Klausur - Prof. Dr. Daniel Hägele - Ruhr

Klausur Physik II für Biochemiker, Chemiker und Geowissenschaftler,
”
SS 2008“
(Ruhr-Universität Bochum; 25.07.2008)
Bearbeitungszeit 120 Minuten. Rückseite beachten!
Name:
Vorname:
Geowissen.
Aufgabe
Punkte
Prof. Hägele, EP6
Biochemie
1
Bestanden: ja
Chemie
2
|
nein
Opt.
3
|
Matrikelnummer:
4
Sonstige
5
(bitte ankreuzen!)
6
Summe
Note:
Für Biochemiker, Chemiker und Geowissenschaftler!!!
Aufgabe 1
(20 Punkte)
Beantworten Sie folgende Kurzfragen stichwortartig. Geben Sie bei jeder Frage eine kurze Begründung oder Formel
an!
~ r)?
1. : Wie berechnet sich aus dem elektrischen Potential ϕ(~r) das elektrische Feld E(~
Lösung:
~ r) = −∇ϕ(~
~ r)
E(~
2. : Die Lenzsche Regel besagt, dass der induzierte Strom (a) dem Verschwinden des magnetischen Feldes entgegenwirkt, oder (b) das Verschwinden beschleunigt.
Lösung:
Antwort (a): Die durch Induktion entstehenden Ströme, Felder und Kräfte behindern stets den die Induktion
einleitenden Vorgang.
3. : Was versteht man unter Dispersion?
Lösung:
Der Wert des Brechungsindex n und somit auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit c0 einer elektromagnetischen
Welle innerhalb eines Mediums hängt nicht nur vom Medium selbst ab, sondern zeigt auch eine Frequenzabhängigkeit
n → n(ω).
4. : Erläutern Sie das Fermatsche Prinzip.
Lösung:
Das Fermatsche Prinzip besagt, dass das Licht, das von einem Punkt P1 ausgesandt wird, einen zweiten Punkt P2
2
immer auf dem Wege erreicht, für den die Laufzeit minimal ist. Es gilt also:
dt
=0
dx
wobei t =
s
c
die Lichtlaufzeit, s die zurückgelegt Wegstrecke des Lichtes und c die Lichtgeschwindigkeit ist.
5. : Ein Gegenstand befinde sich im Brennpunkt einer dünnen Linse. Wo erscheint sein Bild? Geben Sie kurz
den allgemeinen Zusammenhang zwischen Brennweite f , Gegenstands- g und Bildweite b für eine dünne Linse an.
Lösung:
Das Bild liegt im Unendlichen. Die allgemeine Abbildungsgleichung lautet:
1
1 1
= +
f
b g
6. : Nennen und erläutern Sie die Kirchhoffschen Gesetze.
Lösung:
Maschenregel:
P
i Ui = 0
Knotenregel:
P
P
n In,eingehende =
m Im,ausgehende
7. : Gegeben seien drei 100 Ω Widerstände. Skizzieren Sie alle möglichen Arten der Verschaltung und berechnen Sie jeweils den Gesamtwiderstand der Schaltungen.
Lösung:
(a) alle Widerstände in Reihe;
Rers = R1 + R2 + R3 = 3 · R = 3 · 100Ω = 300Ω
(b) alle Widerstände parallel;
1
1
1
1
3
3
=
+
+
=
=
⇒ Rges = 33, 3Ω
Rges
R1
R2
R3
R
100Ω
(c) zwei parallel in Reihe zum Dritten;
1
1
1
2
⇒ Rers = 50Ω
=
+
=
Rers
R1
R2
100Ω
Rges = Rers + R3 = 50Ω + 100Ω = 150Ω
(d) zwei in Reihe parallel zum Dritten;
Rers = R1 + R2 = 2 · R = 200Ω
1
1
1
1
3
1
=
+
=
+
=
⇒ Rges = 66, 6Ω
Rges
Rers
R3
200Ω 100Ω
200Ω
8. : Geben Sie den ungefähren Wellenlängenbereich des sichtbaren Lichts an.
3
Lösung:
Zwischen 400 nm und 700 nm.
9. : Welche Größe muss ein Spiegel mindestens haben, damit sich eine Person vollständig darin betrachten
kann? Hängt die Größe des benötigten Spiegels vom Abstand ` zur Person ab?
