4 Grundaufgaben der Kombinatorik

4 Grundaufgaben der Kombinatorik
Die 4 Grundaufgaben der Kombinatorik können am Beispiel der Auswahl von k Elementen aus
einer Menge von n Elementen erklärt werden, n, k ∈ N.
1. Wiederholungen zugelassen, Reihenfolge wird berücksichtigt
⇒ Variationen mit Wiederholungen von n Elementen zur k-ten Klasse:
Ihre Anzahl Ṽnk
x
n
x
n
x ...
n ...
ist gleich Ṽnk = nk
k-Plätze
x
n (Möglichkeiten)
Bsp.1 Wieviele verschiedene fünfstellige Zahlen kann man aus den Ziffern 1,2,3,4 bilden?
n = 4, k = 5, Ṽnk = Ṽ45 = 45 = 1024
2. Wiederholungen nicht zugelassen, Reihenfolge wird berücksichtigt
⇒ Variationen ohne Wiederholungen von n Elementen zur k-ten Klasse:
Ihre Anzahl Vnk = n(n − 1) · ... · (n − k + 1) =
x
n
Spezialfall k = n :
k-Plätze
x
x
...
(n-1) (n-2) ...
n!
(n − k)!
x
(n-(k-1))
Vnk = n · (n − 1) · ... · (n − n + 1) = n! - Permutationen von n-Elementen
Bsp.2 Am 100-m-Endlauf der Olympischen Spiele nehmen 8 Sportler teil. Wieviele verschiedene
Medaillenverteilungen gibt es? (Mehrfach Vergabe einer Medaille sei ausgeschlossen!)
n = 8, k = 3, Vnk = V83 = 8 · 7 · 6 = 336
3. Wiederholung nicht zugelassen, Reihenfolge wird nicht berücksichtigt
⇒ Kombinationen ohne Wiederholung von n-Elementen zur k-ten Klasse:
Ihre Anzahl
Cnk
n(n − 1) · ... · (n − k − 1)
n!
=
=
=
(n − k)! · k!
k!
n
k
Bsp.3 Wieviele verschiedene Ziehungsergebnisse sind bei ’”6 aus 45’”möglich? (Ohne Berücksichtigung
der Zusatzzahl!)
6
n = 46, k = 6 C49
= 49
= 13983816
6
4. Wiederholung zugelassen, Reihenfolge wird nicht berücksichtigt
⇒ Kombinationen mit Wiederholung von n-Elementen zur k-ten Klasse:
n+k−1
n+k−1
(n + k − 1)!
k
Ihre Anzahl C̃n =
=
=
k
k!(n − 1)!
n−1
Bsp.4 Jemand möchte 10 Briefmarken kaufen, wobei 3 verschiedene Sorten (in genügenden
Umfang) vorhanden sind. Wieviel
verschiedene Kaufzusammenstellungen gibt es?
3+10−1
10
n = 3, k = 10 C̃3 =
= 66
10