Diskrete Strukturen und Wahrscheinlichkeitstheorie

Prof. Dr. Anand Srivastav
Dipl.-Math. Lasse Kliemann
Christian-Albrechts-Universität zu Kiel
Institut für Informatik
Diskrete Strukturen und Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2009
3. Übung
Abgabe bis Mittwoch, 13. Mai, 12:00 Uhr im Schrein der Informatik.
Aufgabe 1 (2+2 Punkte)
Aus einer Urne mit 3 roten und 2 schwarzen Kugeln und aus einer Urne mit 2 weißen, 3
roten und 1 schwarzen Kugel wird je eine Kugel gezogen.
a) Geben Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum an, der das Experiment modelliert.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die gezogenen Kugeln die gleiche Farbe
haben? (Mit Beweis.)
Aufgabe 2 (2+2 Punkte)
Drei Gefangene A, B und C sitzen in einer Zelle. Genau einer von ihnen soll morgen
begnadigt werden. Welcher dies sein wird, wurde bereits per Zufall entschieden; dabei
hatte jeder Gefangene eine Chance von 1/3. Wie der Zufallsentscheid ausgefallen ist, weiß
keiner der Gefangenen, der Wärter jedoch weiß es. Der Gefangene A fragt den Wärter,
wer morgen freigelassen wird. Dieser antwortet: „Ich darf denjenigen nicht nennen. Aber
ich darf versichern, dass es nicht B ist.“
a) Geben Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum an, der die Situation modelliert.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A entlassen wird? (Mit Beweis.)
(bitte wenden)
Aufgabe 3 (2+2 Punkte)
Eine faire Münze mit den Seiten „Kopf“ und „Zahl“ werde dreimal geworfen. Untersuchen
Sie, ob die Ereignisse A, B und C paarweise und vollständig unabhängig sind, wenn. . .
a) A das Ereignis „gleiche Seiten bei den letzten beiden Würfen“, B das Ereignis „gleiche
Seiten beim 1. und 3. Wurf“ und C „gleiche Seiten bei den ersten beiden Würfen“ sei.
b) A das Ereignis „mindestens zweimal Kopf“, B das Ereignis „beim ersten Wurf Kopf“
und C „gleiche Seiten bei den letzten beiden Würfen“ sei.
Aufgabe 4 (2+2 Punkte)
Seien A, B und C unabhängige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P ).
Zeigen Sie
a) A ∩ B und C sind unabhängig.
b) A ∪ B und C sind unabhängig.