Lösung:
Es gilt das Reflexionsgesetz. Damit der Einfallwinkel gleich dem Ausfallwinkel ist, müssen die Strahlen die in
das Auge gelangen, jeweils auf halber Strecke (Kopf bis Auge respektive Auge bis zum Fuß) reflektiert werden können
(s. Abb. 1). Somit gilt für die Größe des Spiegels:
1
1
a b
+ = (a + b) = · (Körperlänge der Person).
2 2
2
2
Die Größe des Spiegels ist vom Abstand ` zur Person unabhängig.
Abbildung 1: Spiegel
10. : Geben Sie eine Definition des Brechungsindex an und fertigen Sie eine Skizze zum Brechungsgesetz von
Snellius an.
Lösung:
Sei c0 die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer elektromagnetischen Welle innerhalb eines Mediums, so wird der
Brechungsindex n(c0 ) definiert aus dem Quotienten der Ausbreitungsgeschwindigkeit c im Vakuum und der im
Medium c0 :
n(c0 ) =
c
≥1
c0
Brechungsgesetz von Snellius:
n1 sin α1 = n2 sin α2 ,
wobei ni die Brechungsindizes der beiden Medien darstellen und αi die Winkel der Strahlen zum Lot angeben.
4
Aufgabe 2
(6 Punkte)
Ein Stein befindet sich auf dem Teichboden einen Meter unterhalb des Wasserspiegels. Wie tief erscheint er einer
Person, die ihn vom Ufer aus unter einem Winkel von 30◦ beobachtet? Der Brechungsindex von Luft sei nLuft = 1
und der von Wasser nWasser = 1, 33.
Lösung:
Die scheinbare Position des Steines befindet sich unter dem Winkel α. Da sich die Lichtwege innerhalb des
Luft n1
5m
β
α
α
Wasser n2
γ
t
x
1m
t
γ
Abbildung 2: Stein im Teich
Wassers nicht unterscheiden dürfen, muss die Position des Steines entsprechend auf einer Kreisbahn mit Radius t
verschoben werden. Es gilt
t=
1m
.
cos(γ)
Aus dem Brechungsgesetz (n1 sin β = n2 sin γ) kann der Winkel γ bestimmt werden. Es gilt (siehe Abbildung 2)
1 · sin(90◦ − 30◦ ) = 1, 33 · sin γ ⇒ γ = 40, 63◦ .
Also ergibt sich die scheinbare Tiefe x des Steines zu
x = t · sin(α) =
Aufgabe 3
1m
· sin(α) ≈ 0, 66m.
cos(γ)
(6 Punkte)
Der Stab aus Abbildung 3 habe die Masse m. Zur Zeit t0 bewege sich der Stab mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0
und die externe Kraft, die ihn auf konstanter Geschwindigkeit hält, wird abgeschaltet.
(a) Geben Sie die Induktionsspannung Uind. in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v an.
(b) Berechen Sie den Strom I im Kreis .
(c) Bestimmen Sie die Kraft F , die auf die stromdurchflossende Masse m wirkt.
(d) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Stabes als Funktion der Zeit!
Lösung:
(a) Die Induktionsspannung ist Uind = B`v.
5
(b) Die induzierte Stromstärke ist nach dem Ohmschen Gesetz gleich Iind = Uind /R, wobei für U die Induktionsspannung U = B`v einzusetzen ist.
(c) Daraus kann dann die magnetische Kraft berechnet werden
F = IB` =
U
B`v
B 2 `2 v
B` =
B` =
.
R
R
R
Die Kraft ist dieser Bewegung entgegengesetzt.
(d) Wählen wir die anfängliche Bewegungsrichtung als positiv, dann ist die magnetische Kraft negativ, und mit dem
zweiten Newtonschen Axiom erhalten wir für den Stab
F = ma = m
dv
B 2 `2 v
=−
.
dt
R
Trennung der Variablen und Integration liefert
B 2 `2
dv
=−
dt
v
mR
also
ln(v) = −
B 2 `2
t+C
mR
wobei C eine beliebige Integrationskonstante ist. Das Endresultat lautet also
v = eC e−
B 2 `2
mR
t
= v0 e −
B 2 `2
mR
t
,
wobei v0 = eC die Anfangsgeschwindigkeit zur Zeit t = 0 ist.
Abbildung 3: Skizze zu Aufgabe 3
6
Aufgabe 4
(6 Punkte)
Unter welchem Winkel α muß ein Lichtstrahl im Vakuum auf Glas (n = 1, 5) auftreffen, damit der Winkel zwischen
einfallendem und reflektiertem Strahl gleich dem Winkel zwischen einfallendem und gebrochenem Strahl ist?
