Hausaufgabe 03

RINKENS/MARX
ELEMENTE DER STOCHASTIK
SOSE 08
Hausaufgabe 03
Lösungshinweise
Aufgabe 1 (Quickies)
In der Tabelle findest du drei Behauptungen. Kreuze in der rechten Spalte an, ob die Behauptungen
richtig oder falsch sind.
Behauptung:
richtig?
Nein
1 Für jedes nominalskalierte Merkmal lässt sich die Spannweite bestimmen.
Ja
2 Je kleiner die Standardabweichung, umso „typischer“ ist der Mittelwert.
Nein
4 Die Varianz ist ein Lageparameter, weil V(a+X)=V(X).
Aufgabe 2 (geschickte Altersvorsorge)
Karl und Elvira haben als Altersvorsorge jeweils einen Sparvertrag bei der Bank abgeschlossen. Sie
kaufen monatlich Anteile eines Aktienfonds zu den folgenden Preisen.
Monat
Preis je
Anteil (€)
Jan
26
Feb
27
Mär
28
Apr
30
Mai
24
Jun
25
Jul
27
Aug
28
Sep
29
Okt
30
Nov
34
Dez
39
Beide verfolgen jedoch unterschiedliche Anlagestrategien:
• Karl kauft jeden Monat die gleiche Anzahl (z.B. 2) von Anteilen des Fonds.
• Elvira kauft jeden Monat für die gleiche Summe (z.B. 100€) Anteile des Fonds.
Wer bezahlt im Mittel weniger für einen Fondanteil? (Hinweis: Bestimme geeignete Mittelwerte indem du die über das Jahr investierte Summe mit den erworbenen Anteilen in Beziehung setzt.) Erläutere und begründe dein Vorgehen.
Karl
Investierte Summe in €: 2·(27+27+28+30+24+25+27+28+29+30+34+39)
Erworbene Anteile: 2·12
Gesamtpreis
Ansatz: Mittler Preis pro Anteil = erworbene
Anteile
+ 27 + 28+ 29+30 +34+39)
+ 27 + 28+ 29 +30+34 +39
= 2⋅(26+27 +28+30+24+25
= 26+ 27 + 28+30+ 24+ 2512
2⋅12
Der mittlere Preis pro Anteil berechnet sich also mit dem arithmetischen Mittel.
Elvira
Investierte Summe in €: 12·100
Erworbene Anteile: 100
+ 100
+ 100
+ 100
+ 100
+ 100
+ 100
+ 100
+ 100
+ 100
+ 100
+ 100
26
27
28
30
24
25
27
28
29
30
34
39
Mittlerer Preis pro Anteil:
Gesamtpreis
Ansatz: Mittler Preis pro Anteil = erworbene
Anteile
= 100
12⋅100
+ 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100
26 27 28 30 24 25 27 28 29 30 34 39
=
12
1+ 1+1+1+1+1+1 +1+1+1+1+1
26 27 28 30 24 25 27 28 29 30 34 39
Der mittlere Preis pro Anteil berechnet sich also mit dem harmonischen Mittel.
Fazit
Damit ist auch klar, dass Elvira die Anteile im Mittel günstiger erwirbt, weil das arithmetische Mittel aller Preise größer
ist als das harmonische Mittel, wenn nicht alle Preise gleich sind.
RINKENS/MARX
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Aufgabe 3 (Mittelwerte und Streumaße)
Nimm dir noch einmal die Urliste vor (Exceldatei unter lama.upb.de und Hilfe im MatheTreff).
a. Bestimme mit Excel bzgl. der Körpergröße den Median und den Mittelwert.
b. Bestimme bzgl. dem Median sowohl die Summe der absoluten als auch der quadratischen Abweichungen. Bestimme bzgl. dem arithmetischen Mittel sowohl die Summe der absoluten als auch der
quadratischen Abweichungen. Was fällt auf?
Es fällt auf, dass die Summe der absoluten Abweichungen beim Median kleiner ist als beim arithmetischen Mittel.
Bei der Summe der quadratischen Abweichungen verhält es sich diametral.
Aufgabe 4 (kleiner Beweis)
Die Untersuchung eines Merkmals hat die Messwerte x1, ..., xn (n>2) auf einer Verhältnisskala ergeben. Beweise oder widerlege:
(geoM ( x ,...,x )n
Für das harmonische Mittel dieser Messwerte gilt: harmM( x 1 ,..., x n ) = ariM ( x1,..., x n )
harmM(x 1 ,..., x n ) =
≠
(geoM(x 1 ,..., x n ) )n
ariM( x 1 ,..., x n )
n
1 + 1 +... + 1
x 1 x2
xn
für n>2.
=
n
x 2 ⋅x 3 ⋅...⋅x n + x 1 ⋅x 3 ⋅...⋅x n +... x 1 ⋅x 2 ⋅...⋅x n−1
x 1 ⋅x 2 ⋅x 3 ⋅...⋅x n
=
1
n
x 1 ⋅x 2 ⋅x 3 ⋅...⋅x n
x 2 ⋅x 3 ⋅...⋅x n x 1 ⋅x 3 ⋅...⋅x n x 1 ⋅x 2 ⋅...⋅x n−1
+
+
n
n
n