Vorlesung 4 - ECON @ TU Wien

Vorlesung 4
Nachtrag: Ressourcenextraktion bei Abbaukosten
2.2 Intertemporale Allokation erneuerbare Ressourcen
(Fortsetzung Vorlesung 3)
(a) Gegebene Preistrajektorie, ein einziger Eigentümer
(b) Monopolistischer Ressourcenbesitzer
(c) Soziales Optimum
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Nachtrag: Ressourcenextraktion bei Abbaukosten
Abbaukosten können von verschiedenen Faktoren abhängig sein:
(a) Von der abgebauten Menge y(t)
(b) Dem noch vorhandenen Ressourcenstock X(t)
(c) Von der Zeit (Technologischer Fortschritt)
c(t) = C(y(t), X(t), t)
wobei angenommen wird:
∂C
≥0
∂y
∂C
≤0
∂X
∂C
≤0
∂t
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2.2 Intertemporale Allokation erneuerbarer Ressourcen
(a) Gegebene Preistrajektorie, ein einziger Eigentümer (Fisher 1981, ch.3)
max ∫0T [py t − c ( y t , X t )]e −r t dt
y
t
X = g ( X ) − y t
p Pr eis
y t Ernte
c y > 0, c yy > 0
c X < 0, c XX > 0
Xt
Re ssourcenstock
c Xy < 0
Schattenpreis einer zusätzlichen Ressourceneinheit = Bewertung der Ressource für zukünftige
Generationen,
d.h. um wieviel verändert sich der
zukünftige Nutzen, wenn eine Einheit des
Ressourcenstocks extrahiert wird?
Schattenpreis wird auch als „marginal user cost“
bezeichnet.
(1)
Preis = Grenzkosten der Produktion + Opportunitätskosten
(2)
Dynamik der Opportunitätskosten
3
Kosten als Funktion der Ernte y für verschiedene Werte des Ressourcenstocks X
„common property“ Profitmaximierung:
c = py
Optimale Ernte für gegebenen Stock
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Gleichgewicht wo der „catch locus“ die Wachstumsfunktion der Ressource schneidet
Ressourcen werden ganz vernichtet! (obwohl es keine
„common property“ Ressource ist!)
eine „common property“ Ressource wird
jedoch eher vernichtet!
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Anmerkungen:
1) r = dg/dX – (∂c/ ∂X)/ρ
fundamentale Gleichung erneuerbarer Ressourcen
LHS= r: rate of return einer Investition am Markt
RHS: rate of return durch Ressource
(Wachstum der Ressource + geringere Kosten wenn X größer ist).
2)
Aus Gleichung (2) folgt:
Wenn r=0 und die Kosten u.a. von X sind: MSY ist auch ökonomisch optimal
Wenn r>0 und die Kosten u.a. von X sind: dg/dX = r > 0 und der ökonomisch optimale
steady state ist kleiner als MSY
3)
Common property Ressource:
Optimale Kontrolle:
p = c/y, d.h. Preis ist gleich den Durchschnittskosten
p = Grenzkosten + Royalty
Um optimalen Ressourcenabbau zu erlangen kann eine Steuer eingeführt werden:
STEUER= Royalty + (Grenzkosten – Durchschnittskosten)
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4) u.a. von der Marktform ist die Ausbeutung einer Ressource wahrscheinlicher wenn
(a) Marktpreis der Ressource hoch ist
(b) Erntekosten der Ressource gering sind
(c) je geringer die Wachstumsrate der Ressource ist
(d) je geringer die Grenzkosten der Ressourcenextraktion mit einer Reduktion der Ressource
wachsen
(e) je höher die Zeitpräferenzrate ist
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(b) Monopolistischer Ressourcenbesitzer
max ∫0 [p( y t )y t − c ( y t , X t )]e −r t dt
T
X = g ( X ) − y
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(c) Soziales Optimum
max ∫0 [U ( y t ) − c ( y t , X t )]e −r t dt
T
X = g ( X ) − y
(1)
(2)
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Wenn 1. r in (a) und (c) gleich,
2. dU/dy = p
3. keine Externalitäten vorliegen
So ist die Lösung in (a) und (c) gleich.
Externalitäten in der Nutzenfunktion:
U(X,y) – Wert der Ressource in U!
Externalitäten in der Produktionsfunktion
Lösung von (a) und (c) unterschiedlich.
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Ableitung von (1) nach der Zeit
(3)
(2) :
einsetzen von (3) unter Verwendung von (1) in (2)
Unter Annahme von c(y,X)=C(X)y gilt:
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Vergleich soziales Optimum und Monopol
Im sozial optimalen Fall ist langfristig der Ressourcenbestand geringer als im
Monopolfall. D.h. der Monopolist erweist sich als umweltschonend.
Die Fangrate kann aber im sozialen Optimum sowohl geringer als auch größer
der Fangrate im Monopolfall sein.
y = q, z=X
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APPENDIX
Das Maximumprinzip
T
J = ∫ e −rt F ( x, u, t ) + e −rT S( x (T ),T ) → max
0
x = f ( x, u, t )
x ( 0) = x 0
u (t ) ∈ Ω ⊆ ℜ m
Hamilton-Funktion:
H ( x, u, λ, t ) = F ( x, u, t ) + λ f ( x, u, t )
λ
bezeichnet den Kozustand
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Bedingung erster Ordnung:
max H ( x, u, λ, t )
u
∂H / ∂u = 0
∂ 2H /( ∂u )2 < 0
λ(t ) = rλ (t ) − ∂H / ∂x
x = ∂H / ∂λ = f ( x, u, t )
λ (T ) = S x ( x * (T ),T )
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Lineare optimale Kontrollmodelle
Hamiltonfunktion H ist linear in der Kontrollvariable u.
Umschaltfunktion (unabhängig von u):
min imal

u(t ) = unbestimmt
max imal



wenn


∂H / ∂u = σ (t )
< 0

σ ( t ) = 0
> 0



 ist


Für u(t) unbestimmt (singulärer Pfad) kann der Wert von u in der Regel
durch Differentiation der Umschaltfunktion nach der Zeit bestimmt werden.
σ (t ) = σ (t ) = 0
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Literatur:
G. Feichtinger (1986) Optimale Kontrolle ökonomischer Prozesse: Anwendungen d.
Maximumprinzips in d. Wirtschaftswissenschaften, Berlin, New York, de Gruyter, Kapitel 14.1
C. Fisher (1981) Resource and environmental economics, Cambridge University Press,
Kapitel 2 „Exhaustible resources: the theory of optimal depletion“.
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