Vorlesungsskript Elektrodynamik B. Esser

Vorlesungsskript Elektrodynamik
B. Esser
12. Juni 2008
1
III ZEITABHÄNGIGE ELEKTROMAGNETISCHE ERSCHEINUNGEN - ELEKTRODYNAMIK
1
Die Maxwell-Gleichungen (1865)
Im Folgenden sind alle Größen Funktionen des Ortes !r und der Zeit t, also
! = A(!
! r, t) mit A
! als beliebigem Feldvektor, der z.B. D,
! E,
! H
! oder B
!
A
sein kann. Die Maxwell-Gleichungen beruhen auf folgenden experimentell
gesicherten Zusammenhängen:
A. Das Faradaysche Induktionsgesetz (1831)
Die integrale Form des Faradayschen Induktionsgesetzes beschreibt
den Zusammenhang zwischen einem Wirbel des elektrischen Feldes und der
Änderung des magnetischen Feldflusses
!
! · d!l = − d
E
dt
L
"
S
! · df! ,
B
L ist hier die geschlossene Schleife, die eine beliebige auf der Schleife liegende
!
Fläche S begrenzt. Die linke Seite der Gleichung stellt die Wirbel des EFeldes dar, die auch im Vakuum vorhanden sind. Wenn sich der Fluß des
!
!
B-Feldes
durch die Fläche S ändert, so kann das E-Feld
einen Strom treiben,
wenn die Schleife L durch einen Leiter ersetzt wird. Mittels des Stokesschen
Satzes
!
"
"
!
!
!
!
!
! + ∂ B ) ·df! = 0
E · dl = rotE · dl =⇒
(rotE
L
S
S#
$% ∂t &
=0
erhalten wir die differentielle Form des Faradayschen Induktionsgesetzes
! = −B
!˙ .
rotE
B. Maxwellscher Verschiebungsstrom
Zur physikalischen Veranschaulichung des Maxwellschen Verschiebungsstromes betrachten wir den Aufladeprozeß eines Kondensators: Während des
Aufladens wird ein regelbarer Widerstand R so eingestellt, daß der Strom
näherungsweise stationär ist. Dann können wir die Ergebnisse des Magnetfeldes stationärer Ströme anwenden, die besagen, daß um den Leiter ein Magnetfeld entsprechend der Gleichung
!
L
! · d!l = I =
H
1
"
S
!j · df!
entsteht. Fixieren wir L um den Leiter und fordern, daß S allgemein eine
beliebige Fläche ist, die auf L ruht. Wir deformieren nun diese Fläche S
so, daß sie bis' in den Kondensator hinein reicht. Dann wird im Innern des
Kondensator !j · df! = 0, da im Kondensator kein Strom freier Ladungen
fließt und dort folglich !j = 0 ist. Wollen wir die Gleichung aufrechterhalten,
so müssen wir sie auf der rechten Seite um den Verschiebungsstrom ergänzen,
der innerhalb des Kondensators von Null verschieden ist
!
L
! · d!l =
H
"
"
!j · df! + d
dt
S
#
S
! · df!
D
$%
&
F eld im Kondensator
Man kann sich die rechte Seite der obigen Gleichung auch veranschaulichen,
indem man ein homogenes, senkrecht zu den Kondensatorplatten verlaufen!
des D-Feld
annimmt. Wegen der Beziehung zwischen der Oberflächenladung
!
auf den Kondensatorplatten σ und dem D-Feld,
Dn = σ folgt dann, daß der
Strom I = σ̇ · F , wo F die Fläche der Kondensatorplatten ist, genau gleich
!˙ ist. Die Größe ∂ D
!
Ḋn · F und damit dem obigen Flächenintegral über D
∂t
bezeichnen wir nach Maxwell als Verschiebungsstrom.
Die Einführung des Maxwellschen Verschiebungsstromes im allgemeinen Fall
zeitabhängiger elektromagnetischer Felder kann auch aus der Kontinuitätsgleichung, die den grundlegenden Satz der Ladungserhaltung beschreibt, geschlussfolgert werden. Aus der Magnetostatik ist der Fall stationärer Ströme
! = !j = !jext , mit !j als Stromdichte der freien Ladungen. Im stabekannt, rotH
! = div!j = 0. Im allgemeinen zeitabhängigen Fall
tionären Fall gilt div rotH
gilt die Kontinuitätsgleichung, div!j + ∂"
= 0, wo $ = $ext die Ladungsdichte
∂t
der freien Ladungen ist. Die fehlende Ergänzung vom stationären zum allge! ist nun genau der Maxwellsche Vermeinen Fall in der Gleichung für rotH
! = !j+!x,
schiebungsstrom. Zu dessen Bestimmung setzen wir zunächst in rotH
mit !x als unbekanntem Vektor. Wir fordern nun die Gültigkeit der vollständigen Kontinuitätsgleichung:
! = 0 = div!j + div!x = div!j +
div rotH
∂$
∂$
=⇒ div !x =
∂t
∂t
! = $ auch für zeitabhängiWeiter fordern wir, daß die Quellbedingung div D
!
ges D gilt:
div!x =
∂
! = div ∂ D
! =⇒ !x = ∂ D
!
div
D
#
$%
&
∂t "
∂t
∂t
2
Unter Einbeziehung des Verschiebungsstromes ergibt sich die differentielle
Form (des Maxwellschen Verschiebungsstromes)
! = !j +
rotH
!
