Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 2etv18
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Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 156 2etv18-1 1.8 1.8.1 Vierpole Begriffdefinition Netzwerk zur Verbindung eines Erzeugers mit einem Verbraucher: (Übertragungskanal) Zwei funktionell zusammengehörige Klemmenpaare. I1 ErzeugerZweipol Vierpol I1 I2 VerbraucherZweipol Energietechnik: Nachrichtentechnik: Leitung, Transformator,... Leitung, Verstärker, Filter, Pass,... Netzwerk zur: Übertragung, Aufbereitung, Verstärkung elektrischer Energie Zur vollständigen Beschreibung: 3 Ströme, 3 Spannungen, alle anderen Größen durch Knotenund Maschensatz bestimmbar U3 I2 I1 U1 U5 I3 U6 Vierpol I4 U2 U4 Für den im Rahmen dieser Behandlung definierten Vierpol ist die vollständige Beschreibung nicht erforderlich. Außenbeschaltung nur mit Zweipolen oder Vierpolen im Sinne des Energie- oder Nachrichtenflusses. Es entsteht ein Eingang mit zwei Eingangsklemmen (Spannung U1 , Ströme I 1 und I 3 = − I 1 ) und ein Ausgang mit zwei Ausgangsklemmen (Spannung U2 , Ströme I 2 und I 2 = − I 4 ) Die Beschreibung des Vierpols ist dadurch eingeschränkt, Spannungsdefinition zwischen Eingangs- und Ausgangsklemmen nicht möglich. Vierpolbeschreibung nur gültig, wenn der an der einen Eingangs- oder Ausgangsklemme hineinfließende Strom an der anderen Klemme wieder ausfließt. Energiefluss von links nach rechts, Eingang mit U1; I 1 ; Ausgangs mit U2 ; I 2 Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 157 2etv18-1 Energiefluss I1 U1 Schaltbild des Vierpols mit den Zählpfeilen nach DIN 40148 I2 Vierpol I1 I2 U2 Vierpole, die am Eingang Energie aufnehmen und am Ausgang Energie abgeben sind passive Vierpole. Vierpoldefinition wird auch verwendet, I2 I1 wenn eine Eingangsklemme potenzialgleich mit einer Ausgangsklemme ist Vierpol U2 U 1 I1 1.8.2 I2 Vierpolgleichungen Vierpol enthält nur lineare Bauelemente, zur Vereinfachung werden zunächst nur Gleichgrößen verwendet. Um Gleichungen zur Vierpolbeschreibung zu erhalten, werden folgende Beschaltungen durchgeführt: Eingangsseitig wird der Vierpol mit einer Gleichspannungsquelle beschaltet, von Seite 2 betrachtet: Zweipol mit der Spannungsquellenersatzschaltung I1 U1 U1 Vierpol U2 k1U1 R1 bei Beschaltung der Ausgangsseite mit einer Spannungsquelle U2 ergibt die Maschengleichung den Strom I2. U2 Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 158 2etv18-1 I2 R1 k1U1 U2 U2 M M: −k1U1 − I2R1 + U2 = 0 I2 = U2 − k1U1 −k1U1 U2 = + R1 R1 R1 Gleiche Verfahrensweise wird bei