Einf ¨uhrung in die Graphentheorie (Mathematik IIIb)
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• Die Folien zur Vorlesung (Skript) stehen auf der Homepage vor der Vorlesung zur Verfügung. • Formate: PDF, ein- und vierseitig • Sie können also die ausgedruckten Folien mit in die Vorlesung bringen und dort mit schriftlichen Bemerkungen versehen. Einführung in die Graphentheorie (Mathematik IIIb) • Benutzen Sie zum Drucken bitte die vierseitige Version des Skriptes. Peter Becker Fachbereich Informatik, FH Bonn-Rhein-Sieg [email protected] Vorlesung Wintersemester 2004/05 Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 Allgemeines zur Vorlesung Übungen • Es gibt eine Homepage zur Vorlesung: • Übungen finden Montags (uKW), Mittwochs und Donnerstags (gKW) verteilt auf sechs Gruppen statt. http://www2.inf.fh-rhein-sieg.de/~pbecke2m/graphentheorie/ • Die Vorlesung wird folienbasiert gehalten, • Zuteilung zu den Übungsgruppen: siehe Aushang • aber die Folien enthalten nur die wichtigsten Aspekte (Definitionen, Sätze, knappe Beispiele, wichtige Bemerkung). • Alles was sonst eine Vorlesung ausmacht (Erläuterungen, ausführliche Beispiele, Beweise von Sätzen, Anwendungen, Querverweise auf andere Gebiete der Informatik, etc.) gibt es nur in der Vorlesung selbst. Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 2 1 • Erster Übungstermin: Montag, 18.10.2004 • Die Ausgabe der Übungsblätter findet zur Vorlesung statt. • Bearbeitungszeit: 4 bis 14 Tage Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 3 Prüfung Literatur • Im Rahmen der Prüfung für Mathematik III zusammen mit Mathematik IIIa • Mit Bestehen der Prüfung erhalten Sie 7 Leistungspunkte für die Veranstaltung Mathematik III. • Prüfungstermin: siehe Prüfungsplan V. Turau Algorithmische Graphentheorie Oldenbourg 2004 • Prüfungsform: schriftlich (Klausur) • Hilfsmittel: Skript, Fachliteratur, Taschenrechner Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 4 Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 6 Inhalt 1. Grundbegriffe und Bezeichungen D. Jungnickel Graphen, Netzwerke und Algorithmen Spektrum Akademischer Verlag 2004 2. Durchsuchen von Graphen 3. Kreis- und Wegeprobleme 4. Bäume und Wälder 5. Planare Graphen und Färbungen 6. Flüsse und Matchings Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 5 Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 7 1. Einf ¨uhrung Grundbegriffe und Bezeichungen Das Königsberger Brückenproblem Norden D. Jungnickel Graphs, Networks and Algorithms Springer 2004 Neuer Pregel Insel Osten Pregel Alter Pregel Süden Beispiel 1.1. [Euler, 1736] Gibt es einen Rundweg durch Königsberg, der jede der sieben Brücken genau einmal überquert? Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 1. Einf ¨uhrung 8 Grundbegriffe und Bezeichungen 1. Einführung Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 1. Einf ¨uhrung 10 Grundbegriffe und Bezeichungen Das Königsberger Brückenproblem (2) Die Abstraktion des Problems: Norden • Grundbegriffe und Bezeichnungen • Beispiele • Darstellung von Graphen im Computern Insel Osten Süden Gibt es einen Rundweg, der jede Linie (Kante) genau einmal enthält? Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 9 Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 11 1. Einf ¨uhrung Grundbegriffe und Bezeichungen Das Haus vom Nikolaus 1. Einf ¨uhrung Grundbegriffe und Bezeichungen Repräsentation als Graph: c Start Ziel b d a e Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 1. Einf ¨uhrung 12 Grundbegriffe und Bezeichungen Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 1. Einf ¨uhrung 14 Grundbegriffe und Bezeichungen Labyrinth Beispielgraph • Ein Graph besteht aus Knoten und Kanten. Beispiel 1.2. Finde einen Weg vom Start zum Ziel durch das Labyrinth! Beispiel 1.3. b e1 Start e4 e8 a e2 • a, b, c, d sind Knoten. e5 c Ziel e6 e7 e3 d Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 13 • Diese Knoten werden durch die Kanten e1 bis e8 miteinander verbunden ☞ Ein Graph symbolisiert die max. zweistelligen Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge. Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 15 1. Einf ¨uhrung Grundbegriffe und Bezeichungen 1. Einf ¨uhrung Graph Grundbegriffe und Bezeichungen Endliche Graphen Definition 1.1. Ein Graph (graph) G = (V, E, γ) ist ein Tripel bestehend aus: • V, einer nicht leeren Menge von Knoten (vertices), Definition 1.2. Ein Graph G = (V, E, γ) heißt endlich (finite) gdw. die Knotenmenge V und die Kantenmenge E endlich sind. Bemerkung 1.1. Wir treffen folgende Vereinbarung: • E, einer Menge von Kanten (edges) und • Im weiteren werden nur endliche Graphen betrachtet. • γ, einer Inzidenzabbildung (incidence relation), mit γ : E −→ {X|X ⊆ V, 1 ≤ |X| ≤ 2} • Der Zusatz “endlich” wird dabei weggelassen. Zwei Knoten a, b ∈ V heißen adjazent (adjacent) gdw. ∃e ∈ E : γ(e) = {a, b}. a ∈ V und e ∈ E heißen inzident (incident) gdw. a ∈ γ(e). Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 16 1. Einf ¨uhrung Grundbegriffe und Bezeichungen Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 1. Einf ¨uhrung Beispielgraph (2) 18 Grundbegriffe und Bezeichungen Schlichte Graphen b Definition 1.3. e1 e4 e8 a e2 e5 c V = {a, b, c, d} E = {e1, e2, . . . , e8} γ = {(e1, {a, b}), (e2, {a, c}), (e3, {a, d}), e6 e7 e3 d (e4, {b, c}), (e5, {b, c}), (e6, {c, d}), (e7, {c, d}), (e8, {a})} • Eine Kante e ∈ E heißt Schlinge (loop) gdw. e nur zu einem Knoten inzident ist. • Zwei Kanten e1, e2 heißen parallele Kanten (parallel edges) gdw. sie zu den selben Knoten inzident sind. • Ein Graph heißt schlicht (simple) gdw. G keine Schlingen und keine parallelen Kanten enthält. Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 17 Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 19 1. Einf ¨uhrung Grundbegriffe und Bezeichungen Beispiel 1.4. Bemerkung 1.2. Ein schlichter Graph G = (V, E) wird beschrieben durch eine Knotenmenge V und die Kantenmenge E, wobei E eine Menge zweielementiger Teilmengen von V ist, also Grundbegriffe und Bezeichungen Knotengrade c b Definition 1.4. Der Grad (degree) deg(v) eines Knotens v ∈ V ist die Zahl der zu v inzidenten Kanten. Hierbei zählen Schlingen doppelt. d Der Maximalgrad ∆(G) eines Graphen G ist definiert durch ∆(G) = max{deg(v)|v ∈ V} E ⊆ {{v, w}|v, w ∈ V, v 6= w} ☞ Wir betrachten im folgenden fast ausschließlich schlichte Graphen. 1. Einf ¨uhrung Der Minimalgrad δ(G) eines Graphen G ist definiert durch e a δ(G) = min{deg(v)|v ∈ V} = {a, b, c, d, e} V Ein Knoten v ∈ V mit deg(v) = 0 heißt isoliert. E = {{a, b}, {a, d}, {a, e}, {b, c}, Ein Knoten v ∈ V mit deg(v) = 1 heißt Blatt. {b, d}, {b, e}, {c, d}, {d, e}} Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 20 1. Einf ¨uhrung Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 Grundbegriffe und Bezeichungen 1. Einf ¨uhrung Diagramme q t q s Beispiel 1.5. G = (V, E) mit q r E = {{p, q}, {p, s}, {p, t}, {q, r}, Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 t Lemma 1.1. [Handschlaglemma] Für jeden endlichen Graphen G = (V, E, γ) gilt: X deg(v) = 2|E| v∈V Korollar 1.2. In endlichen Graphen ist die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad gerade. s = {p, q, r, s, t} {q, s}, {q, t}, {r, s}, {s, t}} r p t p V Jede Kante liefert genau zweimal einen Beitrag zu der Summe der Grade über alle Knoten. r • Der selbe Graph kann viele verschiedene Diagramme haben. Grundbegriffe und Bezeichungen Knotengrade (2) p • Graphen können durch Diagramme veranschaulicht werden. 