universit¨at leipzig - Institut für Theoretische Physik

UNIVERSITÄT LEIPZIG
INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK
Quantenmechanik II
Übungsblatt 5
Solutions
15. Störung eines entarteten Zwei-Niveau-Systems
Allgemein erfüllen in der Störungstheorie die Glieder bis zur Ordnung λ die Gleichung
(H0 − E 0 )ψ 1 + (V − E 1 )ψ 0 = 0,
wobei λV = H 0 . Nun ist in unserem Problem H0 entartet (und zweidimensional), was zur
Folge hat, dass H0 − E 0 ≡ 0. Sei allgemein P0 der Projektor auf den Unterraum zu E 0 . Dann
folgt
P0 (V − E 1 )P0 ψ 0 = (P0 V P0 − E 1 )ψ 0 ,
d.h. die Korrektur(en) erster Ordnung sowie die zugehörige Vektoren (nullter Ordnung) ψ 0
sind aus dem Eigenwertproblem von P0 V P0 zu bestimmen.
Wir finden problemlos die beiden Eigenvektoren und ihre Eigenwerte
1
ψ10 = √
2
1
ψ20 = √
2
1
1
!
,
E11 = λ,
1
−1
!
,
E21 = −λ.
Es ist zu bemerken, dass man schon von Anfang an die beiden Vektoren als Basis-Vektoren
des Unterraumes zu E 0 benutzen konnte. Der H0 würde sich bei einem Basiswechsel nicht
ändern und H 0 würde diagonal, H 0 =diag(λ, −λ).
16. Quantensysteme mit Entartung
Allgemein gilt in der Störungstheorie:
(H0 − E10 )ψ11 + (V − E11 )ψ10 = 0,
(1)
(H0 − E10 )ψ12 + (V − E11 )ψ11 − E12 ψ10 = 0,
(2)
wobei nur die Gleichungen für die Störung des ψ 0 = ψ10 angegeben sind. P0 = |ψ10 ihψ10 | +
|ψ20 ihψ20 | sei der Projektor auf den zweidimensionalen Unterraum zu E 0 = E, P1 = |ψ10 ihψ10 |
der Projektor auf ψ10 , P2 = |ψ20 ihψ20 | der Projektor auf ψ20 und Q0 = P3 der Projektor auf
den (eindimensionalen) Raum zu E0 = 2E. Offensichtlich gilt P0 P1 = P1 , P1 P0 = P1 und
P0 Q0 = 0.
Multiplizieren wir die Gleichung (2) von rechts mit P1 , so erhalten wir
P1 (V − E11 )ψ11 = E 2 ψ10 .
(wegen (H0 − E10 )ψ10 = 0.) Anderseits führt eine Multiplikation von (1) von links mit Q0 auf
Q0 (H0 − E10 )ψ11 = −Q0 V ψ10 .
Auf dem von Q0 ausgeschnittenen (Unter-)Hilbertraum, Q0 H kann nun H0 − E10 invertiert
werden (weil die Eigenwerte von H0 auf Q0 H per Annahme von E10 verschieden sind). Dies
führt auf
Q0 ψ 0
hψ 0 |V |ψ10 i
ψ11 = 0 1 ≡ |ψ30 i 30
,
E1 − H0
E1 − E30
was aus der Störungstheorie von nicht entarteten Niveaus bekannt ist. Wir wissen noch
nicht was der Anteil von ψ11 im P0 H ist. Wie immer normieren wir den Zustand so, dass
(ψ10 , ψ1n ) = 0, d.h. wir mussen noch (ψ20 , ψ11 ) bestimmen, d.h.
ψ11 = α|ψ30 i + βψ20 ,
hψ 0 |V |ψ 0 i
mit α = E30 −E 01 und mit einem unbestimmten β. Wir wenden jetzt P2 auf die Gleichung
1
3
(2) und finden
P2 (V − E11 )ψ11 = |ψ20 i (E21 − E11 )β + hψ20 |V |ψ30 iα = 0
Somit erhalten wir schließlich
ψ11 = |ψ30 i
0
0
0
0
hψ30 |V |ψ10 i
0 hψ2 |V |ψ3 ihψ3 |V |ψ1 i
−
|ψ
i
2
E10 − E30
(E21 − E11 )(E10 − E30 )
und
E12 = hψ10 |V
E10
Q0
V |ψ10 i.
− H0
Man beachte, dass der letzte Faktor in ψ11 (d.h. der Zahl β) auch vom ersten Ordnung ist
(obwohl es zweimal V enthält), weil E21 −E21 auch vom ersten Ordnung (d.h. klein) ist. Wegen
hψ10 |V |ψ20 i hat dieser Faktor kein Einfluß auf E12 .
Diese Formeln sind offensichtlich allgemein und können bei beliebiger Störung entarteter
Niveaus verwendet werden (sobald die Entartung in erster Ordnung aufgehoben wird, d.h.
Ei1 6= Ej1 wenn i 6= j).
Insbesondere in unserem Fall finden wir
 