∂D
∂t
! = ∂ D# gilt, d.h. der VerschieZu beachten ist, daß mit !j = 0 im Vakuum rotH
∂t
bungsstrom ist auch im Vakuum von Null verschieden. Durch Integration und
Anwendung des Stokeschen Satzes auf der linken Seite folgt die
Integrale Form
!
L
! · d!l =
H
(
i
d
Ii +
·
dt
"
S
! · df!
D
Zusammenfassung: Vollständiges System der Maxwell-Gleichungen
MKSA
CGS
Homogene Gleichungen:
! =0
div B
!
! + ∂B = 0
rotE
∂t
! =0
div B
!
! + 1 · ∂B = 0
rotE
c ∂t
Inhomogene Gleichungen:
! =$
div D
! −
rotH
! = 4π · $
div D
!
∂D
= !j
∂t
! −
rotH
!
1 ∂D
4π !
=
·j
c ∂t
c
Lineare Materialgleichungen
! = µ · µ0 · H
!
B
! = & · &0 · E
!
D
Die Grenzfälle für
∂
...
∂t
! =µ·H
!
B
! =&·E
!
D
= 0 führen in die Elektro- bzw. Magnetostatik.
3
2
Die Potentiale des zeitabhängigen elektromagnetischen Feldes - Die inhomogene Wellengleichung
Wir lösen zunächst die beiden homogenen Maxwellschen Gleichungen durch
! = 0 ist, kann diese Gleichung
geeignete Ansätze für die Potentiale. Da div B
mit
! = rotA
!
B
! das Vektorpotential A(!
! r , t) und nun im Gegensatz zur Magnetostatik
wo A
auch zeitabhängig ist, gesetzt werden. Aus der anderen homogenen Gleichung
! + ∂ B# = 0 folgt dann rotE
! + ∂ rotA
! = 0 und rot(E
! + ∂ A# ) = 0. Somit ist
rotE
∂t
∂t
∂t
! + ∂ A# = −gradϕ mit dem skalaren Potential ϕ = ϕ(!r, t) oder:
E
∂t
!
! = −gradϕ − ∂ A
E
∂t
! sind damit nicht eindeutig bestimmt und können
Die Potentiale ϕ und A
! und B
! unmittels einer Eichtransformation verändert werden, wobei E
verändert bleiben. Dieser Umstand kann benutzt werden, um möglichst einfache Gleichungen für die Potentiale aus den Maxwellschen Gleichungen abzuleiten. Die Eichtransformation wird in zwei Schritten, E1 und E2, durchgeführt:
˜!
! + gradχ
E1 : A
=A
Hierbei ist χ(!r, t) ein beliebiges skalares Feld. Wegen rot gradχ = 0 bleibt
˜!
! Damit die elektrische Feldstärke
das Magnetfeld dabei unverändert, B
= B.
˜!
! muß
ebenfalls unverändert bleibt, E
= E,
˜!
!
∂A
∂A
−gradϕ̃ −
= −gradϕ ·
∂t
∂t
gelten. Einsetzen von E1 zeigt, daß dazu ϕ ebenfalls transformiert werden
muß:
∂χ
E2 : ϕ̃ = ϕ −
∂t
Mit E1 und E2 gleichzeitig ausgeführt bleiben die Felder invariant.
! = µ0 ·H,
!
Wir betrachten nun die inhomogenen Gleichungen im Vakuumfall, B
"
! = &0 · E.
! Die Quellbedingung div D
! = $ bzw. div E
! = , liefert nach
D
$0
! durch die Potentiale
Eliminierung von E
div(−gradϕ −
!
!
∂A
$
∂A
$
)=
=⇒ − ∆ϕ − div
= .
∂t
&0
∂t
&0
4
#
! − ∂ D = !j folgt für das Vakuum:
Mit der letzten Maxwellschen Gleichung rotH
∂t
!
!
1
! − &0 · ∂ E = !j =⇒ rotB
! − µ0 · &0 · ∂ E = µ0 · !j
· rotB
µ0
∂t
∂t
#
∂
∂A
!
!
Nach Einsetzen der Potentiale wird rot rotA−µ
0 ·&0 · ∂t (−gradϕ− ∂t ) = µ0 · j
! = grad div A
! − ∆A,
! woraus folgt:
Hier ist rot rotA
2
! − ∆A
! + µ0 · &0 · ∂ gradϕ + µ0 · &0 · ∂ A
! = µ0 · !j
grad div A
∂t
∂t2
Zur Vereinfachung führen wir den d’Alembertschen Wellenoperator ein:
!=∆−
1 ∂
·
,
c2 ∂t2
womit folgt:
! − grad(div A
! + 1 · ∂ϕ ) = −µ0 · !j
!A
c2 ∂t
Nun wird die Lorentz-Eichung
!+
div A
1 ∂ϕ
·
=0
c2 ∂t
gefordert, die durch eine Eichtransformation immer realisiert werden kann.