vertauschten Seiten durchgeführt. I2 U1 U2 Vierpol U1 U2 R2 k 2U2 bei Beschaltung der Eingangsseite mit einer Spannungsquelle U1 ergibt die Maschengleichung den Strom I1 M: k 2U2 + I1R2 − U1 = 0 I1 k 2U2 U1 R2 I1 = U1 − k 2U2 U1 k 2U2 = − R2 R2 R2 M Definition von Leitwerten: Leitwertparameter, Y-Parameter 1 k k 1 Y12 = − 2 Y21 = − 1 Y22 = R2 R2 R1 R1 Diese Parameter sind nur durch die Bauelemente des Vierpols bestimmt. Y11 = Gleichungen: I1 = Y11 ⋅ U1 + Y12 ⋅ U2 I2 = Y21 ⋅ U1 + Y22 ⋅ U2 Indizes der Parameter: 1. Index: abhängige Variable (Strom) 2. Index: unabhängige Variable (Spannung) Beispiel: Y12 beschreibt den Einfluss von U2 auf I1 Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 159 2etv18-1 Gleichung in Matrixform: Leitwertmatrix I1 Y11 Y12 U1 = ⋅ I2 Y21 Y22 U2 Beispiel: Y12 Y Y = 11 Y21 Y22 Spannungsteiler I1 I2 U1 Ra U2 Rb Innenwiderstand U1 Ra Ra R1 = RbIIRa = Rb U2 Rb 1 1 1 + R a Rb Leerlaufspannung Rb Rb k1U1 k1 = = R a + Rb U1 R a + Rb Innenwiderstand R 2 = Ra Leerlaufspannung k 2U2 =1 k2 = 1 U2 Leitwertparameter: Y11 = 1 1 = R 2 Ra Y12 = − k2 1 =− R2 Ra Rb R + Rb Rb k Y21 = − 1 = − a =− 1 R1 R a + Rb 1 1 + R a Rb 1 1 ⋅ + R a Rb Y22 = 1 = R1 1 1 1 1 + R a Rb = 1 1 + R a Rb Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 160 2etv18-1 Vierpolgleichungen: I1 = 1 1 ⋅ U1 + − ⋅ U2 Ra Ra I2 = − 1 1 Rb 1 1 ⋅ + + ⋅ U1 + ⋅ U2 R a + Rb R a Rb R a Rb Ra = 90kΩ Dimensionierung: Y11 = 1 1 = = 11.1µS Ra 90kΩ Y21 = − Rb R a + Rb I1 = Rb = 10kΩ Y12 = − 1 1 ⋅ + = −11.1µS R a Rb U1 = 100V 1 = −11.1µS Ra Y22 == 1 1 + = 111.1µS R a Rb 11.1µS ⋅ U1 − 11.1µS ⋅ U2 I2 = −11.1µS ⋅ U1 + 111.1µS ⋅ U2 Leerlauf: I2 = 0 11.1µS ⋅ U1 = 10V 111.1µS I1 = 11.1µS ⋅ 100V − 11.1µS ⋅ 10V = 1mA U2 = Belastung U2 = 9V I1 = 11.1µS ⋅ 100V − 11.1µS ⋅ 9V = 1.011mA I2 = −11.1µS ⋅ 100V + 111.1µS ⋅ 9V = −0.111mA Lastwiderstand RB = U2 9V = = 81.0kΩ −I2 −( −0.111mA) Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 161 2etv18-1 1.8.3. Bestimmung der Vierpolparameter I1 = Y11 ⋅ U1 + Y12 ⋅ U2 I2 = Y21 ⋅ U1 + Y22 ⋅ U2 Bestimmung wird möglich, wenn durch Beschaltung des Vierpols eine unabhängige Variable Null wird, dann bleibt nur eine Variable übrig und es entsteht Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Beschaltung: Leerlauf, Kurzschluss Ausgang kurzgeschlossen: U2 = 0 I1 U1 I1 U I2 2 =0 Vierpol I2 U 2 =0 Eingang kurzgeschlossen: U1 = 0 I2 Y11 = = Y21 ⋅ U1 Y21 = 1 I2 U =0 = Y22 ⋅ U2 1 U1 I2 K Ra Rb K: −I1 − I2 = 0 U I1 = 1 Ra Y11 = Y12 = Y22 = I2 = −I1 I1 U1 U = U1 1 = Ra ⋅ U1 Ra I2 U1 U = −U1 1 =− Ra ⋅ U1 Ra 2 =0 Y21 = I2 U1 