Kapitel 6 Wahrheitsfunktionale Fuzzy

Kapitel 6
Wahrheitsfunktionale Fuzzy-Logik
10. Juni 2005
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Zusammenfassung
I
Wahrheitsfunktionale Fuzzy-Semantik besteht aus Mengen
aller wahrheitsfunktionalen Belegungen von Formeln,
I
jedem Modell in M entspricht genau eine Belegung aller
Variablen mit Werten aus [0, 1],
I
spezielle Fuzzy-Logik: Lukasiewicz-Fuzzy-Logik,
I
Darstellung aller möglichen Wahrheitswertfunktionen
McNaughton Theorem: Wahrheitswertfunktionen sind stetig
und stückweise linear mit ganzzahligen Koeffizienten,
I
Modelle von Fuzzymengen lassen sich durch einfache
geometrische Figuren darstellen,
I
effiziente Berechnungsmethode für JM .
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Plan für heute
I
jede stetige wahrheitsfunktionale Fuzzy-Semantik ist
axiomatisierbar,
I
nichtstetige wahrheitsfunktionale Fuzzy-Semantik,
I
Kapitel 7: Stratifizierte Operatoren,
- Erweiterungen zweiwertiger Operatoren
- von Fuzzy- zu zweiwertigen Operatoren,
- stratifizierte Operatoren sind nicht
wahrheitsfunktional.
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Logische Kompaktheit, Kompaktheit und Stetigkeit
Definition
Ein Fuzzy-Deduktionsoperator D heißt logisch kompakt, wenn die
Menge der D-konsistenten Fuzzy-Mengen induktiv ist, d.h. für jede
gerichtete
Menge von D-konsistenten Fuzzy-Mengen {ui } gilt, daß
F
D( {ui }) 6= u ⊥ .
Satz
Sei (F(FL ), D, M) eine abstrakte Fuzzy-Logik, D sei stetig. Falls
contr (M) 6= ∅, dann ist D = JM logisch kompakt.
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Existenz maximalkonsistenter Theorien
Satz
Sei D ein logisch kompakter Fuzzy-Deduktionsoperator. Dann ist
jede D-konsistente Information in einer maximalen Theorie
enthalten.
Satz
Sei M eine logisch kompakte Semantik. Dann hat jede erfüllbare
Information ein maximales Modell, oder äquivalent dazu, jedes
Modell ist in einem maximalen Modell enthalten.
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Kriterium für logische Kompaktheit
Satz
Sei M ⊆ F(FL ). Falls eine abgeschlossene Relation R ⊆ [0, 1]k
und partielle Operationen p0 , . . . , pk mit pi : (FL )n → F L existiert,
so daß für alle m ∈ M
R(m(p0 (ϕ1 , . . . , ϕn )), . . . , m(pk (ϕ1 , . . . , ϕn ))),
dann gilt:
1. M ist logisch kompakt.
2. Für eine Anfangsbelegung u und für jede Formel ψ ∈ FL gibt
es ein Modell m ∈ M, m w u mit JM (u)(ψ) = m(ψ).
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Stetige Fuzzy-Semantik
Satz
Sei M eine stetige wahrheitsfunktionale Fuzzy-Semantik. Dann
gilt:
1. M ist logisch kompakt,
2. Jedes Modell m ∈ M ist enthalten in einem maximalen
Modell.
Beweis
über Konstruktion einer geeigneten Relation R...
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Hilbert-Operatoren sind stetig
Bedingung für Fuzzy-Inferenzregeln:
r 00 (a1 , . . . , aj = sup bi , . . . , ak ) = sup r 00 (a1 , . . . , bi , . . . , ak )
i∈I
i∈I
Satz
Sei S = (LAX , R): Fuzzy-Beweissystem im Hilbert-Stil. Der FuzzyDeduktionsoperator Operator DS mit
DS (u)(ψ) = sup{val(π, u) | π ist ein Beweis für ψ}
ist stetig.
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Stetige Fuzzy-Deduktionsoperatoren sind axiomatisierbar
Satz
Sei DS : F(FL ) → F(FL ) ein stetiger Fuzzy-Deduktionsoperator.
Dann existiert ein Fuzzy-Beweissystem S = (LAX , R) im
Hilbert-Stil, so daß D = DS .
Frage
Ist eine wahrheitsfunktionale Semantik M axiomatisierbar? Gibt es
ein Fuzzy-Beweissystem S mit JM = DS ?
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Zweierlei Stetigkeit
Satz
Sei M eine stetige wahrheitsfunktionale Fuzzy-Semantik, dann ist
JM ist stetig und logisch kompakt.
