Revolution im physikalischen Denken

2
Revolution im physikalischen Denken
2.1 Die von Einstein vorhergesagte korpuskulare Natur des
Strahlungsfeldes
Wie im vorangestellten Abschnitt erklärt, beruht die Plancksche Strahlungsformel
auf der statistisch begründeten Entropieformel für die Hohlraumstrahlung in einem
Volumen V als Integral über alle Frequenzen v:
∞
∫ 0 dvsv
S
=
sv
= kB × V
8π 2
v × [(1 + nv )ln(1 + nv ) − nv ln nv ]
c3
(2.1)
Hier bezeichnet sv die spektrale Verteilung der Entropie und nv ist die mittlere
(thermische) Besetzungszahl für Lichtquanten mit Energie hν wenn die Wände
des Hohlraums auf der Temperatur T gehalten werden. Es ist dann im thermischen
Gleichgewicht die mittlere Besetzungszahl
1
nv =
e
hv
k BT
−1
(2.2)
und
Ev = ρv ∆ v = k BV ×
8π 2
v ∆ v × hv × n v
c3
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2016
R. P. Huebener, N. Schopohl, Die Geburt der Quantenphysik, essentials,
DOI 10.1007/978-3-658-12452-6_2
(2.3)
21
22
2 Revolution im physikalischen Denken
definiert die spektrale Verteilungsfunktion ρν für Lichtquanten mit Energie hv,
8π
wobei der Faktor V × 3 v 2 ∆ v gerade die (asymptotische) Anzahl der Eigenmoc
den im Frequenzintervall [v, v + ∆ v ] gemäß der Maxwellschen Theorie für stehende
elektromagnetische Wellen in einem großen Volumen V mit spiegelnden Randbedingungen angibt.
Der Hohlraum enthalte jetzt ausschließlich Strahlung in einem kleinen Frequenzintervall [v, v + ∆ v ]. Für genügend hohe Frequenz ν ist dann überall nv 1
(Wiensches Strahlungsgesetz) und es vereinfacht sich der obige Ausdruck für die
Entropie sv v im Volumen V zu



8π 2
Ev 
Ev
sv ∆ v = k BV × 3 v ∆ v × nv (1 − ln nv ) = k B 1 − ln
 (2.4)
8π 2
hv 
c

×
v
∆
×
hv
V

v
c3


Da für großes Volumen V und genügend hohe Frequenz v der Abstand der Moden
sehr dicht liegt, ist auch für kleine Intervallbreite Δv immer noch eine große Anzahl von Eigenmoden im Volumen vorhanden, die entsprechend interferieren. Aufgrund der dann auftretenden Schwebungen wird die Energiedichte im Hohlraum
räumliche und zeitliche Schwankungen aufweisen. Die zuerst von Albert Einstein
im Jahr 1905 untersuchte Situation betrachtet ein Teilvolumen V(0) von V, wobei
der Durchmesser von V(0) aber immer noch als groß im Vergleich zur Wellenlänge
angenommen sei, so dass die betrachtete Formel für die spektrale Entropiedichte
auch für V(0) gültig bleibt:
sv( 0) ∆ v



Ev 
Ev
= k B 1 − ln

8π
0
hv 
V ( ) × 3 v 2 ∆ v × hv 

c


(2.5)
Albert Einstein berechnete gemäß dem Boltzmannschen Prinzip sodann die relaW (0)
tive Wahrscheinlichkeit v dafür, dass sich auf einmal die gesamte StrahlungsWv
energie Eν nur im Teilvolumen V (0) befindet [7]:
ln
Wv( 0) sv( 0) − sv
E V (0)
=
∆ v = v ln
Wv
kB
hv
V
(2.6)
2.1 Die von Einstein vorhergesagte korpuskulare Natur des Strahlungsfeldes
23
Eine ähnliche Formel bestimmt bekanntlich die (im allgemeinen extrem kleine)
relative Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die in einem Volumen V befindlichen
Partikel eines idealen klassischen Gases mit Teilchenzahl N und Temperatur T alle
auf einmal in einem Teilvolumen V(0) von V aufhalten:
W (0)  V (0) 
= 