U 2 =0 Beispiel Spannungsteiler I1 I1 U1 U 2 =0 I1 U =0 = Y12 ⋅ U2 U2 Vierpol = Y11 ⋅ U1 2 =0 I1 U2 U1 = 0 I2 U2 U1 = 0 Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 162 2etv18-1 I1 I2 K Ra Rb R a + Rb Y12 = I1 U2 1.8.4 a) I2 U2 U1 = 0 1 1 ⋅ + ⋅ U2 R a Rb 1 Rb Rb 1 U2 =− ⋅ + =− ⋅ Ra + Rb Ra Rb U2 R a + Rb = U1 =0 1 1 = U2 ⋅ + R a Rb 1 1 ⋅ + R a Rb U2 1 1 1 1 ⋅ + + = U2 Ra Rb Ra Rb Weitere Gleichungsformen Widerstandsform U1 = I1 ⋅ Z11 + I2 ⋅ Z12 U2 = I1 ⋅ Z 21 + I2 ⋅ Z 22 I2 I1 U1 U2 1 1 1 + R a Rb Rb −I1 = I2 Ra + Rb Rb U2 I1 = − Y22 = I2 = Vierpol 1. Index: abhängige Variable: Spannung 2. Index: unabhängige Variable: Strom U2 Parameterbestimmung durch Leerlauf: I2 = 0 bei Speisung von Seite 1und I1 = 0 bei Speisung von Seite 2. Z11 = U1 I1 I Z21 = U1 I2 I =0 Z22 = 2 =0 Z12 = 1 U2 I1 I2 =0 U2 I2 I1 =0 Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 163 2etv18-1 Beispiel: Spannungsteiler I1 Ra U1 I2 = 0 K Rb U1 I 2 =0 = I1 ⋅ Z11 Z11 = U1 I1 I 2 =0 U1 I1 = R a + Rb U2 Z11 = U1 I1 I = R a + Rb 2 =0 U2 I =0 = I1 ⋅ Z21 2 Z21 = U2 I1 I1 = I2 = 0 K Ra U1 U2 I 2 =0 = Rb ⋅ U1 R a + Rb Rb R + Rb ⋅ U1 ⋅ a = Rb R a + Rb U1 U1 I =0 = I2 ⋅ Z12 I2 1 I2 = Rb U2 U2 Rb Z12 = U1 = U2 R U1 = U2 ⋅ b = Rb I2 I =0 U2 1 U2 I =0 = I2 ⋅ Z22 Z22 = 1 U2 I2 = U2 I1 =0 Rb = Rb U2 U1 = I1 ⋅ (Ra + Rb ) + I2 ⋅ Rb U2 = I1 ⋅ Rb + I2 ⋅ Rb Dimensionierung des Spannungsteilers: Ra = 90kΩ Rb = 10kΩ Leerlauf: U1 = I1 ⋅ (Ra + Rb ) = 1mA ⋅ ( 90kΩ + 10kΩ ) = 100V U2 = I1 ⋅ Rb = 1mA ⋅ 10kΩ = 10V Belastung: U1 = 100V U2 = 9V 100V = I1 ⋅ ( 90kΩ + 10kΩ ) + I2 ⋅ 10kΩ 9V = I1 ⋅ 10kΩ I1 = 1.011mA + I2 ⋅ 10kΩ I2 = −0.111mA ( RB = 81kΩ ) I1 = 1mA Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 164 2etv18-1 b) Hybridform U1 = I1 ⋅ H11 + U2 ⋅ H12 I2 = I1 ⋅ H21 + U2 ⋅ H22 Parameter werden im Kurzschluss (U2 = 0) und Leerlauf (I1 = 0) bestimmt. U U H11 = 1 H12 = 1 H11 ] = Ω [ [H12 ] = 1 I1 U =0 U2 I =0 2 H21 = I2 I1 1 [H21 ] = 1 H22 = U2 = 0 I2 U2 [H22 ] = S I1 =0 Beispiel Spannungsteiler I1 K Ra U1 I2 = 0 I1 = U1 Ra H11 = Rb U2 = 0 U1 Ra H12 = Rb U2 H22 = U1 = I1 ⋅ Ra I2 = −I1 Leerlauf: U1 = Belastung: I2 I1 = U2 = 0 U1 U2 I2 U2 U1 ⋅ Ra = Ra U1 −I1 = −1 I1 I2 = U2 Rb =1 I1 = 0 = I1 = 0 U2 1 = Rb ⋅ U2 Rb + U2 + I2 = 0 = U1 = U2 I2 K U1 I1 U 2 =0 H21 = I1 I2 = −I1 1 U2 Rb 0 = −I1 + 1 U2 Rb I1 = U2 Rb R U2 ⋅ Ra + U2 = U2 a + 1 Rb Rb U1 = 100V U2 = Rb U1 R a + Rb U2 = 9V 100 V = I1 ⋅ 90kΩ + 9V I2 = −1.011mA + I1 = 100V − 9V = 1.011mA 90kΩ 9V = −0.111mA 10kΩ Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 165 2etv18-1 c) Kettenform U1 = U2 ⋅ A11 + ( −I2 ) ⋅ A12 I1 = U2 ⋅ A 21 + ( −I2 ) ⋅ A 22 Parameterbestimmung durch Leerlauf (I2 = 0) und Kurzschluss (U2 = 0). A11 = A 21 = U1 U2 [ A11 ] = 1 A12 = I2 =0 I1 U2 [ A 21 ] = S A 22 = I2 =0 U1 −I2 I1 −I2 [ A12 ] = Ω U2 = 0 [ A 22 ] = 1 U2 = 0 Beispiel Spannungsteiler I1 Ra U1 I2 = 0 K A11 = U2 Rb I1 = K Ra U1 I2 I1 = I2 = 0 R a + Rb Rb Rb U2 = U1 Ra + Rb I1 U2 = I2 =0 U1 Ra A12 = Rb = U1 R a + Rb A 21 = I1 U1 U2 A 22 = R + Rb U1 1 ⋅ a = Ra + Rb RbU1 Rb I2 = −I1 U1 −I2 U2 = 0 I1 −I2 U2 = 0 = U1 ⋅ Ra = Ra U1 =1 R + Rb U1 = U2 a + ( −I2 ) Ra Rb 1 I1 = U2 + ( −I2 ) Rb Rb U1 R a + Rb Leerlauf: I2 = 0 U2 = Belastung: U2 = 9V U1 = 100V R a + Rb 1 100kΩ 1 − U1 = 9V − 100V = −0.111mA RbRa Ra 10kΩ ⋅ 90kΩ 90kΩ U 9V I1 = 2 − I2 = + 0.111mA = 1.011mA Rb 10kΩ I2 = U2 Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 166 2etv18-1 1.8.5 a) Anwendung der Gleichungsformen Leitwertform I2 I1 I1 Eingang wird von Stromquelle gespeist, Ausgang wird durch Leitwert belastet. G = G1 + G2 + G3 Belastung durch parallel geschaltete Widerstände G U2 U1 Parallelschaltung von Vierpolen IA1 UA1 I1 U1 YA Y11 = Y11A + Y11B UA 2 IA1 IA 2 IB1 IB2 UB1 IB1 b) IA 2 YB Y12 = Y12A + Y12B I2 U2 Y21 = Y21A + Y21B Y22 = Y22A + Y22B UB2 IB2 Widerstandsform I1 I2 R = R1 + R2 + R3 U1 U1 U2 R Eingang wird von einer Spannungsquelle gespeist, Ausgang wird durch einen Widerstand belastet, der aus der Reihenschaltung von Teilwiderständen besteht. Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 167 2etv18-1 Berechnung der Reihenschaltung von Vierpolen I1 IA1 UA1 U1 IA 2 ZA IA 2 IB1 IB2 ZB Z11 = Z11A + Z11B Z12 = Z12A + Z12B UA 2 IA1 UB1 U2 Z 21 = Z 21A + Z21B Z 22 = Z 22A + Z 22B UB2 IB2 IB1 c) I2 Hybridform I1 I2 G G = G1 + G2 + G3 U1 U2 U1 Eingang durch Spannungsquelle gespeist, Ausgang durch Leitwert G belastet. Lastwiderstand besteht aus Parallelschaltung von Teilwiderständen. Berechnung der Reihen-Parallelschaltung von Vierpolen I1 IA1 UA1 U1 IA 2 HA UA 2 IA1 IA 2 IB1 IB2 UB1 IB1 HB UB2 IB2 H11 = H11A + H11B H12 = H12A + H12B I2 U2 H21 = H21A + H21B H22 = H22A + H22B Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 168 2etv18-1 d) Kettenform I2 I1 I1 U2 U1 R = R1 + R2 + R3 R Eingang wird von Stromquelle gespeist, Ausgang wird durch Widerstand belastet, der aus der Reihenschaltung von Teilwiderständen besteht. Berechnung der Kettenschaltung von Vierpolen I1 U1 UA1 HA I2 IA 2 IB1 UA 2 UB1 UB2 U2 HB A11 = A11A ⋅ A11B + A12A ⋅ A 21B A12 = A11A ⋅ A12B + A12A ⋅ A 22B A 21 = A 21A ⋅ A11B + A 22A ⋅ A 21B A 22 = A 21A ⋅ A12B + A 22A ⋅ A 22B Beispiel: R R