Dann vereinfachen sich die Gleichungen für das skalare Potential ϕ und das
! zu den inhomogenen Wellengleichungen
Vektorpotential A
Inhomogene Wellengleichungen
!ϕ = −
$
&0
! = −µ0 · !j
!A
Für zeitunabhängige Felder erhalten wir daraus wieder die Poissongleichungen der Elektro- und Magnetostatik.
Die Maxwellschen Gleichungen und die auf ihrer Basis oben eingeführten Potentiale sind invariant bezüglich der Lorentz-Transformation, d. h. ändern ihre Form nicht bei Übergängen zwischen Inertialsystemen mittels dieser Transformation. Um diese Invarianz besonders deutlich zu machen, führt man die
kovariante Form dieser Gleichungen, oder die Viererschreibweise ein. Wie
wir schon aus der relativistischen Mechanik wissen, besteht diese Schreibweise formal gesehen darin, zeit- und raumartige Komponenten analog zum
Ortsvektor des relativistischen Raum-Zeit Kontinuums
{xα } = (ct, !r) ,
5
α = 0, 1, 2, 3, zu einem Vierervektor zu vereinigen. Die kovariante Schreibweise der Gleichungen für die Potentiale erhält man, indem man das mit dem
Faktor 1/c erweiterte skalare Potential ϕ als zeitartige Komponente und das
! als raumartige Komponenten zum Vierer-Potential
Vektorpotential A
ϕ !
{Aα } = ( , A)
c
vereinigt, wobei das Symbol {Aα } die vier Komponenten des Potentials
zusammenfaßt. Auf die Möglichkeit der Vereinigung weist schon die gleiche Form der beiden inhomogenen Wellengleichungen für das skalare und
das Vektorpotential hin. Um diese Vereinigung vorzunehmen, müssen wir
natürlich die rechten Seiten der inhomogenen Wellengleichungen ebenfalls zu
einer Größe zusammenfassen. Diese Größe ist die Vierer-Stromdichte
{j α } = (cρ, !j) .
Die Vierer-Stromdichte ist genau wie das Vierer-Potential ein echter Vierervektor, d. h. er transformiert sich entsprechend der Lorentz-Transformation.
Eine einfache Rechnung mit der Lorentz-Transformation zeigt, daß die ViererStromdichte die Veränderung der Dichte infolge der relativistischen Längenkontraktion enthält.
Die inhomogenen Wellengleichungen lassen sich nun leicht zusammengefaßt
in der Form
Inhomogene Wellengleichung für das
Vierer-Potential
!Aα = −µ0 · j α
darstellen, wobei die Lorentz-Eichung die kompakte Form des Verschwindens
einer Vierer-Divergenz annimmt
3
(
∂Aα
= 0.
α
α=0 ∂x
6
Lösungen der inhomogenen Wellengleichung:
Retardierte Potentiale
Aus den inhomogenen Wellengleichungen können die retardierten Potentiale abgeleitet werden. Das Ergebnis soll im Folgenden nicht mathematisch
hergeleitet, sondern physikalisch motiviert werden. Dazu realisieren wir zwei
Forderungen :
1. Die Grenzfälle der Elektro- und Magnetostatik sind enthalten.
2. Elektromagnetische Felder breiten sich mit endlicher Geschwindigkeit, welche im Vakuum die Lichtgeschwindigkeit c ist, aus.
Aus 2. folgt die Existenz einer Retardierungszeit, d.h. eine zeitliche Verzögerung der Ankunft des Signals durch endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit
von der Quelle aus: Bei der Quelle des Feldes mit dem Ortsvektor !r ! wird
zur Zeit t! durch $ oder !j ein Feld erzeugt, welches den Punkt !r zur Zeit t
r !|
erreicht. Es ist also t! = t − tR mit der Retardierungszeit tR = |#r−#
. Mit der
c
Bedingung 1. lauten die retardierten Potentiale dann folglich:
1
ϕ(!r , t) =
·
4π&0
! r , t) = µ0 ·
A(!
4π
"
V
"
V
!
r |
$(!r ! , t − |#r−#
)
c
dV ·
!
|!r − !r |
!
!j(!r ! , t − |#r−#r ! | )
c
dV ·
|!r − !r ! |
!
Den Übergang zu den Gleichungen der Elektro- und Magnetostatik erreicht
man formal, indem man c −→ ∞ gehen läßt. Das Signal erreicht dann das
Ziel zur gleichen Zeit, zu der es die Quelle verläßt.