W
 V 
N
(2.7)
Im Grenzfall der Gültigkeit des Wienschen Gesetzes, also für hochfrequente Hohlraumstrahlung der Frequenz v, besteht offensichtlich eine frapierende Analogie zu
E
einem (einatomigen) idealen Gas mit der Teilchenzahl N v = v . Diese Relation
hv
legt die Auffassung nahe, dass elektromagnetische Strahlung der Frequenz ν im
Hohlraum aus einer Anzahl Nv von einzelnen unabhängigen Energiequanten der
Größe hv besteht.
Plancks ursprüngliche Vorstellung war allerdings eine andere. Er modellierte
die Bausteine der Materie, aus denen die Wände des Hohlraums bestehen, als ein
System nicht unterscheidbarer, harmonisch schwingender Hertzscher Dipole, die
elektromagnetische Wellen abstrahlen. Um die richtige Strahlungsformel zu erhalten, ging er davon aus, dass der statistische Erwartungswert der Energie einer
Hohlraumeigenmode im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T mit
dem Erwartungswert für die Energie der die Mode erzeugenden Hertzschen Dipole in der Wand übereinstimmt. Seine berühmte Quantenhypothese, dass jeder
mit Frequenz v schwingende Oszillator mit a priori gleicher Wahrscheinlichkeit
nur Energiewerte hν × n mit n = 0,1,2,… haben kann, betrifft also die die Stahlung
erzeugenden harmonischen Freiheitsgrade in der materiellen Wand, nicht diejenigen der Hohlraumstrahlung selbst. Die mit der Lichtquantenhypothese von Albert
Einstein kompatible Vorstellung, die Hohlraumeigenschwingungen selbst seien zu
quantisieren, wurde erst im Jahr 1910 von Peter Debye eingeführt [15–17]. Da
Licht nicht direkt mit Licht wechselwirkt (der Fall sehr hoher elektromagnetischer
Energiedichte wird hier nicht betrachtet), postulierte Planck zum Erreichen des
thermischen Gleichgewichts ein mesoskopisch kleines materielles „Kohlestäubchen“, welches alle Frequenzen emittieren und absorbieren kann, so dass zwischen
allen Frequenzintervallen [v, v + ∆ v ] des Spektrums im Hohlraum ein Energieaustausch möglich ist.
Eine bekanntes, allgemeines Ergebnis der statistischen Gleichgewichtsthermodynamik für das großkanonische Ensemble bei der Temperatur T verknüpft das
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2 Revolution im physikalischen Denken
2
eines
der (inneren) Energie ε = H
d
ε bei konstantem Volumen:
Vielteilchensystems mit seiner Wärmekapazit CV =
dT
2 − H
Schwankungsquadrat [∆ε ]2 = H
CV =
[∆ε ]2
k BT 2
(2.8)
Für den starren Körper (null innere Freiheitsgrade) impliziert dies
Cv = 0.
Die von Albert Einstein zuvor gegebene korpuskulare Interpretation der Hohlraumstrahlung als Gas von Lichtquanten (Photonen), z. B. in einem Kasten mit
Volumen V = L3, tritt tatsächlich auch beim Schwankungsquadrat der Energie der
Hohlraumstrahlung sehr deutlich in Erscheinung, wenn man sich (nur für den Augenblick) vorstellt, dass der Hohlraum mit Volumen V jetzt ausschließlich elektromagnetische Moden im Frequenzintervall [v, v + ∆ v ] enthalten soll. Gemäß (2.8)
gilt jetzt
[∆ε v ]2 = k BT 2
d
dρ
ε v = k BT 2 v
dT
dT
(2.9)
Anstatt die (aus Sicht des Kenntnisstands im Jahr 1909 schwierige) Aufgabe zu
lösen, die spektrale Verteilungsfunktion von Planck ab initio herzuleiten, fragt sich
Einstein, welche Schlußfolgerungen möglich wären, wenn er für gegebene Frequenz ν die Gültigkeit der jedenfalls empirisch sehr gut bestätigten Planckschen
Formel für die spektrale Verteilungsfunktion postuliert. Sodann berechnet er
k BT 2
8π
dn
d ρv
∆ v = V × 3 v 2 ∆ v × hv × k BT 2 × v
dT
dT
c
8π 2
2
= V × 3 v ∆ v × (hv) × nv (nv +1)
c
(2.10)
Drücken wir wieder nv durch Ev aus, so folgt unmittelbar das Schwankungsgesetz
der Hohlraumstrahlung in der Form, wie es 1909 von Albert Einstein [18] hergeleitet wurde
2
 Ev 
2