U1 Kettenschaltung zweier gleicher RC-Tiefpässe − jXC − jXC U2 I1 U1 R − jXC R = = 1+ j U2 − jXC XC − jXC U1 I 1= U2 = U1 R − jXC R − jXC I U1 R − jXC A 21 = 1 = ⋅ U2 R − jXC − jXCU1 A11 = R U1 − jXC U2 A 21 = 1 1 =j XC − jXC Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 169 2etv18-1 I1 R U1 − jXC I 1= U1 R U2 = 0 A12 = U1 U = 1 =R −I 2 I 1 A 22 = I1 I = 1 =1 −I 2 I 1 A11 = A11A ⋅ A11B + A12A ⋅ A 21B = (1 + jRωC )(1 + jRωC ) + jRωC = 1 + (RωC ) + j3RωC 2 A12 = A11A ⋅ A12B + A12A ⋅ A 22B = (1 + jRωC ) R + R ⋅ 1 = 2R + jRωC A 21 = A 21A ⋅ A11B + A 22A ⋅ A 21B = jωC (1 + jRωC ) + 1⋅ jωC = jωC ( 2 + RωC ) A 22 = A 21A ⋅ A12B + A 22A ⋅ A 22B = jωC ⋅ R + 1⋅ 1 = 1 + jRωC Leerlauf: A11 = U1 = H12 U2 Übertragungsfunktion 1 1 U 1 = = 2 = H12 A11 U1 1 + (RωC )2 + j3RωC 1.8.6 Vierpol-Widerstände Die in den Vierpolgleichungen enthaltenen Parameter, die Widerstände darstellen, ( Z11, Z22 , H11 u.a. ) gelten immer nr für die Spezial-Betriebsfälle Leerlauf oder Kurzschluss. Zusammenschalten des Vierpoleingangs mit einer Quelle: ⇒ Ze Vierpoleingangswiderstand Z e ist abhängig von den Vierpolparametern und dem Lastwiderstand ZB Zusammenschalten des Vierpolausgangs mit einem Verbraucher ⇒ Za Vierpolausgangswiderstand Za ist abhängig von den Vierpolparametern und dem Quellenwiderstand Zq. Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 170 2etv18-1 I1 I2 Zq Uq U2 U1 Za Ze I1 I2 U2 Z q U1 Iq Za Ze Ze = U1 I1 Ze0 = ZB Vierpol-Eingangswiderstand bei beliebigem ZB U1 I1I ZB = ∞ Leerlauf U1 I1U ZB = 0 Kurzschluss 2 =0 ZeK = 2 =0 Za = U2 I2 Za0 = ZaK = U2 I2 U2 I2 Vierpol-Ausgangswiderstand bei beliebigem Zq Zq = ∞ Leerlauf Zq = 0 Kurzschluss I1 =0 U1 = 0 Ze = Zq bei Widerstandsanpassung am Eingang Za = ZL2 gilt Ausgangswellenwiderstand ZL2 = Za0 ⋅ ZaK Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 171 2etv18-1 ZB = Z a bei Widerstandsanpassung am Ausgang gilt Eingangs-Wellenwiderstand Ze = ZL1 ZL1 = Ze0 ⋅ Z eK Widerstandsanpassung am Ausgang und Eingang ZB = Za = ZL2 Zq = Ze = ZL1 ergibt sich der Wellenwiderstand des Vierpols ZL = ZL1 ⋅ ZL2 = Ze0 ⋅ ZaK = ZeK ⋅ Za0 Abhängigkeit der Eingangs- und Ausgangswiderstände von den Vierpolparametern: Z Y H A Eingangswiderstand Z ⋅ Z + ∆Z Ze = 11 B Z22 + ZB Ausgangswiderstand Z ⋅ Z + ∆Z Za = 22 q Z11 + Zq Ze = Y22 + YB Y11 ⋅ YB + ∆Y Za = Ze = H11 ⋅ YB + ∆H H22 + YB Za = Ze = A12 + A11 ⋅ ZB A 22 + A 21 ⋅ ZB Za = ∆Z = Z11 ⋅ Z22 − Z12 ⋅ Z21 ∆Y = Y11 ⋅ Y22 − Y12 ⋅ Y21 ∆H = H11 ⋅ H22 − H12 ⋅ H21 Y11 + Yq Y22 ⋅ Yq + ∆Y H11 + Zq H22 ⋅ Zq + ∆H A12 + A 22 ⋅ Zq A11 + A 21 ⋅ Zq Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 172 2etv18-1 1.8.7 Vierpol-Übertragungsfaktoren Vierpolübertragungsfaktoren werden als Verhältnis der an den Klemmen des Vierpols messbaren Ausgangsgröße zur Eingangsgröße definiert. Eingangs- und Ausgangsgrößen können dabei Spannungen, Ströme, Leistungen sein. Übertragungsfaktoren sind abhängig von den Vierpol-Parametern sowie vom Lastwiderstand ZB . Bei Wechselgrößen sind die Übertragungsfaktoren komplexe Größen mit Betrag und Phasenwinkel. Der Phasenwinkel gibt die Phasenlage der Ausgangsgröße zur Eingangsgröße an. G=Gϕ Enthalten die Vierpole aktive Bauelemente, werden die Übertragungsfaktoren auch Verstärkungsfaktoren V genannt. U2 = GU ϕU U1 I GI = 2 = GI ϕI I1 GU = Spannungsübertragungsfaktor Stromübertragungsfaktor Die Übertragungsfaktoren beziehen sich auf eine konstante Eingangsgröße und berücksichtigen deshalb nicht den Innenwiderstand Zq der speisenden Quelle. Im Zusammenwirken von Vierpol und Quelle sind folgende Sonderfälle zu definieren: I1 Zq = 0 I2 q Ze ) U1 = Uq Zq Uq (Z U2 U1 ZB am Vierpol liegt konstante Spannung Ze Za Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 173 2etv18-1 I1 Zq = ∞ I2 (Z q Ze ) I 1= I q U2 Z q U1 Iq Vierpol wird von konstantem Strom gespeist Za Ze Widerstandsanpassung am Eingang: U I Zq = Ze U1 = q I 1= q 2 2 ZB = Z a wird zusätzlich dann Wellenwiderstandsanpassung ZB = Za = ZL2 Zq = Ze = ZL1 Am Vierpolausgang werden die Sonderfälle definiert: Leerlauf: ZB = ∞ Kurzschluss: ZB = 0 ( ZB Z a ) ( ZB Z a ) Widerstandsanpassung am Ausgang ZB = Z a Abhängigkeit der Spannungs- und Stromübertragungsfaktoren von den Vierpolparametern: Z Y H A SpannungsÜbertragungsfaktor Z21 ⋅ ZB GU = Z11 ⋅ ZB + ∆Z − Y21 GU = Y22 + YB −H21 GU = H11 ⋅ YB + ∆H ZB GU = A11 ⋅ ZB + A12 ∆Z = Z11 ⋅ Z22 − Z12 ⋅ Z21 StromÜbertragungsfaktor −Z21 GI = Z 22 + ZB Y21 ⋅ YB GI = Y11 ⋅ YB + ∆Y H ⋅Y GI = 21 B H22 + YB −1 GI = A 21 ⋅ ZB + A 22 ∆Y = Y11 ⋅ Y22 − Y12 ⋅ Y21 ∆H = H11 ⋅ H22 − H12 ⋅ H21 Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 2" 174 2etv18-1 1.8.8 Z Y H Umrechnung der Vierpolparameter Z Z11 Z12 Z21 Z22 Z 22 ∆Z Z − 21 ∆Z ∆Z Z22 − A Z21 Z22 Y Y22 ∆Y Y − 21 ∆Y Z12 ∆Z Z11 ∆Z − Y12 ∆Y Y11 ∆Y − H ∆H H22 H21 H22 − 1 H11 Y11 Y12 Y21 Y22 H21 H11 Z12 Z22 1 Y11 1 Z22 Y21 Y11 − Y12 Y11 − H12 H22 A A11 A 21 ∆A A 21 1 H22 1 A 21 A 22 A 21 H12 H11 ∆H H11 H11 H12 H21 H22 ∆Y Y11 A 22 A12 ∆Z Z21 − Y22 Y21 − 1 Y21 − ∆H H21 − H11 H21 1 Z21 Z22 Z21 − ∆Y Y21 − Y11 Y21 − H22 H21 − 1 H21 ∆A A12 1 A12 A11 A12 A12 A 22 ∆A A 22 − − Z11 Z21 − 1 A 22 A 21 A 22 A11 A12 A 21 A 22