∫ ( ) ∫

QthMagn-UE01 SS
2011
Übungen zum
Modul P23.2.2: Spezialisierung in der Festkörperphysik
Quantentheorie des Magnetismus
Aufgabe 1:
i
Nach der klassischen Elektrodynamik ruft der Magnetisierungsstrom j(m) im Innern eines Teilchens (Bewegung der Hüllenelektronen, z. B.) ein magnetisches
Moment
mi =
1
i
d 3r (r − R i )× j(m)
∫
2
hervor. Dabei ist Ri der Ortsvektor des Teilchenmittelpunktes. Zeigen Sie, dass
diese Beziehung äquivalent ist zu
j(m) = rot (mi f ( r − R i )) ,
i
wobei die hinreichend oft differenzierbare Funktion f „fast beliebig“ gewählt
werden kann, wenn nur die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
1.
2.
f ≡ 0 außerhalb des i-ten Teilchens
∫
f ( r − R i ) d 3r ≡ 1
Teilchen
Aufgabe 2:
Gegeben sei ein klassisches System aus N geladenen Teilchen, z. B. ein aus Ionen und Elektronen bestehender Festkörper. Dieses möge sich in einem Magnetfeld B befinden. Sein magnetisches Moment m berechnet sich aus der klassischen Hamilton-Funktion H gemäß
m = −∇ B H .
Mit ∇B ist der Gradient nach dem äußeren Magnetfeld B gemeint.
1. Drücken Sie das mittlere magnetische Moment m durch die klassische
kanonische Zustandssumme ZN aus. Geben Sie ZN für das NTeilchensystem (Masse mi, Ladung qi , i = 1,2,...,N) im Magnetfeld B an.
2. Zeigen Sie, dass in jedem Fall, auch für B ≠ 0, in einem klassischen System
m ≡0
gilt (Bohr-van Leeuwen-Theorem).
Aufgabe 3:
Ein klassisches thermodynamisches System bestehe aus N Atomen im Volumen
V, von denen jedes ein magnetisches Moment μi ( μi = μ für i = 1,2,...N ) trägt.
Die Hamilton-Funktion setze sich aus zwei Anteilen zusammen,
H (q,p) = H 0 (q,p) + H1 (q,p),
von denen H 0 (q,p) das System in Abwesenheit eines magnetischen Feldes beschreibt, während H1 (q,p) den Einfluss des homogenen Feldes B = Be z erfasst.
1. Wie lautet der Feldterm H1?
2. Berechnen Sie die kanonische Zustandssumme.
3. Bestimmen Sie die Temperatur- und Feldabhängigkeit des mittleren magnetischen Gesamtmoments:
m=
N
∑μ
i
.
i=1
4. Diskutieren Sie das magnetische Gesamtmoment für die beiden Grenzfälle βμ B >> 1 und βμ B << 1 (Klassischer Langevin-Paramagnetismus).
Aufgabe 4:
Ein kleiner Ferromagnet mit dem Dipolmoment m ist bei r0 = ( x0 ,0,0) so angebracht, dass er sich in der xy-Ebene frei drehen kann. Auf ihn wirke ein homogenes Magnetfeld B 0 = B0e x . Zusätzlich gebe es das Feld BI eines linearen
Stromfadens in z-Richtung mit der Stromstärke I. Berechnen Sie den Winkel α,
den der Dipol mit der x-Achse bildet.