Algorithmen und Datenstrukturen

1
Algorithmen und Datenstrukturen
Wintersemester 2014/15
19. Vorlesung
Tiefensuche und topologische Sortierung
Prof. Dr. Alexander Wolff
Lehrstuhl für Informatik I
2
ADS 2014/15: Häufigkeiten der erreichten Punkte im Test 1+2
10
+13 P.
9
8
7
Anzahl
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
Punkte
n = 165, bestanden“ = 46 (28%), ∅ = 30,6, Median = 30.
”
3
3. Test
Termin: Do, 15. Januar, 8:30 Uhr, Zuse-HS
Themen:
–
–
–
–
–
–
Rot-Schwarz-Bäume: R-S-Eigenschaften und log. Höhe
Augmentieren von DS, insbes. von R-S-Bäumen
Amortisierte Analyse
Graphen und Breitensuche
Tiefensuche und top. Sortierung (heute!)
Minimale Spannbäume (Do!)
Viel Erfolg!
Übrigens. . .
Es kommen noch 2 Übungsblätter: #10 (Fr) und #11 (16.1.).
Bitte denken Sie an die 50%-Marke fürs Übungsmodul
bzw. die Klausurzulassung laut alter Studienordnung!
4
Tiefensuche
Eingabe:
u
(un)gerichteter Graph G
discovery finish
time
time
π
1/–
1/8
V
Ausgabe: – Besuchsintervalle
(
u
.
d
/
u
.
f
)
4/5
4/–
π
– DFS-Wald
x
v
w
2/–
2/7
9/12
9/–
K
R
3/–
3/6
10/11
10/–
z R
– Klassifizierung der Graphkanten: Farbe Zielknoten:
• Baumkanten (Kanten von Gπ ) weiss
y
Kanten des DFS-Baums (in Gegenrichtung)
• Rückwärtskanten (R)
grau
Nicht-Baumkanten zu einem Vorgängerknoten
• Vorwärtskanten (V)
Nicht-Baumkanten zu einem Nachfolgerknoten
• Kreuzkanten (K)
Kanten, bei denen kein Endpunkt Vorgänger des anderen ist.
schwarz und
start.d < ziel.d
schwarz und
start.d > ziel.d
5
Tiefensuche – Pseudocode
u
1/8
DFS(Graph G = (V , E ))
foreach u ∈ V do
V R
u .color = white
4/5
u .π = nil
x
time = 0 // globale Variable!
foreach u ∈ V do
if u .color == white then DFSVisit(G , u )
DFSVisit(Graph G , Vertex u )
time = time + 1
u .d = time; u .color = gray
foreach v ∈ Adj[u ] do
if v .color == white then
v .π = u ; DFSVisit(G , v )
time = time + 1
u .f = time; u .color = black
v
w
2/7
9/12
K
3/6
y
10/11
z R
Laufzeit
von DFS?
DFSVisit wird nur für
weiße Knoten aufgerufen.
In DFSVisit wird der neue
Knoten sofort gefärbt.
⇒ DFSVisit wird für jeden
Knoten genau 1× aufgerufen.
DFS ohne if
O(V ) Zeit
(out-)
DFSVisit ohne Rek. O(deg u)
DFS gesamt
O(V + E ) Zeit
6
Tiefensuche – Eigenschaften
3/6
4/5
y
z
2/9
7/8
x
1/10
w
12/13
s
11/16
14/15
v
t
u
s z y (x x) y w w z s
t v v u u t
s
t
B
z
v
u
V
R
1 2
y
w
x
K
5
10
15
time
DFSVisit(Graph G , Vertex u )
time = time + 1
u .d = time; u .color = gray
foreach v ∈ Adj[u ] do
if v .color == white then
v .π = u ; DFSVisit(G , v )
Tiefensuche – Sätze
Satz.
(Klammerntheorem)
time = time + 1
u .f = time; u .color = black
V
2
Nach DFS(G ) gilt für {u , v } ∈
genau eine der Bedingungen
(i) Besuchsintervalle disjunkt und
Baumkanten enthalten weder u -v - noch v -u -Weg.
(ii) [u .d , u .f ] ⊂ [v .d , v .f ] und Baumkanten enthalten v -u -Weg.
(iii) Wie (ii), nur umgekehrt.
Beweis. Wir betrachten zwei Fälle.
1. Fall: u .d < v .d .
A) v .d < u .f ,. d.h. v wurde entdeckt, als u noch grau war.
⇒ v ist Nachfolger von u , d.h. es gibt einen u -v -Weg.
Wegen u .d < v .d gilt: v wurde später als u entdeckt.
⇒ alle Kanten, die v verlassen, sind erforscht;
v wird schwarz, bevor DFS zu u zurückkehrt und u
schwarz macht ⇒ [v .d , v .f ] ⊂ [u .d , u .f ]
X
7-17
DFSVisit(Graph G , Vertex u )
time = time + 1
u .d = time; u .color = gray
foreach v ∈ Adj[u ] do
if v .color == white then
v .π = u ; DFSVisit(G , v )
Tiefensuche – Sätze
Satz.
(Klammerntheorem)
7-35
time = time + 1
u .f = time; u .color = black
V
2
Nach DFS(G ) gilt für {u , v } ∈
genau eine der Bedingungen
(i) Besuchsintervalle disjunkt und
Baumkanten enthalten weder u -v - noch v -u -Weg.