22 Beweis. Andernfalls wäre die Summe der Grade ungerade; Wdsp. zum Handschlaglemma. 2 s 21 Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 23 1. Einf ¨uhrung Grundbegriffe und Bezeichungen 1. Einf ¨uhrung Grundbegriffe und Bezeichungen Wege und Kreise Vollständiger Graph, Komplement Definition 1.5. Sei G = (V, E) ein Graph. Gilt {v, w} ∈ E für alle v, w ∈ V, v 6= w, dann heißt G vollständig (complete). Mit Km wird der vollständige Graph mit m Knoten bezeichnet. Kanten. Bemerkung 1.3. Km hat m2 = m(m−1) 2 Definition 1.8. Es sei G = (V, E) ein Graph. Eine Folge (v0, v1, . . . , vn) von Knoten mit ei := {vi−1 , vi} ∈ E für i = 1, 2, . . . , n heißt Kantenzug (walk). Gilt v0 = vn, so spricht man von einem geschlossenen Kantenzug (closed walk). Ein Kantenzug, bei dem die ei alle verschieden sind heißt Weg (trail). Die Länge des Weges ist n. Definition 1.6. Es sei G = (V, E) ein Graph. Dann heißt der Graph Ḡ = (V, Ē) mit Ē = {{v, w}|v, w ∈ V, v 6= w} \ E Ein Weg für den v0 = vn gilt heißt Kreis (closed trail). Komplementgraph (complementary graph) von G. Ein Weg bzw. Kreis heißt einfach (path bzw. cycle) gdw. die vj paarweise verschieden sind (bzw. mit Ausnahme von v0 = vn). Beispiel 1.6. Tafel ✎. Beispiel 1.8. Tafel ✎. Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 1. Einf ¨uhrung 24 Grundbegriffe und Bezeichungen Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 1. Einf ¨uhrung Untergraph 26 Grundbegriffe und Bezeichungen Zusammenhang Definition 1.7. Sei G = (V, E) ein Graph. Ein Graph H = (W, F) mit W ⊆ V und F ⊆ E heißt Untergraph (subgraph) von G. Gilt W = V, dann heißt H aufspannender Untergraph (spanning subgraph) von G. Gilt F = {{v, w}|{v, w} ∈ E, v, w ∈ W}, Definition 1.9. Es sei G = (V, E) ein Graph. Zwei Knoten v, w ∈ V heißen verbindbar (connected) gdw. ein Weg von v nach w existiert. G heißt zusammenhängend (connected) gdw. je zwei Knoten von G verbindbar sind. Für solch einen induzierten Untergraphen schreibt man auch G(W). Eine Zusammenhangskomponente (connected component) von G ist ein durch eine Knotenmenge U ⊆ V induzierter Untergraph G(U), der zusammenhängend und bezüglich der Knotenzahl maximal ist. Beispiel 1.7. Tafel ✎. Beispiel 1.9. Tafel ✎. dann heißt H induzierter Untergraph (induced subgraph) von G. Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 25 Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 27 1. Einf ¨uhrung Grundbegriffe und Bezeichungen Zusammenhang (2) Lemma 1.3. Ein Graph G = (V, E) ist genau dann zusammenhängend, wenn für jede disjunkte Zerlegung V = V1 + V2 mit V1, V2 6= ∅ ein Kante e = {v, w} existiert mit v ∈ V1 und w ∈ V2. Beweis. Tafel ✎. 2 Satz 1.4. Jeder zusammenhängende Graph G = (V, E) mit n Knoten hat mindestens n − 1 Kanten. Beweis. Tafel ✎. 2 Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 1. Einf ¨uhrung 28 Grundbegriffe und Bezeichungen Clique Definition 1.10. Es sei G = (V, E) ein Graph. Eine Knotenmenge U ⊆ V (bzw. der von U induzierte Untergraph G(U)) heißt Clique (clique) gdw. G(U) ein vollständiger Graph ist. Die maximale Größe einer Clique in G wird mit ω(G) bezeichnet, d.h. ω(G) := max{|U| | U ist Clique in G} Beispiel 1.10. Die Knotenmenge {a, b, d, e} ist die größte Clique im Haus vom Nikolaus. Also: ω(Haus vom Nikolaus) = 4. Einf ¨uhrung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 04/05 29