Beispiel: Unternehmenskonzentration, Excel

Beispiel: Unternehmenskonzentration,
Excel-Arbeitsblatt
Urliste
i
Sektor A
1
2
3
4
5
80
360
200
300
60
Sektor B
0
0
0
1000
0
Sortiert
[i]
Sektor A
1
2
3
4
5
60
80
200
300
360
Anteile kumuliert
X-Achse
Sektor A
Anteile
[i]
Sektor A
1
2
3
4
5
0,06
0,08
0,20
0,30
0,36
1,68
0,41
0,328
0
0
0
0
1000
Sektor B
Sektor B
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
Gini-Koeffizient und bereinigtes LM-Maß
V
K
K*
Sektor B
0,50
1
0,8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0
0,06
0,14
0,34
0,64
1,00
0
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
Beispiel: Unternehmenskonzentration,
Excel-Diagramm
1
Lorenzkurven für die Unternehmenskonzentration
0,9
Anteil am gesamten Umsatz
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
Sektor A
0,2
Sektor B
0,1
0
0
0,2
0,4
0,6
Anteil der Unternehmen
0,8
1
Schließende Statistik
!
!
Die Stichprobenparameter wie z.B.
Mittelwert und Varianz sind
Zufallsvariablen
Wenn es sich um zufällige Stichproben
handelt, dann kann man aus der
Wahrscheinlichkeitstheorie ableiten, wie
diese Zufallsvariblen verteilt sind
Beispiel zur Veranschaulichung der Verteilung
eines Stichprobenmittelwertes (Würfel)
!
Man stelle sich die Verteilung des
Mittelwertes der Augenzahl beim
Werfen eines (fairen, pi=1/6)
Würfels vor, wobei man die
Stichprobengröße 1,...,n variiert
und die Ergebnisse vergleicht.
Man beginnt also mit Stichproben
der Größe 1 und berechnet die
Wahrscheinlichkeit der Ausprägungen für die möglichen Mittelwerte. Dann erhöht man die
Stichprobengröße auf 2 und so
weiter. Der Mittelwert der unendlich großen Grundgesamtheit
ist 3,5.
n=1
Density
.2
.15
.1
.05
-1
0
Density
1
2
3
4
5
6
7
8
n=2
.3
.2
.1
-.5 0
.5
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5
Der zentrale Grenzwertsatz der Statistik
Die Verteilung des arithmetischen Mittels
(X) von n unabhängig, identisch verteilten
Zufallsvariablen Xi mit i=1,...,n strebt mit
wachsendem Stichprobenumfang n gegen
eine Normalverteilung mit E[X]=µx und der
Varianz Var(X)=σ2/n. Das arithmetische
Mittel ist also asymptotisch normalverteilt.
Die Normalverteilung
1
N ( x | µ ,σ ) =
e
σ 2π
1  x −µ 
− 

2 σ 
Hierbei handelt es sich um die Dichtefunktion, die die
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Ausprägung x
Angibt. Diese wird bei einer Normalverteilung nur durch
den Mittelwert der Größe und dessen Streuung bestimmt.
Was ist also der Erwartungswert und die
Streuung des Stichprobenmittelwertes?
!
Erwartungswert (Mittelwert):
1

E [ x ] = E  ( x1 + .... + xn )  = µ x
n

!
Streuung (Varianz):
1
 σ
Var [ x ] = Var  ( x1 + .... + xn )  =
n
 n
2
Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit
!
Stichprobenvarianz:
n
1
2
2
S =
( xi − x )
∑
n − 1 i =1
Es gilt, dass:
E  S 2  = σ 2
Die Zahl der Freiheitsgrade (FG)
!
Die Zahl der Freiheitsgrade (FG) einer Zufallsvariable ist die Zahl der frei verfügbaren
Beobachtungen. Das entspricht der Zahl der
Beobachtungen minus der Zahl der geschätzten Parameter, die für die Berechnung
der Zufallsvariable benötigt werden. Bsp.
Varianz: Für die Schätzung der Varianz
braucht man einen Schätzer für den
Mittelwert. Dadurch reduziert sich die Zahl
der FG auf n-1
Fehler bei Hypothesentests
Entscheidung
Ho trifft zu
Ho wird nicht
Richtige
abgelehnt
Entscheidung
Ho wird
abgelehnt
Fehler erster Art
(alpha-Fehler)
Ho trifft nicht zu
Fehler zweiter Art
(beta-Fehler)
Richtige
Entscheidung
Schließende Statistik
Vorgehensweise bei statistischen Tests
! Aufstellen von Null- und Alternativhypothese
! Wählen des Signifikanzniveaus
! Festlegen der Prüfgröße und dessen
Verteilung
! Bestimmung des kritischen Bereiches
! Berechnung der empirischen Prüfgröße
! Entscheidung (Ho ablehnen oder nicht) und
Interpretation im Sinne der Fragestellung
Schließende Statistik
Vorgehensweise bei statistischen Tests (BSP.)
! Ho:Rauchen Frauen genauso viel wie Männer
H0 : µx = µ y
! Alpha gleich 5%
! Festlegen der Prüfgröße und dessen Verteilung
z=
( x − y ) − ( µx − µ y )
S x2
!
!
!
S
2
y
∼
asymptotisch
standardnormalverteilt
+
nx
ny
Bestimmung des 95% Konfidenzintervalls
Berechnung der empirischen Prüfgröße
Wenn Ho nicht abgelehnt wird dann rauchen Frauen
genauso viel wie Männer
Fragebogen: Konsumgewohnheiten der
Studierenden
Geschlecht
Weiblich= 1, männlich=0
φ Zahl der Zigaretten
Stück pro Tag
φ Konsum an Schokolade
In Gramm pro Tag