Moderne Physik IIb / Aufbau der Materie IIb ¨Ubungsblatt 6

PD Dr. Michael Seidl
22.5.2012
Moderne Physik IIb / Aufbau der Materie IIb
Übungsblatt 6
Aufgabe 1: Diskrete Quantenzustände
(keine Staatsexamens-Aufgabe !)
Ein Teilchen der Masse m, das sich auf der x-Achse frei zwischen den Punkten
x = 0 und x = a bewegen kann und an diesen elastisch reflektiert wird, wird
beschrieben durch das Potential
(
)
0
x ∈ [0, a]
V (x) =
,
V0 > 0.
V0
x∈
/ [0, a]
Die quantenmechanisch möglichen Energiewerte sind die Eigenwerte E der
(zeitunabhängigen) Schrödinger-Gleichung (SGl),
h̄2 ′′
ψ (x) + V (x) ψ(x) = E ψ(x).
2m
Die Wellenfunktion ψ(x) muß die Normierungsbedingung erfüllen,
−
Z
∞
dx |ψ(x)|2 = 1.
−∞
Insbesondere muß also gelten: ψ(x) → 0 für x → ±∞.
(a) Geben Sie eine Wahrscheinlichkeits-Interpretation für die Funktion
ρ(x) := |ψ(x)|2 .
Im Grenzfall V0 → ∞ vereinfacht sich die SGl zu
2mE
ψ ′′ (x) = − 2 ψ(x)
(0 < x < a; E > 0),
h̄
mit der Randbedingung ψ(0) = ψ(a) = 0.
(b) Zeigen Sie, daß eine Lösung ψ(x) dieser Differentialgleichung sich für
0 < x < a wie eine Sinus- oder Cosinus-Funktion verhalten muß.
(c) Die genannte Randbedingung ist dabei nur erfüllbar, wenn der Parameter E einen der möglichen “Eigenwerte” En (n = 1, 2, 3, ...) annimmt.
Finden Sie alle diese Eigenwerte !
Aufgabe 2: Neutroneneinfang
(Staatsexamen: Frühjahr 1993, Teilaufgabe 2)
Ein in Ruhe befindliches Proton fängt ein langsames Neutron ein, wobei ein
Deuteron d gebildet und ein Photon der Energie Eγ = 2.26 MeV emittiert
wird:
p + n → d + γ.
Die kinetische Energie des Neutrons kann vernachlässigt werden.
(a) Berechnen Sie den Impuls des emittierten Photons.
(b) Welche Geschwindigkeit hat das Deuteron nach der Reaktion ?
Nehmen Sie die Masse des Deuterons hier zu md = 2 u an.
(c) Berechnen Sie die genaue Ruhmasse und den Massendefekt des Deuterons.
Angaben:
mn = 1.0087 u = 939.5 MeV/c2 ,
mp = 1.0073 u = 938.2 MeV/c2 ,
u = 1.66 · 10−27 kg,
c = 3 · 108 m/s,
e = 1.6 · 10−19 C.