(2.11)
Ev
 ∆ε v 
 hv 
 hv  = hv +
8
π


V × 3 v 2∆v
c
25
2.2 Das Schwankungsgesetz von Einstein nach der neuen …
Die Formel offenbart in der Tat in knappster Form den legendären Teilchen-Welle
Dualismus der Quantenmechanik. Die durch Interferenz-Schwebungen verursachten Schwankungen der Energie der Hohlraumschwingungen im Frequenzintervall
[v, v + ∆ v ] sind demnach größer als nach der klassischen Maxwellschen Theorie
herauskommt. Im Grenzfall hoher Frequenzen v, d. h. für kleine Besetzungszahl
nv 1, kann der zweite (klassische) Term vernachlässigt werden.
In dem Fall verhält sich das System also auch bzgl. der Energiefluktuationen so
E
wie ein ideales Gas bestehend aus einer Zahl N v = v von Korpuskeln mit Enerhv
gie hν. Nur für kleine Frequenzen, im Bereich der Gültigkeit der Rayleigh-Jeans
Asymptotik der Planckschen Strahlungsformel, ist der korpuskulare erste Term
gegenüber dem zweiten Term vernachlässigbar klein und man findet völlige Übereinstimmung mit der klassischen Rechnung von Lorentz [19] für interferierende
Wellen.
2.2 Das Schwankungsgesetz von Einstein nach der neuen
Quantenmechanik von Heisenberg, Born und Jordan
Es bezeichne jetzt Gv für elektromagnetische Hohlraummoden im Volumen V eine
Gesamtheit von Wellenzahlvektoren k im Frequenzintervall v < vk < v + ∆ v . Beispielsweise sind für einen Kasten (spiegelnde Randbedingungen) im Volumen
π
c
× k , wobei k = (mx , m y , mz )
V = L3 jetzt die Frequenzen gegeben zu vk =
2π
L
den Wellenzahlvektor bezeichnet und die natürlichen Zahlen mx , m y , mz ∈ die
(transversal elektrischen und die transversal magnetischen) Eigenschwingungen
indizieren. Der Operator der elektromagnetischen Feldenergie für das Frequenzintervall [v, v + ∆ v ] im Volumen V kann dann mit den Besetzungszahloperatoren
n̂k für die betreffenden Moden bekanntlich als direkte Summe von harmonischen
Oszillatoren dargestellt werden
1

v =
H
∑ k∈Gv hvk  n k + 2 
(2.12)
v ist die Summe der Energien der einzelnen Eigend. h. die Energie ε v = H
schwingungen im Hohlraum. Tatsächlich ist dabei die Nullpunktsenergie aufgrund
der endlichen Anzahl von Moden im betrachteten Frequenzintervall jetzt endlich
v ist wohl definiert.
groß, der Ausdruck für H
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2 Revolution im physikalischen Denken
Mit nvk = n k als quantenmechanischer Erwartungswert des Besetzungszahloperators n k (im großkanonischen Ensemble der statistischen Physik) folgt somit
für das Schwankungsquadrat der Feldenergie der Ausdruck
[∆e v ]2
=
2
H
v
v
− H
2
(2.13)
 
1  1
1 1 
= ∑ k ,k ′∈G (hvk )(hvk ′ )  ⟨ n k +  nk ′ + ⟩ − ⟨ n k + ⟩ ⟨ nk ′ + ⟩ 
v
2 
2
2
2 
 
Für k ≠ k ′ gilt zufolge der statistischen Unabhängigkeit der Besetzung der Hohlraummoden jetzt
1 
1
1
1

