)
(a) Zeigen Sie, daß Vektorfelder
∂
∂r
und
∂f
∂
=
○f
∂r ∂r
∂
∂ϕ
auf R2 ∖ {0} existieren, so daß
und
∂f
∂
=
○f
∂ϕ ∂ϕ
∂
∂
und drücken Sie die Vektorfelder ∂r
und ∂ϕ
durch die (auf R2 definierten) Standardkoordinatenvektorfelder ∂x∂ 1 und ∂x∂ 2 aus.
(b) Es sei u∶ R2 ∖ {0} → R eine C 1 -Funktion. Drücken Sie ihren Gradienten
∇u =
durch die Vektorfelder
∂
∂r
und
∂
∂ϕ
∂u ∂
∂u ∂
+
∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2
aus.
2. (7 Punkte) Es sei S 2 = {x ∈ R3 ∣ ∥x∥ = 1} die Einheitssphäre in R3 . Die stereographische Projektion vom Nordpol N = (0, 0, 1) ∈ S 2 ist die Abbildung
pN ∶ S 2 ∖ {N } → R2 ,
pN (x, y, z) = (
x
y
,
),
1−z 1−z
vgl. Übungsblatt 4, Aufgabe 4. Die stereographische Projektion pS ∶ S 2 ∖ {S} → R2
−1
vom Südpol S = (0, 0, −1) ist analog definiert. Durch die Abbildungen ϑN ∶= pN
∶
−1
2
2
2
2
2
R → S ∖ {N } und ϑS ∶= pS ∶ R → S ∖ {S} sind lokale Parametrisierungen von S
gegeben.
(a) Berechnen Sie die zu ϑN und ϑS assoziierten Koordinatenvektorfelder
S
2
3
R3 (i = 1, 2) bzw. ∂ϑ
∂yj ∶ R → R (j = 1, 2).
∂ϑN
2
∂xi ∶ R
(b) Drücken Sie auf dem Überlappungsbereich S 2 ∖ {N, S} jedes Vektorfeld
N
Kombinationen der Vektorfelder ∂ϑ
∂yj aus, und umgekehrt.
∂ϑS
∂xi
→
als
3. (6 Punkte) Zeigen Sie, daß
(a) die C 0 -Kurve c∶ R → R2 , c(t) = (t, ∣t∣) einen stetigen Parameterwechsel in eine
glatte Kurve besitzt.
(b) keine stetige Umparametrisierung von c in eine glatte Kurve regulär ist.
4. (6 Punkte) Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor ċ(t) (t ∈ R) sowie die Länge
des Kurvenstücks c∣[t1 ,t2 ] (mit t1 < t2 ) für die folgenden Kurven:
(a) für die Neilsche Parabel c∶ R → R2 , t ↦ (t2 , t3 );
(b) für die Schraubenlinie c∶ R → R3 , t ↦ (a cos ωt, a sin ωt, bt) mit a, b, ω ∈ R;
(c) für die Parabel c∶ R → R2 , t ↦ (t, at2 ) mit a ∈ R. Hinweis:
Substituieren Sie 2at =
√
t2
2
2
sinh(u), um das hierbei auftretende Integral ∫t1 4a t + 1 dt zu berechnen.
5. (6 Punkte) Zykloide. Betrachten Sie in der Ebene einen auf der x-Achse rollenden Kreis C vom Radius 1, dessen Mittelpunkt sich zur Zeit t in (t, 1) befinde.
Bestimmen Sie die parametrisierte Kurve c(t) = (x(t), y(t)), die ein Punkt P auf
dem rollenden Kreis beschreibt. Für welche Werte von t ist diese Kurve regulär?
Bestimmen Sie die Länge des Weges, den der Punkt P im Zeitintervall [0, T ], T ≥ 0,
zurücklegt.
Abgabe: bis Montag, 12.06.2017, 12h s.t.