3
Elektromagnetische Wellen
Die Maxwellschen Gleichungen wurden durch die von Hertz ( 1888 ) durchgeführten Versuche bestätigt, die zeigten, daß es physikalisch realisierte Lösungen der Wellengleichung im Vakuum in Form sich ausbreitender elektromagnetischer Wellen gibt. Im folgenden werden zunächst die Grundbegriffe zur
Beschreibung von Wellen eingeführt. Eine einfache Welle kann durch y =
y0 · cosϕ dargestellt werden, wobei y eine physikalische Größe ist und y0 die
Amplitude der Welle dieser Größe. Die Phase ϕ ist ϕ = ϕ(x, t) = 2π·( λx − Tt )
mit λ als Wellenlänge und T als Periode. Die Größe y ändert sich nicht,
wenn x durch x + n · λ oder t durch t + m · T ersetzt wird. Dann wird ϕ für
x zu ϕ + 2π · n und für t zu ϕ − 2π · m und der Wert für cosϕ und damit
7
y bleibt gleich. Zum Ermitteln der Phasengeschwindigkeit betrachten wir
die Orte mit
x
t
ϕ = const = 2π · ( − )
λ T
und differenzieren diese Gleichung nach der Zeit, indem wir die Orte x(t)
finden, für die y(t) gleiche Werte ( gleiche Phase ϕ = const ) hat
ẋ
1
0 = 2π · ( − ) .
λ T
Damit erhalten wir die Phasengeschwindigkeit
ẋ =
λ
.
T
Im Vakuum ist die Phasengeschwindigkeit ẋ = c, andernfalls bezeichnet wir
sie mit u. Mit Einführung der Wellenzahl k = 2π
und der Kreisfrequenz
λ
2π
ω = T erhalten wir
ϕ(x, t) = k · x − ω · t
Zur Verallgemeinerung der Beschreibung der Ausbreitung von Wellen im
dreidimensionalen Raum führen wir den Wellenvektor !k ein, es ist !k =
(kx , ky , kz ) und !r = (x, y, z). Die Phase wird nun
ϕ(!r , t) = !k · !r − ω · t ,
hier ist !k · !r = kx · x + ky · y + kz · z. Für ky = kz = 0 erhalten wir den
oben betrachteten Fall der Ausbreitung in x-Richtung. Der Vektor !k zeigt
in Ausbreitungsrichtung, in der geometrischen Optik bestimmt er die Richtung des Lichtstrahles, zudem ist |!k| = 2π
. Bei einer ebenen Welle lieλ
gen alle Punkte gleicher Phase auf einer Ebene: Für fixiertes t folgt mit
ϕ(!r , t) = const, !k · !r = const, welches mit k = (A, B, C) auf die Ebenengleichung Ax + By + Cz = const führt, z = z(x, y) linear in x, y. Auf einer
Kugeloberfläche wird !r · !k = k · R, wir erhalten eine Kugelwelle, die in
großer Entfernung als ebene Welle approximiert werden kann. Aus dem obigen folgt, daß Oberflächen gleicher Phase im Prinzip beliebiger Form sein
können, wenn man die entsprechende Form für die Funktion ϕ(!r , t) wählt.
Eine Gruppe von Wellen kann zu einem Wellenpaket superpositioniert werden. Dann entsteht die Frage nach der Geschwindigkeit der Bewegung des
Zentrums des Wellenpakets. Diese Geschwindigkeit wird als Gruppengeschwindigkeit bezeichnet, wir wollen diese mit uG bezeichnen. Man kann
zeigen, daß uG = dω
mit ω = ω(k). Den Zusammenhang zwischen ω und k
dk
bezeichnet man als Dispersionsgesetz, er folgt aus den Gleichungen, die
8
die Wellenausbreitung bestimmen. Im Falle elektromagnetischer Wellen sind
dies die Maxwell Gleichungen.
Zum Rechnen mit Wellen ist deren komplexe Darstellung vorteilhaft. Dazu bilden wir die komplexe Größe z = y1 + i · y2 , wo y1 = y0 · cosϕ und
y2 = y0 · sinϕ sind, dann ist z = y0 · ei·ϕ und die reellen Größen y1 und y2
können wieder durch %ez und &mz gefunden werden. Die komplexe Darstellung benutzt das Differenzieren im Komplexen, dabei wird die Beziehung
zwischen den trigonometrischen Funktionen
d
y1 = −k · y0 · sin(k · x − ω · t)
dx
durch die zwischen Exponentialfunktionen
y1 = y0 · cos(k · x − ω · t) =⇒
d
d
z=
· y0 · ei·(k·x−ω·t) = i · k · y0 · ei·(k·x−ω·t)
dx
dx
ersetzt. Der Übergang zurück zu den reellen Größen kann dabei jederzeit
vollzogen werden
%e(i · k · y0 · ei·(k·x−ω·t) ) = −k · y0 · sin(k · x − ω · t)
und wir erhalten wieder die Ableitung des reellen Falles. Der komplexe Zugang vereinfacht die Lösung linearer Differentialgleichungen, zu denen die
Maxwell Gleichungen gehören, da sich die Exponenten mit den oszillierenden
Phasen aus den Gleichungen herausheben. Dazu betrachten wir den folgen! 1 und A
! 2:
den Zusammenhang zwischen den Feldern A
L1 (∇,
∂
! 1 = L2 (∇, ∂ ) · A
!2
)·A
∂t
∂t
!1
wobei L1 und L2 lineare Differentialoperatoren sind. Die reellen Größen A
!
