3 Beispiele geordneter Mengen

3 BEISPIELE GEORDNETER MENGEN
nämlich Φ(Z) = Φ(Y ), so dass aus der stärkeren Prämisse Z nicht mehr folgt als bereits aus
der schwächeren Prämisse Y folgt, so dass die Implikation Z → Φ(Z) weggelassen werden kann.
Das die Menge der so erhaltenen Implikationen in der Tat schon ein minimaler Erzeuger von
I(K) ist, wurde in [11] gezeigt.
3
Beispiele geordneter Mengen
3.1
3.1.1
Stochastische Ordnungen
Motivation
In vielen Gebieten wie z.B. der Entscheidungstheorie oder bei der Bemessung von Risiken ist es
von Interesse, bestimmte Aktionen bezüglich ihres (z.B. finanziellen) Verlustes zu vergleichen.
Dabei ist der Verlust nicht exakt bekannt, sondern kann in Abhängigkeit von gewissen Umweltzuständen ω ∈ Ω verschiedene Werte annehmen. Diese mit bestimmten Aktionen verbundenen
Verluste werden üblicherweise als Zufallsvariablen modelliert. Die einfachste Art und Weise,
die Verluste X und Y zweier Aktionen zu vergleichen ist, sie einfach für jeden Umweltzustand
ω ∈ Ω zu vergleichen.
Definition 3.1
Sei M ⊆ X Ω eine Menge von Abbildungen von Ω in eine Menge X, wobei die Menge X mit
der Ordnungsrelation ≤ ausgestattet sei. Dann heiß eine Abbildung f ∈ M kleinergleich einer
Abbildung g ∈ M bezüglich der Faktorordnung ≤Ω (in Symbolen: f ≤Ω g bzw. auch f ≤ g),
falls für alle ω ∈ Ω die Relation f (ω) ≤ g(ω) gilt.
In unserem Beispiel wäre dann X die Menge der reellen Zahlen, Ω die Menge aller Umweltzustände und M eine Menge von mit bestimmten Aktionen verbundenen, zufälligen finanziellen
Risiken.
Bemerkung 3.1. Auch die in Abbildung 1 dargestellten Potenzmengenverbände (eigentlich sogar
jede beliebige geordnete Menge) stellen eine derartige Faktorordnung dar: Mit der Indikatorfunktion
(
1 falls ω ∈ A
1A : Ω −→ {0, 1} : ω 7→
0 sonst
einer Teilmenge A ⊆ Ω folgt (, wobei wir die Menge {0, 1} mit der üblichen Ordnung ≤=
{(0, 0), (0, 1), (1, 1)} versehen,) für belibige Teilmengen A, B ∈ 2Ω :
A ⊆ B ⇐⇒ 1A ≤Ω 1B ,
d.h., die Relationen ≤Ω und ⊆ sind im Wesentlichen identisch (isomorph).
Nun zurück zur obigen Situation der Entscheidungstheorie. Die Faktorordnung ≤Ω ist oft sehr
schwach, verschiedene Aktionen stehen nur selten bezüglich dieser Ordnung in Relation. Oft gibt
es jedoch noch zusätzliche Information über die Wahrscheinlichkeit bzw. Plausibilität gewisser
Umweltzustände. Im einfachsten Fall gibt es Information darüber, ob gewisse Umweltzustände
gleichwahrscheinlich sind. Eigentlich braucht man in diesem Fall zunächst noch nicht einmal
den Begriff der Wahrscheinlichkeit, der hier schon zu Einschränkungen führen würde. (Man
denke z.B. an den Fakt, dass es keine Gleichverteilung auf den natürlichen Zahlen gibt, die
den kolmogorovschen Axiomen genügt.) Man kann dann eine Äquivalenzrelation ∼ auf dem
Grundraum Ω durch
ω1 ∼ ω2 : ⇐⇒
die Umweltzustände ω1 und ω2 sind bezüglich der Gewissheit ihres Eintretens
nicht unterscheidbar
15
3.1 Stochastische Ordnungen
3 BEISPIELE GEORDNETER MENGEN
definieren. An dieser Stelle ist es noch nicht zwingend nötig, genauer zu präzisieren, wie Gewissheit“
”
hier zu verstehen oder auch zu quantifizieren sei. In der Tat ist dies oft eher schwierig, es ist jedoch