[Tipp: sin(3α) = 3sin(α) − 4 sin(α)3 ]
Lösung:
Wie der Abbildung 4 zu entnehmen ist, muss gelten: γ = 2α, mit γ = 180◦ + β − α, d.h. 3α = 180◦ + β
n1
α
γ
n2
β
Abbildung 4: zu Aufgabe 4
oder sin(3α) = −sin(β).
Der Zusammenhang zwischen α und β wird durch das Brechungsgesetz gegeben:
n1 sin(α) = n2 sin(β),
mit n1 = 1 und n2 = 1, 5. Ferner ist sin(3α) = 3sin(α) − 4 sin(α)3 . Aus den beiden Gleichungen ergibt sich:
1
nr
1
1
sin α = ±
3+ .
2
n
3 − 4 sin2 (α) = −
Von den vielen möglichen Winkeln α ist nur einer zwischen 0◦ und 90◦ physikalisch sinnvoll. Für n = 1, 5 erhält man
α ≈ 73, 3◦ .
Aufgabe 5
(3,3 Punkte)
In der in Abbildung 5 dargestellten Schaltung sind die Ströme J1 , J2 und J3 zu berechnen. Das Element am 12 V
Anschluss hat einen Innenwiderstand von 0,5 Ω, das Element am 3 V Anschluss einen solchen von 0,3 Ω. Wie groß
ist die Potentialdifferenz VA im Punkt A gegen Masse? Wie groß ist die Klemmspannung an dem 12-V-Element?
Hinweis: Bestimmen Sie zunächst ein Ersatzschaltbild, indem Sie die gegebenen Widerstände soweit wie möglich
zusammenfassen. Innenwiderstände werden in Reihe geschaltet. Benutzen Sie die Kirchhoffschen Gesetze, um aus
dem vereinfachten Ersatzschaltbild die unbekannten Größen J1 , J2 und J3 zu bestimmen.
Lösung:
7
Abbildung 5: Schaltung zu Aufgabe 5
Das Ersatzschaltbild ist in Abbildung 6 dargestellt. Die Innenwiderstände wurden auch hier bereits berücksichtigt. Es gilt:
R1 = 3Ω, R2 = 2Ω, R3 = 7Ω, U1 = 12V und U2 = 3V .
Durch Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze kann nun das folgende Gleichungssystem aufgestellt werden.
Knotenregel :
0 = J1 + J2 + J3
(1)
obere Masche :
U1 = R2 J2 − R1 J1
(2)
untere Masche :
U3 = R2 J2 − R3 J3
(3)
Diese drei Gleichungen genügen, um die drei Unbekannten J1 , J2 und J3 zu berechnen. Man eliminiert J3 aus Gleichung
3, indem wir Gleichung 1 in sie einsetzen. Somit folgt:
U3 = (R2 + R3 )J2 + R3 J1
(4)
Aus Gleichung 2 und 4 erhält man
U 3 R2 − U 1 R2 − U 1 R3
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
U1 + R1 J1
=
R2
J1 =
(5)
J2
(6)
Mit den angegebenen Zahlenwerten liefert dies:
J1 = −2, 49A, J2 = 2, 27A, J3 = 0, 22A.
8
VA
Abbildung 6: Ersatzschaltbild
Nun ist VA leicht anzugeben:
VA = J2 R2 = 4, 54V
Klemmspanung an der 12 V Batterie:
VKl = VA − J1 (R1 − Ri ) = 10, 76V
Aufgabe 6
(2,2,2 Punkte)
Berechnen Sie die Kapazität eines Kugelkondensators (Außenradius a, Innenradius b).
(a) Berechnen Sie das elektrische Feld in einem Kugelkondensator im Abstand r vom Mittelpunkt, wenn der
Kondensator mit der Ladung Q geladen ist. [Hinweis: Die Kugelfläche ist 4πr2 ]
(b) Berechnen Sie das Potential sowie die Potentialdifferenz zwischen Innen- und Außenzylinder.
(c) Geben Sie die Kapazität C an.
Lösung:
(a)
~
E(r)
=
Q
· ~er
4πε0 r2
(b)
Z
ϕ(r) = −
r
~
E(r)d~
r=−
0
Z
0
r
Q
Q
dr =
2
4πε0 r
4πε0 r
Also folgt für die Potentialdifferenz zwischen den beiden Kugelschalen der Radien a und b:
Q
1 1
Q
b−a
U = ϕ(a) − ϕ(b) =
−
=
4πε0 a b
4πε0
ab
(c)
C=
Q
4πε0 · a · b
=
U
b−a