und A2 sollen nun komplex dargestellt werden
!1 = A
! 1.0 · ei·(#k·#r−ω·t) ,
A
und
!2 = A
! 2.0 · ei·(#k·#r−ω·t) ,
A
wobei nach Einsetzen und Ausführen der Ableitungen die Differentialoperatoren L1 und L2 Funktionen der Variabeln !k und ω werden
! 1.0 · ei·(#k·#r−ω·t) = L2 (i · !k, −i · ω)A
! 2.0 · ei·(#k·#r−ω·t)
L1 (i · !k, −i · ω)A
9
Hier heben sich die Exponentialfunktionen in der linken und rechten Seite der
Gleichung heraus und wir erhalten Beziehungen zwischen den Amplituden
! 1.0 und A
! 2.0
A
! 1.0 = L2 (i · !k, −iω)A
! 2.0
L1 (i · !k, −i · ω)A
wo L1 und L2 nun lediglich Funktionen von !k und ω sind, der orts- und
zeitabhängige Faktor hat sich weggekürzt. Wir halten noch fest, daß die
! 1.0 bzw. A
! 2.0 nicht reell sein müssen, sondern deren
vektoriellen Amplituden A
einzelne Komponenten unterschiedliche Phasen enthalten können. Setzt man
! 1.0
z.B. in der x-Komponente von A
A1.0.x = |A1.0.x | · ei·χ ,
so wird
#
A1.x = |A1.0.x |ei·(k·#r−ω·t+χ) .
Durch unterschiedliche Wahl der Phasen in den einzelnen Komponenten der
! kann man so z.B. die Polarisationseigenschaften
vektoriellen Amplituden A
der Wellen beschreiben.
! r, t) kann im folgenden eines der Felder B(!
! r, t), D(!
! r , t), E(!
! r, t)
Das Feld A(!
! r , t) darstellen. Für die Maxwellgleichungen benötigen wir die Opeoder H(!
rationen div und rot, sowie die Zeitableitung. Diese sind Spezialfälle der eben
betrachteten Operatoren L1 und L2 . Betrachten wir zunächst die Operation
div
! = ∂ Ax + ∂ Ay + ∂ Az
div A
∂x
∂y
∂z
=
∂
∂
∂
#
#
#
A0x · ei·(k·#r−ω·t) +
A0y · ei·(k·#r−ω·t) + A0z · ei·(k·#r−ω·t)
∂x
∂y
∂z
#
! · ei·(#k·#r−ω·t)
= (A0x · kx + A0y · ky + A0z · kz ) · i · ei·(k·#r−ω·t) = i · (!k · A)
! Feld ist
Wenden wir dieses Ergebnis auf die Maxwellgleichungen an: Das B
! = 0, folglich ist !k · B
! 0 = 0. Falls keine externen Ladunquellenfrei, div B
gen vorhanden sind, wie im Falle der Ausbreitung von Wellen im Vakuum
! = 0 und damit !k · E
! 0 = 0, elektrische und magnetische
so ist auch div E
Feldvektoren stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Aus der
Quellenfreiheit folgt damit die Transversalität der Welle. Betrachten wir nun
die Maxwellsche Gleichung
! = −B
!˙
rotE
und machen den Ansatz
! =B
! 0 · ei·(#k·#r−ω·t)
B
! =E
! 0 · ei·(#k·#r−ω·t)
E
10
womit wir die Gleichungen auf die oben betrachtete komplexe Form bringen.
Für die linke Seite folgt
! = i · [!k × E
! 0 ] · ei·(#k·#r−ω·t)
rotE
und für die rechte Seite gilt
!˙ = B
! 0 · ∂ · ei·(#k·#r−ω·t) = −i · ω · B
! 0 · ei·(#k·#r−ω·t)
B
∂t
Wir erhalten
#
! 0 ] = i · ω · ei·(#k·#r−ω·t) · B
!0 .
i · ei·(k·#r−ω·t) · [!k × E
! 0] = ω · B
!0
[!k × E
! 0 und B
! 0:
Es besteht also folgende Beziehung zwischen E
! 0 = 1 · [!k × E
! 0]
B
ω
Aus der oben gezeigten Transversalität folgt nun mit dem Kreuzprodukt,
! 0 und E
! 0 ein Rechtsystem bilden. Für die Beträge der Vektoren gilt
daß !k, B
somit
k
B0 = · E0
ω
Im Vakuum gilt für die letzte Maxwellsche Gleichung
! = &0 · µ0 · E
!˙ ,
rotB
( der Maxwellsche Verschiebungsstrom ist auch im Vakuum von Null verschieden !). Benutzen wir hier die Beziehung für die Lichtgeschwindigkeit c
im Vakuum
1
= µ0 · &0 ,
c2
so erhalten wir
! = 1 ·E
!˙ .
rotB
c2
Zum Aufstellen einer Wellengleichung vereinigen wir diese Gleichung mit
! = −B
!˙ und erhalten
rotE
! =
rot rotB
1
¨!