⟨ n k +   n k ′ + ⟩ = ⟨ n k + ⟩ ⟨ n k ′ + ⟩.
2 
2
2
2

(2.14)
Es bleiben demnach in der Doppelsumme nur die Diagonalterme k = k ′ übrig:
(
2
[∆εv ]2 = ∑ k∈G (hvk ) 2 ⟨ n k ⟩ − ⟨ n k ⟩ 2
v
)
(2.15)
Hervorzuheben ist, dass sich die Beiträge der Nullpunktsenergie hier exakt zu Null
kompensieren.
Mit dem (nur für Bosonen gültigen) Resultat für die quantenstatistischen Besetzungszahlfluktuationen im großkanonischen Ensemble
(
2
)
⟨ n k ⟩ − ⟨ n k ⟩ 2 = ⟨ n k ⟩ ⟨ n k ⟩ + 1
(2.16)
ergibt sich unmittelbar [17, 20]:
[∆ε v ]2 = ∑ k∈G (hvk ) 2 nvk (nvk + 1)
v
(2.17)
Für genügend kleine Wellenlängen λ L befindet sich im Frequenzintervall
8π
v < vk < v + ∆ v eine große Anzahl V × 3 v 2 ∆ v von Moden mit Wellenzahl k und
c
(fast) gleicher Frequenz vk . Somit kann für k ∈ G v mit der Ersetzung nvk = nv die
Summe über die Wellenzahlen im Ausdruck für [∆ε v ]2 ohne Weiteres abgeschätzt
werden zu
[∆ε v ]2 = V ×
8π 2
v ∆ v × (hv) 2 nv (nv + 1)
c3
(2.18)
2.2 Das Schwankungsgesetz von Einstein nach der neuen …
Abb. 2.1 Werner Heisenberg (Deutsches Museum,
Archiv)
Abb. 2.2 Max Born
27
28
2 Revolution im physikalischen Denken
Abb. 2.3 Pascual Jordan
in völliger Übereinstimmung mit Einsteins Ergebnis von 1909.
Es lässt sich demnach feststellen, dass die statistische Theorie der Quantenfelder den gemäß der klassischen Sichtweise vorhandenen Widerspruch zwischen
der Vorstellung, Licht sei Korpuskularstrahlung (Rene Descartes, Isaac Newton),
und der durch Interferenzexperimente gefestigten Auffassung, es handle sich um
Wellenstrahlung (Christian Huygens, Thomas Young, Augustin Fresnel, Valentin
Lorenz, James Clerk Maxwell), tatsächlich vollständig aufhebt [16, 20]. Es ist gemäß der neuen Quantenmechanik von Heisenberg (Abb. 2.1), Born (1882–1970)
(Abb. 2.2) und Jordan (1902–1980) (Abb. 2.3) [21] also gar nicht erforderlich, die
Wellentheorie zugunsten des Teilchenbildes aufzugeben und umgekehrt.
2.3 Moderne Quantenmechanik und Beginn der
Quantentheorie der Felder
Die berühmte „Dreimännerarbeit“ von Max Born, Werner Heisenberg und Pascual
Jordan [21] aus dem Jahr 1925 führt als Ausgangspunkt der modernen Quantenmechanik die (in anderer Gestalt) zuerst von Werner Heisenberg [22] vorgeschlagene
Umdeutung der klassischen Variablen Ort q und Impuls p eines Massenpunkts als
hermitesche Operatoren mit der kanonischen Vertauschungsregel ein [21]:
2.3 Moderne Quantenmechanik und Beginn der Quantentheorie der Felder
p q − q p = h 1
2p i
29
(2.19)
Diese Vertauschungsregel ist die Quintessenz der Quantenmechanik, und nur an
dieser Stelle geht das Plancksche Wirkungsquantum h in die Theorie ein. Die
Nichtkommutativität bei der Hintereinanderausführung (Multiplikation) zweier
konjugierter Operatoren ist hier der Paradigmenwechsel, das entscheidende Merkmal der Quantenmechanik. Im Übrigen ist die zeitliche Entwicklung von Operatoren in der Quantenmechanik deterministisch bestimmt. Sie ergibt sich durch
Lösen von Bewegungsgleichungen, die formal den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik entsprechen. Im asymptotischen Grenzfall
h → 0 gelangt man offensichtlich wieder zur klassischen Theorie. Auf Basis der
mathematischen Formulierung durch Born und Jordan [23] von Heisenbergs Umdeutung konnten so in der „Dreimännerarbeit“ von 1925 die bis heute unveränderten Grundzüge der algebraischen Theorie des Drehimpulses und des harmonischen