Satz
Sei M eine logisch kompakte, wahrheitsfunktionale
Fuzzy-Semantik, und sei M axiomatisierbar ist. Falls ∼ injektiv
und für jede Formel ψ gilt, daß fψ in jeder Variablen entweder
ordnungserhaltend, oder ordnungsumkehrend ist, dann ist fψ stetig,
d.h. M ist stetig.
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Nichtstetige Semantik M1
Unser Alphabet enthalte nur die Junktoren {∧, ∨, ¬}.
Bewertungsstruktur: U1 = ([0, 1], min, max, ∼1 ), wobei ∼1
definiert wird durch:
(
1 falls a = 0
∼1 (a) =
0 sonst.
Die zugehörige wahrheitsfunktionale Semantik M1 ist nicht stetig.
Es gelten die folgenden Aussagen:
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Nichtstetige Semantik M1
Satz
(i) für jedes m ∈ M1 ist die Fuzzy-Menge m0 definiert durch:
(
0 falls m(ϕ) = 0
m0 (ϕ) =
1 sonst.
ein maximales scharfes Modell für m.
(ii) Die maximalen Modelle von M1 stimmen mit der Menge der
Modelle der klassischen Logik überein.
(iii) Für jede klassische Kontradiktion ψ gilt in contr (M1 )(ψ) = 1.
(iv) Für jede klassische Kontradiktion ψ gilt
taut(M1 )(∼1 (ψ)) = 1.
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Klassische Tautologien sind keine M1 -Tautologien
Nicht jede klassische Tautologie ist zum Grad 1 in taut(M1 )
enthalten.
Gegenbeispiel: x ∨ ¬x
taut(M1 )(x ∨ ¬x) = inf {max{a, ∼1 (a)} | a ∈ [0, 1]}
≤ inf {max{a, 0} | a ∈ (0, 1]}
≤ inf {a ∈ (0, 1]} = 0.
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Nichtstetige Semantik M2
(
0
Sei U2 = ([0, 1], min, max, ∼2 ), mit ∼2 (a) =
1
falls a = 1
sonst.
Satz
(i) M2 ist nicht stetig.
(
1 falls m(ϕ) = 1
ist ein minimales Modell in
(ii) m00 (ϕ) =
0 sonst.
M2 und m00 v m.
(iii) Die minimalen Modelle von M2 sind Modelle der klassischen
Logik.
(iv) Für ψ ∈ Cn(∅) gilt taut(M2 )(ψ) = 1 und
contr (M2 )(∼2 (ψ)) = 1.
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Klassische Kontradiktionen sind keine M2 -Kontradiktionen
Nicht jede klassische Kontradiktion ist zum Grad 1 in contr (M2 )
enthalten.
Gegenbeispiel: x ∧ ¬x
contr (M2 )(x ∧ ¬x) = 1 − sup{min{a, ∼2 (a)} | a ∈ [0, 1]}
≤ 1 − sup{min{a, ∼2 (a)} | a ∈ [0, 1)}
≤ 1 − sup{a ∈ [0, 1)} = 0.
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Kapitel 7
Stratifizierte Operatoren
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Motivation
I
I
Kapitel 6: Aufbau von Fuzzy-Logik durch
wahrheitsfunktionalen Semantik: Welten sind fuzzy “
”
Fuzzy-Logik durch Graduierung des Ableitbarkeit- Begriffs:
- Extensionsprinzip,
- Stratifizierte Fuzzy-Operatoren,
- Zerlegung von Fuzzy-Deduktionsoperatoren in
Familien von zweiwertigen
Deduktionsoperatoren,
- Fuzzy-Konsequenzrelationen.
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Beispiel
- gegeben: Σ = {(ϕi /ai )} mit ϕ ∈ FL , ai ∈ [0, 1],
- Bewertung der Aussagen erfolgt nach ihrer
Zuverlässigkeit,
- Was ist ableitbar aus Σ und zu welchem Grad?
- Σi = {ϕj | (ϕj , aj ) ∈ Σ, aj ≥ ai } für jedes i ∈ [0, 1],
- Zuverlässigkeitsgrad von ψ ∈ Cn(Σi ) ist mind. ai ,
- intuitive Begründung: eine Aussage ist so zuverlässig,
wie die schwächste ihrer Begründungen.
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Kanonische Extensionen
Definition
D : P(FL ) → P(FL ). Für u ∈ F(FL ), ϕ ∈ FL ist die kanonische
Erweiterung D∗ von D definiert durch:
D∗ (u)(ϕ) = sup{a ∈ [0, 1] | ϕ ∈ D(C (u, a)), wobei bzw.
G
D∗ (u) =
{a ∧ D(C (u, a))}.
a∈[0,1]
Satz
1. D∗ : F(FL ) → F(FL ) ist eine Erweiterung von D.
2. D∗ : F(FL ) → F(FL ) ist ein Abschlußoperator, genau dann
wenn D ein Abschlußoperator ist.