!˙ = − 1 · B
· rotE
.
2
c
c2
Völlig analog folgt
¨!
! = −rotB
!˙ = − 1 · E
rot rotE
.
c2
11
Offenbar sind beide Gleichungen äquivalent. Die folgenden Betrachtungen
! und B
! gemacht werden. Mit
können somit in gleicher Weise für E
! = grad div B
!
!
rot rotB
# $% & −∆B ,
=0
!
folgt die homogene Wellengleichung für das Feld B
!−
∆B
1 ¨!
! = 0.
· B = !B
c2
!
Analog gilt für E
1 ¨!
! = 0.
· E = !E
c2
Die Wellengleichungen sind kovariant, d. h. ändern ihre Form bei LorentzTransformationen nicht.
Mit dem komplexen Ansatz für die Felder folgen die Beziehungen
!−
∆E
¨!
!
E
= −ω 2 · E
! = −!k 2 · E
!
∆E
ω2 !
ω
2 !
!
−k · E + 2 · E = 0 =⇒ k =
c
c
Damit haben wir das Dispersionsgesetz für die elektromagnetische Welle ω =
ω(k) = k · c gefunden. Es beschreibt die Abhängigkeit der Frequenz vom
Wellenvektor.
Bemerkung: In der Quantenmechanik werden nach dem Welle-TeilchenDualismus die elektromagnetischen Felder durch
der Ruhemasse
√ Photonen
2
4
2
m = 0 erzeugt. Die relativistische Energie E = m · c + p · c2 des Photons
ist dann E = p·c. Mit den Gleichungen des Welle-Teilchen Dualismus p = h̄·k
und E = h̄·ω folgt dasselbe Dispersionsgesetz aus Quantenmechanik: ω = k·c.
4
Elektromagnetische Wellen in Medien
Die Art der Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen in Medien wird in
entscheidender Weise von den Eigenschaften der Medien bestimmt, die in der
Elektrodynamik durch die Materialgleichungen festgelegt werden. Gehen wir
von der Maxwell-Gleichung
! = !j +
rotH
12
!
∂D
∂t
aus und nehmen ein Dielektrikum ohne äußere Ladungen und Ströme, d. h.
! = µ · µ0 · H
! und
!j = 0, sowie lineare und isotrope Materialgleichungen B
! = & · &0 · E
! an, so nimmt im unendlich homogenen Medium diese Gleichung
D
die Form
! = µ0 · &0 · & · µ · E
!˙ = 1 · & · µ · E
!˙
rotB
c2
an. Wir können nun wie im vorigen Abschnitt verfahren indem wir die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c durch die Lichtgeschwindigkeit im Medium
c
u=
n
ersetzen. Dabei haben wir die Größe
n=
√
&·µ
eingeführt, die der uns aus der Optik schon bekannte Brechungsindex ist.
Dies werden wir weiter unten noch explizit sehen. Wir erhalten dann
! =
rotB
1 !˙
·E.
u2
Zum Aufstellen der Wellengleichungen für die Felder vereinigen wir wie im
! = −B
!˙ und es ergibt sich die
vorigen Abschnitt diese Gleichung mit rotE
! mit u als der Ausbreitungshomogene Wellengleichung für den Feldvektor E
geschwindigkeit der Welle im Medium
!−
∆E
1 ¨!
·E = 0.
u2
! ergibt sich eine Gleichung der gleichen Form. Lösen wir die
Für das Feld B
Wellengleichung mit den gleichen komplexen Ansätzen wie im vorigen Abschnitt, so folgt nun das Dispersionsgesetz für das Dielektrikum in der Form
ω = k·u. Diese Beziehung können wir unter Benutzung des Brechungsindexes
n in der Form
ω
k = ·n
c
! 0 und B
! 0 wieder
darstellen. Weiterhin besteht zwischen den Amplituden E
die Beziehung
! 0 = 1 · [!k × E
! 0] .
B
ω
Betrachten wir nun die Brechung und Relflexion elektromagnetischer Wellen
an der Grenzfläche zweier Dielektrika mit den Dielektrizitätskonstanten &1
und &2 ( für die magnetische Suszeptibilität µ gilt in den meisten für die
13
Optik relevanten Dielektrika µ = 1 ). Die Maxwellschen Gleichungen liefern auch hier die Grundlage der theoretischen Beschreibung, wenn wir zu
diesen Gleichungen die Randbedingungen an der Grenze zweier Dielektrika
hinzufügen. Da in typischen optischen Experimenten an diesen Grenzflächen
keine freien oder äusseren Ladungen und Ströme vorhanden sind, sind diese
Randbedingungen besonders einfach
E1.t = E2.t
D1.n = D2.n ,
H1.t = H2.t
B1.n = B2.n ,
sowie
wo wir mit t und n die tangentialen und normalen Projektionen der Vektoren
relativ zur Grenzfläche bezeichnen. Diesen Bedingungen müssen die Lösungen der Wellengleichungen an der Grenzfläche genügen. Für die Lösungen
innerhalb der Medien können wir die schon im vorigen Abschnitt besprochenen komplexen Ansätze machen :
Einfallende Welle (Medium1):
!1 = E
! 1.0 · ei·(#k1 ·#r−ω1 ·t)
E
! und E
! Feld
und es gilt der Zusammenhang zwischen dem B
! 1 = 1 · [!k1 × E
! 1] .
