und Sozialstatistik Klausur Statistische Inferenz 15.02.2013 Name

Prof. Dr. P. Kischka
Lehrstuhl für Wirtschafts- und
Sozialstatistik
WS 2012/13
Klausur
Statistische Inferenz
15.02.2013
Name:
Matrikelnummer:
Studiengang:
Aufgabe
Punkte
erzielte Punkte
1
6
2
5
3
5
4
5
5
5
6
4
7
4
8
6
Summe
40
Note:
Hinweise:
- Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten.
- Zur Lösung der Aufgaben dürfen nur die ausgeteilten Blätter verwendet werden.
- Lösungen ohne Begründung bzw. Rechenweg werden nicht als vollständige Lösung
gewertet.
- Zugelassen sind nur folgende Hilfsmittel:
- unkommentiertes Skript zur Vorlesung Statistische Inferenz
- Verteilungstabellen zu Vorlesungen des Lehrstuhls
- nicht programmierbarer Taschenrechner
Matrikelnummer:
1
Aufgabe 1
(6 Punkte)
Die diskreten Zufallsvariablen X und Y haben folgende gemeinsame Verteilung:
X=0
X =1
Y=0
1�
15
2�
15
Y =1
2�
15
10�
15
a) Prüfen Sie, ob X und Y identisch verteilt, austauschbar und/oder unabhängig sind.
b) Geben Sie den bedingten Erwartungswert von X gegeben Y = 1 an.
c) Geben Sie die bedingte Erwartung von X gegeben Y an.
Matrikelnummer:
2
Aufgabe 2
(5 Punkte)
Die Zufallsvariable X kann die Ausprägungen 1, 2 und 3 annehmen. Über die Verteilung von
X ist folgendes bekannt:
P(X = 1) = θ
P(X = 2) = 4θ
P(X = 3) = 1 − 5θ
( θ ∈ [0 , 15 ] )
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert von X in Abhängigkeit von θ.
Eine Stichprobe vom Umfang 5 führte zu den Werten {2, 2, 1, 2, 3}.
b) Stellen Sie die Likelihood-Funktion für den unbekannten Parameter θ auf.
c) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für den unbekannten Parameter θ.
Matrikelnummer:
3
Aufgabe 3
(5 Punkte)
Gegeben sind die Zufallsvariablen X, Y und Z mit den folgenden Verteilungen
X ~ N(1,4),
Y ~ Re[2, 8], Z ~ N(0,1).
Die Kovarianz zwischen X und Y beträgt 0,5. X und Z sind unabhängig.
Bestimmen Sie:
a) Var(2X+5)
b) E(3X+Y–1)
c) Var(X-2+Y)
d) corr(aX, 3X+1)
mit a > 0
e) corr(3X, 2Z+1)
Matrikelnummer:
4
Aufgabe 4
(5 Punkte)
Die Zufallsvariable X beschreibe die Körpergröße von Jugendlichen und sei normalverteilt
mit unbekanntem Erwartungswert θ und bekannter Varianz von 64 cm2. Eine Stichprobe vom
Umfang 36 ergab 173 cm als durchschnittliche Körpergröße.
a) Testen Sie die Hypothese H 0 : θ = 170 ( H1 : θ ≠ 170 ) anhand obiger Stichprobe zum
Niveau α = 0,05. Ist Ihr Ergebnis statistisch gesichert?
b) Skizzieren Sie den Verlauf der Gütefunktion G(θ) für H0: θ ≤ 170 und zeichnen Sie das
Signifikanzniveau α = 0,05, den Fehler 1. Art für θ = 160 und den Fehler 2. Art für
θ = 180 ein.
c) Gibt es einen Test zur Hypothese H0: θ ≠ 170 mit H1: θ = 170? (kurze Begründung)
Matrikelnummer:
5
Aufgabe 5
(4 Punkte)
Die „Wolkenlos“ Airline behauptet, dass weniger als 5% ihrer Flüge verspätet sind. Bei der
Überprüfung von 500 Flügen wurden 15 Verspätungen beobachtet.
a)
Geben Sie zum Signifikanzniveau α = 0,1 ein Konfidenzintervall für den Anteil der
Verspätungen an.
b)
Zu welchem Konfidenzniveau erhält man bei der hier beobachteten Stichprobe ein
Intervall der Länge 0,03?
Matrikelnummer:
6
Aufgabe 6
(4 Punkte)
Aus einer Grundgesamtheit der Größe 100 wird eine Stichprobe vom Umfang 5 gezogen. Für
jeden Merkmalsträger i werden zwei Merkmale ( w i und x i ) betrachtet:
i
xi
5
18
35
67
91
10
6
8
12
8
wi
100
53
86
130
75
Die Summe der Merkmalswerte w i aller Merkmalsträger und deren Standardabweichung sind
bekannt und betragen 9.000 bzw. 82,2.
a)
Schätzen Sie die Summe der Merkmalswerte x i in der Grundgesamtheit mittels einer
einfachen Stichprobe.
b)
Schätzen Sie die Summe der Merkmalswerte x i mittels gebundener Hochrechnung.
c)
Ist es sinnvoll, die Varianzen der Schätzer aus a) und b) als Auswahlkriterium für eines
der Verfahren zu nutzen? (keine Berechnung notwendig)
Matrikelnummer:
7
Aufgabe 7
(4 Punkte)
Ein Unternehmen hatte in den vergangenen fünf Jahren folgende Werbeaufwendungen und
Umsatzerlöse pro Jahr:
Jahr i
Werbeaufwendungen xi
in Tsd. €
45
48
69
66
93
2008
2009
2010
2011
2012
Umsatzerlöse yi
in Tsd. €
150
183
300
273
Die KQ-Gerade bezüglich der Beobachtungen von 2008 bis 2011 ist 𝑦 = −104,1 + 5,8𝑥.
4
a)
Welchen Wert hat
∑ u
i
?
i =1
b)
Geben Sie den erwarteten Umsatzerlös von 2012 an.
c)
Es gilt R2 = 0,989 und 𝑠𝑦2 = 3827,25 (Tsd. €)². Welchen Wert hat
4
∑ u
i =1
2
i
?
Matrikelnummer:
8
Aufgabe 8
(6 Punkte)
Von 3 äußerlich nicht zu unterscheidenden Urnen enthalten zwei Urnen 50 % weiße Kugeln
und eine Urne enthält 30 % weiße Kugeln. Aus einer zufällig ausgewählten Urne werden 3
Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Berechnen Sie die nicht bedingte Wahrscheinlichkeit, 1 weiße Kugel zu ziehen. Berechnen
Sie die a posteriori Wahrscheinlichkeiten für die beiden Zustände, falls 1 oder keine weiße
Kugel gezogen wurden.
Matrikelnummer:
Zusatzblatt zu Aufgabe …
9
Matrikelnummer:
Zusatzblatt zu Aufgabe …
10