1
1  
0
ψ1 = √  1  ,
2
0
E10 = E,
E11 = λ,

und hψ30 |V |ψ10 i =
√1
2

1
1 

E20 = E,
ψ20 = √  −1  ,
2
0
 
0
 
0
ψ3 =  0  ,
E30 = 2E,
1
E21 = −λ,
E31 = −λ,
= hψ30 |V |ψ20 i, also
λ 0
λ
|ψ i,
ψ11 = − √ |ψ30 i −
4E 2
E 2
E12 = −
λ2
.
2E
17. Teilchen auf einem Kreis im homogänen elektrischen Feld
Die ungestörten Eigenzustände sind
eimϕ
|mi = √ ,
2π
1
mit m ∈ Z und Em = βm2 , wobei β = 2mR
2 . Sei α = −eRE/2. Die ersten ungestörten
angeregte Zustände |1i, | − 1i sind offensichtlich energetisch entartet. Überdies gilt:
hk|V |mi = α(δk,m−1 + δk,m+1 )
und es ist leicht zu sehen, dass
Pa V P a = 0
wobei Pa den Projektor auf den Unterraum Pa H der von |1i und | − 1i aufgespannt wird,
bezeichnet. Die Entartung wird also nicht in erster Ordnung aufgehoben, d.h. die Gleichung
(V − E 1 )ψ = 0
kann auf dem Unterraum Pa H von einer beliebigen Linearkombination von |1i und | − 1i
erfüllt werden. Nun kann die Gleichung der zweiten Ordnung der Störungstheorie
(H0 − E10 )ψ12 + (V − E 1 )ψ11 − E12 ψ10 = 0,
auf Pa H projiziert werden. Wir erhalten
Pa (V − E 1 )ψ11 = E 2 ψ10 .
Anderseits folgt aus der Gleichung der ersten Ordnung wie üblich
Qa ψ11 = −
Qa V
ψ0
E0 − H0 1
mit Qa = 1 − Pa , d.h. die Gleichung ersten Ordnung bestimmt die Funktion ψ11 auf Qa H.
Insgesamt folgt
Qa
Pa V
V Pa ψi0 = E 2 ψi0
E0 − H0
wobei i = −1, 1 da wir die gleiche Rechnung auch für die beiden ungestörten Zustände
0
durchführen können (hier spielt der in Pa H liegende Anteil von ψi0 keine Rolle, weil
ψ±
1
Pa (V − E 1 )Pa ψ verschwidtet wegen Entartung von E 1 ). Die obige Gleichung ist ein Eigenwertsproblem auf dem zweidimensionalen Raum Pa H. Der Operator auf der linken Seite
verschwindet nicht; wir finden
Qa
α2
Pa V
V Pa =
E0 − H0
β
2
3
1
1
2
3
!
.
Die Eigenwerte dieser Matrix geben die Korrekturen zweiter Ordnung zu der ungestörten
Energie E 0 = β an. Sie sind
α2
E− = −
3β
und
E+ =
5α2
.
3β
Diesen Energiekorrekturen entsprechen die Zustände
sin(ϕ)
0
ψ−
= √ ,
π
und
0
=
ψ+
cos(ϕ)
√ .
π