B
ω1
Die anderen Felder geben wir hier und weiter unten nicht explizit an, da sie
sich aus den linearen Materialgleichungen unmittelbar ergeben. Wir defininieren noch die Einfallsebene, als Ebene. die durch den Wellenvektor der
einfallenden Welle !k1 und der Normalen zur Grenzfläche !n aufgespannt wird.
Reflektierte Welle (Medium1):
! 1.r = E
! 1.0.r · ei·(#k1.r ·#r−ω1.r ·t)
E
und
! 1.r = 1 · [!k1.r × E
! 1.r ] .
B
ω1
Gebrochene Welle (Medium2):
!2 = E
! 2.0 · ei·(#k2 ·#r−ω2 ·t)
E
und
! 2 = 1 · [!k2 × E
! 2] .
B
ω2
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In diesen Ausdrücken sind die Wellenvektoren durch den jeweiligen Brechungsindex des Mediums darzustellen
ki =
ω
· ni , i = 1, 2 .
c
Um den Bedingungen an der Grenzfläche zu genügen müssen zwei Arten von
Bedingungen erfüllt sein :
A Gleichheit der Phasen : Auf der linken und rechten Seite der Gleichungen müssen in gleicher Weise oszillierende Phasenfaktoren in den komplexen
Wellen stehen. Benutzen wir die oben in den Ansätzen stehenden Phasenfaktoren der einzelnen Wellen, so ergibt sich
(!k1 · !r − ω1 · t)|G = (!k1.r · !r − ω1.r · t)|G = (!k2 · !r − ω2 · t)|G ,
wo das Symbol (...)|G bedeutet, daß der in der Klammer stehende Ausdruck
an der Grenzfläche zu nehmen ist. Wir werden diese Bedingung weiter unten
die Phasenbedingung nennen.
B Gleichheit der summarischen Amplituden : Ist Bedingung A erfüllt,
so heben sich die oszillierenden Phasenfaktoren auf beiden Seiten der Randbedingungen heraus und es verbleiben die Gleichungen, die die Zusammenhänge
zwischen den Amplituden herstellen. Diese Zusammenhänge stellen die Feldvektoren der reflektierten und gebrochenen Welle als Funktionen der Feldvektoren der einfallenden Welle dar. Zur Ableitung dieser Beziehungen sind
alle Feldvektoren in Komponenten parallel und senkrecht zur Einfallsebene
zu zerlegen. Als Ergebnis folgen die Fresnelschen Formeln, aus denen z.B.
die Polarisationseigenschaften der Wellen folgen.
Wir werden hier nur die Folgerungen aus A betrachten, für B soll auf die
ausführlichen Darstellungen in der Literatur verwiesen werden.
Folgerungen aus A:
A1: Fixieren wir irgendeinen Raumpunkt ( z.B. den Koordinatenursprung
mit !r = 0 ) auf der Grenzfläche und betrachten nur die Zeitabhängigkeiten
in der Phasenbedingung. Wegen der zu fordernden Gleichheit der Phasen auf
der linken und rechten Seite der Gleichungen folgt dann
ω1 = ω1.r = ω2 = ω ,
die Frequenz der Welle ( Farbe ) ändert sich nicht, wir können überall die
gleiche Frequenz ω einsetzen, insbesondere ist die Frequenz der gebrochenen
Welle gleich der der einfallenden.
A2: Wegen A1 heben sich die zeitabhängigen Teile ω ·t aus der Phasenbedingung heraus. Verändern wir nun die Koordinaten des Raumpunktes auf der
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Grenzfläche, so kommen wir zu der Aussage, daß die Wellenvektoren !k1.r und
!k2 ebenfalls in der Einfallsebene liegen müssen, die von dem Wellenvektor der
einfallenden Welle !k1 und der Normalen zur Grenzfläche !n aufgespannt wird.
Wäre dies nicht der Fall, d. h. würde einer der Vektoren eine Komponente
senkrecht zu dieser Ebene aufweisen, so würde ein extra oszillierender Phasenfaktor erzeugt, der durch den Phasenfaktor der einfallenden Welle nicht
kompensiert wird.
A3: Aus der Phasenbedingung folgt letztlich, daß die Phasenfaktoren der
einfallenden, reflektierten und gebrochenen Wellen auch paarweise gleich sein
müssen. Betrachten wir dazu die Veränderungen der Phase längs der Schnittlinie der Einfallsebene und der Grenzfläche in einer bestimmten Richtung, die
wir mit x bezeichnen.
