September 2017

September 2017
C
Aufgabe 1: Viereck im Dreieck
Im Dreieck ABC sind M, N und P
die Mittelpunkte der Seiten, die
zugehörigen
Mittelsenkrechten
sind die Geraden m, n und p; U ist
der Umkreismittelpunkt.
m
48
mm
40 m
m

P
N
30 m
m
mm
14
mm

B|
 80
U
|AC|
50
mm
mm
|AB|  80 mm
p
96
|U
B|


A
n
|C
a) Berechne unter Verwendung der
in der Abbildung angegebenen
Abmessungen
den
Flächeninhalt AABC des Dreiecks ABC,
den Flächeninhalt APUNC des
Vierecks PUNC sowie den exakten
A
Wert des Quotienten q  PUNC .
AABC

M
b) Konstruiere die geometrische Situation für beliebige Abmessungen mit einem
dynamischen Geometriesystem (DGS) wie GeoGebra.
Untersuche nicht stumpfwinklige, also spitzwinklige oder rechtwinklige
Dreiecke ABC und verändere dazu ihre Abmessungen.
Begründe: Das Viereck PUNC liegt niemals außerhalb des Dreiecks ABC.
Untersuche, unter welchen Bedingungen das Viereck zu einem Dreieck wird.
Untersuche die Eigenschaften des Vierecks PUNC.
Untersuche, welche Werte der Quotient q annehmen kann.
c) Beweise deine Aussage über Maximalwerte und Minimalwerte von q.
B
MA-THEMA September 2017
2
Aufgabe 2: Rechenzeichen gesucht (3)
7
6
5
4
3
=
25
Setze in die Lücken passende Rechenzeichen ein, so dass die Rechnung stimmt.
Es können die Grundrechenarten +, –,  und  verwendet werden. Klammern
sind nicht vorgesehen. Wie üblich gelten die Regeln „Es wird von links nach
rechts gerechnet“ mit der Ausnahme „Punktrechnung geht vor Strichrechnung“.
a) Das oben abgebildete Rätsel hat vier Lösungen. Gib sie alle an.
b) Ändert man das Ergebnis, so gibt es nur noch zwei Lösungen. Gib beide an.
7
6
5
4
3
=
19
c) Beginnt man die absteigende Folge der fünf benachbarten natürlichen Zahlen bei
der 8, so haben auch diese Rätsel vier bzw. zwei Lösungen. Gib sie alle an.
8
7
6
5
4
=
30
8
7
6
5
4
=
22
d) Für das Rätsel werden fünf benachbarte natürliche Zahlen in absteigender Folge
verwendet. Zeige: Verwendet man die gleichen Anordnungen von Rechenzeichen wie in c), ergibt das jeweils vier Terme mit übereinstimmendem Wert
bzw. zwei Terme mit übereinstimmendem Wert. Untersuche, wie diese Werte
mit den fünf Zahlen zusammenhängen. Untersuche, unter welcher Bedingung
für diese Werte weitere Anordnungen von Rechenzeichen Lösungen ergeben.
Aufgabe 3: Pentomino-Rätsel von Joost und Finnley
Das T-Pentomino wird auf eine
1
2
3
Hundertertafel gelegt. Hierbei
11 12 13
darf es gedreht werden. Die
21 22 23
Summe
der
abgedeckten
Zahlen ist eine zweistellige
31 32 33
Paschzahl (11, 22, ... , 99).
41 42 43
4
5
6
7
8
9
10
14 15 16 17 18 19 20
24 25 26 27 28 29 30
34 35 36 37 38 39 40
44 45 46 47 48 49 50
a) Wo liegt das Pentomino?
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
b) Das Rätsel hat mehrere Lösungen.
Formuliere eine Zusatzbedingung, mit der
die Lösung eindeutig wird.
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
Im Westensee-Trainingscamp 2017 für die 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Mathematik-Olympiade haben wir mit
Pentominos auf dem Hunderterfeld gearbeitet. Dabei haben die Schülerinnen und
Schüler Rätsel entwickelt. Dieses Rätsel haben sich Joost und Finnley ausgedacht.
MA-THEMA September 2017
3
Aufgabe 4: Triomino (2)
Triomino (© Goliath BV) ist eine Erweiterung des Domino-Spiels. Die Spielsteine
sind gleichseitige Dreiecke, die in den Ecken die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 oder 5
tragen. Dabei kann eine Ziffer doppelt oder dreifach auftreten. Die Ziffern sind
stets im Uhrzeigersinn angeordnet. Es gibt 56 Triomino-Steine:
000 001 002 003 004 005 011 012 013 014 015 022 023 024 025 033 034 035 044 045 055
111 112 113 114 115 122 123 124 125 133 134 135 144 145 155
222 223 224 225 233 234 235 244 245 255
333 334 335 344 345 355
444 445 455
555
Anlegeregel: Ein Spielstein darf an den anderen angelegt werden, wenn an einer
Seite je zwei gleiche Ziffern aufeinandertreffen.
3
1
1
4
2
3
1
3
3
3
2
4
a) Der Stein 1 2 3 liegt auf dem Tisch. Gib Beispiele für Steine an, die man gemäß
der Spielregel an den Stein 1 2 3 anlegen darf. Weise nach, dass jeweils passend
angelegt werden kann.
b) Der Stein 1 2 3 liegt auf dem Tisch. Alle anderen 55 Steine befinden sich in
einem schwarzen Stoffbeutel.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, aus dem Beutel zufällig einen Stein zu
ziehen, der passend angelegt werden kann.
c) Wähle andere Spielsteine. Untersuche jeweils, wie viele der restlichen 55 Spielsteine passend angelegt werden können. Formuliere eine Regel.
d) Alle 56 Spielsteine befinden sich in dem schwarzen Stoffbeutel. Bestimme die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei zufällig entnommene Spielsteine passend
aneinandergelegt werden können.