Blatt 7/26.5.-1.6.

Universität Regensburg
Dr. Manohar Awasthi, Thomas Engl, Quirin Hummel,
Dr. Enno E. Scholz, Philipp Wein, Christian Zimmermann
Sommersemester 2014
Übungen zu
“Theoretische Physik Ia—Klassische Mechanik”
Blatt 7 (für die Übungen in der Woche 26.5.–1.6.2014)
Die Teilnehmer der Übungsgruppen am Donnerstag (29.5., Himmelfahrt) gehen diese Woche
bitte in eine der Übungsgruppen am Dienstag oder Mittwoch oder geben die Lösungen der
Aufgaben schriftlich bis zum Mittwoch (28.05.) bei dem jeweiligen Übungsleiter ab.
Aufgabe 1
Invarianz der Lagrange-Gleichungen unter Eichtransformationen
Unter einer Eichtransformation der Lagrangefunktion L(q, q̇, t) versteht man eine Transformation
d
f (q, t)
dt
mit einer Funktion f (q, t), welche stetig differenzierbar sowohl in q also auch in t sei. Hierbei sei
stets q(t) = (q1 (t), . . . , qn (t)), q̇(t) = dq/dt = (q˙1 (t), . . . , q̇n (t)).
L → L∗ = L +
a) Zeigen Sie ohne das Hamiltonsche Prinzip zu benutzen, dass die Lagrange-Gleichungen 2. Art
(Bewegungsgleichungen), die für die qi (t) aus L und L∗ folgen, äquivalent sind.
b) Zeigen Sie ebenfalls, dass für die Variationen δS, δS ∗ der Wirkung S bzw. S ∗
Z
t2
dt L(q, q̇, t) ,
S =
∗
Z
t2
S =
t1
dt L∗ (q, q̇, t)
t1
unter festgehaltenen Randpunkten q(t1 ) = q1 , q(t2 ) = q2 gilt:
δS = δS ∗ .
Hieraus folgt ebenfalls, dass aus S und S ∗ bzw. L und L∗ dieselben Bewegungsgleichungen
resultieren.
Aufgabe 2
Lorentz-Kraft
Gegeben sei die Lagrange-Funktion für die Bewegung eines Elektrons (Ladung e, Masse me ) im
elektromagnetischen Feld:
me ˙ 2
~ r, t)
L(~r, ~r˙, t) =
~r − eΦ(~r, t) + e~r˙ · A(~
2
a) Wie lauten die zugehörigen Bewegungsgleichungen, die aus den Lagrange-Gleichungen 2. Art
folgen?
1
b) Bringen sie diese Bewegungsgleichungen auf die Form F~ = m~r¨ und zeigen sie, dass die Kraft
durch
~ + ~r˙ × B
~
F~ = e E
gegeben ist. Verwenden sie dabei die Relationen
~
~ = − grad Φ − ∂ A
E
∂t
und
~ = rot A.
~
B
c) Es sei nun konkret ein homogenes, konstantes elektromagnetisches Feld gegeben:
~ = E ẑ
E
~ = B ẑ
B
Berechnen sie für diesen Fall die Bahnkurve des Elektrons für die Anfangsbedingungen
~r(0) = 0 und ~r˙ (0) = v0 x̂.
d) Eine Eichtransformation der Form L → L∗ = L + df (~r, t)/dt ändert die Potentiale Φ und
~ aber nicht die physikalischen Felder E
~ und B.
~ Geben Sie die geänderten Potentiale an
A
und zeigen, dass hieraus die gleichen physikalischen Felder folgen.
Aufgabe 3
Variationsrechnung: Lösung des Brachistochronen-Problems
In der Vorlesung wurde das BrachistochronenProblem vorgestellt (Form einer idealen Paketrutsche, so dass ein Punkt mit Masse m in kürzester Zeit
(brachistos, griech.: kürzeste; chronos, griech.: Zeit)
vom Punkt (x1 , y1 ) zum Punkt (x2 , y2 ) gelangt (y1 >
y2 ), wobei lediglich die Schwerkraft (−mgêy ) wirkt
und Reibung etc. zu vernachlässigen ist. Hierfür wurde die Zeit als Funktional des Weges, also der Form
der Rutsche, hergeleitet:
s
Z x2
1 + y 0 (x)2
,
T = J[y] =
dx
2g ya − y(x)
x1
y 0 (x) =
d
y(x) .
dx
Bestimmen Sie die Bahn y(x) (Randbed. y(x1 ) = y1 , y(x2 ) = y2 ), für die T = J[y] minimal wird
mit Hilfe der ebenfalls in der Vorlesung hergeleiteten Euler-Lagrange Gleichungen. Gehen Sie
hierfür wie folgt vor:
a) Geben Sie die Differentialgl. 2. Ordn. für y(x) an, die aus der Euler-Lagrange Gleichung
folgt und für dessen Lösung yideal (x) das Funktional T = J[y] minimal wird.
b) Zeigen Sie, dass aus der Euler-Lagrange Gleichung
d y1 − y 1 + y 02 = 0
dx
folgt, also dass (y1 − y)(1 + y 02 ) = A = const. gilt. Diese DGL kann z.B. durch Integration
(Separation der Variablen) gelöst werden, mit der Substitution y1 − y(τ ) = A sin2 τ . Zeigen
Sie, dass die gesuchte Lösung die Form
A
1
1 − cos(2τ )
x(τ ) = x1 + A τ − sin(2τ ) y(τ ) = y1 −
2
2
hat. Dies ist die Parameterdarstellung einer Zykloide.
c) Bestimmen Sie nun die Konstante A so, dass die beiden Punkte (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ) auf
der Kurve liegen. Zur Vereinfachung nehmen Sie x1 = 0, y1 = h und x2 = d, y2 = 0 an.
Skizzieren Sie die Lösung für die drei Fälle (i) 2d < πh, (ii) 2d = πh und (iii) 2d > πh.
2
Aufgabe 4
Hamiltonsches Prinzip
Betrachten Sie die (ein-dimensionale) Bewegung eines Massenpunktes m im Potential U (z) =
mgz (z.B. freier Fall im Schwerefeld).
Die Wirkung für eine Bahn z(t) im Zeitintervall [t0 , t1 ] lautet
Z t1
Z t1
m
dt
S[z(t)] =
dt L(z(t), ż(t), t) =
ż 2 − mgz .
2
t0
t0
z(t) sei nun die tatsächlich durchlaufene Bahn die den Bewegungsgleichungen gehorcht. Geben
Sie die Wirkung für eine (fiktive) Bahn z(t) + h(t) an, wobei h(t) eine bis auf die Randbedingungen h(t0 ) = h(t1 ) = 0 beliebige reelle, stetig differenzierbare Funktion sei. Zeigen Sie (unter
Verwendung der Bewegungsgleichungen):
S[z(t) + h(t)] ≥ S[z(t)] .
Argumentieren Sie, dass S[z(t) + h(t)] = S[z(t)] nur dann gilt, falls h(t) = 0.
3