Für den paarweisen Vergleich der Phasen der einfallenden und reflektierten
Welle gilt dann die Gleichung
k1.x · x = k1.r.x · x ,
wo k1.x und k1.r.x die Projektionen der Wellenvektoren der einfallenden und
reflektierten Welle längs der x Richtung sind. Kürzen wir hier x sowie den
auf beiden Seiten der Gleichung stehenden gleichen Brechungsindex n1 und
benutzen den Einfallswinkel θ1 sowie den Reflexionswinkel θ1.r , die per Definition relativ zum Normalenvektor !n zu betrachten sind, so folgt daraus
sin θ1 = sin θ1.r und damit das Reflexionsgesetz
θ1 = θ1.r .
Wenden wir eine ähnliche Überlegung auf den paarweisen Vergleich der Phasen der einfallenden und gebrochenen Welle an, so ergibt sich die Gleichung
k1.x · x = k2.x · x .
Nach kürzen von x verbleiben nun n1 und n2 in der Gleichung und wir erhalten das bekannte Brechungsgesetz
n1 · sin θ1 = n2 · sin θ2 .
Der oben eingeführte Brechungsindex ist also mit dem aus dem experimentell
bekannten Brechungsgesetz identisch.
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Energiesatz der Elektrodynamik
Ein elektromagnetisches Feld kann Arbeit an einer Ladung q mit der Masse
m verrichten. Demzufolge ändert sich die mechanische Energie des Teilchens,
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andererseits kann eine bewegte Ladung ein Feld erzeugen, welches Energie
besitzt. Die Energie von Ladung und Feld als Gesamtsystems ist Erhaltungsgröße. Um dies zu zeigen finden wir zunächst die Arbeit des Feldes an einer
! und B
! wirkende Kraft
Ladung dW = F! · d!r durch die in den Feldern E
! + [!v × B])
! .
F! = q · (E
Die Leistung der Arbeit dieser Kraft ist dann
dW
! + [!v × B])
! · !v .
= F! · !r˙ = F! · !v = q · (E
dt
! · !v = 0, d. h. das Magnetfeld verrichtet keine Arbeit
Hierbei wird [!v × B]
an der Ladung, sondern ändert nur die Bewegungsrichtung derselben. Wir
berechnen die Leistung der Arbeit des elektrischen Feldes und beziehen diese
W̃
auf das Volumen, in dem sich die Ladungen befinden. Aus dW
wird dann ddt
,
dt
wobei q durch die Ladungsdichte $ zu ersetzen ist
dW̃
! · !v
! · !j .
!j = $ · !v =⇒ dW̃ = E
=$·E
dt
dt
Die Leistung ist hier die Arbeit des Feldes an allen Ladungen pro Zeit- und
in der Volumeneinheit. Diese Leistung ist gleich der Änderung der kinetischen Energie aller Ladungen pro Zeit- und in der Volumeneinheit. Mit der
! −D
!˙ = !j können wir die Stromdichte durch FeldMaxwell-Gleichung rotH
größen darstellen
! · !j = E
! · (rotH
! − D)
!˙ = E
! · rotH
! −E
! ·D
!˙ .
E
Mit der anderen Maxwellschen Gleichung ist
! = −B
!˙ =⇒ H
! · rotE
! = −H
! ·B
!˙
rotE
! · rotE
! +H
! ·B
!˙ .
=⇒ 0 = H
! · !j indem wir diesen Nullterm subWir symmetrisieren den Ausdruck für E
trahieren
! · !j = E
! · rotH
! −H
! · rotE
! −(E
! ·D
!˙ + H
! · B)
!˙
E
#
$%
&
# H]
#
−div[E×
! × H]
! − (E
! ·D
!˙ + H
! · B)
!˙
= −div[E
#
$%
∂w
∂t
&
1 ! !
! · H)
! .
· (E · D + B
2
!=E
! ×H
! folgt der
Mit w als Energiedichte und dem Vektor S
=⇒ w =
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Energiesatz für Teilchen und Felder
!+
div S
∂w ! !
+j·E =0
∂t
Die obige Gleichung bringt den Energieaustausch zwischen dem Feld und
den in ihm befindlichen Ladungen zum Ausdruck: Die Änderung der kinetischen Energie der Ladungen ist genau mit dem umgekehrten Vorzeichen
gleich der Änderung der Energie des Feldes. Die Gesamtenergie aus Teilchen und Feldern ist Erhaltungsgröße. Für den Spezialfall, daß keine
Ladungsströme fließen, !j = 0, gilt
!+
div S
∂w
= 0.
∂t
Diese Gleichung ist offensichtlich von der Form her analog zur Kontinuitätsgleichung
∂$
div!j +
= 0,
∂t
die den Satz von der Ladungserhaltung beschreibt. Wir können folglich den
Sachverhalt, den diese Gleichung beschreibt, als Erhaltungssatz interpretieren. Im vorliegenden Fall ist es die Energieerhaltung in Form der Bilanz zwischen Energiefluß und Energiedichte des elektromagnetischen Feldes
im Vakuum: Die Größe w ist die Energiedichte des Feldes und der Vektor
! = [E
! × H]
! ist der Energieflußvektor oder auch Poynting-Vektor. Er gibt
S
an, wieviel Energie in einer elektromagnetischen Welle in welcher Richtung
pro Zeiteinheit durch ein Flächenelement fließt.
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