Oszillators als notwendige Folgerungen der neuen Quantenmechanik abgeleitet
werden.
In der Arbeit wird auch die Vermutung ausgesprochen, dass die Quanten des
Strahlungsfeldes Bosonen sind. Heutzutage ist es bekannt, dass es der Initiative
von Pascual Jordan zu verdanken war, die damals neue Quantenmechanik auf
die Statistik der Hohlraumschwingungen anzuwenden. Er, der Dritte und lange
Zeit weniger bekannte Autor der „Dreimännerarbeit“, behandelte im letzten Teil
der Arbeit ein Beispiel aus der klassischen Kontinuumsmechanik, nämlich die
schwingende (massive) Saite. Als Jordan die Schwankungsquadrate der Energiefluktuationen auf einem kleinen Teilstück der Saite im schmalen Frequenzintervall [v, v + ∆ v ] jetzt nicht klassisch, sondern nach den Regeln der Heisenbergschen
Umdeutung von Ort q und Impuls p als hermitesche Operatoren p und q für das
betreffende Teilstück der harmonisch schwingenden Saite mit der kanonischen
Kommutatorrelation (2.19) berechnete, war sein Ergebnis äquivalent zu Einsteins
Schwankungsgesetz [16].
Tatsächlich hat Jordan damit gezeigt, dass die Einsteinsche Formel für die
Schwankungen der Energiefluktuationen viel größere Allgemeinheit beanspruchen
darf als ihr im Kontext ihrer ursprünglichen Herleitung zusteht, die Formel ist sogar richtig (völlig) außerhalb der Gültigkeit der statistischen Thermodynamik [24].
Dass auf diese Weise bereits in der „Dreimännerarbeit“ von 1925 im letzten Teil
der Arbeit auch noch der Weg zur modernen Quantenfeldtheorie gewiesen wurde,
das allerdings wurde erst später erkannt und gewürdigt. Die voll relativistische
Theorie der Materie-Licht Wechselwirkung im Rahmen der Quantenelektrodynamik wurde erst nach dem zweiten Weltkrieg aufgestellt [25]. Eines ihrer besten
30
2 Revolution im physikalischen Denken
Abb. 2.4 Physikerkonferenz in Kopenhagen im Juni 1936. In erster Reihe von links: W.
Pauli, P. Jordan, W. Heisenberg, M. Born, L. Meitner, O. Stern, J. Franck, G. de Hevesy.
Hinter Pauli an der Wand lehnend N. Bohr
Ergebnisse ist die Berechnung des anomalen magnetischen Moments g-2 des Elektrons [26], das (heutzutage) tatsächlich auf mehr als 11 Dezimalstellen mit dem
experimentell bestimmten Wert übereinstimmt [27].
Hervorzuheben ist, dass zugleich mit Werner Heisenberg, Max Born und Pascual Jordan als Gründungsväter der modernen Quantenmechanik die Forscherpersönlichkeiten Paul Dirac (1902–1984), Erwin Schrödinger (1887–1961) und
nicht zuletzt Wolfgang Pauli (1900–1958) mit ihren bahnbrechenden Arbeiten zu
nennen sind. Alle zusammen verschafften in ganz kurzer Zeit der modernen Quantenmechanik als radikal neues Fundament anstelle der klassischen Physik weltweit
Anerkennung. Darauf wollen (können) wir an dieser Stelle aber nicht eingehen.
Eine Reihe der Gründungsväter zeigt Abb. 2.4 während einer Konferenz in Kopenhagen im Juni 1936.
Den Anspruch, anschaulich zu sein, kann die Quantenmechanik leider nicht erfüllen, wenn auch die Fragestellungen, aus denen sie entstanden ist, ursprünglich
auf dem Korrespondenzprinzip der alten Atommechanik von Niels Bohr (1885–
1962) und Arnold Sommerfeld (1868–1951) beruhen. Dies unterstreicht ein Zitat
aus dem Vorwort zur ersten Auflage des Lehrbuchs von Paul Dirac [28].
http://www.springer.com/978-3-658-12451-9