UNIVERSITÄT KONSTANZ Allgemeine Relativitätstheorie

UNIVERSITÄT KONSTANZ
Fachbereich Physik
Prof. Dr. R. Haussmann
Allgemeine Relativitätstheorie
WS 2016/17
Übungen, Blatt 4
Abgabe: Di 22. 11. 2016
Besprechung: Fr 25. 11. 2016
Aufgabe 8: Metrik in Kugelkoordinaten [schriftlich, 8 Punkte]
Es seien (rµ ) = (ct, x, y, z) die kartesischen Koordinaten der Raumzeit. Der metrische Tensor
ist hier gegeben durch g00 = 1 und g11 = g22 = g33 = −1, wobei alle Nichtdiagonalelemente
null sind. Als neue krummlinige Koordinaten werden die Kugelkoordinaten (r0µ ) = (ct, r, θ, ϕ)
betrachtet, welche definiert werden durch
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cos θ
(a) Berechnen Sie die inverse Transformationsmatrix mit der Formel (Λ−1 )µν = ∂rµ /∂r0ν .
0
(b) Berechnen Sie den metrischen Tensor gµν
(r0 ) in Kugelkoordinaten über die Transformationsformel für einen kovarianten Tensor
0
gµν
(r0 ) = gκλ (Λ−1 )κµ (Λ−1 )λν .
(c) Betrachten Sie die Metrik ds2 = gµν drµ drν = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 . Setzen Sie hier die
Differentiale
∂rµ
drµ = (Λ−1 )µν dr0ν = 0ν dr0ν
∂r
ein und transformieren Sie die Metrik auf Kugelkoordinaten. Vergleichen Sie mit der
0
(r0 ) dr0µ dr0ν und entnehmen Sie daraus den metrischen Tensor in KugelFormel ds2 = gµν
0
koordinaten gµν (r0 ). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis von (b).
(d) Für die Newtonsche Gravitation in nichtrelativistischer Näherung wird in kartesischen
Koordinaten eine Komponente des metrischen Tensors ersetzt durch g00 = 1 + (2/c2 )φ,
alle anderen Komponenten bleiben unverändert. Hierbei ist φ = φ(r) das Newtonsche
Gravitationspotential der Massen im Raum. Wie lautet der zugehörige metrische Tensor
0
in Kugelkoordinaten gµν
(r0 )?
(e) Ein kugelförmiger Planet mit Masse M befindet sich im Koordinatenursprung. Außerhalb seiner Oberfläche ist das Newtonsche Gravitationspotential gegeben durch φ(r) =
−GM/r. Wie lautet die Metrik ds2 = · · · im Außenbereich in Kugelkoordinaten?
(f) Bestimmen Sie im Außenbereich des Planeten den Radius rs , für den g00 = 1 + (2/c2 )φ
null wird. Was ergibt sich für rs , wenn ME = 5.9722 × 1024 kg die Masse der Erde und
wenn M = 1.9891 × 1030 kg die Masse der Sonne ist?
Aufgabe 9: Bewegung eines Teilchens im Gravitationsfeld [mündlich]
Betrachtet wird ein Teilchen mit Ruhemasse m und Ladung e, das sich in einem Gravitationsfeld
und einem elektromagnetischen Feld bewegt. Die Bewegung wird beschrieben durch die ViererGeschwindigkeit uµ , für welche die Bewegungsgleichung gilt:
e
duµ
= −Γµκλ uκ uλ +
F µλ uλ .
ds
mc2
Hierbei sind Γµκλ = Γµλκ die Feldstärken des Gravitationsfeldes und F µν = −F νµ die Feldstärken
des elektromagnetischen Feldes. Es wird angenommen, dass der metrische Tensor gµν = gµν (r)
eine beliebige Funktion der Koordinaten r = (rµ ) = (r0 , r1 , r2 , r3 ) der vierdimensionalen Raumzeit ist. Das Quadrat der Vierer-Geschwindigkeit wird definiert durch
u2 = gµν (r) uµ uν .
(a) Für ein Teilchen, das sich auf der Bahn rµ = rµ (s) bewegt, wird die Vierer-Geschwindigkeit definiert durch uµ = drµ /ds. Die Metrik ist gegeben durch ds2 = gµν (r) drµ drν .
Zeigen Sie, dass unter diesen Voraussetzungen das Quadrat der Vierer-Geschwindigkeit
eins ist, u2 = 1.
(b) Die Vierer-Geschwindigkeit uµ = uµ (r) sei nun ein Feld in der vierdimensionalen Raumzeit. Zeigen Sie, dass für die Bahn eines Teilchens entlang der Feldlinien gilt: duµ /ds =
uλ ∂λ uµ . Zeigen Sie weiterhin, dass aus der obigen Bewegungsgleichung die allgemeinere
Gleichung
e
∂λ uµ = −Γµκλ uκ +
Fµ
mc2 λ
für das Vierer-Geschwindigkeitsfeld uµ = uµ (r) folgt.
(c) Berechnen Sie mit der Bewegungsgleichung von (b) die partielle Ableitung ∂λ (u2 ). Multiplizieren Sie das Ergebnis mit uλ und berechnen Sie weiterhin d(u2 )/ds. Untersuchen Sie,
welche dieser Ableitungen nicht von den Feldstärken des elektromagnetischen Feldes F µν
abhängt.
(d) Wegen (a) gilt ∂λ (u2 ) = 0. Leiten Sie daraus eine Gleichung für die Größen mit Indizes
unten Γµ,κλ = gµν Γνκλ her. Lösen Sie diese Gleichung explizit nach Γµ,κλ auf und berechnen
Sie die Feldstärken des Gravitationsfeldes Γµκλ = g µν Γν,κλ . Zeigen Sie, dass diese von den
partiellen Ableitungen des metrischen Tensors ∂λ gµν abhängen.