¨Ubungen zur Elektrodynamik (T3)

Arnold Sommerfeld Center
Ludwig–Maximilians–Universität München
Prof. Dr. Ivo Sachs
SoSe 2017
Übungen zur Elektrodynamik (T3)
Übungsblatt 6
Bearbeitung: Juni 1 - Juni 13, 2017
In diesem Problem werden SI-Einheiten verwendet.
1 Feld-Theorie eines kontinuierlichen mechanischen Systems
Wir möchten eine effektive Langrange-Funktion für ein System mit vielen Freiheitsgraden konstruieren, ein
Beispiel für solch ein System ist in Abb. 1 gezeigt. Wir betrachten eine Kette aus n Teilchen, die an den Stellen
x01 , x02 , . . . , x0n auf der x-Achse sitzen. Wir sagen, dass x0i die Position des i-ten Teilchens im Gleichgewicht
ist. Jedes dieser Teilchen habe eine Masse m. Benachbarte Teilchen sind mit Federn mit der Federkonstanten
k verbunden. Lenken wir nun ein Teilchen i aus seiner Ruhelage entlang der x-Achse aus, so beginnt das
System zu schwingen. Wir wollen nur longitudinale Schwingungen betrachten.
1.1 Berechnung der Lagrange-Funktion L
Die Lagrange-Funktion, L(x1 , . . . , xn ; ẋ1 , . . . , ẋn ; t) hängt von den n generalisierten Koordinaten xi und den
n generalisierten Geschwindigkeiten ẋi ab. Es ist jedoch schöner die Lagrange-Funktion in Abhängigkeit von
der Auslenkung aus der Ruhelage ui (t) ≡ δxi (t) = xi (t) − x0i und deren Zeitableitung u̇i (t) zu schreiben:
L=T −U =
n
X
1
2
i=1
mu̇2i (t)
−
n−1
X
i=1
1
1
k(ui+1 − ui )2 − k(u21 + u2n ),
2
2
(1)
die beiden letzten Terme resultieren aus der Kopplung von Teilchen 1 und Teilchen n mit der Wand. Man
kann L nun in einer symmetrischen Form aufschreiben, wenn wir zwei dummy-Koordinaten x00 = 0 und
x0n+1 = L einführen. Wir müssen dann aber fordern, dass u0 (t) = un+1 (t) ≡ 0. Jetzt können wir L in einer
symmetrischen Form schreiben:
L=
n+1
X
i=0
n
1
1 X
(ui+1 − ui )2 .
mu̇2i (t) − k
2
2 i=0
(2)
Leiten Sie die Bewegungsgleichung für ui (t) her.
1.2 Kontinuums-Limes
Nun gehen wir zum Kontinuums-Limes über, d.h. wir machen den Abstand d zwischen den Teilchen infinitesimal klein und fordern dass m/d und kd konstant bleibt. Man kann dann ein skalares Feld ϕ(x, t)
einführen, welches die Teilchen-Dichte am Ort x auf der Kette beschreibt. Solch ein Feld erfüllt dann eine
Bewegungsgleichung, die mit Hilfe des Hamilton’schen Prinzips hergeleitet werden kann,
Z
δ dtL = 0.
(3)
Wir nehmen an, dass die Kette eine Länge L habe und wir setzen n Teilchen im gleichen Abstand d auf die
Kette. Die Anzahl der Teilchen soll sehr groß sein, damit der Abstand d = L/(n + 1) infinitesimal klein wird.
Dann kann man das Feld ϕ(x, t) definieren durch:
uj (t) ≡ ϕ(x = (jL/(n + 1)), t),
j = 0, . . . , n + 1.
(4)
Die Differenzen uj+1 − uj und uj − uj−1 kann man dann durch die Ableitung von ϕ(x, t) annähern,
uj+1 − uj ≈ d
∂ϕ
∂ϕ
|x=jd+d/2 , uj − uj−1 ≈ d |x=jd−d/2 .
∂x
∂x
(5)
Abbildung 1: Modell einer elastischen Kette. Die Kette besteht aus n Massen, die miteinander durch Federn
verbunden sind. Im Gleichgewicht haben die Teilchen einen Abstand, d. Hier sind x0 und
xn+1 = x5 fest an die Wand gekoppelt, so dass sie sich nicht bewegen.
