2.6 A metric entropy sufficient condition for sample continuity 2.7

Nina Dörnemann
26.04.2016
2.6 A metric entropy sufficient condition for
sample continuity
Definitionen
1. Sei (T, d) ein metrischer Raum, C ⊂ T . Setze für > 0:
n
[
N (, C, d) = inf{n : x1 , ..., xn ∈ C, C =
Ui (xi ), i ≤ },
i=1
N (, C, d) nennt man auch Überdeckungszahl von C.
D(, C, d) = sup{n : x1 , ..., xn ∈ C, d(xi , xj ) > i 6= j}.
2. Sei T ein topologischer Raum. Der Prozess {Xt : t ∈ T } heißt pfadstetig
(sample-continuous), falls für fast alle ω die Abbildung t 7→ Xt (w) stetig
ist.
3. Sei (T, d) ein metrischer Raum. Eine Funktion f nennt man samplemodulus, falls es einen Prozess {Yt : t ∈ T } mit derselben Verteilung
wie {Xt : t ∈ T } gibt, und wenn für fast alle ω ein M (ω) < ∞ existiert,
sodass |Ys − Yt |(ω) ≤ M (ω)f (d(s, t)), s, t ∈ T, gilt.
2.6.1 Satz
Sei C ⊂ H. Gilt
wenn man
R∞
1
(log(N (t, C)) 2 dt < ∞, dann ist C eine GC-Menge und
0
f (x) =
Zx
1
(log(N (t, C)) 2 dt, x > 0,
0
setzt, so ist f ein sample-modulus für C.
2.7 Majorizing measures
Lemma*
Sei T ⊂ H Teilmenge eines seperablen Hilbertraums. Ist T eine GB-Menge,
so ist T totalbeschränkt.
Dazu eine Version von Satz 2.3.5:
Sei C eine Menge von Gauß-Zufallsvariablen mit Erwartungswert 0. Auf C
1
betrachten wir die L2 -Metrik d(X, Y ) = (E(X − Y )2 ) 2 . Gilt
sup{|X| : X ∈ C} < ∞ f.s.,
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so ist
lim sup 2 log D(, C) < ∞.
→0,>0
Definition
Sei (T, d) ein metrischer Raum und P(T ) die Menge aller Borel-Wahrscheinlichkeitsmaße
auf T . Für m ∈ P(T ) sei
γm (T ) = sup
x∈T
Z∞
0
1
log
m(Ur (x))
!! 1
2
dr.
Ist γm (T ) < ∞, so nennt man m majorisierendes Maß für T . Sei weiter
γ(T ) = inf{γm (T ) : m ∈ P(T )}.
Im Folgenden sei T = C Teilmenge eines seperablen Hilbertraums H versehen
mit der üblichen Hilbertmetrik.
2.7.1 Satz (Fernique, 1975)
Gilt γ(C) < ∞, C beschränkt, so ist C eine GB Menge. Weiter existiert eine
Konstante K mit
EL(C)? ≤ Kγ(C)
2.7.2 Satz (Talagrand, 1987)
Ist C eine GB-Menge, so gilt γ(C) < ∞. Für eine Konstante K 0 und C ⊂ H
gilt
γ(C) ≤ K 0 EL(C)?
2.7.3 Propostion
Sei C beschränkt. Dann gilt:
Z1
1
(log(D(, C)) 2 d < ∞ ⇒ γ(C) < ∞
0
Folgender Satz ist ein wesentliches Hilfsmittel für den Beweis von 2.7.1:
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2.7.18 Satz
Sei T eine beschränkte Teilmenge von H mit Durchmesser D, auf der ein
majorisierendes Maß µ existiert. Dann gibt es eine Version M von L auf T
und eine Zufallsvariable Y mit 0 ≤ Y (ω) < ∞ und EY < 485, sodass für
jedes s, t ∈ T gilt:
(M (s) − M (t))(ω) ≤ Y (ω)
d(s,t)
Z "
0
1
log
µ(Uu (t))
!# 1
2
"
1
+ log
µ(Uu (s))
!# 1
2
)du
2.7.30 Korollar
Sei C ⊂ H beschränkt. Angenommen, auf C existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß µ mit der Eigenschaft
lim sup
→0,>0 x∈C
Z "
0
1
log
µ(Ur (x))
Dann ist C eine GC-Menge in H.
!# 1
2
dr = 0.