(ii) [u .d , u .f ] ⊂ [v .d , v .f ] und Baumkanten enthalten v -u -Weg.
(iii) Wie (ii), nur umgekehrt.
Beweis. Wir betrachten zwei Fälle.
X
X
B) u .f < v .d . X
1. Fall: u .d < v .d .
A) v .d < u .f .
2. Fall: v .d < u .d . Symmetrisch!
X
(Vertausche im Beweis u ↔ v .)
Laut Code gilt u .d < u .f < v .d < v .f (siehe Code).
⇒ [u .d , u .f ] ∩ [v .d , v .f ] = ∅
⇒ Keiner der beiden Knoten wurde entdeckt, während
der andere noch grau war., d.h. keiner Nachf. des anderen.
8
Einschub: Vorlesungsumfrage
Nutzen Sie die Vorlesungsbefragung – zu konstruktiver Kritik!
Von besseren Vorlesungen profitieren
Sie (wenn Sie die nächste Veranstaltung bei mir hören)
Ihre Nachfolger (im nächsten Wintersemester)
ich (Gute Lehre macht Spaß! Gute Klausurergebnisse auch!)
JETZT!
Vielen Dank!
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Tiefensuche in ungerichteten Graphen
Satz.
G ungerichtet
⇒ G hat nur Baum- und Rückwärtskanten.
Beweis. Sei uv (kurz für {u , v }) eine beliebige Kante von G .
O.B.d.A. gilt u .d < v .d .
Dann entdeckt DFS v und färbt v schwarz, bevor u
schwarz gefärbt wird (da v ∈ Adj[u ]).
Falls DFS uv zum ersten Mal von u nach v
überschreitet, ist v zu diesem Zeitpunkt weiss.
Dann ist uv Baumkante.
Andernfalls ist uv R-Kante, da u schon (und
immer noch) grau ist, wenn uv zum 1. Mal
überschritten wird (und zwar von v nach u ).
10
Ablaufplanung
Kante bedeutet:
Unterhose vor
Hose anziehen!
1/8
2/7
Hose
5/6
Gürtel
14/15
Schal
Unterhose
Socken 19/20
Schuhe 3/4
Uhr
9/10
T-Shirt 11/18
Anorak
Pulli 12/17 DFS-Besuchsintervalle
Idee: Sortiere Knoten nach absteigenden f -Zeiten
⇒ alle Kanten sind.. . . nach rechts gerichtet. (Beweis?)
13/16
19/20
11/18
12/17
13/16
14/15
Socken
T-Shirt
Pulli
Anorak
Schal
Uhr
Unterhose
Hose
Gürtel
Schuhe
9/10
1/8
2/7
5/6
3/4
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Topologisch sortieren
Topologische Sortierung: Lineare Ordnung der Knoten, so dass
aus (u , v ) ∈ E folgt: u kommt vor v .
TopologicalSort(DirectedGraph G )
L = new List()
Laufzeit?
DFS(G ) mit folgender Änderung:
Wenn ein Knoten schwarz gefärbt wird, O (V + E )
häng ihn vorne an die Liste L an.
return L
Def.
Ein (gerichteter) Graph ist kreisfrei,
wenn er keinen (gerichteten) Kreis enthält.
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Kreisfrei ⇔ keine R-Kanten
Lem.
Ein gerichteter Graph G ist kreisfrei
⇔ DFS(G ) liefert keine Rückwärtskanten.
Beweis. ⇒“ Sei G kreisfrei.
”
Angenommen DFS(G ) liefert R-Kante (u , v ).
v
Dann ist u Nachfolger von v im DFS-Wald.
D.h. G enthält einen gerichteten v -u -Weg W .
W
Aber dann ist W ⊕ (u , v ) ein gerichteter Kreis.
u
⇐“ DFS(G ) liefere keine R-Kanten.
”
Ang. G enthält trotzdem Kreis C = hv1 , . . . , vk i.
Sei vi der 1. Knoten in C , den DFS(G ) erreicht.
Es gibt einen Weg von vi nach vi −1 in G .
⇒ DFS gelangt zu vi −1 , solange vi grau ist.
⇒ (vi −1 , vi ) ist R-Kante.
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Korrektheit von TopologicalSort
Satz.
Sei G ein gerichteter kreisfreier Graph. Dann liefert
TopologicalSort(G ) eine topologische Sortierung von G .
Beweis. Sei L = hvn , vn−1 , . . . , v1 i = TopologicalSort(G ).
Dann gilt v1 .f < v2 .f < · · · < vn .f .
Sei (u , v ) Kante von G . Zu zeigen: v .f < u .f
Welche Farbe hat v , wenn DFS (u , v ) überschreitet?
zu Lemma:
v grau
⇒ (u , v ) ist R-Kante
G kreisfrei!
v weiß
⇒ v Nachfolger von u ⇒ v .f < u .f
X
v schwarz ⇒ u .f noch nicht gesetzt, v .f gesetzt
⇒ v .f < u .f X
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Vergleich Durchlaufstrategien für Graphen
Breitensuche
Tiefensuche
Laufzeit
O (V + E )
O (V + E )
Ergebnis
BFS-Baum,
d.h. kürzeste Wege
d - und f -Werte,
z.B. für top. Sortierung
Schlange
Rekursion bzw. Stapel
nicht-lokal
lokal
Datenstruktur
Vorgehen