P
(i) Setzen Sie die obigen Approximationen in die Lagrange-Funktion ein und ersetzen Sie die Summe i
durch ein Integral über dx, d.h. für die potentielle Energie,
Z L 2
n
∂ϕ
1X
dx
(ui − ui+1 )2 →
.
(6)
d i=0
∂x
0
Machen Sie etwas Ähnliches für die kinetische Energie T ! Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit
Z L
Ldx,
L=
(7)
0
wobei die Lagrange-Dichte gegen ist durch
"
2
2 #
∂ϕ(x, t)
∂ϕ(x, t)
1
2
−v
,
L= ρ
2
∂t
∂x
(8)
wobeiR ρ = m/d die Massendichte der Kette ist und v ist die Geschwindigkeit, v 2 = kd/ρ.
L = dxL ist die Lagrange-Funktion
für ein kontinuierliches System. Die Dynamik von ϕ(x, t) wird
R
durch die Wirkung dtL bestimmt. Wir wollen nun die Bewegungsgleichung für ϕ(x, t) bestimmen.
Im Allgemeinen wird die Lagrange-Funktion von ϕ(x, t), ϕ̇(x, t) und ϕ0 (x, t) abhängen,
∂ϕ ∂ϕ
L = L ϕ,
,
; x, t .
(9)
∂x ∂t
Das Prinzip der kleinsten Wirkung sagt uns nun, dass die Variation der Wirkung verschwinden muss,
Z
Z
Z L
δ dtL = δ dt
dxL(ϕ, ϕ0 , ϕ̇; x, t) = 0.
(10)
0
Das bedeutet, dass Funktionen, ϕ(x, t), welche die Wirkung minimieren, die Euler-Lagrange-Gleichung
erfüllen müssen.
∂L
d ∂L
d
∂L
−
−
=0
(11)
∂ϕ dt ∂ ϕ̇
dx ∂ϕ0
(ii) Bestimmen Sie die Euler-Lagrange Gleichung für ϕ(x, t).
2 Lorentzkraft
Die Wirkung eines Punktteilchens der Masse m abhängig von einem elektrischen und einem magnetischen
Feldes ist
Z
Z
S = −mc ds − e dxµ Aµ ,
(12)
wobei xµ = (ct, xi (t)), Aµ = ( 1c φ(xi (t), t), A(xi (t), t)) ist das Vierervektor-Potential und ds =
die infinitesimale invariante Länge.
(i) Berechnen Sie dxµ und ds explizit in Abhn̈gigkeit von v und dt (Zur Erinnerung: v i =
p
dxµ dxµ ist
dxi (t)
dt ).
(ii) Berechnen Sie die Euler-Lagrange-Gleichung von xi (t) für die Wirkung S um die Lorentzkraft zu finden.
3 Hamiltonfunktion und Maxwell-Gleichungen
Die Lagrange-Dichte für das elektromagnetische Feld im Vakuum ist gegeben durch
L0 (Aµ , ∂Aµ ) =
1 µν
F Fµν .
4µ0
(i) Berechnen Sie den Hamilton-Operator über die Legendre-Transformation H =
(13)
R
d3 x
∂L
∂ Ȧµ
Ȧµ − L0 ,
und substituieren Sie die Felder E and B. (Nehmen Sie an, dass die Felder im Unendlichen verschwinden
und verwenden Sie die Maxwell-Gleichungen im Vakuum).
(ii) Fügen Sie eine Quelle zur Lagrange-Dichte hinzu:
L = L 0 + J µ Aµ .
(14)
Leiten Sie die Maxwell-Gleichungen mit Hilfe der Euler-Lagrange-Formel (11) für Aµ ableiten. Substituieren Sie anschließend die Felder E und B.
Allgemeine Informationen
Die Vorlesung findet in H030 (Schellingstr. 4) zu den folgenden Terminen statt:
Dienstags von 8:00 bis 10:00 c.t. und
Donnerstags von 14:00 bis 16:00 c.t.
Weitere Informationen finden Sie auf
http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_17/T3_-Elektrodynamik/index.html