¨Ubungen zur Experimentalphysik I (SS09)

08
Übungen zur Experimentalphysik I (SS09)
Prof. Dr. R. Beigang/Dr. B. Rethfeld/A. Fleischhauer
23.06.2009
Aufgabe 01:
Betrachten Sie das Problem der Messung von Oberflächenspannungen. Es werden Kapillarrohre verwendet. Die Flüssigkeit steigt in diesen Rohren aufgrund der Oberflächenspannung
der Flüssigkeit.
a) Leiten sie eine Formel für die Steighöhe h einer Flüssigkeit (ρF l , γF l−Luf t ) in einem
Kapillarrohr (Radius r0 ) unter Berücksichtigung der Gewichtskraft der Flüssigkeit in
der Kapillare her. Bestimmen Sie den Kontaktwinkel φ und skizzieren Sie je den Fall
einer vollständig, teilweise und nicht benetzenden Flüssigkeit.
b) Berechnen Sie die Steighöhe von Quecksilber mit ρHg = 13546kgm−3 , γHg−Luf t =
0.475N m−1 , φ = 138◦ , r0 = 0.4mm.
(10 Punkte)
Aufgabe 02:
Welche senkrechte Kraft muss man auf einen horizontalen Aluminiumring (Dichte ρAl = 2, 7
g/cm3) mit der Höhe h=10 mm, einem inneren Durchmesser d1 =50 mm und einem äußeren
Durchmesser d2 = 52 mm wirken lassen, damit er von der Wasseroberfläche abgerissen wird
(σW =0,0725 N/m)? Welcher Teil der ermittelten Kraft wird durch die Oberflächenspannung
verursacht?
(7 Punkte)
Aufgabe 03:
Betrachten Sie ein Gas, das der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung genügt, d.h. für
das gilt
µ
¶1/2
µ
¶
m
mvi2
f (~v ) = f (vx ) f (vy ) f (vz ) mit f (vi ) =
exp −
2πkB T
2kB T
sowie
µ
2
f (v) = f (|~v |) = 4π v f (~v ) = 4π v
2
m
2πkB T
¶3/2
µ
¶
mv 2
exp −
2kB T
Berechnen Sie für dieses Gas
a) den wahrscheinlichsten Wert der x-Komponente der Geschwindigkeit,
b) den Mittelwert der x-Komponente der Geschwindigkeit,
c) den wahrscheinlichsten Wert des Absolutbetrages der Geschwindigkeit v = |~v |,
d) den Mittelwert des Absolutbetrages der Geschwindigkeit v = |~v |.
e) Für den Mittelwert der kinetischen Energie gilt nach dem Gleichverteilungssatz
3
hEkin i = kB T.
2
Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit
m
hvi2 .
2
(Hinweis: Es gilt
R∞
0
dx x exp(−αx) = 1/α2 .)
(10 Punkte)
Aufgabe 04:
a) Berechnen Sie die Temperaturen,
bei denen der rms Wert der Geschwindigkeit (rms=
q
root mean square) vrms = (~v )2 für (i) molekularen Wasserstoff und (ii) molekularen
Sauerstoff gleich der Fluchtgeschwindigkeit von der Erde ist. Der Erdradius beträgt re =
6.37×106 m und die Fallbeschleunigung g = 9.81 m/s2 . Die molare Masse von atomaren
Wasserstoff beträgt 2.02 × 10−3 kg/mol, die von molekularem Sauerstoff 32.0 × 10−3
kg/mol.
b) Wiederholen Sie die gleichen Rechnungen wie unter (a) für den Mond mit rm = 1.74×106
m und gm = 0.16 g.
c) Die Temperatur in den sehr hohen Atmosphärenschichten der Erde beträgt rund 1000
K. Würden Sie viel Wasserstoff bzw. viel Sauerstoff in diesen Schichten vermuten?
Begründen Sie Ihre Aussage!
(10 Punkte)
Aufgabe 05(T):
~ mit V (~r ) = V (r)
Ein Teilchen der Masse m bewegt sich in dem Radialfeld F~ (~r ) = −∇V
¨
~
gemäß der Bewegungsgleichung m~r = F .
m
~ = m~r × ~r˙ sind zeitlich
1. Zeigen Sie: Die Energie E = ~r˙ 2 + V (~r ) und der Drehimpuls L
2
konstant.
γ
2. Speziell für das Coulomb- bzw. Gravitationsfeld V (r) =
zeige man, dass
r
~ r ) = ~r˙ × L
~ + γ ~r (der Lenz-Runge-Vektor) zeitlich konstant ist.
A(~
r
Hinweise:
• Es gilt ~r · ~r˙ = rṙ.
• ~a × (~b × ~c ) = ~b(~a · ~c ) − ~c(~a · ~b ).
(10 Punkte)
Aufgabe 06(T):
Eine Massepunkt mit Masse m = 1 bewege sich in dem eindimensionalen Potential
V (x) = x4 − 2x2 ,
wobei x eine dimensionslose Koordinate ist.
a) Skizzieren Sie das Potential. Welche Werte der Energie E sind möglich? Welchen Unterschied in der Bewegungsform gibt es für E > 0 und E < 0? Skizzieren sie qualitativ die
zu diesen beiden Fällen gehörigen Bahnen im Phasenraum (x, ẋ). Was ist der maximale
Wert für ẋ bei gegebener Energie E?
b) Bestimmen Sie die stabilen und instabilen Ruhelagen der Bewegung und die zugehörigen
Energiewerte. Betrachten Sie nun kleine Schwingungen um die stabilen Ruhelage(n) und
bestimmen Sie die (dimensionslose) Frequenz dieser Schwingung.
(10 Punkte)
Aufgabe Z:
Was Sie wissen sollten
Taylorentwicklungen, die man ohne Nachdenken können sollte
Wie verhält sich für kleine x:
√
(1 + x)2 ,
1 − x, (1 + 2 x)3 ,
sin x, cos x, tan x,
exp x, ln 1 + x
?
(2 + x)4 ,