manchmal einfacher, aus Symmetrieüberlegungen heraus eine Relation ∼ direkt anzugeben. Dann
liegt es nahe, eine Ordnung derart zu konstruieren, dass man eine Bijektion ϕ : Ω −→ Ω sucht, die
Umweltzustände ω auf jeweils gleichgewisse“ Umweltzustände ϕ(ω) abbildet, um in Rechnung zu
”
stellen, dass gleichgewisse“ Umweltzustände gleich zu behandeln sind“. Eine Relation ≤∼ kann dann
”
”
in naheliegender Weise durch
X ≤∼ Y : ⇐⇒ es existiert eine Bijektion ϕ : Ω −→ Ω : ∀ω ∈ Ω : ϕ(ω) ∼ ω & X ◦ ϕ ≤Ω Y
(9)
definiert werden. Warum benötigen wir eigentlich eine Bijektion? Stichwort: Bijektion als Verallgemeinerung des Zählens
Diese Definition ist jetzt noch sehr nichtstatistisch, hier kommt zunächst kein Wahrscheinlichkeitsmaß
vor, für ein gegebenes P auf einem endlichen Grundraum könnte man jedoch ω ∼ ω 0 : ⇐⇒ P({ω}) =
P({ω 0 }) setzen. Für unendlichen Grundraum wird die Situation aber schon komplizierter. Weiterhin ist
die Frage, ob eine Bijektion existiert, auch wesentlich abhängig vom Zusammenspiel von Grundraum
und Wahrscheinlichkeitsmaß, und da in der Statistik oft der Grundraum Ω nicht explizit mitmodelliert
wird, ist obige Definition von impliziten Filigranitäten abhängig. Beispiel: endlicher Grundraum Ω =
{ω1 , . . . , ωn }; P ({ωi }) = c·i besitzt offensichtlich keine nichttriviale Bijektion mit ϕ(ω) ∼ ω. Dies kann
aber behoben werden durch eine Defaktorisierung“ des Grundraums Ω in Ω0 := {ω10 , . . . , ω 0n(n+1) } mit
”
2
P({ωi0 }) = c0 und ω1 = {ω10 }, ω2 = {ω20 , ω30 }, ω3 = {ω40 , ω50 , ω60 }, . . ..
Eine eher statistische Definition einer Präordnung, die konzeptuell im Wesentlichen mit obiger Definition übereinstimmt (im endlichen Fall ist sie zu obiger Ordnung bis auf Kleinigkeiten? äquivalent,
wenn man den Grundraum Ω frei wählen kann) ist die der stochastischen Dominanz:
Definition 3.2 (Stochastische Dominanz, konzeptionelle Definition)
Seien X und Y reellwertige Zufallsvariablen. Dann heißt X stochastisch kleinergleich Y (in Zeichen:
X ≤SD(1) Y ), falls es einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω0 , F 0 , P0 ) und zugehörige Zufallsvariablen X 0
d
d
und Y 0 mit X = X 0 und Y = Y 0 gibt, so dass
P0 (X 0 ≤ Y 0 ) = 1
(10)
gilt. Im Fall X ≤SD(1) Y sagt man auch, dass X von Y schwach stochastisch dominiert wird.
Diese Definition ist eher eine unübliche, sie zeigt aber besser die konzeptionelle Idee hinter der Definition. Üblicherweise wird die stochastische Dominanz äquivalent über die Verteilungsfunktion der
Zufallsvariablen definiert, was mathematisch einfacher zu handhaben ist, aber die konzeptionelle Idee
hinter der stochastischen Dominanz eher versteckt:
Definition 3.3 (Stochastische Dominanz, effiziente Definition)
Seien X und Y rellwertige Zufallsvariablen mit zugehörigen Verteilungfunktionen FX und FY . Dann
ist durch
X ≤SD(1) Y : ⇐⇒ ∀c ∈ R : FX (c) ≥ FY (c)
(11)
eine Präordnung definiert. Im Fall X ≤SD(1) Y sagen wir, dass X von Y schwach stochastisch dominiert wird oder auch, dass X stochastisch kleinergleich Y ist .
Weiterhin definieren wir für fixes n ∈ N+ :
(n)
(n)
X ≤SD(n) Y : ⇐⇒ ∀c ∈ R : FX (c) ≥ FY (c)
16
(12)