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Andere Erweiterungen
Beispiel 1: Sei C [0, 1] ein Abschlußsystem, mit 0, 1, a ∈ C. Sei
Co(C) der zugehörige Operator mit:
[Co(C)](u)(ϕ) = inf{a ∈ C | a ≥ u(ϕ)}.
-Co(C) ist nicht die identische Abbildung
-Co(C) eingeschränkt auf P(FL ) ist die identische Abbildung -also
ist Co(C) nicht durch kanonische Erweiterung entstanden.
Beispiel 2: Sei J(u)(ϕ) = u(ϕ) ∨ a für ein beliebiges a ∈ [0, 1],
J(u) ist keine Erweiterung eines zweiwertigen Operators.
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Charakterisierung kanonischer Erweiterungen
Satz
Sei (F(FL ), D∗ ) eine Erweiterung eines zweiwertigen
Deduktionssystems, d.h. D∗ (χX )(ϕ) ∈ {0, 1} für jedes X ⊆ FL . Sei
D die Einschränkung von D∗ auf P(FL ). Dann sind die folgenden
Aussagen äquivalent:
1. (F(F ), D∗ ) ist die kanonische Erweiterung eines zweiwertigen
Deduktionssystems,
S
2. O(D∗ (u), a) = b>a {D(C (u, b)} für alle a ∈ [0, 1],
T
3. C (D∗ (u), a) = b>a {D(O(u, b)} für alle a ∈ [0, 1].
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Charakterisierung kanonischer Erweiterungen II
Satz
(F(F ), D∗ ) ist die kanonische Erweiterung eines Systems
(P(FL ), D) genau dann, wenn:
1. jeder abgeschlossene a-Schnitt einer D∗ -Theorie eine
D-Theorie ist,
2. für jede D-Theorie τ und jedes a ∈ [0, 1] gilt τ ∨ a ist eine
D∗ -Theorie.
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Schichtweises Ableiten
I
I
I
I
I
kanonische Erweiterung erlaubt Verarbeitung von
Fuzzy-Information, d.h. Information die stratifiziert oder in
Gültigkeitsniveaus geschichtet ist,
stratifizierter Deduktionsapparat kann aber auch auf scharfe
”
“ Information angewendet werden, es gibt verschiedene
scharfe Deduktionsoperatoren, je nach Grad der Gültigkeit,
für jedes a ∈ [0, 1] wird ein scharfer Deduktionsoperator Da
definiert,
Da (X ) ist die Menge der Formeln, die man aus X ableiten
kann mit Hilfe von Argumenten, die zum Grad a plausibel
sind,
es kann sowohl die verfügbare Information als auch der
Deduktionsoperator stratifiziert sein, in diesem Fall:
D(u)(ϕ) = sup{a ∈ [0, 1] | ϕ ∈ Da (C (u, a)).}
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Stratifizierte Operatoren
Definition
1. Sei {Da }a∈[0,1] eine Familie von zweiwertigen Operatoren. Sei
für u ∈ F(FL ) und ϕ ∈ FL :
D(u)(ϕ) = sup{a ∈ [0, 1] | ϕ ∈ Da (C (u, a)).}
D heißt der zur Familie {Da }a∈[0,1] gehörende Fuzzy-Operator.
2. Die Familie {Da }a∈[0,1] heißt Kette, wenn für jedes X ⊆ FL
die Menge {Da (X )}a∈[0,1] eine Kette ist, d.h.
(i) D0 (X ) = X ,
(ii) {Da }a∈[0,1] ist ordnungsumkehrend.
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Stetige Ketten
Für welche Familien {Da }a∈[0,1] ist D ein Abschlußoperator ?
Satz
Sei {Da }a∈[0,1] eine Familie von Abschlußoperatoren, dann ist D
ein Fast-Abschlußoperator. Wenn die Familie {Da }a∈[0,1] eine
stetige Kette ist, dann ist D ein Fuzzy-Abschlußoperator.
{Da }a∈[0,1] heißt stetige Kette, wenn {Da }a∈[0,1] eine Kette ist und
für alle X ⊆ FL , b ∈ [0, 1] gilt:
\
Db (X ) =
{Da (X )}
a<b
.
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Erzeugung stetiger Ketten
Definition
Sei {Da }a∈[0,1] eine Familie von Abschlußoperatoren auf P(FL ),
dann heißt der von D erzeugte Fuzzy-Abschlußoperator D
stratifizierter Fuzzy-Abschlußoperator. Falls {Da }a∈[0,1] eine stetige
Kette ist, und daher D = D, dann heißt D wohl-stratifiziert.
