Übungen zur Vorlesung “Einführung in die Stochastik”

Prof. Dr. Achim Klenke
Carina Brugger, M.Sc.
Übungen zur Vorlesung
“Einführung in die Stochastik”
Wintersemester 2014/2015, Blatt 3
http://www.mathematik.uni-mainz.de/arbeitsgruppen/stochastik/
Brugger/einfuehrung-in-die-stochastik
Abgabe bis Montag, den 17.11.2014, 10:00 Uhr
Aufgabe 1
(4 Punkte)
77 gleichartige Kugeln werden zufällig auf 999 durchnummerierte Schachteln verteilt, wobei wir zwei
Situationen unterscheiden:
(i) In jede Schachtel passen beliebig viele Kugeln.
(ii) In jede Schachtel passt nur eine Kugel.
Geben Sie jeweils einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in den Schachteln 1 − 11 zusammen genau 7 Kugeln liegen.
Aufgabe 2
Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(4 Punkte)
(i) Sei (F j ) j ∈N eine Folge von Verteilungsfunktionen und (p j ) j ∈N eine Folge nichtnegativer Zahlen mit
P∞
i=1 p j = 1. Dann ist auch
∞
X
F :=
pjFj
i=1
eine Verteilungsfunktion.
(ii) Jede Verteilungsfunktion ist an höchstens abzählbar vielen Stellen unstetig.
Aufgabe 3
(4 Punkte)
Beim Skatspiel erhalten die 3 Spieler je 10 Karten, die restlichen beiden Karten werden zunächst zur Seite
gelegt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
(i) A := „Mindestens einer der Spieler erhält alle vier Buben“,
(ii) B := „Mindestens einer der Spieler erhält mindestens drei Buben“,
(iii) C := „Jeder Spieler erhält genau einen Buben“.
Bemerkung: Ein Skatblatt besteht aus 32 Karten in den Farben Kreuz, Pik, Herz und Karo. Von jeder der
Farben gibt es die Karten Ass, 10, König, Dame, Bube, 9, 8, 7 je einmal.
Aufgabe 4
Für n,k ∈ N setzen wir wie in Kapitel 1.4 aus der Vorlesung
Ω I := {1, . . . ,n} k ,
(4 Punkte)
Ω IV := l ∈ N0n : l 1 + . . . + l n = k
und betrachten die Abbildung
ψ : Ω I → Ω IV
ω 7→ # {i ∈ {1, . . . ,k} : ω i = 1} , . . . , # {i ∈ {1, . . . ,k } : ω i = n} .
Zeigen Sie durch Induktion über n, dass #ψ −1 ({l }) =
k l

!
!
 k! ,
k
k
:=
:=  l1 !. . .l n !
0

l
l 1 , . . . ,l n
ist, wobei l = (l 1 , . . . l n ) ist und
falls l 1 + . . . + l n = k,
sonst,
den Multinomialkoeffizienten bezeichne.
Aufgabe 5 [Bonusaufgabe]
Sei Ω = [0, 1] ∩ und A = 2Ω . Wir betrachten das Mengensystem E := {(a,b] ∩
Ω und definieren darauf eine Funktion P : E → [0, 1] durch
Q
P[(a,b] ∩
Q] = b − a.
Q:
(4 Bonuspunkte)
0 ≤ a < b ≤ 1} auf
(1)
Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(i) Es kann kein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, A) mit der Eigenschaft (1) geben, d.h. wir können P
nicht auf diesen Raum fortsetzen.
(ii) Die Bedingung der σ -Subadditivität im Fortsetzungssatz für Maße ((iii) aus Satz 1.27) ist hier nicht
erfüllt.