Satz
1. Sei {Da }a∈[0,1] eine Kette, dann ist {D0a }a∈[0,1] mit
\
D0a (X ) =
Db (X )
b<a
für jedes X ⊆ FL und jedes a ∈ [0, 1], eine stetige Kette.
2. Der von D erzeugte Fuzzy-Abschlußoperator Co(Cs(D))
stimmt mit D0 überein.
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Kanonische Erweiterungen als stratifizierte Operatoren
Satz
Sei J ein Abschlußoperator auf P(FL ), sei {Da }a∈[0,1] die Familie
von Abschlußoperatoren mit Da = J für alle a. Dann ist
1. die Familie {Da }a∈[0,1] eine stetige Kette,
2. die kanonische Extension von J stimmt mit dem zu
{Da }a∈[0,1] gehörenden Fuzzy-Abschlußoperator D überein.
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Beispiel
Definition
Eine Fuzzy-Relation Imp : FL × FL → [0, 1] heißt
Fuzzy-Implikation, wenn für alle ϕ, ψ, ϑ ∈ FL gilt:
1. Imp(ϕ, ϕ) = 1
2. Imp(ϕ, ψ) ∧ Imp(ψ, ϑ) ≤ Im(ϕ, ϑ)
(Reflexivität)
(Transitivität)
J : F(FL ) → F(FL ) wird definiert durch:
J(u)(ϕ) = sup{u(ψ) ∧ Imp(ψ, ϕ) | ψ ∈ FL }.
Ja (X ) = {ϕ ∈ FL | ∃ψ ∈ X mit Imp(ψ, ϕ) ≥ a}
J ist wohlstratifiziert, aber falls Imp keine scharfe Relation ist, dann
ist J keine kanonische Erweiterung eines zweiwertigen Operators.
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Zerlegung von Fuzzy-Operatoren
Läßt sich jeder Fuzzy-Abschlußoperator als stratifizierten Operator
betrachten?
Definition
Sei D ein Fuzzy-Deduktionsoperator. Wir definieren {Da }a∈[0,1]
durch:
Da (X ) := C (D(a ∧ X ), a)
für jede Menge X ∈ FL . Der zu {Da }a∈[0,1] gehörende
Fuzzy-Operator D∗ heißt stratifizierter Operator zu D.
Die Bezeichnung D∗ ist korrekt.
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Zerlegung von Fuzzy-Operatoren
Satz
Sei J ein klassischer Abschlußoperator, JT mit JT (u) = χJ(supp(u))
dessen triviale Erweiterung und J der zu {JT
a }a∈[0,1] gehörende
stratifizierte Operator. Dann gilt für alle u ∈ FL :
J(u) = J∗ (u).
Beweis:
J(u)(ϕ) = sup{a ∈ [0, 1] | ϕ ∈ JT
a (C (u, a)).}(nach Definition)
J∗ (u)(ϕ) = sup{a ∈ [0, 1] | ϕ ∈ J(C (u, a))}
= sup{a ∈ [0, 1] | ϕ ∈ J(supp(a ∧ C (u, a), a))}
= sup{a ∈ [0, 1] | JT (a ∧ C (u, a))(ϕ) ≥ a}
J ist kanonischen Extension von J, daher Abschlußoperator.
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Mehrwertige wahrheitsfunktionale Logik
Sei M wahrheitsfunktional, für X ⊆ FL , a ∈ [0, 1], ϕ, ψ ∈ FL , :
- m |=a ϕ wenn m(ϕ) ≥ a,
- m |=a X wenn m(ϕ) ≥ a für alle ϕ ∈ X ,
- X |=a ϕ wenn m |=a ϕ für jedes m |=a X .
zu jedem Grad a ∈ [0, 1] wird ein zweiwertiger scharfen Operator
festgelegt:
Lca (X ) = {ϕ ∈ FL | X |=a ϕ.
Definition
Sei M eine wahrheitsfunktionale Semantik, dann heißt der zur
Familie {Lca }a∈[0,1] gehörende Operator Lc mit
Lc(u)(ϕ) = sup{a ∈ [0, 1] | ϕ ∈ Lca (C (u, a)).}
der zu M gehörende stratifizierte Fuzzy-Deduktionsoperator.
Axiomatisierbarkeit Nichtstetige wahrheitsfunktionale Logik Extensionsprinzip für zweiwertige Logik Stratifizierte Operatoren
Fuzzy-Logik ist keine mehrwertige Logik
Satz
Sei M eine wahrheitsfunktionale Semantik mit dem induzierten
logischen Konsequenzoperator JM und Lc der zu M gehörende
stratifizierte Fuzzy-Deduktionsoperator. Dann ist JM 6= Lc.

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